Elettronica II – La giunzione p-n:
calcolo del potenziale di giunzione
Valentino Liberali
Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione
Università di Milano, 26013 Crema
e-mail: [email protected]
http://www.dti.unimi.it/˜liberali
Elettronica II – La giunzione p-n: calcolo del potenziale di giunzione – p. 1
Concentrazione di cariche elettriche (1/5)
In un semiconduttore, la concentrazione di cariche è data
dal numero di cariche per unità di volume.
Moltiplicando la concentrazione delle cariche per la carica
della singola particella (+q0 o −q0 ), si ottiene la densità di
carica ρ , che in un semiconduttore drogato è:
ρ = ND q0 − NA q0 − nq0 + pq0
dove:
ND è la concentrazione di atomi donatori
NA è la concentrazione di atomi accettori
n è la concentrazione di elettroni liberi
p è la concentrazione di lacune
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Concentrazione di cariche elettriche (2/5)
In un semiconduttore drogato in modo uniforme, la densità
di carica è nulla, e di conseguenza è nulla anche la somma
algebrica delle concentrazioni:
ND − NA − n + p = 0
Inoltre, in un semiconduttore qualsiasi, il prodotto delle
concentrazioni di elettroni liberi e di lacune è costante
(legge dell’azione di massa):
n · p = n2i
La concentrazione intriseca ni dipende solo dalla
temperatura.
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Concentrazione di cariche elettriche (3/5)
Dalle due equazioni
(
ND − NA − n + p = 0
n · p = n2i
si ricavano le concentrazioni dei portatori (n e p),
conoscendo il drogaggio e la temperatura.
Matematicamente il sistema ha due soluzioni, di cui l’unica
accettabile è quella positiva.
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Concentrazione di cariche elettriche (4/5)
Nel silicio di tipo n (con NA ≈ 0):
n> p
Gli elettroni sono portatori maggioritari, le lacune sono
portatori minoritari.
Se la concentrazione di drogante è molto maggiore della
concentrazione intrinseca (ND ni ):
p=
n ≈ ND
n2i
n2
≈ i
n
ND
Quando aumenta la concentrazione di elettroni liberi, la
concentrazione di lacune diminuisce.
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Concentrazione di cariche elettriche (5/5)
Nel silicio di tipo p (con ND ≈ 0):
p>n
Le lacune sono portatori maggioritari, gli elettroni sono
portatori minoritari.
Se la concentrazione di drogante è molto maggiore della
concentrazione intrinseca (NA ni ):
n2i
n2i
n=
≈
p
NA
p ≈ NA
Quando aumenta la concentrazione di lacune, la
concentrazione di elettroni liberi diminuisce.
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Velocità termica dei portatori (1/2)
In un materiale cristallino, a qualunque temperatura T > 0 K
i portatori liberi si muovono in tutto il cristallo in modo
analogo al movimento delle molecole di gas all’interno di un
recipiente (statistica di Maxwell-Boltzmann).
Per ricavare la velocità quadratica media v dei portatori
liberi, si può usare l’uguaglianza:
1 ∗ 2 3
m v = kT
2
2
m∗ è la massa efficace dei portatori
T è la temperatura assoluta (in Kelvin)
k è la costante di Boltzmann
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Velocità termica dei portatori (2/2)
Dall’uguaglianza:
1 ∗ 2 3
m v = kT
2
2
per T = 300 K, risulta v ≈ 100 km/s.
La velocità termica è a media nulla, perché i portatori
cambiano continuamente direzione in modo casuale in
seguito agli urti tra di loro e con le altre particelle
(agitazione termica).
L’agitazione termica dei portatori è la causa del rumore
termico.
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Velocità di deriva
Se ad un materiale cristallino è applicato un campo elettrico
E , i portatori si muovono con velocità di deriva:
vd = µ E
La velocità di deriva è minore della velocità di agitazione
termica, ma è diretta sempre nella direzione del campo
elettrico.
Il risultato è la corrente di deriva:
J = nq0 µ E
(n è la concentrazione dei portatori, q0 è la carica
elementare, e µ è la mobilità dei portatori)
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Corrente di deriva
In un semiconduttore la corrente di deriva è data dalla
somma di due contributi, uno dovuto agli elettroni e uno
dovuto alle lacune:
J = Jn + J p = nq0 µn E + pq0 µ p E = (nµn + pµ p )q0 E
dove n e p sono le concentrazioni di elettroni e lacune,
µn e µ p sono le mobilità di elettroni e lacune.
La conducibilità è:
σ = (nµn + pµ p )q0
In un semiconduttore drogato (n o p), conducibilità e
corrente sono dovuti quasi esclusivamente ai portatori
maggioritari.
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Corrente di diffusione
Se in un semiconduttore esistono differenze nella
concentrazione dei portatori nei diversi punti dello spazio,
l’agitazione termica produce uno spostamento casuale dei
portatori, che tendono a “rimescolarsi”; poiche’ il numero di
particelle in movimento è più alto dove la concentrazione è
maggiore, esiste una corrente di diffusione dovuta al
movimento dei portatori dalle zone a maggiore
concentrazione verso quella a concentrazione più bassa.
Per gli elettroni (carica negativa −q0 ):
~Jn = q0 Dn ∇n
Per le lacune (carica positiva q0 ):
J~p = −q0 D p ∇p
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Corrente totale
Considerando sia la corrente di deriva sia la corrente di
diffusione, la corrente è
per gli elettroni:
~Jn = q0 (nµn E~ + Dn ∇n)
per le lacune:
J~p = q0 (pµ p E~ − D p ∇p)
La densità di corrente totale è
J~ = ~Jn + J~p
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Relazione di Einstein
La mobilità µ e la costante di diffusione D sono legate tra di
loro dalla relazione di Einstein:
Dn D p kT
=
=
µn
µp
q0
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Equilibrio termico
In condizione di equilibrio, la corrente totale è nulla perché
la corrente totale è nulla: la somma algebrica delle correnti
di deriva e diffusione è zero, ma ciascuna componente,
presa da sola, può essere diversa da zero.
Per gli elettroni:
nµn E~ + Dn ∇n = 0
Per le lacune:
pµ p E~ − D p ∇p = 0
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Giunzione p-n all’equilibrio (1/5)
Dall’equazione:
nµn E~ + Dn ∇n = 0
si ricava il campo elettrico:
kT 1
Dn 1
∇n = −
∇n
E~ = −
µn n
q0 n
Considerando solo le variazioni in una direzione (lungo
l’asse x):
kT 1 dn
Dn 1 dn
=−
Ex = −
µn n dx
q0 n dx
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Giunzione p-n all’equilibrio (2/5)
regione di
svuotamento
-
+
-
p
+
n
+
-
-xp
cariche fisse
0
xn
x
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Giunzione p-n all’equilibrio (3/5)
Il campo elettrico è il gradiente della differenza di
potenziale: E~ = −∇V
Quindi la differenza di potenziale VJ ai capi di una giunzione
all’equilibrio si ottiene integrando il campo elettrico lungo la
regione di svuotamento:
VJ =
Z xn
Dn 1 dn
−x p
kT
dx =
µn n dx
q0
Z xn
1 dn
−x p
n dx
dx
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Giunzione p-n all’equilibrio (4/5)
kT
VJ =
q0
Z xn
1 dn
−x p
n dx
dx
L’integrale può essere calcolato facilmente cambiando la
variabile di integrazione; passando da x a n gli estremi di
integrazione diventano n(−x p ) = n p e n(xn ) = nn , quindi
risulta:
Z
kT nn
kT nn 1
dn =
ln
VJ =
q0 n p n
q0 n p
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Giunzione p-n all’equilibrio (5/5)
kT
VJ =
q0
Z nn
1
np
n
dn =
kT nn
ln
q0 n p
VJ
-
+
-
p
+
-xp
n
+
-
0
xn
x
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Esercizio
Una giunzione p-n in silicio ha concentrazioni di drogante
NA = 1 · 1015 cm−3 e ND = 2 · 1017 cm−3 .
Calcolare il potenziale di giunzione a temperatura ambiente.
Nota: a temperatura ambiente, la concentrazione intrinseca
dei portatori nel silicio è ni = 1.45 · 1010 cm−3 .
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