Document

TTRG
LAVORO ESTIVO 2H a.s. 2014 – 2015
ESERCIZI RESISTENZE IN SERIE E PARALLELO
1) Si determini la resistenza in serie ed in parallelo dei seguenti resistori: R1 = 10 kΩ; R2 = 10 kΩ;
R3 = 5kΩ; R4 = 5 kΩ.
2) Si determini la resistenza equivalente della rete in fig.1.
3) Si determini la resistenza in serie ed in parallelo dei seguenti resistori: R1=10 kΩ; R2=5,1 kΩ; R3=47 kΩ.
4) Si determini la resistenza equivalente che si vede tra i terminali A e B della rete di fig.2.
5) In un circuito ai cui estremi è applicata una tensione V = 8 V passa una corrente di intensità I = 2 A. Calcola la
resistenza R del circuito.
6) Qual è l'intensità della corrente I che percorre un conduttore di resistenza R = 2 Ω quando si applica ai suoi
estremi una d.d.p. V = 8 V?
7) Quale differenza di potenziale si deve applicare agli estremi di un conduttore metallico avente resistenza R = 7 Ω
se si vuole che esso sia percorso da una corrente di intensità I = 3 A?
8) Considera il circuito di fig.3, i cui dati sono: R1 = 4 Ω, R2 = 6 Ω, R3 = 8 Ω. Calcola REQ.
9) Considera il circuito di fig.4, i cui dati sono: R1 = 2 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 6 Ω, R4 = 5 Ω. Calcola REQ.
10) Considera il circuito di fig.5, i cui dati sono: R1 = 1 Ω, R2 = 3 Ω, R3 = 6 Ω, R4 = 8 Ω, R5 = 8 Ω, R6 = 1 Ω, R7 = 6 Ω.
Calcola la resistenza totale del circuito.
11) Si determini la resistenza in serie ed in parallelo dei seguenti resistori: R1=1 Ω; R2=2 Ω; R3=4 Ω; R4=8Ω.
12) In un circuito ai cui estremi è applicata una tensione V = 2 V passa una corrente di intensità I = 8 A. Calcola la
resistenza R del circuito.
13) Qual è l'intensità della corrente I che percorre un conduttore di resistenza R = 5 Ω quando si applica ai suoi
estremi una d.d.p. V = 15 V?
14) Quale differenza di potenziale si deve applicare agli estremi di un conduttore metallico aventi resistenza R = 2 Ω
se si vuole che esso sia percorso da una corrente di intensità I = 8 A?
15) Considera il circuito di fig.6, i cui dati sono: R1 = 1 Ω, R2 = 3 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 2 Ω. Determina REQ.
16) Considera il circuito di fig.7, i cui dati sono: R1 = R2 = R5 = 2,5 Ω, R3 = R7 = 4 Ω, R4 = R6 = 6 Ω. Determina REQ=?
Figura 1
Figura 2
Figura 4
Figura 5
Figura 3
Figura 6
Figura 7
Risoluzione di reti elettriche con la legge di Ohm.
1) Dato il circuito in Figura 1 con R1=10 Ω, R2=20 Ω, R3=10 Ω e V=20 V, si determini I1, I2, I3, Req e I.
2) Dato il circuito in Figura 2 con R1=1 kΩ, R2=2 kΩ, R3=3 kΩ e V=24 V, si determini I e VB.
3) Dato il circuito in Figura 3 con R1=40 Ω, R2=240 Ω, R3=160 Ω e V=68 V, si determini I1, I2, I3, e VP.
4) Dato il circuito in Figura 4 con R1=R2=800 Ω, R3=R4=40 Ω e V=12 V, si determini I, I1, I2, I3, e I4.
V
R1
R2
R3
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
5) Dati tre resistori si determini il valore della Req quando sono montati in serie e in parallelo (fare il
6)
7)
8)
9)
disegno)
a) con i seguenti valori di resistenza: R1=100 Ω, R2=200 Ω, R3=200 Ω
b) con i seguenti valori di resistenza: R1=2 kΩ, R2=4 kΩ, R3=4 kΩ
Dato un circuito con due resistori montati in serie si determini il valore della Req, di I, di V1 e V2 quando
a) V=10 V, R1=400 Ω, R2=100 Ω (fare anche il disegno).
b) V=24 V, R1=1 kΩ, R2=2 kΩ (fare anche il disegno).
Dato un circuito con due resistori montati in parallelo si determini il valore della Req, di I, I1 e I2 quando
a) V=12 V, R1=200 Ω, R2=300 Ω (fare anche il disegno).
b) V=12 V, R1=400 Ω, R2=600 Ω (fare anche il disegno).
Un circuito elettrico è costituito da un generatore e da 3 resistori, R1=1 kΩ, R2=2 kΩ, R3=3 kΩ, collegati
in serie. La d.d.p. ai capi di R1 è V1=12 V. Disegna il circuito e determina Req, I, V2 e V3.
Un circuito elettrico è costituito da una batteria e da 2 resistori, R1=400 Ω, R2=600 Ω, collegati in
parallelo. Disegna il circuito e, sapendo che la corrente che circola in R1 vale I1=0,03 A, determina V, I2,
Req e I.
2
10) Data la rete di figura 5 si determini la corrente in ciascun resistore, il potenziale dei punti A,B, C, D,E,F e
le differenze di potenziale VCD e VAE e la potenza assorbita dalla rete.
R1=10KΩ
R2=1,2KΩ
R3=5,1KΩ
R4=8,2KΩ
R5=5,6KΩ
R6=3,6KΩ
R7=1KΩ
R8=5,6KΩ
Figura 5
11) Data la rete di figura 6 si determinino i potenziali dei punti A,B, C, D e la potenza assorbita dalla rete.
R1=4,7KΩ
R2=7,5KΩ
R3=8,2KΩ
Figura 6
12) DATO IL SEGUENTE CIRCUITO, DETERMINA REQ, I1, VAB, I2, I3, VCD, I4, I5 e I6
E=100V
R1=20KΩ
R2=20KΩ
R3=90KΩ
R4=50KΩ
R5=150KΩ
R6=75KΩ
13) DATO IL SEGUENTE CIRCUITO, DETERMINA REQ, I1, VAB, I2, I3, VCD, I6 e I7
E=400V;
R1=9KΩ;
R2=50KΩ;
R3=100KΩ;
R4=110KΩ;
R5=140KΩ;
R6=200KΩ;
R7=120KΩ;
R8=20KΩ;
3
14) DATO IL SEGUENTE CIRCUITO, DETERMINA REQ, I1, VAB, I2, I3 , I4, VCD, I5 e I6.
I1
A
C
I3
I2
R2
E
R4
I4
R3
R1
I1
B
I4
I5
I6
R5
R6
I5
I6
E=300V
R1=23,75KΩ
R2=84KΩ
R3=60KΩ
R4=30KΩ
R5=100KΩ
R6=300KΩ
D
15) DATO IL SEGUENTE CIRCUITO, DETERMINA REQ, I1, VAB, I2, I3 , I4, VCD, I5 e I6.
E=110V;
R1=12KΩ;
R2=120KΩ;
R3=280KΩ;
R4=300KΩ;
R5=15KΩ;
R6=48KΩ;
R7=65KΩ;
R8=10KΩ;
16) DATO IL SEGUENTE CIRCUITO, DETERMINA REQ, I1, VAB, I2, I3 , I6, VCD, I4 e I5
E=400V
R1=35KΩ
R2=30KΩ
R3=45KΩ
R4=20KΩ
R5=60KΩ
R6=75KΩ
4
17) Dato il seguente circuito in cui sono noti: E=400V; R1=12,5KΩ; R2=60KΩ; R3=15KΩ; R4=50KΩ; R5=150KΩ;
R6=75KΩ; R7=60KΩ; R8=30KΩ;
Determina:
a) Req
b) I1
c) VAB
d) I2 , I3
e) VCD
f) I4 , I5, I6
18) Determina Req e la corrente I3 del seguente circuito
19) Dato il seguente circuito, determina Req e la corrente I2
5
20) Determina Req e la corrente I3 del seguente circuito
21) Risolvere il seguente circuito:
100
50
60
45
80
75
100V
40
6
Definizione di Circuito elettrico: è un sistema costituito da almeno un generatore di tensione (per
esempio una pila) oppure di corrente, un utilizzatore o carico e un filo conduttore di collegamento
tra i due:
Definizione di nodo di un circuito: PUNTO DI CONNESSIONE NEL QUALE CONVERGONO PIÙ DI DUE
CORRENTI
Definizione di ramo o lato di un circuito: TRATTO DI RETE COMPRESO TRA DUE NODI
Definizione di maglia di un circuito: PARTE DI UNA RETE COMPOSTA DA DUE O PIÙ RAMI CHE REALIZZA UN
CIRCUITO CHIUSO, IN CUI È PRESENTE CONTINUITÀ ELETTRICA.
Principi di Kirchhoff
1°principio di Kirchhoff: la somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti
uscenti dallo stesso nodo
2°principio di Kirchhoff: in una maglia, la somma algebrica di tutte le tensioni è uguale a zero.
per scrivere un’equazione alla maglia di un circuito con il secondo principio di Kirchhoff:
si fissa arbitrariamente(“come più ti piace”) il verso della corrente
si individua per ciascuna resistenza il + e il si sceglie un punto (“come più ti piace”) da cui iniziare la percorrenza della maglia
si sceglie un verso arbitrario (“come più ti piace”) di percorrenza di maglia
si scrive l’equazione prendendo positive le tensioni che si incontrano con il segno + e negative le
tensioni che si incontrano con il segno −
Circuito elettrico: sistema costituito da almeno un _________________ di tensione (o di corrente),
un________________ (detto anche _____________, es.: motore) ed un filo di materiale
_________________ tra i due. Disegna qui di sotto un semplice circuito elettrico con tutte le componenti
necessarie.
Nodo: punto d’incontro di ______________ conduttori ______________ da corrente.
Ramo o lato: parte di un circuito compresa tra _______________ vicini, nel quale circola
________________________.
Maglia: insieme di più __________, percorsi una sola volta, formanti un circuito ______________.
7
1) Calcolare intensità e verso delle correnti incognite nei seguenti casi:
a)
c)
I1=10A
I2=4A
I3=?
I1=7A
I2=3,5A
I3=15A
I4=8A
I5=?
b)
I2=1A
I3=8A
I4=12A
I1=?
8
2) Calcolare il valore della corrente I che percorre il ramo AB, nota la tensione VAB = 50V, mediante
l’applicazione del secondo principio di Kirchhoff al circuito di figura. Determinare inoltre VCK e VCD.
E1=42V
E2=30V
E3=10V
VAB = 50V
R1=10Ω
R2=20Ω
R3=6Ω
SVOLGIMENTO
si fissa arbitrariamente il verso della corrente: scegliamo il verso orario
si individua per ciascuna resistenza il + e il − (per le batterie il + e il – sono già indicati), ricordando
che per convenzione la corrente entra dal + ed esce dal meno
si sceglie un punto a piacere della maglia da cui iniziare la sua percorrenza, scegliamo il punto C
scegliamo il verso orario di percorrenza di maglia
scriviamo a questo punto l’equazione di Kirchhoff ricordando che si scrive l’equazione prendendo
positive le tensioni che si incontrano con il segno + e negative le tensioni che si incontrano con il
segno −
la prima tensione che incontriamo è quella ai capi del generatore E3 con la polarità negativa, poi
incontriamo la tensione ai capi di R3 con il segno + , poi la tensione ai capi di E2 con il segno + ecc ecc,
scriviamo l’equazione ricordando due cose fondamentali e cioè che R·I è una tensione mentre R da sola
è una resistenza, e che l’equazione si deve sempre concludere con uguale a zero:
− E3 + R3 ⋅ I + E2 + R2 ⋅ I − VAB + R1 ⋅ I − E1 = 0
sostituiamo ora i numeri:
−10V + 6 ⋅ I + 30V + 20 ⋅ I − 50V + 10 ⋅ I − 42V = 0
9
facciamo le dovute semplificazioni
36 ⋅ I − 72V = 0
e infine determiniamo l’incognita dell’equazione, cioè la corrente I:
36 ⋅ I =72V
I=
72V
= 2A
36Ω
la corrente è positiva, quindi vuol dire che il verso che avevamo scelto per la corrente era proprio quello giusto.
Determiniamo ora la tensione VCK applichiamo il 2° principio di Kirchhoff alla maglia “virtuale” C – D – K – C
scriviamo l’equazione scorrendo la maglia in senso orario, partendo dal punto D:
+ E2 − VCK − E3 + R3 ⋅ I = 0
sostituiamo i numeri:
+30V − VCK − 10V + 6 ⋅ 2 = 0
facciamo le dovute semplificazioni
+30V − VCK − 10V + 12V = 0
+32V − VCK = 0
e infine
+32V = VCK o anche VCK = +32V
10
Analogamente determino la tensione VCD, applichiamo il 2° principio di Kirchhoff alla maglia “virtuale” C – D – K –
C scriviamo l’equazione scorrendo la maglia in senso orario, partendo dal punto C:
+VCD + E2 − VCK = 0
+VCD + 30V − 32V = 0
+VCD = 2V
11
3) Calcolare l’intensità della corrente che percorre la maglia di figura e stabilirne il verso esatto mediante
l’applicazione del secondo principio di kirchhoff. Determina la tensione ai capi di ogni resistore:
E1=60V
E2=15V
E3=20V
E4=5V
R1=5Ω
R2=30Ω
R3=15Ω
R4=10Ω
4) Determinare il valore della tensione VBA e della tensione VAK del circuito di figura, sapendo che la
corrente che scorre nella maglia ha verso orario e vale 0,5A:
E1=8V
E2=35V
E3=25V
E4=92V
I=0,5A
R1=15Ω
R2=10Ω
R3=30Ω
R4=25Ω
5) Determinare la tensione E3 per il seguente circuito mediante l’applicazione del secondo principio di
Kirchhoff al circuito di figura.
VBA
B
A
+
R1
V1
-
+
E3
+
V3
+
R2
-
V2
+
E1
R3
E1=12V
E2=10V
V1=10V
V2=40V
V3=20V
VBA=50V
+
E2
12
6) Calcola l’intensità e il verso delle correnti incognite nei seguenti casi:
a)
c)
b)
I2
I1
I3
I1=13A
I2=7A
I3=?
I4=3A
I1=7,5A
I2=24A
I3=?
e)
d)
f)
I1=-5A
I2=11A
I3=2,5A
I4=?
I5=10A
g)
I1=2A
I2=5,5·I5
I3=5A
I4=2·I5
I5=?
I6=3,5A
I1=2,5·I4
I2=5A
I3=7A
I4=3,5A
I5=
h)
I1=17A
I2=?
I3=6·I2
I4=14A
I5=13A
I6=3·I2
I1=13A
I2=?
I3=5,8A
I4=-18A
I5=16,2A
i)
I3
I1
I4
I2
I1=15A
I2=11A
I3=?
I4=17A
I1=4A
I2=15A
I3=6,5A
I4=?
I5=65A
I6=1A
I7=3A
7) Determina la tensione VBD per il circuito di figura 1; determina la tensione VDC e la tensione VAC per il circuito di
figura 2, mediante l’applicazione del secondo principio di Kirchhoff:
E1=10V
E2=2V
E3=15V
E4=20V
VR1=3V
VR2=4V
VR3=8,5V
VR4=10V
VR5=2,5V
VDC=?
VAC=?
E1=250V
E2=15V
E3=125V
E4=35V
R1=15KΩ
R2=5KΩ
R3=40KΩ
R4=12KΩ
R5=8KΩ
I=?
VBD=?
Figura 1
Figura 2
13
8) Calcolare il valore della corrente che percorre la maglia di figura e stabilirne il verso esatto mediante
l’applicazione del secondo principio di Kirchhoff, dopodiché determina la caduta di tensione ai capi di R2 e di R3:
E1=13V
E2=2V
E3=100V
E4=7V
R1=5KΩ
R2=4KΩ
R3=11KΩ
9) Dato il seguente circuito:
DETERMINA:
a) il valore e il verso esatto della
corrente I che scorre nel circuito
b) la tensione o differenza di
potenziale VCE utilizzando il 2°
principio di Kirchhoff
10) Dato il seguente circuito:
A
R1
E2
B
C
R2
2K
D
R3
15K
9K
140V
E1
40V
+
F
3K
VFD
10V
1K
R5
E
R4
DETERMINA:
a) il valore e il verso esatto della
corrente I che scorre nel circuito
b) la tensione o differenza di potenziale
VFD utilizzando il 2° principio di
Kirchhoff
E3
14
11) Calcola l’intensità e il verso delle correnti incognite nei seguenti casi:
b)
a)
I1
I3
I2
I1=5A
I2=7A
I4=3A
I3=
I1=4A
I3=2A
I2=
c)
d)
I2=1A
I3=2A
I4=8A
I5=16A
I1=
I2=1A
I3=2A
I4=8A
I5=16A
I1=
12) Calcolare il valore delle correnti I1 e I4
I1=2·I4
I2=5A
I3=6A
I5=1A
I4=
13) Calcolare il valore della corrente che percorre il ramo AB, nota la tensione VAB=20V , mediante
l’applicazione del secondo principio di Kirchhoff:
VAB=20V
E1=8V
E2=E3=15V
R1=1Ω
R2=2Ω
R3=4Ω
15
14) Calcolare il valore della corrente che percorre la maglia di figura e stabilirne il verso esatto mediante
l’applicazione del secondo principio di Kirchhoff:
E1=30V
E2=20V
E3=10V
E4=5V
R1=1Ω
R2=4Ω
R3=6Ω
•
•
Fissare un verso arbitrario di percorrenza della maglia e ipotizzare un verso della corrente.
Applicare il secondo principio di Kirchhoff e verificare l’esattezza del verso ipotizzato per la
corrente.
15) Dato il seguente circuito:
DETERMINA:
a) il valore e il verso esatto della
corrente I che scorre nel
circuito
b) la tensione o differenza di
potenziale VBE utilizzando il 2°
principio di Kirchhoff
16) Dato il seguente circuito:
DETERMINA:
a) il valore e il verso esatto della corrente I
che scorre nel circuito
b) la tensione o differenza di potenziale
VFD utilizzando il 2° principio di
Kirchhoff
16
17) Calcola l’intensità e il verso delle correnti incognite nei seguenti casi:
a)
b)
I2
I3
I1
I1=15A
I2=
I4=3A
I3=17A
I1=14A
I3=2,5A
I2=
c)
d)
I1=?
I2=1A
I3=2,5A
I4=-8A
I5=16A
e)
I1=3·I4
I2=5A
I3=6A
I4=-19A
I5=
f)
I1=2A
I2=15A
I3=6,5A
I4=?
I5=65A
I6=3,5A
I1=-15A
I2=
I3=1A
I4=76A
18) Determina la corrente per il circuito di Figura 1, e la tensione E2 per il circuito di figura 2, mediante l’applicazione
del secondo principio di Kirchhoff:
E1=100V
E2=?
E3=30V
VAB=150V
R1=5KΩ
R2=7,5KΩ
R3=17,5KΩ
R4=30KΩ
I=2mA
E1=150V
E2=15V
E3=25V
VAB=20V
R1=65KΩ
R2=75KΩ
R3=140KΩ
Figura 1
Figura 27
17
19) Calcolare il valore della corrente che percorre la maglia di figura e stabilirne il verso esatto mediante
l’applicazione del secondo principio di Kirchhoff, dopodiché determina la caduta di tensione ai capi di R2 e di R3:
E1=23V
E2=2V
E3=1V
E4=6V
R1=10KΩ
R2=40KΩ
R3=30KΩ
20) Dato il seguente circuito:
DETERMINA:
a) il valore e il verso esatto della
corrente I che scorre nel circuito
b) la tensione o differenza di
potenziale VDE utilizzando il 2°
principio di Kirchhoff
21) Dato il seguente circuito:
DETERMINA:
a) il valore e il verso esatto della corrente I
che scorre nel circuito
b) la tensione o differenza di potenziale VEC
utilizzando il 2° principio di Kirchhoff
22) DATO IL SEGUENTE CIRCUITO:
DETERMINA:
a) IL VERSO DELLA CORRENTE I CHE SCORRE
NEL CIRCUITO e IL SUO VALORE
b) LA TENSIONE o DIFFERENZA DI
POTENZIALE VFD UTILIZZANDO IL 2°
PRINCIPIO DI KIRCHHOFF
18
23) DETERMINA LA CORRENTE IN OGNI SINGOLO RAMO O LATO DEL SEGUENTE CIRCUITO:
R2
30K
R1
R4
40K
E
60K
200V
R3
150K
R5
10K
24) DATO IL SEGUENTE CIRCUITO:
DETERMINA:
a) LA RESISTENZA EQUIVALENTE Req
b) LA CORRENTE I1
c) LA TENSIONE VAB
d) LE CORRENTI I2 e I3
e) LA CORRENTE I4 CON IL 1° PRINCIPIO DI
KIRCHHOFF
19
PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI
IL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI SI APPLICA A TUTTI I CIRCUITI LINEARI CIOÈ A TUTTI QUEI CIRCUITI COMPOSTI
DA GENERATORI INDIPENDENTI DI TENSIONE O DI CORRENTE E DA RESISTENZE, DIVENTA ESTREMAMENTE UTILE QUANDO SI
VUOLE CALCOLARE UNA CORRENTE O UNA TENSIONE E NEL CIRCUITO SONO PRESENTI PIÙ DI UN GENERATORE.
CALCOLIAMO COME ESEMPIO LA CORRENTE CHE SCORRE NELLA RESISTENZA R3 DEL SEGUENTE CIRCUITO:
ABBIAMO 2 GENERATORI NEL CIRCUITO, CIASCUN GENERATORE PROVOCA
NEL CIRCUITO UN EFFETTO CIOÈ UNA CORRENTE E UNA TENSIONE DI LATO;
LE CAUSE SONO I GENERATORI
GLI EFFETTI SONO LE CORRENTI E LE TENSIONI AI CAPI DI OGNI SINGOLA RESISTENZA
OGNI CORRENTE DEL CIRCUITO E OGNI TENSIONE DEL CIRCUITO PUÒ ESSERE VISTA COME SOMMA DI PIÙ EFFETTI, NEL CASO
DEL CIRCUITO IN ESAME ESSENDO 2 I GENERATORI ALLORA SARANNO 2 GLI EFFETTI, NEL CASO DELL'ESERCIZIO CHE STIAMO
TRATTANDO RISULTERÀ:
I 3 = I 3E1 + I 3E2
DOBBIAMO STUDIARE 2 CIRCUITI UNO PER OGNI CAUSA SICCOME SONO 2 I GENERATORI ALLORA SARANNO 2 I CIRCUITI DA
STUDIARE:
1° CIRCUITO: E1 ON, E2 OFF
I 3E 1
I1E 1
I1E 1
I 3E1
I 2E 1
E2 OFF SIGNIFICA CORTOCIRCUITARE IL GENERATORE DI TENSIONE E2.
I 3E1
I 2E1
E1
1
I
I 3E 1
I1E 1
2° CIRCUITO: E1 OFF, E2 ON
I 3E 2
I1E 2
I1E 2
I 3E 2
I 2E 2
E1 OFF SIGNIFICA CORTOCIRCUITARE IL GENERATORE DI TENSIONE E1
I 3E 2
I1E 2
I1E 2
I 3E 2
20
SI NOTI CHE PER QUESTI 2 CIRCUITI I VERSI DELLE CORRENTI SONO STATI MESSI CON CRITERIO E NON A PIACERE (COSÌ COME SI
FACEVA NEL METODO DI KIRCHHOFF), UN GENERATORE SPINGE LA CORRENTE DAL SUO MORSETTO POSITIVO VERSO IL SUO
MORSETTO NEGATIVO, LA CORRENTE ESCE SEMPRE DAL MORSETTO POSITIVO.
NOTIAMO ANCHE CHE NEL PRIMO CIRCUITO LA CORRENTE I3 HA IL VERSO DAL NODO A AL NODO B, MENTRE NEL SECONDO
CIRCUITO LA CORRENTE I3 SCORRE DA B AD A CIOÈ NELLA DIREZIONE OPPOSTA, LA CORRENTE I3 SARÀ OTTENUTA COME
E
E
DIFFERENZA TRA I 3 1 e I 3 2 , IL VERSO DEFINITIVO SARÀ EVIDENTEMENTE QUELLO DELLA CORRENTE CHE HA VALORE PIÙ
GRANDE.
PASSIAMO ORA ALLO STUDIO DEI SINGOLI CIRCUITI, CONSIDERIAMO IL 1° CIRCUITO (EFFETTO 1):
I1E1
E
E
DOBBIAMO CALCOLARE I 3 1 , PER CALCOLARE I 3 1 CI SERVIAMO
I 3E 1
I1E 1
DELLA
I 3E1
I 2E 1
LEGGE
DI
OHM
LA
PIÙ
IMPORTANTE
DELL'ELETTROTECNICA, LA LEGGE DI OHM AFFERMA CHE
LEGGE
I=
V
,
R
E
LA CORRENTE CHE DOBBIAMO DETERMINARE È I 3 1 PER CUI
I1E1
INIZIAMO A RIEMPIRE LA FORMULA DI PRIMA PARTENDO PROPRIO
I 3E1
I 2E1
E
DA I 3 1 , RISULTA
I 3E 1
I1E 1
I 3E1 =
V
;
R
V CHE TENSIONE DOBBIAMO METTERE? E AL POSTO DI R CHE RESISTENZA
E
DOBBIAMO METTERE NELLA FORMULA PRECEDENTE? BISOGNA IMPARARE A LEGGERE IL CIRCUITO, LA I 3 1 DA CHE
PUNTO A CHE PUNTO SCORRE?RISPOSTA DA A a B QUINDI LA TENSIONE V È VAB, TRA A E B CHE RESISTENZA C'È?
RISPOSTA R3 QUINDI NELLA FORMULA DEVO METTERE R3 AL POSTO DI R; IN DEFINITIVA ABBIAMO TROVATO CHE
CI DOBBIAMO CHIEDERE AL POSTO DI
E1
I3
E1
VAB
=
R3
E1
DOBBIAMO QUINDI CALCOLARE VAB PER FARE CIÒ DOBBIAMO SEMPLIFICARE IL CIRCUITO DI SOPRA
CHE DIVENTA:
IN CUI ܴ௉ È LA RESISTENZA OTTENUTA FACENDO IL PARALLELO TRA ܴଶ E ܴଷ ,
RISULTA
E1
1
I
I1E1
I1E 1
I1E1
E1
1
I
E1
1
I
VABE1 ?
RP =
R2 ⋅ R3
≅ 33Ω .
R2 + R3
IN QUESTO CIRCUITO QUANTO VALE
DOBBIAMO APPLICARE ANCORA UNA VOLTA LA LEGGE DI OHM:
E1
VAB = R ⋅ I , RISULTA VAB
= R ⋅ I CI CHIEDIAMO QUINDI AL POSTO DI R CHE
RESISTENZA DEVO METTERE NELLA FORMULA E AL POSTO DI I CHE CORRENTE
DEVO METTERE? LA DOMANDA DA PORSI È: TRA A E B CHE RESISTENZA C'È?
E
RISPOSTA ܴ௉ E TRA A E B CHE CORRENTE SCORRE? RISPOSTA I1 1 PER CUI
E1
VAB
= RP ⋅ I1E1 ORA DI QUESTA FORMULA NON CONOSCO I1E1 , COME FACCIO
E
A CALCOLARE I1 1 ?
21
GUARDIAMO IL CIRCUITO, DOBBIAMO IMPARARE A LEGGERE I CIRCUITI, IL CIRCUITO DI SOPRA È COSTITUITO DA UN'UNICA
MAGLIA FORMATA DA UN GENERATORE E DA DUE RESISTENZE IN SERIE, LA CORRENTE CHE SCORRE NEL CIRCUITO INFATTI È
SEMPRE LA STESSA PER CUI IL CIRCUITO È RICONDUCIBILE AL PIÙ SEMPLICE CIRCUITO CHE SI PUÒ REALIZZARE E CIOÈ QUELLO
MONOMAGLIA COSTITUITO DA UN GENERATORE E DA UNA RESISTENZA IN SERIE:
I1E 1
I1E 1
I1E 1
LA CORRENTE I1 1 SARÀ QUINDI UGUALE A I 1 =
1
E
E
E1
CONOSCIAMO
I 1E1 ALLORA SIAMO IN GRADO DI CONOSCERE LA TENSIONE
E1
E
CI BASTERÀ SOSTITUIRE LA CORRENTE I1 1 NELLA FORMULA DI SOPRA,
VAB
I1E 1
I1E1
E1
≅ 0, 4 A SE
RT
I1E 1
I1E1
I1E1
I1E 1
A TAL SCOPO RIPRENDIAMO IL CIRCUITO DI PRIMA, DI QUESTO CIRCUITO
E
SIAMO ORA IN GRADO DI CALCOLARE VAB1 PER QUESTO CIRCUITO, INFATTI
CONOSCO ORA SIA
E1
VAB
= RP ⋅ I1E1 ≅ 33 ⋅ 0, 4 ≅ 13, 2V .
I1E1
I1E 1
RP CHE I1E1 , ALLORA
I1E1
E
E
E INFINE POSSIAMO CONOSCERE LA CORRENTE I 3 1 DEL PRIMO CIRCUITO (EFFETTO 1) DAL MOMENTO CHE CONOSCO SIA VAB1
R3 , RISULTA:
CHE
I 3E 1
I1E 1
I1E1
I 3E1
I 2E 1
E1
I3
I 3E1
I 2E1
E1
1
I
E1
VAB
13, 2
=
=
≅ 0,18 A
R3
72
I 3E 1
I1E 1
E
RIVEDIAMO IN RAPIDA CARRELLATA QUELLI CHE SONO STATI I PASSI PER CALCOLARE LA CORRENTE I 3 1 :
I 3E 1
I1E 1
I1E1
I1E1
I 3E1
I 2E 1
I1E1
I1E1
I1E 1
I1E 1
I1E 1
E1
I
I1E 1
E1
I3
I 3E1
I 2E1
E1
1
E1
VAB
13, 2
=
=
≅ 0,18 A
R3
72
I 3E 1
I1E1
E1
1
I
I1E1
E1
VAB
= RP ⋅ I1E1 ≅ 33 ⋅ 0, 4 ≅ 13, 2V
I1E 1
I1E1
I1E 1
I 1E1 =
E1
≅ 0, 4 A
RT
22
CONSIDERIAMO IL 2° CIRCUITO (EFFETTO 2)
I1E 2
I 3E 2
I1E 2
E
SERVIAMO SEMPRE DELLA LEGGE DI OHM, LA LEGGE DI
I 3E 2
I 2E 2
E
DOBBIAMO CALCOLARE I 3 2 , PER CALCOLARE I 3 2 CI
I=
OHM AFFERMA CHE
V
,
R
LA CORRENTE CHE
E
DOBBIAMO DETERMINARE È I 3 2 PER CUI INIZIAMO A
I 3E 2
I1E 2
RIEMPIRE LA FORMULA DI PRIMA PARTENDO PROPRIO
E
DA I 3 2 , RISULTA
I 3E 2
I 1E 2
I 3E2 =
V
;
R
V CHE TENSIONE DOBBIAMO METTERE? E AL POSTO DI R CHE RESISTENZA
E
DOBBIAMO METTERE NELLA FORMULA PRECEDENTE? BISOGNA IMPARARE A LEGGERE IL CIRCUITO, LA I 3 2 DA CHE
PUNTO A CHE PUNTO SCORRE?RISPOSTA DA B ad A QUINDI LA TENSIONE V È VBA, TRA B E A CHE RESISTENZA C'È?
RISPOSTA R3 QUINDI NELLA FORMULA DEVO METTERE R3 AL POSTO DI R; IN DEFINITIVA ABBIAMO TROVATO CHE
CI DOBBIAMO CHIEDERE AL POSTO DI
E2
I3
VBAE2
=
R3
E
DOBBIAMO QUINDI CALCOLARE VBA2 PER FARE CIÒ DOBBIAMO SEMPLIFICARE IL CIRCUITO DI SOPRA CHE DIVENTA:
I 2E2
I
E2
IN CUI ܴ௉ È LA RESISTENZA OTTENUTA FACENDO IL PARALLELO TRA ܴଵ E ܴଷ , RISULTA
I
E2
2
R2
I
A
E2
2
Rp
60
RP =
R1 ⋅ R3
≅ 40Ω . IN QUESTO CIRCUITO QUANTO VALE VBAE ? DOBBIAMO APPLICARE
R1 + R3
2
V = R ⋅ I , RISULTA VBAE2 = R ⋅ I CI CHIEDIAMO QUINDI
AL POSTO DI R CHE RESISTENZA DEVO METTERE NELLA FORMULA E AL POSTO DI I CHE
CORRENTE DEVO METTERE? LA DOMANDA DA PORSI È: TRA B E A CHE RESISTENZA C'È?
E
E
E
RISPOSTA RP E TRA B E A CHE CORRENTE SCORRE? RISPOSTA I 2 2 PER CUI VBA2 = RP ⋅ I 2 2
ANCORA UNA VOLTA LA LEGGE DI OHM
100V
I 2E2
E2
2
I 2E2
B
E
E
ORA DI QUESTA FORMULA NON CONOSCO I 2 2 , COME FACCIO A CALCOLARE I 2 2
? GUARDIAMO IL CIRCUITO, DOBBIAMO
LEGGERE IL CIRCUITO, IL CIRCUITO DI SOPRA È COSTITUITO DA UN'UNICA MAGLIA FORMATA DA UN GENERATORE E DA DUE
RESISTENZE IN SERIE, LA CORRENTE CHE SCORRE NEL CIRCUITO INFATTI È SEMPRE LA STESSA PER CUI IL CIRCUITO È
RICONDUCIBILE AL PIÙ SEMPLICE CIRCUITO CHE SI PUÒ REALIZZARE E CIOÈ QUELLO MONOMAGLIA COSTITUITO DA UN
GENERATORE E DA UNA RESISTENZA IN SERIE:
I 2E2
I 2E2
I 2E2
LA CORRENTE I 2 2 SARÀ QUINDI UGUALE A I 2 2 =
E
I
E
E2
≅ 1A
RT
I 2E2
E2
2
I 2E2
23
I 2E2
E
E
SE CONOSCIAMO I 2 2 ALLORA SIAMO IN GRADO DI CONOSCERE LA TENSIONE VBA2 CI
E
BASTERÀ SOSTITUIRE LA CORRENTE I 2 2 NELLA FORMULA DI SOPRA, A TAL SCOPO
I 2E2
I 2E2
RIPRENDIAMO IL CIRCUITO DI PRIMA, DI QUESTO CIRCUITO SIAMO ORA IN GRADO DI
E
E
CALCOLARE VBA2 PER QUESTO CIRCUITO INFATTI CONOSCO ORA SIA RP CHE I 2 2 ,
ALLORA VBA2 = RP ⋅ I 2 2 = 40 ⋅1 = 40V
E
E
I 2E2
.
I
E2
2
I 2E2
ா
E INFINE POSSIAMO CONOSCERE LA CORRENTE ‫ܫ‬ଷ మ DEL SECONDO CIRCUITO (EFFETTO 2) DAL MOMENTO CHE CONOSCO SIA
E2
CHE R3 , RISULTA:
VBA
I 3E 2
I1E 2
I1E 2
I 3E 2
I 2E 2
E2
I3
VBAE2 40
=
=
≅ 0,55 A
R3 72
I 3E 2
I1E 2
I 3E 2
I 1E 2
RIVEDIAMO IN RAPIDA CARRELLATA QUELLI CHE SONO STATI I PASSI PER CALCOLARE LA CORRENTE
I 1E
I1E 2
I 2E2
I 3E 2
2
I 3E 2
I 2E 2
R2
I 3E 2
I1E 2
E2
I 2E2
A
I 2E2
I 2E2
I E2 =
3
VBAE2 40
=
≅ 0,55 A
R3 72
I 3E 2
I 2E2
I 2E2
Rp
60
100V
I 2E2
I 2E2
I 1E 2
I 3E2 :
I 2E2
I
I 2E2
E2
2
I 2E2
B
VBAE2 = RP ⋅ I 2E2 = 40 ⋅1 = 40V
I 2E2 =
E2 100
=
= 1A
RT 100
E
E
E INFINE POSSO CALCOLARE LA CORRENTE I 3 , I 3 = I 3 1 − I 3 2 = 0,18 − 0,55 = −0,37 A CIOÈ LA CORRENTE I 3
SCORRERÀ DA B ad A.
24
Facciamo un altro esempio:
e si supponga di voler conoscere il valore della sola corrente l3.
Si tratta di una rete lineare, sottoposta all’azione contemporanea di tre generatori: E1, E2, E3.
La corrente l3 può, quindi, essere calcolata sommando algebricamente i contributi parziali dei singoli generatori,
applicati uno per volta.
Applicando il solo generatore E1, si ottiene la rete indicata in figura:
I1E1
I 3E1
A
I 3E1
I 2E1
R1
10
R2
I1E1
E1
R3
10
I 3E1
I 2E1
10V
I1E1
10
B
da cui risulta:
R23 =
R2 ⋅ R3
10 ⋅10
=
= 5Ω
R2 + R3 10 + 10
I1E1
I1E1 =
I1E1
E1
E1
10
10
=
=
=
= 0, 66 A
RT R1 + R23 10 + 5 15
E1
VAB
= R23 ⋅ I1E1 = 5 ⋅ 0, 66 = 3,3V
e dal circuito precedente risulta:
I1E1
I1E1
I 3E1 =
E1
VAB
3, 3
=
= 0, 33 A
R3
10
I1E1
E2
In modo analogo applicando il solo generatore E2, si ottiene la rete di figura e si calcolano I 2E2 , V AB
e poi I3E2
25
I1E2
I1E2
I 3E2
I 2E2
I 3E2
I 2E2
I 3E2
I1E2
I 3E2
da cui risulta:
R13 =
R1 ⋅ R3
10 ⋅10
=
= 5Ω
R1 + R3 10 + 10
I 2E2
E2
E2
12
12
=
=
=
= 0,8 A
RT R2 + R13 10 + 5 15
I 2E2 =
I 2E2
VAB = R13 ⋅ I 2E2 = 5 ⋅ 0,8 = 4V
I 2E2
e dal circuito precedente risulta:
I 2E2
I 3E2 =
I1E1
VAB
4
=
= 0, 4 A
R3 10
Infine, con il solo generatore E3 si ottiene la rete di figura:
I1E3
I1E3
I 2E3
I 3E3
I 3E3
I 2E3
I1E3
I 3E3
I1E3
da cui risulta:
R12 =
R1 ⋅ R2
10 ⋅10
=
= 5Ω
R1 + R2 10 + 10
I 3E3
I 3E3
I 3E3
I 3E3 =
E3
E3
5
5
=
=
=
= 0,33 A
RT R23 + R3 10 + 5 15
I 3E3
I 3E3
La somma dei contributi fornisce il valore di I3:
I 3 = I 3E1 + I 3E2 + I 3E3 = 0,33 A + 0, 4 A - 0, 33 A = 0, 4 A
26
1) Calcolare con il Principio di Sovrapposizione degli Effetti la corrente I2 del seguente circuito:
2) Calcolare con il Principio di Sovrapposizione degli Effetti la corrente I2 del seguente circuito
3) Calcolare con il Principio di Sovrapposizione degli Effetti la corrente I1 del seguente circuito
4) Dato il seguente circuito:
determinare con il principio di sovrapposizione degli effetti il valore della corrente I3 e indicare il suo
verso(da A a B, oppure da B ad A).
27
5) Dato il seguente circuito:
determinare con il principio di sovrapposizione degli effetti il valore della corrente I2 e indicare il suo
verso(da A a B, oppure da B ad A).
6) Dato il seguente circuito:
determinare con il principio di sovrapposizione degli effetti il valore della corrente I1 e indicare il suo
verso(da A a B, oppure da B ad A).
7) Dato il seguente circuito:
I3
A
I3
R1
E1
24
144V
R2
80
Io
1A
B
R3
48
I3
I3
determinare con il principio di sovrapposizione degli effetti il valore della corrente I3 e indicare il suo verso(da A a B,
oppure da B ad A), RICORDA CHE SPEGNERE UN GENERATORE DI CORRENTE SIGNIFICA APRIRE IL RAME IN CUI E’
POSIZIONATO IL GENERATORE VEDI GLI APPUNTI PRESI A LEZIONE.
8) Dato il seguente circuito:
determinare con il principio di sovrapposizione degli effetti il valore della corrente I2 e indicare il suo verso(da A a B,
oppure da B ad A).
28
9) Dato il seguente circuito:
determinare con il principio di sovrapposizione degli effetti il valore della corrente I1 e indicare il suo verso(da A a B,
oppure da B ad A). Calcolare con il principio di sovrapposizione degli effetti la corrente I2 del seguente circuito:
10) Calcolare con il Principio di Sovrapposizione degli Effetti la corrente I1 del seguente circuito:
A
I1
I1
R1 90
R2
60
E2
I1
150V
R3
Io
72
360mA
I1
B
11) Calcolare con il Principio di Sovrapposizione degli Effetti la corrente I1 del seguente circuito
A
I1
R1
I1
200
R2
Io
I1
60
R3
1A
E3
120
160V
I1
B
29
12) Calcolare con il principio di sovrapposizione degli effetti la corrente I1 del seguente circuito
A
I1
R1
I1
200
R2
Io
I1
60
R3
1A
E3
120
160V
I1
B
13) Calcolare con il principio di sovrapposizione degli effetti la corrente I2 del seguente circuito
30
MODULO E FASE DI UN NUMERO COMPLESSO
Z = a + jb è L’ESPRESSIONE ALGEBRICA O CARTESIANA PIÙ GENERALE PER ESPRIMERE UN NUMERO
COMPLESSO
a=PARTE REALE DEL NUMERO COMPLESSO
b=PARTE IMMAGINARIA DEL NUMERO COMPLESSO
J= UNITA’ IMMAGINARIA
UN NUMERO COMPLESSO SI PUO’ RAPPRESENTARE GRAFICAMENTE SUL PIANO DI GAUSS MEDIANTE UN
VETTORE
UN NUMERO COMPLESSO E’ SEMPRE DOTATO DI MODULO E FASE.
IL MODULO SI INDICA CON Z , ESPRIME LA LUNGHEZZA DEL VETTORE
IL MODULO DI Z SI DETERMINA CON LA FORMULA SEGUENTE:
Z = a 2 + b2
LA FASE DI z SI INDICA CON Z
LA FASE DI z INDICATA CON ϕ IN FIGURA, ESPRIME L’ANGOLO CHE IL VETTORE FORMA CON IL SEMIASSE
POSITIVO DELLE ASCISSE.
LA FASE DI Z SI DETERMINA CON LA FORMULA SEGUENTE:
•
b
Z = arctg  
a
•
b
Z = arctg   + 180°
a
SE IL VETTORE RAPPRESENTATIVO DEL NUMERO COMPLESSO SI TROVA NEL II
QUADRANTE
•
b
Z = arctg   − 180°
a
SE IL VETTORE RAPPRESENTATIVO DEL NUMERO COMPLESSO SI TROVA NEL III
QUADRANTE
SE IL VETTORE RAPPRESENTATIVO DEL NUMERO COMPLESSO SI TROVA NEL I O NEL
IV QUADRANTE
Un numero complesso si può esprimere anche con la forma polare del tutto equivalente alla forma
cartesiana:
Z = a + jb = Z Z
31
ESEMPI:
Es 1.
Z=+5
QUESTO NUMERO COMPLESSO E’ UN NUMERO REALE ESSENDO NULLA LA SUA PARTE IMMAGINARIA,
INFATTI a=+5 e b=0.
IL SUO MODULO È UGUALE A 5 E LA SUA FASE È ZERO, NEL CASO DEI NUMERI REALI POSITIVI LA FASE
SARÀ SEMPRE UGUALE A ZERO, POSSIAMO VERIFICARLO CON LE FORMULE DI SOPRA:
Z = 52 + 02 = 52 = 5
0+
Z = arctg
=0
5
Es 2.
Z=−15
QUESTO NUMERO COMPLESSO E’ UN NUMERO REALE ESSENDO NULLA LA SUA PARTE IMMAGINARIA,
INFATTI a=-15 e b=0.
IL SUO MODULO È UGUALE A +15 (RICORDA CHE IL MODULO DI UN NUMERO COMPLESSO È SEMPRE
POSITIVO) E LA SUA FASE È +180° (OPPURE -180°), NEL CASO DEI NUMERI REALI NEGATIVI LA FASE SARÀ
SEMPRE UGUALE A +180° (OPPURE -180°), POSSIAMO VERIFICARLO CON LE FORMULE DI SOPRA:
Z = (−15) 2 + 02 = (−15)2 = 15
Z = arctg
0+
= +180°
−15
32
Es 3. Z = + j 5
QUESTO NUMERO COMPLESSO E’ UN NUMERO PURAMENTE IMMAGINARIO ESSENDO LA SUA PARTE
REALE UGUALE A ZERO, INFATTI a=0 e b=+5.
IL SUO MODULO È UGUALE A +5 E LA SUA FASE È +90°, NEL CASO DEI NUMERI IMMAGINARI PURI LA FASE
SARÀ SEMPRE UGUALE A +90° OPPURE A -90° DIPENDE DAL SEGNO DI b, SE b È MAGGIORE DI ZERO
COME IN QUESTO CASO (b=+5) ALLORA Z = +90° , SE b FOSSE STATO UGUALE A -5 (b=-5) ALLORA LA
FASE SAREBBE STATA UGUALE A -90°, POSSIAMO VERIFICARLO CON LE FORMULE DI SOPRA:
Z = 02 + 52 = 25 = 5
Z = arctg
5
= +90°
0+
Es 4. Z = − j ⋅ 25
QUESTO NUMERO COMPLESSO E’ UN NUMERO PURAMENTE IMMAGINARIO ESSENDO LA SUA PARTE
REALE UGUALE A ZERO, INFATTI a=0 e b=-25.
SI PUÒ DIRE SUBITO CHE IL SUO MODULO È UGUALE A +25 E CHE LA SUA FASE È
-90°, VERIFICHIAMOLO:
Z = 02 + (−25) 2 = (−25) 2 = 25
 −25 
Z = arctg  +  = −90°
 0 
33
Es 5. Z = 3 + j ⋅ 4
IN QUESTO CASO IL NUMERO COMPLESSO È DOTATO DI PARTE REALE a=+3 E PARTE IMMAGINARIA b = +4,
SIAMO COSTRETTI AD USARE LE FORMULE DI SOPRA PER RICAVARE MODULO E FASE, RISULTA:
Z = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5
4
= 53,1°
3
LA PARTE REALE DEL NUMERO COMPLESSO È POSITIVA, LA PARTE IMMAGINARIA È ANCORA POSITIVA, IL
VETTORE RAPPRESENTATIVO DEL NUMERO COMPLESSO SI TROVERÀ NEL 1° QUADRANTE.
Z = arctg
Es 6. Z = −3 + j ⋅ 4
IN QUESTO CASO IL NUMERO COMPLESSO È DOTATO DI PARTE REALE A=-3 E PARTE IMMAGINARIA B = +4,
RISULTA:
Z = (−3)2 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5
 4 
 4
Z = arctg   = arctg  −  = −53,1° + 180° = +126, 9°
 −3 
 3
LA PARTE REALE DEL NUMERO COMPLESSO È NEGATIVA, LA PARTE IMMAGINARIA È POSITIVA, IL VETTORE
RAPPRESENTATIVO DEL NUMERO COMPLESSO SI TROVERÀ NEL 2° QUADRANTE.
34
Es 7. Z = 3 − j ⋅ 4
IN QUESTO CASO IL NUMERO COMPLESSO È DOTATO DI PARTE REALE a=+3 E PARTE IMMAGINARIA b = -4,
RISULTA:
Z = 32 + (−4)2 = 9 + 16 = 25 = +5
 −4 
 4
Z = arctg   = arctg  −  = −53,1°
 3 
 3
LA PARTE REALE DEL NUMERO COMPLESSO È POSITIVA, LA PARTE IMMAGINARIA È NEGATIVA, IL VETTORE
RAPPRESENTATIVO DEL NUMERO COMPLESSO SI TROVERÀ NEL 4° QUADRANTE.
Es 8. Z = −3 − j ⋅ 4
IN QUESTO CASO IL NUMERO COMPLESSO È DOTATO DI PARTE REALE a=-3 E PARTE IMMAGINARIA b = -4,
RISULTA:
Z = (−3)2 + (−4) 2 = 9 + 16 = 25 = +5
 −4 
 4
Z = arctg   = arctg  +  = +53,1° − 180° = −126,9°
 −3 
 3
LA PARTE REALE DEL NUMERO COMPLESSO È NEGATIVA, LA PARTE IMMAGINARIA È NEGATIVA, IL
VETTORE RAPPRESENTATIVO DEL NUMERO COMPLESSO SI TROVERÀ NEL 3° QUADRANTE.
35
UN NUMERO COMPLESSO PUÒ PERÒ PRESENTARSI ANCHE NELLA FORMA SEGUENTE, CIOÈ COME IL
RAPPORTO (DIVISIONE) TRA DUE NUMERI COMPLESSI:
Z=
a + jb
c + jd
(1)
NEL CASO DI SOPRA (1) PER CONOSCERE IL MODULO DI Z CI BASTA FARE IL MODULO DEL NUMERATORE
FRATTO(DIVISO) IL MODULO DEL DENOMINATORE, È UN QUALCOSA CHE SAPPIAMO GIÀ FARE IN BASE A
QUELLO CHE ABBIAMO VISTO IN PRECEDENZA, ALLORA:
a + jb
a 2 + b2
Z =
=
c + jd
c2 + d 2
MENTRE LA FASE DI Z SARÀ UGUALE ALLA FASE DEL NUMERATORE MENO LA FASE DEL DENOMINATORE,
CIOÈ:
b
d 
Z = arctg   − arctg  
a
c
Es 9.
Z=
1
3+ j⋅4
ALLORA MODULO E FASE SARANNO:
Z =
a 2 + b2
1
=
1
=
=
1
=
1
= 0, 2
5
9 + 16
25
c +d
3 +4
b
d 
0
4
Z = arc tg   − arc tg   = arc tg   − arc tg   = 0° − 53,1° = −53,1°
a
c
1
3
2
2
Es 10.
Z=
2
2
2 − j ⋅8
−3 + j ⋅ 4
ALLORA MODULO E FASE SARANNO:
Z =
a 2 + b2
c2 + d 2
=
22 + (−8) 2
(−3) 2 + 42
=
4 + 64
9 + 16
=
68
25
= 1, 64


b 
d
 −8  
 4 
Z = arc tg   − arc tg   + 180° = arc tg   − arc tg   + 180° = −75, 9° − 126, 9° = −202,8° = 157 , 2°
a 
c
 2  
 −3 


SOMMA ALGEBRICA
Valgono le relazioni
La somma di due numeri complessi equivale alla usuale somma fra vettori nel piano complesso.
Ricorda che:
j ⋅ j = j 2 = −1
36
PRODOTTO
Vale
come si è visto in precedenza
Usando la rappresentazione
Z= Z ϕ
e le proprietà della forma polare, il prodotto di due numeri complessi
Z1 = Z1 ϕ1
Z 2 = Z 2 ϕ2
assume la forma più agevole:
Z1 ⋅ Z 2 = Z1 ϕ1 ⋅ Z 2 ϕ 2 = Z1 ⋅ Z 2 ϕ1 + ϕ1
PER DETERMINARE IL PRODOTTO TRA DUE NUMERI COMPLESSI ESPRESSI IN FORMA POLARE SI FA IL
PRODOTTO TRA I MODULI E LA SOMMA DELLE FASI
RAPPORTO
Il rapporto fra due numeri complessi Z1 = a + j ⋅ b e Z 2 = c + j ⋅ d è dato da come si è visto :
Tuttavia il rapporto tra due numeri può anche essere ottenuto usando la rappresentazione polare in un
modo molto più semplice:
Z1 = Z1 ϕ1
Z 2 = Z 2 ϕ2
assume la forma più agevole:
Z1 ϕ1 Z1
Z1
ϕ1 − ϕ2
=
=
Z2
Z 2 ϕ2 Z 2
PER DETERMINARE IL RAPPORTO TRA DUE NUMERI COMPLESSI ESPRESSI IN FORMA POLARE SI FA IL
RAPPORTO TRA I MODULI E LA DIFFERENZA TRA LE FASI, FASE DEL NUMERATORE MENO LA FASE DEL
DENOMINATORE
Ricapitolando:
POLARE
CARTESIANA
+
NO
SI
-
NO
SI
:
SI
SI
·
SI
SI
37
COMPLESSO CONIUGATO:
SE Z È IL GENERICO NUMERO COMPLESSO, INDICHERÒ CON Z* IL COMPLESSO CONIUGATO DI Z.
Se Z = a + jb
Z * = a − jb è il complesso coniugato di Z
SEMPLICEMENTE SI CAMBIA IL SEGNO ALLA PARTE IMMAGINARIA.
RISULTA, INOLTRE CHE
Z ⋅ Z *= Z
2
= a2 + b2
Se per esempio Z = 1 + j5 il suo complesso coniugato sarà Z* = 1 – 5j
|Z|² = Z*·Z = 1² + 5² = 26
RAZIONALIZZAZIONE
LA RAZIONALIZZAZIONE SI EFFETTUA ANCHE PER DETERMINARE IL RECIPROCO DI UN NUMERO
COMPLESSO E, DI CONSEGUENZA, PER EFFETTUARE LA DIVISIONE, INFATTI, DATO UN NUMERO
COMPLESSO
Z = a + j ⋅ b , SI PUÒ DETERMINARE IL RECIPROCO MOLTIPLICANDO IL NUMERATORE E IL
DENOMINATORE PER IL CONIUGATO DI :
1) Rappresenta sul piano cartesiano il vettore corrispondente ad ognuno dei seguenti numeri complessi:
A: -5-j5; 5+j4; -3+j8; 6-7j; 3; -4; -3j; 7j;
B: 11-j3; 31-j7; -1+j; 23+9j; -33; 44; -3,25j; 0,75j;
C: -5,5+j0,5; 15-j; -19-6j; 1+5j; 2; -16; 9j; 3,75j; D: -11+j3; -31+j7; 1-j; -23-9j; 13; -14; -4,25j; -13j;
2) Determina il modulo e la fase (l'argomento) dei seguenti numeri complessi:
A: -123-j383; 523+j29; -3+j82; 614-764j; 332; -478; -335j; 744j;
B: 1721-j322; 3541-j753; -133+j546; 2363+946j; -3533; 4476; -623,25j; 440,75j;
C: -5225,5+j0,554; 145-j45; -1459-644j; 144+545j; 42; -164; 945j; 3,775j;
D: -1531+j53; -6341+j74; 14-j4; -243-94j; 143; -144; -4,245j; -134j;
3) Dopo aver seguito gli “esempi tipici” svolti dal docente alla lavagna converti in “forma polare” i
seguenti numeri complessi:
A: -5-j5; 5+j4; -3+j8; 6-7j; 3; -4; -3j; 7j;
B: 11-j3; 31-j7; -1+j; 23+9j; -33; 44; -3,25j; 0,75j;
C: -5,5+j0,5; 15-j; -19-6j; 1+5j; 2; -16; 9j; 3,75j; D: -11+j3; -31+j7; 1-j; -23-9j; 13; -14; -4,25j; -13j;
38
4) Converti in “forma cartesiana” i seguenti numeri complessi:
A: 5 34°, 4 89,3°; 3 12, 4°; 6 30,1°; 3 78°; 4 23°; 3 15°; 7 45°;
B: 4 3°; 9 191, 4°; 6 1, 4°; 5 43, 4°; 16 38, 9°; 18 32°; 11133°; 54 42°;
C: 2 4°; 13 8, 3°; 7 2, 4°; 2 67,1°; 17 83, 6°; 20 24°; 47 340°; 77 123°;
D: 3 38°; 11 9, 3°; 8 72, 4°; 1 3,1°; 19 82, 9°; 2118°; 35 113°; 90 275°;
5) PER CIASCUNO DEI SEGUENTI NUMERI COMPLESSI INDIVIDUA a e b:
a) Z1 = + 3 – j
b) Z2 = + 13 – j·5
a=
b=
c) Z3 = – 3 – 10 · j
e) Z5 = – 5 – j · 8
a=
b=
f) Z6 = + 3 · j
g) Z7 = - 9
a=
b=
h) Z8 = – j · 189
i) Z9 = –7 · j + 18
j) Z10 = + 14
k) Z11 = + j –25
l) Z12 = + 0,7 – j · 0,9
a=
b=
a=
b=
a=
b=
a=
b=
a=
b=
a=
b=
d) Z4 = + 12 + j · 4
a=
b=
a=
b=
a=
b=
6) RAPPRESENTA SUL PIANO DI GAUSS IL VETTORE CORRISPONDENTE AD OGNUNO DEI SEGUENTI NUMERI
COMPLESSI (1 PUNTO PER OGNI RISPOSTA ESATTA):
a) Z1 = + 2 – j
b) Z2 = – 3 – j
c) Z3 = – 4 + j·4
d) Z4 = – 7·j
e) Z5 = + j·4
f) Z6 = – j·8 – 3
7) RAPPRESENTA IN FORMA POLARE I SEGUENTI NUMERI COMPLESSI (2 PUNTI PER OGNI RISPOSTA ESATTA):
a) Z1 = + 5 + j·5
b) Z2 = + 2 – 4·j
c) Z3 = – 3 + j·9
d) Z4 = – 5 – j·10
e) Z5 = – 478
f) Z6 = – j·654
g) Z7 = + j·1200
h) Z8 = – 6·j + 4
8) RAPPRESENTA IN FORMA CARTESIANA I SEGUENTI NUMERI COMPLESSI (2 PUNTI PER OGNI RISPOSTA ESATTA):
a) Z1 = 5 + 60°
b) Z2 = 12 + 120°
c) Z3 = 8 - 30°
d) Z4 = 2 − 135°
39
9) RISOLVI LE SEGUENTI OPERAZIONI ARITMETICHE TRA NUMERI COMPLESSI: (3 PUNTI PER OGNI RISPOSTA
ESATTA)
−3 − j ⋅ 9
5 + j ⋅ 10
b) z2 = (4 − j ⋅ 6) ⋅ ( 5 + j ⋅ 5 )
a)
z1 =
10) PER CIASCUNO DEI SEGUENTI NUMERI COMPLESSI INDIVIDUA a e b:
a) Z1 = + 2 – j
a=
b=
b) Z2 = + 10 – j·5
a=
b=
c) Z3 = – 4 – 10 · j
a=
b=
d) Z4 = + 14 + j·4
a=
b=
e) Z5 = – 5 – j·5
a=
b=
f) Z6 = + 3·j
a=
b=
g) Z7 = - 19
a=
b=
h) Z8 = – j·332
a=
b=
i) Z9 = –7·j + 28
a=
b=
j) Z10 = + 34
a=
b=
k) Z11 = + j – 15
a=
b=
l) Z12 = + 1,7 – j · 2,9
a=
b=
11) RAPPRESENTA SUL PIANO DI GAUSS IL VETTORE CORRISPONDENTE AD OGNUNO DEI SEGUENTI NUMERI
COMPLESSI (1 PUNTO PER OGNI RISPOSTA ESATTA):
a) Z1 = + 2 – j
b) Z2 = – 4 – j
c) Z3 = – 3 + j·4
d) Z4 = – 5·j
e) Z5 = + j·3,5
f) Z6 = – j·7 – 2
12) RAPPRESENTA IN FORMA POLARE I SEGUENTI NUMERI COMPLESSI (2 PUNTI PER OGNI RISPOSTA ESATTA):
a) Z1 = + 5 + j·5
b) Z2 = + 1 – 4·j
c) Z3 = – 3 + j·6
d) Z4 = – 5 – j·15
e) Z5 = – 48
f) Z6 = – j·65
g) Z7 = + j·120
h) Z8 = – 6·j + 3
13) RAPPRESENTA IN FORMA CARTESIANA I SEGUENTI NUMERI COMPLESSI (2 PUNTI PER OGNI RISPOSTA ESATTA):
a) Z1 = 4 + 60°
b) Z2 = 12 + 120°
c) Z3 = 7 - 30°
d) Z4 = 2 − 135°
40
14) Per ciascuno DEI SEGUENTI NUMERI COMPLESSI INDIVIDUA a e b:
a) Z1 = + 1 – j·2
a=
b=
b) Z2 = – 5j + 3
a=
b=
c) Z3 = – 2 – 7j
a=
b=
d) Z4 = + j – 3
a=
b=
e) Z5 = – 18·j + 10
a=
b=
f) Z6 = 3 − 8j
a=
b=
g) Z7 = – 7
a=
b=
h) Z8 = – j·4,5
a=
b=
i) Z9 = – 8·j + 5
a=
b=
j) Z10 = + 11·j + 6
a=
b=
k) Z11 = + j + 5
a=
b=
l) Z12 = + 6 – j·5
a=
b=
15) RAPPRESENTA SUL PIANO DI GAUSS IL VETTORE CORRISPONDENTE AD OGNUNO DEI SEGUENTI NUMERI
COMPLESSI:
a) Z1 = + 1 – j·2
b) Z2 = – 5·j +3
c) Z3 = – 6 + j·5
d) Z4 = 3 – 7·j
e) Z5 = + j·5+1
f) Z6 = –4· j – 9
16) RAPPRESENTA IN FORMA POLARE I SEGUENTI NUMERI COMPLESSI:
a) Z1 = − 4 + j·1,5
b) Z2 = – j
c) Z3 = +4,5·j + 9
d) Z4 = – 2,5 – j·10
e) Z5 = – 5
f) Z6 = – j·7,5 + 4
g) Z7 = + j·4 + 9
17) RAPPRESENTA IN FORMA CARTESIANA I SEGUENTI NUMERI COMPLESSI:
a) Z1 = 5 + 15°
b) Z2 = 3,5 + 135°
d) Z4 = 8,5 − 70°
e) Z5 = 10 − 155°
g) Z7 = 5 +180°
h) Z8 = 15 − 120°
j) Z4 = 7,5 65°
k) Z4 = 17 35°
c)
f)
i)
l)
Z 3 = 19
− 65°
Z6 = 10
− 90°
Z9 = 13 + 90°
Z4 = 23
− 39°
18) RISOLVI LE SEGUENTI OPERAZIONI ARITMETICHE TRA NUMERI COMPLESSI:
a) z1 =
−3 + j ⋅ 5
−1 + j ⋅ 2
b) z2 = (−4 − 5 j) ⋅ ( 2 j + j ⋅ 7 )
d ) z7 =
2+ j
−2 − j
e) z5 =
(−1 + j ⋅ 5) ⋅ (−2 − j)
3 + j2
g) z4 =5−3j + j5⋅(−3+ j4) − j ⋅(3+ j6− j8) +
c) z3 =
3+ j⋅2
j⋅2
f ) z6 = (− j + 2 j) ⋅ ( −3 − j5 ) + 2 j + 1 − j5
7
j
1
h) z4 = −3j +5⋅(1−4j −3j + j7) − j4⋅(j5− j8)
j
41
19) RISOLVI LE SEGUENTI OPERAZIONI ARITMETICHE TRA NUMERI COMPLESSI:
−3 + j ⋅ 6
5+ j ⋅2
b) z2 = (4 − j ⋅ 6) ⋅ ( 5 + j ⋅ 5 )
a)
z1 =
20) Risolvi la seguente espressione algebrica, ESPRIMI IL RISULTATO OTTENUTO IN FORMA POLARE:
5 j ⋅ (3 − 4 j ) ⋅ (2 + j ) − 5 + 10 j
21) Determina IL PRODOTTO tra i seguenti numeri complessi, ESPRIMI IL RISULTATO OTTENUTO IN FORMA
POLARE:
a)
z1 = 7 + 2 j;
z2 = −2 + j 4
b)
z1 = 4 − j 6;
z2 = 5 j + 2
c)
z1 = 7 45°;
z2 = 8 −45°
22) Determina IL RAPPORTO tra i seguenti numeri complessi, ESPRIMI IL RISULTATO OTTENUTO IN FORMA
POLARE:
a)
z1 = 6 + 2 j;
z2 = −2 + j
b)
z1 = 4 − j 6;
z2 = 5 j
c)
z1 = 40 30°;
z2 = 5 90°
23) Determina LA SOMMA tra i seguenti numeri complessi, ESPRIMI IL RISULTATO OTTENUTO IN FORMA POLARE:
a)
z1 = 5 −45°;
b)
z1 = 6 + 2 j;
z 2 = 5 −90°
z2 = −2 + j
24) Determina LA DIFFERENZA tra i seguenti numeri complessi, ESPRIMI IL RISULTATO OTTENUTO IN FORMA
POLARE:
a)
z1 = 40 30°;
b)
z1 = 6 + 2 j;
z 2 = 5 −90°
z2 = −2 + j
25) Determina MODULO E FASE, IL CONIUGATO e L’INVERSO dei seguenti numeri complessi:
z1 = 1 + 4 j;
z2 = −2 + j3;
z3 = 3 − j5;
z4 = −4 − j8;
42
ESPRESSIONI CON I NUMERI COMPLESSI
1)
(5 j + 2) ⋅ (2 − 5 j ) − 35 2 j ⋅ (3 + j ) 361 − j163
+
=
3 − j7
2 j −1
145
2)
2 j ⋅ (3 j − 1) + 4 j
− 2 ⋅ (3 j + 2) ⋅ (1 − 2 j ) = −20
1− j
3) ( 6 j + 3) ⋅ ( j − 1) + 5 ⋅
4)
5)
( j + 3) ⋅ ( 4 j − 1)
j−2
+
( 4 j − 3) ⋅ ( 2 + j )
2− j
6j
= 6−3j
( 3 j + 3) ⋅ (1 + j )
( 4 + j ) ⋅ ( 3 − 2 j ) − j ⋅ (−8 j − 5) 7 7
1
+
= + j
( j + 2) ⋅ (−1 + 3 j )
2 ⋅ (1 − j )
5 5
5  2 1
1
1

 4 + 3 j


16
6) 3 + 2 j − −  −  j − (2 − ) + j
4  5 3
2 15
[-(7 + 18 j ) ]
7) ( 3 + 2 j )( 3 − 2 j ) + ( 2 − 4 j ) 3 j − ( 6 + 2 j )2
8)

13
3
 4
− (4 + 3 j ) −
( 2 − 3 j ) :
2+3j
 25 25

 1+ 2 j
39 j

j   :12

[ 0]
19 
9) 
+
− 2 j + 6 j
 j −1 2 + 3 j 2 
10)
[-9 + 6 j ]
3+ j j −2
−
+ ( j − 1)( j + 2 ) − j
2− j 3− j
 9 j − 13 
 10 


[ −5 − 9 j ]
11) ( 2 + 3 j )( 2 − 3 j ) − ( 3 + j )2 + j ( 3 − 2 j ) − 6 ( j + 2 )
12)
9 + 7 j −2 j 4 + 3 j 3 − 2 j 2 + 3 j
+
2+ j
3− 2 j
13)
4j
1 − j 12
+
+
1− 2 j 1+ 2 j 5
3 +
 5

1− j
 j
− 2  ;
 
14)
15)
1− j
2
+
1+ j
(2 − j)
2
1
1− 2 j
+
1− j
2j
−
j
2+ j
[5 + j ]
j
;

 −3 j − 6 
 25  ;


1
1− j
+
2 − j j (1 + j )
2
 1− j 
2j

 +
 2 j −1  1 − 2 j
( 2 j )2 − (1 + j )2
− j (2 − j)
j (2 + 3 j )
 j − 3
 5 ;


16 j − 12 
 25 


 −5 − 12 j 
 13 


43
3−4 j
16)
(1 + j ) − 2
j
17) (1 − j )( 3 − 2 j ) −
18) (1 + j ) −
3
19)
20)
(
[ −7 j − 3] ;
11 − 52 j 
 10  ;


j
4−2j
(1 − j )2
[2 j ];
j
)
(
2 − j − j ⋅ 1− j ⋅ 2
)
[-2 j ] ;
1
2

5
(1 − j )( 2 − j )( 3 − j )
1
1

[2 + j ];
21) ( 3 + j )( 3 − j )  + j 
 5 10 
1
1  1
1 
5
[ −1] ;
22)  j − j  j + j  :
2  3
2  4 j ⋅9 j
3
23) 6 j ⋅ ( −2 j + 5 j ) −
11
j ⋅ (13 j − 7 j ) + j ⋅ ( −2 j )
2
(
2j
)
2
[ −13] ;
[14] ;
24) 8 j : ( −4 j ) + 16 j ⋅ ( −2 j + j )
25)

j ;

(
− 4 j ( −5 j ) + 6 2 j : − 2 j
)
[ −28] ;
3
 2− j 
2

 + (1 − j )
 3−4 j 
2j
(2 − j)
1− j2
1+ j
− (1 − j ) −
2
4
2
−
 2 − 239 j 
 125 


j (1 + j )
2
j5
−2j
j ( j − 1)
( 3 + j ) ⋅ ( 3 − j ) 
1 1
+
 5 10
j+
3− 3 j 
 2 



j

[2 + j]
6 8
5 + 5 ⋅

3
2- j
4

(2 j - 3 j ) ⋅ 3

 9 + 87 j 
 50 


 2
j :
 3
[ 2]
− 5 j − (14 j − 6 j ) + ( −2 j + 6 j )
[ -9 j ]
8 j : ( −4 j ) + 16 j (−2 j + j )
[14]
j ( 2 j − 5 j ) − (9 j − j ) : ( 6 j − 4 j )
2
( 2 + j ) ⋅ (1 − j )
3−2 j

j

2
[ −7 j ]
 11 3
13 + 13

44

j

SEGNALI
Una grandezza si dice continua se è costante nel tempo
Una grandezza viene definita periodica quando i suoi valori si ripetono nel tempo a passo T.
Di una grandezza periodica si definiscono:
Periodo T: intervallo di tempo in cui la funzione assume la successione di tutti i suoi possibili valori.
Frequenza f: numero di periodi nell’unità di tempo. La frequenza si misura in Hertz.
Valore massimo AM: valore assoluto massimo assunto nel periodo.
Valore picco-picco App: è l’escursione massima della grandezza, data da AM+-AM-.
Valore medio Am: media dei valori assunti nel periodo.
Valore efficace (rms=root mean square) Aeff oppure Arms: radice quadrata della media dei quadrati dei valori assunti
nel periodo.
Una grandezza periodica si dice alternata quando nel periodo la curva positiva sottende un’area equivalente alla
curva negativa ( cioè è una grandezza periodica con componente continua nulla).
Il valore medio nel periodo di una grandezza alternata è nullo.
Per le grandezze alternate si considera allora il valore medio nel semiperiodo, ugualmente indicato con Am.
Esempi di grandezze periodiche:
Per le grandezze periodiche alternate, le definizioni di frequenza valore massimo, valore picco-picco e valore efficace
sono le stesse viste in precedenza, mentre si definisce:
Valore medio Am: il valore medio dei valori assunti dalla grandezza nel semiperiodo
Fattore di forma k f =
A
Am
45
Si definisce valore efficace di una corrente periodica il valore della corrente continua equivalente, cioè di quella
corrente continua che applicata allo stesso circuito, per lo stesso tempo, dissipa la stessa energia per effetto Joule
Per un segnale alternato sinusoidale I eff =
IM
2
Tra tutte le possibili forme di grandezze alternate la più importante è quella di tipo sinusoidale, quella cioè in cui la
variazione rispetto al tempo avviene secondo una curva che è appunto una sinusoide, come quella di figura:
E’ questo il tipo di corrente al quale si allude quando si parla di corrente alternata, ed è sotto questa forma che la
corrente è normalmente immessa nelle reti di distribuzione.
Una generica grandezza alternata sinusoidale a può essere espressa dalla relazione:
a (t ) = AM sen (ω ⋅ t )
dove : a=valore istantaneo;
AM=valore massimo
ω= velocità angolare o pulsazione[rad/s];
con:
ω = 2π f =
2π
T
Se l’istante iniziale non coincide con lo zero, la sinusoide avrà questa figura:
Una grandezza sinusoidale periodica ha la seguente espressione :
v(t ) = Vp ⋅ sen(ω ⋅ t + α ) = Vp ⋅ sen(2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t + α )
in cui: Vp è il valore di picco:
f è la frequenza :
f=
1
T
[Hz ]
ω è pulsazione : ω = 2 ⋅ π ⋅ f =
2 ⋅π
T
 rad 
 s 
⇒
T=
2 ⋅π
ω
[ s]
α è la fase iniziale
Una grandezza sinusoidale è definita quando sono note la sua ampiezza e la sua frequenza.
Nell’uso comune si assegnano anche altre coppie di parametri come il valore efficace e il periodo.
46
1) Completa la seguente tabella inserendo le definizioni relative a ciascun tipo di segnale.
Segnale
Definizione
Continuo
Variabile
Periodico
Alternato
Continuo
2) Completa la seguente tabella trascrivendo la denominazione e il significato dei simboli in essa presenti.
Denominazione
Significato
Vp
Vpp
Vm
Vrms
Vp
Vpp
3) Scrivi l'espressione generale di un segnale sinusoidale.
4) Completa la seguente tabella associando ai simboli presenti nell'espressione analitica di un segnale sinusoidale i
termini che li definiscono.
Denominazione
Vp
f
t
φ
5) Scrivi la formula per calcolare la pulsazione di un segnale sinusoidale.
47
6) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 5 V e frequenza 0,5 kHz all'istante t =
2,2 ms.
7) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 310 V, periodo 20 ms e fase 30°
all'istante t = 2 ms.
8) A quanti radianti corrispondono 135°? USA LA PROPORZIONE
α R : α ° = π :180°
9) A quanti gradi corrispondono 5,23 radianti? USA LA PROPORZIONE
α R : α ° = π :180°
10) Un segnale ha un periodo pari a 40 ms. Quanto vale la frequenza?
11) Un segnale ha una frequenza pari a 2 kHz. Quanto vale il periodo?
12) Il valore di picco di un segnale sinusoidale è pari a 10 V. Quanto vale il valore picco-picco?
13) Il valore di picco di un segnale sinusoidale è pari a 3 V. Quanto vale il valore medio?
48
14) Il valore picco-picco di un segnale sinusoidale è pari a 15 V. Quanto vale il valore di picco?
15) Scrivi l'espressione generale di un segnale sinusoidale specificando i nomi di tutte le grandezze che compaiono in
essa.
16) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 6 V e frequenza 0,2 kHz all'istante t =4
ms.
17) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 15 V, periodo 10 ms e fase 45°
all'istante t = 3 ms.
18) Il valore di picco di un segnale sinusoidale è pari a 8 V. Quanto vale il valore picco-picco?
□ 12 V
□ 4V
□ 8V
□ 16 V
19) Il valore picco-picco di un segnale sinusoidale è pari a 12 V. Quanto vale il valore di picco?
□ 0V
□ 12 V
□ 24 V
□ 6V
20) Il valore di picco di un segnale sinusoidale è pari a 10 V. Quanto vale il valore medio?
□ 5V
□ 3,18 V
□ 12 V
□ 0V
49
21) Nell'espressione generale di un segnale sinusoidale f rappresenta:
□ la pulsazione
□ la fase
□ la frequenza
□ il periodo
22) Il valore picco-picco di un segnale sinusoidale è pari a 10 V. Quanto vale il suo valore efficace?
□ 5V
□ 20 V
□ 7,07 V
□ 3,18 V
23) Un segnale ha un periodo pari a 50 μs. Quanto vale la frequenza?
□ 20 kHz
□ 2000 Hz
□ 20MHz
□ 20mHz
24) 2 radianti corrispondono a circa (usare la proporzione):
□ 180°
□ 130°
□ 114°
□ 150°
25) 2πft dà un risultato in:
□ gradi
□ radianti
□ secondi
□ hertz
26) La pulsazione ω di un segnale sinusoidale è definita come:
□ 2πf
□ 2πft
□ 2πφ
□ 2πφt
27) La pulsazione di un segnale sinusoidale è 21980 rad/sec quanto vale la frequenza:
□ 2500Hz
□ 3500Hz
□ 3000Hz
□ 6996Hz
50
Completa le seguenti definizioni.
1) SEGNALE ALTERNATO = segnale _______________ con valore ___________________.
2) SEGNALE CONTINUO = segnale _______________ nel ______________.
3) SEGNALE PERIODICO = segnale che si _______________ ______________________.
4) SEGNALE VARIABILE = segnale che nel tempo _______________ _____________
5) VALORE DI PICCO = ______________ valore che il segnale assume.
6) VALORE EFFICACE = valore _______________ ___________________ (cioè che provoca in una resistenza la stessa
dissipazione media di ________________).
7) VALORE MEDIO = valore _________________ dato dalla __________________________________ di tutti i valori assunti dal
segnale nell'intervallo di tempo.
8) VALORE PICCO-PICCO = ________________ tra il valore ______________ e il valore.
9) Ai capi di un condensatore la tensione è sempre __________________di ________________rispetto alla corrente.
10) Ai capi di un induttore la corrente è sempre ___________________di ____________rispetto alla tensione.
51
1) Calcolare il valore di una tensione sinusoidale nell’istante t = 0,3ms sapendo che VM=200V; T=50ms; α =38°;
Ricorda che il valore istantaneo di una sinusoide si calcola con la seguente formula: v(t)=VM ⋅ sen (2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t + α)
RIS. v(0,3ms)≈129V
2) Calcolare il valore di una tensione sinusoidale nell’istante t = 38ms sapendo che VM=300V; T=20ms;
α =-27°;
RIS. v(38ms)≈-267,3V
3) Calcolare
il
valore
v(t)=160 ⋅ sen (2 ⋅ π ⋅ 100 ⋅ t -
di
π
3
una
tensione
sinusoidale
nell’istante
t
=
24ms
sapendo
che:
);
RIS. v(24ms)≈159,1V, ω=628rad/s
4) Calcolare il valore istantaneo di un segnale sinusoidale in tensione di periodo T=40ms, valore di picco Vp=100V,
fase α=45°(
π
), nell’istante t=10ms.
4
RIS. v(40ms)≈70,7V, ω=157rad/s
5) Calcolare il valore istantaneo di un segnale sinusoidale in tensione di frequenza f=200HZ, valore di picco Vp=20V,
fase α=-125°, nell’istante t=2ms
RIS. v(2ms)≈6,5V, T=5ms, ω=1256,6rad/s
6) Calcolare il valore istantaneo di un segnale sinusoidale di periodo T=50us, valore di picco Vp=250V, fase α=125°,
nell’istante iniziale.
RIS. v(0)≈204,78V, f=20KHz, ω=125,6Krad/s
7) Calcolare il valore istantaneo di un segnale sinusoidale di frequenza f=25KHz, valore di picco Vp=200V, fase
α=76°, nell’istante t=32ms.
RIS. v(32ms)≈194V, T=0,04ms, ω≈157Krad/s
8) Calcolare il valore istantaneo di un segnale sinusoidale di frequenza f=100MHz, valore di picco Vp=40V, fase
α=67°, nell’istante t=20ms.
RIS. v(20ms)≈36,8V, T=10ns, ω≈628Mrad/s
9) Calcolare il valore istantaneo di un segnale sinusoidale di frequenza f=20000Hz, valore di picco Vp=120V, fase
α=-80°, nell’istante t=240us
RIS. v(240us)≈-56,3V, T=0,05ms, ω≈125,6Krad/s
52
Per ogni segnale segna le caratteristiche corrette (è possibile più di una risposta).
1)
□ segnale continuo
□ segnale variabile
□ segnale periodico
□ segnale alternato
□ segnale sinusoidale
2)
□ segnale continuo
□ segnale variabile
□ segnale periodico
□ segnale alternato
□ segnale sinusoidale
3)
□ segnale continuo
□ segnale variabile
□ segnale periodico
□ segnale alternato
□ segnale sinusoidale
4)
□ segnale continuo
□ segnale variabile
□ segnale periodico
□ segnale alternato
□ segnale sinusoidale
5)
□ segnale continuo
□ segnale variabile
□ segnale periodico
□ segnale alternato
□ segnale sinusoidale
Svolgi i seguenti esercizi.
1) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 12 V e frequenza 0,4kHz all'istante t =
1,3 ms
53
2) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 10 V e frequenza 2,5kHz all'istante t =
10 ms
3) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 6 V e frequenza 650 Hz all'istante t =
2,2 ms
4) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 12 V e periodo T= 120ms all'istante t =
200 ms
5) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 7 A, periodo 25 μs e fase
π
4
all'istante t
= 10 ms.
6) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 4 A, periodo 50 μs e fase −
π
6
all'istante t = 58 ms.
7) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 40mV, periodo 150ms e fase
π
2
all'istante t = 145 ms.
8) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 500mV, frequenza 1000 Hz e fase
π
3
all'istante t = 125 ms.
9) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 1200mV, frequenza 3500 Hz e fase
−
π
4
all'istante t = 35 ms.
10) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 220V, frequenza 2500Hz e fase
π
6
all'istante t = 100 ms.
11) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 5000V, frequenza 250Hz e fase −
π
3
all'istante t = 250 ms.
REGIME SINUSOIDALE
1) Un induttore di 0,1 mH viene sottoposto a un segnale sinusoidale di frequenza pari a 150 Hz. Si determini la sua
reattanza induttiva.
DATI
SVOLGIMENTO
L = 0,1 mH = ………….
f = 150 Hz
XL = ?
XL = ω ⋅L
ω = 2 ⋅ π ⋅ f = ............................=...............rad/s
X L = ................................. = .......................Ω
2) Un induttore di 0,1 mH viene sottoposto a un segnale sinusoidale di frequenza pari a 10 kHz. Si determini la sua
reattanza induttiva.
DATI
SVOLGIMENTO
L = 0,1 mH = ………….
f = 10 KHz
XL = ?
XL = ω ⋅L
54
ω = 2 ⋅ π ⋅ f = ............................=...............rad/s
X L = ................................. = .......................Ω
3) Un induttore di 1uH viene sottoposto a un segnale sinusoidale di frequenza pari a 1 kHz. Si determini la sua
reattanza induttiva.
DATI
SVOLGIMENTO
L = 1uH = ………….
f = 1KHz
XL = ?
4) Un condensatore di 1uF viene sottoposto a un segnale sinusoidale di frequenza pari a 150 Hz. Si determini la sua
reattanza capacitiva.
DATI
SVOLGIMENTO
C = 1 uF = ………….
f = 150 KHz
XC = ?
1
ω ⋅C
ω = 2 ⋅ π ⋅ f = ............................=...............rad/s
XC =
XC = ................................. = .......................Ω
5) Un condensatore da 2,3 nF viene sottoposto ad un segnale sinusoidale di periodo pari 0,53 μs. Calcolare la
reattanza capacitiva.
6) Un condensatore di 1uF viene sottoposto a un segnale sinusoidale di frequenza pari a 10 kHz. Si determini la sua
reattanza capacitiva.
7) Un induttore di 34 mH viene sottoposto ad un segnale sinusoidale di frequenza pari 5,3 MHz. Calcolare la
reattanza induttiva.
8) Un induttore di 250 mH viene sottoposto ad un segnale sinusoidale di frequenza pari 58 KHz. Calcolare la
reattanza induttiva.
9) Un condensatore da 85 uF viene sottoposto ad un segnale sinusoidale di periodo pari 125 μs. Calcolare la
reattanza capacitiva.
55
Circuito puramente Ohmico in regime sinusoidale
V
R
Per puramente ohmico si intende un circuito che è costituito da generatori di tensione o di corrente e da sole
resistenze ma non da condensatori o induttori.
Per regime sinusoidale si intende un circuito che è alimentato da un generatore di tensione o di corrente che
fornisce un segnale alternato di forma sinusoidale.
Anche in questo caso, per questo tipo di circuito vale la legge di Ohm
V = R⋅I
La tensione ( o differenza di potenziale) ai capi della resistenza R è uguale al valore di R moltiplicato la corrente I che
attraversa la resistenza R.
Nel caso di regime sinusoidale tutte le tensioni e tutte le correnti del circuito sono delle sinusoidi.
Nel caso del circuito di sopra la tensione ai capi della resistenza R coincide con la tensione del generatore
sinusoidale.
Nel caso di circuito puramente ohmico tensione e corrente sono in fase, significa che sono perfettamente
sincronizzate quando la tensione raggiunge il suo valore massimo anche la corrente raggiunge il suo valore massimo,
così come quando la tensione raggiunge il suo valore minimo anche la corrente raggiunge il suo valore minimo,
quando la tensione passa per zero anche la corrente passa per zero.
In termini di vettori possiamo dire che i vettori rappresentativi di Ve I sono sovrapposti, sono in fase.
56
Circuito Puramente Induttivo in Regime Sinusoidale
Il circuito è costituito da un generatore di tensione e da un induttore, non ci sono resistenze e né
condensatori, per questo il circuito si dice puramente induttivo.
In regime sinusoidale l’induttore si comporta come una resistenza che denominiamo reattanza e che
indichiamo con la lettera XL.
La reattanza induttiva si indica con XL e si misura in ohm (Ω) essendo una resistenza.
XL = ω ⋅ L
Dove con ω si indica la pulsazione dei circuito:
ω = 2 ⋅π ⋅ f ;
ω si misura in radianti al secondo rad / s.
ƒ invece è la frequenza del generatore e si misura in Hertz [Hz].
La differenza più significativa tra reattanza e resistenza in regime sinusoidale è che la resistenza non
introduce sfasamento tra la corrente e la tensione ai suoi capi mentre l’induttore introduce un certo
sfasamento tra la corrente e la tensione applicata ai suoi capi.
Risulta:
VL = + j ⋅ X L ⋅ I = + j ⋅ ω ⋅ L ⋅ I = + j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L ⋅ I
Il fattore j indica sempre uno sfasamento di 90°, siccome in questo caso è + j allora significa che lo
sfasamento tra la tensione ai capi dell’induttore e la corrente che lo attraversa è di +90° cioè la tensione è
in anticipo di 90° rispetto alla corrente:
VL
= + j ⋅ 2 ⋅π ⋅ f ⋅ L
IL
Il rapporto
VL
IL
è un numero complesso dotato di modulo e fase, infatti:
+ j ⋅ 2 ⋅π ⋅ f ⋅ L
a +2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L .
Il modulo è
è un numero complesso che ha parte reale uguale a zero e parte immaginaria uguale
VL
= 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L , la fase risulta essere: VL = +90°
IL
IL
57
N.B. Nella sua forma più tipica un numero complesso si esprime sempre come
y=a+jb
in cui
a = parte reale del numero complesso y
mentre
b = parte immaginaria del numero complesso y.
Per determinare modulo e fase del numero complesso y ricorriamo sempre
alle seguenti formule mnemoniche:
y = a2 +b2 (modulo)
b
y =arctg   (fase)
a
Nel caso del rapporto
VL
modulo e fase daranno sempre i risultati su
IL
riportati e cioè modulo:
VL
2
= 02 + ( 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L ) = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L
IL
e fase:
VL
 +2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L 
= arctg 
 = +90°
IL
0+


Andamento della corrente e della tensione ai capi di un condensatore in regime sinusoidale, come si nota
dalla figura la corrente precede in fase di 90° la tensione ai capi del condensatore
58
Circuito Puramente Capacitivo in Regime Sinusoidale
Il circuito in questo caso è costituito da un generatore di tensione e da
un condensatore, non ci sono resistenze, per questo il circuito si dice puramente capacitivo.
In regime sinusoidale il condensatore si comporta come una resistenza che però chiamiamo
reattanza capacitiva;
La reattanza capacitiva si indica con Xc e la sua unità di misura è sempre Ω(ohm).
Il valore della reattanza capacitiva vale:
1
ω ⋅C
Dove il simbolo ω indica la pulsazione del circuito;
ω = 2 ⋅π ⋅ f ;
ω si misura in radianti al secondo[rad/s]
f invece è la frequenza del generatore e si misura in hertz[Hz];
Xc =
La differenza più significativa tra reattanza e resistenza in regime sinusoidale è che la
resistenza non introduce sfasamento tra corrente e tensione ai suoi capi mentre il
condensatore introduce un certo sfasamento tra corrente e tensione ai suoi capi.
Risulta:
1
⋅I
2 ⋅π ⋅ f ⋅ C
j indica sempre uno sfasamento di 90°, siccome in questo caso è - j
allora significa che lo sfasamento tra la tensione ai capi del condensatore e la
corrente che lo attraversa è di -90° cioè la tensione è in ritardo di 90°
rispetto alla corrente:
VC = − j ⋅ Xc ⋅ I = − j ⋅
VC
1
= −j⋅
IC
2 ⋅π ⋅ f ⋅ C
Vc
si può studiare sia attraverso il modulo
IC
1
che attraverso la fase, infatti - j ⋅
è un numero complesso con parte reale
2 ⋅π ⋅ f ⋅ C
1
uguale a zero e parte immaginaria pari a .
2 ⋅π ⋅ f ⋅ C
Vc
Il modulo di
è
Ic
Vc
1
=
Ic
2 ⋅π ⋅ f ⋅ C
Vc
La fase di
è
Ic
Vc
= −90°
Ic
Matematicamente il rapporto
59
CIRCUITO OHMICO INDUTTIVO
Il circuito in questo caso è costituito da un generatore di tensione con in serie una
resistenza e un induttore, la presenza della resistenza rende il circuito ohmico-induttivo.
Resistore e Induttore sono in serie perchè attraversate dalla stessa corrente.
L'impedenza complessiva sarà la serie della resistenza e della reattanza induttiva:
Z = R + j ⋅ XL = R + j ⋅ ω ⋅ L = R + j ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L
Anche per questo genere di circuito siamo interessati a calcolare il modulo e la fase
dell'impedenza:
Modulo:
Z = R 2 + (ω ⋅ L) 2
Fase:
ω ⋅L 

 R 
φ è lo sfasamento tra la tensione del generatore (uguale alla tensione ai capi dell'impedenza
φ=arctg 
della serie R - L) e la corrente che attraversa sia R che L.
Nota l'impedenza del circuito ZL , sarà possibile determinare la corrente che scorre nel circuito
I=
V
V
=
Z
R + j ⋅ XL
e infine calcolare le tensioni ai capi sia di R che di L:
VR = R ⋅ I e VL = + j ⋅ ω ⋅ L ⋅ I
60
CIRCUITO OHMICO CAPACITIVO
Il circuito in questo caso è costituito da un generatore di tensione con in serie una resistenza
e un condensatore, la presenza della resistenza rende il circuito ohmico-capacitivo.
Resistenza e capacità sono in serie perchè attraversate dalla stessa corrente.
L'impedenza complessiva sarà la serie della resistenza e della reattanza del condensatore:
1
1
Zc = R - j ⋅ Xc = R - j ⋅
=R-j ⋅
ω ⋅C
2 ⋅π ⋅ f ⋅C
Anche per questo genere di circuito siamo interessati a calcolare il modulo e la fase
dell'impedenza:
Modulo:
 1 
Z = R +

 ω ⋅C 
2
2
Fase:
 1 


α = arctg  - ω ⋅ C 
 R 


α è lo sfasamento tra la tensione del generatore che è anche la tensione ai capi
dell'impedenza (cioè della serie di R e C) e la corrente che attraversa l'impedenza.
Nota l'impedenza del circuito Zc sarà possibile determinare la corrente che scorre nel circuito
V
V
I=
=
Z
R − j ⋅ Xc
e infine calcolare le tensioni ai capi sia di R che di C:
1
VR = R ⋅ I e Vc = - j ⋅
⋅I
ω ⋅C
61
CIRCUITO RLC
Il circuito in questo caso è costituito da un generatore di tensione con in serie un resistore,
un induttore e un condensatore.
Resistore, Induttore e Condensatore sono in serie perchè attraversate dalla stessa corrente,
l'impedenza complessiva sarà la serie della resistenza, della reattanza induttiva e della reattanza
capacità:
Z = R + jXL - jXc = R + j ⋅ ω ⋅ L − j ⋅
1
1
= R + j ⋅ (⋅ω ⋅ L −
) = R + j ( XL - Xc )
ω ⋅C
ω ⋅C
dove ω = 2 ⋅ π ⋅ f
Anche per questo genere di circuito siamo interessati a calcolare il modulo e la fase
dell'impedenza:
Modulo:
1 

Z = R2 +  ω ⋅ L −
ω ⋅ C 

2
Fase:
1 

ω ⋅ L − ω ⋅C 
φ = arctg 

R




φ è lo sfasamento tra la tensione ai capi dell'impedenza (cioè di tutta la serie di R e L e C) e la
corrente che attraversa sia R che L che C.
Per questo circuito un valore di φ positivo indica che la reattanza induttiva prevale su quella
capacitiva (ricorda che nel caso di impedenza puramente induttiva il φ era positivo e pari a 90°),
il circuito si comporterà come un circuito ohmico induttivo, la tensione sarà in anticipo rispetto
alla corrente di φ gradi.
Se al contrario φ risulta negativo allora la reattanza capacitiva prevale su quella induttiva
(ricorda che nel caso di impedenza puramente capacitiva il φ era negativo e pari a -90°),
il circuito si comporterà come un circuito ohmico - capacitivo, la tensione sarà in ritardo rispetto
alla corrente di φ gradi.
Noto il valore del modulo dell'impedenza sarà possibile determinare il modulo della corrente
I =
V
Z
e infine calcolare le tensioni ai capi sia di R che di L che di C:
1
VR = R ⋅ I e VL = ω ⋅ L ⋅ I e Vc =
⋅I
ω ⋅C
62
1) Calcolare il valore della corrente del seguente circuito nell’istante t=5ms
v(t) è un generatore sinusoidale di periodo T=20ms, valore di picco Vp=200V, fase α=30°(
π
), la resistenza R vale
6
5kΩ, disegnare su uno stesso grafico l’andamento qualitativo nel tempo di v(t) e i(t).
2) Calcolare il valore della corrente i(t) del seguente circuito:
i(t)
R1
A
R2
v(t)
i(t)
sapendo che v(t)=50 ⋅ sen (2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ t +
R3
B
π
); R1=50Ω; R2=R3=100Ω;
6
Determinare i fasori di v(t) e i(t) e rappresentali graficamente sullo stesso grafico
3) Calcolare l’impedenza del seguente circuito:
sapendo che la frequenza del generatore è f = 200Hz e che il condensatore è di capacità C = 5uF.
Rappresenta graficamente i fasori della tensione e della corrente ai capi di C
4) Calcola l’impedenza e la corrente del seguente circuito:
per il quale: f = 3kHz, L=4mH, R= 50Ω e V = 100 45° [V ]
63
5) Calcolare l’impedenza e la corrente del seguente circuito:
per il quale: f = 10kHz, C=40nF, R= 100Ω e V = 100 45° [V ]
6) Dato il seguente circuito:
per il quale: f = 10kHz, C = 100nF, L=4mH, R= 100Ω e V = 100 45° [V ] . Determina:
a)
Z , Z e Z (Suggerimento: determina prima ω)
b) Rappresentare graficamente lo sfasamento relativo tra V e I specificando quale vettore è in anticipo e quale in
ritardo, che tipo di circuito è? Ohmico-Capacitivo o Ohmico-Induttivo?
c) La corrente I in modulo e fase
d) Rappresentare graficamente i fasori della tensione e della corrente
e) Il triangolo delle tensioni
7) Dato il seguente circuito:
per il quale: f = 50kHz, C =6nF, L=1,9mH, R= 100Ω e V=100 30° [ V ] . Determina:
a)
Z , Z e Z , (Suggerimento: determina prima ω)
b) Rappresentare graficamente lo sfasamento relativo tra V e I specificando quale vettore è in anticipo e quale in
ritardo, che tipo di circuito è? Ohmico-Capacitivo o Ohmico-Induttivo?
c) La corrente I in modulo e fase
d) Rappresentare graficamente i fasori della tensione e della corrente
e) Il triangolo delle tensioni
64
8) Determina l’impedenza totale del circuito e le correnti in ogni ramo:
I
I2
R2
I2
R1
V
C
I1
V=200V
f=50Hz
R1=150Ω
R2=100Ω
C=16uF
I2
I
9) Determina l’impedenza totale del circuito e le correnti in ogni ramo:
V=200V
f=50Hz
R=100Ω
L=0,5H
C=16uF
10) Determina l’impedenza totale del circuito e le correnti in ogni ramo:
V=200V
f=50Hz
R1=150Ω
R2=100Ω
L=0,32H
C=16uF
65
11) Determina l’impedenza totale del circuito e le correnti in ogni ramo:
V=200V
f=2KHz
R1=800Ω
R2=1000Ω
L=80mH
C=100nF
12) Determina l’impedenza totale del circuito e le correnti in ogni ramo:
V=250V
f=1KHz
R=120Ω
R1=80Ω
L=8mH
C=1uF
13) Determina l’impedenza totale del circuito e le correnti in ogni ramo:
V=300V
f=400Hz
R1=10Ω
R2=20Ω
C1=40uF
C3=13,2uF
66