RETI QUANTISTICHE ASSOCIATIVE
Nel gruppo delle reti neurali quantistiche di tipo associativo
sono descritti in letteratura vari modelli.
Il più semplice neurone artificiale classico è il perceptrone di
Rosenblatt.
Esso riceve in input n valori bipolari (o binari) {ij} ed è
definito come un vettore di pesi w = (w1, w2,…, wn)T, con una
soglia e una funzione di output f:
n
1 se w ji j
f
j1
1
altrimenti
Sviluppiamo un analogo quantistico (Ventura) che riceve in
input gli stessi valori {ij} .
Il modello quantistico è simile in tutto e per tutto al modello
classico con la sola differenza che il singolo vettore w dei pesi
viene sostituito da una funzione d’onda w, t in uno spazio di
Hilbert le cui basi sono i vettori dei pesi w classici.
La funzione d’onda rappresenta le ampiezze di probabilità
(in genere complesse) per tutti i possibili vettori dei pesi nello
spazio dei pesi insieme alla condizione di normalizzazione
2
dw 1
In questo modo il vettore dei pesi del perceptrone è stato
sostituito da una sovrapposizione quantica di molti vettori di pesi,
che al momento dell’interazione con l’ambiente collassato in un
vettore di pesi classico con probabilità date da
2
.
Ad esempio consideriamo la funzione bipolare con un
singolo input e un singolo output, che inverte il suo input (NOT).
Per semplicità facciamo in modo che i pesi siano limitati:
wj
Per fare in modo che il neurone impari questa funzione è
necessario trovare w, t e la soglia .
Assumiamo per semplicità che la w, t sia invariante
rispetto al tempo
Trovare significa risolvere un classico problema “rigid
box” di meccanica quantistica , in cui si immagina una particella
immersa in un parallelepipedo di lato L.
L’equazione di Schroedinger è
ma essendo
si ottiene per ogni dimensione
con le soluzioni canoniche
con
per la condizione di continuità.
In questo caso uni-dimensionale le soluzioni sono della
forma:
w0 A sin(
n
w0 )
a
dove A è la costante di normalizzazione, n = 1,2,3,…,w0 è il
singolo elemento di w e a è una costante .
In un neurone quantistico i vettori peso esistono in
sovrapposizione coerente di tutti i possibili vettori peso nello
spazio dei pesi con ampiezza di probabilità diversa da zero.
Quando la sovrapposizione dei vettori peso interagisce con il
suo ambiente (ad esempio incontra un input) deve collassare in
uno stato base , un vettore peso classico entro i confini
wj
| |2.
, secondo una probabilità governata da
Nel caso generale le soluzioni saranno sempre equivalenti a
quelle del un parallelepipedo n dimensionale in modo che
abbia sempre la forma generale riportata sopra.
Per quanto riguarda il training, si tratterà di variare , che è
governata dall’equazione di Schroedinger. In essa l’unica variabile
che può essere cambiata è il potenziale U, quindi può essere
variata variando U.
Si tratta ancora di capire esattamente il significato degli n, e
anche
quali operatori assicurino un corretto collasso della
funzione d’onda.
Si dovrà trovare un operatore analogo ad una forma
matriciale per il vettore di input.
Quindi l’idea della sovrapposizione lineare può essere
applicata non solo al vettore peso di un neurone, ma anche ai suoi
input, ai suoi output, e alla sua funzione di attivazione.
