Esercizi logica e tableau Proposizionali

Intelligenza Artificiale
Esercizi Logica
Proposizionale-tableau
Intelligenza Artificiale – Daniele Nardi, 2003 Esercizi Logica Proposizionale-tableau
Esercizi Modelli
1. “Se Giovanni studia canto e non ha una brutta voce allora
avrà successo alla Scala”. Siano:
C = studiacanto
B = bruttavoce
S = successo
Dire quali tra i seguenti insiemi sono modelli:
{C, B, S}
{C,S}
{B, S}
{C}
{B}
{}
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2. Verificare se
{(C ∧ ¬B) → S, C, S} |= B
per via semantica, cioè ragionando sui modelli e non
facendo deduzione.
3. quanti modelli hanno le formule (n letterali distinti)?
A1 ∧ . . . ∧ An
A1 ∨ . . . ∨ An
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Esercizio sui modelli 1
Se Giovanni studia canto e non ha una brutta voce allora
avrà successo alla Scala.
Siano:
C = studiacanto
B = bruttavoce
S = successo
Dire quali tra i seguenti insiemi sono modelli:
{C, B, S}
{C,S}
{B, S}
{C}
{B}
{}
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Esercizio sui modelli 2
Verificare se
{(C ∧ ¬B) → S, C, S} |= B
per via semantica, cioè ragionando sui modelli e non facendo
deduzione.
La risposta è no
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Esercizio sui modelli 3
Una formula costituita dalla congiunzione di n letterali distinti
quanti modelli ha?
A1 ∧ . . . ∧ An
Una formula costituita dalla disgiunzione di n letterali distinti
quanti modelli ha?
A1 ∨ . . . ∨ An
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Esercizi
`T (A ∨ B) ↔ (B ∨ A)
{A ↔ B, A ∨ B} `T A ∧ B
{A → B, B → C} `T A → C
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Esercizi: soluzione del primo
`T (A ∨ B) ↔ (B ∨ A)
¬((A ∨ B) ↔ (B ∨ A))
A∨B
¬(A ∨ B)
¬(B ∨ A)
B∨A
¬A
¬B
A?
¬A
B?
B?
¬B
A?
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Ancora Esercizi coi tableau
Riprendiamo:
{A ↔ B, A ∨ B} `T A ∧ B
¬A?
A
A
B?
A↔B
A∨B
¬(A ∧ B)
¬B
¬A
¬B?
A
B?
¬A
B
¬A
¬B?
¬B?
Il tableau chiude quindi: {A ↔ B, A ∨ B} `T A ∧ B
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Esercizio
{A → B, B → C} `T A → C
¬B
A
¬C?
¬A
A→B
B→C
¬(A → C)
C
A
¬C?
¬B?
B
C
A
¬C?
Il tableau chiude quindi {A → B, B → C} `T A → C
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Esercizio: Vacanza
Se parto e vado in vacanza allora sono contento
Se parto allora vado in vacanza
Parto
posso concludere che: vado in vacanza e sono contento??
Γ = {(P ∧ V ) → C, P → V, P } `T (V ∧ C)
¬(P ∧ V )
¬P ?
¬V ?
(P ∧ V ) → C
P →V
P
¬(V ∧ C)
V
¬P ?
¬C
¬P ?
¬V ?
C
¬V ?
V
¬C?
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Esercizio: La lotteria
Sono felice se e solo se ho vinto la lotteria, o la mia ragazza
esce con me
Se piove la mia ragazza non esce con me
Piove e sono felice
posso concludere che: sono felice se e solo se ho vinto la lotteria??
Γ = {F ↔ (L ∨ E), P → ¬E, P ∧ F } `T (F ↔ L)
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¬P ?
F ↔ (L ∨ E)
P → ¬E
P ∧F
¬(F ↔ L)
P
F
F
L∨E
L?
E?
F
¬L
¬E
¬F
¬(L ∨ E)?
¬F
L?
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Problema dell’alpinista
Sia dato il seguente problema:
Se Paolo è alpinista allora è bevitore.
Se Paolo è alpinista allora è canterino.
Se Paolo è alpinista allora è bevitore e canterino.
Γ = {A → B, A → C, A → (B ∧ C)}
1. È un teorema??
2. È soddisfacibile??
3. Se è soddisfacibile, quali sono i modelli??
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Risposta 1
(A → B) ∧ (A → C) ∧ (A → (B ∧ C)) non è un teorema
¬((A → B) ∧ (A → C) ∧ (A → (B ∧ C)))
¬(A → B)
¬((A → C) ∧ (A → (B ∧ C)))
A
¬B
Inutile continuare, il primo ramo non chiude.
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Risposte 2 e 3
(A → B) ∧ (A → C) ∧ (A → (B ∧ C)) è soddisfacibile
¬A
¬A
B
C
(A → B)
(A → C)
A → (B ∧ C)
¬A
¬A
C
B
C
¬A
¬A
B
C
B
¬A
C
B
C
Nessun ramo chiude
Guardo i rami e cerco i modelli: {} {B, C} {C} {B} {A, B, C}
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Problema dell’alpinista: variazione
Sia dato il seguente problema:
Paolo è alpinista
Se Paolo è alpinista allora è bevitore.
Se Paolo è alpinista allora è canterino.
Se Paolo è alpinista allora è bevitore e canterino.
Γ0 = {A, A → B, A → C, A → (B ∧ C)}
1. È un teorema??
2. È soddisfacibile??
3. Se è soddisfacibile, quali sono i modelli??
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Risposta 1
A ∧ (A → B) ∧ (A → C) ∧ (A → (B ∧ C)) non è un teorema
¬(A ∧ (A → B) ∧ (A → C) ∧ (A → (B ∧ C)))
¬A
¬((A → B) ∧ (A → C) ∧ (A → (B ∧ C)))
Inutile continuare, il primo ramo non chiude.
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Risposte 2 e 3
A ∧ (A → B) ∧ (A → C) ∧ (A → (B ∧ C)) è soddisfacibile
Posso costruire un nuovo tableau, vedrò che un ramo non
chiude.
Oppure, posso osservare che tra i modelli di Γ:
{} {B, C} {C} {B} {A, B, C}
ce ne è uno che contiene A: questo è anche modello per Γ0
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Problema dell’alpinista : variazione 2
Sia dato il seguente problema:
[ Paolo è
Se Paolo
Se Paolo
Se Paolo
alpinista ]
è alpinista allora è bevitore.
è alpinista allora è canterino.
è alpinista allora è bevitore e canterino.
Γ = {A → B, A → C, A → (B ∧ C)}
Γ0 = {A, A → B, A → C, A → (B ∧ C)}
1. Da Γ posso derivare B??
2. Da Γ0 posso derivare B??
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Risposte 1
per via semantica:
Modelli di Γ: {} {B, C} {C} {B} {A, B, C}
Non tutti sono modelli di B. Quindi risposta 1 no.
Modelli di Γ0: {A, B, C}
Tutti sono modelli di B. Quindi risposta 2 si.
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Risposte 2
per via sintattica:
1. Costruire un tableau per Γ ∪ {¬B} e verificare che non
chiude
A→B
A→C
A → (B ∧ C)
¬B
¬A
B?
2. Costruire un tableau per Γ0 ∪ {¬B} e verificare che chiude
A
A→B
A→C
A → (B ∧ C)
¬B
B?
¬A?
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Esercizio: in viaggio
Se nevica non si va in macchina
Se tira vento non si va in aereo
Se i piloti e i ferrovieri scioperano non si va né in aereo né in
treno
Se c’è bel tempo non nevica né tira vento
Dire se è consistente con le affermazioni fatte che:
A. Se è bel tempo si viaggia come si vuole
B. Se è bel tempo e non c’è nessuno sciopero si viaggia come
si vuole
C. Se nevica si va in aereo
D. Se nevica non si va in aereo
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Esercizio: ancora in viaggio
Se
Se
Se
Se
va
scioperano i controllori gli aerei arrivano in ritardo
scioperano i piloti gli aerei non volano
gli aerei non volano si va in macchina
gli aerei arrivano in ritardo si parte di mattina presto o si
in macchina
Scenario 1: Scioperano i controllori
Scenario 2: Scioperano i piloti
Dire se nello scenario 1 e 2, rispettivamante, si può concludere che:
α parto di mattina presto
β vado in macchina
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Esercizi da Russel & Norvig
• Es 6.3-e
• Es. 6.5
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