Esercitazione 3 - Politecnico di Torino

Esercitazione 3
Matteo Luca Ruggiero1
1 Dipartimento
di Fisica del Politecnico di Torino
Anno Accademico 2010/2011
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 3
E3.2010/2011
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Sommario
1
Dinamica dei Sistemi
Dinamica Traslazionale
Dinamica Rotazionale
ML Ruggiero (DIFIS)
Esercitazione 3
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Traslazionale
Sommario
1
Dinamica dei Sistemi
Dinamica Traslazionale
Dinamica Rotazionale
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Esercitazione 3
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Traslazionale
Centro di Massa o Baricentro
Definizione
Il Centro di Massa G di una distribuzione di punti materiali Ph , aventi
ciascuno una massa mh , è definito dal suo vettore posizione
P
rh mh
.
rG =
m
Coordianate Cartesiane del Baricentro G
Le coordinate di G rispetto a un sistema di riferimento cartesiano con
origine in O valgono
P
P
P
mh yh
mh zh
mh xh
, yG =
, zG =
xG =
m
m
m
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Traslazionale
Quantità di Moto
Definizione
Dato un punto materiale Ph , di massa mh e velocità vh , si definisce la
quantità di moto
.
Qh = mh v h
La quantità di moto totale del sistema formato da N masse, è definita
da
N
N
X
. X
Q=
Qh =
mh v h ;
h=1
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h=1
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Traslazionale
Prima Equazione Cardinale
Formulazione
Se R(e) è il risultante delle forze esterne agente sul sistema, allora
sussiste la seguente relazione
R(e) =
dQ
dt
ovvero
R(e) = maG
che rappresentano due formulazioni equivalenti della prima equazione
cardinale della dinamica
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Sommario
1
Dinamica dei Sistemi
Dinamica Traslazionale
Dinamica Rotazionale
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Inerzia
Massa e Inerzia
La Seconda Legge di Newton (Legge del Moto)
f = ma
individua nella massa (inerziale) una proprietà dei corpi che
“costituisce una misura della resistenza che il corpo oppone al
tentativo della forza di cambiarne lo stato di moto”.
Massa e Inerzia
La Seconda Legge di Newton, per come abbiamo visto finora, descrive
il moto dei corpi puntiformi, dotati appunto di una massa m.
Che cosa avviene quando abbiamo a che fare con corpi estesi e non
puntiformi? Quali sono le proprietà che caratterizzano la resitenza al
moto dei corpi estesi?
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Momento di Inerzia
Consideriamo un sistema di N masse m1 , m2 , ..., mN concentrate nei
punti P1 , P2 , ..., PN .
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Momento di Inerzia
Momento di Inerzia Rispetto ad un Punto (Momento Polare di
Inerzia)
Consideriamo un sistema di N masse m1 , m2 , ..., mN concentrate nei
punti P1 , P2 , ..., PN . Si dice momento d’inerzia del sistema rispetto a
un punto la somma dei prodotti delle singole masse mh per i quadrati
delle rispettive distanze r h da quel punto:
. X
I=
mh rh2
N
h=1
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Momento di Inerzia
Momento di Inerzia Rispetto ad una Retta (Momento Assiale di
Inerzia)
Consideriamo un sistema di N masse m1 , m2 , ..., mN concentrate nei
punti P1 , P2 , ..., PN . Si dice momento d’inerzia del sistema rispetto a
una retta la somma dei prodotti delle singole masse mh per i quadrati
delle rispettive distanze r h da quella retta:
. X
I=
mh rh2
N
ML Ruggiero (DIFIS)
h=1
Esercitazione
3
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Momento di Inerzia
Momento di Inerzia Rispetto ad un Piano
Consideriamo un sistema di N masse m1 , m2 , ..., mN concentrate nei
punti P1 , P2 , ..., PN . Si dice momento d’inerzia del sistema rispetto a
un piano la somma dei prodotti delle singole masse mh per i quadrati
delle rispettive distanze r h da quel piano:
. X
I=
mh rh2
N
h=1
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Momento Risultante di un Sistema di Vettori Applicati
Definizione
Si dice momento risultante di un sistema di N forze, rispetto al polo O,
il vettore libero:
N
. X
(Ph − O) ∧ fh
MO =
h=1
dove rh ≡ (Ph − O) è il vettore posizione del punto Ph di applicazione
della forza fh , rispetto al polo O.
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Momento Angolare
Definizione
La relazione
X
. X
LO =
(Ph − O) ∧ Qh =
rh ∧ (mh vh ) ;
N
N
h=1
h=1
essendo rh il vettore posizione del punto Ph rispetto ad O, definisce il
momento angolare rispetto al polo O del sistema di punti materiali
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Seconda Equazione Cardinale
Formulazione
(e)
Se MO è il momento delle forze esterne rispetto al polo O, le relazioni
(e)
MO =
d LO
+ vO ∧ Q
dt
ovvero
d LO
+ mvO ∧ vG
dt
rappresentano due formulazioni equivalenti della seconda equazione
cardinale della dinamica
(e)
MO =
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Seconda Equazione Cardinale
Se assumiamo come polo O un punto fisso, oppure il centro di massa
G, oppure con un punto A la cui velocità si mantenga istante per
istante parallela alla velocità del centro di massa, l’ultimo termine si
annulla e la Seconda Equazione Cardinale si riduce a
(e)
MO =
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d LO
dt
(se O è fisso, o O ≡ G, o vO //vG )
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Equazioni Cardinali
Prima Equazione Cardinale (Dinamica Traslazionale)
R(e) =
dQ
dt
Seconda Equazione Cardinale (Dinamica Rotazionale)
(e)
MO =
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d LO
dt
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Equazioni Cardinali
Prima Equazione Cardinale (Dinamica Traslazionale)
R(e) =
dQ
dt
Seconda Equazione Cardinale (Dinamica Rotazionale)
(e)
MO =
d LO
dt
(se O è fisso, o O ≡ G, o vO //vG )
(e)
All’Equilibrio Statico R(e) = 0 e MO = 0
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Seconda Equazione Cardinale
In generale, il Momento Angolare di un Corpo non è parallelo al vettore
velocità angolare ω = θ̇k (il quale descrive la sua rotazione
istantanea): il parallelismo esiste solo quando l’asse passante per il
polo rispetto al quale si calcola il momento angolare è un asse
principale di inerzia, e quindi LO = θ̇ IOz k ,. In questo caso, la seconda
equazione cardinale diventa
(e)
Mz
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= IOz θ̈
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Leggi di Conservazione
In Assenza di Risultante di Forze Esterne (R(e) = 0)
R(e) =
dQ
→ Q = costante
dt
In Assenza di Risultante del Momento delle Forze Esterne
(e)
(MO = 0)
(e)
MO =
ML Ruggiero (DIFIS)
d LO
→ LO = costante
dt
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Energia Cinetica
Espressioni dell’Energia Cinetica per un Corpo Rigido
se il polo O è fisso (solido con asse fisso passante per O),
l’energia cinetica è data dall’espressione:
T =
1
I θ̇ 2 ;
2 Oz
se il polo coincide col centro di massa G, l’energia cinetica è data
dall’espressione:
1
1
T = mv2G + IGz θ̇ 2
2
2
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Esercizio 3.1
Una scala di lunghezza l (schematizzata come una sbarra omogenea,
di massa M) e’ appoggiata ad un muro liscio; il pavimento e’ invece
scabro, con coefficienti di attrito statico e dinamico µS , µD .
Calcolare l’angolo minimo per cui la scala resta in equilibrio senza
scivolare.
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Esercizio 3.2
Un corpo di massa m, partendo da un punto di altezza h, scivola lungo
una guida (priva di attrito), fino ad urtare un corpo di massa M, posto
alla base di un piano inclinato che forma un angolo α rispetto al piano
orizzontale.
Calcolare l’altezza massima raggiunta dal corpo M sul piano inclinato
(1) nell’ipotesi che l’urto sia perfettamente elastico; (2) completamente
anelastico
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Esercizio 3.3
Un carrello di massa M, in moto con velocita’ v0 costante urta un
secondo carrello fermo, anche esso di massa M. La massa del primo
carrello e’ comprensiva del piano inclinato che si trova su di esso, alla
base del quale si trova una pallina di massa m, ferma relativamente al
carrello stesso.
Se l’urto e’ completamente anaelastico, calcolare l’altezza a cui arriva
la pallina m (relativa alla base del piano inclinato). Il moto della pallina
avviene senza attrito.
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Esercizio 3.4
Un corpo di massa M è vincolato a muoversi attaccato all’estreo libero
di una molla di costante elastica k, il cio altro estremo è fissata ad un
supporto. Il corpo è inizialmente in quiete, su un piano scabro, avente
coefficiente di attrito dinamico µD . Un proiettile di massa m, si dirige
verso il blocco di massa M, con una velocità vo . Si osserva che, a
seguito di un urto completamente anelastico, il sistema si sposta di un
tratto pari ad L.
(1) Calcolare la velocità del proiettile prima dell’urto; (2) determinare
quanto tempo occorre al sistema per raggiungere la massima
compressione (corrispondente allo spostamento L).
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Esercizio 3.5
Una persona di massa m pari a 60 Kg, si trova in piedi sulla parte
posteriore di un carrello, il quale sta muovendosi con velocità costante
Vo pari a 72 km/h su un binario (senza attrito). Il carrello pesa 300 Kg.
Ad un certo istante, la persona salta giù dal carrelo, in direzione
parallela al binari, con velocità pari a 4 metri al secondo, misurata
rispetto al carrello.
Calcolare le velocità della persona e del carrello dopo il salto.
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Teorema di König
Energia Cinetica di un Corpo Rigido (in Moto Piano)
se il polo A è fisso (solido con asse fisso passante per A),
l’energia cinetica è data dall’espressione:
T =
1
IA θ̇ 2 ;
2 z
se il polo coincide col centro di massa G, l’energia cinetica è data
dall’espressione:
1
1
T = mv2G + IGz θ̇ 2
2
2
In particolare, l’espressione generale del Teorema di König risulta
T =
ML Ruggiero (DIFIS)
1
mv2G + T (r ,G)
2
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Esercizio 3.6
Consideriamo un’asta girevole intorno ad un asse fisso, avente
momento di inerzia I rispetto al centro di massa.
Descrivere il moto dell’asta.
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Esercitazione 3
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Esercizio 3.7
Uno yoyò (disco omgeneo) scende sotto l’azione del suo peso, mentre
il filo (ideale) si srotola senza strisciare rimanendo sempre verticale.
(1) Qual’è il centro di istantanea rotazione (o centro delle velocità) del
disco? (2) Quanto vale l’accelerazione angolare del disco? (3) Quanto
vale l’accelerazione del centro di massa del disco? (4) Quanto vale la
tensione del filo?
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Esercitazione 3
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Esercizio 3.8
Un disco di massa e raggio R rotola senza strisciare su un piano
inclinato; quest’ultimo forma un angolo α con il piano orizzontale.
Descrivere il moto e calcolare l’accelerazione del centro di massa del
disco.
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Piano Inclinato
A parità di Massa M, quale corpo cade prima?
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Esercitazione 3
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Esercizio 3.9
Un disco omogeneo, avente massa M e raggio R, rotola senza
strisciare su un piano orizzontale; un filo, inestensibile e di massa
trascurabile, è arrotolato sul bordo del disco e, mantenendosi
orizzontale, passa attraverso una carrucola fissa, di massa
trascurabile. All’altra estremità del filo è attaccato un corpo di massa
m.
(1)Si calcoli l’accelerazione del centro di massa del disco. (2) Si calcoli
la componente orizzontale della forza che il piano esercita sul disco.
(3) Se, quando è lasciato libero di muoversi, il corpo m dista d dal
suolo, quanto tempo impiega a percorrere tale distanza?
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Esercizio 3.10
Un’asta di lunghezza l e massa Masta reca all’estremità una massa M.
L’altra estremità è fissata ad una cerniera O, intorno alla quale può
ruotare senza attrito. Inizialmente l’asta è disposta verticalmente, nella
sua configurazione di equilibrio stabile. Tutto è disposto nel campo
gravitazionale g della Terra. Al tempo t = 0 una pallottola di massa m,
sparata con velocità v da una pistola che si trova esattamente alla
stessa quota della massa M, colpisce quest’ultima e vi rimane
attacata.
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Esercitazione 3
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Esercizio 3.10
(1)Discutere le leggi di conservazione durante l’urto. (2) Determinare
la velocità del sistema Asta+Massa+Proeiettile subito dopo l’urto. (3)
Calcolare con quale velocità il sistema giunge in P (a π/2 rispetto alla
configurazione iniziale). (4) Calcolare la velocità minima vmin del
proiettile, affinché il sistema descriva un angolo di π, fino ad arrivare
nella posizione diametralmente opposta a P
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Esercitazione 3
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Esercizio 3.11
Un cilindro omogeneo di massa M viene posto in movimento su un
piano orizzontale, mediante una forza F parallela al piano, costante e
applicata al centro di massa G. Il moto del cilindro e’ di puro
rotolamento.
Calcolare l’energia cinetica del cilindro, inizialmente in quiete, dopo un
intervallo di tempo. ∆t
(Dati numerici: R = 50cm, M = 10Kg, F = 20N, ∆t = 9s).
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Dinamica dei Sistemi
Dinamica Rotazionale
Esercizio 3.12
Attorno ad un disco omogeneo di massa M e raggio R, girevole senza
attrito attorno a un asse passante per il suo centro di massa O si
avvolge - senza strisciare - un filo (ideale) che reca a un’estremità un
pesino A di massa mA e all’altra estremità un pesino B di massa
mB > mA .
Calcolare l’accelerazione di ciascun pesino.
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Esercitazione 3
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