Esempio

Elementi di informatica
Rappresentazione dei numeri interi
Casi particolari di conversione
B1 ----------------> B2
B1 = B2k
Caso in cui la base di partenza è una potenza di ordine k
della base di arrivo
B2 = B1k
Caso in cui la base di arrivo è una potenza di ordine k
della base di partenza
1
B1 = B 2k
B1 ----------------> B2
Bisogna rappresentare ogni cifra della
rappresentazione in base B1 nelle
corrispondenti k cifre della
rappresentazione in base B2
B1 = 8; B2 = 2
k = 3 infatti 8 = 23
Ogni cifra in base B1 può essere rappresentata in base B2 con 3 cifre
Esempio
728 ------> rappresentazione in base 2?
7 28
111 010
2
B2 = B 1k
B1 ----------------> B2
B1 = 2
Raggruppare a k a k le cifre della
rappresentazione in base B1 e convertirle
k=3
in una sola cifra in base B2
B2 = 8
1101112 ------> rappresentazione in base 8?
110 1112
V6 V7
8
2
… altro esempio
101112 ------> rappresentazione in base 8?
010 1112
VV
2
78
aggiungere uno 0 per ogni cifra mancante a sinistra
(cifre più significative)
Overflow e underflow
• overflow:
overflow: tentativo di rappresentare un numero esterno
all’
all’intervallo
–
Impossibilità
Impossibilità di rappresentare il numero
Utilizzando la numerazione posizionale in base 2 un numero M
espresso su n bit potrà
potrà assumere valori compresi tre 0 ≤ M ≤2n-1
• underflow:
underflow: un numero x ≠ 0 viene rappresentato da y = 0
–
ovviamente ha senso solo nel caso in cui X è un intervallo
di numeri reali, rappresentati da Y (intervallo finito) con
un’
un’approssimazione ε
3
Aritmetica dei numeri naturali
• Algoritmi classici per la realizzazione delle operazioni
aritmetiche (noti dalle elementari)
• le regole sono le stesse per tutti i sistemi di
numerazione posizionali (non solo quello decimale):
–
–
–
per addizione e sottrazione numeri in colonna e riporto …,
per moltiplicazione e divisione uso di tavole pitagoriche
per le singole cifre …
un esempio ...
1 1 0 0 riporti
4987 +
3232
8219
Addizione in binario
La somma di due numeri naturali espressi nel sistema binario viene
eseguita con le stesse modalità del sistema decimale
Si dispongono i due numeri in colonna e si sommano tra loro le cifre (bit)
di ogni colonna, partendo dalla meno significativa (ovvero da
destra), e ricordando quanto vale la somma e il riporto di ciascuna
coppia di cifre binarie:
Tabella di addizione
Ai Bi Si
Ri
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
Ai+Bi = Si
Ri = Carry o Riporto
4
esempio
1
riporto
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
+
Sottrazione in binario
La sottrazione di due numeri naturali rappresentati in base due
viene eseguita (analogamente a quanto avviene in base dieci)
incolonnando i numeri e sottraendo tra loro le cifre in ogni
colonna, partendo dalla meno significativa (ovvero quella più
a destra), e ricordando quanto vale la sottrazione ed il
prestito di ciascuna coppia di cifre binarie
Tabella della sottrazione
Ai
Bi Si
Bi
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
AiAi-Bi = Si
Bi = Borrow o Prestito
5
esempio
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
-
borrow
Overflow
Nel caso in cui si abbia un numero limitato di bit a
disposizione , si possono avere due casi particolari di
errore:
ƒ Carry sul bit più significativo;
ƒ Borrow dal bit più significativo.
In entrambi i casi il numero di bit fissato non è
sufficiente per rappresentare il risultato.
Tale condizione si dice di overflow.
overflow.
6
Esempio di overflow
Considerando i numeri binari di 4 bit,
effettuare la somma 9 + 7.
910=10012
710=01112
1
riporto
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
+
Il risultato non è rappresentabile su 4 bit,
quindi si ha overflow
Esempio di overflow
Considerando i numeri binari di 4 bit,
effettuare la sottrazione 5 - 7.
510=01012
710=01112
1
borrow
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
-
Il risultato non è rappresentabile su 4 bit,
quindi si ha overflow
7
Operazione di scalamento a sinistra
Uno scalamento a sinistra di un numero binario
equivale ad una moltiplicazione per 2.
00101101
01011010
Inserito uno 0 in fondo
Uno scalamento di N posizioni a sinistra equivale a
moltiplicare il numero binario per 2 N .
Scalamento a destra
Uno scalamento a destra di un numero binario equivale
ad una divisione per 2.
00101101
00010110
Inserito uno 0 in cima
Scalamento a destra
Uno scalamento di N posizioni a destra equivale a
dividere il numero binario per 2 N .
8
Definizioni: numerali e numeri
Un numerale è solo una stringa di cifre
Un numerale rappresenta un numero solo se si
specifica un sistema di numerazione
Lo stesso numerale rappresenta diversi numeri
in diverse notazioni
Esempio
La stringa 110100 rappresenta:
– Centodiecimilacento in base 10
– (52)10 in base 2
– Un numero dell’ordine di vari milioni in base 16
Interi positivi e negativi
Finora abbiamo considerato solamente la rappresentazione dei
numeri positivi
Si utilizzano varie rappresentazioni per gli interi relativi
„ Modulo e segno
„ Complemento a 1
„ Complemento a 2
„…
Per rappresentare gli interi relativi, a parità di cifre si dimezza
l’intervallo dei valori assoluti
9
Rappresentazione con modulo e segno
Per rappresentare un numero con segno, si usa:
ƒ un bit per il segno: 0 per +, 1 per –
ƒ n-1 bit per il modulo
Intervallo di rappresentazione: [[-2 n-1 +1, +2 n-1 -1]
Esempio
n=4 bit intervallo [[-7,+7]
5 = 0101 -5 = 1101
Osservazioni
– Intervallo di rappresentazione simmetrico
– Problema: doppia rappresentazione dello zero (nel caso di 8 bit
10000000 e 00000000)
– Ulteriore problema: addizione e sottrazione complicata da segno
dei numeri, modulo dei numeri
Conversione da MS a numero relativo
Per effettuare la conversione si scorpora il numero in due
parti:
„ Il bit più significativo è decodificato come segno
„ Gli NN-1 bit meno significativi sono decodificati come valore
assoluto del numero relativo
10
Esempio
Convertire nei corrispondenti numeri relativi le seguenti
rappresentazioni modulo e segno:
„ 10100
„ 01110.
10100:
1: bit di segno = numero negativo
0100: valore assoluto = 4
Il numero relativo corrispondente è- 4
01110:
0: bit di segno = numero positivo
1110: valore assoluto = 14
Il numero relativo corrispondente vale +14.
... vantaggi e svantaggi
• vantaggio: coincide con la nostra usuale
rappresentazione
• svantaggio: richiede il trattamento separato di
segno e modulo: algoritmi aritmetici più
pesanti ...
... nei calcolatori, per ovviare agli svantaggi
dell’aritmetica della rappresentazione in segno
e modulo, si adottano altre rappresentazioni
...
11
Rappresentazione in complemento alla
base
Nella rappresentazione in complemento alla base si dà una
diversa attribuzione dei pesi associati alle cifre che
codificano il numero:
„ Alla cifra più alta è associato un peso negativo
„ Le cifre più basse hanno un peso positivo
Rappresentazione in complemento a 1
Si aggiunge uno 0 a sinistra alla rappresentazione dei numeri positivi
positivi
Per cambiare di segno si complementa il numerale bit a bit
• I numerali positivi iniziano per 0, i negativi per 1
• Intervallo di rappresentazione con n bit: [[-2 n-1 +1, +2 n-1 -1]
• È una notazione posizionale:
posizionale:
Pesi delle cifre: ((-2 n-1 +1)
+1) 2 n-2 ... 2 1 2 0
Esempio
n=4 bit intervallo di rappresentazione [[-7, +7]
5 = 0101
-5 = 1010 ((-7+2)
Complementare = cambiare segno
Doppia rappresentazione dello 0
12
Rappresentazione in complemento a 2
I numeri positivi hanno la stessa rappresentazione che in
complemento a 1
I negativi si ottengono sommando 1 alla loro rappresentazione
in complemento a 1
Intervallo di rappresentazione con n bit: [[-2 n-1 , +2 n-1 -1]
n
1
n
2
1
0
Pesi delle cifre: -2 2
... 2 2
Consideriamo il numero espresso in base 2
x(n(n-1)x(n(n-2) …x0
• Il bit più significativo xn-1 assume peso negativo –2 n-1
• Quindi, il valore di un numero N espresso in complemento a
2è
n−2
N = − x( n −1) 2 n −1 + ∑ xi 2i
i =0
Intervallo più esteso ma
asimmetrico una sola
rappresentazione dello 0
Rappresentazione in complemento a 2
Esempio:
n=4 bit intervallo [[-8, +7]
510=0101c2
-510 = 1011C2 (-8+2+1)
Prima regola pratica per complementare (calcolare la rappresentazione di -X a
partire da quella di X):
Effettuare il complemento di ogni bit di X ed aggiungere 1
Esempio (4 bit)
+610=0110C2
Complemento di tutti i bit: 1001
Aggiungere 1: 1001+1 = 1010 C2 = -6 10
Seconda regola pratica per complementare:
Partendo da destra si lasciano invariati tutti i bit fino al primo
primo 1
compreso, e poi si complementa bit a bit
- Gli ultimi 2 bit rimangono invariati: __10
- Complementare gli altri 2 bit: 1010 C2 = -6 10
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Conversione decimale-binario (CP1 e CP2)
Abbiamo già visto come fare se il numero X è positivo. Se il numero X è
negativo:
negativo:
– Determinare il numero minimo di bit da usare (nmin )
– Convertire il numero positivo corrispondente in notazione a nmin bit
– Complementare (a 1 o 2) il numerale così ottenuto
Esempio: convertire ((-347)10 in CP2
2 8 = 256 < 347 < 512 = 2 9
intervallo con n bit: [[-2 n-1 ,+2 n-1 -1]
pertanto n min =10
+347 in notazione a 10 bit:
-512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
0
1
0 1 0 1 1 011
complementando a 2:
- 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0
1 0 1 0 0101
In alternativa per CP2:
• Si converte in binario 2 n-1 +X
• Si mette il bit più significativo a 1
• Perché?
-1·2 n-1 + (2 n-1 +X) = X
Somma in complemento a due
Dati due numeri X e Y in complemento a due su N bit, la somma X+Y si
calcola sommando aritmeticamente tutti i bit degli addendi,
compreso quello di segno.
segno.
L’eventuale carry oltre il bit di segno viene tralasciato.
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Esempio
Calcolare ((-7) + 10 in complemento a due su 5 bit.
-7 = 11001
10 = 01010
1
11001+
01010
00011
Tralasciando il carry,
carry, il risultato vale 00011 = +3.
Differenza in complemento a due
Si può procedere in due modi:
9 Ci si riconduce al caso della somma trasformando la
differenza nella somma del primo numero con
l’opposto del secondo.
9 Si esegue la differenza usando la stessa tecnica
utilizzata per la codifica in binario puro, sottraendo
aritmeticamente tutti i bit degli addendi, compreso
quello di segno.
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Esempio
Calcolare (- 7)- 4 in complemento a due su 5 bit.
Si opera come se l’operazione fosse (- 7) + (- 4).
- 7= 11001
- 4= 11100
1
11001+
11100
10101
Tralasciando il carry, il risultato vale 10101
=- 11.
Overflow in complemento a 2
Si può verificare un overflow nell’operazione tra due
numeri in complemento a due quando si effettua la
somma di due numeri concordi o la differenza tra
due numeri discordi.
Si ha overflow quando il segno del risultato è diverso dal
segno dei due addendi.
16
Esempio di overflow
Calcolare (-12) + (-6) in complemento a due su 5 bit:
(-12) = 10100
(-6) = 11010
1
10100+
11010
01110
Si ha carry oltre il bit di segno, che viene ignorato.
Il bit di segno è diverso da quello degli addendi, dunque
la somma ha prodotto overflow.
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