P - Studenti Democratici

IDRAULICA a.a. 2011-2012
Programma sintetico della parte di idraulica






Proprietà fisiche dei fluidi
Idrostatica
Cinematica
Dinamica
Idraulica applicata alle condotte: moto uniforme e cenni moto vario di
correnti in pressione
Idraulica applicata ai canali: moto uniforme e moto permanente di correnti
a superficie libera
Testi consigliati



Appunti di lezione
Citrini, Noseda “Idraulica”, Seconda edizione - CEAM Milano
Alfonsi, Orsi "Problemi di Idraulica e Meccanica dei Fluidi”, CEAM Milano
Ing. Francesca De Serio - Orario ricevimento: lunedì, ore 10:00 – 12:00
Dipartimento Ingegneria delle Acque e di Chimica (1° piano) - [email protected]
UNITA’ DI MISURA (S.I.)
In IDRAULICA le grandezze fondamentali sono:




Massa
Lunghezza
Tempo
Temperatura
[M]
[L]
[T]
[]
Kg
m
s
K (grado Kelvin)
°C = °K-273.15
Da queste derivano altre grandezze:







Superficie
Volume
Velocità
Accelerazione
Forza
Lavoro
Potenza
A = L2
W = L3
v = L/T
a = L/T2
F = M*a
F*L
F*L/T
m2
m3
m/s
m/s2
Kg m/s2 = N [Newton]
J= Nm = Kg (m/s) 2
Watt [W] = J/s = Nm/s
UNITA’ DI MISURA (S.I.)

Pressione
P = F/A = FL-2
Altre unità di misura della pressione:
1 at
= 105 Pa
1 bar = 1 at = 105 Pa
1 at = 10 m di colonna di H2O
1 at
= 0.76 m di colonna di mercurio Hg
N/m2 = Pa [Pascal]
DEFINIZIONI E PROPRIETA’
Distinzione tra solido e fluido:
Quando sulla superficie di un fluido si applica una forza, questo si deforma
facilmente e la deformazione prodotta persiste nel tempo.
Fluido può essere liquido o aeriforme.
Elemento che li contraddistingue è il volume occupato: mentre i liquidi
hanno un volume ben definito, gli aeriformi tendono ad occupare tutto il
volume che hanno a disposizione, essendo estremamente deboli le forze
agenti tra le particelle che li compongono.
Proprietà caratteristiche dei fluidi
Nello studio dei fluidi, le grandezze che entrano in gioco sono:
• Densità =  = Massa/Volume = [M] / [W] = kg/m3
• Peso specifico =  = Peso/Volume = [F] / [W] = N/m3
Legati da relazione : = g
con g accelerazione gravità
DEFINIZIONI E PROPRIETA’
W  W (P,  )
   ( P , )
    P ,

Valori particolari di riferimento:
(nei manuali vi sono relazione esplicite che legano la densità  alla pressione e alla
temperatura)
per :


θ = 1 5 °C 
P = 1 at
acqua
  1 0 0 0 kg / m 3
e   9 8 0 6 N m 3
a ria
  1 .2 2 6 kg / m 3
e   1 2 .0 2 2 N m  3
DEFINIZIONI E PROPRIETA’
• Comprimibilità: importante proprietà dei fluidi, ossia quanto facilmente varia
il volume conseguentemente a variazioni di pressione.
Inizialmente liquido ad una
pressione P occupa un volume W,.
Dopo aver applicato un aumento di
pressione dP il volume iniziale sarà
diminuito di una quantità dW.
Def: modulo di elasticità a
compressione cubica
dP
 
dW
W
Se:
dW  0    
N
   2
m
allora il fluido si definisce
INCOMPRIMIBILE
DEFINIZIONI E PROPRIETA’
Nelle pratiche applicazioni riterremo i liquidi (acqua) incomprimibili.
Eccezione: fenomeno di colpo d’ariete.
Gli aeriformi sono fluidi molto comprimibili, ma possono studiarsi come
fluidi incomprimibili ogni volta in cui non vi sono forti variazioni di
pressione e, quindi, di densità.

acqua

aria
 2.12 *109 N / m 2 a 20°C
 104 N / m 2
   ( P , )
   ( )
Comprimibilità cresce con la temperatura
Equazione di stato dei liquidi in forma indefinita
d


Se :   
Equazione di stato dei
liquidi
in
forma
indefinita.
dP


d

0
ovvero fluido incomprimibile significa
= cost
Equazione di stato dei gas in forma indefinita
d
dP


np
Equazione di stato
dei gas in forma
indefinita.
La relazione confrontata con
quella dei liquidi mostra che la
comprimibilità è stata sostituita
da nP.
Alla comprimibilità è legata la celerità, ossia la velocità con la quale si trasmette
il suono nel fluido:
c 


Nel caso dell’acqua a 20°C:
c  1400 m / s
Nel caso dell’aria a 20°C:
c  275 m / s
Interazione forza - fluido
Le forze che entrano in gioco sono suddivise in due grandi categorie:
1) Forze di massa: sono forze che esistono perché esiste una massa (es.
forza peso).
2) Forze di superficie: sono forze che si esercitano sulla superficie di un
liquido, all’interfaccia tra due liquidi o all’interfaccia tra un liquido e un
aeriforme. Di solito vengono introdotte perché le equazioni della dinamica
sono scritte per porzioni di fluido idealmente ottenute tagliandole dal loro
contesto
Forza di superficie

Π dΠ
A
Tensioni in un fluido
In Idraulica e in generale ogni qualvolta si tratta con sistemi continui, piuttosto
che in termini di forze, ci si esprime in termini di sforzo (o tensione) così
definito:
dΠ
N
Φ
 Φ   2
dA
m
Il teorema del tetraedro di Cauchy
Dato un fluido, in moto oppure
fermo, è possibile conoscere lo stato
tensionale in un punto rispetto ad
una qualunque giacitura, purché si
conoscano le tensioni nel medesimo
punto su tre piani perpendicolari tra
loro.
F  0
i

Φ n  nx Φ x  n y Φ y  nz Φ z
avendo trascurato forze massa
rispetto a quelle superficie
tetraedro di Cauchy
Relazione vettoriale può essere scomposta in tre relazioni scalari.
Indichiamo con il doppio indice:
- il primo indice: la direzione della normale alla superficie su cui agisce lo
sforzo,
- il secondo indice: la direzione dell’asse secondo cui si proietta. Si ottiene:
Per conoscere Φn in un punto bisogna conoscere matrice quadrata di ordine
tre  TENSORE DEGLI SFORZI
• simmetrico: Φij = Φji
• Φii componenti NORMALI: x
y
• Φij componenti TANGENZIALI: x
z
y z
Quando, qualunque sia il piano passante per un punto, lo sforzo ammette solo
componente normale (cioè è perpendicolare a quel piano), allora tale sforzo ha
modulo costante = pressione
 x = y = z = p
 x = y = z = 0
Caso di fluidi perfetti e fluidi reali in quiete
Φn  pn
Interazione forza - fluido
TENSIONE SUPERFICIALE
superficie a doppia
curvatura
L1
L2
L2
Forza con cui le molecole sulla superficie
di un liquido sono attratte verso l'interno
 lo strato superficiale si comporta come
sottile pellicola elastica  forma goccia
[s] = [F]/L =Nm-1
Pressione esterna pe e la
tensione superficiale s
tendono a contrarre la bolla.
Per l’equilibrio è necessaria
una pressione interna Pi che
deve tendere ad espanderla
Pi > Pe
P = Pi – Pe > 0
Interazione forza - fluido
Sulla superficie con due curvature nascono due forze (F1 e F2 orientate
verticalmente verso il basso) e che possono essere sommate, dando luogo ad
una F.
Dividendo questa forza per la superficie su cui agisce, si ottiene dopo alcuni
passaggi:
F
 1
1 
P 
s   
L1 L2
 R1 R2 
Legge di Laplace
Interazione forza - fluido
CAPILLARITA’
Interfaccia
aria – acqua – vetro
Interfaccia
aria – mercurio – vetro
Acqua
d

s
h
P
P
Mercurio
Forza totale esercitata all’interfaccia
proiettata sulla verticale deve
bilanciare il peso P della colonna di
fluido sollevata (o abbassata).
Dall’equilibrio si ricava:
h 
4 g s cos 
 gd
legge di Jurin - Borelli
Interazione forza - fluido
VISCOSITA’
Viscosità indica la resistenza che un fluido oppone allo scorrimento di uno strato
adiacente. Dipende dal tipo di fluido e dalla temperatura. Nei liquidi la viscosità
decresce all'aumentare della temperatura, nei gas invece cresce.
Esperienza del viscosimetro piano - moto alla Couette
uB
Piastra soggetta a forza F si muove.
Strati di fluido adiacenti si muovono
anch’essi. Si osserva sperimentalmente
distribuzione LINEARE della velocità.
u
Fluido a contatto con parete fissa: u A  0
Fluido a contatto con piastra mobile:
uB
u
u
uB  u A 
dy 
dy
y
y
per il cosiddetto principio di aderenza o no-slip.
Interazione forza - fluido
u
Per effetto della diversa distribuzione della velocità lungo la verticale, si verifica
una deformazione angolare, di un angolo d, del fluido ABCD, ossia la
porzione di fluido ABCD, dopo l’intervallo di tempo dt, si porta in AB’C’D.
Interazione forza - fluido
Sperimentalmente si osserva che F è proporzionale all’area A di contatto tra
piastra e fluido e al gradiente di velocità in direzione ortogonale al moto.
Il coefficiente di proporzionalità si indica con  e prende il nome di viscosità
dinamica, ottenendo, così
du
FA
dy
Dividendo la forza F per l’area su cui essa agisce, si ottiene lo sforzo:
du
 
dy
Con alcuni passaggi si ottiene
du d

 
dy
dt
   
legge di Newton
e quindi:
Equazione reologica
del fluido
Interazione forza - fluido
d
 
dt
  

 

è la velocità di deformazione angolare
N s
m2
DEF: viscosità cinematica  il rapporto tra la viscosità dinamica
e la densità
  m2

     s
 
per l’acqua::  = 106 m2/s
frizioni
tende a solidificare
0
vernici
Fluidi newtoniani: legame tra sforzo tangenziale e
velocità di deformazione angolare è LINEARE
Fluidi non newtoniani:
•
fluidi a comportamento indipendente dal tempo;
•
fluidi a comportamento dipendente dal tempo;
•
fluidi elastoviscosi.
disfacimento
   
Assorbimento dei gas
I liquidi possono assorbire quantità di gas con cui vengono a contatto.
Vale la legge di Henry, secondo cui è costante il rapporto tra il volume dei gas
che si può avere in un liquido e il volume del liquido stesso, al variare della
pressione:
Wgas
Wliquido
 cost
La massa di gas che può essere assorbito è direttamente proprozionale alla
pressione  dove si riduce la pressione, deve liberarsi del gas
Inserimento sfiati
Inserimento scarichi di fondo per svuotare la condotta Diminuzione di pressione:
si libera aria/gas IDROSTATICA
Calcola le spinte, cioè le forze che un fluido in quiete esercita su superfici.
Equazione indefinita della statica dei fluidi
z
dz
dx
dy
y
Elemento di volume parallelepipedo
all’interno della massa fluida, soggetto a
forze di massa e di superficie
x
z
Forze di superficie
dz
P
dx
P



P
d
x


x


x
dy
y
Risultante forze superficie lungo asse x:
x)
P
P


P dydz -  P 
dx  dydz  dxdydz
x
x


Analogamente si ragiona per le risultanti lungo assi y e z
Sia

f
Forze di massa
la forza che agisce sull’unità di massa.
Allora, la forza di massa che agisce su tutto il parallelepipedo è:
Dovendo essere:
F
massa
  Fsuperficie  0
p
p
p
 f  i  j k
x
y
z
 f  grad  p   p
Equazione indefinita della statica dei fluidi
 f dxdydz
Se siamo nel campo gravitazionale:
f g
 g = grad p
Se: asse z diretto verso alto;
fluido è incomprimibile ovvero = cost
z
p

 cost

p
grad  z 
0
 

LEGGE DI STEVINO o della statica
dei fluidi pesanti incomprimibili
zA 
pA

 zB 
pB

dove:
z
p

= Energia posizione
= Energia pressione
OSSERVAZIONE:
Se z = cost allora p = cost
Superfici ISOBARICHE sono
orizzontali
Serbatoio collegato a un tubo piezometrico
Applico Stevino ai punti
A e B:
zA 
pA

 zB 
zC
pA

p A  pB
(infatti il piano per AB è isobarico)
pA = patm = 1 atm = 105 Pa

pB

pB

Applico Stevino ai punti B e C:
zB 
pB

pB
 zC


pC

z

C
pC

 zB
hB
h
zC
B
pC = pvuoto= 0
pB

p

 hB

h
qualunque sia B
dove h è
l’affondamento
rispetto al piano su
cui la pressione è
zero =
piano dei carichi
idrostatici assoluti
piano dei carichi idrostatici
relativi:
è il piano su cui la pressione
è pari a quella atmosferica
distanza tra i due piani è:
hB 
5
10 Pa
9806 N / m
3
 10.33 m
acqua
hB 
105 Pa
136000 N / m
3
 760 mm
mercurio
Quindi si può anche scrivere:
pA = patm = 1 atm = 105 Pa ≈ 10.33 m(H2O) ≈ 760 mm(Hg)
Queste pressioni di cui abbiamo parlato finora sono pressioni ASSOLUTE:
p = 0 nel vuoto e patmosferica = 1atm
In idraulica si preferisce usare sistema di riferimento pressioni RELATIVO:
patmosferica = 0
Si definisce pressione relativa la differenza tra la pressione assoluta e la
pressione atmosferica assoluta:
prel = pass – 105 Pa
Quindi:
patmosferica rel = patmosferica ass – 105 Pa = 0
Diagramma delle pressioni
Equazione globale della statica

n
z
x
y

n
W

A
w

 fdw 
Forze di massa


w
w


 fdw  G

w
grad  P dw
Forze di superficie
Peso del volume
grad  P dw  ...   
A

P n dA   
 
G 0
Spinta della
superficie A sul
volume W
Applicazione immediata: principio di Archimede
 
condizione di equilibrio
G 0

 = Spinta che la superficie di contorno esercita sul volume
Secondo il principio di Archimede, un corpo immerso in un fluido è sottoposto ad una
spinta verticale diretta verso l'alto, pari al peso G del volume del fluido che ha spostato.
Sia P il peso del corpo:
Corpo
P>G: corpo affonda
P=G: equilibrio indifferente

G


Acqua
P<G: galleggiante
SPINTE su superfici PIANE
S
x0

S  dS 
A

A
pndA  p0 An
La spinta è diretta perpendicolarmente alla superficie piana e passa per il
CENTRO DI SPINTA C, che ha coordinate:
xc 
yc 
Jy
My
J xy
My
dove
coordinata xC (distanza da retta sponda)
J y   x 2 dA
A
J xy   xydA
A
coordinata yC del centro di spinta
M y   xdA
A
Osservazioni:
• C ha profondità maggiore o uguale di quella del baricentro della piastra piana G,
ovvero xCx0
• C coincide con il baricentro del diagramma delle pressioni
• se piastra ha asse verticale di simmetria, allora C si trova su tale asse
Applicazioni
A
Spinta su parete piana verticale
p.c.i.r
S  p G A  p G hL 
hG
h
h
 hG hL   hL 
2
1
 h2L
2
G
C
 hG
B
h
y
x1
L
x2
x
dx
XC
Asse simmetria
yc = 0
x
G
C
dA  Ldx
Centro di spinta nel caso
più generico:


3
3
I
2 x2  x1
xC 

M 3 x2 2  x12
nel nostro caso:
2 h3 2
xC 
 h
2
3h
3


Ragionando sul diagramma delle pressioni
Spinta
L
p.c.i.r
h
1
S   hhL
2
xC
Centro di spinta
C
h
C coincide col baricentro diagramma
pressioni, che per un triangolo si
trova a 1/3 dalla base:
2
xC  h
3
L
Spinta su parete piana obliqua
Diagramma delle pressioni in
questo caso è trapezio, perché la
base superiore della piastra non
coincide col p.c.i.r.
h1
h0
CS

C

S
 h0
 h1
   h0   h1   h0  h1  
S 
.
 .L 
2
sen ( ) 


  h0 2  h1 2 
2 sen ( )
.L
Centro di spinta
Applico la formula:
xC 
I
M
Oppure risulta che: C coincide col baricentro del diagramma delle pressioni, che in
questo caso è un trapezio
Manometri differenziali
pP  pQ
pP   1h  pQ   2 (h    )   m 
 
m 2
 
h 2 1
2
2
che si semplifica se
m 2
 
2
1   2  
SPINTE su superfici CURVE
1. Concavità
verso liquido
  
 
  1   0
G 0
  
G  1   0  0


S   0
  
S  G  1
Calcolo spinta su superficie piana
e peso !!!
2. Convessità
verso liquido
 
G 0
  
  1   2
G
  
G  1   2  0

1
G
 
S  2

 
S  G  1
  
S  G  1
S
G
1
Sv
G
1v
S
Sv
S
1or
Sor
Sor

 
S  G  1
1or
1
-G
S
-G
Sv
S
Sor
1v
Sv
S
Sor
Formula di Mariotte
Calcolo dello spessore di una tubazione
p.c.i.r
Se h0 >> D, allora:
la variazione di pressione nella
condotta è molto piccola, cioè:
h0
z
D

 P  0
z

A


P  ndA    0
 
ed essendo: G    0

G  0
è trascurabile dentro la condotta
Calcolo spinta S sul semicilindro:
  
G  1   0  0
ma:
D


 0  P  2rL

1

P

T
S
r

0
L

T
e quindi:
 
S   1   0  P 2rL
Questa spinta del fluido S deve essere equilibrata dalle forze di taglio T:
2T  P 2rL
T  PrL
T
T
PLr PD
T  


2
A L.
L
 T  
N
m2
carico di sicurezza a trazione
PD

2 T