Reti complesse

Modello di Erdös Rényi
Reti power law
Modelli Small-World
Reti complesse
Modelli e proprietà
Matteo Dell'Amico
[email protected]
Applicazioni di rete 2
A.A. 2006-07
Matteo Dell'Amico
Reti complesse modelli e proprietà
Modello di Erdös Rényi
Reti power law
Modelli Small-World
Outline
1
Modello di Erdös Rényi
Denizione
Proprietà
2
Reti power law
Introduzione
Modello Barabási Albert
Altri modelli
3
Modelli Small-World
Piccoli mondi
Watts Strogatz
Kleinberg
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Denizione
Proprietà
I gra casuali di Erdös Rényi (reprise)
Il modello Gn,p
n:
0
numero di vertici
≤p≤1
i e j , genera l'arco (i , j ) con
p in modo indipendente.
Per ogni coppia di nodi
probabilità
Errata corrige
Il grado medio è
z = np, non n/p come scritto nell'ultima
lezione.
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Denizione
Proprietà
Studio asintotico
n → ∞, p costante
n il grado medio np va ad innito.
Un'unica componente connessa per qualsiasi p 6= 0.
Al crescere di
Diametro 2.
Modello poco realistico.
n → ∞, p(n) variabile in funzione di n
Caratteristiche più interessanti, e meno facili da caratterizzare:
vedremo principalmente questo modello.
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Denizione
Proprietà
Distribuzione del grado
Caratterizzazione
p(k ) : Somma di n variabili booleane con probabilità p di avere
valore 1.
Legge binomiale:
p(k ) = B (n, k , p) =
Distribuzione poissoniana
Se si ssa il grado medio
n k
n −k
k p (1 − p ) .
z = np , quando n → ∞ la binomiale
si approssima con la distribuzione poissoniana
P (k , z ) =
z k −z
e .
k!
Coda esponenziale: questo modello non soddisfa la power
law.
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Denizione
Proprietà
Distribuzione poissoniana
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Denizione
Proprietà
Clustering
Esercizio
Qual è il valore del clustering
Ricordiamo:
C (1) in un grafo casuale G (n, p)?
di triangoli in G
C (1) (G ) = triple3·numero
ordinate connesse in G
Soluzione
C (1) (G ) corrisponde alla probabilità che, data una tripla
connessa ha, b , c i, a sia collegato a c .
Per denizione, la probabilità che due vertici siano connessi è
p!
z
Per z = np costante, il clustering è p = , quindi tende a 0
n
per n → ∞.
proprio
In molte reti complesse, il clustering tende invece ad un valore
maggiore di 0 per
n → ∞.
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Denizione
Proprietà
Proprietà quasi certamente valide
Se 0
< p < 1,
qualsiasi grafo con
realizzazione di grafo
G (n, p).
n vertici è una possibile
Abbiamo bisogno di una nozione per caratterizzare le proprietà
che si ottengono quasi sicuramente al crescere di
Denizione
n, diciamo che l'evento
E è asintoticamente quasi sicuro (asymptotically almost
sure o valid with high probablility) se limn→∞ P (E , n) = 1.
Nel nostro caso, E sarà una proprietà a proposito di un grafo
G , ed n sarà la dimensione di G .
Dato un evento
E
n.
ed una dimensione
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Denizione
Proprietà
Funzioni soglia
Richiamo matematico
f
f
f
∈ O (g )
∈ Ω(g )
∈ Θ(g )
se
se
se
∃c ∈ R, N ∈ N
∃c ∈ R, N ∈ N
f
∈ O (g )
e
f
per cui
per cui
∈ Ω(g ).
∀n ≥ N , |f (n)| ≤ c |g (n)|.
∀n ≥ N , |f (n)| ≥ c |g (n)|.
Funzioni soglia
Esistono proprietà caratterizzate da una funzione soglia
f:
p(n) ∈/ Ω(f )
p cresce più velocemente di f ), è asintoticamente quasi
sicura la negazione se p (n ) ∈
/ O (f ) (p cresce più lentamente
di f ).
sono asintoticamente quasi sicure se la probabilità
(
Prendendo spunto dalla sica, si parla di transizione di fase:
proprietà che appaiono all'improvviso.
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Denizione
Proprietà
Grafo connesso
Transizione di fase:
f
= logn n
è una funzione soglia per la
proprietà G è un grafo connesso.
Intuizione:
se p (n)
se p (n)
∈
/ O (f ) abbiamo probabilità
∈
/ Ω(f ) probabilità 0.
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1 di avere nodi isolati;
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Denizione
Proprietà
Comparsa di alberi
Proprietà
La funzione soglia per la comparsa di alberi di dimensione
p(n) = n
−k
−1
k
è
k
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Denizione
Proprietà
Comparsa di alberi
Intuizione
k = 2 (esistenza di archi): la probabilità che due vertici siano
n(n−1) ∈ Θ n2 .
collegati è p , il numero dei possibili archi è
2
Se p ∈
/ O n2 abbiamo quasi sicuramente degli archi, se
p ∈/ Ω n2 è vero il contrario.
k qualsiasi: il numero di possibili n-ple di archi è Θ nk , la
probabilità che esistano k − 1 archi che li collegano è
Θ p k −1 . Sep k −1 ∈
/ O nk gli alberi esistono, se
pk −1 ∈/ Ω nk non esistono.
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Denizione
Proprietà
Componente gigante
Denizione
Parliamo di componente gigante quando la dimensione della
componente più grande di un grafo tende ad innito al
crescere di
n.
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Denizione
Proprietà
Componenti giganti
La presenza di componenti giganti garantisce che la rete ha
un'alta connettività: alcuni nodi possono rimanere isolati, ma
molti di essi sono collegati tra di loro.
Transizione di fase:
p(n) = n1 .
I cicli di qualsiasi dimensione cominciano ad apparire solo
quando
p(n) = n1 .
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Modelli Small-World
Ricapitolando: evoluzione di
Denizione
Proprietà
G (n, p)
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Modelli Small-World
Denizione
Proprietà
Ricapitolando. . .
I gra casuali sono una teoria elegante, basata su un modello
semplice.
Studiati in maniera estremamente approfondita: esistono
risultati che quanticano quasi ogni tipo di proprietà.
Problemi
Molte reti reali hanno caratteristiche che non sono rispecchiate
dalle reti casuali.
È necessario trovare modelli che spieghino le caratteristiche
scale-free e small-world.
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Modelli Small-World
Introduzione
Modello Barabási Albert
Altri modelli
Power law (reprise)
La distribuzione dei gradi in molte reti reali segue la power
law
p(k ) ≈ c · k −α .
Osservazione
Siamo abituati ad ottenere distribuzioni simili alla
distribuzione normale (gaussiana).
La power law è radicalmente diversa:
Ha una frazione non trascurabile di nodi con grado
molto alto
(hubs)
Non ha scala caratteristica (proprietà scale-free): il valor
medio è
poco informativo.
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Introduzione
Modello Barabási Albert
Altri modelli
Power law ovunque. . .
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Reti power law
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Introduzione
Modello Barabási Albert
Altri modelli
. . . ma non tutto è power law!
Varie distribuzioni diuse su molti ordini di grandezza non
sono power law.
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Introduzione
Modello Barabási Albert
Altri modelli
Proprietà scale-free
La power law è l'unica distribuzione che resta uguale a
prescindere dalla scala a cui la si osserva.
Data una distribuzione di probabilità
p(bx ) = g (b)p(x ) per ogni b ed x .
p(x ), esiste g (b) per cui
Esempio
Se i le grandi 2KB sono 4 volte più comuni di quelli grandi
1KB, allora i le di 2MB sono 4 volte più comuni di quelli
grandi 1MB.
Stesso comportamento cambiando scala da KB a MB.
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Introduzione
Modello Barabási Albert
Altri modelli
Modello di Barabàsi Albert
Preferential attachment
Modello in evoluzione: i ricchi diventano sempre più ricchi.
Si parte con una rete semplice (es., due nodi ed un arco che li
collega).
Ogni volta che un nuovo nodo arriva, si collega a
m nodi con
probabilità proporzionale al loro grado:
ki
Π (ki ) = P
.
j ∈V kj
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Introduzione
Modello Barabási Albert
Altri modelli
Modello Barabási Albert
Il modello di Barabàsi ed Albert prende in considerazione il
fatto che le reti si evolvono.
Il preferential attachment riette il fatto che l'essere ricco
aumenta le possibilità di arricchirsi.
Valido per il WWW e le reti sociali: i link fanno da pubblicità.
Un modello molto simile è stato proposto da Simon (1955!)
per spiegare la distribuzione power-law delle frequenze delle
parole nella lingua inglese:
Con probabilità
α
Con probabilità 1
si scrive una nuova parola.
−α
si scrive una parola presa a caso da
quelle già scritte.
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Introduzione
Modello Barabási Albert
Altri modelli
Altri modelli power-law
Nodi disposti sullo spazio
Reti power-law possono essere ottenuti come risultati di un
ottimizzazione:
Il nuovo nodo i si collega al nodo j che minimizza
d
h
ij
j
è la distanza euclidea tra
i
αd + h
ij
j
e j.
è una misura di centralità (es., distanza media verso gli altri
nodi)
Spiega la power-law in reti tecnologiche (es., Internet, rete
dei voli aerei)
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Introduzione
Modello Barabási Albert
Altri modelli
Altri modelli power-law
Copia di nodi
Un nuovo nodo quando entra nella rete:
1
Copia tutti i link di un altro nodo
2
Aggiunge un link al nodo copiato
3
Muta alcuni link
Spiega la power law in reti biologiche
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Piccoli mondi
Watts Strogatz
Kleinberg
Sei gradi di separazione (reprise)
Esperimento di Milgram (1967)
Determinare la lunghezza media delle catene di
conoscenti che collegano due persone (che non si
conoscono) negli USA
Risultato
La lunghezza media di una catena di conoscenze che raggiunge
la destinazione è circa sei.
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Piccoli mondi
Watts Strogatz
Kleinberg
Piccoli mondi (un passo)
Molti dei miei amici si conoscono tra di loro. . .
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Piccoli mondi
Watts Strogatz
Kleinberg
Piccoli mondi (due passi)
. . . ma in pochi passi riesco a raggiungere molti altri nodi.
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Piccoli mondi
Watts Strogatz
Kleinberg
Modello di Watts Strogatz
Nodi disposti su un anello.
Ogni nodio è connesso agli
Con probabilità
m nodi più vicini.
p, un link ad un vicino è rimpiazzato da un
salto casuale.
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Watts Strogatz
Kleinberg
Watts Strogatz
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Watts Strogatz cammini
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Piccoli mondi
Watts Strogatz
Kleinberg
Watts Strogatz risultati
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Watts Strogatz
Kleinberg
Modello di Kleinberg
Generalizzazione del modello di Watts e Strogatz.
Ogni nodo ha
r
scorciatoie.
P (u ha una scorciatoia verso v ) = c · d (u , v )−γ .
Navigazione: conoscendo la posizione della destinazione, si
segue il passo che porta più vicino ad essa.
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Piccoli mondi
Watts Strogatz
Kleinberg
Modello di Kleinberg (γ = 1)
Con
γ
piccolo, i cammini brevi esistono, ma non si riescono a
trovare.
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Modello di Kleinberg (γ = 2)
Con
γ = 2,
è possibile trovare cammini brevi dall'origine alla
destinazione.
Famiglia esponenziale di log
d
quadrati.
Per passare da un quadrato al seguente sono sucienti log
d
passi.
Cammini lunghi log
2
d
logo
passi.
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Piccoli mondi
Watts Strogatz
Kleinberg
Modello di Kleinberg (γ > 2)
Navigazione ineciente quando
γ > 2.
Le scorciatoie sono troppo brevi.
È dicile progredire abbastanza.
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