Esercitazione
5
A. Iodice
La concentrazione
Esercitazione 5
Calcolo della
misura di concentrazione
Statistica
Rappresentazione
grafica della
concentrazione
Metodo
grafico
Concentrazione
in dati
raggruppati
Alfonso Iodice D’Enza
[email protected]
Università degli studi di Cassino
A. Iodice ()
Esercitazione 5
Statistica
1 / 13
Outline
Esercitazione
5
A. Iodice
1
La concentrazione
Calcolo della
misura di concentrazione
2
Calcolo della misura di concentrazione
Rappresentazione
grafica della
concentrazione
3
Rappresentazione grafica della concentrazione
4
Metodo grafico
5
Concentrazione in dati raggruppati
La concentrazione
Metodo
grafico
Concentrazione
in dati
raggruppati
A. Iodice ()
Esercitazione 5
Statistica
2 / 13
La concentrazione
Esercitazione
5
A. Iodice
La concentrazione
Calcolo della
misura di concentrazione
Rappresentazione
grafica della
concentrazione
In caso di caratteri trasferibili è interessante considerare il grado di
vicinanza all’equidistribuzione, situazione in cui tutte le unità
detengono lo stesso ammontare del carattere. La concentrazione
indica quanto il collettivo osservato sia ’lontano/vicino’ rispetto
all’equidistribuzione. Da cui,
Metodo
grafico
la concentrazione è pari a 0 se tutte le unità detengono lo stesso
ammontare del carattere
la concentrazione è massima se l’intero ammontare del carattere
à detenuto da una sola osservazione
Concentrazione
in dati
raggruppati
A. Iodice ()
Esercitazione 5
Statistica
3 / 13
La concentrazione
Esercitazione
5
A. Iodice
La concentrazione
Calcolo della
misura di concentrazione
Rappresentazione
grafica della
concentrazione
In caso di caratteri trasferibili è interessante considerare il grado di
vicinanza all’equidistribuzione, situazione in cui tutte le unità
detengono lo stesso ammontare del carattere. La concentrazione
indica quanto il collettivo osservato sia ’lontano/vicino’ rispetto
all’equidistribuzione. Da cui,
Metodo
grafico
la concentrazione è pari a 0 se tutte le unità detengono lo stesso
ammontare del carattere
la concentrazione è massima se l’intero ammontare del carattere
à detenuto da una sola osservazione
Concentrazione
in dati
raggruppati
A. Iodice ()
Esercitazione 5
Statistica
3 / 13
Indice di concentrazione
Esercitazione
5
A. Iodice
Si consideri un carattere trasferibile (reddito, risorsa) distribuito
tra n modalità, si considerino poi pi e qi , rispettivamente:
La concentrazione
Calcolo della
misura di concentrazione
pi =
Rappresentazione
grafica della
concentrazione
Pi
i
n
j=1
qi = Pn
xj
j=1 xj
Metodo
grafico
Concentrazione
in dati
raggruppati
A. Iodice ()
Esercitazione 5
Statistica
4 / 13
Indice di concentrazione
Esercitazione
5
A. Iodice
Si consideri un carattere trasferibile (reddito, risorsa) distribuito
tra n modalità, si considerino poi pi e qi , rispettivamente:
La concentrazione
Calcolo della
misura di concentrazione
pi =
Rappresentazione
grafica della
concentrazione
Pi
i
n
j=1
qi = Pn
xj
j=1 xj
Metodo
grafico
Concentrazione
in dati
raggruppati
pi è la frazione cumulata dei primi i redditieri
qi , ammontare del reddito detenuto dai primi i redditieri
A. Iodice ()
Esercitazione 5
Statistica
4 / 13
Indice di concentrazione
Esercitazione
5
A. Iodice
La concentrazione
Calcolo della
misura di concentrazione
Rappresentazione
grafica della
concentrazione
Metodo
grafico
Le differenze (pi - qi ) ≥ 0, sono misure dirette della
concentrazione. La media aritmetica della versione
normalizzata di tali differenze rappresenta il rapporto di
concentrazione di Gini.
Pn−1 pi −qi
Pn−1
(pi − qi )
i=1 ( pi )pi
= i=1
Pn−1
Pn−1
i=1 pi
i=1 pi
Concentrazione
in dati
raggruppati
A. Iodice ()
Esercitazione 5
Statistica
5 / 13
Esempio di calcolo concentrazione
Si considerino i fatturati in milioni di euro di un collettivo di otto aziende
produttrici di componenti per auto.
Esercitazione
5
A. Iodice
La concentrazione
Calcolo della
misura di concentrazione
Rappresentazione
grafica della
concentrazione
i
xi
xi,(ord.)
1
2
3
4
5
6
7
8
154
14
16
8
164
12
20
46
8
12
14
16
20
46
154
164
434
Metodo
grafico
Concentrazione
in dati
raggruppati
Pi
j=1
xj
8
20
34
50
70
116
270
434
pi =
i
n
0.125
0.250
0.375
0.500
0.625
0.750
0.875
1
qi =
Pi
xj
Pj=1
n
j=1 xj
0.018
0.046
0.078
0.115
0.161
0.267
0.622
1
pi − qi
0.107
0.204
0.297
0.385
0.464
0.483
0.253
0
NOTA: le modalità xi devono preventivamente essere ordinate in modo crescente
Pn−1
(pi − qi )
0.107 + 0.204 + 0.297 + 0.385 + 0.464 + 0.483 + 0.253
=
=
Pn−1
0.125 + 0.25 + 0.375 + 0.5 + 0.625 + 0.75 + 0.875
p
i
i=1
2.193
=
= 0.627
3.5
i=1
A. Iodice ()
Esercitazione 5
Statistica
6 / 13
Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz
Esercitazione
5
Partendo dai dati nell’esempio precedente, la curva di Lorenz è
la spezzata passante per i punti di coordinate (pi , qi ).
A. Iodice
La concentrazione
Calcolo della
misura di concentrazione
Rappresentazione
grafica della
concentrazione
Metodo
grafico
Concentrazione
in dati
raggruppati
A. Iodice ()
Esercitazione 5
Statistica
7 / 13
Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz
Esercitazione
5
Partendo dai dati nell’esempio precedente, la curva di Lorenz è
la spezzata passante per i punti di coordinate (pi , qi ).
A. Iodice
La concentrazione
Calcolo della
misura di concentrazione
Rappresentazione
grafica della
concentrazione
Metodo
grafico
Concentrazione
in dati
raggruppati
A. Iodice ()
Esercitazione 5
Statistica
7 / 13
Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz
Esercitazione
5
Partendo dai dati nell’esempio precedente, la curva di Lorenz è
la spezzata passante per i punti di coordinate (pi , qi ).
A. Iodice
La concentrazione
Calcolo della
misura di concentrazione
Rappresentazione
grafica della
concentrazione
Metodo
grafico
Concentrazione
in dati
raggruppati
A. Iodice ()
Esercitazione 5
Statistica
7 / 13
Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz
Esercitazione
5
Partendo dai dati nell’esempio precedente, la curva di Lorenz è
la spezzata passante per i punti di coordinate (pi , qi ).
A. Iodice
La concentrazione
Calcolo della
misura di concentrazione
Rappresentazione
grafica della
concentrazione
Metodo
grafico
Concentrazione
in dati
raggruppati
A. Iodice ()
Esercitazione 5
Statistica
7 / 13
Metodo grafico per determinare il rapporto di
concentrazione
Esercitazione
5
z
}|
{
area di concentrazione
area del triangolo OAB − somma dei trapezi
R=
=
area del triangolo OAB
area del triangolo OAB
A. Iodice
La concentrazione
Calcolo della
misura di concentrazione
Rappresentazione
grafica della
concentrazione
Metodo
grafico
Concentrazione
in dati
raggruppati
A. Iodice ()
Esercitazione 5
Statistica
8 / 13
Metodo grafico per determinare il rapporto di
concentrazione
Esercitazione
5
area di concentrazione
A. Iodice
z
}|
{
area di concentrazione
area del triangolo OAB − somma dei trapezi
R=
=
area del triangolo OAB
area del triangolo OAB
La concentrazione
area
Rappresentazione
grafica della
concentrazione
=
1
2
b = base minore = qi
h = altezza = pi+1 − pi
h
B
b
}|
{
z }| { z}|{ z
Pn−1 (qi+1 + qi )×(pi+1 − pi )
somma delle aree dei trapezi : i=1
2
Metodo
grafico
Concentrazione
in dati
raggruppati
OB×BA
= 1×1
2
2
(B+b)×h
di un generico trapezio :
2
B = base maggiore = qi+1
area del triangolo OAB:
Calcolo della
misura di concentrazione
sostituendo quanto trovato, si ha
area del triangolo OAB − somma dei trapezi
R=
=
area del triangolo OAB
P
(qi+1 +qi )×(pi+1 −pi )
1
− n−1
i=1
2
= 2
1
2
A. Iodice ()
Esercitazione 5
Statistica
9 / 13
Metodo grafico per determinare il rapporto di
concentrazione
Esercitazione
5
A. Iodice
con qualche passaggio algebrico si ottiene
area del triangolo OAB − somma dei trapezi
R=
=
area del triangolo OAB
P
(qi+1 +qi )×(pi+1 −pi )
1
− n−1
i=1
2
= 2
=
1
La concentrazione
Calcolo della
misura di concentrazione
2
Rappresentazione
grafica della
concentrazione
|
6
Metodo
grafico
=
Concentrazione
in dati
raggruppati
{z
mettere 1/2 in evidenza
1
2
}
P
1 − n−1
i=1 (qi+1 + qi ) × (pi+1 − pi )
=1−
6
n−1
X
1
2
=
(qi+1 + qi ) × (pi+1 − pi )
i=1
A. Iodice ()
Esercitazione 5
Statistica
10 / 13
Metodo grafico per determinare il rapporto di
concentrazione
Esercitazione
5
con qualche altro passaggio algebrico si ottiene
A. Iodice
R=1−
La concentrazione
(qi+1 + qi ) × (pi+1 − pi ) =
i=1
Calcolo della
misura di concentrazione
=1−
n−1
X
(qi+1 pi+1 − qi+1 pi + qi pi+1 − qi pi )
i=1
Rappresentazione
grafica della
concentrazione
|
=1−
Metodo
grafico
Concentrazione
in dati
raggruppati
n−1
X
{z
}
effettuando i prodotti
n−1
X
qi+1 pi+1 −
i=1
n−1
X
qi+1 pi +
i=1
n−1
X
qi pi+1 −
i=1
n−1
X
!
qi pi
i=1
poichè:
n−1
X
qi+1 pi+1 −
i=1
n−1
X
qi pi = qn pn
i=1
ed essendo qn = 1 e pn = 1 allora qn pn = 1, da cui
A. Iodice ()
Esercitazione 5
Statistica
11 / 13
Metodo grafico per determinare il rapporto di
concentrazione
Esercitazione
5
con qualche altro passaggio algebrico si ottiene
qn pn =1
}|
{
z
n−1
n−1
n−1
n−1
X
X
X
X
R=1−
qi+1 pi+1 −
qi pi −
qi+1 pi +
qi pi+1
i=1
i=1
i=1
i=1
A. Iodice
La concentrazione
Calcolo della
misura di concentrazione
Rappresentazione
grafica della
concentrazione
=1−
1−
qi+1 pi +
i=1
=1−1+
Metodo
grafico
n−1
X
n−1
X
=
n−1
X
qi+1 pi −
i=1
=
n−1
X
pi qi+1 −
!
qi pi+1
i=1
n−1
X
i=1
Concentrazione
in dati
raggruppati
n−1
X
qi pi+1 =
i=1
n−1
X
pi+1 qi
i=1
(pi qi+1 − pi+1 qi )
i=1
A. Iodice ()
Esercitazione 5
Statistica
12 / 13
La concentrazione in dati raggruppati
Esercitazione
5
Si consideri di voler studiare la concentrazione di addetti rispetto alle imprese avendo a disposizione
informazioni riguardanti le classi di addetti per impresa, il numero di imprese per ciascuna classe ni , il
numero di addetti impiegati xi ni .
In questo caso si deve tenere conto delle fatto che i dati sono organizzati in frequenze.
A. Iodice
La concentrazione
Calcolo della
misura di concentrazione
Rappresentazione
grafica della
concentrazione
i.i
0-2
3-9
10-19
20-49
50-99
100-499
500-999
P
ni
2043
2679
2782.2
2825.6
2837.4
2845.7
2846.5
x i ni
2718.3
2845.6
1352
1281.2
808.7
1588.3
529.4
Table:
Metodo
grafico
Concentrazione
in dati
raggruppati
ni
2043
636
103.2
43.4
11.8
8.3
0.8
P
xi
2718.3
5563.9
6915.9
8197.1
9005.8
10594.1
11123.5
pi
0.7177
0.9412
0.9774
0.9927
0.9968
0.9997
1
qi
0.2444
0.5002
0.6217
0.7369
0.8096
0.9524
1
a
0.3590
0.5852
0.7203
0.8037
0.9494
0.9997
b
0.2300
0.4889
0.6172
0.7346
0.8094
0.9524
a−b
0.1290
0.0963
0.1031
0.0691
0.1400
0.0473
I dati sono espressi in migliaia.
a = pi qi+1
b = pi+1 qi
R̃ =
n−1
X
(pi qi+1 − pi+1 qi ) = 0.5848
i=1
A. Iodice ()
Esercitazione 5
Statistica
13 / 13
