Presentazione
Questa guida è una raccolta di schede di matematica.
Le
schede
sono
realizzate
in
forma
compatta
per
facilitare
la
consultazione. Lo stile essenziale, basato sulla comunicazione grafica e
tabulare, non deve però trarre in inganno: questo lavoro non è una semplice
raccolta di formule matematiche. Esso è il frutto di un’operazione
complessa di strutturazione e sintesi che ha richiesto molti anni di ricerca.
Ciascuna scheda è realizzata in modo che ogni parola e dettaglio
presentato è fondamentale per la comprensione dell’argomento.
Si raccomanda pertanto una lettura attenta che non trascuri nessun rigo e
nessuna parola.
Le schede possono essere utilizzate nella scuola media inferiore e nella
scuola media superiore e per l’esame universitario di analisi matematica.
Il materiale è tuttora oggetto di una continua sperimentazione e di un
conseguente aggiornamento ed integrazione dei contenuti.
Le ultime versioni delle singole schede, consultabili e stampabili ad uso
esclusivamente
personale,
sono
disponibili
in
rete
all’indirizzo
www.matematika.it sotto la voce Formulario.
Prof. Giampiero Gallina
Per eventuali suggerimenti, segnalazioni o contatti, scrivere all’indirizzo di posta elettronica:
[email protected]
Le icone
suggerimenti ed approfondimenti sull’argomento
segnalazioni e soluzioni a possibili fonti di errore
suggerimenti per l’utilizzo della calcolatrice scientifica
Versione 4.0 stampata nel mese di Ottobre dell’anno 2013
Tutti i diritti sono riservati © 1999-2014
La presente guida è stata registrata: nessuna parte dell’opuscolo, immagine o testo, può essere
riprodotta o utilizzata per scopi commerciali senza un esplicito consenso scritto degli autori.
Alfabeto Greco
simboli insiemi
v 1.9
minuscole
maiuscole
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
ϑ
ι
κ
λ
µ
ν
ξ
ο
π
ρ
σ
τ
υ
ϕ
χ
ψ
ω
Α
Β
Γ
∆
Ε
Ζ
Η
Θ
Ι
Κ
Λ
Μ
Ν
Ξ
Ο
Π
Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
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come si legge
alfa
beta
gamma
delta
epsilon
zeta
eta
teta
iota
cappa
lambda
mi
ni
csi
omicron
pi
ro
sigma
tau
ipsilon
fi
chi
psi
omega
1 di 1
Simbologia e Convenzioni
simboli insiemi
simbolo
significato
simbolo
uguale
minore
circa uguale, approssimato
valore assoluto di
diverso
maggiore
maggiore o uguale
minore o uguale
più infinito
o modulo di
meno infinito
insieme vuoto
insieme dei numeri naturali
escluso lo zero
insieme dei numeri interi
insieme dei numeri razionali
insieme dei numeri reali
insieme dei numeri complessi
per ogni
esiste (almeno un)
insieme dei numeri immaginari
insieme dei numeri naturali
compreso lo zero
insieme dei numeri naturali pari
insieme dei numeri naturali dispari
insieme dei numeri algebrici
insieme dei numeri trascendenti
tale che
tale che
esiste ed è unico
incluso strettamente
non esiste
incluso
appartiene
unione
non appartiene
intervallo chiuso, cioè contiene gli
estremi
intervallo aperto, cioè esclude gli
estremi
parallelo
perpendicolare
identico, coincidente
congruente
intersezione
intervallo chiuso inferiormente e
aperto superiormente
intervallo aperto inferiormente e
chiuso superiormente
equivalente
simile
lunghezza del segmento AB
rotazione di centro O e angolo α
e
vero
falso
implica (se … allora)
o
doppia implicazione (se e solo se)
media aritmetica
scarto quadratico medio
somma:
v 2.7
significato
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fattoriale di n
probabilità dell’evento E
probabilità di E2 condizionata a E1
1 di 1
Terminologia
simboli insiemi
operazione
addizione
nome
addendo
somma o totale
addendo
sottrazione
minuendo
differenza
sottraendo
moltiplicazione
fattore
prodotto
fattore
divisione
dividendo
frazione
numeratore
potenza
radicale
divisore
quoziente o quoto
resto
linea di frazione
denominatore
base
esponente
esponente del
radicando
indice della
radice
radicando
logaritmo
argomento
base
funzione
v 1.9
variabile
indipendente
variabile
dipendente
funzione
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1 di 1
aritmetica
Criteri di divisibilità
divisibilità per 2
•
un numero è divisibile per 2 quando
•
l’ultima cifra è pari cioè quando termina per 0, 2, 4, 6, 8
•
210 è divisibile per 2 perché l’ultima cifra è 0
316 è divisibile per 2 perché l’ultima cifra (6) è pari
315 non è divisibile per 2 perché l’ultima cifra (5)
non è pari
divisibilità per 3
•
un numero è divisibile per 3 quando
•
la somma delle sue cifre è un multiplo di 3
•
342 è divisibile per 3 perché
multiplo di 3
che è
89757 è divisibile per 3 perché 8+9+7+5+7=36 ed
ancora 3+6=9 che è un multiplo di 3
271 non è divisibile per 3 perché 2+7+1=10 che
non è un multiplo di 3
divisibilità per 5
•
un numero è divisibile per 5 quando
•
l’ultima cifra è 0 o 5
•
250 è divisibile per 5 perché l’ultima cifra è 0
345 è divisibile per 5 perché l’ultima cifra è 5
346 non è divisibile per 5 perché l’ultima cifra è 6
divisibilità per 7
•
•
un numero è divisibile per 7 quando
la differenza tra il numero senza l’ultima cifra e il doppio
di quest’ultima è 0 o un multiplo di 7
•
63 è divisibile per 7 perché
287 è divisibile per 7 perché
376 non è divisibile per 7 perché
divisibilità per 11
•
un numero è divisibile per 11 quando
la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e
quelle di posto pari è 0 o un multiplo di 11
•
che è multiplo di 7
che non è multiplo di 7
3465 è divisibile per 11 perché
e
e
27981 non è divisibile per 11 perché
e
e
che è diverso da 0 e non è un multiplo di 11
divisibilità per 13
•
un numero è divisibile per 13 quando
la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il
quadruplo di quest’ultima è un multiplo di 13
•
845 è divisibile per 13 perché
e
che è multiplo di 13
1467 non è divisibile per 13 perché
146 +(7 ∙ 4)=146 + 28 =174 e
17 + (4 ∙ 4) =17 +16 =33 che non è multiplo di 13
divisibilità per 17
•
un numero è divisibile per 17 quando
la differenza tra il numero senza l’ultima cifra e il
quintuplo di quest’ultima è 0 o un multiplo di 17
v 1.3
•
1071 è divisibile per 17 perché
e
1467 non è divisibile per 17 perché
e
che è diverso da 0 o da un
multiplo di 17
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1 di 1
aritmetica
Altri criteri di divisibilità
divisibilità per 4
un numero è divisibile per 4 se lo è il numero formato
dalle ultime due cifre
•
•
316 è divisibile per 2 perché 16 è multiplo di 4
310 non è divisibile per 4 perché 10 non è multiplo di 4
divisibilità per 7
un numero è divisibile per 7 quando la differenza tra
il numero senza l’ultima cifra e il doppio di
quest’ultima è 0 o un multiplo di 7
•
•
287 è divisibile per 7 perché
376 non è divisibile per 7 perché
divisibilità per 9
•
un numero è divisibile per 9 quando la somma delle
sue cifre è un multiplo di 9
•
che è multiplo di 7
che non è multiplo di 7
873 è divisibile per 9 perché
multiplo di 9
546 non è divisibile per 9 perché
non è multiplo di 9
che è
che
divisibilità per 13
•
un numero è divisibile per 13 quando la somma tra il
numero senza l’ultima cifra e il quadruplo di
quest’ultima è un multiplo di 13
•
845 è divisibile per 13 perché
e
che è multiplo di 13
1467 non è divisibile per 13 perché
146 +(7 ∙ 4)=146 + 28 =174 e 17 + (4 ∙ 4) =
14 +16 =33 che non è multiplo di 13
divisibilità per 17
un numero è divisibile per 17 quando la differenza tra
il numero senza l’ultima cifra e il quintuplo di
quest’ultima è 0 o un multiplo di 17
•
•
1071 è divisibile per 17 perché
e
1467 non è divisibile per 17 perché
e
diverso da 0 o da un multiplo di 17
che è
divisibilità per 19
un numero è divisibile per 19 quando la somma tra il
numero senza l’ultima cifra e il doppio di quest’ultima
è un multiplo di 19
•
•
1216 è divisibile per 19 perché
e
1467 non è divisibile per 19 perché
e 15+(2∙0)=15 che è diverso da un
multiplo di 19
divisibilità per 23
un numero è divisibile per 23 se la somma fra il
numero senza la cifra delle unità e il settuplo del
numero delle sue unità è 0, 23 o multiplo di 23
•
un numero è divisibile per 25 se finisce con
•
•
•
345 è divisibile per 23 perché
di 23
102 non è divisibile per 23 perché
multiplo di 23
è multiplo
non è
divisibilità per 25
0, 25, 50, 75
v 1.8
375 è divisibile per 25 perché le ultime due cifre sono 75
346 non è divisibile per 25 perché le ultime due cifre sono
46
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1 di 1
aritmetica
Calcolo percentuale - Pendenza
Calcolo percentuale
Per introdurre il concetto di percentuale è utile cominciare con un esempio.
“Consideriamo un abito dal costo di 300 euro. 300 euro rappresenta il valore iniziale cioè 100% del valore della
grandezza, mentre ad esempio 150 euro è la metà del valore cioè il 50%. Ma quale sarà, per esempio, il 12% del
costo dell’abito?”
Per risolvere questo problema basta scrivere e risolvere la seguente proporzione:
il valore Iniziale della grandezza sta al 100% come il valore finale (percentuale) sta al 12%, cioè
da cui
= 36 euro
Generalizzando l’esempio, se indichiamo con Vi il valore della grandezza totale (300 euro), con Vf il valore finale (la
percentuale 36 euro), con t il tasso percentuale, o semplicemente, il tasso (12%) , possiamo scrivere che:
il valore iniziale della grandezza sta al 100% come il valore finale sta al tasso
Questa proporzione è impiegata per risolvere i problemi di calcolo percentuale, vediamo alcuni esempi
calcolo del Valor iniziale Vi
420 alunni ( ) rappresentano il 35% ( ) di tutti gli alunni di una scuola.
Quanti alunni ( )compongono la scuola?
calcolo del Valore finale Vf (percentuale)
in una classe di 25 alunni
alunni
quanti alunni
calcolo del tasso percentuale o tasso t
rappresentano il 20% ( ) ?
alunni
una borsa di 80 euro ( ) è stata venduta con uno sconto di 20 euro ( ),
che tasso percentuale ( ) è stato applicato?
Pendenza
la pendenza percentuale è definita come il rapporto tra il dislivello verticale e lo spazio orizzontale moltiplicato 100
Δx
esempio
• Calcoliamo la pendenza percentuale di una strada
con dislivello verticale
di 25 m su una distanza
orizzontale
di 120 m
v 1.6
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Δh
Nei cartelli stradali il valore indicato
rappresenta il dislivello vertcale (∆h)
subito in 100 metri orizzontali. Ad esempio
10 % indica che in 100 metri orizzontali
c’e un dislivello di 10 metri in verticale
1 di 1
Proprietà delle Potenze
algebra
definizione
si definisce potenza n-sima di base e di esponente , il prodotto della base moltiplicata n volte per se
stessa cioè:
con base numero reale e con esponente numero naturale
n volte
generalizzazione
la definizione di potenza n-sima
si può generalizzare a quella di potenza
nel caso in cui
l’esponente sia un numero razionale oppure un numero reale, in entrambi i casi:
• se l’esponente
allora la base deve essere un numero reale
• se l’esponente
allora la base deve essere un numero reale
proprietà
potenze con la stessa base
prodotto di potenze con la stessa base
rapporto di potenze con la stessa base
potenza di potenza
potenze con lo stesso esponente
prodotto di potenze con lo stesso
esponente
rapporto di potenze con lo stesso
esponente
potenza ad esponente negativo
frazione ad esponente negativo
potenza ad esponente frazionario
frazione ad esponente frazionario
potenza ad esponente frazionario
negativo
altri esempi
v 3.3
fai attenzione alle parentesi e fai anche attenzione all’esponente che può essere pari o dispari
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1 di 1
Prodotti notevoli
algebra
somma per differenza
•
•
quadrato del primo termine
•
meno il quadrato del secondo termine
•
quadrato di un binomio
•
•
•
quadrato del primo termine
•
il doppio prodotto del primo
termine per il secondo termine
•
più il quadrato del secondo termine
cubo di un binomio
•
•
•
•
cubo del primo termine
il triplo prodotto del quadrato del primo
termine per il secondo termine
il triplo prodotto del primo termine per il
quadrato del secondo termine
•
•
il cubo del secondo termine
quadrato di un trinomio
•
•
•
•
quadrato dei tre termini
il doppio prodotto del primo termine per
il secondo termine
il doppio prodotto del primo termine per
il terzo termine
il doppio prodotto del secondo termine
per il terzo termine
•
•
cubo di un trinomio
•
ricorda che lo sviluppo ha 10 termini
•
cubo del primo più il cubo del secondo
•
particolari prodotti notevoli
•
oppure
• cubo del primo meno il cubo del secondo
•
potenza n-sima di un binomio
consideriamo il seguente esempio con n = 5, da esso possiamo dedurre le regole per lo sviluppo della potenza n-sima di un binomio valide per ogni n
lo sviluppo della potenza n-sima di un binomio è un polinomio completo e omogeneo cioè formato da (n+1) monomi, tutti
dello stesso grado e ordinati secondo le potenze decrescenti di e secondo le potenze crescenti di
I coefficienti numerici dei monomi si ricavano dal triangolo di Tartaglia noto anche come triangolo di Pascal.
potenza ad esponente 0
potenza ad esponente 1
potenza ad esponente 2
potenza ad esponente 3
potenza ad esponente 4
potenza ad esponente 5
-------------
v 1.4
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
-------------
-------------
per costruire il triangolo di Tartaglia basta ricordare che:
•
al vertice in alto della figura c’è il numero 1
•
ogni riga inizia con 1 e termina con 1
•
ogni numero è la somma di quello che gli sta sopra più il precedente. Ad esempio 10 = 6+4
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1 di 1
Scomposizioni
algebra
raccoglimento totale
sono presenti un numero
qualsiasi di termini
•
•
•
raccoglimento parziale
sono presenti un numero pari
di termini
•
•
•
differenza di due quadrati
•
sono presenti solo 2 termini
al quadrato
•
sono presenti solo 2 termini al
cubo
•
•
differenza di cubi
•
•
somma di cubi
sono presenti solo 2 termini
al cubo
•
•
•
quadrato di binomio
sono presenti solo 3 termini
•
•
•
trinomio notevole con
trovare due numeri ed tali che:
• sommati danno cioè:
• e moltiplicati danno cioè:
•
•
•
trovare due numeri che sommati
danno
e moltiplicati danno
i due numeri sono
e
trinomio notevole con
trovare due numeri ed tali che:
• sommati danno :
:
• e moltiplicati danno
• effettuare un raccoglimento parziale
•
•
•
•
•
cubo di binomio
•
sono presenti 4 termini
trovare due numeri che sommati
danno
e moltiplicati danno
e
i due numeri sono
sostituire
con
effettuare il raccoglimento parziale
•
•
quadrato di un trinomio
•
sono presenti 6 termini
•
cubo di un trinomio
•
v 1.7
sono presenti 10 termini
•
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1 di 1
Radicali
algebra
definizione di radice aritmetica
si definisce radice aritmetica n-sima di , e si indica con
con
numeri reali
e con
numero intero
nomenclatura
, quel numero
in simboli:
m è l’esponente del radicando
si chiama radicale
n è l’indice della radice
tale che:
proprietà
è il radicando
non ha significato
esempi
operazioni con i radicali
operazione
nome
esempio
semplificazione
riduzione allo stesso indice
e
prodotto di radicali
rapporto di radicali
trasporto di fattore dentro il segno
di radice
trasporto di fattore fuori il segno
di radice
potenza di radicali
radice di radice
v 4.2
somma algebrica di radicali simili
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1 di 3
Radicali
algebra
razionalizzazione del denominatore di una frazione
•
•
che cosa è: se al denominatore di una frazione compaiono uno o più radicali allora esso è un numero irrazionale.
La razionalizzazione è una operazione che consente di eliminare i radicali al denominatore rendendolo così un
numero razionale.
come si fa: per razionalizzare il denominatore di una frazione bisogna moltiplicare il numeratore ed il
denominatore della frazione per uno stesso fattore detto “fattore razionalizzante”. Tale fattore va scelto in
modo opportuno a seconda di come è formato il denominatore.
Si distinguono quattro casi riportati di seguito, in essi il fattore razionalizzante è evidenziato in colore.
caso:
al denominatore una sola radice quadrata
cosa fare
osserva che:
esempi
e che:
caso:
al denominatore una sola radice non quadrata
cosa fare
osserva che:
esempi
e che:
caso:
al denominatore un polinomio con una o più radici quadrate
cosa fare
osserva che il prodotto notevole
caso:
esempi
si può applicare anche ai seguenti casi
2
al denominatore un binomio con una o due radici cubiche
cosa fare
esempio
ricorda i prodotti notevoli:
v 4.2
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2 di 3
Radicali
algebra
radicale doppio
•
•
che cosa è: un radicale doppio è formato da una radice quadrata il cui radicando è formato dalla
somma di un monomio e di un altra radice quadrata, cioè:
come si risolve: se
è un quadrato perfetto, si applica la formula del radicale doppio che
consente di trasformare il radicale doppio nella somma di due radici singole.
ricorda : un quadrato perfetto è un numero la cui radice quadrata è un numero naturale, ad esempio 4, 9, 16, 25 sono quadrati perfetti
la formula si applica solo se
formula
è un quadrato perfetto
16 è un quadrato perfetto e la
formula si può applicare
esempio
definizione di radice algebrica
si definisce radice algebrica n-sima di , e si indica con
con
numeri reali qualsiasi e con
numero intero
, quel numero
in simboli:
tale che:
l’esigenza di ampliare la definizione di radice aritmetica a quella di radice algebrica nasce dalla
necessità di risolvere equazioni di secondo grado o di grado superiore al secondo del tipo
esempi
caso n pari
caso n dispari
osservazioni importanti
v 4.2
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3 di 3
geometria piana
Postulati e definizioni di geometria piana
I cinque postulati di Euclide
I postulato
Adimandiamo che ce sia concesso, che da qualunque ponto in qualunque
ponto si possi condurre una linea retta.
Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta
II postulato
Anchora adimandiamo che ci sia concesso, che si possi slongare una
retta linea terminata direttamente in continuo quanto ne pare.
La linea retta si può prolungare indefinitamente
III postulato
Anchora adimandiamo che ce sia concesso, che sopra a qualunque
centro ne piace puotiamo designare un cerchio di che grandezza ci pare.
Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio
IV postulato
Similmente adimandiamo, che ci sia concesso tutti li angoli retti esser fra
loro equali.
Tutti gli angoli retti sono uguali
V postulato
Adimandiamo etiam che ci sia concesso, che se una linea retta cascarà
sopra due linee rette, e che duoi angoli da una parte siano minori di duoi
angoli retti, che quelle due linee senza dubbio, protratte in quella
medesima parte sia necessario congiongersi.
Due rette tagliate da una trasversale si incontreranno in un punto
posto dalla parte in cui la trasversale forma due angoli interni la cui
somma è minore di un angolo piatto
V postulato: enunciato equivalente
Per un punto esterno ad una retta passa una ed una sola parallela
alla retta data
v 2.3
Gli enunciati dei 5 postulati di Euclide sono tratti da "Gli Elementi di Euclide" nella traduzione di
Niccolò Tartaglia, edizione del 1565
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1 di 13
Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
Definizioni
segmento
Il segmento è quella parte di retta compresa da due suoi punti detti estremi
segmenti consecutivi
consecutivi
Due segmenti sono consecutivi se hanno un estremo in comune
Due segmenti sono adiacenti se sono consecutivi e giacciono sulla
stessa retta
adiacenti
punto medio di un segmento
M
Il punto medio di un segmento è quel punto che divide il segmento in
due parti congruenti
Il punto medio di un segmento è unico
semiretta
La semiretta è ciascuna delle due parti in cui una retta è divisa da un
suo punto detto origine della semiretta
semipiano
Il semipiano è ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da una
sua retta detta origine del semipiano
angolo
L’angolo è ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due
semirette aventi la stessa origine
Le due semirette si chiamano lati dell’angolo
L’origine comune delle due semirette si chiama vertice dell’angolo
v 2.3
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2 di 13
Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
angolo concavo e angolo convesso
concavo
convesso
Un angolo si dice concavo se contiene i prolungamenti dei lati
Un angolo si dice convesso se non contiene i prolungamenti dei lati
angoli consecutivi e adiacenti
Due angoli sono consecutivi se hanno il vertice ed un lato in comune
consecutivi
Due angoli sono adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni
sono semirette opposte
adiacenti
angoli opposti al vertice
Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell’uno sono i
prolungamenti dei lati dell’altro
bisettrice di un angolo
b
La bisettrice di un angolo è la semiretta che divide l’angolo in due
parti congruenti
angolo piatto e angolo retto
Un angolo si dice piatto se i suoi lati sono semirette opposte
180°
90°
Un angolo si dice retto se è metà di un angolo piatto
Un angolo piatto misura 180°
Un angolo retto misura 90°
angolo giro e angolo nullo
360°
0°
v 2.3
Un angolo giro è la parte concava dell’angolo che ha per lati due
semirette coincidenti
Un angolo nullo è la parte convessa dell’angolo che ha per lati due
semirette coincidenti
Un angolo giro misura 360°
Un angolo nullo misura 0° ed è privo di punti interni
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3 di 13
Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
angoli acuti e ottusi
acuto
ottuso
Un angolo si dice acuto se è minore di un angolo retto
Un angolo si dice ottuso se è maggiore di un angolo retto e minore di
un angolo piatto
angoli complementari, supplementari, esplementari
complementari
supplementari
Due angoli sono complementari se la loro somma è un angolo retto
Due angoli sono supplementari se la loro somma è un angolo piatto
Due angoli sono esplementari se la loro somma è un angolo giro
esplementari
rette perpendicolari
Due rette sono perpendicolari se incontrandosi formano quattro
angoli retti
rette parallele
Due rette che appartengono allo stesso piano sono parallele se
• sono coincidenti
oppure se
• non hanno alcun punto in comune
asse di un segmento
L’asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento passante
per il suo punto medio
M
poligonale o spezzata
lato
vertice
v 2.3
Una poligonale (o spezzata) è una figura formata da più segmenti
ordinatamente consecutivi, appartenenti allo stesso piano
I segmenti si chiamano lati della poligonale
Gli estremi dei segmenti si chiamano vertici della poligonale
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4 di 13
Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
poligonale aperta/chiusa
Una poligonale è aperta se si distingue un primo ed un ultimo punto
aperta
chiusa
Una poligonale è chiusa se l’ultimo punto coincide con il primo punto
poligonale intrecciata
Una poligonale è intrecciata quando almeno due lati non consecutivi
si intersecano
poligono
Un poligono è la parte di piano racchiusa da un poligonale chiusa non
intrecciata
poligoni convessi e concavi
Un poligono è convesso se un qualunque segmento che unisce due
suoi punti è contenuto interamente nella figura
convesso
concavo
Un poligono è concavo se esiste almeno un segmento che unisce due
suoi punti che non è contenuto interamente nella figura
poligono regolare
Un poligono è regolare se ha lati e angoli congruenti
angolo interno e angolo esterno di un poligono convesso
interno
esterno
Un angolo interno di un poligono convesso è l’angolo convesso
formato da due lati consecutivi del poligono
Un angolo esterno di un poligono convesso è l’angolo adiacente ad un
angolo interno del poligono
diagonale e corda di un poligono
Una diagonale di un poligono è un qualsiasi segmento che unisce due
vertici non consecutivi del poligono
Una corda di un poligono è un qualsiasi segmento che unisce due
punti del poligono appartenenti a lati diversi
v 2.3
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5 di 13
Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
perimetro di un poligono
Il perimetro di un poligono è la somma di tutti i suoi lati
Due poligoni che hanno i perimetri congruenti sono detti
isoperimetrici
triangolo
b
c
Un triangolo è un poligono formato da tre lati
a
triangolo isoscele
Un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti
I lati congruenti si chiamano lati del triangolo
Il lato disuguale si chiama base del triangolo
Gli angoli adiacenti alla base si chiamano angoli alla base
L’angolo compreso tra i due lati congruenti si chiama angolo al vertice
triangolo scaleno ed equilatero
scaleno
equilatero
rettangolo acutangolo
ottusangolo
Un triangolo si dice scaleno se ha i tre lati disuguali
Un triangolo si dice equilatero se ha i tre lati congruenti
classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto
Un triangolo si dice acutangolo se ha i tre angoli acuti
Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso
Nel triangolo rettangolo i lati che formano l’angolo retto si chiamano cateti, il lato
maggiore, opposto all’angolo retto, si chiama ipotenusa
altezza di un triangolo
h
v 2.3
L’altezza relativa ad un lato di un triangolo è il segmento
perpendicolare al lato, condotto dal vertice opposto al lato stesso
Il triangolo ha tre altezze
Se il triangolo è acutangolo le altezze sono tutte interne
Se il triangolo è rettangolo due altezze coincidono con i cateti
Se il triangolo è ottusangolo due altezze sono esterne al triangolo
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6 di 13
geometria piana
Postulati e definizioni di geometria piana
bisettrice di un angolo di un triangolo
La bisettrice relativa ad un angolo di un triangolo è il segmento di
bisettrice dell’angolo considerato
Il triangolo ha tre bisettrici
mediana di un lato di un triangolo
La mediana relativa al lato di un triangolo è il segmento di estremi il
punto medio del lato ed il vertice opposto al lato
Il triangolo ha tre mediane
asse di un lato di un triangolo
L’asse di un lato di un triangolo è la retta perpendicolare al lato
passante per il punto medio del lato
ortocentro
L’ortocentro è il punto di incontro delle altezze di un triangolo
Nel triangolo rettangolo l’ortocentro coincide con il vertice dell’angolo
retto
incentro
L’incentro è il punto di incontro delle bisettrici degli angoli interni di
un triangolo
L’incentro è il centro della circonferenza inscritta al triangolo
baricentro
Il baricentro è il punto di incontro delle mediane di un triangolo
v 2.3
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7 di 13
Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
circocentro
Il circocentro è il punto di incontro degli assi dei lati di un triangolo
Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo
Il circocentro può essere anche esterno al triangolo
Nel triangolo rettangolo il circocentro coincide col punto medio dell’ipotenusa
excentro
L’excentro è il punto di incontro delle bisettrici di due angoli esterni
del triangolo
Ogni triangolo ha tre excentri
proiezione di un punto su una retta
P
La proiezione di un punto su una retta è il punto d’intersezione tra la
retta perpendicolare condotta dal punto alla retta e la retta stessa
P’
distanza di un punto da una retta
P
d
La distanza di un punto da una retta è il segmento di perpendicolare
condotto dal punto alla retta
proiezione di un segmento su una retta
B
A
B’
A’
distanza tra rette parallele
d
v 2.3
La proiezione di un segmento su una retta è il segmento sulla retta
che ha per estremi le proiezioni degli estremi del segmento dato
La distanza tra due rette parallele è la distanza di un qualsiasi punto
di una di esse dall’altra retta
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8 di 13
Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
angoli formati da due rette tagliate da una trasversale
1
2
4
3
6
5
7
8
Due rette tagliate da una trasversale formano le seguenti coppie di
angoli:
alterni interni (4, 6) (3, 5)
alterni esterni (1, 7) (2, 8)
corrispondenti (1, 5) (2, 6) (3, 7) (4, 8)
coniugati interni (4, 5) (3, 6)
coniugati esterni (1, 8) (2, 7)
trapezio
Il trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli
I due lati paralleli si chiamano basi del trapezio
parallelogrammo
Il parallelogrammo è un quadrilatero con i lati a due a due paralleli
rettangolo
Il rettangolo è un parallelogrammo con quattro angoli retti
rombo
Il rombo è un parallelogrammo con quattro lati congruenti
quadrato
Il quadrato è un parallelogrammo con gli angoli e i lati congruenti
Il quadrato è un poligono regolare
v 2.3
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9 di 13
Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
Esempi di alcuni luoghi geometrici:
•
l’asse di un segmento
•
la bisettrice di un angolo
•
la circonferenza
•
la parabola
•
l’ellisse
•
l’iperbole
C
r
P
luogo geometrico
Un luogo geometrico è l’insieme di tutti e soli i punti del piano che
godono di una stessa proprietà
La proprietà è detta proprietà caratteristica del luogo geometrico
circonferenza
La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano
equidistanti da un punto fisso detto centro
La distanza di un punto della circonferenza dal centro si chiama raggio
cerchio
Il cerchio è la figura formata dai punti della circonferenza e dai punti
interni ad essa
corda di una circonferenza
Una corda di una circonferenza è il segmento che unisce due punti
qualsiasi della circonferenza
La corda che passa per il centro si chiama diametro
arco di circonferenza
Un arco di circonferenza è ciascuna delle due parti in cui una
circonferenza è divisa da due suoi punti
angolo al centro
Un angolo al centro di una circonferenza o di un cerchio è un
qualsiasi angolo con il vertice nel centro della circonferenza
v 2.3
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10 di 13
geometria piana
Postulati e definizioni di geometria piana
settore circolare
Il settore circolare è ciascuna delle due parti di cerchio delimitate da
un angolo al centro
segmento circolare ad una base
Il segmento circolare ad una base è ciascuna delle due parti in cui un
cerchio rimane diviso da una sua corda
L’ altezza del segmento circolare ad una base è il segmento sull’asse della corda compreso
tra la circonferenza e il punto medio della corda
segmento circolare a due basi
Il segmento circolare a due basi è la parte di cerchio delimitata da
due corde parallele
L’altezza del segmento circolare a due basi è la distanza tra le due corde
corona circolare
Una corona circolare è la parte di cerchio compresa tra due
circonferenze concentriche
retta secante ad una circonferenza
Una retta si dice secante ad una circonferenza se ha due punti in
comune con la circonferenza
retta tangente ad una circonferenza
Una retta si dice tangente ad una circonferenza se ha un solo punto
in comune con la circonferenza
La retta tangente è perpendicolare al raggio nel suo punto di tangenza
retta esterna ad una circonferenza
Una retta si dice esterna ad una circonferenza se non ha punti in
comune con la circonferenza
v 2.3
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11 di 13
geometria piana
Postulati e definizioni di geometria piana
angolo alla circonferenza
Un angolo alla circonferenza è un angolo con il vertice sulla
circonferenza e i lati o entrambi secanti alla circonferenza o uno
secante e l’altro tangente
poligono inscritto in una circonferenza
Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi
vertici sono sulla circonferenza
poligono circoscritto ad una circonferenza
Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi
lati sono tangenti alla circonferenza
figure equivalenti
Due figure sono equivalenti se hanno la stessa estensione
grandezze omogenee
a
a=b
b
b<c
c
Due o più grandezze sono omogenee se è possibile confrontarle tra
loro, cioè se è possibile stabilire tra loro una relazione di
uguaglianza o di disuguaglianza
grandezze commensurabili
u
3u
5u
v 2.3
Due o più grandezze omogenee sono commensurabili se hanno una
grandezza sottomultipla in comune
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12 di 13
Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
grandezze incommensurabili
Due grandezze omogenee sono incommensurabili se non hanno una
grandezza sottomultipla in comune
d
Il lato di un quadrato e la sua diagonale sono un esempio classico di grandezze
incommensurabili
misura di una grandezza
u
a
a=5u
La misura di una grandezza rispetto ad una grandezza omogenea
assegnata è il rapporto tra le due grandezze
grandezze direttamente proporzionali
a ●
b ●
c ●
● a’
● b’
● c’
a ●
b ●
c ●
● a’
● b’
● c’
Le grandezze di due classi in corrispondenza biunivoca sono
direttamente proporzionali se il rapporto tra due qualunque
grandezze di una classe è uguale al rapporto tra le grandezze
corrispondenti dell’altra classe
grandezze inversamente proporzionali
Le grandezze di due classi in corrispondenza biunivoca sono
inversamente proporzionali se il rapporto tra due qualunque
grandezze di una classe è uguale al rapporto inverso tra le grandezze
corrispondenti dell’altra classe
poligoni simili
Due poligoni sono simili se hanno gli angoli ordinatamente
congruenti e i lati da essi formati in proporzione
parte aurea o sezione aurea di un segmento
La parte aurea o sezione aurea di un segmento è la parte di segmento
media proporzionale tra il segmento e la parte rimanente
Se è la lunghezza del segmento ed
la sua sezione aurea, la proporzione si scrive:
che risolta in
dà:
circonferenza rettificata
La circonferenza rettificata è l’unico segmento che sia:
• minore del perimetro di ogni poligono regolare circoscritto ad essa
• maggiore del perimetro di ogni poligono regolare inscritto in essa
v 2.3
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13 di 13
Teoremi di geometria piana
geometria piana
la congruenza
teoremi sugli angoli
teorema sugli angoli complementari
γ
α
β
Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo
allora sono congruenti
In generale:
Se due angoli sono complementari di due angoli congruenti
allora sono congruenti
teorema sugli angoli supplementari
γ
α
β
Se due angoli sono supplementari di uno stesso angolo
allora sono congruenti
In generale:
Se due angoli sono supplementari di due angoli congruenti
allora sono congruenti
teorema sugli angoli esplementari
γ
α
β
Se due angoli sono esplementari di uno stesso angolo
allora sono congruenti
In generale:
Se due angoli sono esplementari di due angoli congruenti
allora sono congruenti
teorema sugli angoli opposti al vertice
Gli angoli opposti al vertice sono congruenti
teoremi sui triangoli
I criterio di congruenza
Se due triangoli hanno due lati e l’angolo tra essi compreso congruenti
allora sono congruenti
II criterio di congruenza
Se due triangoli hanno due angoli e il lato tra essi compreso congruenti
allora sono congruenti
v 2.5
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1 di 21
geometria piana
Teoremi di geometria piana
III criterio di congruenza
Se due triangoli hanno i tre lati congruenti
allora sono congruenti
I teorema sul triangolo isoscele
Se un triangolo è isoscele
allora gli angoli adiacenti alla base sono congruenti
Vale anche l’inverso:
Se un triangolo ha due angoli congruenti
allora il triangolo è isoscele
II teorema sul triangolo isoscele
Se un triangolo è isoscele
allora la bisettrice dell’angolo al vertice è mediana e altezza relativa
alla base
Vale anche:
In un triangolo isoscele
•
la mediana relativa alla base è bisettrice dell’angolo al vertice e altezza relativa alla base
•
l’altezza relativa alla base è mediana relativa alla base e bisettrice dell’angolo al vertice
I teorema sul triangolo equilatero
Se un triangolo è equilatero
allora gli angoli sono tutti congruenti
Vale anche l’inverso:
Se un triangolo ha tutti gli angoli congruenti
allora è un triangolo equilatero
II teorema sul triangolo equilatero
Se un triangolo è equilatero
allora le tre mediane coincidono con le tre bisettrici, con le tre
altezze e con i tre assi
II criterio di congruenza generalizzato
Se due triangoli hanno due angoli e un lato congruenti
allora sono congruenti
v 2.5
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2 di 21
geometria piana
Teoremi di geometria piana
I criterio di congruenza dei triangoli rettangoli
Se due triangoli rettangoli hanno i due cateti congruenti
allora sono congruenti
II criterio di congruenza dei triangoli rettangoli
Se due triangoli rettangoli hanno un cateto e l’angolo acuto opposto
congruenti
allora sono congruenti
Vale anche:
Se due triangoli rettangoli hanno un cateto e l’angolo acuto adiacente congruenti
allora sono congruenti
III criterio di congruenza dei triangoli rettangoli
Se due triangoli rettangoli hanno l’ipotenusa e un angolo acuto
congruenti
allora sono congruenti
IV criterio di congruenza dei triangoli rettangoli
Se due triangoli rettangoli hanno l’ipotenusa e un cateto congruenti
allora sono congruenti
teorema della mediana in un triangolo rettangolo
In ogni triangolo rettangolo la mediana relativa all’ipotenusa è
congruente alla metà dell’ipotenusa stessa
teorema inverso della mediana in un triangolo rettangolo
Se in un triangolo la mediana relativa al lato maggiore è congruente
alla metà di questo
allora il triangolo è rettangolo
v 2.5
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3 di 21
Teoremi di geometria piana
geometria piana
teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo
In un triangolo la somma degli angoli interni è congruente a un
angolo piatto
I teorema dell’angolo esterno
In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascun angolo
interno non adiacente ad esso
Osserva che:
La somma di due angoli di un triangolo è minore di un angolo piatto
II teorema dell’angolo esterno
In un triangolo ogni angolo esterno è congruente alla somma degli
angoli interni non adiacenti ad esso
I teorema sulle disuguaglianze dei lati di un triangolo
Se un triangolo ha due lati disuguali
allora al lato maggiore si oppone l’angolo maggiore
Vale anche:
Se un triangolo ha due angoli disuguali
allora all’angolo maggiore si oppone il lato maggiore
II teorema sulle disuguaglianze dei lati di un triangolo
b
c
a
In un triangolo ogni lato:
• è minore della somma degli altri due
• è maggiore della differenza degli altri due
•
•
Ad esempio:
oppure
oppure
oppure
oppure
relazione tra gli elementi di due triangoli
Se due triangoli hanno due lati congruenti e gli angoli compresi
disuguali
allora dei terzi lati è maggiore quello opposto all’angolo maggiore
Vale anche l’inverso:
Se due triangoli hanno due lati congruenti e i terzi lati diseguali
allora degli angoli opposti ai terzi lati è maggiore quello opposto al lato maggiore
v 2.5
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4 di 21
Teoremi di geometria piana
geometria piana
teoremi sui poligoni
I criterio di congruenza dei poligoni
Se due poligoni con lo stesso numero di lati hanno congruenti tutti i
lati e gli angoli compresi ad eccezione di due lati consecutivi e
dell’angolo compreso
allora essi sono congruenti
II criterio di congruenza dei poligoni
Se due poligoni con lo stesso numero di lati hanno congruenti tutti i
lati e gli angoli compresi ad eccezione di due angoli e del lato
compreso
allora essi sono congruenti
III criterio di congruenza dei poligoni
Se due poligoni con lo stesso numero di lati hanno congruenti tutti i
lati e gli angoli compresi ad eccezione di tre angoli consecutivi
allora essi sono congruenti
a
b
teorema sulle disuguaglianze dei lati di un poligono
d
c
b
In un poligono ogni lato è minore della somma di tutti gli altri lati
e
a
c
d
e
oppure
Ad esempio:
oppure
…
relazione tra i perimetri di due poligoni
Se un poligono convesso è inscritto in un altro poligono
allora il suo perimetro è minore del perimetro del poligono
circoscritto
teoremi sulle rette perpendicolari e sulle rette parallele
teorema sulle rette perpendicolari
r
s
v 2.5
Se due rette incidenti formano un angolo retto
allora esse sono perpendicolari
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5 di 21
Teoremi di geometria piana
geometria piana
teorema sull’esitenza ed unicità della retta perpendicolare
P
Da un punto esterno ad una retta passa una ed una sola
perpendicolare alla retta stessa
Osserva che:
Il teorema vale anche nel caso in cui il punto appartiene alla retta
P
teorema sulla distanza di un punto da una retta
P
La distanza di un punto da una retta è il segmento di perpendicolare
condotto dal punto alla retta
d
Osserva che:
La distanza di un punto da una retta è il segmento minore tra tutti i segmenti condotti dal
punto alla retta
teorema sull’esistenza di rette parallele
Se due rette sono perpendicolari ad una stessa retta
allora esse sono parallele tra loro
Vale anche:
Se due rette sono parallele
allora una terza retta perpendicolare alla prima è anche perpendicolare alla seconda
teorema sulle rette parallele tagliate da una trasversale
2
1
Due rette parallele tagliate da una trasversale formano:
• angoli alterni interni ed alterni esterni congruenti
• angoli corrispondenti congruenti
• angoli coniugati interni e coniugati esterni supplementari
3
4
6
5
8
7
criterio di parallelismo
1
2
4
3
6
5
8
7
Se due rette tagliate da una trasversale formano:
• angoli alterni interni o alterni esterni congruenti o
• angoli corrispondenti congruenti o
• angoli coniugati interni o coniugati esterni supplementari
allora le due rette sono parallele
proprietà transitiva del parallelismo
r
v 2.5
s
t
Se due rette sono parallele ad una terza retta
allora esse sono parallele tra loro
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geometria piana
Teoremi di geometria piana
distanza tra due rette parallele
Se due rette sono parallele
allora i punti di una retta hanno uguale distanza dall’altra retta
cioè le due rette mantengono sempre la stessa distanza
teoremi sulle proiezioni
teorema sulle proiezioni congruenti
Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta hanno
proiezioni congruenti
allora essi sono congruenti
Vale anche l’inverso:
Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta sono congruenti
allora hanno proiezioni congruenti
teorema sulle proiezioni non congruenti
Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta hanno
proiezioni non congruenti
allora è maggiore il segmento avente proiezione maggiore
Vale anche l’inverso:
Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta non sono congruenti
allora quello maggiore ha proiezione maggiore
teorema generale sulle proiezioni
La proiezione di un segmento su una retta è minore o uguale del
segmento stesso
teoremi sui quadrilateri particolari
teorema sul trapezio
Se un trapezio è isoscele
allora
• gli angoli adiacenti alle basi sono congruenti
• le diagonali sono congruenti
teorema sul parallelogrammo
v 2.5
In un parallelogrammo:
• i triangoli in cui esso viene diviso da una diagonale sono
congruenti
• i lati opposti sono a due a due congruenti
• gli angoli opposti sono a due a due congruenti
• le diagonali si incontrano nel loro punto medio
• gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
teorema inverso sul parallelogrammo
Se un quadrilatero ha:
• i lati opposti a due a due congruenti o
• gli angoli opposti a due a due congruenti o
• le diagonali che si incontrano nel loro punto medio o
• gli angoli adiacenti a ciascun lato supplementari o
• due lati opposti congruenti e paralleli
allora il quadrilatero è un parallelogrammo
teorema sul rettangolo
In un rettangolo le diagonali sono congruenti
Vale anche l’inverso:
Se un parallelogrammo ha le diagonali congruenti
allora è un rettangolo
teorema sul rombo
In un rombo le diagonali sono
• perpendicolari tra loro
• bisettrici degli angoli interni
Vale anche l’inverso:
Se in un parallelogrammo le diagonali sono
•
perpendicolari tra loro o
•
bisettrici degli angoli interni
allora il parallelogrammo è un rombo
primi teoremi sul fascio di rette parallele
teorema sul fascio di rette parallele
t’
t
Se un fascio di rette parallele è tagliato da due trasversali
allora a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono
segmenti congruenti sull’altra trasversale
teorema della parallela dal punto medio di un lato di un triangolo
M
M’
Se dal punto medio di un lato di un triangolo si conduce la parallela
ad un secondo lato
allora questa incontra il terzo lato nel suo punto medio
teorema sulla corda dei punti medi di due lati di un triangolo
M
v 2.5
M’
Se una corda di un triangolo ha per estremi i punti medi di due lati
allora essa è parallela al terzo lato ed uguale alla sua metà
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geometria piana
Teoremi di geometria piana
teoremi sulla circonferenza
teorema sulla relazione tra diametro e corda
In una circonferenza, un diametro è maggiore di qualunque corda
teorema sull’asse di una corda
Se un diametro di una circonferenza è perpendicolare ad una corda
allora il diametro la dimezza
Vale anche:
L’asse di una corda passa per il centro della circonferenza
teorema sui punti di una circonferenza
Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza
Vale anche:
Tre punti di una circonferenza non possono essere allineati
I teorema sulle corde e loro distanza dal centro
Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze
congruenti, sono congruenti
allora sono equidistanti dal centro
Vale anche l’inverso:
Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, hanno la stessa
distanza dal centro
allora sono congruenti
II teorema sulle corde e loro distanza dal centro
Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze
congruenti, sono disuguali
allora la corda maggiore ha distanza minore dal centro
Vale anche l’inverso:
Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, hanno distanza
disuguale dal centro
allora è maggiore la corda con distanza minore dal centro
teorema sulla relazione tra archi, corde e angoli al centro
Se due angoli al centro di una stessa circonferenza, o di due
circonferenze congruenti, sono congruenti
allora gli archi e le corde corrispondenti sono congruenti
Vale anche l’inverso:
Se due archi (corde) di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, sono
congruenti
allora le corde (gli archi) e gli angoli al centro corrispondenti sono congruenti
v 2.5
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
teorema sulla posizione reciproca di una retta e di una circonferenza
Se la distanza di una retta dal centro di una circonferenza è minore,
uguale o maggiore del raggio
allora la retta ha in comune con la circonferenza rispettivamente
due punti (secante), un punto (tangente), nessun punto (esterna)
Vale anche l’inverso:
Se una retta ha in comune con una circonferenza due punti o un punto o nessun punto
allora la retta ha distanza dal centro della circonferenza, rispettivamente, minore, uguale o
maggiore del raggio
teorema sulla retta tangente ad una circonferenza
Se una retta è tangente in un punto ad una circonferenza
allora è perpendicolare al raggio in quel punto
Vale anche l’inverso:
Se una retta è perpendicolare al raggio in un punto appartenente alla circonferenza
allora la retta è tangente alla circonferenza in quel punto
I teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze esterne
C
r
r’
C’
Se due circonferenze hanno i punti dell’una esterni all’altra
allora la distanza tra i centri è maggiore della somma dei raggi
Vale anche l’inverso:
Se la distanza tra i centri di due circonferenze è maggiore della somma dei raggi
allora le due circonferenze hanno i punti dell’una esterni all’altra (circonferenze esterne)
II teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze tangenti esterne
Se due circonferenze hanno un punto in comune e i punti dell’una
esterni all’altra
allora la distanza tra i centri è congruente alla somma dei raggi
Vale anche l’inverso:
Se la distanza tra i centri di due circonferenze è congruente alla somma dei raggi
allora le due circonferenze hanno un punto in comune (circonferenze tangenti esterne)
III teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze secanti
Se due circonferenze hanno due punti in comune
allora la distanza tra i centri è minore della somma dei raggi e
maggiore della differenza dei raggi
Vale anche l’inverso:
Se la distanza tra i centri di due circonferenze è minore della somma dei raggi e maggiore
della differenza dei raggi
allora le due circonferenze hanno due punti in comune (circonferenze secanti)
IV teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze tangenti interne
Se due circonferenze hanno un punto in comune e i punti dell’una
interni all’altra
allora la distanza tra i centri è congruente alla differenza dei raggi
Vale anche l’inverso:
Se la distanza tra i centri di due circonferenze è congruente alla differenza dei raggi
allora le due circonferenze hanno un punto in comune (circonferenze tangenti interne)
v 2.5
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geometria piana
Teoremi di geometria piana
V teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze interne
Se due circonferenze hanno i punti dell’una interna all’altra
allora la distanza dei centri è minore della differenza dei raggi
Vale anche l’inverso:
Se la distanza dei centri di due circonferenze è minore della differenza dei raggi
allora i punti dell’una sono interni all’altra (circonferenze interne)
teorema sugli angoli alla circonferenza
In ogni circonferenza un angolo alla circonferenza è congruente alla
metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco o sulla stessa
corda
I teorema sugli angoli alla circonferenza
Se due angoli alla circonferenza insistono sullo stesso arco o sulla
stessa corda
allora sono congruenti
II teorema sugli angoli alla circonferenza
Se due angoli alla circonferenza insistono su archi o su corde
congruenti
allora sono congruenti
Vale anche l’inverso:
Se due angoli alla circonferenza sono congruenti
allora gli archi e le corde su cui insistono sono congruenti
III teorema sugli angoli alla circonferenza
Se un angolo alla circonferenza insiste su una semicirconferenza
allora è retto
Osserva che:
Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo
teorema delle tangenti ad una circonferenza
Se da un punto esterno ad circonferenza si tracciano le tangenti ad
essa
allora i segmenti compresi tra il punto esterno e i punti di tangenza
alla circonferenza sono congruenti
Vale anche:
v 2.5
La retta che congiunge il punto esterno alla circonferenza con il suo centro è bisettrice
dell’angolo formato dalle due tangenti
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11 di 21
Teoremi di geometria piana
geometria piana
luoghi geometrici
asse di un segmento
M
L’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti
dagli estremi del segmento
bisettrice di un angolo
La bisettrice di un angolo è il luogo geometrico dei punti equidistanti
dai lati dell’angolo
punti notevoli di un triangolo
circocentro
Gli assi dei tre lati di un triangolo passano per uno stesso punto detto
circocentro
Osserva che:
Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo ed è
equidistante dai vertici del triangolo
incentro
Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo passano per uno
stesso punto detto incentro
Osserva che:
L’incentro è il centro della circonferenza inscritta al triangolo ed è
equidistante dai lati del triangolo
baricentro
G
Le mediane dei lati di un triangolo passano per uno stesso punto
detto baricentro. Il baricentro divide ciascuna mediana in due parti
tale che quella contenente il vertice è doppia dell’altra
Osserva che:
Il baricentro di una figura viene indicato tradizionalmente con la lettera G
ortocentro
Le altezze relative ai lati di un triangolo passano per uno stesso
punto detto ortocentro
v 2.5
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12 di 21
Teoremi di geometria piana
geometria piana
triangolo equilatero
In un triangolo equilatero i punti notevoli coincidono
Osserva che:
In un triangolo equilatero il raggio della circonferenza circoscritta al
triangolo è doppio del raggio della circonferenza inscritta al triangolo stesso
distanza del baricentro dai lati di un triangolo
In ogni triangolo la distanza del baricentro da un lato è congruente
alla terza parte dell’altezza relativa allo stesso lato
G
teorema di Eulero
C
G
O
In ogni triangolo il circocentro C, il baricentro G e l’ortocentro O
sono allineati cioè giacciono sulla stessa retta detta retta di Eulero.
La distanza tra il baricentro e l’ortocentro è doppia della distanza tra
baricentro e circocentro
corollario al teorema di Eulero
C
G
O
La distanza del circocentro da un lato è congruente alla metà del
segmento che congiunge l’ortocentro con il vertice opposto a tale lato
poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza
teorema sui quadrilateri inscritti
Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza
allora gli angoli opposti sono supplementari
Vale anche l’inverso:
Se un quadrilatero ha gli angoli opposti supplementari
allora è inscrittibile in una circonferenza
corollario
Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza
allora un suo angolo esterno è congruente all’angolo interno opposto
al suo adiacente
Vale anche:
Se un quadrilatero ha due angoli opposti retti
allora è inscrittibile in una circonferenza
v 2.5
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13 di 21
Teoremi di geometria piana
geometria piana
d
a
a
teorema sui quadrilateri circoscritti
c
c
b
Se un quadrilatero è circoscritto ad una circonferenza
allora la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli
altri due lati
b
Vale anche l’inverso:
Se in un quadrilatero la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due
allora il quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza
d
corollario
b
l
l
B
B
l
l
b
Se in un trapezio isoscele la somma della basi è congruente al doppio
del lato obliquo
allora il trapezio è circoscrittibile ad una circonferenza
Vale anche:
Ogni quadrilatero equilatero cioè con i lati congruenti è circoscrittibile ad una circonferenza
teorema sulla inscrittibilità e circoscrittibilità dei poligoni regolari
r
a
Se un poligono è regolare
allora si può inscrivere e circoscrivere con due circonferenze
concentriche
il centro delle due circonferenze è detto centro del poligono regolare
teorema sui poligoni regolari
Se si divide una circonferenza in tre o più archi congruenti
allora il poligono ottenuto congiungendo successivamente i punti di
divisione e il poligono ottenuto conducendo le tangenti alla
circonferenza negli stessi punti sono poligoni regolari
teorema sul lato dell’esagono regolare
O
v 2.5
Il lato di un esagono regolare è congruente al raggio della
circonferenza circoscritta ad esso
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14 di 21
Teoremi di geometria piana
geometria piana
l’equivalenza e la similitudine
teoremi sull’equivalenza
teorema sull’equivalenza di parallelogrammi
Se due parallelogrammi hanno le basi e le altezze congruenti
allora essi sono equivalenti
secondo teorema sull’equivalenza di parallelogrammi
Se due parallelogrammi sono equivalenti ed hanno le basi congruenti
allora essi hanno anche le altezze congruenti
Vale anche:
Se due parallelogrammi sono equivalenti ed hanno le altezze congruenti
allora essi hanno anche le basi congruenti
teorema sull’equivalenza del triangolo e del parallelogrammo
Se un triangolo ha la stessa altezza di un parallelogrammo e la base
congruente al doppio di quella del parallelogrammo
allora il triangolo e il parallelogrammo sono equivalenti
Vale anche:
Se due triangoli hanno le basi e le altezze congruenti
allora essi sono equivalenti
teorema sull’equivalenza di due triangoli
Se due triangoli hanno le basi e le altezze congruenti
allora essi sono equivalenti
Vale anche:
Se due triangoli sono equivalenti ed hanno le basi (o le altezze) congruenti
allora essi hanno anche le altezze (o le basi) congruenti
teorema sull’equivalenza del triangolo e del trapezio
Se un triangolo ha la stessa altezza di un trapezio e la base
congruente alla somma delle basi del trapezio
allora il triangolo e il trapezio sono equivalenti
b
r
v 2.5
a
a
r
teorema sull’equivalenza di un poligono circoscritto ad una circonferenza e di un triangolo
c
d
b
c
d
Se un poligono è circoscritto ad una circonferenza
allora è equivalente ad un triangolo che ha la base congruente al
perimetro del poligono e altezza congruente al raggio della
circonferenza
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
b
r
c
d
r
a
a
teorema sull’equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo
e
b
c
d
e
Se un poligono è regolare
allora è equivalente ad un triangolo avente la base congruente al
perimetro del poligono e altezza congruente all’apotema del
poligono (cioè al raggio della circonferenza inscritta nel poligono)
teorema sull’equivalenza del trapezio rettangolo e del rettangolo
Se un trapezio rettangolo è circoscrittibile ad una circonferenza
allora esso è equivalente ad un rettangolo avente i lati congruenti alle
basi del trapezio
teorema sull’equivalenza del triangolo rettangolo e del rettangolo
Un triangolo rettangolo è equivalente al rettangolo i cui lati sono
congruenti ai due segmenti in cui l’ipotenusa è divisa dal punto di
contatto con la circonferenza inscritta nel triangolo rettangolo
I teorema di Euclide (enunciato secondo l’equivalenza)
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è
equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del
cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa
Q
R
Q è equivalente ad R
Vale anche l’inverso:
Se il quadrato costruito su un lato minore di un triangolo è equivalente al rettangolo che ha
per dimensioni la proiezione del lato minore sul lato maggiore e il lato maggiore
allora il triangolo è rettangolo
II teorema di Euclide (enunciato secondo l’equivalenza )
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa
all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le
proiezioni dei cateti sull’ipotenusa
Q
R
Q è equivalente ad R
Vale anche l’inverso:
Se il quadrato costruito sull’altezza relativa al lato maggiore di un triangolo è equivalente al
rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni degli altri due lati sul lato maggiore
allora il triangolo è rettangolo
teorema di Pitagora
Q2
Q1
Q
v 2.5
Q è equivalente a Q1+ Q2
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è
equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti
Vale anche l’inverso:
Se il quadrato costruito sul lato maggiore di un triangolo è equivalente alla somma dei
quadrati costruiti sugli altri due lati
allora il triangolo è rettangolo
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16 di 21
Teoremi di geometria piana
geometria piana
Grandezze omogenee e Grandezze proporzionali
teorema sull’incommensurabilità tra il lato del quadrato e la sua diagonale
Il lato del quadrato e la sua diagonale sono segmenti
incommensurabili
Osserva che:
Il rapporto tra il lato del quadrato e la sua diagonale è un numero irrazionale, cioè un
numero decimale con infinite cifre diverse dopo la virgola
Se e sono due grandezze commensurabili
allora può essere:
1. un numero intero
2. un numero decimale con finite cifre
dopo la virgola
3. un numero periodico
Se e sono due grandezze
incommensurabili allora è un numero
decimale con infinite cifre diverse dopo la
virgola
:
=
:
=
a ●
b ●
c ●
allora
allora
4
8
2
4
Assegnate tre grandezze
se le prime due sono omogenee tra loro
allora esiste ed è unica la quarta grandezza omogenea con la terza
che è quarta proporzionale dopo le tre
Condizione necessaria e sufficiente affinché le grandezze di due classi
in corrispondenza biunivoca siano direttamente proporzionali è che:
• a grandezze uguali in una classe corrispondono grandezze uguali
dell’altra
• alla somma di due o più grandezze qualsiasi di una classe
corrisponde la somma delle grandezze corrispondenti dell’altra
classe
teoremi sui rettangoli proporzionali alle basi
28
7
8 : 28 = 2 : 7
v 2.5
teorema fondamentale sulla proporzionalità
Criterio generale di proporzionalità
● a’
● b’
● c’
Se
Se
Il rapporto di due grandezze commensurabili è un numero razionale
Il rapporto di due grandezze incommensurabili è un numero irrazionale
teorema sulla quarta proporzionale
:
=
Se il rapporto di due grandezze omogenee è un numero razionale
allora le due grandezze sono commensurabili
Condizione necessaria e sufficiente affinché quattro grandezze a due
a due omogenee siano in proporzione è che lo siano le loro misure
a : b = c : d
:
teorema sul rapporto di grandezze commensurabili
I rettangoli aventi altezze congruenti sono proporzionali alle
rispettive basi
Vale anche:
I rettangoli aventi basi congruenti sono proporzionali alle rispettive altezze
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17 di 21
Teoremi di geometria piana
geometria piana
teorema sugli elementi proporzionali in un cerchio
β b
α
a
Gli archi di uno stesso cerchio o di cerchi congruenti sono
proporzionali ai rispettivi angoli al centro
a : b = α : β
12
3
2
teorema sui rettangoli equivalenti e sui segmenti in proporzione
Se quattro segmenti sono in proporzione
allora il rettangolo che ha per lati i segmenti estremi della
proporzione è equivalente al rettangolo che ha per lati i segmenti
medi della proporzione
12
4
6
Vale anche l’inverso:
Se due rettangoli sono equivalenti
allora due lati consecutivi dell’uno sono i medi e i due lati consecutivi dell’altro sono gli
estremi di una stessa proporzione
4 : 6 = 2 : 3
teorema sui segmenti e sui quadrati in proporzione
3
4
6
8
3:4 = 6:8
9 : 16 = 36 : 64
b’
b
a : b = a’ : b’
La bisettrice dell’angolo interno di un triangolo divide il lato opposto
in parti proporzionali agli altri due lati
P
B
A
Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali
i segmenti determinati su una trasversale sono proporzionali ai
corrispondenti segmenti sull’altra trasversale
teorema sulla bisettrice dell’angolo interno di un triangolo
C
CP : PB = AC : AB
P
C
B
AP : CP = AB : BC
v 2.5
teorema di Talete
a’
a
A
Se quattro segmenti sono in proporzione
allora i quadrati costruiti su di essi sono in proporzione
Vale anche l’inverso:
Se un punto interno ad un lato di un triangolo divide il lato in parti proporzionali
agli altri due lati
allora la congiungente il punto con il vertice opposto è la bisettrice dell’angolo
compreso tra gli altri due lati del triangolo
teorema sulla bisettrice dell’angolo esterno di un triangolo
Se la bisettrice di un angolo esterno di un triangolo incontra il
prolungamento del lato opposto in un punto
allora le distanze di questo punto dagli estremi di quel lato sono
proporzionali agli altri due lati
Vale anche l’inverso:
Se un punto del prolungamento di un lato di un triangolo è tale che le sue distanze dagli
estremi di quel lato sono proporzionali agli altri lati
allora la congiungente questo punto con il vertice opposto è la bisettrice del corrispondente
angolo esterno del triangolo
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18 di 21
Teoremi di geometria piana
geometria piana
corollario del teorema di Talete
C
P
Se una retta è parallela ad un lato di un triangolo
allora sulle rette degli altri due lati si determinano segmenti
proporzionali
P’
A
Vale anche l’inverso:
Se una retta determina sui due lati di un triangolo segmenti proporzionali
allora essa è parallela al terzo lato
B
AP : PC = BP’ : P’C
teorema di Tolomeo
D
Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza
allora il prodotto delle misure delle diagonali è congruente alla
somma dei prodotti delle misure dei lati opposti
C
A
Vale anche l’inverso:
Se il prodotto delle misure delle diagonali di un quadrilatero è congruente alla somma dei
prodotti delle misure dei lati opposti
allora il quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza
B
teoremi sulla similitudine
teorema fondamentale della similitudine
C
P’
P
A
Se una retta passante per un lato di un triangolo è condotta
parallelamente ad un altro suo lato
allora la retta determina un triangolo simile al triangolo iniziale
B
PP’C è simile ad ABC
I criterio di similitudine
C
Se due triangoli hanno gli angoli congruenti
allora essi sono simili
C’
A
B’
B A’
ABC è simile ad A’B’C’
Vale anche:
Se due triangoli hanno due angoli congruenti
allora essi sono simili
II criterio di similitudine
C
C’
A
B
B’
A’
ABC è simile ad A’B’C’
Se due triangoli hanno due lati in proporzione e gli angoli tra essi
compresi congruenti
allora essi sono simili
III criterio di similitudine
C
C’
A
B
A’
ABC è simile ad A’B’C’
v 2.5
B’
Se due triangoli hanno i tre lati ordinatamente in proporzione
allora essi sono simili
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19 di 21
Teoremi di geometria piana
geometria piana
I teorema di Euclide (enunciato secondo la proporzionalità)
C
A
In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra la
proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa
B
H
AH : AC = AC : AB
II teorema di Euclide (enunciato secondo la proporzionalità)
C
A
In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media
proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa
B
H
AH : CH = CH : HB
teorema delle altezze
C
C’
A
B
H
A’ H’
B’
AB : A’B’ = CH : C’H’
teorema dei perimetri
C
C’
2p
2p’
A
B
A’
B’
2p : 2p’ = AB : A’B’
S’
B
S : S’ =
A’
(AB)2
:
B’
(A’B’)2
P
P simile a P’
v 2.5
In generale:
Se due poligoni sono simili
allora i perimetri stanno tra loro come di due lati omologhi
Se due triangoli sono simili
allora le aree stanno tra loro come i quadrati di due lati omologhi
C’
A
Se due triangoli sono simili
allora i perimetri stanno tra loro come due lati omologhi
teorema delle aree
C
S
Se due triangoli sono simili
allora le basi stanno tra loro come le rispettive altezze
In generale:
Se due poligoni sono simili
allora le aree stanno tra loro come i quadrati di due lati omologhi
I teorema dei poligoni regolari
P’
Se due poligoni sono regolari e hanno lo stesso numero di lati
allora essi sono simili
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20 di 21
Teoremi di geometria piana
geometria piana
teorema della bisettrice
C
In ogni triangolo il prodotto delle misure di due lati è congruente al
quadrato della misura della bisettrice dell’angolo da essi formato
aumentato del prodotto delle misure dei segmenti in cui tale
bisettrice divide il terzo lato
P
B
A
teorema delle corde
D
B
Se due corde di una stessa circonferenza si intersecano in un punto
allora i segmenti formati su una stessa corda sono medi e i segmenti
formati sull’altra corda sono estremi di una stessa proporzione
P
A
Vale anche l’inverso:
Se due segmenti si intersecano in un punto tale che le parti appartenenti ad uno stesso
segmento sono medi o estremi di una proporzione
allora gli estremi dei segmenti dati appartengono alla stessa circonferenza
C
AP : PD = CP : PB
teorema delle secanti
P
B
Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due
secanti
allora l’intera secante e la sua parte esterna sono i medi e l’altra
secante intera e la sua parte sono gli estremi della proporzione
C
A
Vale anche l’inverso:
Se due segmenti consecutivi ma non adiacenti sono tali che un segmento e una sua parte
sono medi proporzionali tra l’altro segmento e una sua parte
allora i quattro punti estremi non comuni dei quattro segmenti in proporzione
appartengono alla stessa circonferenza
D
PA : PD = PC : PB
teorema della tangente e della secante
T
P
B
Se da un punto esterno ad una circonferenza si conduce una
tangente e una secante
allora il segmento di tangenza è medio proporzionale tra l’intera
secante e la sua parte esterna
Vale anche l’inverso:
Se un punto di uno di due segmenti consecutivi ma non adiacenti è tale che determina due
parti estremi proporzionali all’altro segmento
allora l’altro segmento è tangente alla circonferenza passante per i tre estremi non comuni
dei segmenti
C
PC : PT = PT : PB
teorema sul lato del decagono regolare
Il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è
congruente alla sezione aurea del raggio
r
il lato è medio proporzionale tra il raggio e la differenza tra il raggio e il lato cioè
teorema sul lato del pentagono regolare
r
r
a
v 2.5
Il lato del pentagono regolare è congruente all’ipotenusa di un
triangolo rettangolo avente per cateti il raggio della circonferenza
inscritta e la sezione aurea del lato del pentagono stesso
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21 di 21
Triangoli rettangoli particolari
geometria piana
triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°
i = ipotenusa
cm = cateto minore
cM = cateto maggiore
C
cM
cm
60°
30°
A
B
i
triangolo rettangolo con angoli di 45° (isoscele)
C
c
c
45°
45°
A
i = ipotenusa
c = cateto
B
i
triangolo rettangolo con angoli di 18° e 72°
i = ipotenusa
cm = cateto minore
cM = cateto maggiore
C
cM
cm
18°
72°
A
B
i
applicazioni
TRIANGOLO EQUILATERO:
applicazione del triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°
l
TRIANGOLO ISOSCELE PARTICOLARE:
applicazione del triangolo rettangolo con angoli di 18° e 72°
l
30° 30°
l
h
60°
18°
h
72°
60°
l
72°
l
l = lato
h = altezza
v 2.5
l = lato
h = altezza
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1 di 1
geometria piana
Sezione aurea di un segmento - Rettangolo Aureo
definizione di sezione aurea di un segmento
la sezione aurea ( ) di un segmento di lunghezza ( ) è la parte di segmento medio proporzionale tra il
segmento stesso e la parte rimanente
cioè:
per trovare la lunghezza della sezione aurea di un segmento basta trovare il valore di dalla proporzione.
Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni essa si trasforma in una equazione nell’incognita
•
•
•
si applica la proprietà fondamentale:
si sviluppano i calcoli:
si risolve l’equazione di II grado in :
il numero
vale circa 0,6180339887… Il suo inverso,
, si chiama numero aureo, vale circa 1,6180339887…
e viene indicato con la lettera
dall'iniziale dello scultore greco Fidia che avrebbe usato il numero aureo per creare la
struttura del Partenone di Atene
esempio
Per calcolare la sezione aurea di un segmento di lunghezza
precedentemente
basta applicare la formula dimostrata
•
definizione di rettangolo aureo
un rettangolo si dice aureo se il lato minore ( ) è la sezione aurea del lato maggiore ( ) cioè se il lato
minore è medio proporzionale tra il lato maggiore ( ) e la differenza tra i due lati (
), cioè:
le dimensioni standard di carte di credito, tessere telefoniche, badge per ogni applicazione corrispondono, salvo
tolleranze di fabbricazione, al rettangolo aureo
costruzione di un rettangolo aureo
Siano e i lati minore e maggiore del rettangolo aureo che si
vuole costruire. Allora:
•
•
•
•
•
v 1.3
si disegna un quadrato di lato
si trova il punto medio M della base del quadrato
si prolunga la base del quadrato
si traccia un arco dicirconferenza di centro M e raggio MN
il punto di intersezione tra l’arco di circonferenza e il
prolungamento del lato del quadrato individua il secondo
estremo del lato maggiore b del rettangolo.
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1 di 1
geometria solida
Volumi
e superfici
cubo
parallelepipedo rettangolo
prisma retto
piramide retta a base regolare
piramide retta
tronco di piramide
cilindro
cono equilatero (
v 2.5
delle principali figure solide
cilindro equilatero (
)
tronco di cono
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)
cono
sfera
1 di 2
geometria solida
Volumi
e superfici
segmento sferico ad 1 base
delle principali figure solide
segmento sferico a 2 basi
spicchio sferico
α
20 teorema di Guldino
10 teorema di Guldino
la superficie generata da una linea (o da un poligono) in
rotazione intorno ad un asse è uguale al prodotto della
circonferenza descritta dal suo baricentro per la sua
lunghezza (o perimetro)
l
il volume generato da una superficie in rotazione intorno
ad un asse è uguale al prodotto della circonferenza
descritta dal suo baricentro per la sua superficie
r
r
S
solidi platonici o poliedri regolari
I solidi platonici sono quei solidi le cui facce, tutte uguali tra loro, sono formate da poligoni regolari e tali che in ogni vertice
concorrono lo stesso numero di spigoli. Sono solo cinque:
tetraedro
esaedro (cubo)
ottaedro
dodecaedro
icosaedro
4 triangoli equilateri
6 quadrati
8 triangoli equilateri
12 pentagoni regolari
20 triangoli equilateri
Il volume dei solidi platonici si calcola moltiplicando il cubo dello spigolo per un numero caratteristico del solido:
formula di Eulero
Indicato con:
poliedro = solido dello spazio la cui frontiera è l’unione delle facce
faccia = figura piana che compone il poliedro
spigolo = segmento di incontro delle facce
vertice = punto di incontro degli spigoli
per tutti i poliedri vale la formula di Eulero:
v 2.5
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faccia
spigolo
●
vertice
2 di 2
Geometria analitica in sintesi
geometria analitica
punti
distanza tra due punti
coordinate del punto medio
tra due punti
coordinate del baricentro
di un triangolo di vertici
retta
forma implicita
equazione della retta
forma esplicita
e
q
m è il coefficiente angolare
forma segmentaria
●
●
q è l’intersezione con l’asse delle y
1
p
m
p è l’intersezione con l’asse delle x
coefficiente angolare della retta passante per due punti
equazione della retta passante per due punti
equazione della retta passante per un punto
di coefficiente angolare m
//
condizioni di parallelismo tra due rette r ed s
condizioni di perpendicolarità tra due rette r ed s
oppure
s
r
punto
di intersezione
tra due rette r ed s
retta in forma
implicita
retta in forma
esplicita
● P(x0,y0)
⊥
P(x0,y0)
d
distanza di un punto
da una retta r
r
equazione delle bisettrici degli
angoli formati da due rette r, s
b2
r
s
b1
tangente dell’angolo formato da due rette r ed s
di coefficiente angolare mr ed ms
rette particolari
y
y
y
y
y
y
●
n
●
x
v 2.7
asse x
x
asse y
x
parallela asse x
x
n
parallela asse y
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x
x
bisettrice I e III q.
bisettrice II e IV q.
1 di 7
Geometria analitica in sintesi
geometria analitica
parabola
F
● ●
●
La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da
un punto fisso detto fuoco e da una retta data detta direttrice:
P
d
parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y
d
●P
● ●
F
parabola con asse di simmetria parallelo all’asse x
equazione completa
coordinate del vertice
coordinate del fuoco
equazione dell’asse
equazione della direttrice
con area del rettangolo
circoscritto al segmento
parabolico
b=0
c=0
equazione della retta tangente alla
parabola in un suo punto
detta formula di sdoppiamento
area del segmento parabolico
parabole particolari
b=0 c=0
b=0
b=0 c=0
c=0
significato grafico del coefficiente a e del coefficiente c
●
c
●
a>0
v 2.7
c
c
a<0
●
se a = 0 la parabola degenera in una retta
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c
a>0
●
a<0
2 di 7
Geometria analitica in sintesi
geometria analitica
circonferenza
La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso C detto centro:
●
r
equazione completa
P
coordinate del centro C
C(α,β)
relazione del raggio r
equazione della circonferenza di centro
e raggio r
equazione della retta tangente alla circonferenza in un suo
punto
detta formula di sdoppiamento
equazione dell’asse radicale di due circonferenze
circonferenze particolari
se
C2
C1
●
●
R
r
esterne
la circonferenza si riduce al punto
●
●
v 2.7
●
●
●
secanti
●
tangenti interne
● ●
●
interne
concentriche
alcune formule sul cerchio e sulla circonferenza
settore circolare
segmento circolare ad una base
O
O
area del cerchio
origine degli assi cartesiani
posizioni reciproche di due circonferenze
tangenti esterne
cerchio
.
●
●
●
α
A
B
O
α
A
B
circonferenza
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3 di 7
Geometria analitica in sintesi
geometria analitica
ellisse
P
●
●
●
F1
F2
L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la somma
delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochi è costante:
ellisse con i fuochi sull’asse x
F2●
F1
●
P
●
ellisse con i fuochi sull’asse y
equazione in forma canonica
2a
lunghezza asse maggiore
2b
2a
lunghezza asse minore
2c
2b
2c
distanza focale
relazione tra i parametri a, b, c
coordinate dei fuochi
eccentricità
equazione della retta tangente alla
ellisse nel suo punto
detta
formula di sdoppiamento
ellisse traslata
l’ellisse si dice traslata se gli assi X e Y del suo sistema di riferimento sono paralleli agli assi cartesiani x e y
y
coordinate del centro
dell’ellisse
Y
●
O(α,β)
X
equazione dell’ellisse
riferita al sistema XOY
x
area e lunghezza dell’ellisse
b
·
v 2.7
a
·
per a=b l’ellisse diventa una circonferenza e la formula
diventa quella dell’area del cerchio
la lunghezza si calcola solo come sviluppo in serie di un
integrale curvilineo: un buon valore approssimato è
dato dalla formula del matematico indiano Ramanujan
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4 di 7
Geometria analitica in sintesi
geometria analitica
iperbole
P
●
F1
●
●
F2
L’iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la
differenza in valore assoluto delle distanze da due punti fissi F1
e F2 detti fuochi è costante:
iperbole con i fuochi sull’asse x
F2
●
●P
F1 ●
iperbole con i fuochi sull’asse y
equazione in forma canonica
2a
lunghezza asse trasverso
2b
lunghezza asse non trasverso
2c
distanza focale
relazione tra i parametri a, b, c
2b
2a
2c
coordinate dei fuochi
equazione degli asintoti
eccentricità
equazione della retta tangente alla
iperbole nel suo punto
detta
formula di sdoppiamento
iperbole traslata
l’iperbole si dice traslata se gli assi X e Y del suo sistema di riferimento sono paralleli agli assi cartesiani x e y
y
Y
●
O(α,β)
coordinate del centro dell’iperbole
X
equazione dell’iperbole con i fuochi
sull’asse X riferita al sistema XOY
x
v 2.7
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5 di 7
Geometria analitica in sintesi
geometria analitica
iperbole equilatera: a = b
equazione
relazione tra a, c
coordinate dei fuochi
equazione degli asintoti
iperbole equilatera ruotata di
F2 ●
F1●
F1
●
k>0
equazione
coordinate dei fuochi
F
● 2
k<0
iperbole equilatera ruotata e traslata detta funzione omografica
equazione
y
coordinate di O’
O’
x
v 2.7
equazione degli asintoti
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6 di 7
Geometria analitica in sintesi
geometria analitica
proprietà comuni a tutte le coniche
condizione di appartenenza di un punto
per verificare se un dato punto
retta r oppure ad una conica
appartiene ad una
ad una retta r o ad una conica
•
•
si sostituiscono le coordinate di ,
in r o in
si sviluppano i calcoli. Se si ottiene un’identità, il punto
appartiene alla retta o alla conica
posizione di una retta rispetto ad una conica
●
●
●
retta secante
retta tangente
retta esterna
per verificare se una retta è secante, tangente o esterna ad una conica bisogna:
•
•
•
•
•
ricavare la y dell’equazione della retta e sostituirla nell’equazione della conica
sviluppare i calcoli ed ordinare l’equazione rispetto alla
dell’equazione di II grado così ottenuta calcolare il
oppure, se
è pari, il
verificare il segno del
la retta è secante alla conica. Si hanno 2 intersezioni reali e distinte cioè 2 punti in comune
se
la retta è tangente alla conica. Si hanno 2 intersezioni reali e coincidenti cioè 1 punto in comune
se
se
la retta è esterna alla conica. Non si ha nessuna intersezione reale cioè nessun punto in comune
ricerca delle equazioni delle rette tangenti ad una conica
tangenti parallele ad una retta di coefficiente angolare m
tangenti da un punto esterno
•
•
•
•
•
•
•
v 2.7
si scrive l’equazione del fascio di rette proprio di centro
:
si ricava la y dall’equazione del fascio di rette
•
si scrive l’equazione del fascio di rette improprio di
coefficiente angolare
assegnato:
si sostituisce la y trovata nell’equazione della conica
•
si sostituisce la y trovata nell’equazione della conica
si sviluppano i calcoli e si ordina rispetto alla
ottenendo un’equazione di II grado in x
•
si sviluppano i calcoli e si ordina rispetto alla
ottenendo un’equazione di II grado in x
si ricava il o il
e lo si impone uguale a 0:
ottenendo una equazione di II grado nell’incognita
•
si risolve l’equazione in
•
ottenendo
ed
si sostituiscono uno alla volta i valori
ed
nell’equazione iniziale del fascio ottenendo le equazioni
delle due rette tangenti
•
si ricava il o il
e lo si impone uguale a 0:
ottenendo una equazione di I o II grado nell’incognita
si risolve l’equazione in
ottenendo
e
si sostituiscono uno alla volta i valori
e
nell’equazione iniziale del fascio ottenendo le equazioni
delle due rette tangenti
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7 di 7
Logaritmi
logaritmi
definizione
il logaritmo di un numero è l’esponente
da dare alla base
si chiama base
si chiama argomento
è il logaritmo in base di
per ottenere l’argomento
proprietà
la base
deve essere
l’argomento
il logaritmo
cioè:
deve essere
è un numero reale
teoremi principali sui logaritmi
teorema del prodotto
teorema del rapporto
teorema della potenza
proprietà derivate dai teoremi principali
potenza alla base e all’argomento
base frazionaria
argomento frazionario
base e argomento frazionario
scambiare la base con l’argomento
formula del cambio di base
trasformare un numero n in
logaritmo in base a
con il simbolo
trasformare un numero n in potenza
si indica il logaritmo in base e dove
è detto “numero di Nepero”
sulle calcolatrici scientifiche sono presenti i tasti lg e ln che consentono di calcolare i logaritmi in base 10 e in
base “e”. Per calcolare un logaritmo in una base diversa è necessario utilizzare la formula del cambio di base
grafici delle funzioni logaritmo ed esponenziale
logaritmo con base a > 1
v 3.7
logaritmo con base 0 < a < 1
esponenziale con base a > 1
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esponenziale a base 0 < a < 1
1 di 1
Angoli: misura e conversioni
goniometria
grado sessagesimale
radiante
grado centesimale
100c
90o
180o
200c
0
0o
360o
300c
270o
Il grado sessagesimale è la
360a parte dell’angolo giro
0c
400c
Il radiante è l’angolo il cui arco Il grado centesimale è la 400a
è uguale al raggio
parte dell’angolo giro
un radiante vale circa 57° 17′ 44′′
nelle
calcolatrici
scientifiche nelle
calcolatrici
scientifiche nelle
calcolatrici
scientifiche
questo sistema di misura è questo sistema di misura è questo sistema di misura è
indicato con il simbolo DEG o D
indicato con il simbolo RAD o R
indicato con il simbolo GRAD o G
conversioni
da gradi sessagesimali a radianti
da radianti a gradi sessagesimali
•
•
Es.:
perché
Es.:
sostituire
semplificare
da gradi centesimali a sessagesimali
con
perché
Es.:
perché
conversione da gradi sessagesimali decimali a gradi (°) primi (‘) e secondi (‘’)
data la misura sotto forma di gradi decimali, si separa la
parte intera dalla parte decimale
si moltiplica la parte decimale per 60
la misura così ottenuta si separa ancora in parte intera e
parte decimale, la parte intera rappresenta i primi
la parte decimale si moltiplica ancora per 60, il risultato
rappresenta i secondi
si ottiene così la conversione richiesta
conversione da gradi (°) primi (‘) e secondi (‘’) a gradi sessagesimali decimali
data la misura sotto forma di gradi, primi e secondi, si
isolano i secondi e si dividono per 60
il valore ottenuto si somma ai primi
il valore ottenuto si divide ancora per 60
la misura ottenuta si somma ai gradi
si ottiene così la conversione richiesta
v 2.2
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1 di 1
Funzioni goniometriche: definizioni e proprietà
goniometria
Data la circonferenza goniometrica di centro l’origine degli assi cartesiani e raggio 1 si definiscono le funzioni:
seno
90°
P
angoli
1
α
180°
valori
0°
O
360°
H
270°
0
0°
90°
180°
270°
coseno
angoli
valori
0
segno e crescenza nei quadranti
quadrante
1°
2°
3°
4°
α
O
0°
90°
180°
270°
P
0
0
tangente
+
+
angoli
A
0°
90°
180°
B
segno e crescenza nei quadranti
quadrante
1°
segno
4°
+
crescenza
+
2°
3°
T
valori
α
O
0
0
270°
cotangente
angoli
valori
segno e crescenza nei quadranti
quadrante
segno
1°
+
2°
crescenza
+
3°
4°
C
P
α
O
secante
0°
90°
180°
270°
0
0
segno e crescenza nei quadranti
quadrante
1°
2°
3°
4°
E
segno
crescenza
+
+
cosecante
P
P
α
α
v 1.6
crescenza
P
K
O
segno
O
S
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1 di 1
goniometria
Funzioni goniometriche, relazioni fondamentali
e
grafici
definizione delle funzioni goniometriche sulla circonferenza goniometrica di centro l’origine degli assi e raggio 1
P
●
O
seno α
α
α●
O
H
coseno α
K●
T
P●
●
B
●P
●
α
α
tangente α
●
α
●
A
C
●
●P
O
cotangente α
E
●
●
S
cosecante α
P
●
α
O
O
secante α
P
O
le cinque relazioni fondamentali
relazioni che esprimono una funzione goniometrica rispetto alle altre
in funzione di …
il segno
in funzione di …
in funzione di …
in funzione di …
o – va preso a seconda del segno della funzione nel quadrante in cui si trova l’angolo
grafici delle funzioni goniometriche
seno
v 2.6
coseno
tangente
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cotangente
1 di 1
goniometria
gradi
Tabella dei valori di funzioni goniometriche di angoli ricorrenti
radianti
seno
coseno
tangente
cotangente
0°
9°
15°
18°
22°30
30°
36°
45°
54°
60°
67°30
72°
75°
81°
90°
180°
270°
360°
v 2.0
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1 di 1
Angoli associati
goniometria
angoli supplementari
angoli complementari
secondo quadrante
primo quadrante
angoli che differiscono di un angolo piatto
angoli che differiscono di un angolo retto
terzo quadrante
secondo quadrante
angoli esplementari
angoli la cui somma è 270°
quarto quadrante
terzo quadrante
angoli opposti
angoli che differiscono di 270°
quarto quadrante
quarto quadrante
90°
90°
180°- α
180°
α
α
α
O
α
α
α
α α
0°
α
180°
O
360°
0°
360°
α α
-α
360°- α
180°+ α
270°- α
270°
v 2.3
90°- α
90°+ α
270°+ α
270°
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1 di 1
goniometria
Formule goniometriche
addizione e sottrazione
duplicazione
triplicazione
bisezione
parametriche o razionali
(
)
prostaferesi
Werner
v 1.9
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1 di 1
Teoremi sui triangoli rettangoli
trigonometria
relazioni fondamentali sui triangoli rettangoli
dalla definizione di seno di un angolo si ha:
B
dalla similitudine dei triangoli rettangoli OPH e OBC si ha in generale che:
P
O
α
C
H
analogamente in ogni triangolo rettangolo per il coseno vale la relazione:
esempio
B
c
a
α
O
b
C
relazioni sui triangoli rettangoli
esempi
e
C
γ
e
e
a
b
e
β
A
c
B
e
e
e
v 2.7
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1 di 1
Teoremi sui triangoli qualsiasi
trigonometria
teorema della corda
in una circonferenza la lunghezza di una corda è uguale al
prodotto del diametro per il seno di uno degli angoli alla
circonferenza che insistono sulla corda:
B
β
α
A
oppure
corollario
per il teorema della corda, in un triangolo il rapporto tra un
lato (inteso come corda) e il seno dell’angolo opposto è
uguale al diametro della circonferenza circoscritta al
triangolo:
C
γ
a
b
β
α
A
B
c
teorema dei seni o di Eulero
in un triangolo ogni lato è direttamente proporzionale al
seno dell’angolo opposto:
C
b
a
γ
α
β
A
B
c
teorema delle proiezioni
in un triangolo un lato è uguale alla somma dei prodotti
degli altri due lati per il coseno dell’angolo che ogni lato
forma con il primo:
C
b
γ
a
α
β
A
c
B
teorema del coseno o di Carnot
in un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei
quadrati degli altri due lati, meno il doppio prodotto dei due
lati per il coseno dell’angolo tra essi compreso.
C
b
a
γ
β
α
A
c
B
area di un triangolo
l’area di un triangolo è uguale al prodotto di due lati per il
seno dell’angolo tra essi compreso diviso due
C
b
a
γ
α
A
v 2.8
β
c
B
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1 di 1
Formule di Trigonometria
trigonometria
formule di Briggs
C
b
dato un triangolo qualsiasi di cui siano note le
misure dei lati a, b, c e il semiperimetro p, i seni, i
coseni, le tangenti e le cotangenti delle
semiampiezze degli angoli sono espresse dalle
seguenti relazioni:
a
γ
α
β
A
B
c
formula di Erone
C
a
b
A
B
c
l’area di un triangolo qualsiasi si esprime in
funzione delle lunghezze dei lati a, b, c e del
semiperimetro p come:
teorema delle tangenti o di Nepero
C
a
b
α
A
β
c
B
applicazioni della trigonometria alla geometria analitica
significato del coefficiente angolare m di una retta di
equazione in forma esplicita
α
r
α
tangente dell’angolo formato da due rette r ed s di
coefficiente angolare
ed
s
v 2.4
se
se
è acuto la tangente è positiva
è ottuso la tangente è negativa
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1 di 2
Formule di Trigonometria
trigonometria
applicazioni della trigonometria alla geometria
raggio R della circonferenza circoscritta ad un
triangolo
C
γ
b
α
A
a
R
O
β
c
raggio r della circonferenza inscritta in un triangolo
C
γ
b
a
r
α
A
= area del triangolo
oppure
B
β
= area del triangolo
oppure
B
c
p = semiperimetro del triangolo
raggio delle circonferenze ex-inscritte ad un triangolo
(cioè tangenti a un suo lato e ai prolungamenti degli altri due)
ra
oppure
C
oppure
γ
b
a
α
β
A
B
c
C
= area del triangolo
p = semiperimetro del triangolo
mediane di un triangolo
a
b
oppure
M
ma
A
B
c
bisettrici di un triangolo
C
γ
b
ba
α/2
A
D
a
β
B
c
area di un parallelogramma
D
area di un quadrilatero
C
D
b
A
v 2.4
α
A
a
B
α
C
d1
d2
B
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2 di 2
Grafici delle funzioni elementari
analisi
potenza con esponente pari
v 3.1
radice con indice pari
seno
arcoseno
potenza con esponente dispari
radice con indice dispari
coseno
arcocoseno
logaritmo con base > 1
esponenziale con base > 1
tangente
arcotangente
logaritmo con 0 < base < 1
esponenziale con 0 <base < 1
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cotangente
arcocotangente
1 di 1
Grafici di funzioni: trasformazioni
analisi
Noto
grafico di una funzione
in alcuni casi è possibile
disegnare il grafico di una nuova
funzione ottenuta da quella nota
mediante una semplice trasformazione.
funzione iniziale
il
Di seguito si riportano i casi più comuni
per una funzione a dominio positivo
traslazione verso l’alto di
traslazione verso destra di
unità
ribaltamento della parte negativa rispetto all’asse delle x
ribaltamento rispetto all’asse y
riflessione rispetto all’asse delle y
dilatazione sull’asse y di un fattore
dilatazione sull’asse x di un fattore
ribaltamento rispetto all’asse x e all’asse y
ribaltamento della parte negativa rispetto all’asse
x e successiva riflessione rispetto all’asse delle y
contrazione sull’asse y di un fattore
contrazione sull’asse x di un fattore
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unità
traslazione verso il basso di
ribaltamento rispetto all’asse x
v 2.6
traslazione verso sinistra di
unità
unità
1 di 1
Segno, intersezioni, simmetrie e periodicità di una funzione
analisi
studio del segno della funzione
scopo: lo studio del segno individua le regioni di piano in cui la funzione è positiva (+), cioè si trova nel
semipiano delle ordinate positive (al di sopra dell’asse delle ), o negativa ( ), cioè si trova nel semipiano delle
ordinate negative (al di sotto dell’asse delle ). Lo studio del segno va svolto ovviamente solo all’interno del
dominio della funzione
come si cerca:
•
•
•
si pone la funzione maggiore di zero
si risolve la disequazione
si cancellano le regioni di piano dove la funzione
NON esiste
esempio
Studiamo il segno della seguente funzione
si studia innanzitutto il dominio
si pone la funzione maggiore di zero
si risolve la disequazione
si cancellano le regioni di piano dove la funzione non
esiste:
• nell’intervallo dove la funzione è negativa si
cancella la parte di piano al di sopra dell’asse
• nell’intervallo dove la funzione è positiva si
cancella la parte di piano al di sotto dell’asse
studio delle intersezioni della funzione con gli assi cartesiani
scopo: lo studio delle intersezioni della funzione con gli assi cartesiani individua i punti di contatto della funzione con l’asse e con l’asse . I primi sono anche detti “zeri della funzione” perché hanno
●
●
●
intersezioni con l’asse
come si cercano:
•
•
●
come si cerca:
•
v 1.3
si pone la funzione uguale a zero, si risolve l’equazione
le soluzioni dell’equazione sono gli zeri della funzione
intersezione con l’asse
•
o zeri della funzione
(solo se il dominio lo consente)
si sostituisce alla nella funzione
si svolgono i calcoli e si ottiene l’ordinata del punto di
intersezione con l’asse delle y
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1 di 4
analisi
Segno, intersezioni, simmetrie e periodicità di una funzione
esempio
Studiamo le intersezioni con gli assi cartesiani della
seguente funzione
cerchiamo le intersezioni con l’asse ponendo la
funzione uguale a zero
risolviamo l’equazione; la soluzione è l’ascissa del
punto di intersezione cercato
cerchiamo le intersezioni della funzione con l’asse
sostituendo alla nella funzione; si sviluppano i
calcoli e si ottiene l’ordinata del punto cercato
gli eventuali punti di intersezione della funzione con
l’asse
si possono anche dedurre osservando il
grafico dello studio del segno (per esempio, il grafico
a destra). Due zone successive di segno opposto sono
separate da un punto di intersezione della funzione
(sempre se il punto appartiene al
con l’asse
dominio); due zone successive dello stesso segno
individuano invece un punto di contatto della
funzione con l’asse delle
(sempre se il punto
appartiene al dominio)
studio delle simmetrie di una funzione
scopo: la presenza di eventuali simmetrie semplifica la ricerca del grafico della funzione. Ciò consente di studiare analiticamente la funzione solo nel semipiano positivo delle ascisse e successivamente di ribaltarne il grafico ottenuto nel semipiano negativo, rispetto all’asse se la funzione è pari, oppure rispetto all’origine se la funzione è dispari
simmetria rispetto all’asse y o simmetria pari
definizione:
una funzione simmetrica rispetto all’asse delle
come si cerca:
•
•
•
si dice pari
si sostituisce con
nel testo della funzione
si sviluppano i calcoli
se
la funzione è pari
simmetria rispetto all’origine o simmetria dispari
definizione:
una funzione simmetrica rispetto all’origine degli assi
cartesiani si dice dispari
come si cerca:
•
•
•
si sostituisce con
nel testo della funzione
si sviluppano i calcoli e si raccoglie il segno “ “
se
la funzione è dispari
esempi
1.
Studiamo la simmetria della seguente funzione
sostituiamo con
luppiamo i calcoli
v 1.3
nel testo della funzione e svi© 2013 - www.matematika.it
2 di 4
Segno, intersezioni, simmetrie e periodicità di una funzione
analisi
confrontiamo il testo ottenuto della
con quello
iniziale della
e notiamo che sono diversi
la funzione non è pari
raccogliamo il segno “ “ nel testo della
confrontiamo il testo della
con quello della
e notiamo che sono diversi
2.
la funzione non è nemmeno dispari
Studiamo la simmetria della seguente funzione
sostituiamo con
luppiamo i calcoli
nel testo della funzione e svi-
confrontiamo il testo ottenuto della
con quello
iniziale della
e notiamo che sono diversi
la funzione non è pari
raccogliamo il segno “ “ nel testo della
confrontiamo il testo della
con quello della
e notiamo che sono uguali
la funzione è dispari
lo studio delle eventuali simmetrie di una funzione si effettua in genere dopo aver calcolato il dominio e studiato il segno della funzione. Ciò è un vantaggio perché solo se il dominio ed il grafico del segno sono entrambi simmetrici
allora (e solo allora) la funzione potrebbe essere simmetrica ed ha senso studiarne algebricamente le simmetrie.
Viceversa se il dominio o il grafico del segno NON sono entrambi simmetrici la funzione NON potrà essere simmetrica.
Ciò è evidente osservando il grafico dell’esempio dello studio del segno della funzione
studio della periodicità di una funzione
definizione:
una funzione che ripete a intervalli regolari la sua forma
si dice periodica e la dimensione dell’intervallo ripetuto
si dice periodo e si indica con T
come si cerca il periodo T della funzione:
•
•
•
T
periodo
esempi
1.
si pone
ottenendo una equazione
si risolve l’equazione nell’incognita T
il valore trovato di T è il periodo della funzione
Calcoliamo il periodo della seguente funzione
poniamo
ottenendo una equazione
risolviamo l’equazione nell’incognita T
il periodo richiesto si trova ponendo
2.
Calcoliamo il periodo della seguente funzione
poniamo
ottenendo una equazione
risolviamo l’equazione nell’incognita T
v 1.3
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3 di 4
Segno, intersezioni, simmetrie e periodicità di una funzione
analisi
il periodo richiesto si trova ponendo
•
il calcolo del periodo di una funzione si effettua solo se la funzione è composta da funzioni periodiche
Ricordiamo che le funzioni periodiche elementari sono:
,
,
,
. Le prime due hanno
periodo uguale a , le ultime due hanno periodo uguale a , come si vede dai loro grafici qui sotto riportati.
In questi casi si possono utilizzare le più semplici formule riportate di seguito per il calcolo della periodicità.
seno
•
osservazioni importanti
coseno
tangente
cotangente
la ricerca del periodo di una funzione si effettuata risolvendo un’equazione goniometrica. In molti casi lo
svolgimento dell’equazione può risultare complesso per cui è utile ricordare alcune regole pratiche:
a) data una funzione
di periodo T : il periodo di
è
il periodo di
è
b) data una funzione composta dalla somma (o differenza) di funzioni periodiche il suo periodo è uguale
al minimo comune multiplo dei periodi delle funzioni che la compongono
quesiti tratti da tracce di esami di stato di liceo scientifico
1.
“Sia
poniamo
ottenendo una equazione
(Tratto dall’esame di Stato 2012 problema 1 prima domanda)
risolviamo l’equazione nell’incognita T
il periodo richiesto si trova ponendo
applicando la regola pratica si ha
2.
“Si determini il periodo della funzione
poniamo
ottenendo una equazione
(Tratto dall’esame di Stato 2009 quesito 10)
risolviamo l’equazione nell’incognita T
il periodo richiesto si trova ponendo
applicando la regola pratica si ha
v 1.3
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4 di 4
analisi
Derivate
derivate delle funzioni elementari
dove k è una costante
regole di derivazione
prodotto di una
costante k per una
funzione
somma di due o più
funzioni
prodotto di due
funzioni
prodotto di tre
funzioni
rapporto di due
funzioni
funzione composta
funzione elevata ad
una funzione
v 2.3
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1 di 2
analisi
Derivate
esempi di derivate di alcune funzioni elementari
=
=
esempi di derivate con le regole di derivazione
Derivata del prodotto di una costante
per una funzione
Derivata della somma di due o più funzioni
Derivata del prodotto di due funzioni
Derivata del rapporto di due funzioni
Derivata di una funzione composta
Derivata di una funzione elevata ad una funzione
v 2.3
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2 di 2
Integrali indefiniti
analisi
immediati
immediati generalizzati
dove
è una
costante
un integrale generalizzato si ottiene da un integrale
immediato sostituendo con
e
con
in generale
l’integrale di una funzione composta
per la derivata della funzione interna
primitiva della funzione esterna
moltiplicata
è uguale alla
alcuni metodi di integrazione
prodotto di una costante k per
una funzione
v 3.3
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metodo di decomposizione in
somma
1 di 3
analisi
Integrali indefiniti
esempi di alcuni integrali immediati
esempi di alcuni integrali immediati generalizzati
per verificare la correttezza del risultato dell’integrale basta confrontare la derivata del risultato con l’integrando.
Se sono uguali, allora il risultato è corretto. Ad esempio, in riferimento all’ultimo esercizio:
cioè uguale alla funzione integranda
v 3.3
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2 di 3
analisi
Integrali indefiniti
esempi di alcuni metodi di integrazione
prodotto di una costante per una funzione
metodo di decomposizione in somma
risolviamo il seguente integrale
decomponiamo l’integrale in due integrali
metodo per parti
risolviamo singolarmente i due integrali ed
otteniamo il risultato
risolviamo il seguente integrale
integriamo la funzione
deriviamo la funzione
svolgiamo i calcoli
risolviamo il secondo integrale ed otteniamo il
risultato
risolviamo il seguente integrale
integriamo la funzione
deriviamo la funzione
portiamo la costante fuori dal secondo integrale e
applichiamo di nuovo il metodo per parti
integriamo la funzione
deriviamo la funzione
risolviamo l’integrale
=
v 3.3
svolgiamo i calcoli ed otteniamo il risultato
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3 di 3
analisi per l’università
Sviluppo in serie di funzioni elementari
sviluppo in serie di Taylor
•
•
•
f(x) è una funzione derivabile almeno n volte in
è detto resto di Peano e si legge: o piccolo di
o piccolo è un infinitesimo di ordine superiore a
, cioè:
algebra degli o piccoli: per
se
si ha:
si ha lo sviluppo in serie di Mac Laurin
sviluppo in serie di Mac Laurin di alcune funzioni elementari
funzione potenza con
funzione radice quadrata
funzione esponenziale con base
funzione esponenziale con base
funzione logaritmo in base
funzione seno
funzione coseno
funzione tangente
funzione cotangente
funzione secante
funzione cosecante
funzione arcoseno
funzione arcocoseno
funzione arcotangente
v 2.3
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funzione arcocotangente
1 di 1
Serie numeriche
analisi per l’università
definizioni
Data la successione
si considerino le somme parziali
si dice serie di termine generale
e si indica con
cioè:
oppure con
carattere della serie
se S è finito
•
altrimenti
•
•
se
Se
se
assegnate
converge
converge
e
si dice convergente
la serie
è indeterminata
la serie
si dice divergente
prime proprietà
converge
se
la serie
condizione necessaria ma non sufficiente per la
convergenza di una serie è che il termine generico sia
infinitesimo
e
e
convergenza del prodotto di una costante per una serie
converge convergenza della somma di due serie
convergono
serie notevoli
simbologia
carattere
divergente
divergente
convergente
irregolare
convergente
divergente
...
irregolare
nome
serie armonica
serie armonica
generalizzata
serie geometrica
di ragione
convergente
serie geometrica di
punto iniziale e
ragione
convergente
serie di Mengoli
divergente
v 2.1
(positivamente o negativamente)
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1 di 2
Serie numeriche
analisi per l’università
Criteri di convergenza
criterio del confronto per serie a termini non negativi
Date le successioni
•
e
se
sia:
converge
se
converge
diverge
diverge
criterio del confronto mediante i limiti per serie a termini non negativi
Date le successioni
•
•
e
,
se
sia:
se
e
se
le serie
e
sono entrambe
convergenti oppure divergenti
e
converge
converge
diverge
criterio degli infinitesimi per serie a termini non negativi
Data la successione
sia:
•
con
•
converge
se
se
diverge
e
se
converge
e
criterio della radice o di Cauchy per serie a termini positivi
Data la successione
•
•
se
sia:
con
diverge
converge
se
,
diverge
diverge
se
non si può dire nulla
può essere utile in caso di serie con esponenziali
criterio del rapporto o di D’Alembert per serie a termini positivi
Data la successione
•
•
se
sia:
con
,
converge
se
può essere utile in caso di serie con fattoriali
diverge
se
non si può dire nulla
criterio di Leibnitz per serie con termini a segno alterno decrescente
Data la successione
Data la serie alternante
Data la serie
v 2.1
sia:
e la serie
•
•
se
converge
se
criterio di convergenza assoluta
se
converge
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converge
2 di 2
Coordinate polari
analisi per l’università
ed
Equazioni di curve notevoli
coordinate polari
y
●
coordinate cartesiane del punto P
P
coordinate polari del punto P
ρ
distanza di P dall’origine
θ
x
passaggio di coordinate
da cartesiane a polari
misura dell’angolo orientato in senso
antiorario e formato da con il semiasse
positivo delle x
da polari a cartesiane
equazione cartesiana parametrica e polare di curve notevoli
grafico
equazione cartesiana
equazione parametrica
equazione polare
retta
con
segmento di estremi
Q
con
P
x2
x1
con
con
e
parabola
con asse parallelo all’asse y
con
circonferenza
●
di centro
e raggio r
con
circonferenza
di centro l’origine e raggio r
con
ellisse
●
con
ellisse traslata di centro
●
con
v 2.4
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1 di 1
Numeri Complessi
numeri complessi
numeri immaginari
•
•
si chiama unità immaginaria e si indica con la radice quadrata di
un numero immaginario si ottiene dalla radice quadrata di un numero negativo
ad esempio:
•
:
le potenze di
in generale
si ripetono di 4 in 4 infatti:
con r resto della divisione di n per 4. Ad esempio:
perchè
numeri complessi (forma algebrica)
•
•
con resto r = 3
un numero complesso z è la somma di un numero reale e di un numero immaginario:
Esempio:
due numeri complessi si dicono coniugati se hanno la stessa parte reale e la parte immaginaria
opposta.
Esempio:
Somma:
e
sono numeri complessi coniugati
operazioni tra numeri complessi
Dati due numeri complessi
si sommano le parti reali e le parti
e
immaginarie
Prodotto: si effettuano i prodotti tra i due binomi
ricordando che
Rapporto: si moltiplica e si divide il rapporto dei
due numeri per il complesso
Potenza:
coniugato del denominatore
si effettua la potenza del binomio
Per la potenza : se l’esponente è maggiore di 3 conviene usare la formula di De Moivre (vedi scheda di approfondimento)
esempio
risolviamo la seguente equazione di secondo grado a coefficienti reali nel campo complesso:
v 3.0
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1 di 1
Numeri complessi: approfondimento
numeri complessi
rappresentazione nel piano complesso (piano di Gauss) di un numero complesso z
forma algebrica
forma trigonometrica
i
i
z
z
b
ρ
a
R
= parte reale
= parte immaginaria
b
θ
a
R
passaggio dalla forma algebrica a quella trigonometrica
•
= modulo
= anomalia
per il teorema di Pitagora
•
per le relazioni di trigonometria dei triangoli rettangoli si ha:
per determinare l’angolo è necessario tenere conto dei segni di a e b per individuare il quadrante in cui si trova
il punto e di conseguenza l’angolo (vedi i seguenti esempi)
per passare dalla forma trigonometrica a quella algebrica basta calcolare i valori del seno e coseno e sviluppare i calcoli
potenza n-sima di un numero complesso in forma trigonometrica (formula di De Moivre)
Esempio:
radice n-sima di un numero complesso in forma trigonometrica
con k = 0,1,2,…,n-1
Esempio:
con k = 0 e k = 1 cioè:
k =0
k =1
nel campo complesso la radice n-sima di un numero ha sempre n soluzioni, ciò implica che non si può effettuare la
semplificazione tra l’indice della radice e l’esponente del radicando, cioè:
altrimenti si perdono soluzioni
forma esponenziale di un numero complesso
la forma esponenziale di un numero complesso z è:
si ottiene applicando alla forma trigonometrica
v 2.8
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la formula di Eulero
1 di 1
Le grandezze fisiche
fisica
grandezze fondamentali del Sistema Internazionale (S.I.)
nome della grandezza
lunghezza
massa
intervallo di tempo
temperatura
intensità di corrente elettrica
intensità luminosa
quantità di sostanza
nome della grandezza
angolo piano
angolo solido
area
volume
densità
velocità
accelerazione
frequenza
velocità angolare
forza
pressione
quantità di moto
momento angolare
energia
lavoro
potenza
calore
capacità termica
calore specifico
simbolo
l, h, L
unità di misura
simbolo
Metro
m
m, M
Chilogrammo
kg
T
i, I
grado Kelvin
Ampere
K
m
Candela
Mole
cd
mol
unità di misura (SI)
simbolo
Radiante
rad = m/m
t,
Secondo
L
alcune grandezze derivate
simbolo
A, S
V
v
F, f
P
q, Q, p
p, P
E, K
L, W
C
A
Steradiante
sr = m2 / m2
metro cubo
m3
metro quadrato
m2
chilogrammo su metro cubo
kg/m3
metro su secondo quadrato
m/s2
metro su secondo
m/s
Hertz
Hz = 1/s
Newton
N = kg⋅m/s2
chilogrammo per metro su secondo
kg⋅m/s
radiante su secondo
Pascal
rad/s
Pa = N/m2
chilogrammo per metro al quadrato su
secondo
kg⋅m2/s
Joule
J = N⋅m
Joule
W, P
Q
s
J = N⋅m
Watt
W = J/s
Joule su Kelvin
J/K
Joule
J = N⋅m
c
Joule su Kelvin per chilogrammo
J/(K⋅kg)
carica elettrica
q, Q
E
Coulomb
Newton su Coulomb
C
forza elettromotrice
, f.e.m.
Volt
calore latente
intensità di campo elettrico
differenza di potenziale elettrico
capacità elettrica
resistenza
resistività
intensità di campo magnetico
flusso magnetico
induttanza elettrica
v 3.1
Joule su chilogrammo
C
R
M
L
N/C
Volt
V = J/C
Farad
F = C/V
V = J/C
Ohm
Ω = V/A
Tesla
T = N/A⋅m
Ohm per metro
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J/kg
Weber
Henry
Ω⋅m
Wb = T⋅m2
H = V⋅S/A
1 di 2
Le grandezze fisiche
fisica
tabelle di conversione al Sistema Internazionale
lunghezze
1 parsec (pc)
3,09
1 lega marina (lea)
5556 m
1 anno luce (a.l.)
1016
m
9,461∙1015
1 unità astronomica (UA)
m
1,50∙1011 m
1 miglio (mi)
1609,3 m
1 yarda (yd)
0,3048 m
1 pollice (in)
1 caloria (cal)
4,186 J
1 elettronVolt (eV)
1 erg
pressione
1,602 ∙
J
1 ora (h)
1 oncia (oz)
J
1 grano (grain)
simbolo
Y
Z
E
P
T
G
M
k
h
da
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
v 3.1
100 kg
0,0002 kg
3,2
temperatura
1 barile
1000 litri (l)
1,013 Pa
0,00454 m3
1000 kg
gradi Réaumur (°R)
altre unità di misura
1 ettaro (ha)
10.000 m2
1 gallone (gal)
Pa
133 Pa
0,064 g
masse
1 pinta britannica (pt)
1 B.T.U.
1055 J
volumi
0,163 m3
m3
0,00057 m3
1 acro (ac)
1 nodo (knt)
multipli e sottomultipli delle unità di misura
nome
Yotta
Zetta
Exa
Peta
Tera
Giga
Mega
Chilo
Etto
Deca
lunghezze
chilometro
ettometro
decametro
metro
decimetro
centimetro
millimetro
kg
gradi Fahrenheit (°F)
1 bar (bar)
1 atmosfera (atm)
60 s
gradi Celsius (°C)
105
1 mm di mercurio (mmHg)
3600 s
1 carato (car)
m
energia
86.400 s
1 quintale (qt)
m
1 Ångstrom (Å)
1 giorno (d)
2.600.000 s
1 tonnellata (ton)
0,0254 m
1 micron (μm)
1 mese
1 minuto (min)
0,9144 m
1 piede (ft)
1 anno (a)
intervalli di tempo
31.600.000 s
fattore
1024
1021
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
simbolo
d
c
m
μ
n
p
f
a
z
y
nome
0,40 ha
1,852 km/h
fattore
deci
centi
milli
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto
scale di misura per le grandezze più utilizzate
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
masse
chilogrammo
ettogrammo
decagrammo
grammo
decigrammo
centigrammo
milligrammo
--a.
--d
h
min
s
tempo
secolo
anno
mese
giorno
ora
minuto
secondo
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volumi
--hl
dal
l
dl
cl
ml
--ettolitro
decalitro
litro
decilitro
centilitro
millilitro
2 di 2
Cifre significative
fisica
definizione
si chiamano cifre significative le cifre lette dalla misura di una grandezza fisica.
Esse dipendono dalla sensibilità dello strumento di misura.
esempi
1,22 m 1,2,2 sono cifre significative
19,02 g 1,9,0,2 sono cifre significative
27,100 cm2 2,7,1,0,0 sono cifre significative
criterio di conteggio delle cifre significative
in una misura sono significative tutte le cifre eccetto gli zeri iniziali
esempi
0,2 s
1,22 m
ha 1 cifra significativa
ha 3 cifre significative
0,047 m/s
19,02 g
ha 2 cifre significative
ha 4 cifre significative
3207,50 J
ha 6 cifre significative
27,100 cm2 ha 5 cifre significative
cifre significative nel risultato di operazioni tra grandezze fisiche
il numero di cifre significative nel risultato di operazioni condotte su due o più misure di grandezze
fisiche è uguale al numero di cifre significative della misura meno accurata. In particolare:
•
•
nell’operazione di addizione e sottrazione, il risultato ha come ultima cifra significativa quella che
si ottiene dalla somma o differenza di cifre significative delle misure iniziali
nell’operazione di moltiplicazione e divisione, il risultato ha il minimo numero di cifre significative
delle misure iniziali
esempi
perché in 10,63 3 è somma di cifre significative
perché in 1,58 8 è somma di cifre significative
perché in 1,89 9 è differenza di cifre significative
perché in 204,0 0 è differenza di cifre significative
perché la cifra significativa di entrambe le misure è 3
perchè la cifra significativa minima delle misure è 3
perché la cifra significativa di entrambe le misure è 2
perchè la cifra significativa minima delle misure è 3
•
•
fai attenzione che i numeri che devono essere usati nei calcoli vanno tenuti sempre con una o due cifre significative in
più di quelle richieste nel risultato finale e ciò per ridurre le inaccuratezze introdotte dall’arrotondamento.
Solo dopo l’ultimo passaggio algebrico si arrotonda il risultato al numero di cifre significative corretto.
fai attenzione che il numero di cifre significative del risultato di un’operazione condotta su due o più misure è
regolato dall’errore associato al risultato stesso, errore ottenuto mediante la teoria di propagazione degli errori.
Le regole qui enunciate sono solo una semplificazione della presentazione del risultato di una misura derivata.
v 1.1
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1 di 1