Offerta di assicurazione con informazione

Rischio
In un sistema (economico) un’ampia varietà di eventi incerti possono determinare la ‘ricchezza’ di
uno o più individui del sistema.
Alcuni esempi rappresentativi:
- il verificarsi di un terremoto
- l’estrazione di un determinato numero del lotto
- l’errore di valutazione ad un esame da parte del docente
- il furto di un’automobile
- il verificarsi di un incidente stradale
- la diffusione di un virus
- la manifestazione di una malattia genetica
- la dinamica dei corsi azionari
- i millimetri di pioggia caduti in una determinata area
La natura del rischio
Se proviamo a classificare gli effetti di questi eventi troviamo differenze significative:
- alcuni eventi possono aumentare o diminuire la ricchezza iniziale (rischi
finanziari) altri possono solo ridurla (rischi assicurativi);
- alcuni eventi determinano la ricchezza di uno specifico individuo, altri di una
collettività; inoltre, alcuni eventi sono correlati con altri analoghi, altri no;
- alcuni eventi possono essere influenzati nella loro probabilità di verificarsi, altri
possono essere influenzati nella severità dei loro effetti, altri hanno natura
totalmente esogena;
- se influenzabili, alcuni eventi possono essere influenzati da parte di chi poi ne
sperimenta gli effetti, altri da parte di terzi.
La valutazione sociale dell’allocazione del rischio
Poiché i soggetti economici sono abitualmente non indifferenti al rischio, la loro utilità è influenzata
dal profilo di rischio cui sono sottoposti, in quanto i piani di consumo e i piani di produzione
risultano aleatori
L’attitudine al rischio dei soggetti economici
Le imprese e i consumatori sono in grado di alterare il profilo di rischio cui sono sottoposti:
- svolgendo attività di “consumo”
- investendo in mitigation, cioè producendo prevenzione/protezione
- facendo risk trading sui mercati (assicurativi e finanziari)
Le allocazioni (ammissibili) efficienti dei rischi in linea di principio sono differenti dalle “dotazioni di
rischio” iniziali
TEORIA DELLA OFFERTA DI ASSICURAZIONE
L’assicurazione è un’istituzione economica che assume rischi.
Quali tipi di rischio e a quali condizioni? Esistono altre possibilità di riallocare i rischi in un sistema
economico (ad es. la “mutualizzazione”)?
La tecnologia di una compagnia assicurativa si fonda su due principi:
– la riallocazione del rischio ne altera il valore aggregato (il che consente di mettere in opera un
meccanismo di risk spreading);
– la distribuzione di probabilità delle perdite aggregate è diversa dalla distribuzione di probabilità
delle perdite individuali (il che consente di mettere in opera un meccanismo di risk pooling);
La compagnia assicurativa, in particolare, rappresenta una molteplicità di individui che assumono i
rischi in capo ad un gran numero di soggetti economici
Concretamente, un contratto assicurativo prevede che in cambio di un premio (prezzo) la compagnia
assicurativa garantisca una prestazione risarcitoria contingente
RISCHIO SINGOLO E INFORMAZIONE SIMMETRICA
Il modello più semplice prevede di considerare il generico individuo i dotato di ricchezza Wi > 0
e sottoposto ad un rischio rappresentato dalla variabile casuale ŷi
ŷi misura la perdita di ricchezza del consumatore ed è distribuita in qualche modo sul supporto
[0, Li], Li ≤ Wi
Il contratto assicurativo è condizionato unicamente ad y, realizzazione della variabile casuale ŷ, e
prevede una prestazione I(y) a fronte del pagamento di un premio P
Si assume 0 ≤ I(y) ≤ y e I′ ≥ 0
(I(y) ≤ y per l’indemnity principle)
Sia la distribuzione che la realizzazione di ŷ sono conoscenza comune
RISK POOLING/1
–
–
–
L’assicuratore ha attivo un contratto di copertura con ognuno di n individui
Assumiamo copertura completa (una distribuzione uniforme di forme di copertura
condurrebbe allo stesso risultato)
Assumiamo ŷi distribuita identicamente e indipendentemente con media μ e varianza
σ2 (finita)
→
Cov[ŷi , ŷj]= 0 ∀ i, j = 1, .. n, i≠j
La proprietà della somma di variabili casuali i.i.d. prevede che ŷn = Σ ŷi sia ancora una
variabile casuale con media n μ e varianza:
E[(Σ ŷi – n μ)2] = E[(Σ (ŷi – μ)2] = Σ E[(ŷi – μ)2] = n σ2
cioè la deviazione standard √n σ è strettamente concava in n.
Se l’assicuratore raccoglie premi pari a n μ raggiunge il break-even in valore atteso.
μ si definisce quindi fair o puro
RISK POOLING/2
–
Naturalmente in ogni periodo la realizzazione di ŷn, yn, sarà maggiore o minore di n μ,
indipendentemente dal numero dei contratti in essere visto che la varianza n σ2 è
positiva e cresce con n
–
Per ridurre a zero la probabilità di fallimento, l’assicuratore dovrebbe dotarsi di riserve
patrimoniali Rmax = n (L – P)
–
La probabilità di dover pagare risarcimenti pari a nL è tuttavia molto bassa e il capitale
è costoso. L’assicuratore (il regolatore) “si accontenta” perciò di una ruin probability ρ
cui si associa un livello di riserve patrimoniali R(ρ) tale per cui:
Pr[ŷn> R(ρ)+nP] = ρ
RISK POOLING/3: LA LEGGE DEI GRANDI NUMERI
E I RISARCIMENTI / RISERVE PER CONTRATTO
–
–
–
–
Se considero una particolare realizzazione di sinistri [y1, y2, …, yn], essa può essere
vista come un random sample da una distribuzione con media μ e varianza σ2
Se ў è la media campionaria (o risarcimento medio, Σyi/n), la legge dei grandi numeri
dice che ∀ε > 0, lim n→∞ Pr[|ў – μ|<ε]=1. Ciò significa che per un numero di
contratti sufficientemente grande, la probabilità che il risarcimento per contratto cada
al di fuori di un intorno di μ adeguatamente piccolo è trascurabile
La varianza di ў infatti è:
E[(1/n Σ ŷi – μ)2] = E[1/n2 (Σ (ŷi – n μ)2] = 1/n2 E[(Σ (ŷi – n μ)2] = n σ2/n2 = σ2/n
che tende a zero per n che tende a infinito
Possiamo interpretare questa proprietà come una forma di economia di scala:
nonostante la varianza dei risarcimenti aggregati cresca con il numero di contratti, cioè
le riserve devono aumentare in valore assoluto per mantenere la ruin probability, le
riserve per contratto tendono a zero al crescere della dimensione dell’assicuratore
RISK SPREADING/1: TEOREMA DI ARROW-LIND
La compagnia assicurativa è una “associazione” di N individui (azionisti) avversi al rischio
supposti uguali, sia nell’attitudine al rischio u(·) sia per il reddito W (eventualmente
aleatorio, definito come reddito al netto di quello del business assicurativo)
– Ognuno riceve s = 1/N dei profitti dell’impresa
– Cosa succede al variare di N e in particolare sotto che condizioni è lecito supporre che
al crescere di N diminuisca il premio per il rischio che gli azionisti richiedono,
determinando quindi premi decrescenti? In questo caso avremmo un secondo tipo di
economia di scala
–
–
Sia Ž ∈- la variabile aleatoria che individua il risarcimento aggregato che la
compagnia assicurativa deve corrispondere e E[Ž] il suo valore atteso
Definiamo come R il premio aggregato che gli assicurati versano alla compagnie e r =
sR. Il vincolo di partecipazione per ognuno degli azionisti è
E[U(W + s Ž + r)] = E[U(W)]
r che risolve l’equazione sopra è quindi il minimo profitto certo che incentiva ogni
azionista ad assumersi il rischio degli assicurati. Ovviamente r = r(s)
RISK SPREADING/2: TEOREMA DI ARROW-LIND
–
–
Ovviamente al tendere di N a infinito, r tende a zero
Ma si può dimostrare un’altra proprietà, meno ovvia, e cioè che R = r(s)/s tende a – E[Ž]
per N che tende ad infinito (cioè per s che tende a 0)
–
Dal teorema della funzione implicita abbiamo che d r(s)/d s = – E[∂U/∂s]/E[∂U/∂r],
(
(
cioè
′
[ (
[ (
)]
)]
dr
E U W + sZ + r Z
=−
(
′
ds
E U W + sZ + r
–
Considerando il limite di r(s)/s per s che tende a zero (N che tende a infinito) e
applicando la regola di Hôpital
(
(
(
r( s )
dr( s )/ ds
E[U′(W + sZ + r )Z]
E[U′( W )Z]
= lim
= lim −
=−
=
lim
(
′
′
[
]
(
)
(
)
+
+
[
]
s
ds
/
ds
E
U
W
s
Z
r
E
U
W
s →0
s →0
s →0
(
(
E[U′( W )]E[Z] − Cov [U′( W ), Z]
=−
E[U′( W )]
RISK SPREADING/3: TEOREMA DI ARROW-LIND
–
Ma se la covarianza tra il reddito derivante dalla proprietà della compagnia assicurativa e il
reddito residuo è nulla (il che è ovviamente sempre vero quando il reddito residuo è
certo), allora
(
r( s )
= − E[Z]
lim
s →0 s
cioè i premi aggregati R richiesti dalla compagnia assicurativa finiscono per coincidere con
il valore atteso dei risarcimenti (naturalmente abbiamo normalizzato a 0 il valore di tutti
gli altri costi diversi dai risarcimenti), ovvero l’azionista si comporta come individuo
indifferente al rischio
LA STRUTTURA DEL PREMIO E I CARICAMENTI
L’assicuratore svolge un’attività istituzionale di investimento dei premi raccolti (ciclo inverso di
produzione) e delle riserve patrimoniali, e inoltre i costi di produzione non sono nulli
La forma più generale per il premio è il funzionale: P[I(⋅)] = E[I(ŷ) + c[I(ŷ)]]
La c(⋅) è una funzione di costo latu sensu, che comprende tutti i costi dei fattori (compreso il costo
della riserva patrimoniale), gli eventuali extra-profitti e i proventi dagli investimenti. Potrebbe quindi
anche assumere valore negativo
Il premio è quindi fair quando c(⋅) = 0
Se consideriamo un indennizzo lineare – o co-insurance, cioè I(y) = α y con 0 ≤ α ≤ 1 – ed
assumiamo costi proporzionali (il che non è indolore):
P[α] = E[α ŷ + λ α ŷ] = α (1 + λ) E[ŷ]
dove λ prende il nome di “loading factor” o “caricamento”
NB Il classico indicatore di redditività assicurativa, il loss ratio, ha valore atteso 1/(1+λ)
La ricchezza terminale dell’assicurato è dunque: Ŷ = W – α (1 + λ) E[ŷ] – ŷ + α ŷ
NB Se α = 1, Ŷ non è stocastica