Materiali conduttori

Lezione 15
Materiali conduttori.
I materiali conduttori sono impiegati prevalentemente nei circuiti elettrici per il
collegamento tra i vari componenti; inoltre costituiscono le strutture equipotenziali nei
componenti elettrostatici e fungono da schermo elettrico.
Conduzione elettrica
I conduttori sono materiali che contengono un elevato numero di cariche libere per unità
di volume (1023 cm-3). Queste sono in grado di muoversi all’interno del materiale su
lunghezze macroscopiche, dando luogo ad una corrente di conduzione. La classe dei
conduttori è costituita essenzialmente da materiali metallici ove gli elettroni di valenza,
che occupano lo strato più lontano dal nucleo, a cui sono debolmente vincolati, possono
abbandonare facilmente gli atomi di cui fanno parte sotto azioni esterne o anche solo a
causa dell’agitazione termica.
Un conduttore metallico si può quindi pensare costituito da una struttura di cariche
positive, fisse nei vertici di un reticolo, e da una nube di elettroni liberi che si muovono in
maniera disordinata a causa dell’agitazione termica, urtando continuamente fra loro e
contro le cariche fisse positive del reticolo. Sotto l’azione di un campo elettromagnetico
esterno,
su
ciascun
elettrone
libero
agisce
una
forza
(Forza
di
Lorentz:
F = q[E ( P, t ) + v × B( P, t ) ] ) che dà luogo ad un moto ordinato che si sovrappone al moto
disordinato dovuto all’agitazione termica.
Un conduttore percorso da corrente stazionaria è sede di due campi vettoriali entrambi
stazionari: il campo elettrico E (che è conservativo e soddisfa alla legge di Gauss) e il
campo densità di corrente J (che è solenoidale).
 E ⋅ dl = 0
∫γ

∫∫ J ⋅ ndS = 0
 Σ
Come sono legati tra loro questi due campi?. Il legame tra campo elettrico e campo
densità di corrente dipende dalle caratteristiche fisiche del conduttore e può essere
espresso da una relazione del tipo:
J = f (E )
che prende il nome di relazione costitutiva e va determinata sperimentalmente caso per
caso. Per alcuni conduttori, a temperatura costante, tale relazione è lineare e del tipo:
1
E = ρJ ; J = ηE
in cui ρ è la resistività elettrica del materiale [Ωm] e η è la conducibilità elettrica [S/m].
Questa relazione è nota come legge di Ohm (in forma locale).
Nella pratica ingegneristica si usano spesso altre unità di misura per la resistività quale, d
esempio, [Ωmm2/m]. La conducibilità elettrica è, fra i parametri che caratterizzano un
materiale, quello che presenta la maggior variazione: infatti ci possono essere anche 20 e
più ordini di grandezza di differenza tra la resistività un buon conduttore (es. rame ≈ 10-8
[Ωm]) e quella di un buon isolante (es. porcellana ≈ 10+13 [Ωm]).
Ovviamente possono esserci, oltre al caso di comportamento non lineare, anche il caso di
caratteristiche isteretiche in cui la conduzione dipende anche dalla storia subita dallo
stesso materiale.
Uno degli effetti della circolazione di corrente in un conduttore è il riscaldamento del
conduttore stesso, dovuto al calore sviluppato in seguito agli urti dei portatori di carica
con il reticolo cristallino del materiale in cui essi si muovono. Tale fenomeno prende il
nome di effetto Joule.
E’ possibile valutare l’energia dissipata considerando un tubicino di flusso del vettore J di
lunghezza elementare dl e sezione dS. La carica dq che fluisce in un tempo dt attraverso
dS è
dq = J ⋅ n dS dt
Il lavoro elementare dL compiuto dal campo per spostare tale carica lungo dl risulta:
dL = E ⋅ dl dq = (E ⋅ dl)(J ⋅ n) dS dt
Scambiando di posto J con dl, operazione lecita in quanto hanno la stessa direzione e
verso,:
dL = (E ⋅ J)(dl ⋅ n) dS dt
La potenza Pτ dissipata per unità di volume è:
Pτ =
dL
= E⋅J
dt dS dl
Se è valida la legge di Ohm:
Pτ = ρJ 2 = ηE 2
Per mantenere una corrente stazionaria in un conduttore è allora necessario spendere un
lavoro, che viene continuamente trasformato in calore. La potenza dissipata, a parità di
densità di corrente, dipende dalla resistività del mezzo.
2
Resistività elettrica e sua dipendenza dalla temperatura
La resistività di un materiale dipende da numerosi fattori quali le sollecitazioni
meccaniche, le sollecitazioni elettriche, la composizione chimica. Il parametro di
maggiore interesse è, però, la temperatura θ del conduttore, il cui valore a regime è
dipendente a sua volta sia dalla temperatura ambiente che dalla intensità di corrente che
interessa il conduttore (effetto Joule). Per i conduttori metallici la resistività aumenta
linearmente con la temperatura in un ampio intervallo di valori della stessa (fig.1),
secondo la formula:
ρ (θ ) = ρ (θ 0 )[1 + α (θ − θ 0 )]
dove
θ
è la temperatura del conduttore,
θ0
è la temperatura ambiente e
α
è il
coefficiente di temperatura.
ρ
ρ(θ0 )
θ3
θ1
θ0
θ
θ2
fig.1
Il coefficiente di temperatura α rappresenta quindi la variazione relativa di resistività per
salto unitario di temperatura. E’ opportuno osservare che, per una approssimazione più
precisa, si deve tener conto che anche α dipende da θ secondo la legge
α (θ ) =
dove
α0
α0
1+ α 0θ
è il coefficiente di temperatura a 0 °C.
Per i comuni conduttori
α
è
particolarmente elevato: circa 0.004, cioè la resistenza varia circa del 4% ogni °C di
aumento
α 0CU =
della
temperatura.
In
particolare,
il
valore
di
α0
per
il
rame
è
1
1
= 0.004265 , mentre per l’alluminio vale α 0 AL =
= 0.004347 .
234,5
230
3
In tab.I vengono riportati i valori della resistività e del coefficiente di temperatura alla
temperatura di 293 K per i materiali di più comune impiego.
Materiale
Resistività [ohm m]
Coeff di temp. [K-1]
Alluminio [Al]
2,75 10-8
4,3 10-3
Argento [Ag]
1,62 10-8
4,1 10-3
Ferro [Fe]
9,68 10-8
6,5 10-3
Tungsteno [W]
5,25 10-8
4,5 10-3
Rame [Cu]
1,69 10-8
4,2 10-3
Il valore θ3 cui corrisponderebbe un valore nullo di resistività vale
θ3 = θ0 −
1
αθ
o
Per il rame θ3 assume il valore di circa 43K. A tale temperatura, in realtà, il rame
presenta una resistività significativa: siamo oltre l'intervallo di linearità.
A temperature molto basse, inferiori in genere a 10 K, possono manifestarsi, per alcuni
metalli in particolari condizioni di funzionamento, fenomeni di superconduttività, in cui la
resistività scende al valore "nullo", al di sotto dei valori correntemente misurabili. Per
alcuni materiali si manifesta anche un crollo dei valori resistività anche a temperature
prossime alla liquefazione dell'azoto (77K). Tale fenomeno (superconduttività ad alta
temperatura) è oggetto di intensi studi, in vista di interessanti applicazioni nel settore
elettrotecnico.
L’effetto delle impurità è estremamente sensibile nei metalli: il valore della resistività è
tanto minore quanto più è elevata la sua purezza. La presenza di tracce di altri metalli,
anche se con più alta conducibilità, costituisce un elemento di disordine della struttura
microscopica che ostacola il moto degli elettroni.
4
I parametri che definiscono la scelta di un conduttore sono il materiale, la lunghezza e la
sezione. Poiché il materiale è generalmente limitato a rame ed alluminio (a parte
applicazioni particolari) e la lunghezza è quasi sempre imposta, il dimensionamento di un
conduttore riguarda quasi sempre la scelta della sezione.
In linea di principio, per le reti di distribuzione, il criterio di dimensionamento di un
conduttore si basa principalmente su fattori elettrici, su fattori termici e su fattori
economici. Infatti, le apparecchiature elettriche funzionano correttamente se sono
alimentate alla tensione nominale; è pertanto necessario garantire che la caduta di
tensione lungo una linea elettrica sia opportunamente limitata. Inoltre, l’intensità della
corrente elettrica in una linea non può superare certi limiti per evitare il verificarsi di
surriscaldamenti pericolosi. La sezione del conduttore può poi essere ottimizzata
rendendo minima la somma del costo annuale della perdita di potenza per effetto Joule e
del costo per interessi e ammortamento della linea elettrica.
Il procedimento con il quale si calcola la sezione S secondo il criterio termico si basa sulla
esigenza di non superare, durante il funzionamento del conduttore, i valori limite di
temperatura oltre i quali si ha un danneggiamento del conduttore stesso, ma soprattutto
dell’isolamento esterno.
Prendiamo il caso sia di conduttore nudo che di conduttore isolato.
Conduttore nudo.
Il calcolo della sezione viene effettuato impostando l’equilibrio termico tra il conduttore
posto alla temperatura
θc
e l’ambiente circostante alla temperatura
θa ,
quando tutta la
potenza elettrica Pj dissipata dal conduttore per effetto Joule viene dispersa nell’ambiente
sotto forma di calore (Pt).
θa
r
θc
conduttore
Pj =P t
θc
θa
Ric
Nel caso di conduttore cilindrico, di raggio r e lunghezza L, considerando che il calore si
trasmette per irraggiamento e convezione verso l’ambiente l’esterno (resistenza termica
di irraggiamento e convezione (Ric)), potremo scrivere:
Pj = RI 2 = ρ
L 2
L
I = ρ 2 I2
S
πr
5
Pt =
∆θ
= ∆θ ⋅ kic (2πrL )
Ric
ove kic è il coefficiente di trasmissione del calore tra conduttore e ambiente e
∆θ = (θ c − θ a ) è la sovratemperatura tra temperatura ambiente θ a e temperatura del
conduttore
θc .
All’equilibrio si ha
Pj = Pt , da cui è possibile valutare la massima intensità di corrente
elettrica Im (portata del cavo) che può circolare in un conduttore di dimensioni
prestabilite, per un tempo indefinito senza danneggiarlo, ossia senza superare la
sovratemperatura massima consentita
∆θ m .
La sovratemperatura massima ammissibile viene determinata in modo che non danneggi
il conduttore e il suo sistema di posa (dilatazione termica, variazione delle proprietà
meccaniche, ecc.) e non determini anomali aumenti della sua resistenza elettrica.
Cavo elettrico. Conduttore con isolamento
E’ questo uno dei casi più ricorrenti nella progettazione degli impianti. E’ necessario
considerare lo scambio termico che avviene tra conduttore ed isolante e tra conduttore e
ambiente esterno. Uno dei problemi più interessanti riguarda il calcolo della portata del
cavo, ossia del valore di corrente che il cavo è in grado di far circolare per un tempo
indefinito senza danneggiarsi e che dipende, ovviamente, da una serie di fattori
ambientali legati alla posa del cavo stesso.
Per il calcolo della portata si scrive, anche in questo caso, un bilancio termico tra potenza
dissipata per effetto Joule e potenza dispersa in calore nell’ambiente.
Il coefficiente di trasmissione del calore risulta di difficile e incerta determinazione
teorica. Per questo motivo i costruttori forniscono tabelle che indicano, per ogni tipo di
cavo e per ogni sezione disponibile in commercio, la corrente massima in regime
permanente corrispondente alle diverse condizioni di posa.
La massima temperatura ammissibile del cavo, fissata per ricavarne la portata, è
determinata sulla curva di vita termica del materiale isolante usato per realizzare il cavo
in corrispondenza della durata di vita D fissata nel progetto (ad es. 20 anni).
Effetto pelle
La resistenza R di un conduttore in corrente alternata è diversa da quella in continua a
causa dell’effetto pellicolare. Infatti, ricordiamo che la definizione di resistenza elettrica
prevede l’applicazione di una d.d.p. continua, cui consegue una distribuzione uniforme di
J. In corrente alternata, invece, il campo magnetico generato dalla corrente stessa rende
6
il vettore J variabile nella sezione del conduttore; in questo caso non è più definibile una
resistenza R come rapporto V/I e si può definire una resistenza in corrente alternata RAC
sulla base del calcolo delle perdite in corrente alternata nel conduttore:
R AC =
PAC
I2
ove I è il valore efficace della corrente.
L’addensamento di corrente sulle superfici laterali del conduttore provoca, a parità di
corrente totale, un aumento della potenza dissipata per effetto Joule; la resistenza Rac di
un tratto di conduttore, in c.a., risulta perciò maggiore del valore Rdc della resistenza
dello stesso elemento, in corrente continua.
L’effetto pelle dipende da:
1) dalla frequenza f, perché all’aumentare di f aumenta il peso della reattanza
induttiva rispetto alla resistenza RDC e quindi cresce la disuniformità di J;
2) dalla resistività ρ, perché in tal caso aumenta il peso della Rdc;
3) dalla permeabilità magnetica µ, perché all’aumentare di µ cresce il flusso
concatenato e quindi cresce l’induttanza L e pertanto aumenta l’effetto pelle, che
sarà particolarmente elevato nei conduttori ferromagnetici, o inseriti in materiali
ferromagnetici.
La trattazione matematica dell’effetto pelle è piuttosto complessa. In ogni caso, questo
può essere caratterizzato tramite un coefficiente a, definito coefficiente di penetrazione:
a=
ρ
πfµ
che risulta tanto minore quanto più sensibile è l’effetto pelle.
Esso dà l’idea dello spessore del conduttore interessato dalla densità di corrente J. Infatti
la densità di corrente all’interno di un conduttore di raggio R decade con legge
esponenziale regolata dal coefficiente di penetrazione a:
J (x ) = J 0 e
−
x
a , ove J è la densità
0
di corrente sulla superficie del conduttore (per x=0) e 0 ≤ x ≤ R . Per il rame vale
aCU =
66
, cioè a 50 Hz si ha aCU (50 Hz ) = 9mm , mentre a 100 kHz si ha
f
aCU (100kHz ) = 0.2mm
Peraltro, a frequenza industriale f=50Hz, l’effetto pelle è trascurabile. Vale, infatti, la
formula:
7
4

1 r 
Rac = Rdc 1 +   
 48  a  
Considerando un conduttore di raggio r=4.5mm, si ha
[
Rac (50 Hz ) = Rdc 1 + 1.2 * 10 −3
]
cioè una variazione di circa 1% della resistenza in ac rispetto al valore in dc. Tale
variazione è minore per raggi più piccoli. Se, però, le sezioni cominciano a crescere,
allora la variazione diviene significativa e a un certo punto non conviene più far crescere
la sezione del conduttore perché la resistenza non cala più, ma resta quella che compete
allo spessore di penetrazione a. A questo punto conviene fare dei paralleli con tanti
conduttori di piccola sezione isolati fra loro.
10
-3
Rac (50 Hz)
Resistenza [ohm]
Rdc
10
10
-4
-5
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
raggio del conduttore [mm]
Prove elettriche sui conduttori
Nel caso dei conduttori, le prove elettriche si riducono, sostanzialmente, alla sola misura
della resistività. Infatti, il coefficiente di temperatura viene determinato proprio in base a
misure di resistività (tramite, ad esempio il doppio ponte): si misurano ρ1 e ρ2 a due
temperature diverse
θ1 e θ2 e con la costruzione di figura si determinano il valore
x = θ 0 − θ 3 , da cui:
ρ
1
ρ2 x + θ2
 θ 
=
⇒ ρ 2 = 0 ( x + θ 2 ) = ρ 0 1 + 2  ⇒ x =
ρ1
x
x
x
α0

8
Altre proprietà determinanti per la scelta di un conduttore
Nella scelta di un conduttore, oltre alle proprietà elettriche (resistività e sua dipendenza
dalla temperatura) concorrono anche proprietà meccaniche, tecnologiche, termiche e
chimiche. Le proprietà determinanti risultano essenzialmente:
1)
Proprietà meccaniche. La scelta delle proprietà significative dipende, ovviamente,
dall’applicazione. Ad esempio, per linee aeree sono estremamente importanti la
resistenza alla trazione, modulo di elasticità, allungamento; nel caso di linee in
cavo è importante, tra l’altro, la resistenza alla torsione e al piegamento.
2)
Proprietà tecnologiche. Malleabilità (Proprietà dei materiali che indica l'attitudine
a essere sagomati permanentemente in qualsiasi forma senza subire rotture),
duttilità (indica la capacità di un corpo o di un materiale di deformarsi sotto carico
prima di giungere a rottura, ovvero la capacità di sopportare deformazioni
plastiche. Un corpo è tanto più duttile quanto maggiore è la deformazione
raggiunta prima della rottura), saldabilita, trafilabilità (indice dell'attitudine di un
materiale a subire riduzioni di sezione su trafilatrice), facilità di laminazione (Per
laminazione si intende quel processo meccanico che tende a diminuire la
dimensione meno significativa in una lamina o in un albero, solitamente lo
spessore. ), ecc.
3)
Proprietà
termiche.
Conducibilità
termica,
coeff.
di
dilatazione
termica,
temperatura di fusione, ecc.
4)
Proprietà chimiche: assenza di reazioni con altri metalli, corrodibilità
Grazie alle loro proprietà, il rame e l’alluminio sono i materiali conduttori più impiegati
per uso elettrico.
Il rame
Il rame è il materiale conduttore più largamente utilizzato per il trasporto dell’energia
elettrica. A suo favore giocano:
elevata conducibilità;
elevata trafilabilità, facilità di laminazione, saldabilità (ottima con piombo e stagno,
mentre con l’alluminio il rame non è saldabile);
elevate caratteristiche meccaniche;
facilità di riutilizzazione dei rottami.
La conducibilità del rame dipende sensibilmente dal suo grado di purezza. Il rame ad alta
purezza può essere ottenuto in presenza di ossigeno (rame elettrolitico 99.9% - rame
raffinato 99.5%) o in assenza di ossigeno (elettrolitico 99.92%, raffinato 99.75%). La
presenza di ossigeno permette maggiore lavorabilità a caldo; dalle impurezze si formano
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ossidi insolubili e non viene pregiudicata la conducibilità e la plasticità. La presenza di
ossigeno, tuttavia, durante la lavorazione a caldo in presenza di idrogeno, può portare a
formazione di vapor d’acqua ad elevata pressione con conseguente infragilimento del
metallo.
Per identificare la conducibilità del rame si utilizza la scala IACS (int.anneal. cupper
sample), nella quale si attribuisce il valore 100 alla conducibilità a 20°C del campione
internazionale del rame ricotto, avente ρ=0.017241 Ω mm2/m. Osserviamo che la
conducibilità dell’argento vale 106 IACS, quella dell’alluminio 62 IACS. Le norme CEI
riportano i valori della resistività del rame a seconda del grado di purezza
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Grado di purezza
Resistività η -
Conducibilità
(grado% :IACS)
θo=293 K
θo=293 K
[Ω mm2 /m ]≡[µΩ m]
[MS/m]
103.5 (valore limite teorico)
0.0166
60.0
100 ( campione internazionale)
0.017241
58.0
98
0.01759
56.8
97 (rame crudo)
0.01787
56.0
“tipo 50”
0.0195
51.3
“tipo 60”
0.0210
47.6
γ -
Per le condutture ordinarie si adopera il rame crudo; il rame ricotto si impiega solo per
accessori (es. giunzioni).
Le caratteristiche meccaniche dipendono dal tipo di lavorazione subito dal materiale.
La densità del rame campione è pari a
δ=8890 kg/m3.
Il punto di fusione è 1083°C, la conducibilità termica è di 0,934 Cal/cm s K
Le prestazioni meccaniche sono piuttosto modeste rispetto a quelle dell’acciaio; il limite
di snervamento si attesta intorno ai valori di
σ=
22÷24 kg/mm2; il carico di rottura non
supera comunque i 38 kg/mm2. Tali valori decrescono con la temperatura.
Le caratteristiche chimiche sono abbastanza buone: si forma uno strato superficiale di
ossido autoprotettivo o di carbonato Cu2(OH)2C03 autoprotettivo.
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Caratteristiche tecnologiche del rame
Cristallo
cubico a facce centrate
densità
8890
kg/m3
punto di fusione
1083
°C
conducibilità termica
0.0934
Cal/cm s K
conducibilità elettrica
58
MS/m
coeff di temperatura della resistività
0.00428
K -1
resistenza a trazione
6
kg/mm2
max allungamento %
45
%
modulo di elasticità
12750
kg/mm2
γ),
Il rame viene anche formato con altri elementi (si riduce sempre la conducibilità
per
cui distinguiamo:
- rame bassolegato (elementi presenti in misura inferiore all’1%):
a) rame all’argento: può lavorare a temperature elevate; impieghi: lamelle per
collettori.
b) rame al cadmio-stagno: elevata resistenza all’usura ad arco; impieghi:
lamelle per collettori.
- rame a titolo elevato (elementi presenti nella misura tra l’1% e il 5%):
a)
Cu+Si(3%)+Mn(0.7-1.5%)
:
elevata
resistenza
meccanica,
elevata
resistenza alla corrosione, elevata resistività.
b) Cu+Be(1.6-2.1%) : elevato carico di rottura (140 kg/ mm2); γ=24%;
c) Cu+Ni(1-4.5%)+Si : elevato carico di rottura (65 kg/ mm2)
- leghe di rame (elementi presenti in misura superiore al 5%):
- Ottone [Cu+Zn(10-35%)]:
σ= 37÷67 kg/mm2 ; γ=44-27%;
- Bronzi fosforosi [Cu+Sn(2-10%)]
σ=
39÷90 kg/mm2 ;
γ=48-11%;
una certa
quantità viene aggiunta per eliminare l’ossigeno presente.
- Cupronichel (Cu+Ni+Zn)+Mn(10-25%)
- Cu+Mn(12%)+Ni(4%) per resistori di precisione.
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L’alluminio
L’alluminio è attualmente l’unico materiale che può essere alternativo al rame per il
trasporto dell’energia elettrica. A suo vantaggio giocano soprattutto il basso costo ed il
peso inferiore rispetto al rame
Le caratteristiche principali sono:
bassa densità (1/3 di quella del rame);
basso costo;
ρ=0.084 Ω mm2/m; γ=62 IACS;
resistenza
meccanica
modesta
(1/2
di
quella
del
rame,
per
cui
deve
essere
accompagnato da un’anima metallica);
all’aria si ricopre di un ossido isolante che lo ricopre dagli agenti esterni;
bassa temperatura di fusione (660 °C);
maggiori difficoltà di saldatura;
buone proprietà tecnologiche;
facilità di laminazione e estrusione a freddo.
Generalmente l’alluminio è impiegato per linee aeree, nei cavi media tensione, per
schermi elettrostatici, negli avvolgimenti di trasformatori in nastro ed in foglio, per le
armature dei condensatori.
L’oro e l’argento
La conducibilità dell’argento, tenendo conto del costo, non ne giustifica l’uso come
conduttore. L’argento, però, come l’oro, essendo un metallo nobile, è caratterizzato da
un’ottima resistenza agli agenti chimici e presenta un’ottima resistenza agli acidi ( solo
l’acido
solforico
con
elevate
concentrazioni
lo
intacca)
ed
elevata
resistenza
all’ossidazione. Viene perciò molto utilizzato come rivestimento dei contatti
Materiali conduttori non destinati al trasporto di energia elettrica
Sono materiali con conducibilità intermedia fra quella del rame e quella dei materiali
isolanti. Il ferro puro (o acciaio al silicio oppure ghisa) viene spesso utilizzato per la
realizzazione di resistori ai quali sia richiesto di dissipare notevoli energie per effetto
Joule. La manganina è utilizzata per resistori campioni in quanto ha un coeff. di
temperatura
praticamente
nullo.
Anche
la
costantana
ha
coeff.
di
temperatura
estremamente basso, ma non è utilizzata per resistori campione a causa delle elevate
f.e.m. di contatto. Per elementi riscaldanti posti in aria si usa il nichel-cromo perché
presenta elevata resistenza all’ossidazione anche a temperature elevate.
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Particolare attenzione deve essere dedicata ai materiali utilizzati per i contatti elettrici (in
apparecchiature quali relè, sezionatori, interruttori). Si possono usare oro, palladio,
platino, argento, leghe di argento, ecc.
Le proprietà fondamentali sono:
sicurezza del contatto (evitando formazione di strati superficiali di ossido)
tendenza alla saldatura (per minimizzare la saldatura è necessario avere bassa
resistività, alta capacità termica, alta conduttività termica, alta temperatura di fusione)
resistenza di contatto
comportamento in presenza d’arco (bassa emissione termoionica)
vita del contatto.
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