φ ω ω φ

isica generale II, a.a. 2013/2014
TUTORATO 9: CIRCUITI IN A.C.
CIRCUITI IN REGIME SINUSOIDALE
9.1. Nel circuito della figura il voltaggio alternato è V = V0cost con
 = 314 rad/s, V0 = 311 V, L = 0.9 H, C = 6.96 F. Se il fattore di potenza
del circuito è pari a 0.98, la resistenza R vale
(A) 150 
(B) 220 
(C) 330 
(D) 390 
(E) 470 
V~
L
R
C
SOLUZIONE. Nel collegamento in parallelo conviene utilizzare la rappresentazione
dell’ammettenza, Y, reciproco dell’impedenza complessa Z; Il reciproco della resistenza R si
chiama conduttanza e il reciproco della reattanza (induttiva o capacitiva) si chiama suscettanza
{
Utilizzando l’ammettenza, la legge di Ohm modificata per i circuiti in a.c. si scrive:
Le ammettenze, per elementi circuitali in parallelo, si sommano; pertanto possiamo scrivere
( )
( ) √
(
( )
)
( ) (
[
(
(
))
|
)]
|
√
(
)
Il fattore di potenza è cos, dove l’angolo  è l’angolo di sfasamento fra la corrente I e la tensione
V: nella rappresentazione polare del circuito (vedi figura a fine soluzione) si ha
( )
R
|
1  cos 2 
2
1 

2
 C 
 cos 
L 


|
√
(
)
1  0.982
2
1


6
2
 314  6.96  10 
  0.98
314  0.9 

 150.07 
suscettanza
|Ytot|
(C1/(L)

conduttanza
1/R
9.2. Con riferimento al problema precedente, la potenza media erogata dal generatore V vale
1
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TUTORATO 9: CIRCUITI IN A.C.
(A) 103 W
(B) 124 W
(C) 147 W
(D) 220 W
(E) 322 W
SOLUZIONE. Poiché l’unico elemento dissipativo del circuito è la resistenza R in parallelo al
generatore, la potenza media erogata dal generatore è tutta quella dissipata su R:
⟨ ⟩
⟨ ⟩
9.3. Il voltaggio variabile applicato al circuito della figura è
espresso in volt da V(t) = 20cost, con  = 250 rad/s. La
potenza media dissipata in R vale circa
(A) 20 W
(B) 28 W
(C) 40 W
(D) 65 W
(E) _______
V(t)
R=10
L=0.1H
V2
V02
400


W  20 W . L’induttanza
SOLUZIONE. La potenza media dissipata in R è
R
2  R 2  10
non ha effetto sulla potenza dissipata in R (determinata da V(t)) ma influenza l’angolo di fase tra
voltaggio e corrente del generatore.
9.4. Un’induttanza L = 0.2 H è percorsa da una corrente sinusoidale di ampiezza massima I0 = 10 A.
L’energia immagazzinata mediamente nell’induttanza vale
(A) 50 J
(B) 20 J
(C) 10 J
(D) 5 J
(E) 2.5 J
SOLUZIONE. Il valore efficace della corrente è
√
e l’energia immagazzinata mediamente nell’induttanza vale
9.5. Un’induttanza in serie a una resistenza R = 100  è collegata a una presa elettrica
(VRMS = 220 V, frequenza = 50 Hz). Se un voltmetro legge una caduta di tensione efficace ai capi
della resistenza pari a V = 158 V, l’induttanza vale circa
(A) 0.1 H
(B) 0.2 H
(C) 0.3 H
(D) 0.4 H
(E) 0.5 H
SOLUZIONE. L’impedenza del circuito vale in modulo
Z  R 2  L 
e la corrente efficace che percorre il circuito vale
2
| |
Ai capi della resistenza il voltmetro legge una caduta di tensione efficace pari a
| |
√(
√
)
√(
)
9.6. Un generatore di voltaggio sinusoidale V (t )  V0 cos
2
2t
di resistenza interna trascurabile,
T
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TUTORATO 9: CIRCUITI IN A.C.
ampiezza V0 = 311 V e periodo T = 50 ms è collegato al tempo t = 0 a una induttanza L = 0.120 H.
Se la corrente iniziale nell’induttanza è IL(0) = 0, dopo t* = 1 ms l’induttanza possiede una energia
di circa (in J)
(A) 0
(B) 0.265
(C) 0.327
(D) 0.401
(E) _______
SOLUZIONE. L’impedenza del circuito vale in modulo | |
massimo della corrente che attraversa il circuito è quindi
con
. Il valor
| |
e, poiché IL(0) = 0, la corrente che percorre l’induttanza segue la legge ( )
L’energia dell’induttanza per t* = 1 ms è quindi
(
)
(
(
)
)
(
(
(
).
)
)
2t
con ampiezza V0 = 311 V e periodo T = 20 ms è collegato a
T
un’induttanza L = 300 mH in serie con una resistenza R = 100 . La potenza media erogata dal
generatore vale
(A) 106 W
(B) 146 W
(C) 256 W
(D) 694 W
(E) ______
9.7. Un generatore V (t )  V0 cos
SOLUZIONE. L’impedenza del circuito vale in modulo
Z  R 2  L 
e la corrente massima erogata dal generatore vale
V0
I0 
2
R 2  L 
La potenza media erogata dal generatore è tutta quella dissipata sulla resistenza R, unico elemento
dissipativo del circuito:
2
⟨
⟩
⟨
⟩
(
)
(
Allo stesso risultato si può giungere utilizzando il fattore di potenza
del circuito:
⟨
⟩
⟨
( )
)
)
reattanza
( )
( )⟩
( )
(
|Z|
| |

L
resistenza
R
3
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TUTORATO 9: CIRCUITI IN A.C.
9.8. Nel circuito della figura si ha VG(t) = 10cost volt con
 = 1000 rad/s, R = 20 , C = 15 F, L = 30 mH. La potenza
media dissipata in R vale
(A) 0.57 W
(B) 1.54 W
(C) 2.50 W
(D) 4.20 W
(E) 4.86 W
R
A
VG(t) 
L
B
C
SOLUZIONE. L’impedenza del circuito Ztot è la somma delle impedenze dei 3 elementi circuitali:
(
|
|
√
(
)
)
La corrente massima che attraversa il circuito è quindi
|
|
√
(
)
e la potenza media dissipata in R vale
⟨
⟩
(
(
) )
9.9. Con riferimento al problema precedente, il massimo valore della differenza di potenziale VAB ai
capi dell’induttanza è
(A) 2.3 V
(B) 7.2 V
(C) 13.7 V
(D) 14.8 V
(E) 28.3 V
SOLUZIONE. Nel circuito circola una corrente oscillante di tipo
( )
(
)
dove l’angolo  è l’angolo di sfasamento fra la corrente I e la tensione V.
La differenza di potenziale ai capi dell’induttanza è
( )
( )
(
)
che assume un valor massimo pari a
√
(
)
9.10. Un voltaggio alternato V(t) = V0cost volt alla frequenza di rete
(50 Hz) e ampiezza V0 = 100 V è applicato al circuito della figura. L’energia V
~
immagazzinata in media nell’induttanza è pari a circa (in J)
(A) 0
(B) 0.1
(C) 0.25 J
(D) 0.51 J
(E) ___
R=10
SOLUZIONE. Poiché R ed L sono in parallelo, ai loro capi vi è la stessa differenza di potenziale
pari a quella erogata dal generatore. Pertanto deve essere
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
⇒
L’energia media immagazzinata nell’induttanza è quindi
4
L=0.1H
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⟨
⟩
TUTORATO 9: CIRCUITI IN A.C.
⟨ ( )⟩
(
)
(
)
9.11. Il circuito della figura con R = 2 k e C = 1 F è collegato alla presa
dell’impianto elettrico (voltaggio sinusoidale con periodo T = 20 ms e
VRMS = 220 V); la potenza dissipata in R vale
(A) 12.1 W
(B) 24.2 W
(C) 48.4
(D) 96.8 W
(E)____ W
SOLUZIONE. L’impianto elettrico eroga tensione secondo la legge
( )
(
)
(
√
e in R si dissipa una potenza media pari a
⟨ ( )⟩
VRMS=220V

R
C
)
V(t)=Vocost
9.12. Dato il circuito del disegno, tra le seguenti affermazioni riguardanti il fattore di
potenza cos ( = angolo di sfasamento tra corrente I(t) e tensione V(t) del
R

generatore)
I(t)
I. cos diminuisce se R aumenta
II cos è indipendente da R
III cos diminuisce se C aumenta
IV cos diminuisce se Vo aumenta
V cos diminuisce se  aumenta
sono vere
(A) I, III
(B) II, IV
(C) nessuna
(D) V
(E)I, III, V
C
SOLUZIONE. Utilizzando le ammettenze (collegamento in parallelo), troviamo l’ammettenza
totale del circuito e diamo la rappresentazione polare:
suscettanza
Si ha dunque:
|Ytot|
( )
|
|
|
|
√
(
C
)
Pertanto: al crescere sia di R, sia di C, sia di  cos diminuisce: I,
III, V vere, e II falsa. IV falsa perchè il fattore di potenza è una
caratteristica intrinseca del circuito di carico a una data frequenza e
non dell’alimentatore ideale.

conduttanza
1/R
9.13. In un circuito RLC in parallelo collegato alla presa ENEL
VG(t)  R
L
VG (t )  311 cos314  t  volt  la potenza media erogata è
<WG> = 100 W e l’angolo di sfasamento corrente-tensione è  =+30°.
Se C = 29 F, la resistenza R vale circa (arrotondare)
(A) 100 
(B) 300 
(C) 500 
(D) 800 
(E) ______
5
C
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TUTORATO 9: CIRCUITI IN A.C.
SOLUZIONE. L’ammettenza del circuito è
(
)
e la massima corrente erogata dal generatore vale quindi
| |
La potenza media erogata dal generatore ci consente di ricavare il valore del modulo
dell’ammettenza del circuito:
⟨
⟩
⟨
( )
( )
( )⟩
|
|
( )
|
|
⟨
⟩
( )
Deve anche valere la relazione
( )
|
|
|
|
|
( )
⟨
|
( )
⟩
( )
9.14. Nel circuito RLC dell’esercizio precedente, l’induttanza L vale circa
(A) 1 H
(B) 2 H
(C) 0.4 H
(D) 4 H
SOLUZIONE. Trattando la parte immaginaria dell’ammettenza,
deve essere
|
|
(E) ______
suscettanza
( )
|
|
|Ytot|
( )
C1/(L)
(
(
|
|

( ))
√
conduttanza
)
1/R
9.15. Un generatore V(t) = V0cost con V0 = 6 V e  = 103 rad/s eroga una potenza media
<WG> = 0.12 W quando ai suoi morsetti sono collegate in parallelo una resistenza R e una
induttanza L. Affinché il fattore di potenza sia maggiore di 0.5 l’induttanza deve essere almeno pari
a
(A) 87 mH
(B) 112 mH
(C) 147 mH
(D) 200 mH
(E) 242 mH
SOLUZIONE. L’ammettenza del circuito è
La potenza media erogata dal generatore ci consente di ricavare il valore massimo del modulo
dell’ammettenza del circuito:
⟨ ⟩
⟨ ⟩ ⟨ ( ) ( )⟩
( )
| |
( )
| |
6
isica generale II, a.a. 2013/2014
TUTORATO 9: CIRCUITI IN A.C.
Trattando la parte immaginaria dell’ammettenza, deve essere
|
{
|
( )
( )
|
√
|
√
|
√
|
√
9.16. Un’induttanza L = 53 mH, una resistenza R = 10  e un condensatore C = 65 F sono
collegati in serie a un generatore di corrente alternata con Veff = 25 V.
La frequenza propria di risonanza del circuito vale
(A) 234 s–1
(B) 86 s–1
(C) 14 s–1
(D) 174 s–1
(E) 8.6 s–1
SOLUZIONE. L’impedenza del circuito vale
(
)
La frequenza di risonanza del circuito corrisponde all’annullamento del fattore di potenza, cioè
della parte immaginaria dell’impedenza. Imponendo questa condizione si trova
√
√
√
9.17. Con riferimento al problema precedente, la corrente efficace circolante in condizioni di
risonanza vale
(A) 2.5 A
(B) 5 A
(C) 10 A
(D) 12.5 A
(E) ____
SOLUZIONE. La corrente efficace circolante in condizioni di risonanza vale
9.18. Nel circuito della figura si ha VG(t) = 31.6cos t con
 = 1000 rad/s; R = 20 , C =50 F, L = 0.03 H. La potenza media
dissipata in R vale
(A) 2.5 W
(B) 10 W
(C) 20 W
(D) 80 W
(E) ________
SOLUZIONE. L’ammettenza del ramo LC vale (L//C)
(
e il suo reciproco, cioè l’impedenza del ramo LC, vale
L’impedenza totale del circuito (R in serie al ramo LC) vale
il cui modulo è
7
)
A
R
VG(t) 
C
L
isica generale II, a.a. 2013/2014
|
|
√
(
)
TUTORATO 9: CIRCUITI IN A.C.
√
(
)
√
(
)

√
La massima corrente emessa dal generatore è quindi
|
|
√
|
|
e la potenza media dissipata su R è
⟨
⟩
9.19. Con riferimento al problema precedente, il massimo valore della differenza di potenziale ai
capi di L vale circa
(A) 14.1 V
(B) 30.0 V
(C) 28.3 V
(D) 60.6 V
(E) _____V
SOLUZIONE. In corrispondenza del nodo A deve essere:
(
)
(
)
(
)
dove IG è la corrente erogata dal generatore e V il potenziale del nodo A rispetto alla terra. Si ha
dunque
9.20. Nella figura V = V0cost, con V0 = 311 V,  = 314 rad/s,
R = 25 , L = 100 mH e C = 40 F. La potenza media dissipata su R
vale
(A) 792 W
(B) 750 W
(C) 45.3 W
(D) 483 W
(E) 375 W
R
V 
C
SOLUZIONE. La corrente che circola nel ramo RL è
il cui valor massimo è
|
|
√
La potenza media dissipata su R è quindi
⟨
⟩
9.21. Con riferimento al problema precedente il fattore di potenza cos() del circuito vale
(A) 1.000
(B) 0.975
(C) 0.913
(D) 0.744
(E) ______
8
L
isica generale II, a.a. 2013/2014
TUTORATO 9: CIRCUITI IN A.C.
SOLUZIONE. L’ammettenza totale del circuito (C // R+L) è
(
)
quindi
(
( )
)
(
(
(
(
(
))
))
(
))
(
)
2t
con ampiezza V0 = 311 V e periodo
T
T = 20 ms è collegato al circuito di resistenze e condensatore della figura con
R1 = 100 , R2 = 300 , C = 30 F. L’ampiezza massima della corrente che
circola nel condensatore vale
(A) 0.60 A
(B) 0.84 A
(C) 1.07 A
(D) 1.79 A
(E) 2.53 A
9.22. Un generatore V (t )  V0 cos
R1
A
V(t)
C
R2
SOLUZIONE. L’ammettenza del ramo R2C vale (R2//C)
|
|
√(
(
)
)
(
√
)
L’impedenza totale del circuito è
|
(
)
(
|
(
)
(
)
che vale in modulo
|
|
√(
(
)
)
(
Sostituendo i valori numerici con
si trova

|
|
e la corrente massima erogata dal generatore è
9
(
)
)
)
isica generale II, a.a. 2013/2014
TUTORATO 9: CIRCUITI IN A.C.
|
|
In corrispondenza del nodo A deve essere:
(
)
(
)
dove IG è la corrente erogata dal generatore e V il potenziale del nodo A rispetto alla terra. Si ha
dunque
|
√
|
(
√(
(
)
)
√
(
)
)
Deve quindi essere
| |
9.23. Con riferimento al problema precedente, l’ampiezza massima del voltaggio ai capi della
resistenza R1 vale circa
(A) 190 V
(B) 243 V
(C) 256 V
(D) 264 V
(E) 288 V
SOLUZIONE. L’ampiezza massima del voltaggio ai capi della resistenza R1 vale
10