Lezione 6 Magnetostatica: forze magnetiche e campo magnetico B (r ) (nomenclatura “storica”; in realtà si dovrebbe chiamare, e spesso lo è, campo magnetico) è un “campo di forze” vettoriale nello spazio, cioè una grandezza fisica con modulo B ≡ B e direzione, funzione della posizione nello spazio r = ( x, y, z ) (teorie di Faraday-Maxwell) Campo di induzione r r magnetica Azione del campo di induzione magnetica (ad esempio vicino a una calamita o magnete naturale): orientamento di aghi magnetici N S N S Sul magnete e sugli aghi magnetici (bussole) sono definiti i poli Nord e Sud; gli aghi si orientano secondo linee in modo da formare una catena N-S-N-S- .... (poli opposti si attraggono, poli uguali si respingono) S N Rappresentazione del campo magnetico per mezzo di linee di forza: la direzione del campo è tangente alle linee, che escono dal polo N (Nord) ed entrano dal polo S (Sud) r B Campo di induzione magnetica della terra Dipolo magnetico: oggetto simile al dipolo elettrico: è formato da due poli magnetici opposti a distanza d, la struttura delle linee di forza è simile Polo Nord N S Terra S N Polo Sud Sole Azione del campo di induzione magnetica: forze su fili percorsi da una corrente elettrica (seconda legge di Laplace) r B campo di induzione magnetica r ∆l N tratto di filo, orientato nel verso della corrente I La forza è proporzionale alla corrente, alla lunghezza del tratto di filo e al campo, ed è diretta perpendicolarmente alle direzioni del filo e del campo secondo la regola del cacciavite (o della mano destra) I r ∆l r B r r r F = I ∆l × B vettore F = I ⋅ prodotto vettoriale tra i vettori ∆l e B Più esattamente: forza infinitesima su un tratto di filo di lunghezza infinitesima r r r dF = I dl × B S r F Prodotto vettoriale a è nella direzione di avanzamento della vite r a r r r a = b ×cr r r a perpend. a b e c modulo a = b c sen θ r b a = bc a=0 θ c × b = −b × c il prodotto vettoriale non è commutativo! se b ⊥ c se b || c r c r F z Forza del campo B r r r F = I ∆l × B modulo F = I B sen θ ∆l r θ ∆l r B y x terna di assi cartesiani ortogonali (x,y,z) [B] = F I ∆l Si definisce il Tesla, unità di misura di B dimensioni di B = 1T = F = I ∆l × B La forza su fili definisce completamente B [F ] = [I ∆ l B ] Forza Corrente ⋅ Lunghezza 1N 1 A ⋅1 m Esempi: Elettromagnete B ≈ 2 T Ferromagnete B ≈ 0.2 T Campo magnetico terrestre ≈ 10-4 T Si usa anche il Gauss: 1 Gauss = 10-4 T Simbologia: Campo entrante nel foglio Campo uscente dal foglio Forza totale su filo rettilineo in campo magnetico uniforme e perpendicolare al filo dl B costante, θ = π/2, sen θ = 1 F diretta verso sinistra F= ∫ dF = ∫ I B sen θ filo filo dl = I B ∫ dl = I B L filo L r F I direzione entrante nel piano direzione uscente dal piano Esempio di calcolo: forza totale su un circuito semicircolare in campo magnetico uniforme (vedi figura) I L B diretto come x r raggio del semicerchio I corrente d l tratto di filo infinitesimo θ angolo tra la direzione di dl e quella di B y O θr dl r F1 Forza sul tratto rettilineo del circuito: direzione entrante nel piano F1 = I L B r θ dθ r F2 0 Forza sul tratto semicircolare: direzione uscente dal piano; dato che dl = r dθ e che l’angolo va da 0 a π percorrendo il semicerchio (nel verso della corrente) si ha F2 = r B ∫ I B senθ dl = ∫ I B r senθ dθ = I B r [− cos θ ]0 = 2 I B r = I B L π semicerchio π 0 uguale e opposta alla precedente. Quindi la forza totale è nulla. (questa conclusione è valida per spire di forma qualsiasi percorse da corrente!). Sarà possibile però un moto di rotazione (coppia di forze e momento meccanico) x Momento meccanico su una spira θ Vista dall’alto r F1 r F1 r B I y F2 x r B Spira rettangolare di superficie S = a b, con corrente I, immersa in campo magnetico uniforme B diretto come x Forze sui tratti diretti come x (paralleli a B) : nulle Forze sui tratti diretti come z (perpendicolari a B) : F1 = F2 = I B b x r F2 r F2 F1 e F2 hanno direzioni opposte coppia di forze moto rotatorio intorno al punto centrale O momento meccanico rispetto a O: a a a M = F1 sen θ + F2 sen θ = 2 ⋅ IbB sen θ = 2 2 2 M = I ⋅ S ⋅ B ⋅ sen θ F1 z n θ r B Vista di fronte Corrente entrante nel foglio Corrente uscente dal foglio Angolo tra B e la normale alla superficie della spira Momento meccanico = corrente · superficie · campo θ =π r B n [M] = [I ⋅ S ⋅ B] = Am2 T = Am2 θ =π /2 r B o n o Momento meccanico zero (posizione di equilibrio instabile) energia massima U = + I S B N = Nm Am θ =0 n Momento meccanico zero (posizione di equilibrio stabile) energia minima U = - I S B Momento meccanico massimo energia zero M =ISB U =0 Energia della spira nel campo magnetico: U = − I S B cosθ (N.B la normale n alla spira corrisponde alla regola del cacciavite ruotando secondo la rotazione della corrente) (si ricava calcolando il lavoro meccanico per la rotazione della spira) Motori elettrici: si ottiene lavoro meccanico sfruttando il movimento della spira nel campo di induzione magnetica, variando nel tempo sinusoidalmente la corrente per mantenere momento meccanico e rotazione (motori sincroni) Il campo magnetico B viene generato da: magneti ⇒ N S Al limite le linee di forza di B si richiudono su se stesse; non esistono cariche magnetiche (differenza col campo elettrico) Non ci sono sorgenti del campo B; si dice che il campo B è solenoidale. N r B + N S Non è possibile isolare un polo magnetico (ad esempio dividendo il materiale in pezzi più piccoli); i poli N e S sono sempre accoppiati. Geometria del campo B ∫ B ⋅ n dS Legge di Gauss per B ΦB = = 0! Sup. chiusa S e in forma puntuale r div B = 0 Lezione 7 Il campo magnetico B viene generato da: correnti (prima osservazione sperimentale: Oersted 1819) P Il campo di induzione magnetica infinitesimo dB nel punto P creato dal tratto di filo infinitesimo dl è dato dalla legge di Biot-Savart (o prima legge di Laplace) r r I µ0 d l × r dB = I 4π r3 dB = µ0 I senθ d l 2 4π r a) è perpendicolare a dl e a r secondo la regola del prodotto vettoriale r b) è inversamente proporzionale a r2 dB (legge dell’inverso del quadrato) c) è proporzionale alla corrente e alla lunghezza del filo r dl dl tratto infinitesimo di filo, orientato nel verso della corrente I r r vettore posizione del punto P da O (ad angolo θ rispetto a dl ) in modulo: O in P: campo di induzione magnetica B uscente dal foglio (regola della mano destra) Costante di proporzionalità µ0: dipende dalla scelta di definire B dalla forza esercitata su fili percorsi da corrente (vedi) Il campo di induzione magnetica B generato da conduttori percorsi da correnti sarà quindi dato da −1 4πε 0 C2 N µ0 1 = = 4π ε 0 µ0 N m 2 C 2 /s 2 1 Il rapporto tra le costanti nelle leggi che definiscono i campi, costante elettrica / costante magnetica è indipendente dalla scelta dell'unità elettrica e ha le dimensioni di una velocità al quadrato (… la luce…) µ0 = 4π ⋅10 −7 Tm/A = 4π ⋅10 −7 N/A 2 Def.: permeabilità magnetica del vuoto: m2 = 2 = c2 s µ0 d l × r B = ∫ dB = ∫ I 3 4 π r fili fili r ∂Bx ∂B y ∂Bz Si dimostra che per i campi div B = =0 + + magnetici generati da correnti vale ∂z ∂y ∂x seconda equazione di Maxwell: la divergenza di B è sempre zero (a meno che non venga scoperto un monopolo magnetico ……) campo di induzione magnetica B generato da conduttore rettilineo Calcoliamo il campo nel punto P, a distanza R dal punto di intersezione del filo col piano Osserviamo che: dl = dz z O +∞ −∞ dl θ = µ0 I 2π R µ0 I Quindi B è inversamente B= proporzionale alla distanza dal filo 2π R R r r R r2 = z2 + R2 senθ = ; r µ I B(in P) = ∫ dB = ∫ 0 2 senθ d l = 4π r filo filo µ0 +∞ µ0 R z = = I∫ dz I 4π −∞(z 2 + R2 )3/ 2 4π R z 2 + R 2 I Filo conduttore infinito diretto come z e percorso da corrente I; B è perpendicolare al filo e quindi giace su un qualunque piano perpend. al filo. Data la simmetria cilindrica, le linee di forza del campo B sono circolari. B P vista dall’alto: osserviamo che la direzione delle linee di forza circolari e la direzione della corrente sono legate dalla regola del cacciavite (o mano destra) r B campo di induzione magnetica B sull’asse di una spira circolare z dB 1 cos θ θ d B2 d B1 Spira circolare di raggio a, percorsa da corrente I e giacente sul piano x-y; sul punto indicato dell’asse, il tratto di spira dl1 contribuisce al campo di induzione magnetica per la quantità dB1 ; dato che dl1 è perpendicolare al raggio vettore r1 si ha: d l1 × r1 µ µ I µ0 I dl1 dB 1 = 0 I = 0 2 dl1 = 3 4π 4π (z 2 + a 2 ) 4π r1 r1 Per la simmetria circolare, il tratto di spira dl2, opposto a dl1, contribuisce con il campo dB2 che ha la stessa componente su z, ma componente opposta sul piano x-y. Quindi la parte di campo di induzione magnetica che non si annulla è dB1 cosθ (con cosθ = a/r1). Il campo totale B è diretto come z e vale: µ0 I B = dB1 cos θ = cos θ dl1 = 2 2 π z a ( ) 4 + spira spira = 4π (z + a 2 2 ) a z +a 2 B( z ) = µ0 I a µ0 I dl1 = 2 ( spira 4π (z + a 2 µ0 I a 2 2 z +a 2 ) 2 3/ 2 ) 2 3/ 2 r1 r2 d l2 θ x a y I d l1 r B 2π a I la direzione delle linee di forza e la direzione della corrente sono legate dalla regola del cacciavite (o mano destra) Forza magnetica tra conduttori paralleli Due conduttori paralleli di lunghezza L e a distanza d con correnti I1 e I2 di verso concorde µ I Il conduttore 1 genera un campo B1 (r ) = 0 1 2π r (diretto come linee di forza circolari) r B1 d Sul conduttore 2 agisce la forza F1 = I 2 ∆l2 × B1 ( d ) I1 r F1 () r I2 F 2 µ 0 I1 I 2 L e direzione verso il conduttore 1 2π d Per simmetria (come è evidente Due conduttori paralleli con correnti dalla formula) anche sul nello stesso verso si attraggono con F = µ 0 I1 I 2 ⇒ conduttore 1 agisce la stessa L 2π d una forza per unità di lunghezza : forza, diretta verso il conduttore 2 (legge di azione e reazione) di modulo F1 = I 2 L B1 ( d ) = Se le correnti scorrono in versi opposti (discordi) è evidente che le forze sono in direzioni opposte ⇒ Due conduttori paralleli con correnti F µ 0 I1 I 2 in versi opposti si respingono con = L 2π d una forza per unità di lunghezza : La definizione precisa dell’Ampere (unità di misura della corrente elettrica del Sistema Internazionale) avviene attraverso la misura di forze tra fili conduttori Campi E e B: alcune somiglianze e differenze ⇒ ∫ E ⋅ n dS = Sup. chiusa Qcont ε0 del campo: ⇒ ⇐ geometria Legge di Gauss Campo conservativo, esiste la funzione Potenziale e r r ∫ E ⋅ ds = 0 ∫ B ⋅ n dS = 0 Sup. chiusa Esiste funzione Potenziale ? (No!, si vedrà più avanti) Lavoro delle forze del campo ⇐ ΦB = Non permette di calcolare B ! Permette di calcolare E per varie configurazioni di cariche percorso chiuso div B = 0 ΦE = ρ ε0 dB = linee di forza div E = µ0 d l × r I 4π r3 r r generazione del campo Q r2 ⇐ Da correnti elettriche (cariche in movimento) Legge di Biot-Savart E (r ) = k Da cariche elettriche: (dalla legge di Coulomb) Campo magnetostatico Campo elettrostatico r B r E circuitazione ⇒ r r ∫ B ⋅ d s = ?? percorso chiuso Teorema di Ampere Dalla legge di Biot-Savart (o prima legge di Laplace) si ricava il Teorema di Ampere: circuitazione di B ⇔ corrente concatenata I3 I3 I4 C I2 percorso chiuso corrente concatenata, cioè corrente totale stazionaria che passa all’interno del percorso chiuso di integrazione, presa col segno positivo se la direzione corrisponde alla regola della mano destra o del cacciavite (segno negativo nel caso opposto) (più esattamente IC è la corrente che passa attraverso una qualunque superficie che ha per bordo il percorso chiuso C) IC I1 r r ∫ B ⋅ ds = µ 0 I C Esempio: nel sistema di fili percorsi da corrente come in figura, la corrente concatenata al circuito C vale: r I C = I1 − I 2 il Teorema di Ampere svolge per B le stesse funzioni della legge di Gauss per E Campo magnetico creato da un conduttore rettilineo di raggio R, percorso da corrente I0 distribuita uniformemente B ds Data la simmetria cilindrica le linee di forza di B sono circolari, e dirette come le frecce per la regola della mano destra (o cacciavite) B ⋅ ds = ∫ B(r ) ⋅ d s = B(r ) ⋅ ∫ d s = B(r ) ⋅ 2π r = µ I ∫ µ I B r ( ) = I = I 2π r Per r > R, all’esterno del conduttore, calcoliamo il campo B scegliendo un percorso circolare (cerchio 1): r 0 cerchio 1 corrente concatenata: cerchio 1 0 cerchio 1 C C Per r < R, all’interno del conduttore, calcoliamo il campo B scegliendo ancora un percorso circolare (cerchio 2): ∫ B ⋅ ds = B(r ) ⋅ 2π r = µ 0 (risultato già noto) B (r ) 1 r r IC cerchio 2 π r2 IC = I0 π R2 la corrente concatenata è la frazione della corrente totale che passa all’interno del cerchio 2 B( r ) = µ0 I 0 r 2 2π R o R Grafico di B(r) r I il solenoide Il solenoide è costituito da un filo conduttore avvolto a elica e percorso dalla corrente I ; nel caso ideale di solenoide infinito il campo B rimane confinato all’interno, ed è quasi uniforme (per simmetria). L circuito 1 2 3 Corrente concatenata: 4 B ⋅ d s = ∫ B ⋅ ds + 02,3,4 = B ⋅ L 1 IC = n ⋅ L ⋅ I (n: numero delle spire per unità di lunghezza) B ⋅ L = µ0 I C ⇒ B = µ0 n I (formula valida al centro di solenoidi molto lunghi) Linee di forza di B per un solenoide realistico r B≠0 B=0 ∫ B⋅ d s = ∫ + ∫ + ∫ + ∫ Calcolo del campo magnetico con il Teorema di Ampere: si considera il circuito rettangolare in figura Lastra conduttrice di piccolo spessore s percorsa da densità di corrente J 3 Corrente concatenata: J 4 IC = J ⋅ s L 1 B = µ0 s J 2 Bobina toroidale con N spire percorse dalla corrente I Se le spire sono molto fitte, il campo B è confinato all’interno della bobina e (per simmetria) tangente al cerchio di raggio r, centrale alle spire. Calcoliamo il campo su questo cerchio: ∫ B(r) ⋅ ds = B(r) ⋅ 2π r Corrente concatenata: I C = N ⋅ I cerchio B= µ0 N I 2π r (N.B. dipende da r, cioè non è costante all’interno della bobina) 4 y J 1 x J= 2 z s 1 3 L 2 B ⋅ ds = 2BL circuito B ∫ B ⋅ ds = ∫ + ∫ + ∫ + ∫ Per una lastra di grande superficie, B è quasi uniforme; se la corrente scorre verso x, per la regola della mano destra le linee di forza di B sono orientate verso +y in basso e –y in alto. Sul circuito rettangolare di lato L: corrente superficie r B