1)Cosa rappresenta il seguente limite e quale ne è il valore?
(
)
E’ il limite del rapporto incrementale della funzione f(x)=
( )
con punto iniziale
, al tendere a 0
dell’incremento h.
( )
( )
Il valore del limite può essere calcolato direttamente.
Sviluppando la quarta potenza del binomio e semplificando, resta al numeratore un polinomio di
quarto grado nella variabile h, avente il termine noto nullo.
Dividendo per h sia il numeratore che il denominatore e facendo tendere h a 0 , resta solo il
coefficiente di quello che era il termine di grado 1, cioè
(
)
( )
(
( )
+ h+
( ) →
)
=
2) Definito il significato di asintoto, si fornisca un esempio di funzione f(x) il cui grafico presenti un asintoto
orizzontale e due asintoti verticali
Si dice che la curva (eventualmente grafico di una funzione di equazione y=f(x)) ammette la retta
r come asintoto se la distanza del generico punto P della curva dalla retta r tende a zero quando P si
allontana indefinitamente su
Se
allora la retta di equazione y = l è asintoto (orizzontale) della funzione.
Se
allora la retta di equazione x=c è asintoto (verticale) della funzione
ESEMPIO
( )
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3) La posizione di una particella è data da s(t)=
(
+ t- 2).
Qual è il valore dell’accelerazione al tempo t=4?
La funzione può essere interpretata come la legge oraria di un grave che cade in presenza di un fluido ;
l’accelerazione decresce e il moto tende a diventare uniforme,
Il valore t= 4 corrisponde a 2 costanti di tempo.
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
4)Quale è la capacità massima, in litri, di un cono di apotema 1 metro?
Indicati con
r il raggio di base
h l’altezza
con
il volume è
( )
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(
)
( )
(
)
0<h<1
( )
( )=
( )
è il volume massimo che corrisponde ad una capacità di circa 0.403 m3
ovvero 403 litri
5) Siano dati nello spazio n punti
. Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a
due?Quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti( supposto che nessuna terna sia allineata)? Quanti
i tetraedri (supposto che nessuna quaterna sia complanare)?
Poiché un segmento è univocamente determinato dai suoi estremi, un triangolo o un tetraedro è
univocamente determinato dai suoi vertici
il numero di segmenti che si possono costruire dati n punti corrisponde al numero
di coppie di punti che si possono scegliere dagli n dati
(
)
il numero di triangoli che si possono costruire dati n punti(supposto che nessuna terna sia
allineata) corrisponde al numero di terne di punti che si possono scegliere dagli n dati
(
)(
)
il numero di tetraedri che si possono costruire dati n punti (supposto che nessuna quaterna sia
complanare ) corrisponde al numero di quaterne di punti che si possono scegliere dagli n
dati
6)2)Sia ( )
(
)(
-
-
)(
)
Si calcoli f’(x)
Semplificando ( )
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-
( )
7) E’ dato un tetraedro regolare di spigolo l e altezza h. Si
determini l’ampiezza dell’angolo formato da l e da h.
̅̅̅̅
8) Qual è il valor medio di ( )
̅̅̅̅
da x=1 a x=e?
Poiché la funzione f(x) è continua nell’intervallo I [1;e], esiste un punto c interno ad I tale che
( )
∫
( ) è detto media o valor medio di f(x)e generalizza il concetto di media aritmetica
(geometricamente tale che l’area del rettangolo
( )(
))
∫
)
∫
9) Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto probabilmente nella seconda metà del I secolo
d.C.) consiste, assegnati nel piano due punti A e B, situati dalla stessa parte rispetto ad una retta r, nel
determinare il cammino minimo che congiunge A con B toccando r.
Si risolva il problema nel modo che si preferisce.
Per trovare il percorso più breve ricorriamo a una costruzione geometrica.
Si costruisce il punto A’ simmetrico di A rispetto alla retta r.,
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. Poiché A’C è congruente ad AC , il problema
si riduce a trovare il percorso più breve per
andare da A’ fino a B. In questo caso il
percorso più breve è il segmento A’B che
incontra in C la retta r.
In figura si può osservare come il cammino
ADB è affettivamente maggiore di ACB
La figura dinamica, costruita con Geogebra,
permette di effettuare ulteriori verifiche.
Il punto C, così definito, è l'unico punto della retta
tale che i segmenti AC e CB formano angoli uguali
con la retta r
Se AC rappresenta un raggio di luce incidente
su una superficie piana riflettente, CB sarà il
raggio riflesso
Poiché le rette AC e CB sono simmetriche rispetto alla normale in C alla retta r, si deduce la nota
legge:
L’angolo di incidenza è uguale all’angolo di riflessione.
10)Quale delle seguenti funzioni è positiva per ogni x reale?
)
(
)
)
(
)
)
(
) hanno come immagine l’intervallo [
)
(
)
)
(
)
Risposta esatta A)
Le funzioni
(
].
Nei suddetti tre intervalli, l’unica funzione che assume valori solo positivi è il coseno
[ in corrispondenza del quale sia la
) è l’intervallo[
L’immagine della funzione (
funzione seno che la funzione coseno assumono tutti i valori compresi tra -1 e 1.
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