Elisa Battistoni
Esercitazione: la scelta del consumatore
Esercitazione: la scelta del consumatore.
Esercizio.
La funzione di utilità di un consumatore è u(x1, x2 ) = x12 x2 . Il prezzo del bene 1 è
p1 = 1 , il prezzo del bene 2 è p2 = 3 ed il reddito del consumatore è m = 180 .
Determinare il paniere ottimo (x1 *, x2 * ) per il consumatore.
Soluzione.
Nel punto di ottimo il paniere scelto dal consumatore si trova sulla curva di
indifferenza più alta raggiungibile con il suo vincolo di bilancio (vdb): in altri termini,
nel punto di ottimo il vdb del consumatore è tangente ad una delle curve della sua
mappa di indifferenza. Poiché le due curve sono tangenti, in quel punto dovranno
essere caratterizzate dalla stessa pendenza.
La pendenza di una curva di indifferenza è espressa da MRS, ossia dal rapporto fra le
utilità marginali, mentre la pendenza del vdb è espressa dal rapporto fra i prezzi dei
due beni.
Nel punto di ottimo deve, quindi, essere verificata la seguente relazione:
MRS2,1 =
UM2
p
∆x1
= −
= − 2
∆x2
UM1
p1
Nel caso specifico si ha:
vincolo di bilancio:
p1x1+p2x2=m
x1+3x2=180
La pendenza del vdb è
−
p2
= −3
p1
La pendenza di una delle curve di indifferenza della mappa è, invece, data da:
1
Elisa Battistoni
Esercitazione: la scelta del consumatore
MRS2,1 =
∆x1
UM2
= −
∆x2
UM1
Nel caso specifico si ha:
UM1=2x1x2
UM2=x12
Perciò nel punto di ottimo per il consumatore deve essere:
MRS2,1 =
UM2
p
∆x1
= −
= − 2
∆x2
UM1
p1
x12
−
= −3
2 x1x2
x1
= 3
2x2
x1=6x2
Nel punto di ottimo del consumatore, quindi, il consumo del bene 1 sarà sei volte più
grande del consumo del bene 2.
Inoltre, il paniere di consumo ottimale deve essere un paniere ammissibile per il
consumatore, ossia deve trovarsi sul suo vdb. Perciò deve valere:
x1 + 3x2 = 180
x1 = 6 x2
9 x2 = 180
x1 = 6 x2
x1 * = 120
x2 * = 20
Il paniere ottimale di consumo è (x1*,x2*)=(120,20). In corrispondenza di questo
paniere il consumatore ha l’utilità massima che può raggiungere con il suo vdb,
corrispondente a
u*=u(x1*,x2*)=x1*2x2*=120220=288.000
2
Elisa Battistoni
Esercitazione: la scelta del consumatore
Esercizio.
Emiliano ha un saggio marginale di sostituzione per la pizza ed il gelato pari a -2. Il
prezzo di una pizza è 8€, il prezzo di un gelato è 3€ ed il reddito settimanale di
Emiliano è 40€. Determinare il punto di scelta ottima di Emiliano.
Soluzione.
I metodo
Il saggio marginale di sostituzione di Emiliano fra pizza e gelato è costante: i due beni
sono, perciò, perfetti sostituti e la mappa di indifferenza è costituita da rette
inclinate negativamente.
Si ipotizzi che la generica funzione di utilità che descrive la mappa di indifferenza
abbia equazione
u(xp,xg)=axp+bxg
con a e b costanti positive e non note.
Poiché il saggio marginale di sostituzione fra pizza e gelato vale -2 si ha:
MRSp,g =
∆ xg
∆xp
= −
UMp
UMg
= −
a
= −2
b
Si può, quindi, ipotizzare che sia a=2 e b=1 (ma anche che sia a=4 e b=2, etc.). In tal
caso la generica funzione di utilità diventa:
u(xp,xg)=2xp+xg
Fra tutte le curve di indifferenza appartenenti alla mappa Emiliano sceglierà quella più
alta raggiungibile con il suo reddito.
Il vincolo di bilancio di Emiliano è
3xg+8xp=40
e corrisponde alla curva in rosso nella figura sottostante
3
Elisa Battistoni
Esercitazione: la scelta del consumatore
xp
xg
Come si può notare dalla figura in questo caso non esiste un punto di tangenza fra
vincolo di bilancio e mappa di indifferenza che possa aiutare nella determinazione del
punto di consumo ottimale: il vincolo di bilancio e le curve di indifferenza, infatti, sono
rette con inclinazione differente e, quindi, mai tangenti fra loro.
Il vincolo di bilancio interseca diverse curve di indifferenza, ma la più alta (cioè quella
ad utilità maggiore) viene raggiunta quando Emiliano consuma solo gelato: in questo
caso tutto il reddito di Emiliano sarà allocato sull’acquisto del gelato e si avrà
xp = 0
3xg = 40
xp = 0
xg = 13,3
In corrispondenza di questo punto di consumo, l’utilità di Emiliano sarà
u(xp,xg)=2xp+xg
u(0;13,3)=2*0+13,3=13,3
N.B.: in generale per i beni perfetti sostituti sia le curve di indifferenza, sia il vincolo
di bilancio del consumatore sono rette inclinate negativamente. Sono, quindi, possibili
tre differenti casi:
1.
il vincolo di bilancio ha pendenza maggiore della mappa di indifferenza.
x2
x1
4
Elisa Battistoni
Esercitazione: la scelta del consumatore
In questo caso la curva di indifferenza ad utilità maggiore si raggiunge nel punto
di intersezione fra il vincolo di bilancio e l’asse verticale: in altri termini, il
consumatore sceglierà di consumare solamente il bene 2 ed il paniere ottimo sarà
(x1,x2)*=(0;m/p2)
2.
il vincolo di bilancio ha pendenza minore della mappa di indifferenza.
x2
x1
In questo caso la curva di indifferenza ad utilità maggiore si raggiunge nel punto
di intersezione fra il vincolo di bilancio e l’asse orizzontale: in altri termini, il
consumatore sceglierà di consumare solamente il bene 1 ed il paniere ottimo sarà
(x1,x2)*=(m/p1;0)
3.
il vincolo di bilancio è parallelo alla mappa di indifferenza.
x2
x1
In questo caso la curva di indifferenza ad utilità maggiore coincide con il vincolo
di bilancio: in altri termini, tutti i panieri sul vincolo di bilancio avranno la stessa
utilità e saranno ottimi per il consumatore.
Nel caso in esame il vincolo di bilancio di Emiliano ha equazione
3xg+8xp=40
5
Elisa Battistoni
Esercitazione: la scelta del consumatore
ossia
xp = 5 −
3
xg
8
La pendenza del vincolo di bilancio è, quindi, pari a -3/8, mentre quella della mappa di
indifferenza è pari a -1/2: si tratta, quindi, del caso in cui la pendenza del vincolo di
bilancio è minore di quella della mappa di indifferenza. Come già visto il punto di
ottimo del consumatore corrisponde, perciò, al punto di intersezione del vincolo di
bilancio con l’asse orizzontale:
3xg + 8xp = 40
xp = 0
3xg = 40
xp = 0
40
= 13,3
xg =
3
xp = 0
Il punto di ottimo è
(xg,xp)=(13,3;0)
In corrispondenza del punto di ottimo l’utilità del consumatore vale:
u(xg,xp)=u(13,3;0)=2*0+13,3=13,3
II metodo
È noto che il punto di ottimo del consumatore corrisponde ad uno dei due punti di
intersezione del vincolo di bilancio con gli assi cartesiani se la pendenza del vincolo di
bilancio è uguale a quella della mappa di indifferenza: in caso contrario tutti i punti del
vincolo di bilancio saranno punti di ottimo.
Il vincolo di bilancio di Emiliano ha equazione
3xg+8xp=40
e le sue intersezioni con gli assi cartesiani sono:
A=(0;5) e B=(13,3;0)
L’utilità di Emiliano nei due punti ha i seguenti valori:
Punto A: u(xg,xp)=u(0;5)=2*5+0=10
Punto B: u(xg,xp)=u(13,3;0)=2*0+13,3=13,3
6
Elisa Battistoni
Esercitazione: la scelta del consumatore
Dal confronto fra le utilità dei due panieri rappresentati dai punti di intersezione del
vincolo di bilancio con gli assi cartesiani risulta evidente che il paniere ottimo è il
paniere B=(13,3;0).
III metodo
La funzione di utilità determinata per questi particolari beni perfetti sostituti è data
da
u(xp,xg)=2xp+xg
ed è una funzione in due variabili.
Inoltre, il vincolo di bilancio di Emiliano ha equazione
3xg+8xp=40
È possibile esplicitare una variabile dal vincolo di bilancio e sostituirla nella funzione di
utilità, in modo che quest’ultima diventi una funzione di una sola variabile. Si ha:
xp = 5 −
3
xg
8
Sostituendo nella funzione di utilità si ottiene:
3
3
1
u = u xg = 2 5 − xg + xg = 10 − xg + xg = 10 + xg
8
4
4
( )
La funzione di utilità è ora una funzione ad una sola variabile. L’obiettivo di Emiliano
diventa, a questo punto, di determinare quanti gelati acquistare per massimizzare la
propria utilità. Si noti che il problema non è più una massimizzazione vincolata in
quanto il vincolo di bilancio è stato integrato nella funzione di utilità attraverso il
rispetto della condizione
xp = 5 −
3
xg
8
L’ottimizzazione libera si effettua derivando la funzione di utilità rispetto alla sua
unica variabile. Si ha:
du
1
=
> 0
dxg
4
7
Elisa Battistoni
Esercitazione: la scelta del consumatore
La derivata della funzione di utilità rispetto alla quantità di gelati consumati è sempre
positiva: ciò significa che Emiliano sceglierà di consumare quanti più gelati possibile
compatibilmente con il suo vincolo di bilancio; inoltre, poiché il gelato e la pizza sono
beni perfetti sostituti la scelta di Emiliano di aumentare il numero dei gelati
corrisponde a diminuire la quantità di pizza consumata: Emiliano sceglierà, quindi, di
non consumare pizza. Perciò si avrà:
xp = 0
3xg + 8xp = 40
xp = 0
3xg = 40
xp = 0
40
= 13,3
xg =
3
Alla stessa conclusione si sarebbe giunti se, anziché esplicitare xp dal vincolo di
bilancio, si fosse esplicitata la variabile xg. Infatti:
3xg+8xp=40
u(xp,xg)=2xp+xg
Esplicitando xg dal vincolo di bilancio
xg =
40 8
− xp
3
3
Sostituendo nella funzione di utilità
40 2
40 8
− xp =
u = u xp = 2xp +
− xp
3
3
3
3
( )
Derivando rispetto a xp
du
2
= − < 0
dxp
3
La funzione di utilità è decrescente con la quantità di pizza consumata: Emiliano
deciderà, perciò, di diminuire al livello minimo il consumo di pizza (xp=0) e di allocare
tutto il proprio reddito in consumo di gelati. Si avrà quindi:
xp = 0
3xg + 8xp = 40
xp = 0
3xg = 40
xp = 0
40
= 13,3
xg =
3
8
Elisa Battistoni
Esercitazione: la scelta del consumatore
Esercizio.
La funzione di utilità di un consumatore è
{
u(x, y ) = min x, y 2
}
a) Determinare l’utilità del consumatore in corrispondenza dei panieri (x,y)=(4,3),
(x,y)=(4,2) e (x,y)=(5,2);
b) Determinare l’equazione del luogo geometrico costituito dai punti d’angolo delle
curva di indifferenza del consumatore;
c) Determinare l’equazione del vincolo di bilancio del consumatore nel caso in cui si
abbia px=1, py=2 e m=8;
d) Quale paniere sceglierà il consumatore in questa situazione?
e) Si supponga che px=10, py=15 e che il consumatore acquisti 100 unità del bene x.
Qual è il reddito del consumatore?
Soluzione.
a) I valori di utilità corrispondenti ai panieri dati sono:
{ }
u(4,2) = min{4,2 } = min{4,4} = 4
u(5,2) = min{5,2 } = min{5,4} = 4
u(4,3) = min 4,32 = min{4,9} = 4
2
2
I panieri dati si trovano, perciò, sulla stessa curva di indifferenza del
consumatore. In particolare, le curve di indifferenza sono quelle relative ai beni
perfetti complementi, rappresentate tramite spezzate a “L”.
b) I punti d’angolo delle curve di indifferenza dei beni perfetti complementi sono i
punti nei quali i due beni si trovano nella giusta combinazione di consumo, ossia nei
quali si ha:
{
}
u(x, y ) = min x, y 2 = x = y 2
Perciò il luogo dei punti d’angolo delle curve di indifferenza di beni perfetti
complementi è rappresentato dall’equazione
9
Elisa Battistoni
Esercitazione: la scelta del consumatore
x=y2
ed è, quindi, una parabola con asse coincidente con l’asse delle ascisse.
Naturalmente, ai fini economici si considera solo il ramo della parabola per il quale
entrambe le coordinate x e y sono non negative. In definitiva, l’equazione del luogo
dei punti d’angolo diventa
x = y 2
y ≥ 0
c) Se il consumatore acquista x unità del primo bene spende px*x, mentre se acquista
y unità del secondo bene spende py*y. La spesa complessiva del consumatore non
può eccedere il suo reddito m.
L’insieme di bilancio del consumatore è quindi
px*x+py*y ≤ m
Il vdb del consumatore rappresenta la frontiera del suo insieme di bilancio. Si ha
quindi
px*x+py*y=m
vdb:
x+2y=8
d) Il consumatore sceglie di consumare il paniere, fra quelli appartenenti al suo
insieme di bilancio, che si trova sulla curva di indifferenza più alta che può
raggiungere. Tale paniere corrisponde generalmente al punto di tangenza fra il vdb
del consumatore ed una delle curve della sua mappa di indifferenza. Nel punto di
tangenza le pendenze delle due curve devono essere uguali. Visto che la pendenza
del vdb è data dal rapporto fra i prezzi dei due beni, mentre quella della mappa di
indifferenza – corrispondente al MRS – è data dal rapporto fra le utilità marginali
dei beni stessi nel punto di tangenza deve valere la seguente relazione
MRS2,1 =
UM2
p
∆x1
= −
= − 2
∆x2
UM1
p1
Nel caso in esame, però, le curve della mappa di indifferenza sono spezzate a “L” e
per essere non può, quindi, calcolarsi la derivata dell’utilità nel punto d’angolo.
10
Elisa Battistoni
Esercitazione: la scelta del consumatore
Un metodo alternativo per giungere alla determinazione del paniere di consumo è di
imporre che contemporaneamente esso appartenga al vdb e sia punto d’angolo di
una delle curve della mappa di indifferenza del consumatore. Le due condizioni sono
rappresentate dal sistema:
y2 + 2y − 8 = 0
2
x = y
y ≥ 0
y = −1 ± 1 + 8
2
x = y
y ≥ 0
y = −1 − 3 = −4
2
x = y
y ≥ 0
y = −1 + 3 = 2
2
x = y
y ≥ 0
La soluzione y=-4 non è accettabile visto che il sistema comprende la condizione
che y debba essere non negativo. L’unica soluzione accettabile, quindi, è y=2 cui
corrisponde un livello di x dato da x=4. Il paniere scelto dal consumatore sarà
quindi (x*,y*)=(4,2) ed in corrispondenza di questo paniere il consumatore avrà
un’utilità pari a
{ }
u(4,2) = min 4,22 = min{4,4} = 4
e) Per beni perfetti complementi il punto di consumo è sempre un punto d’angolo delle
curve della mappa di indifferenza: pertanto, se il consumatore acquista 100 unità
del bene x si avrà anche un consumo di y2=100, ossia di y=10 (si ricorda che l’altra
soluzione possibile – y=-10 – non è accettabile).
Dato il livello dei prezzi dei due beni la spesa complessiva sostenuta dal
consumatore per i suoi acquisti sarà
pxx+pyy=10*100+15*10=1.150
11
Elisa Battistoni
Esercitazione: la scelta del consumatore
Poiché il paniere scelto dal consumatore deve essere il suo paniere ottimo esso
deve rappresentare il punto d’angolo della curva di indifferenza più alta che il
consumatore può raggiungere dato il suo reddito: in altri termini, il punto di
consumo deve trovarsi sul vdb. La conseguenza è che la spesa sostenuta dal
consumatore per l’acquisto deve coincidere con il suo reddito, perciò
m=1.150
12
