Congetture

TEMA n. 2: CONGETTURE
Premessa
Attività dal n. 1 al n. 6:
Destinatari: studenti dei primi due anni della scuola media superiore
Prerequisiti: Operazioni in N, Z, Q ; definizione di Zp
Attività dal n. 7 al n. 10:
Destinatari: studenti del penultimo o ultimo anno della scuola media superiore
Prerequisiti: concetto di successione
Le attività proposte hanno come obiettivo condurre gli allievi a formulare congetture, a verificarne
la validità o meno con l’ausilio di Derive, a giustificarle mediante argomentazioni o dimostrazioni.
Vengono utilizzati, in particolare, i comandi, IF(condizione, N1,N2) e vector per
esplorare alcune proprietà dei numeri primi e delle successioni numeriche, anche con il ricorso
all’ambiente grafico.
Attività n. 1: Rappresentazione decimale di numeri razionali
 Selezionare Author Expression
Scrivere 1/3 ; cliccare su OK
Selezionare Simplify Approximate e accettare il suggerimento di Derive selezionando Approximate
Scrivere cosa compare sullo schermo………………….
Selezionare di nuovo la frazione e ripetere i passaggi precedentemente richiesti, modificando il
numero di cifre visualizzate in Digit of precision . Cosa osservi?…………………..

Selezionare Author Expression e inserire:
[1/2, 1/20, 3/25, 11/40, 371/625, 17/2000]
Selezionare Simplify Approximate , portare a 30 il numero di cifre visualizzate , cliccare su
Approximate. Cosa si nota?…………………………………………………………………………
Malgrado l'opzione di visualizzare 30 cifre decimali, Derive mostra solo poche cifre.
Questo avviene perché i numeri digitati hanno un numero finito di cifre decimali
Evidenziare il vettore digitato all'inizio dell'attività e selezionare Simplify Factor e confermare
cliccando su Factor
Cosa hanno in comune i numeri dati?……………………………………………………

Ripetere l'attività precedente con l'inserimento dei seguenti numeri:
[ 1/9, 1/7, 9/11, 11/27, 29/99, 67/111]
Portare a 30 il numero di cifre visualizzate.
Se necessario, usare i tasti freccia per scorrere lungo la linea dei risultati ed esaminare i valori che
escono dallo schermo.
Si noti che si ottengono in tutti i casi rappresentazioni periodiche.
Evidenziare il vettore digitato e selezionare Simplify Factor OK.
Cosa hanno in comune i numeri dati?……………………………………………………

Ripetere l'attività inserendo:
[ 5/6, 17/30, 3/74, 11/75, 7/375, 1159/2475]
e confermando il numero di 30 cifre da visualizzare.
Se necessario, usare i tasti freccia per scorrere lungo la linea dei risultati ed esaminare i valori che
escono dallo schermo.
Si noti che si ottengono in tutti i casi rappresentazioni periodiche ma tutte fornite di antiperiodo.
Evidenziare il vettore digitato e selezionare Simplify Factor OK
Cosa hanno in comune i numeri dati?……………………………………………………
Completare:
- Se il denominatore scomposto in fattori primi ha come unici fattori 2 e 5 il numero
razionale ammette rappresentazione decimale limitata.
…………………………………………………………………………………………….
- Se il denominatore non è divisibile né per 2 né per 5……………………………………
- Se il denominatore scomposto in fattori primi ammette tra i suoi fattori 2 o 5 e almeno un
altro fattore >1 e diverso da 2 e da 5 ……………………………………………………….
Attività n.2: Verifica di congetture
Verificare con Derive che:
1) La somma dei primi n numeri naturali dispari è uguale a n2
2) La somma dei quadrati dei primi n numeri naturali è n(n  1)( 2n  1) / 6
3) Dato un numero di due cifre, scambiando di posto alle cifre si ottiene un secondo numero: la
somma dei due numeri è multiplo di 11 , la differenza è multiplo di 9
Esempio n. 1
1) Selezionare Author e digitare: 2k-1
(per indicare un numero dispari)
2) Selezionare: Calculus Sum ( Lower limit: 1; Upper limit: n)rispetto alla
variabile k . Considerare inizialmente n=10
n
3) Digitare vector(  (2k  1) , n, 1, 10), Simplify
1
n
Per copiare
 (2k  1) ,
utilizzare F3,
1
Si osserva che si ottengono tutti quadrati perfetti, quindi la congettura sembra essere vera.
4) Ripetere il procedimento con n che va da
1 a 20 e con altri valori a piacere.
5) Verificare con Derive l’esattezza della
congettura fatta.
n
Utilizzare
 (2k  1)
Semplify
1
5) Dimostrare per induzione l'ipotesi fatta. (NOTA: per gli studenti che possiedono i prerequisiti
per un’attività di dimostrazione per induzione)
Esempio n.2
Digitare: n2
Selezionare: Calculus Sum ( Lower limit: 1; Upper limit: n)rispetto alla
variabile k.
Dimostrare per induzione il risultato ottenuto con Derive.
(NOTA: per gli studenti che possiedono i prerequisiti per un’attività
di dimostrazione per induzione).
Esempio n. 3
Suggerimento: Se indichiamo con x e y le cifre del numero, i numeri possono essere scritti come
10x+y e 10y + x. Basta definire una funzione di due variabili (x e y), il cui argomento sia il primo
dei due numeri e poi …..
Dimostrare l'ipotesi fatta.
Attività n.3 Congruenze e insiemi Zp

In Derive una matrice può essere rappresentata digitando:
V(i,j):= VECTOR(VECTOR(i ,i ,1,5),j ,1 ,5)
Inoltre dati due numeri interi p e , l'istruzione MOD(p,q) dà il resto della divisione tra p e q
Per costruire una tavola della moltiplicazione in Z modulo p, si può digitare la seguente espressione:
TAV6(i, j):=VECTOR(VECTOR(MOD(i*j,6),i ,0 ,5),j
,0, 5)
Selezionare Simplify per visualizzare la tavola di moltiplicazione appena definita.
Ripetere il procedimento con la tavola della moltiplicazione in Z modulo 7.
In ciascuna tavola osserva se valgono le proprietà commutativa, associativa, se tutti gli elementi
ammettono inverso, se vale o meno la legge di annullamento del prodotto.

Ripeti il procedimento precedente con altri valori di p per studiare le proprietà di Zp(+, ·)
Attività n.4 Costruzione di numeri primi
Considerare la seguente funzione polinomiale:
f(n)= n2 n+41
Digitare
f(n):=n^2-n+41
Digitare
v:= vector(f(n),n,0,20)
Con il comando Simplify, visualizzare le componenti del vettore.
Si tratta di numeri primi? Usa Factor per scomporre le componenti del vettore.
Considerare la seguente istruzione in Derive:
primi:= Vector(IF(PRIME(ELEMENT(v,i)) = true, 1, 0 ),i , 1, 21),
dove v è il vettore precedentemente costruito.
Usare il comando Simplify.
Che cosa si può osservare? ………………………………………………………………………
Alle componenti del vettore che sono numeri primi viene associato 1 altrimenti viene associato 0.
Può essere che TUTTI i valori di f(n) siano primi per qualunque valore di n?
Attività n. 5: Numeri di Fermat
Il matematico francese Pierre Fermat suppose che la formula:
generasse solo numeri primi.
Si tratta di una congettura corretta?
2 2n  1
Attività n. 6 Numeri di Mersenne
I numeri del tipo:
2 p 1
con p primo, sono primi?
Attività n.7 : Valori di una successione assegnato il termine generico
1. Considerare la seguente successione con termine generico:
2n  1
4n  1
Studiare il suo andamento al variare di n =0,1,2,3…….
an 
Digitare: f(n):= (2n+1)/(4n+1) per scrivere il termine generico della successione
Per visualizzare le prime 21 coppie (n, f(n)) dei termini della successione, digitare:
vector([n,f(n)],n,0,20)e Simplify
In modalità Exact, compaiono valori sotto forma di frazione.
Per visualizzare nel piano cartesiano le coppie (n, f(n)), selezionare la tabella, cliccare con il mouse
sull'icona Plot, Plot .Usare il comando Scale e Cross: ricordarsi di scegliere Points/Non connected)
Che cosa puoi osservare sull'andamento della successione?
………………………………………………………………………………………………………
Visualizza la tabella [n,f(n)] in forma approssimata.
A quale valore tende an? ……………………………………………..
Attività n. 8: Successioni definite per ricorrenza
Considerare la seguente successione:
a0= k
1
k
…………………….
1
an = 1
an 1
a1 = 1
Posto k = 4, digitare f(n):= If (n=0, 4, 1-1/F(n-1)), per scrivere il termine
generico della successione..
Per visualizzare le prime 21 coppie (n, f(n)) dei termini della successione, digitare:
vector([n,f(n)],n,0,20) poi selezionare Simplify
In modalità Exact, compaiono valori sotto forma di frazione.
Per visualizzare nel piano cartesiano le coppie (n, f(n)), selezionare la tabella, cliccare con il mouse
sull'icona Plot, Plot (usare il comando Scale e Cross; ricordarsi di scegliere Points/Non connected).
Che cosa puoi osservare sull'andamento della successione?
………………………………………………………………………………………………………
Visualizza la tabella [n,f(n)] in forma approssimata.
Ripeti il procedimento per altri valori di n N, n>20
Che cosa osservi? ……………………………………………………
A quale valore tende an? ……………………………………………..
Attività n. 9: Successioni definite per ricorrenza
Considerare la seguente successione:
a0 = k
an = 1+1/an1
E' periodica? Qual è il periodo?
Studiare l'andamento della successione secondo il procedimento indicato al punto 7).
Che cosa puoi concludere?
Attività n.10: Successione di Fibonacci
Considerare la successione di Fibonacci, così definita:
F(0) = 1
F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
Studiarne l'andamento, secondo il procedimento indicato nell’attività n.8.
Digitare: f(n):= IF (n=0 or n=1, 1, f(n-2)+f(n-1))
Osservare l'andamento della successione secondo il procedimento indicato nell’attività n.8.
Studiare l’andamento della successione dei rapporti tra un termine della successione di Fibonacci e
il precedente.
Cosa puoi concludere?
Attività n. 11
Date le seguenti sequenze numeriche:
a)
b)
c)
d)
e)
0,2, 4, 6, 8, 10, ....................
1,2, 4, 8, 16, 32, ..................
1,1/2, 1/3, 1/4, .....................
1,1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ..............
1,-1, 1, -1, 1, -1, .....................
determinare la funzione di dominio N che associa ad ogni numero naturale il termine an della
sequenza indicata. Ad esempio, nella prima sequenza
N
f = ..............
an
0
2
1
4
2
6
Dopo aver determinato in ciascuno dei precedenti casi il generico valore di an, usando il comando
vector costruire la sequenza dei primi 20 termini di ciascuna successione.
Studiare l'andamento della successione secondo quanto indicato all’attività n.8