ERRORE NELL`ANALISI E VALUTAZIONE DEL DATO ANALITICO

ESPRESSIONE DEL DATO ANALITICO
 E’ impossibile effettuare una analisi chimica con risultati
privi di incertezza, è quindi necessario determinare il
grado di incertezza associato alla misura per ogni
campione analizzato.
 Passaggio assolutamente necessario è stabilire quale è il
massimo errore tollerabile nella misura!
 Come si esprime una misura?
Chimica Analitica- STA- Compagnone
1
I dati
 I dati sono delle informazioni elementari che descrivono aspetti particolari di un
fenomeno
dati di un individuo: Altezza, peso, colore pelle, concentrazione composti chimici nel
sangue, composizione DNA, taglia abiti e calzature,…
 I dati possono essere qualitativi o quantitativi
 Di per se un dato non ha significato. E’ necessaria una forma di analisi che correli il
dato con qualche aspetto “significativo” del campione stesso in modo da aumentare
la “conoscenza”
p.es. per dare senso alla composizione chimica del sangue è necessario un modello del
corpo umano e delle azioni delle patologie.
dato
Informazione
analisi
Chimica Analitica- STA- Compagnone
Conoscenza
modello
2
Tipologie di dati
 Quantitativi
Valore numerico ed unità di misura
La temperatura dell’acqua è 400.0 K
 I dati quantitativi sono la base della scienza galileiana e delle cosiddette “hard sciences”: le
discipline basate su dati rigorosi connessi tra loro da modelli matematici.

 Qualitativi
Etichette, descrittori, categorie
Generalmente sono espressi verbalmente
“l’ acqua è calda”
 Dati standardizzabili e riproducibili con difficoltà (es. analisi sensoriale)


 Dati discreti:
 Range (intervallo) limitato e valori pre-definiti
 Dati continui
 Range limitato ma valori continui
I limiti strumentali possono dar luogo a discretizzazioni (p.es.conversione Analogico-Digitale)
Chimica Analitica- STA- Compagnone
3
Dati Univariati
Molti procedimenti analitici producono dati univariati in cui cioè il dato
sperimentale dipende da una sola variabile
 Misura di una singola variabile incognita
 Controllare le interferenze
 Tenere costanti tutte le condizioni sperimentali tranne la variable target
(bersaglio)
 Richiede una preparazione elaborata del campione per isolare solo la
variabile da misurare
Un dato univariato è espresso con uno scalare e una unità di misura.
La misura di una resistenza elettrica è 100KΩ
Il peso di una mela è 80g
La concentrazione di K+ in un campione di acqua è 1.02 mg/l
(procedura analitica!)
Chimica Analitica- STA- Compagnone
4
Tra gli errori che si commettono bisogna considerare quelli strumentali
©Gary Christian, Analytical Chemistry, 6th Ed. (Wiley)
pipette di vetro ed automatiche .
Chimica Analitica- STA- Compagnone
5
e dell’operatore!
©Gary Christian, Analytical Chemistry, 6th Ed. (Wiley)
Chimica Analitica- STA- Compagnone
6
Le bilance moderne sono elettroniche. Sono calibrate con masse note. Le bilance
analitiche comuni sono sensibili a 0.1 mg. Devono essere accompagnate da certificati
di taratura forniti dalle ditte produttrici.
©Gary Christian,
Analytical Chemistry,
6th Ed. (Wiley)
Bilancia analitica elettronica.
Chimica Analitica- STA- Compagnone
7
Criterio fondamentale della analisi dati
 I dati sono rappresentati in spazi vettoriali euclidei
 Ad ogni osservabile viene fatta corrispondere una dimensione dello spazio ed è associato
un vettore di base.
 Il sistema di riferimento dello spazio vettoriale è costituito da una base di vettori
ortonormali pari al numero degli osservabili descritti.
 Questa assunzione è ovvia per i dati univariati:
Rappresentazione cartesiana
Esempio: sensore di glucosio (procedura analitica semplice)
Il sensore
[mA]
•
•
Spazi delle variabili
•
•
•
Risposta strumentale
Corrente elettrica [mA]
[mg/l]
•
•
Conc. di glucosio [mg/l]
•
•
•
Chimica Analitica- STA- Compagnone
[mA]
•
Variabile da misurare
•
•
•
• [mg/l]
8
I parametri caratteristici degli strumenti:
1. La curva di risposta
 Formalmente uno strumento descrive una mappatura dallo




spazio del misurando allo spazio del segnale d’uscita.
Se questi spazi hanno dimensione 1, lo strumento è
rappresentabile attraverso una funzione V=f(M).
Questa funzione è detta risposta I/O o caratteristica dello
strumento, rappresenta il parametro fondamentale per
caratterizzarlo.
La conoscenza della curva di risposta permette di usare lo
strumento per una qualsiasi misura: dalla misura di V si
evince una stima del misurando M
La curva di risposta si ottiene attraverso un processo di
taratura.
Misurando M
strumento
Segnale V
Regione
V
non-lineare
saturazione
Regione lineare
Chimica Analitica- STA- Compagnone
M9
I parametri caratteristici degli strumenti:
2. Reversibilità
 La reversibilità esprime la capacità dello strumento di misura di seguire, con una dinamica
tipica dello strumento stesso, le variazioni del misurando.
 In particolare, uno strumento è reversibile se al cessare della sollecitazione del misurando la
risposta si annulla.
Integrale “dosimetro”
reversibile
M
M
t
V
mono-uso “disposable”
M
t
V
t
Chimica Analitica- STA- Compagnone
t
V
t
t
10
I parametri caratteristici degli strumenti:
3. Sensibilità
 La sensibilità è definita come il rapporto tra la
variazione del segnale e la variazione del
misurando.
 Definisce la capacità dello strumento di misura
di seguire le variazioni del misurando
 Matematicamente, si esprime come la derivata
della curva di risposta dello strumento
dV
S
dM
 Nella regione di non linearità, S è funzione del
misurando.
 Nella regione di linearità S è massima, perciò
sono massime le prestazioni dello strumento
Chimica Analitica- STA- Compagnone
V
M
Regione
Regione
lineare
non-lineare
saturazione
S
M 11
I parametri caratteristici degli strumenti:
4. Risoluzione
 La risoluzione è legata all’esistenza degli errori di misura e del rumore.
 Per questo motivo, il segnale del sensore non è una grandezza deterministica ma ha una
componente aleatoria: V±dV. Dove dV esprime tutti gli errori di misura
 dV è limitato inferiormente dal rumore elettronico del segnale V.
 La risoluzione esprime come l’incertezza dV si traduce in una incertezza dM sulla misura del
misurando.
Vout Vnoise
 Nella regione lineare:
resoluti on 
lim

S
Vout Vnoi se S
dM 
V±dV
tan  S 
M±dM
•
•
dV
S
dV
dM
•
M
La risoluzione dipende dalla sensibilità.
In strumenti con sensibilità più alta gli errori
di misura influiscono di meno sulla stima del
misurando.
La definizione vale anche per strumenti non
lineari, se nell’intervallo dV la curva è
assimilabile ad una retta.
Chimica Analitica- STA- Compagnone
12
I parametri caratteristici degli strumenti:
5. Limite di rivelazione
 La risoluzione calcolata per un segnale uguale a 0, definisce il limit of detection
(LOD) dello strumento.
 La definizione traduce il fatto che non può esservi misura inferiore al suo errore.
Quando l’errore di misura raggiunge il suo limite inferiore, il rumore elettronico
Vn, si ha il limite di rivelazione teorico.
 Si definisce un LODconvenzionale= (p.es 3 volte rumore di fondo )
tan  S 
Vn
LOD
Vn
LOD 
S
dV
dM
M
Chimica Analitica- STA- Compagnone
13
Analisi dati:
deterministica o statistica
 Il dato in quanto risultato di una misura è un’entità stocastica
Questo è un concetto fondamentale delle scienze sperimentali
Ripetendo N volte “la stessa misura” si ottengono N valori differenti
Se non si ottengono valori differenti lo strumento di misura ha una risoluzione non adeguata.
 Esempio:
Se si misura 5 volte la lunghezza di un asse con diversi strumenti si ottiene:
Strumento
Risoluzione
Misure [cm]
Metro da sarta
1 cm
120, 120, 120, 120, 120
Metro da falegname
1 mm
119.8, 119.9, 120.1, 120.0, 120.2
Calibro
0.1 mm
119.84, 120.31, 119.83, 120.10, 120. 34
Micrometro
0.01 mm
119.712, 120.032, 119.879, 120.320, 119.982
Interferometro laser
0.5 µm
119.9389, 120.0032, 119.8643, 119.3492, 120.2010
All’aumentare della risoluzione strumentale il dato diventa da deterministico stocastico
Chimica Analitica- STA- Compagnone
14
Analisi Statistica
 La statistica è quella parte della matematica che mette in relazione
grandezze rappresentate da distribuzioni di probabilità.
 Esempio:
La misura dell’asse precedente non ha un valore vero assoluto, ma
appartiene ad una distribuzione che fissa la probabilità che eseguita una
misura il valore sia compreso in un certo intervallo.
 Il concetto di probabilità è il concetto fondamentale della statistica. Essa è
definita come:
Pr obabilità 
casi favorevoli
casi possibili
Esempio: la probabilità tirando un dado “non truccato” di avere un valore è
1 (caso favorevole)/6 (casi possibili).
Chimica Analitica- STA- Compagnone
15
Probabilità e Frequenza
 Ogni grandezza misurabile è caratterizzata da una distribuzione di
probabilità i cui parametri sono stimabili attraverso misure sperimentali
 All’aumentare delle misure sperimentali i valori stimati approssimano i valori
reali.
 Lo stimatore, calcolato cioè a partire dai dati sperimentali, della probabilità
è la frequenza.
Frequenza 
N favorevoli
Pr obabilità 
N totali
lim
Frequenza
N totali  
Chimica Analitica- STA- Compagnone
16
Distribuzioni di probabilità (PDF)
 Data una grandezza la distribuzione di probabilità, PDF(x), è una funzione del
valore della grandezza estesa a tutti i valori possibili (da - a +).
 Per ogni valore essa definisce la probabilità di osservare il valore stesso.
 Poiché ogni strumento di misura ha una incertezza intrinseca derivante dal
metodo di misura il risultato di una misura è espresso come intervallo x±∆x. Per
cui la probabilità della misura è la somma delle probabilità di tutti i valori
compresi tra x-∆x e x+∆x:
xx
p
 PDF x dx
xx
 Ovviamente, poiché la misura esiste si ha la seguente regola di normalizzazione
della PDF


 PDF x dx  1

Chimica Analitica- STA- Compagnone
17
Esempio: Risultati di un analisi di un campione contenente 30 ppm (mg/L)
di rame(II) (Cu2+)  28.7; 30.2; 29.8; 29.5; 30.5; 30.1;
_
N
x (media-migliore stima del valore medio) = S xi / N = 29.8.
i=1
mediana = (29.8 + 30.1) /2 = 29.95
ACCURATEZZA (accuracy): indica la vicinanza del valore espresso al suo
valore vero o accettato come vero. E’ composta da PRECISIONE ED
ESATTEZZA. Si esprime come incertezza della misura (errore relativo o
assoluto).
PRECISIONE (precision): Grado di concordanza fra risultati di prova
indipendenti ottenuti con un procedimento di analisi in condizioni stabilite,
indica la riproducibilità delle misure ottenute con lo stesso metodo. Si
esprime mediante la deviazione standard (scarto tipo), la varianza o il
coefficiente di variazione ( deviazione standard relativa).
ESATTEZZA (trueness): indica la vicinanza della media dei valori ottenuti
al valore vero o accettato come vero
Chimica Analitica- STA- Compagnone
18
Errore assoluto = xi - xt;
xt = valore vero
Errore relativo = (xi - xt ) / xt  100
Esattezza scarsa
Precisione scarsa
p.es. (29.8 - 30.0) / 30.0  100 = - 0.67%
Esattezza buona
Precisione scarsa
Tipi di errore:
• errore casuale  dispersione simmetrica
dei dati
• errore sistematico (bias) media diversa
dal valore vero o accettato
Esattezza scarsa
Precisione buona
• errore grossolano  produce outliers
Esattezza buona
Precisione buona
Chimica Analitica- STA- Compagnone
19
Distribuzione degli errori casuali (o indeterminati)
a; b; c = 4; 10 e un numero grande di incertezze indeterminate (U)
Chimica Analitica- STA- Compagnone
20
Media e Varianza
 La media e la varianza sono due grandezze fondamentali per descrivere una
variabile statistica indipendentemente dalla forma funzionale della PDF.
 La media m è quel valore particolare di x per il quale si ottiene:
m


m
 PDF x dx   PDF x dx
 La varianza (s2) è una grandezza che definisce “l’ampiezza” della PDF,
definisce cioè la dispersione possibile dei valori della misura di x.
In pratica, la probabilità di x è concentrata in un intervallo di valori la cui
ampiezza
 è definita dalla varianza.
La varianza è definita attraverso la PDF come mvalore vero:
s 
2

 x  m  f x dx
2

Chimica Analitica- STA- Compagnone
21
Media Aritmetica come miglior stima del valore medio
 Data una sequenza di misure affette da errore si dimostra che la media aritmetica è una
buona stima del valore atteso della misura stessa, cioè al valore medio della PDF della
variabile misurata.
 Al crescere del numero delle misure la media aritmetica converge verso il valore medio
(valore vero m):
Dispersione quadratica media come miglior stima della varianza
 Data una sequenza di misure di x, la miglior stima della varianza della PDF che genera le
misure è data dalla dispersione quadratica media, ovvero dalle medie del quadrato della
differenza tra le singole misure ed il valore medio.
 La radice della varianza è detta deviazione standard ed è spesso usata per esprimere
l’incertezza di una misura sperimentale.
1
m  lim
N  N
N
x
i 1
i
Chimica Analitica- STA- Compagnone
1
2
s 
N
N
2


x

m
 i
i 1
22
Distribuzione Normale gaussiana
 La distribuzione di Gauss è la PDF più importante soprattutto per quanto riguarda le misure




sperimentali.
La distribuzione ha la seguente forma funzionale
Dove µ è il valor medio e s2 la varianza
La funzione è simmetrica attorno al valor medio
Il valore di s determina la larghezza della curva.
 x  m 2 


1


f x 
exp 
 2s 2 
2s


• la media cade nel punto centrale di massima frequenza
• la distribuzione delle deviazioni è simmetrica
• diminuzione esponenziale nella frequenza all’aumentare delle deviazioni (le piccole
incertezze sono osservate più spesso delle grandi)
Chimica Analitica- STA- Compagnone
23
PDF normale come somma di processi casuali elementari
Frequenza uscite da un dado a 10 facce
Due dadi
Un fenomeno è distribuito
normalmente quando è costituito
da un numero molto elevato
(tendente a infinito) di processi
casuali.
Tre dadi
Ndadi
Quattro dadi
Chimica Analitica- STA- Compagnone
24
Le curve gaussiane possono essere descritte mediante :
 la media della popolazione m
 la deviazione standard s
popolazione di dati  numero teorico infinito di misure
campione di dati  numero finito di dati
Chimica Analitica- STA- Compagnone
25
z
xm
s
•Per facilitare l’uso della distribuzione normale conviene ridurre la variabile eventuale ad una
variabile ridotta con media nulla e varianza unitaria
•In questo modo il calcolo della probabilità diventa indipendente dalla particolare natura
della variabile e possono essere usate delle tabelle generali
•Per ridurre la variabile è necessario conoscere il valore medio (µ) e la varianza (s2) della
variabile stessa
Chimica Analitica- STA- Compagnone
26
Esempio:gradi Brix in Pesche
 Supponiamo di avere misurato il contenuto in gradi brix di una popolazione di 31
pesche.
 9.80
8.00
7.70
9.50
13.70
10.20
11.50
11.20
11.50
31

9.10
11.90
13.20
12.50
1
media 
x i  11.45
31 i 1
11.30
11.60
14.60
14.30
12.80
9.20
13.70
12.50
11.30
8.30
13.20
12.10
11.20
11.90
13.70
9.90
10.40
13.20
N
1
2
2
s   xi  11.45  3.51
30 i 1
_
x tende a me s tende a s per un numero elevato di
misure
N-1 = numero di variabili indipendenti o gradi di libertà
(un grado di libertà viene usato per calcolare la media)
Chimica Analitica- STA- Compagnone
27
Gaussiana ed istogramma
 L’istogramma è una rappresentazione della frequenza con la quale in un
esperimento si è verificato un valore compreso in un intervallo x±∆x
 Poichè la frequenza approssima la probabilità, l’istogramma è una
approssimazione della PDF
10
9
8
Dati Brix nelle pesche
7
6
5
4
3
2
1
0
4
6
8
10
12
Chimica Analitica- STA- Compagnone
14
16
18
28
Tutti i parametri relativi alla precisione possono essere trovati
tramite un semplice calcolatore o foglio excel!
Inserire i dati – selezionare dalle funzioni numeriche dev. st.- sel. le caselle
con i dati
Risultati dell’analisi del campione di rame (II) (Cu2+)  28.7;
30.2; 29.8; 29.5; 30.5; 30.1;
_
x (media) = 29.8 ppm; sx = 0.639 ; sx = 0.583 (m = 30 ppm)
s2 = 0.408 ;
CV (RSD) = 0.639 / 29.8 x 100 = 2.14%
Deviazione standard relativa o coefficiente di variazione
_
RSD (CV) = (s / x )  100
attenzione alle cifre significative!
Chimica Analitica- STA- Compagnone
29
Il numero di cifre significative è il numero di cifre necessario per
esprimere i risultati di una misurazione consistenti con la
precisione misurata
Il numero 56.098 ha 5 cifre significative.
56.098 mm = 0.56098 dm = 0.056098 m sempre 5 cifre significative. Lo zero
finale è sempre significativo!
Moltiplicazione e divisione
L’incertezza dell’ultima cifra è trasmessa nelle operazioni matematiche, nel calcolo
si individua un numero chiave, quello con il minimo grado di certezza cioè con
meno cifre significative e più piccolo in valore assoluto:
35.63  0.5481  0.05300 / 1.1689 = 88.5470578
il risultato è 88.55; le altre cifre non hanno senso
se la grandezza del risultato è più piccola del numero chiave si può aggiungere una
cifra su cui però si è incerti
42.68  891 / 132.6  0.5247 = 546.57
il risultato è 547 o 546.6Chimica Analitica- STA- Compagnone
30
Addizione e sottrazione
Non si usa un numero chiave ed è importante determinare quante cifre saranno
significative.
p.es. peso formula di Ag2MoO4
15.9994
pesi atomici: Ag = 107.870; Mo = 95.94; O =
il risultato è 375.68 e si può arrotondare alla seconda (o terza) cifra decimale
prima dell’addizione
Logaritmi
Il numero su cui si deve operare e la mantissa del logaritmo hanno lo stesso
numero di cifre significative
una soluzione di 2.0 x 10-3 M di HCl ha un pH = -log[H+] = -(-3 + 0.30) = 2.70
Per aumentare l’accuratezza di una misura si può aumentare il
numero chiave (p. es. tramite pesata) o misurarlo con una cifra in più
(se possibile).
Chimica Analitica- STA- Compagnone
31
Limiti ed intervalli di confidenza (fiducia)
CL(limite di
confidenza) di una
singola misura
per m= x  zs
di una media Ndi
misure
per m= x  zs/N
Chimica Analitica- STA- Compagnone
32
spesso s non è noto ed è necessario utilizzare una piccola
serie di dati non solo per il calcolo della media ma anche
della precisione. In questo caso si usa t invece di z dove:
t = (x - m /s
il limite di confidenza per la media di N replicati diventa
_
CL per m = x  ts / N (errore standard)
t dipende sia dal livello di confidenza desiderato che dai
gradi di libertà.
I valori di t sono tabulati.
Chimica Analitica- STA- Compagnone
33
Risultati dell’analisi del campione
di rame (II) (Cu2+)  28.7; 30.2;
29.8; 29.5; 30.5; 30.1;
_
x (media) = 29.8 ppm; sx = 0.639 ;
ad un livello di confidenza all’80%
m = 29.8  1.48  0.639 / 6 = 29.8
 0.39
ad un livello di confidenza al 99%
m = 29.8  4.03  0.639 / 6 = 29.8
 1.05
Chimica Analitica- STA- Compagnone
34
Errore sistematico (bias)
• errori strumentali (p.es. variazioni nel
volume dispensato da una pipetta o nella
tensione di alimentazione di strumenti)
• errori di metodo (comportamento fisico e
chimico non ideale di reagenti e reazioni)
• errori personali (valutazione soggettiva
dell’operatore)
C’è un bias nella misura? Se mA = valore vero mB contiene un errore sistematico? Se la
differenza mA- mB è dovuta ad errore casuale, deve essere inferiore ad un valore critico , ad
un certo livello di probabilità, (ipotesi nulla ) se xv è il valore vero allora:
x  xv  ts / N
Se il valore è maggiore ho un errore sistematico, altrimenti non ho errore sistematico o è
coperto dall’errore casuale
Chimica Analitica- STA- Compagnone
35
Uso del test Q per il rigetto degli outliers (errori grossolani)
Non ha valore assoluto e bisogna utilizzarlo con attenzione!
Chimica Analitica- STA- Compagnone
36
Confronto tra due medie sperimentali
p.Es verifica del contenuto di un costituente ottenuto su due materiali identici con lo
stesso metodo. Se m1 e m2 sono le due medie
sm1  s1 N1
sd2  sm1  sm 2
2
sm 2  s2 N 2
2
Varianza della differenza tra le medie
(sd / Ntot ) 2  (s1 / N1 ) 2  (s2 / N 2 ) 2
La deviazione standard cumulativa è una
buona stima della deviazione standard totale!
Per cui
N1
scum 
2
(sd / Ntot )2  scum
N1  N 2 / N1 N 2
se la differenza è inferiore al dato
calcolato al livello di fiducia desiderato i
materiali sono identici!
N3
N2
 (x  x )   (x  x )   (x  x )
i 1
2
i
1
j 1
2
j
2
k 1
k
3
2
 ......
N1  N 2  N 3  ......  N t
Formula generale per s cumulativa
x1  x2  tscum N1  N 2 / N1 N 2
Chimica Analitica- STA- Compagnone
37
Calibrazione
 Ogni metodo analitico è descritto da una funzione caratteristica che mette in relazione la
grandezza d’uscita (segnale V) con la grandezza alla quale il metodo è sensibile
(misurando-analita x)
 Nei casi più semplici, f è lineare:
V  f (x)
V: segnale; e: sollecitazione; k: parametro funzionale del sensore
V  ke
 Il metodo è utilizzabile, cioè dal segnale si può stimare il misurando, solo quando sono noti
sia la funzione caratteristica che I parametri funzionali.
 La stima dei parametri funzionali può essere ottenuta solo effettuando una operazione di
calibrazione del metodo, cioè attraverso una serie di misure sperimentali ed applicando
una regressione statistica.
38
Stima dei parametri funzionali
 La forma funzionale della caratteristica deve essere imposta a-priori
 Le deviazioni tra forma funzionale e dati sperimentali vengono interpretate
come errori di misura.
 Per calibrare il sensore lo si deve sottoporre a sollecitazioni note. Quindi si deve
essere in grado di generare valori noti del misurando con grande precisione (uso
di standards)
 Da questa precisione dipende la bontà della calibrazione e quindi l’accuratezza
delle misure sui campioni incogniti.
 Chiamiamo regressione la stima di parametri da dati sperimentali
 La regressione è una operazione statistica necessaria a causa della presenza degli
errori di misura
 Gli errori di misura rendono le variabili misurate delle grandezze stocastiche dotate
di una distribuzione di probabilità per cui il valore realmente osservato è solo una
“occorrenza” del fenomeno.
 Il metodo generale per la regressione è il metodo dei minimi quadrati
La soluzione ottimale è quella che rende minimo l’errore quadratico.
39
Metodo dei Minimi Quadrati-Least Squares
 Siano y ed x due grandezze misurabili in relazione funzionale tra loro
y  k1  k 2 x  k3 x 2    k n x n 1
 Esempio: polinomio
 Supponiamo di aver eseguito n misure xi,yi
y  gx; k1 ,,k m
 Se non ci fossero errori di misura, la relazione funzionale y=g(x) è esatta, quindi
ci sono n equazioni per m incognite
yi  gxi ; k1 ,,k m
 N=m il sistema è risolvibile
 N>m le equazioni eccedenti n=m sono delle identità
40
 Errori di misura  la relazione funzionale non è esatta
 e: variabile aleatoria a media nulla


yi  g x  exi ; k1 ,,k m  eyi
Criterio dei Minimi Quadrati:
 Tra i valori possibili dei parametri k si scelgono quelli che rendono massima la
probabilità degli eventi osservati.
 Ipotesi 1:
L’errore di misura alla risposta del sensore (metodo analitico) è molto più grande
dell’errore con cui è nota la sollecitazione (errore di concentrazione nella
preparazione degli standards) (Non è sempre vero!)
eyi  exi
 Ipotesi 2: la variabile y ha una distribuzione gaussiana con valor medio g(x) e
varianza s
La probabilità di ogni misura è quindi:
2 

y

g
x
 i  i  
1
DPyi 
exp


2s i2
2s i


 Ipotesi 3: Gli n eventi osservati (misure) sono indipendenti tra loro (non sempre vero!).
41
 La probabilità totale dell’insieme dei dati è quindi il prodotto della probabilità dei
singoli eventi:
 La probabilità totale si chiama funzione di verosimiglianza (L)
DP y1  yn 
n
 DPyi ,k  Lyi ,k 
i 1

n
 
L y1  yn ,k 
i 1

 yi  g x i ,k
1
exp
2s i
2s i2



 
2





 tesi fondamentale dei minimi quadrati: il set di dati ha la probabilità massima.
 La probabilità massima si ottiene minimizzando la somma degli scarti tra valore

ipotetico e misure.
max DP  max L  min
n
y  gx ,k 
i 1
2s i2

2
i
i
42
 Ipotesi 4: tutte le misure hanno uguale varianza s s
 La condizione di minimo si ottiene annullando la derivata rispetto ai singoli parametri
funzionali  sistema di m equazione in m incognite.
  n
2
yi  gxi ,k1 km 


k1 i 1




n
 
2
y

g
x
,k
k

 i  i 1 m

k

 m i 1


43
Minimi quadrati
soluzione del caso lineare
yi  a xi  b
n


xi  xyi  y

a  i 1
n

 n
2
2

xi  x
yi  a xi  b  0



a


i 1

 i 1
 

n
n
n

 
2
2
xi  x xi yi

y  a xi  b  0 
b i 1 i



i 1
i 1

 b 
n
2

xi  yi 


i 1








1
dove x 
N
n

1
xi ; y 
N
i 1
n
y ;
i
i 1
44
Calibrazione su foglio .xls
Concentrazione di Fe
ppm
Assorbanza gruppo 1
Assorbanza gruppo 2
Assorbanza gruppo 3
Media
Deviazione Standard
CV%
0
-0,032
-0,040
-0,004
-0,036
0,006
-15,7
0,1
-0,021
0,001
0,019
0,010
0,013
127
0,5
0,073
0,074
0,011
14,1
0,163
0,172
0,093
0,162
0,080
1
0,166
0,006
3,32
3
0,577
0,565
0,593
0,578
0,014
2,43
6
1,232
1,182
1,219
1,211
0,026
2,14
10
1,972
1,993
1,950
1,972
0,022
1,09
20
2,000
2,000
2,000
2,000
0,000
0,00
campione
1,084
1,301
1,319
1,235
0,131
10,6
x=(y+0.0341)/0.2068
1,400
Retta di taratura
1,200
1,000
ASSORBANZA
y = 0,2068x - 0,0341
R² = 0,9997
0,800
0,600
Assorbanza campione
1,235
mg/L di Fe nel campione
6,14
Fattore di diluizione
1,82
Concentrazione reale di Fe
nel campione mg/L
11,2
mg/L di terreno nel
campione
1013
% di Fe nel terreno
1,10
0,400
0,200
0,000
0
1
2
3ppm Fe4
5
6
7
Chimica Analitica- STA- Compagnone
R2 = coefficiente di determinazione indica
la bontà della regressione rispetto al
modello. Varia tra 0 e 1; se il numero si
avvicina ad 1 il modello è corretto. Nelle
regressioni lineari è il quadrato del
coefficiente di correlazione R.
45
Correlazione lineare
 La correlazione è legata alla regressione lineare.
 In particolare una serie di misure relative a due grandezze assolutamente
correlate sono definite come:
Y
Yi  k  X i
••
•
•
•
••
X
 Nel caso di correlazione parziale si può scrivere

Yi  k  X i  ei
 Esattamente come nel caso della regressione lineare
Y
••• •
• ••
X
 La correlazione lineare esprime la deviazione dalla legge di linearità tra Y e X.

46
Coefficiente di correlazione lineare
y
R
 ( x  x) ( y  y )
 ( x  x)  ( y  y )
i
i
2
i
2
i
x
Confronto tra 2 metodi analitici
0.90 < r < 0.95
retta (correlazione) discreta
0.95 < r < 0.99 buona
r > 0.99 eccellente
47
MATERIALI CERTIFICATI DI RIFERIMENTO
materiali di cui è nota la composizione ed è certificata da
organismi internazionali
vengono usati per la calibrazione dei metodi analitici, per
valutare la performance del metodo e per controllare la
qualità del dato analitico
il loro uso consente una accuratezza migliore
CARTE DI CONTROLLO
si usano per controllare i risultati delle analisi in un
lungo periodo di tempo per evitare l’insorgenza di
errori sistematici
Chimica Analitica- STA- Compagnone
48
Carta X = media di due
ripetizioni
Carta R = differenza di due
ripetizioni
se per due volte di seguito la
misura dello standard
(o
CRM) è fuori dal livello di
allarme (p.es. 3s) o se le
misure tendono a stare
soprattutto da un lato (10-15
volte) bisogna adottare delle
procedure per la verifica del
metodo
Chimica Analitica- STA- Compagnone
49
Validazione
“Conferma
attraverso l’esame e l’apporto di evidenza oggettiva che
i requisiti particolari per l’utilizzazione prevista siano soddisfatti”
Quando?
 un metodo nuovo è sviluppato dal laboratorio
 normato ma utilizzato al di fuori del proprio scopo e campo di
applicazione prefissato (p.es altra matrice)
 le performances di un metodo devono essere migliorate
 un metodo deve essere trasferito ad un altro laboratorio
 Devo confrontare un metodo con un metodo standard
 Il controllo di qualità non è soddisfacente per tempi lunghi
DECISIONE 2002/657/CE
Classificazione dei metodi analitici
Metodi di conferma
I metodi di conferma per i residui o i contaminanti organici forniscono
informazioni sulla struttura chimica dell’analita.
I metodi basati esclusivamente sull’analisi cromatografica senza l’uso della
rivelazione spettrometrica non sono adeguati all’impiego come metodi di
conferma senza il ricorso ad altri metodi.
Se una singola tecnica non dispone di specificità sufficiente, la specificità
desiderata deve essere ottenuta per mezzo di combinazioni di tecniche.
Metodi di screening
Non danno informazioni strutturali, in caso di non conformità è necessario
analizzare il campione con un metodo di conferma
PARAMETRI CARATTERISTICI DI UN METODO
ANALITICO
campo di applicazione (misurando-matrice)
selettività-specificità
accuratezza (ripetibilità, riproducibilità,
esattezza)
incertezza
limite di rilevabilità (LOD)
limite di quantificazione (LOQ)
robustezza
PROCESSO DI MISURAZIONE
UN PROCESSO DI MISURAZIONE È IL PROCEDIMENTO PER IL QUALE, TRAMITE UNA
SERIE DI MISURE RIPETUTE, SI RESTITUISCE IL VALORE VERO DELLA MISURA (VALORE
SCONOSCIUTO)
 il valore vero è e resta sconosciuto, il processo di misurazione fornisce
semplicemente, tramite l’espressione della media aritmetica la migliore
stima del valore vero. Proprio per questo motivo il risultato analitico non
è completo ne confrontabile con risultati di altri laboratori o con valori
di riferimento, se non è accompagnato da un indicatore che quantifica le
performances con il quale è stato ottenuto.
 per “performances” o qualità si intende la dispersione dei risultati
ottenuti nella quantificazione del parametro che stima il valore vero.
L’esistenza di un incertezza associata ad una misura, non implica un dubbio sulla
validità della misura ma, al contrario, la conoscenza della stessa implica un aumento
della significatività e della validità di tutte le informazioni che il risultato fornisce
Campo di misura (validità)
 Intervallo tra il più alto e il più basso livello dell’analita determinabili con precisione ed
accuratezza applicando il metodo stesso
 Il campo di misura (validità) è espresso nella stessa unità di misura dell’analita
 Dipende dallo scopo del metodo
Specificità-Selettività analitica
Abilità di misurare accuratamente l’analita in presenza di interferenti
 Specificità: Si riferisce ad un metodo che produce una singola risposta
 Selettività: si riferisce ad un metodo che produce più risposte (metodo separativo)
Limite di rilevabilità (LdR=3*Sb/S )
•
minore quantità di analita che può essere rilevata, ma non necessariamente determinata
quantitativamente, nelle condizioni sperimentali del metodo, dipende dall’errore strumentale
Sb = deviazione standard del valore del bianco (almeno 5 campioni)
S =coefficiente angolare della curva di taratura
Limite di quantificazione
 Minore concentrazione analitica che può essere determinata quantitativamente con accettabile
precisione ed esattezza nelle condizioni sperimentali del metodo
 LdQ = 10*Sb/S
Esattezza
 Grado di concordanza tra il valore medio ottenuto a partire da un grande
insieme dì risultati di prova, e un valore dì riferimento accettato
 Confronto con un metodo analitico di ordine metrologico superiore
 Analisi di idonei materiali di riferimento certificati a diversi livelli di
concentrazione
 Confronto con i valori attesi in studi collaborativi (circuiti interlaboratorio)
 Analisi di idonei campioni costruiti aggiungendo alla matrice quantità certificate
di analita (Spike) a diversi livelli di concentrazione
Ripetibilità
 concordanza tra risultati di prova indipendenti ottenutì con lo stesso metodo su
materiali ídentici, nello stesso laboratorio, dallo stesso operatore, usando la
stessa apparecchiatura e in intervalli di tempo brevi (stessa serie analitica)
Riproducibilità
 concordanza tra risultati di prova indipendenti ottenuti con lo stesso metodo su
materiali identici, in laboratori diversi, da operatori diversi, usando
apparecchiature diverse e in intervalli di tempo diversi
Robustezza
 Insensibilità a piccole variazioni dei parametri
sperimentali
 Variazioni deliberate
% solventi organici
pH
temperatura
Flusso
Incertezza di misura
….esplicitare l'intervallo di incertezza relativo ad una misura fornisce un'indicazione
sulla qualità del risultato analitico presentato e sulle prestazioni del laboratorio per
quel tipo di prova. Questa informazione può essere utilizzata dall'utente per decidere se
affidare o meno la misura al laboratorio in funzione delle proprie esigenze analitiche.
Ad esempio, un cliente che abbia la necessità di verificare la presenza di un inquinante
in tracce nella merce di sua produzione, e verificarne la conformità con le normative
vigenti, sarà orientato verso un laboratorio che effettui la misura con un intervallo di
incertezza ristretto. Un altro può avere l'esigenza di controllare “grossolanamente” un
parametro (ad esempio un controllo di qualità o un parametro indicatore specifico di un
processo industriale ecc.) ritenendo sufficiente affidare la prova ad un laboratorio che
indichi un risultato analitico con un intervallo di incertezza piuttosto largo.
Tali argomentazioni concordano con i principi del libero mercato con cui il legislatore si
è ispirato nella stesura delle normative di settore, sfociate poi con l'emanazione delle
norme ISO 9000 ed UNI CEI 45000…..
S.De Martin, C.Del Bianco; Boll.Chim.Igien. vol.52 (2001)
Incertezza di misura
 stima legata ad un risultato di prova che
caratterizza l'escursione dei valori entro cui si
suppone che cada il valore vero del
misurando - Ha le dimensioni di uno scarto tipo
(deviazione standard) e si indica con ”U"