i fluidi - Zanichelli

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CAPITOLO
I FLUIDI
Giuseppe Parini e il primo volo in pallone
Il protagonista del primo volo italiano in mongolfiera fu il conte Paolo Andreani,
che il 13 marzo 1784 decollò dai giardini della sua villa a Moncucco (vicino Monza).
Ecco del mondo e meraviglia e gioco,
Farmi grande in un punto e lieve io sento;
E col fumo nel grembo e al piede il foco
Salgo per lÕaria e mi confido al vento.
(Per la macchina aerostatica in Sonetti, VII 1-4)
Davanti a una moltitudine di spettatori, la mongolfiera di Andreani percorse una decina di chilometri e raggiunse 1500 m di quota. Realizzata sul modello dell’aeronave francese costruita dai
fratelli Joseph Michel e Jacques Étienne Montgolfier, la mongolfiera aveva un diametro di 20 m
e un peso di poco più di una tonnellata.
L’aria al suo interno veniva riscaldata da un braciere (sospeso al di sopra della navicella per i passeggeri), alimentato a legna, alcol e trementina. La minore densità dell’aria calda contenuta nella
mongolfiera, rispetto a quella dell’atmosfera attorno, permetteva al velivolo di salire e galleggiare per effetto della spinta d’Archimede.
Prima dei Montgolfier, altri avevano teorizzato l’utilizzo della legge di Archimede per sostenere
il volo umano. Intorno al 1670 il gesuita Francesco Lana de Terzi aveva ipotizzato un’aeronave
sollevata da grandi sfere di rame, in cui fosse praticato il vuoto.
123RF.
1
LA MECCANICA DEI FLUIDI:
UNA SCIENZA NATA PER RAGIONI PRATICHE
Agli inizi del Seicento, il problema della distribuzione delle risorse idriche nelle città,
che era diventato via via più pressante nel corso del Rinascimento, alimentò in tutta
Europa un vivace dibattito scientifico.
Erano ormai irrealizzabili acquedotti di proporzioni colossali come quelli costruiti durante l’Impero romano, che sfruttavano le pendenze per accelerare il liquido dai rilievi
montuosi fino alle cisterne e fontane cittadine. La necessità di portare l’acqua dai fiumi
verso i centri abitati – spesso arroccati sulle alture, per motivi difensivi – richiese lo sviluppo di sistemi meccanici sempre più efficaci.
Numerosi problemi furono chiariti e risolti quando, alla metà del XVII secolo, fu misurata una grandezza fisica la cui esistenza era stata fino ad allora ignorata: la pressione
esercitata su ogni cosa dall’atmosfera terrestre.
Galileo e i fontanieri di Firenze
In Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (1638), Galileo analizzò una questione idraulica postagli dai maestri fontanieri di Firenze: questi avevano
osservato che “né con trombe, né con altra machina che sollevi l’acqua per attrazzione,
esser possibile farla montare un capello più di diciotto braccia: e siano le trombe larghe
o strette, questa è la misura dell’altezza limitatissima”.
414
termodinamica
13
i Fluidi
In termini moderni: nessuna pompa aspirante, per quanto stretto o largo fosse il condotto, era in grado di tirare l’acqua verso l’alto per un dislivello superiore a un ben
determinato limite, pari a circa 10 metri. La colonna d’acqua aspirata, infatti, una volta
raggiunta quella altezza, si fermava senza poter salire oltre. Continuando con grande
sforzo ad azionare la pompa (e rischiando di romperla!), il livello dell’acqua nel condotto restava fermo a 10 m, qualunque fosse la larghezza del tubo. L’acqua veniva tirata su
come una lunga corda – sosteneva Galileo – che si spezzava sotto il proprio stesso peso
una volta superata la lunghezza limite.
Il peso dell’acqua contenuta in 10 m di tubo costituiva, secondo Galileo, una misura
della «resistenza del vacuo», la resistenza del vuoto. Contrariamente a quanto affermava il principio vigente dell’horror vacui, cioè che la natura aborrisce l’assenza totale di
materia, Galileo sosteneva che il vuoto può essere prodotto se si usa abbastanza forza.
Egli ipotizzava che nella parte superiore del condotto si formasse il vuoto, perché il peso
della colonna d’acqua vinceva la resistenza opposta dalla natura alla sua produzione.
la scoperta della pressione dell’aria
La spiegazione di Galileo non era soddisfacente, ma contribuì a stimolare il lavoro del
suo allievo Evangelista Torricelli (1608-1647). Questi, come vedremo, realizzò la prima
misura della pressione atmosferica (FIGURA 1), mostrando che essa è capace di bilanciare
una colonna d’acqua alta proprio 10 m.
Getty Images
Il fenomeno descritto da Galileo era dunque analogo a quello che accade quando beviamo con la cannuccia da un bicchiere: la pressione atmosferica agisce sulla superficie
dell’acqua nella cisterna (bicchiere), spingendo verso l’alto la colonna di liquido nel condotto (cannuccia), dove la pompa aspirante ha creato una depressione; ma la pressione
esercitata dall’atmosfera può bilanciare al massimo 10 m d’acqua. Nella parte superiore
del condotto si produce effettivamente il vuoto, come ipotizzava Galileo: ciò accade non
perché è stata vinta la resistenza della natura, ma perché la pompa aspirante ha sottratto
l’aria dal tubo.
FIGURA 1
Furono gli esperimenti e gli studi di Torricelli, uniti a quelli del francese Blaise Pascal
(1623-1662), a mettere fine al lungo dibattuto sul principio dell’horror vacui, introdotto
duemila anni prima da Aristotele (IV sec. a.C.).
SOLIDI, LIQUIDI E GAS
■ Un gas occupa tutto il
volume disponibile nel recipiente che lo contiene.
Stefano Ember/Shutterstock
■ Un liquido assume la
forma del recipiente che
lo contiene, ma conserva
il proprio volume.
C. Gardini, Parma 2002
■ Un solido conserva forma e volume propri.
C. Gardini, Parma 2002
2
Gli esperimenti
di Torricelli sulla pressione
atmosferica.
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13
i Fluidi
È molto difficile comprimere un liquido in un volume più piccolo. Riempiendo per
esempio una siringa priva di ago con dell’acqua e mantenendo chiuso l’ugello, non si
riesce ad abbassare il pistone.
I gas invece sono facilmente comprimibili, come si può verificare con la stessa siringa,
questa volta senza acqua: il pistone si abbassa comprimendo l’aria.
Diamo a liquidi e gas il nome di fluidi.
A temperatura ambiente sono solidi per esempio il ferro, il sale da cucina, lo zucchero e i
composti del silicio che formano la crosta terrestre. Sono liquidi la benzina, l’olio d’oliva
e il mercurio. Sono gassosi il metano, l’ossigeno e l’azoto; queste ultime due sostanze
formano la maggior parte dell’atmosfera terrestre.
In natura, l’acqua può essere solida, liquida o aeriforme a seconda delle condizioni in
cui si trova.
Anche le altre sostanze hanno lo stesso comportamento. Ciò dimostra che il fatto di
essere solido, liquido o aeriforme non è una proprietà assoluta delle sostanze: a seconda
delle condizioni (temperatura e pressione), esse possono trovarsi in uno di questi tre
stati di aggregazione.
3
LA PRESSIONE
Una forza può avere effetti diversi a seconda di come agisce su una superficie. Una persona che cammina sulla neve fresca
■ se ha solo le scarpe affonda di più,
perché la superficie di appoggio è decisamente minore.
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Bob Hosea/Shutterstock
■ con le racchette affonda poco, perché il suo peso si distribuisce sulla superficie delle racchette;
Lo stesso peso ha un effetto tanto più grande quanto più piccola è la superficie su cui
agisce. La pressione dà informazioni su come una forza agisce su una superficie (FIGURA 2).
F⊥
S
FIGURA 2
La pressione è una grandezza scalare definita come il rapporto tra il modulo della
forza perpendicolare alla superficie e l’area della superficie.
La pressione è dovuta a
una forza che si esercita
perpendicolarmente su una
superficie.
forza perpendicolare
alla superficie (N)
pressione (Pa)
F
p = S=
[1]
area della superficie (m2)
416
termodinamica
■
■
i Fluidi
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Data una superficie fissata, se la forza aumenta la pressione aumenta.
Data una forza fissata, se aumenta la superficie su cui si distribuisce tale forza, la pressione diminuisce.
Per esempio, quando premiamo una puntina da disegno contro la parete, la pressione esercitata sul muro è molto grande perché la forza si concentra su una superficie molto ristretta.
Il peso del suo corpo è distribuito su tutti i chiodi, e la pressione esercitata è tanto minore quanto più numerosi sono i chiodi a contatto con il corpo. Se ad esempio una persona
di 60 kg si sdraia su 10 000 chiodi, la pressione su ogni chiodo è pari a quella dovuta al
peso di una massa di 6 g, un valore tale da non provocare alcun dolore.
l’unità di misura della pressione
Herbert Ponting
Come fa allora un fachiro a non farsi male sdraiandosi su un letto di chiodi?
AL VOLO
PRESSIONE
Nel Sistema Internazionale l’unità di misura della pressione è il pascal (Pa).
▶ Quale pressione
Esso è definito come la pressione che si ottiene quando una forza di intensità pari a 1 N
agisce in direzione perpendicolare a una superficie di area 1 m2:
1 Pa =
1N
1 m2
[2]
esercita sul pavimento un armadio di
50 kg che poggia su
quattro piedini aventi
superficie totale di
100 cm2?
Per avere una pressione di 1 Pa possiamo spargere in modo uniforme un etto di sabbia
(il cui peso è circa 1 N) su un foglio di carta quadrato che misura 1 m per lato.
1 UN CUOCO IMPACCIATO
Un cuoco deve preparare delle sottili fette di formaggio e sceglie
di utilizzare un coltello con una lama lunga 12,0 cm. La larghezza della lama dalla parte affilata può essere stimata in 0,050 mm,
mentre la larghezza dalla parte non affilata è 2,240 mm. Per errore
impugna male il coltello, rivolgendo dal lato del formaggio la parte non affilata della lama. Per affettare il formaggio, il cuoco esercita con la lama una forza di intensità F = 270 N sul formaggio.
▶ Quanto vale la pressione esercitata dalla lama sul formaggio?
▶ Ora il cuoco rivolge la lama nel modo giusto. Quale forza sarebbe sufficiente per esercitare la stessa pressione di prima?
■ DATI
■ INCOGNITE
Lunghezza della lama: L = 12,0 cm;
Larghezza dalla parte affilata: l1 = 0,050 mm;
Larghezza dalla parte non affilata: l2 = 2,240 mm;
Forza della lama: F = 270 N.
Pressione della lama: p = ?
Forza della lama nel verso giusto: Fʹ = ?
Robootb/Shutterstock
PROBLEMA MODELLO
L’IDEA
■
■
Calcolo la pressione come il rapporto tra l’intensità della forza (che agisce in direzione perpendicolare alla superficie) e l’area della superficie su cui agisce la forza.
Se la superficie di contatto è minore, a parità di pressione esercitata il modulo della forza è minore.
417
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i Fluidi
LA SOLUZIONE
Calcolo l’area della lama dal lato non affilato.
Se il lato non affilato ha forma all’incirca rettangolare,
S = ^12,0 cmh # ^0,2240 cmh = 2,69 cm2 = 2,69 # 10-4 m2 .
Calcolo la pressione esercitata dalla lama.
F
270 N
p= S =
= 1,00 # 106 Pa .
2,69 # 10-4 m2
Calcolo l’area della lama dal lato affilato.
Approssimo anche il lato affilato della lama a un rettangolo:
Sl = ^12,0 cmh # ^5,0 # 10-3 cmh = 6,0 # 10-2 cm2 = 6,0 # 10-6 m2 .
Ricavo la nuova forza.
La forza che agisce sulla nuova superficie Sʹ esercitando la stessa pressione è:
F l = pSl = ^1,00 # 106 N/m2h # ^6,0 # 10-6 m2h = 6,0 N .
PER NON SBAGLIARE
La pressione esercitata dalla lama è piuttosto elevata; per esempio, la pressione esercitata da un elefante sul terreno è circa cento volte più piccola. Ciò spiega perché un coltello affilato permetta di tagliare i cibi con uno sforzo limitato: la forza esercitata sul coltello si «concentra» sulla piccola superficie del filo della lama e produce una
pressione elevata.
4
LA PRESSIONE NEI LIQUIDI
Mettiamo un palloncino gonfiato con aria all’interno di un recipiente pieno d’acqua e
provvisto di un pistone scorrevole. Premiamo sul pistone.
■
Il palloncino diventa più piccolo per
effetto della pressione esercitata dal pistone sull’acqua, tuttavia conserva la
sua forma sferica.
F
418
■
Ciò significa che il palloncino subisce dappertutto la stessa pressione e la
forza è, in ogni punto, perpendicolare
alla sua superficie.
F
termodinamica
i Fluidi
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Questo fenomeno è descritto dalla legge di Pascal, introdotta dal fisico francese Blaise
Pascal (1623-1662):
la pressione esercitata su una superficie qualsiasi di un liquido si trasmette, con lo
stesso valore, su ogni altra superficie a contatto con il liquido.
La superficie di cui si parla può trovarsi in qualsiasi punto del liquido ed essere inclinata in qualunque modo. Per esempio, se premiamo un tubetto di dentifricio dal fondo,
la pasta esce dall’imboccatura: anche questo comportamento è spiegato dalla legge di
Pascal.
La proprietà dei liquidi espressa dalla legge di Pascal viene sfruttata in diverse tecnologie
per amplificare le forze e anche per trasmetterle da un punto a un altro. Due di questi
dispositivi sono il torchio idraulico e i freni a disco.
il torchio idraulico
Il torchio idraulico consente di tenere in equilibrio (oppure sollevare)
un peso grande mediante una forza
piccola; esso è comunemente utilizzato nelle autofficine. È costituito da
due cilindri, pieni di liquido e collegati tra loro, e da due pistoni, come
schematizzato nella FIGURA 3.
La pressione esercitata verso il basso
dal pistone piccolo si trasmette per
la legge di Pascal al pistone grande,
spingendolo verso l’alto. Dall’uguaglianza delle due pressioni sulle superfici SA e SB dei pistoni,
FB
FA
FIGURA 3
SB
Il torchio idraulico permette
di sollevare grandi pesi
applicando una forza
ridotta.
SA
FA
FB
SA = SB ,
[3]
possiamo ricavare la forza FA che dobbiamo esercitare per equilibrare la forza FB:
S
F A = FB S A
B
[4]
Se la superficie SA è più piccola di SB , anche la forza FA è più piccola rispetto a FB. In
questo caso una forza più intensa è equilibrata da una minore. Se esercitiamo una forza
più intensa di FA, solleviamo il secondo pistone.
Il torchio idraulico funziona perché il liquido contenuto nei cilindri (in genere olio) è
incomprimibile: se il volume di liquido contenuto nel primo ramo del torchio diminuisce, quello contenuto nel secondo ramo aumenta della stessa quantità, perché il liquido
si trasferisce da un ramo all’altro senza comprimersi. Perciò a un abbassamento del
primo pistone corrisponde sempre un innalzamento del secondo.
Lo stesso principio è alla base del funzionamento di altre macchine, come la pressa e i
freni idraulici.
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i Fluidi
i freni a disco
I freni a disco delle automobili
e delle motociclette sfruttano un
circuito oleodinamico che collega il pedale del freno alle ruote.
La pressione esercitata dal pedale si trasmette lungo i tubi pieni
di liquido (il cosiddetto «olio dei
freni») e fa stringere le due pastiglie che, per attrito, rallentano il
disco collegato alla ruota.
pastiglie
disco
circuito oleodinamico
5
ESPERIMENTO
VIRTUALE
LA PRESSIONE DELLA FORZA-PESO NEI LIQUIDI
Ogni liquido che si trova sulla superficie della Terra è soggetto, come ogni altro corpo,
alla forza-peso.
Sotto pressione
La pressione che un liquido con densità d esercita su una superficie piana posta a una
profondità h è data dalla legge di Stevino:
costante g (N/kg)
pressione esercitata
da un liquido (Pa)
h
S
pl = gdh
p = gd
gdh
dh
profondità del liquido (m)
[5]
densità del liquido (kg/m3)
dove g è la costante di proporzionalità che vale circa 9,8 N/kg.
La pressione dovuta al peso di un liquido è direttamente proporzionale sia alla densità del liquido sia alla sua profondità.
La formula [5] si ricava calcolando il peso di una colonna di liquido di altezza h e determinando la pressione da essa esercitata sulla base della colonna:
mg
dVg
d S hg
F
pl = SP = S = S =
= dhg .
S
Consideriamo, per esempio, un subacqueo immerso a 4,0 m di profondità. Poiché la
densità dell’acqua di mare è d = 1,03 # 103 kg/m3 , a questa profondità la pressione dovuta alla colonna d’acqua soprastante è pari a
pl = gdh = c 9,8
p0
h
S
kg
N
# c1,03 # 103 3 m # ^4,0 mh = 4,0 # 104 Pa .
kg m
m
Sulla superficie del mare (e di altri liquidi) agisce la pressione atmosferica p0, di cui
parleremo alla fine del capitolo. Per la legge di Pascal, essa si trasmette inalterata nel
liquido, perciò alla pressione totale p a profondità h contribuiscono sia la pressione p0
sia la pressione pl dovuta al peso del liquido:
p = p0 + gdh
p = p 0 + gdh
420
[6]
termodinamica
i Fluidi
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Se la pressione atmosferica vale p 0 = 10,1 # 104 Pa , il subacqueo immerso a 4,0 m di
profondità risente di una pressione totale pari a
p = p 0 + gdh = 10,1 # 104 Pa + 4,0 # 104 Pa = 14,1 # 104 Pa .
PROBLEMA MODELLO 2 CALCOLO DELLA PROFONDITÀ
Un addetto deve misurare il livello dell’acqua in una cisterna prima di decidere se è necessario un rifornimento. Un manometro posto sul fondo della
cisterna segnala una pressione superiore a quella atmosferica di 3,7 # 104 Pa .
▶ Qual è la profondità dell’acqua nella cisterna?
▶ Se il manometro è posizionato a 20 cm dal fondo, di quanto varia la pressione misurata?
acqua: d = 1,00 × 103 kg/m3
h=?
pI = 3,7 × 10 4 Pa
■ DATI
■ INCOGNITE
Pressione sul fondo rispetto a quella atmosferica:
pl = 3,7 # 104 Pa
Densità dell’acqua: d = 1,00 # 103 kg/m3
Nuova distanza del manometro dal fondo:
hb = 20 cm
Profondità dell’acqua: h = ?
Variazione della pressione segnata dal manometro: Δp = ?
L’IDEA
■
■
Dalla legge di Stevino so che la pressione esercitata dall’acqua è pl = dgh. Ricavo la profondità dell’acqua nella
cisterna come: h = pl/(dg).
Il valore della pressione misurata dal manometro a una certa distanza dal fondo diminuisce perché l’altezza del
liquido soprastante è minore. La variazione (diminuzione) è data da Δp = dgΔh, dove Δh corrisponde all’altezza
del manometro dal fondo.
LA SOLUZIONE
Ricavo la profondità dell’acqua.
h=
pl
3,7 # 104 Pa
=
= 3,8 m .
dg
^1,00 # 103 kg/m3h # ^9,8 N/kg h
Calcolo di quanto varia il valore della pressione misurata dal manometro.
L’altezza dell’acqua sopra il manometro diminuisce di Δh = 0,20 m, quindi ottengo
Dp = dgDh = ^1,00 # 103 kg/m3h # ^9,8 N/kg h # ^0,20 mh = 2,0 # 103 Pa .
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i Fluidi
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I VASI COMUNICANTI
Si chiamano vasi comunicanti due o più recipienti uniti da un tubo di comunicazione.
Consideriamo due vasi comunicanti riempiti con lo stesso liquido ed esaminiamo cosa
accade su una sezione trasversale S di liquido nel tubo di collegamento.
■ Se l’altezza hA del liquido è maggiore di hB, la
pressione che agisce su S
da sinistra è maggiore di
quella da destra.
■ Quindi la superficie S è
spinta verso destra: il liquido fluisce dal recipiente in cui ha un’altezza
maggiore verso l’altro.
■ Soltanto quando la
quota del liquido è la stessa nei due recipienti, le
due pressioni che agiscono su S sono uguali e il liquido è in equilibrio.
hA
A
hB
A
h
A
B
B
B
S
S
Un liquido versato in un sistema di vasi comunicanti raggiunge lo stesso livello in
tutti i recipienti.
Questa proprietà è valida qualunque sia la forma dei recipienti, purché siano abbastanza
ampi. Il modello dei vasi comunicanti che abbiamo appena utilizzato non è più valido
quando i recipienti sono dei tubi molto sottili (detti capillari).
Vasi comunicanti con due liquidi
Consideriamo il caso più generale, in cui i vasi comunicanti contengono due liquidi
diversi, di densità d1 e d2, che non si mescolano. Per esempio, i due liquidi potrebbero
essere mercurio e acqua.
■ All’equilibrio il mercurio, che ha una densità
maggiore dell’acqua, raggiunge un’altezza minore.
H2O
■ Trascuriamo il mercurio che è sotto la superficie di separazione con
l’acqua, perché è in equilibrio di per sé.
H2O
Hg
Hg
■ Il sistema è in equilibrio se le due pressioni
esercitate dalle due colonne di liquido (alte h1 e h2)
sono uguali.
d2
d1
h1
h2
422
termodinamica
i Fluidi
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Le pressioni esercitate dalle colonne di liquido sulla loro base sono
p1 = p 0 + d1 gh1
p 2 = p 0 + d 2 gh 2 .
e
La loro uguaglianza fornisce l’equazione
p 0 + d1 g h1 = p 0 + d 2 g h 2 ,
che può essere scritta come
h1
d
= 2
h2
d1
[7]
Le altezze a cui si portano due liquidi in un tubo a U sono inversamente proporzionali alle loro densità.
Il sistema idrico di un acquedotto è un insieme di vasi comunicanti. L’acqua viene pompata in un serbatoio sopraelevato in modo che possa raggiungere la stessa quota anche
all’interno degli edifici.
7
LA SPINTA DI ARCHIMEDE
Perché alcuni corpi in acqua affondano mentre altri galleggiano? Facciamo un esperimento.
■ In un contenitore pieno
d’acqua immergiamo un
sottile palloncino riempito
d’acqua e chiuso in modo
da non inglobare aria.
■ Il palloncino è in equilibrio: la forza peso è controbilanciata da una forza
di uguale intensità e verso
opposto.
■ La forza equilibrante è
data dalla somma di tutte
le forze di superficie, dovute all’acqua circostante, che
agiscono sul palloncino.
FA
FP
L’acqua esercita sul palloncino immerso una forza verso l’alto, chiamata spinta di Archimede. Poiché il palloncino è in equilibrio, questa forza è uguale in modulo al peso
dell’acqua che sta dentro al palloncino.
La spinta di Archimede è quindi uguale al peso dell’acqua che il palloncino ha spostato
una volta immerso.
Legge di Archimede: un corpo immerso in un liquido subisce una forza, diretta
verso l’alto, di intensità uguale al peso del liquido spostato.
costante g (N/kg)
spinta di Archimede (N)
FA = gdV
volume del liquido spostato (m3)
[8]
AL VOLO
SPINTA DI
ARCHIMEDE
▶ Quanto vale la spinta
di Archimede su
un cubetto di lato
10 cm immerso nelle
acque del Mar Morto
(d = 1240 kg/m3)?
3
densità del liquido (kg/m )
423
13
i Fluidi
Nella formula, il prodotto dV è la massa del liquido spostato che, moltiplicata per g, dà
il suo peso.
Quanto più è grande il volume del corpo immerso, tanto maggiore è la spinta verso l’alto, perché è più grande il volume di acqua che è stato spostato.
acqua
spostata
FIGURA 4
Per esempio, quando si vara una nave, lo scafo entra in
acqua e sposta una grande quantità d’acqua. Questo volume di acqua è rimpiazzato da ciò che è contenuto nella
parte immersa della nave (FIGURA 4).
La nave galleggia perché la forza-peso che agisce sullo
scafo di ferro (che è cavo) è compensata dalla spinta di
Archimede, che è rivolta verso l’alto.
Una nave galleggia perché
l’acqua che sposta pesa
quanto la nave stessa.
La legge di Archimede vale anche per i gas: è la spinta di Archimede a far salire una
mongolfiera o un palloncino riempito di elio.
PROBLEMA MODELLO 3 IL DIRIGIBILE HINDENBURG
Il dirigibile Hindenburg, fabbricato in Germania nel 1936, è stato uno degli aeromobili più grandi mai costruiti. Aveva un volume di 211 890 m3 e una massa di 118 000 kg ed era riempito di idrogeno, che ha la densità di
9,0 × 10−2 kg/m3. La densità dell’aria è 1,29 kg/m3.
▶ Quale spinta ascensionale faceva volare lÕHindenburg?
■ DATI
■ INCOGNITE
Volume del dirigibile: V = 211 890 m3
Massa del dirigibile: M = 118 000 kg
Densità dell’aria: daria = 1,29 kg/m3
Densità dell’idrogeno: didrogeno = 9,0 × 10−2 kg/m3
Massa del carico: m = 100 t
Spinta ascensionale sul dirigibile: S = ?
L’IDEA
■
■
Sul dirigibile agiscono due forze in direzione verticale: la forza-peso verso il basso e la spinta di Archimede verso
l’alto.
Ricavo la spinta ascensionale come differenza tra il modulo della spinta di Archimede e quello della forza-peso.
LA SOLUZIONE
Calcolo la spinta ascensionale.
La forza-peso del dirigibile è FP = Mg. La spinta di Archimede è: FA = dariagV.
S = FA - FP = g ^d aria V - M h = ^9,8 N/kg h # ^1,29 kg/m3 # 211890 m3 - 118 000 kg h = 1,5 # 106 N.
PER NON SBAGLIARE
Dato che la densità dei gas è molto minore di quella di liquidi e solidi, la spinta di Archimede nei gas ha effetti
apprezzabili quando, come in questo caso, il volume di gas spostato è grande.
Il dirigibile può sostenere, senza perdere quota, un carico massimo pari al peso del suo volume riempito di aria.
424
termodinamica
8
13
i Fluidi
IL GALLEGGIAMENTO DEI CORPI
Una nave in mare non sale né scende, perché il suo peso ha la stessa intensità della spinta
di Archimede.
■
■
Se il peso è maggiore della spinta di Archimede, il corpo affonda: è ciò che accade a
un’ancora nell’acqua.
Se invece il peso è minore della spinta di Archimede il corpo sale, come succede ai palloni di aria, a cui gli archeologi subacquei attaccano i reperti trovati in fondo al mare
per riportarli in superficie.
■ La sabbia ha densità
maggiore dell’acqua, perciò la bottiglia affonda.
■ Il latte ha densità uguale all’acqua e la bottiglia
non va né su né giù.
Corbis/G. Neri
Immergiamo in un contenitore pieno d’acqua tre bottiglie: la prima contiene sabbia (d = 1,6 # 103 kg/m3), la seconda latte (d = 1,0 # 103 kg/m3) e la terza olio di oliva
(d = 0,9 # 103 kg/m3) .
■ L’olio ha densità minore dell’acqua, per questo
la bottiglia galleggia.
olio
latte
Massimiliano Trevisan
Massimiliano Trevisan
Massimiliano Trevisan
sabbia
Un corpo affonda, rimane fermo o sale a galla quando la sua densità è rispettivamente maggiore, uguale o minore di quella del liquido in cui è immerso.
IN LABORATORIO
Il diavoletto di Cartesio
I sommergibili in immersione, quando si muovono in orizzontale, hanno densità media
uguale a quella dell’acqua che li circonda.
■ Per immergersi, il sommergibile imbarca acqua in appositi cassoni stagni.
In questo modo la sua densità media
aumenta.
immersione
■ Per riemergere, nei cassoni viene
pompata aria compressa che spinge
fuori l’acqua. Così la densità media del
sommergibile diminuisce.
emersione
aria
compressa
425
IL CAMMINO DELLA FISICA
IERI
IL VOLO
Potrai conoscere l’uomo colle sua congegnate e grandi ale, facendo forza
contro alla resistente aria e vincendo, poterla soggiogare e levarsi sopra di lei
(Leonardo da Vinci, Codice Atlantico, foglio 381)
Le intuizioni di Leonardo
Leonardo da Vinci (1452-1519)
è stato il primo a studiare la fattibilità del volo con un approccio
scientifico. Inizia con l’osservazione degli uccelli, convinto che l’uomo avrebbe potuto volare quando
fosse riuscito a fabbricarsi ali efficienti con le quali «facendo forza
contro alla resistente aria, vincendo, poterla soggiogare e levarsi sopra di lei».
Leonardo si rende conto che
il volo battente non è adatto
allo scheletro e alla muscolatura
dell’uomo. Tuttavia, dall’osservazione degli uccelli riesce a individuare i princìpi generali del volo
planato: resistenza aerodinamica e
portanza.
Resistenza e portanza
«Tanta forza si fa colla cosa in
contro l’aria, quanto l’aria contro
la cosa. Vedil’alie percosse contro all’aria far sostenere la pesante
aquila nella suprema sottile aria».
È così che Leonardo intuisce
il terzo principio della dinamica
enunciato un secolo dopo da Isaac
Newton: un corpo, che in questo
caso è l’ala, esercita una forza su un
426
secondo corpo, l’aria, e riceve una
forza di reazione uguale e contraria alla prima, che viene chiamata
portanza. La portanza è la forza
esercitata dall’ala e prodotta dal
moto dell’aria rispetto all’aria. Tale
moto genera una variazione della
pressione attorno all’ala stessa.
Affinché si generi questa forza,
è necessario che si stabilisca un
moto laminare, cosa che Leonardo
capisce dalla sezione dell’ala di un
uccello. Questa è fatta in modo che
i flussi d’aria che scorrono sopra
l’ala siano più veloci di quelli che
scorrono sotto. Quindi la pressione sul dorso dell’ala è inferiore alla
pressione sul ventre e l’ala è spinta
verso l’alto. La stessa cosa avviene
quando teniamo un foglio per un
bordo, soffiamo sulla superficie
superiore e il foglio si solleva.
A seguito delle sue osservazioni Leonardo progetta e costruisce
diverse “macchine volanti”, ma
nessuna riesce a volare, sia per
mancanza di materiali sufficientemente leggeri e tecnologici sia per
il fatto che la sola forza umana non
basta per sollevarsi in volo.
Pi• leggeri dellÕaria
Per secoli, dopo Leonardo, nessuno riesce nell’impresa del volo
fino al 19 ottobre 1783, quando
una mongolfiera si innalza per la
prima volta nei cieli parigini.
La mongolfiera, o aerostato, è
più leggera dell’aria e il principio
sfruttato in questo caso è la spinta
di Archimede: un grande pallone
riempito di aria calda (o anche di
gas più leggeri dell’aria, come l’elio) spinto verso l’alto da una forza
pari al peso del volume d’aria che
sposta. Tende a salire se è immerso in aria più fredda e quindi più
densa.
Tuttavia a causa della sua immobilità e dell’impossibilità di controllarne il movimento, l’aerostato
non soddisfa pienamente l’idea di
volo di Leonardo. In effetti, come
una nave l’aerostato “galleggia” in
un fluido, ma non può sfruttare il
dualismo aria/acqua che una barca
a vela sfrutta in mare per muoversi. L’aerostato può solo muoversi
insieme all’aria in cui è immerso.
OGGI
L’AEROPLANO
Verso l’aeroplano
«Boom, l’aereo che ti porta da
Londra a New York in 3 ore»,
come riportano alcune testate
giornalistiche a fine marzo 2016.
La distanza tra le due capitali è di
circa 5570 chilometri, perciò la velocità media di un tale aereo supera di oltre 1800 km/h la velocità del
suono nell’aria a 0° C che è pari a
1191 km/h.
Il concetto d’aereo nasce ai primi dell’Ottocento ad opera dell’ingegnere inglese George Cayley
(1773-1857). Cayley è convinto
della possibilità di realizzare uno
strumento in grado di muoversi
nell’«oceano interamente navigabile» dove «potremo trasportare
noi stessi, le nostre famiglie, merci
e beni con maggiore sicurezza in
aria piuttosto che sull’acqua».
Come Leonardo, però, Cayley
costruisce diversi modelli via via
più grandi che volano per brevi
tratti e poi cadono a terra per via
del loro peso. Questo spinge Cayley a cercare un propulsore che
fornisca la spinta giusta per rimanere in volo, ma i motori a vapore
di allora erano ancora troppo pesanti e inefficienti. La situazione
rimane tale per quasi 100 anni,
finché i fratelli Wilburn e Orville
Wright, costruttori di biciclette
con il sogno di volare, decidono
di costruirsene uno: un quattro cilindri di circa 90 chilogrammi che
fornisce una potenza di 12 cavalli.
Così, nel dicembre 1903, in una
giornata di forte vento decolla il
primo oggetto aereo dalla spiaggia
di Kitty Hawk nel Nord Carolina. Percorre 36 metri e rimane in
volo appena 12 secondi, ma è stata
la prima macchina con un uomo
al comando «che si era librata da
sola nell’aria volando liberamente,
aveva percorso un tratto davanti a
sé, senza ridurre la velocità ed era
infine atterrata senza distruggersi»
come scrisse Orville Wright.
Sempre più in alto
Da quel primo volo, le migliorie
tecnologiche hanno permesso di
aumentare notevolmente la velocità ma, come aveva notato già Cayley, la resistenza dell’aria cresce con
il quadrato della velocità: raddoppiando la velocità i valori della resistenza quadruplicano. Per diminuire questo effetto gli aerei hanno
iniziato a volare a quote più elevate,
dove diminuisce la pressione atmosferica e quindi anche la densità dell’aria: se entro i mille metri
di quota dei primi voli a motore la
densità dell’aria è di oltre 1,1 kg/m3,
a 12 000 metri scende a 0,3 kg/m3.
A queste quote poi, che corrispondono alla zona della stratosfera, si viaggia per lo più al di sopra
delle perturbazioni atmosferiche, e
quindi si possono evitare fastidiose turbolenze.
Georgios Kollidas/Shutterstock
Oltre la velocità del suono
Se in regime subsonico l’aria si sposta davanti all’ala in moto all’incirca laminare, avvicinandosi alla velocità del suono, l’aria non fa più
a tempo a spostarsi e si accumula
davanti all’ala. La resistenza aerodinamica aumenta notevolmente
tanto che, localmente, davanti al
velivolo si forma una barriera, un
muro, che oppone un’elevata resistenza e che viene chiamata muro
del suono.
Aumentano anche i vortici che
si creano dietro l’ala, il moto del
fluido attorno non è più laminare e non si genera più portanza.
Per questo, nel costruire aerei che
superino la velocità del suono si
adottano alcuni accorgimenti: il
profilo alare è più appuntito nella
parte anteriore per limitare l’accumulo dell’aria; la parte anteriore
della fusoliera è appuntita e a volte
presenta una sorta di lancia sulla
sommità allo scopo di «bucare»
più facilmente il muro del suono.
427
13
i Fluidi
9
LA PRESSIONE ATMOSFERICA
Premendo una ventosa su una superficie liscia si fa
uscire buona parte dell’aria al suo interno. La pressione dell’aria sulla superficie esterna è maggiore di
quella sulla superficie interna, così la ventosa rimane
aderente alla superficie. Con ventose appositamente
progettate, è possibile sollevare pesanti lastre di vetro.
La pressione sulla superficie esterna della ventosa è
la pressione atmosferica. Essa è presente in qualunque punto dell’atmosfera terrestre ed è dovuta al peso
dell’aria soprastante.
Per esempio, si può calcolare che il peso della colonna di aria sopra una mano tesa
corrisponde a quello di una massa di circa 150 kg. Per la legge di Pascal, la pressione atmosferica si esercita con lo stesso valore su tutte le superfici, comunque siano orientate,
quindi anche sotto il dorso della mano tesa e sulle superfici interne al nostro corpo verso
l’esterno; questo fa sì che non la avvertiamo.
90
vuoto
80
70
h = 76 cm
60
mercurio
gdmh
50
40
la misura della pressione atmosferica
Il valore della pressione atmosferica può essere misurato con l’esperimento di Evangelista Torricelli (1608-1647), realizzato per la prima volta nel 1643.
Si riempie di mercurio una lunga provetta di vetro fino all’orlo, si tappa l’estremità aperta e si capovolge la provetta, immergendola in una bacinella piena di mercurio (FIGURA 5).
Una volta rimosso il tappo, si osserva che la provetta non si svuota completamente.
30
20
Al livello del mare, la colonna di mercurio che rimane nel tubo è alta 76,0 cm.
10
p0
0
p0
A
FIGURA 5
Schema dell’apparato
sperimentale di Torricelli.
Se al posto del mercurio utilizzassimo dell’acqua, la colonna sarebbe alta circa 10 m,
come calcolò lo stesso Torricelli.
Per la legge di Pascal, la pressione atmosferica p0, che spinge verso il basso la superficie
libera del mercurio, agisce verso l’alto nel punto A della figura, in cui il tubo si immerge
nella bacinella. In A, essa è equilibrata dalla pressione gdmh dovuta alla colonna di mercurio (densità dm = 1,36 # 104 kg/m3 ):
p 0 = gdm h = c 9,80
kg
N
# c1,36 # 104 3 m # ^0,760 mh = 1,01 # 105 Pa.
kg m
m
La pressione atmosferica normale, o standard, è definita dal valore convenzionale
p 0 = 1,01 # 105 Pa.
Si tratta di un valore di pressione piuttosto elevato, circa
uguale alla pressione esercitata da una massa di 2,13 kg, appoggiata su una moneta da un centesimo, la cui area misura
circa 2,07 cm2.
È la pressione atmosferica che ci consente di bere una bibita
con una cannuccia.
428
moneta
termodinamica
■
i Fluidi
Quando la cannuccia è nel liquido,
la pressione atmosferica spinge verso il
basso nella parte vuota della cannuccia
e verso l’alto dall’interno del liquido.
■
Se aspiriamo, riduciamo la pressione verso il basso; la pressione verso
l’alto, che resta uguale, spinge la bibita
alla bocca.
pressione
atmosferica
Stocksnapper/Shutterstock
13
p0
p0
p0
p0
Uno dei cardini della fisica aristotelica era l’orrore del vuoto (horror vacui: natura abhorret a vacuo). L’esperimento di Torricelli non si limita quindi a misurare la pressione
atmosferica, ma produce (nella parte di provetta non occupata dal mercurio) una regione con pressione residua molto bassa, e quindi un primo esempio di «vuoto». Si trattò
(insieme al lavoro teorico condotto da diversi studiosi, in particolare da Pascal) di un
contributo importante nel passaggio dalla vecchia alla nuova fisica.
AL VOLO
COLONNA D’ACQUA
▶ Effettuando l’esperimento di Torricelli con acqua
(d = 1,00 × 103 kg/m3)
al posto del mercurio,
quanto sarebbe alta
la colonna d’acqua?
l’atmosfera e il bar
Una pressione pari a 1,01 × 105 Pa è detta anche atmosfera (atm). È un’unità spesso usata
in ambito tecnico, ma non fa parte del Sistema Internazionale.
Il bar, molto vicino all’atmosfera, è un multiplo del pascal che si usa in meteorologia:
1 bar = 105 Pa
l’esperimento degli emisferi di magdeburgo
Il desiderio di riprodurre il vuoto spinse il fisico tedesco Otto von Guericke (1602-1686),
borgomastro di Magdeburgo, a incominciare una serie di esperimenti con l’uso di pompe di drenaggio, che egli stesso modificò e perfezionò, ottenendo i primi esemplari di
macchina pneumatica o, nella terminologia moderna, pompa da vuoto.
I tentativi iniziali di Guericke furono fallimentari, sebbene di grande effetto. Utilizzò
dapprima una botte di legno riempita d’acqua e perfettamente sigillata (FIGURA 6). Man
mano che l’acqua veniva tirata fuori, però, l’aria esterna veniva risucchiata nella botte
attraverso piccole fenditure nel legno, provocando un percettibile rumore e impedendo
il reale svuotamento. L’ingegnoso fisico sostituì allora la botte con una sfera di rame,
questa volta riempita solo d’aria.
Planet Shule/Getty Images
L’esperimento di Torricelli fu replicato in tutta Europa, non solo negli ambienti accademici ma anche in contesti pubblici, destando grande stupore. Notevole risonanza ebbero le misure effettuate in alta montagna da Blaise Pascal con l’aiuto del cognato Florin
Périer, alla fine del 1648: il colonnino di mercurio risultò più basso in cima al monte,
mostrando che la pressione atmosferica decresce con l’altitudine. A Pascal risalgono
anche i primi studi che mettono in relazione la pressione atmosferica con le condizioni
meteorologiche, con l’intento di fare previsioni del tempo.
FIGURA 6
L’esperimento di Guericke
con la botte di legno.
429
13
i Fluidi
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A un certo punto del processo di svuotamento, “con grandissimo strepito e terrore di
tutti, il globo, come un lenzuolo sbriciolato dalle mani, andò in frantumi, come se fosse
stato scagliato da un’altissima torre” (Guericke, Experimenta nova (ut vocantur) Magdeburgica de vacuo spatio, 1672). La sfera era implosa sotto la pressione dell’aria esterna
(FIGURA 7).
FIGURA 7
L’esperimento di Guericke
con la sfera di rame.
Il gusto per la spettacolarità indusse Guericke ad allestire un esperimento pubblico che
ebbe luogo a Ratisbona nel 1654, in presenza dell’imperatore Ferdinando III d’Asburgo,
e che ebbe un forte impatto sull’immaginario collettivo: il cosiddetto esperimento degli
emisferi di Magdeburgo.
Il contenitore era costituito da due semisfere di ottone cave, aventi diametro di circa
1 m, i cui bordi combaciavano perfettamente con un contatto a tenuta d’aria, formando
una sfera completamente chiusa.
Ciascuno dei due emisferi fu attaccato
a quattro pariglie di cavalli: una volta aspirata l’aria dalla sfera, soltanto
la forza dei 16 animali fu in grado di
separare le due metà, compresse dalla
pressione atmosferica (FIGURA 8).
Grazie all’invenzione della macchina
pneumatica, Guericke fu in grado di
realizzare i primi esperimenti in contenitori privi d’aria: mostrò, per esempio,
che il suono emesso da una campana nel
vuoto non si propaga e che una candela
in assenza d’aria si spegne.
FIGURA 8
Esperimento degli emisferi
di Magdeburgo.
la variazione della pressione atmosferica
Al livello del mare la pressione atmosferica è all’incirca uguale al valore normale
1,01 # 105 Pa e diminuisce con l’aumentare dell’altitudine, perché diminuisce il peso
della colonna d’aria che ci sovrasta.
Martina Meyer/Shutterstock
A bassa quota, la diminuzione della pressione atmosferica è pari a circa 1100/1200 Pa
per ogni 100 m di innalzamento; così, quando si sale di 80 m la pressione atmosferica
diminuisce dell’uno per cento. Gli strumenti che misurano la pressione atmosferica si
chiamano barometri.
430
I barometri a mercurio sono sostanzialmente
uguali a quello di Torricelli. I barometri metallici sfruttano le deformazioni che la pressione
atmosferica provoca in una scatola metallica
al cui interno è stato fatto il vuoto. Quando la
pressione esterna varia, cambia anche la deformazione. Attraverso un sistema di leve la deformazione è trasmessa a un indice che si sposta su
una scala graduata.
ago
indicatore
vuoto
La misura della pressione atmosferica consente di calcolare l’altezza di un luogo rispetto
al livello del mare. Un altimetro è un barometro metallico con una scala tarata in metri
di altitudine.
termodinamica
La pressione cambia anche a seconda
delle condizioni meteorologiche. I valori della pressione atmosferica sono
riportati nelle mappe meteorologiche.
B
1016
1020
1032
A
1028
A
1028
B
1020
1016
1012
10
13
i Fluidi
Le linee nere disegnate sulla carta si
chiamano isobare. Esse congiungono
i punti che hanno la stessa pressione.
I numeri a fianco delle isobare sono
i corrispondenti valori della pressione atmosferica (uguali in ogni punto
della linea) misurati in un’unità molto
diffusa tra i meteorologi: l’ettopascal
(1 hPa = 100 Pa). Al livello del mare
la pressione atmosferica standard è di
1010 hPa.
LA CORRENTE DI UN FLUIDO
Finora abbiamo studiato la statica dei fluidi, cioè il comportamento di fluidi all’equilibrio, fermi rispetto al sistema di riferimento prescelto. Le leggi della dinamica descrivono anche le proprietà di un fluido in movimento.
Si chiama corrente un movimento ordinato di un liquido o di un gas.
Quando si parla di corrente, si fa sempre riferimento a un moto ordinato.
■ Schizzi d’acqua disordinati non costituiscono una corrente.
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Vladimir Melnikov/Shutterstock
■ Il movimento dell’acqua di un fiume
forma una corrente.
la portata
Una «conduttura» è un tubo in cui scorre un gas o un liquido, oppure il letto in cui scorre un fiume. La portata di una conduttura è una grandezza fisica che descrive quanto è
intensa la corrente del fluido.
Il Po, per esempio ha una portata di 1540 m3/s d’acqua; il Rio delle Amazzoni di circa
100 000 m3/s
La portata q è definita dal rapporto tra il volume ∆V di fluido che in un intervallo di
tempo ∆t attraversa una sezione trasversale della conduttura e l’intervallo ∆t stesso:
431
13
i Fluidi
portata (m3/s)
volume (m3)
DV
q = Dt .
50
55
0
5
40
35
intervallo di tempo (s)
10
15
45
30
20
25
FIGURA 9
Il volume d’acqua che
attraversa la sezione
trasversale del tubo per
unità di tempo costituisce la
portata del tubo.
[9]
Una sezione trasversale della conduttura è una superficie piana immaginaria immersa
nella conduttura.
Possiamo visualizzare la sezione trasversale come una grata perpendicolare alla conduttura, attraverso la quale passa il fluido. Per determinare la portata, misuriamo il volume
di fluido che attraversa la grata in un dato intervallo di tempo (FIGURA 8).
Nel Sistema Internazionale il volume si misura in metri cubi e l’intervallo di tempo in
secondi. Quindi la portata si misura in metri cubi al secondo (m3/s).
AL VOLO
LA PORTATA DEL
TUBO DELL’ACQUA
▶ Il getto d’acqua
stazionario che fuoriesce dal rubinetto
impiega 15 minuti
per riempire la vasca
da bagno con 180 litri
d’acqua. Qual è la
portata del tubo?
[2,0 × 10–4 m3/s]
correnti stazionarie
Una corrente si dice stazionaria quando la sua portata, attraverso qualunque sezione della conduttura, è costante nel tempo.
■ Mentre apriamo un rubinetto la
corrente non è stazionaria, perché il
volume d’acqua che esce ogni secondo
aumenta nel tempo.
■ Dopo un po’, vediamo che la corrente si stabilizza e diviene stazionaria,
cioè fornisce lo stesso volume d’acqua
in ogni secondo.
Stazionario significa «costante nel tempo». Quindi, se nel letto di un torrente in un certo
momento passano 150 m3 di acqua al secondo e la corrente è stazionaria, anche dopo
un’ora passeranno 150 m3 di acqua al secondo.
da che cosa dipende la portata?
Abbiamo definito la portata come il volume di fluido che attraversa per unità di tempo
una sezione trasversale di una conduttura. Come dipende la portata dalla sezione?
Può sembrare ragionevole che:
432
termodinamica
13
i Fluidi
■
■
quelle del tubo di un impianto domestico siano attraversate, ogni secondo, da un volume di gas molto minore.
ermess/Shutterstock
Darren J. Bradley/Shutterstock
le sezioni del grosso tubo di un gasdotto siano attraversate, ogni secondo, da un grande volume di gas;
In realtà, non sempre la portata di una conduttura più larga è maggiore di quella di una
conduttura più stretta.
La portata q dipende, oltre che dall’area S della sezione trasversale della conduttura, anche dal modulo v della velocità con cui il fluido vi scorre. Se v è lo stesso in tutti i punti
della sezione, vale la formula:
area della sezione trasversale (m2)
[10]
q = S v.
portata (m3/s)
velocità del fluido (m/s)
Quindi, fissata la velocità, la portata è direttamente proporzionale all’area della sezione
della conduttura; fissata la sezione, è direttamente proporzionale alla velocità del fluido.
Può succedere che un tubo più stretto, in cui un fluido scorre più velocemente, abbia
una portata maggiore di un tubo più largo attraversato da un flusso più lento.
dimostrazione della formula per la portata
Considera un volumetto di fluido che in un certo istante attraversa una sezione trasversale di una conduttura (FIGURA 9). Ti bastano due idee per dedurre la formula [10] dalla
definizione [9].
v
v
Prima idea: il volumetto di fluido è come un punto materiale.
■ In un intervallo di tempo ∆t, a partire dall’istante iniziale considerato, il volumetto percorre la distanza l = v ∆t.
Seconda idea: tutti i volumetti che attraversano insieme una sezione continuano
a muoversi insieme.
■ Poiché la velocità del fluido assume lo stesso valore v in ogni punto della sezione trasversale, tutti i volumetti che nell’istante iniziale attraversano la sezione percorrono nel
tempo ∆t la stessa distanza l. Pertanto la sezione, di area S, è attraversata da un volume
complessivo di fluido espresso da
v
S
S
FIGURA 10
Il volumetto di fluido si
muove con velocità v nella
conduttura.
∆V = S l = S v ∆t.
■
Sei ora in grado di calcolare la portata e ottenere, dalla [9], la formula [10]:
Sv Dt
DV
q = Dt =
= Sv.
Dt
433
13
i Fluidi
l’equazione di continuità
Sappiamo che i liquidi sono, con ottima approssimazione, incomprimibili. Cioè, che
il loro volume non cambia nel corso del moto. Di conseguenza, se un certo volume di
liquido fluisce in una conduttura, esso deve spingerne via un volume uguale.
Esaminiamo la corrente stazionaria di un liquido che scorre in un tubo singolo, su cui
non si inseriscono altri tubi e che non si suddivide (un sistema fatto così è chiamato
«conduttura senza sorgenti né pozzi»).
■
In un intervallo di tempo fissato, un
certo volume di liquido in una zona A
del tubo attraversa con velocità vA una
sezione trasversale di area SA.
■
Nello stesso intervallo di tempo, un
volume uguale di liquido in un secondo
tratto B del tubo attraversa con velocità
vB una sezione trasversale di area SB.
B
A
vB
vA
SA
SB
Il fatto che due sezioni trasversali diverse siano attraversate nello stesso tempo da volumi uguali di liquido significa che la portata è uniforme lungo il tubo; in particolare, è la
stessa in A e B. Dall’equazione [10] per la portata discende, dunque:
area in A (m2)
area in B (m2)
SA vA = SB vB .
velocità in A (m/s)
[11]
velocità in B (m/s)
La [11] spiega un fenomeno molto comune, che si sfrutta,
per esempio, quando si annaffia. L’acqua esce dall’imboccatura del tubo di irrigazione con una velocità non
troppo elevata. Però, la velocità dell’acqua aumenta notevolmente se si blocca in parte l’imboccatura con un dito.
L’equazione di continuità è utilizzata anche in diagnostica medica per riconoscere i restringimenti (detti «stenosi») dei vasi sanguigni. Con una tecnica chiamata flussimetria
Doppler, si misura la velocità del sangue in diverse zone di un vaso sanguigno. Se si
riscontra un aumento della velocità con cui scorre il sangue, significa che in quella zona
c’è una diminuzione del diametro del vaso. Questa diminuzione è tanto maggiore quanto più grande è l’aumento di velocità.
434
Gayvoronskaya_Yana/Shutterstock
Questa legge si chiama equazione di continuità. Essa dice
che l’area trasversale della conduttura e la velocità del liquido che scorre in essa sono inversamente proporzionali: se l’area si dimezza, la velocità del liquido raddoppia.
termodinamica
i Fluidi
13
PROBLEMA MODELLO 4 LA VELOCITÀ DEL SANGUE
A
B
C
■ DATI
■ INCOGNITE
Raggio valvola aortica: rA = 9 mm
Velocità del sangue: vA = 30 cm/s
Riduzione sezione rispetto alla norma: 1/4
Sezione ridotta (limite): SC = 0,75 cm2
Velocità del sangue in presenza di stenosi: vB = ?
Velocità del sangue in condizioni critiche: vC = ?
Diamond_Images/Shutterstock
In una persona in normali condizioni di salute la valvola aortica ha un raggio di circa 9 mm e la velocità del sangue in essa è 30 cm/s. Le prime conseguenze di una stenosi si manifestano quando si ha una riduzione di 1/4 della
sezione della valvola rispetto la norma. Il culmine di gravità si ha quando la sezione aortica si riduce a 0,75 cm2
o meno. Calcola:
▶ la velocità del sangue nella regione in cui è presente la stenosi;
▶ la velocità del sangue nel caso di maggiore gravità.
L’IDEA
■
■
I liquidi sono incomprimibili, di conseguenza se un certo volume di liquido fluisce in una conduttura deve
spingerne via un volume uguale.
L’equazione di continuità ci dice che l’area trasversale della conduttura e la velocità del liquido sono inversamente proporzionali.
LA SOLUZIONE
CASO CON STENOSI LIEVE:
Applico l’equazione di continuità e isolo vB.
S
L’equazione di continuità ci dice che qA= qB, cioè vA SA= vB SB; posso isolare vB da questa espressione: v B = v A S A .
B
Ricavo i valori numerici da sostituire nell’equazione.
In condizioni normali la sezione della valvola aortica è S A = rr 2A = r (0,9 cm) 2 = 3 cm2 ;
3
1
nel caso di stenosi lieve i dati ci dicono che la sezione si riduce di 4 , quindi S B = 4 S A .
S
S
4
4
Pertanto S A = 3 e v B = v A S A = ^30 cm/sh # 3 = 40 cm/s .
B
B
CASO CON STENOSI GRAVE:
Dall’equazione di continuità applicata al caso C ricavo vc.
Con lo stesso procedimento precedente, posso calcolare
S
3 cm2
vC = v A S A = ^30 cm/sh # b
= 1 # 102 cm/s .
0,75 cm2 l
C
435
13
i Fluidi
11
L’EQUAZIONE DI BERNOULLI
Un fluido che scorre in una conduttura di diametro variabile e piegata in direzione verticale è sottoposto a diverse forze:
■
la spinta FA da parte
del fluido che sta «a monte»;
■
la forza resistente FB da
parte del fluido che sta «a
valle»;
SA
yA
FA
SB
SB
SB
SA
■ la forza-peso che agisce
sul fluido stesso;
FB
yB
SA
y
FP
Per un volumetto di fluido che si sposta lungo la conduttura possono cambiare: la quota
y a cui esso si trova, il valore v della sua velocità e la pressione p a cui è sottoposto.
In generale, la relazione tra queste grandezze è molto complessa; il caso più semplice è
quello in cui valgono le seguenti condizioni:
il fluido è incomprimibile;
2. la corrente è stazionaria;
3. la velocità del fluido è la stessa in tutti i punti di qualunque sezione trasversale.
1.
L’ultima condizione equivale ad affermare l’assenza di forze di attrito all’interno del
fluido e tra il fluido e le pareti della conduttura: queste forze, infatti, potrebbero frenare
in maniera differente lo scorrimento dei diversi volumetti di fluido a seconda della loro
distanza dalle pareti.
Se le tre condizioni sono verificate, il moto del fluido obbedisce all’equazione di Bernoulli, così chiamata in onore del matematico e fisico svizzero Daniel Bernoulli (17001782).
Indicando con d la densità del fluido e con g l’accelerazione di gravità, si ha:
densità (kg/m3)
pressione (Pa)
quota (m)
1
p + 2 dv2 + d g y = costante .
velocità (m/s)
[12]
accelerazione
di gravità (m/s2)
L’equazione [12] ha la forma di una legge di conservazione, come quelle dell’energia
meccanica e della quantità di moto.
In una zona A della conduttura, pressione, velocità e quota del fluido hanno i valori pA,
vA e yA. Quando il fluido giunge in una seconda zona B, queste grandezze fisiche possono
avere cambiato tutti i loro valori, rispettivamente in pB, vB e yB; tuttavia, l’espressione al
primo membro della [12] rimane costante. Quindi si ha
1
1
p A + 2 d v 2A + d g y A = p B + 2 d v 2B + d g y B .
436
[13]
termodinamica
12
i Fluidi
13
L’ATTRITO NEI FLUIDI
La viscosità di un fluido si oppone al moto degli oggetti che sono immersi nel fluido e
ostacola lo scorrimento del fluido stesso.
Quando andiamo in bicicletta possiamo sentire in modo molto chiaro l’impedimento
dovuto alla resistenza dell’aria. Se questo impedimento non esistesse, a parità di sforzo
si potrebbero raggiungere velocità molto più elevate.
l’attrito con le pareti della conduttura
Normalmente il comportamento di un fluido è molto complesso: può presentare vortici, schizzi, e tutta una serie di fenomeni difficili da descrivere.
nel regime laminare il fluido si muove come se fosse formato da sottili lamine fluide
che scivolano una sull’altra.
La lamina di fluido a contatto con
la parete della conduttura risente
di una forza di attrito che la rallenta molto. Questo rallentamento si
trasmette per attrito a tutto il fluido, strato per strato, ma diventa
sempre meno evidente all’aumentare della distanza dalla parete fissa
(FIGURA 10).
F
S
LesPalenik/Shutterstock
Esiste, però, una condizione semplice, quella in cui il fluido scorre in una conduttura
in modo regolare e con una velocità così bassa da non creare vortici. Questo comportamento si chiama regime laminare:
v
FIGURA 11
d
Lamina di fluido che si
muove con velocità v a
distanza d dalla parete della
conduttura.
Gli esperimenti mostrano che l’intensità della forza necessaria per mantenere uno strato
di fluido in moto laminare, con velocità costante, è:
■
■
■
direttamente proporzionale al valore v della velocità dello strato;
direttamente proporzionale all’area S della sua superficie a contatto di uno strato di
fluido vicino;
inversamente proporzionale alla distanza d tra lo strato e la parete.
La formula che riassume queste proprietà è:
Sostanza
area (m2)
forza (N)
ammoniaca
velocità (m/s)
F=h
coefficiente di viscosità (Pa á s)
COEFFICIENTI DI VISCOSITÀ
Sv
.
d
[14]
distanza (m)
La costante di proporzionalità η (si pronuncia «eta») si chiama coefficiente di viscosità:
dipende dal tipo di fluido e dalla sua temperatura, ed è tanto maggiore quanto più grandi sono le forze di attrito interne al fluido (tabella).
Nel Sistema Internazionale, l’unità di misura del coefficiente di viscosità è pascal moltiplicato secondo (Pa · s).
Coefficienti
di viscosità a
20 °C (Pa · s)
9,2 × 10−6
metano
10,2 × 10−6
aria
17,1 × 10−6
acqua
1,00 × 10−3
mercurio
1,55 × 10−3
sangue
(a 37 °C)
4,0 × 10−3
olio d’oliva
8,4 × 10−2
glicerina
1,50
437
13
i Fluidi
l’attrito su un corpo in movimento nel fluido
Tutti gli automobilisti sanno per esperienza che, per mantenere costante la velocità dell’automobile, occorre una maggiore quantità di carburante se la velocità è maggiore. Per velocità
più elevate, infatti, sono maggiori anche le forze di attrito che il motore deve controbilanciare.
La resistenza al moto dovuta alla forza di attrito viscoso tra l’aria e l’automobile dipende,
oltre che dalla velocità dell’automobile, anche dalla viscosità dell’aria e dalla forma e dalle dimensioni della carrozzeria: se scelte con criteri aerodinamici, forma e dimensioni
limitano la formazione di vortici d’aria.
Considera un’automobile che parte da ferma e inizia ad accelerare. Gli esperimenti condotti nelle gallerie del vento mostrano che:
■ finché la velocità dell’automobile è
abbastanza bassa, il flusso d’aria attorno alla carrozzeria è laminare e la resistenza dell’aria è direttamente proporzionale alla velocità;
■ non appena cominciano a formarsi
vortici d’aria, il flusso non è più laminare e la resistenza dell’aria inizia ad
aumentare in modo direttamente proporzionale al quadrato della velocità.
Fv
Fv
zona di
linearità
à
zona in
cui si
formano
i vortic
vortici
ccii
v
v
Un caso molto più semplice è quello di una sfera di raggio r che si muove con velocità v
(non così elevata da generare vortici) in un fluido che ha un coefficiente di viscosità η.
In questa situazione, il modulo Fv della forza di attrito viscoso sulla sfera è dato dalla
legge di Stokes:
forza di attrito viscoso (N)
raggio (m)
Fv = 6 r h r v.
coefficiente di viscosità (Pa · s)
PROBLEMA MODELLO
[15]
velocità (m/s)
5 LA SFERA IMMERSA
Una sfera immersa in acqua si muove con velocità di 3,8 m/s e subisce una forza di attrito viscoso di 0,0060 N.
▶ Calcola il raggio della sfera.
▶ Calcola la velocità che dovrebbe avere la sfera per mantenere la stessa forza di attrito viscoso se fosse immersa in glicerina (il coefficiente di viscosità della glicerina è 1,50 Pa ∙ s).
438
■ DATI
■ INCOGNITE
Forza di attrito Fv = 0,0060 N
Velocità sfera v = 3,8 m/s
Viscosità acqua h acqua = 1,0 # 10- 3 Pa $ s
Viscosità glicerina h glicerina = 1,50 Pa $ s
Raggio della sfera in acqua r = ?
Velocità della sfera in glicerina v = ?
termodinamica
13
i Fluidi
L’IDEA
La forza di attrito viscoso per un corpo sferico è descritta dalla legge di Stokes.
LA SOLUZIONE
Applico la legge di Stokes in acqua e ricavo r.
Ricavo il raggio della sfera dalla formula Fv = 6 r h acqua r v
F
0,0060 N
r = 6 r hv v =
= 0,084 m .
6 r # ^1,0 # 10-3 Pa · sh # ^3,8 m/sh
acqua
Applico la legge di Stokes nella glicerina e ricavo v.
Dalla legge di Stokes applicata alla caduta nella glicerina posso isolare v:
F
0,0060 N
v= 6rh v r =
= 0,0025 m/s .
6 r # ^1,50 Pa · sh # ^0,084 mh
glicerina
PER NON SBAGLIARE
■
LA CADUTA IN UN FLUIDO
Un paracadutista che si lancia da un aereo non si
muove di moto uniformemente accelerato. Infatti,
su di esso non agisce soltanto la forza-peso FP (rivolta verso il basso), ma anche la forza di attrito Fv
con l’aria (che si oppone al moto di caduta e quindi
è rivolta verso l’alto). Il moto del paracadutista è
determinato dalla risultante di queste due forze.
La forza di attrito con l’aria aumenta all’aumentare della velocità del paracadutista, finché non raggiunge la stessa intensità della forza-peso. Da questo istante in poi le due forze sono uguali e opposte
e la loro risultante è uguale a zero:
Ftot = FP + Fv = 0.
Fa
v costante
Dewitt/Shutterstock
13
La velocità della sfera nella glicerina deve essere inferiore a quella nell’acqua: a parità di dimensioni e di intensità
della forza di attrito viscoso, v e η sono grandezze inversamente proporzionali, perciò se η aumenta v diminuisce.
Fp
[16]
Per il principio di inerzia, il paracadutista scende allora con velocità costante, chiamata
velocitˆ limite.
Un oggetto che cade nell’atmosfera accelera fino a raggiungere la velocità limite,
che rimane poi costante fino alla fine del moto.
Per una massa di 100 kg attaccata a un paracadute di 10 m di diametro, la velocità limite
è circa 3 m/s, cioè poco più di 10 km/h. Raggiunta questa velocità, la forza di attrito ha
un’intensità Fv = 9,8 × 102 N e cancella la forza-peso.
AL VOLO
L’APERTURA
DEL PARACADUTE
Un paracadutista
raggiunge la sua velocità limite prima di
aprire il paracadute.
▶ Che cosa accade
dopo che l’ha aperto?
Perché?
439
13
i Fluidi
la velocità limite per una sfera
Calcoliamo la velocità limite di una sfera di massa m e raggio r che cade in un fluido con
coefficiente di viscosità η. Visto che i due vettori FP e Fv hanno versi opposti, l’intensità
di Ftot è data dalla differenza tra le intensità di FP e Fv (FIGURA 11), cioè
Fv
Ftot = FP – Fv.
Ftot
FP
Quindi, la condizione [16] diviene
Fv = FP.
Ftot = FP – Fv
FIGURA 12
La forza totale sulla sfera è
la somma della forza-peso
(verso il basso) e della forza
di attrito (verso l’alto).
Se il flusso è laminare, la velocità limite della sfera non è troppo elevata. Possiamo, allora, sostituire le espressioni Fv = 6 h r r v (legge di Stokes) e FP = m g nell’uguaglianza
e otteniamo
6 r h r v =m g,
da cui possiamo isolare il valore della velocità limite di caduta:
velocità limite (m/s)
massa (kg)
accelerazione di gravità (m/s2)
mg
v= 6rhr .
coefficiente di viscosità (Pa · s)
[17]
raggio (m)
il contributo della spinta di archimede
Fv
FA
FP
Ftot
Ftot = FP – Fv – FA
FIGURA 13
La forza totale sulla sfera è
la somma della forza-peso
(verso il basso), della forza
di attrito e della spinta di
Archimede (entrambe verso
l’alto).
Quando la densità della sfera è confrontabile con quella del fluido attraverso il quale
cade, diventa importante tenere conto della spinta di Archimede che agisce sulla sfera
verso l’alto (FIGURA 12).
4
Se la sfera ha raggio r, il suo volume è V = a 3 k r r3 e il suo peso, espresso in funzione di
r e della densità d0 del materiale di cui è composta, è
4
Fp = 3 r d 0 g r 3 .
D’altra parte, se indichiamo con d la densità del fluido, l’espressione dell’intensità della
forza di Archimede è
4
FA = d V g = 3 r d g r3 .
Nel caso che stiamo esaminando l’intensità della forza totale è
Ftot = FP − Fv − FA
e il valore della velocità limite di caduta è dato dalla formula
v=
440
2 ^d 0 - d h g r2
.
9h
[18]
IL BAROMETRO
DI TORRICELLI
13
I
DEA/PINAIDER/Getty
n una lettera dell’11 giugno 1644, Evangelista Torricelli, allievo di
Galileo, racconta al matematico e amico Michelangelo Ricci l’esperimento con il quale per la prima volta misura il valore della pressione
atmosferica a livello del mare.
Noi habbiamo fatti molti vasi di vetro et anco come
i seguenti, segnati A et B, grossi e di collo lungo due
braccia, questi pieni d’argento vivo, poi serratagli
con un dito la bocca e rivoltati in un vaso dove era
l’argento vivo C, si vedevano votarsi e non succeder
niente nel vaso che si votava; il collo però AD
restava sempre pieno all’altezza d’un braccio e 1/4,
et un dito di più.
Per mostrar che il vaso fusse perfettamente voto, si
riempiva la catinella sottoposta d’acqua fino in D
et alzando il vaso a poco a poco, si vedeva, quando
la bocca del vaso arrivava all’acqua, descender
quell’argento vivo dal collo, e riempirsi con impeto
orribile d’acqua fino al segno E affatto.
Il discorso si faceva mentre il vaso AE stava voto e
Nel 1630, i maestri fontanieri Fiorentini osservano
che nessuna pompa aspirante riesce a far salire l’acqua verso l’alto per un dislivello superiore ai 10 metri. Per spiegare questo fenomeno, Torricelli ipotizza
che quel limite dipenda dal valore della pressione
esercitata dall’aria sulla superficie dell’acqua alla base
della tubo.
Prepara allora un esperimento nel quale sostituisce l’acqua con il mercurio (argento vivo): essendo
questo più denso dell’acqua, Torricelli si aspetta di
ricreare una condizione simile a quella sperimentata
dai fontanieri, ma con una colonna di fluido di altezza inferiore, realizzabile in laboratorio.
Dopo aver riempito di mercurio
un tubo lungo e sottile, chiuso a una
delle estremità, immerge l’estremità libera in una bacinella piena di
mercurio e osserva che il tubo non si
svuota del tutto.
La colonna di mercurio nel tubo
rimane all’altezza di circa 760 mm
(d’un braccio e 1/4, et un dito di più),
anche quando l’esperimento è ripetuto con tubi dalle caratteristiche diverse.
IL FISICO RACCONTA
i Fluidi
l’argento vivo si sosteneva benché gravissimamente
nel collo AC, questa forza, che regge quell’argento
vivo contro la sua naturalezza di ricader giù, si è
veduto fino adesso che sia stata interna nel vaso AE,
o di vacuo, o di quella roba sommamente rarefatta;
ma io pretendo, che la sia esterna e che la forza
venga di fuori.
Su la superficie del liquore che è nella catinella gravita l’altezza di cinquanta miglia d’aria; però qual
maraviglia è se nel vetro CE, dove l’argento vivo non
ha inclinazione, nè anco repugnanza per non esservi
nulla, entri e vi s’innalzi fin tanto, che si equilibri colla
gravità dell’aria esterna, che lo spinge?
(Opere dei discepoli di Galileo, Carteggio 1642-1648, a cura
di P. Galluzzi e M. Torrini, Firenze Giunti-Barbera 1975)
In accordo con Galileo, Torricelli è convinto che
nella parte superiore del tubo si formi il vuoto e lo
dimostra nel suo esperimento. Aggiunge dell’acqua
nella bacinella di mercurio e solleva il tubo in essa
immerso fino a farlo pescare nell’acqua; a quel punto
il mercurio, più denso dell’acqua, si riversa nella bacinella mentre l’acqua sale rapidamente nel tubo fino
a riempirlo.
Torricelli conclude che il peso di 760 mm di mercurio è in grado di bilanciare la pressione dell’aria
presente sulla superficie di mercurio nella bacinella
(nella catinella gravita l’altezza di cinquanta miglia
d’aria), creando il vuoto al di sopra della colonna di
mercurio. Il peso di un pari volume d’acqua non sarebbe sufficiente per raggiungere la stessa condizione
di equilibrio.
DOMANDA
▶ Immagina di ripetere l’esperimento
di Torricelli a 3000 m di altitudine:
ti aspetti che la colonna di mercurio
nel tubo sia più o meno alta di 760 mm?
441
13
i Fluidi
ESPERIMENTI CON LO SMARTPHONE
SU E GIÙ PER LE SCALE
Come sai, Evangelista Torricelli (1608-1647) fu l’inventore del barometro a mercurio, con cui si può misurare la pressione atmosferica. Si tratta però di uno strumento un po’ ingombrante, alto almeno 80 cm, delicato nell’uso. Invece tu,
in questa attività, scoprirai come cambia la pressione atmosferica utilizzando solamente il tuo smartphone.
Cosa ti occorre
▶ Uno smartphone dotato di sensore barometrico.
▶ Una app per la misura della pressione atmosferica.
Le app
Per sapere se il tuo smartphone è dotato di barometro, puoi utilizzare una app
come Hardware Info per Android e AIDA64 per iOS.
Per misurare la pressione atmosferica, tra le tante app disponibili puoi scaricare, per smartphone Android, Physics Toolbox Sensor Suite, che comprende la app
Barometer (figura a sinistra). Per l’ambiente iOS puoi servirti di Barometer &
Altimeter for iPphone/iPad (figura a destra).
Procedimento
1 Vogliamo analizzare come cambia la pressione atmosferica in funzione dell’altezza. Per questo devi recarti in un
edificio con varie rampe di scale o dotato di ascensore.
2 Lancia la app per registrare il grafico della pressione in funzione del tempo. Poi sali le scale con passo regolare,
oppure entra in ascensore e vai dal piano terra fino all’ultimo piano.
3 Al termine, ferma l’acquisizione. Puoi, eventualmente, trasferire i dati raccolti a un PC ed elaborarli con un foglio
elettronico.
Analisi dei dati
Il grafico seguente è stato ottenuto andando a piedi per le scale di casa. Sono stati riportati nella figura alcuni dati
significativi.
pressione (hPa)
1011,5
(50,21 s; 1011,66 hPa)
1011,0
(3,27 s; 1010,18 hPa)
1010,5
0
10
20
30
40
50
60
tempo (s)
Puoi notare che la pressione atmosferica è aumentata con una certa regolarità, da 1010,18 hPa a 1011,66 hPa, con una
variazione complessiva di 1,48 hPa.
442
termodinamica
13
i Fluidi
▶ Quale sarà il dislivello in altezza superato?
▶ Il grafico ha registrato una salita o una discesa per le scale?
Per rispondere a queste domande, osserva il grafico a sinistra, che mostra l’andamento della pressione atmosferica
fino a un’altitudine di 10 000 m. La pressione diminuisce secondo una relazione matematica difficile per le tue attuali
conoscenze, ma se consideriamo solo la parte iniziale del grafico, ossia solo piccole altitudini, possiamo usare una
buona approssimazione di tipo lineare. Calcolando la pendenza della retta, si ha:
Dp
= - 0, 12 hPa/m .
Dh
Il rapporto inverso, Dh/Dp = - 8, 4 m/hPa , indica che la pressione atmosferica diminuisce di 1 hPa per ogni 8,4 m di
altezza circa.
pressione (hPa)
pressione (hPa)
1200
1000
800
600
1013
1012
Δp
1011
Δh
1010
400
1009
0
200
5
10
15
20
25
30
35
altitudine (m)
0
0
2000
4000
6000
8000
10 000
12 000
altitudine (m)
Ora fai i calcoli con i tuoi dati e rispondi alle domande precedenti.
pressione (hPa)
Il grafico seguente è stato ottenuto muovendosi nell’edificio in ascensore. La pressione atmosferica è diminuita, poi è
rimasta stazionaria e infine è ritornata al valore iniziale. L’ascensore è prima salito e poi disceso o viceversa? Utilizza
le coordinate dei due punti indicati per calcolare di che altezza si è spostato.
1025,0
(25,5 s; 1024,20 hPa)
(10,1 s; 1025,35 hPa)
1024,5
1024,0
0
10
20
30
40
50
tempo (s)
Approfondimenti
▶ Partendo dal grafico della pressione, prova a tracciare l’andamento del corrispondente grafico altimetrico, cioè
dell’altezza in funzione del tempo.
▶ Analizzando il grafico ottenuto muovendoti con l’ascensore, sapresti calcolare la velocità con cui la cabina saliva o
scendeva?
▶ Se ti capita di andare in vacanza in montagna e di salire su una funivia, porta con te lo smartphone, misura la pressione durante la salita (o la discesa), ricava il dislivello di altezza e confronta il risultato con i dati ufficiali. Di solito,
accanto all’ingresso della stazione della funivia, c’è un pannello dove sono riportate varie informazioni, tra cui il
dislivello superato dalla cabina.
▶ Se vai in un luna park dove c’è una ruota panoramica, sali con lo smartphone e registra l’andamento della pressione
atmosferica. Che forma avrà il grafico della pressione? E quello dell’altimetria?
443
I CONCETTI
E LE LEGGI
13
MAPPA INTERATTIVA
i Fluidi
i Fluidi
IN TRE MINUTI • La pressione
Solidi, liquidi e gas
■
■
■
Un solido conserva forma e volume propri.
Un liquido ha volume proprio ma assume la forma del recipiente che lo contiene.
Un gas occupa tutto il volume del recipiente che lo contiene e può essere facilmente compresso.
la pressione
■
La pressione è una grandezza scalare definita come il rapporto tra il modulo della forza perpendicolare alla superficie
F
1N
.
e l’area di questa superficie: p = S= . Nel SI l’unità di misura della pressione è il pascal (Pa): 1 Pa =
1 m2
la pressione nei liquidi
■
■
■
Legge di Pascal: la pressione esercitata su una superficie qualsiasi di un liquido si trasmette,
con lo stesso valore, su ogni altra superficie a contatto con il liquido.
Legge di Stevino: la pressione dovuta al peso di un liquido è direttamente proporzionale alla
densità del liquido e alla profondità: pl = dgh .
Se la superficie libera del liquido è soggetta a una pressione p0, la pressione totale a profondità h è: p = p0 + dgh.
p0
h
S
p = p0 + gdh
la spinta di archimede
■
■
Un corpo immerso in un liquido subisce una forza diretta verso l’alto di intensità uguale al peso del liquido spostato:
FA = mg = dVg .
Un corpo affonda, resta fermo o sale a galla quando la sua densità è rispettivamente maggiore, uguale o minore di
quella del liquido in cui è immerso.
la pressione atmosferica
■
■
■
■
La pressione atmosferica è dovuta al peso della colonna di aria che ci sovrasta.
Al livello del mare, la pressione atmosferica è uguale a quella generata da una colonna di mercurio alta 76,0 cm e
corrisponde a 1,01 × 105 Pa.
L’atmosfera (atm) è un’unità di misura della pressione che non appartiene al SI: 1 atm = 1,01 × 105 Pa.
Il bar è un’unità di misura della pressione usata in meteorologia: 1 bar = 105 Pa.
Portata
■
DV
q = Dt = Sv : è numericamente uguale al volume di liquido che, in un secondo, attraversa la superficie trasversale
della conduttura ed è direttamente proporzionale all’area della sezione trasversale della conduttura e alla velocità
del liquido.
equazione di continuità
S A v A = S B v B : l’area trasversale della conduttura e la velocità del liquido sono inversamente proporzionali.
equazione di Bernoulli
1
p + 2 d v2 + d g y = costante : è valida se il fluido è incompressibile, la corrente è stazionaria e gli attriti interni del
fluido e quelli con le pareti della conduttura sono trascurabili.
l’attrito nei fluidi
■
■
444
Sv
La forza necessaria per mantenere uno strato di fluido in moto laminare con una velocità v costante è F = h
.
d
Il modulo Fv della forza di attrito viscoso su una sfera di raggio r che si muove all’interno di un fluido in regime laminare con velocità v è dato dalla legge di Stokes: Fv = 6 r h r v .
ONLINE
ESERCIZI
Mettiti alla prova con
gli esercizi interattivi
▶ Quanto vale la minima pressione che la cassa può
esercitare al suolo?
[5,8 × 102 Pa]
13
9
★★★
I FLUIDI
2
SOLIDI, LIQUIDI E GAS
DOMANDE
[0,45 m2]
10
★★★
1
2
3
3
Esamina sotto quali condizioni l’acqua si può trovare
nello stato: solido, liquido e aeriforme.
Ricerca sotto quali condizioni l’azoto (che normalmente
si presenta come un gas) diviene liquido e solido.
Una botte piena di vino occupa un’area di 1,0 m2 ed esercita al suolo una pressione di 2,4 × 103 Pa.
▶ Qual è la massa della botte?
[2,4 × 102 kg]
11
★★★
Ti vengono in mente sostanze che si possono trovare facilmente in stati di aggregazione diversi? Quali? Fai almeno 2 esempi.
Alice vuole stimare la pressione che esercita al suolo
quando sta in piedi. La sua massa è circa 50 kg. Per valutare la sua superficie di appoggio, approssima ciascun
piede a un rettangolo di dimensioni 25 cm e 5 cm.
▶ Senza usare la calcolatrice, stima la pressione esercitata al suolo da Alice.
[2 × 104 Pa]
LA PRESSIONE
12
★★★
DOMANDE
4
Perché per camminare sulla neve, senza affondare, è preferibile ricorrere all’uso delle racchette?
5
PENSACI BENE Due furgoni identici utilizzano due
marche diverse di pneumatici che hanno la stessa massa
ma larghezze differenti.
▶ Quale furgone esercita al suolo una pressione minore?
6
Un operaio di una ditta di traslochi vorrebbe appoggiare
un pianoforte di massa 275 kg su un solaio che può sopportare al massimo una pressione di 6,0 × 103 Pa.
▶ Quale superficie di appoggio minima deve avere il pianoforte per non provocare danni al solaio?
Il professor Rossi ha una cartella molto pesante da portare a tracolla tutti i giorni. Un giorno decide di inserirvi
un poggiaspalla di larghezza tripla rispetto alla cinghia.
▶ Come cambia la pressione che la borsa esercita sulla
sua spalla a parità di peso?
In un numero da circo, un clown di massa 58 kg cammina insieme alla sua scimmietta su un’asse sospesa fra due
trampolini. L’asse può sopportare al massimo la pressione di 2,5 × 104 Pa. Gli scarponi del clown hanno complessivamente una superficie di 280 cm2. A un certo punto, la scimmietta sale in braccio al clown.
▶ Quale massa può avere al massimo la scimmietta per
non spezzare l’asse?
[13 kg]
4
LA PRESSIONE NEI LIQUIDI
DOMANDE
13
COSA SUCCEDE SE Un palloncino sferico è immerso in
acqua e si trova sul fondo di una piscina profonda 3 m.
PROBLEMI
PROBLEMA MODELLO
1
Un cuoco impacciato
→ a pag. 417
7
★★★
8
★★★
Una donna di massa 54 kg e un bambino di massa 27 kg
sono in piedi sulla spiaggia. La superficie di un piede della donna è 1,8 dm2 e quella di un piede del bambino è
0,90 dm2.
▶ La donna e il bambino esercitano la stessa pressione
sulla sabbia?
Una cassa di bottiglie di vino, di massa 40 kg, ha forma
di parallelepipedo e dimensioni 90 cm, 25 cm e 75 cm.
fuori dall’acqua
a
b
c
d
▶ Quale forma assumerà approssimativamente tra quelle mostrate?
14
APPLICA I CONCETTI Un’auto pesa 10 000 N. La sistemi sul cilindro più piccolo di un torchio idraulico e applichi sull’altro cilindro una forza di 10 000 N.
▶ Riesci a sollevare l’auto?
445
ESERCIZI
13 i Fluidi
PROBLEMI
15
★★★
21
In un torchio idraulico, i pistoni a e b hanno un piedistallo circolare di raggio rispettivamente 4,0 cm e 40 cm.
Il pistone a si abbassa di 0,50 m sotto il peso di un carico.
▶ Determina di quanto si innalza il pistone b.
Il recipiente in figura è pieno d’acqua. Ordina i valori
della pressione nei punti A, B, C all’interno del recipiente e giustifica la tua risposta.
[0,0050 m]
16
★★★
Le sezioni dei pistoni di un torchio idraulico hanno un
rapporto di 3:1. Vuoi usare il torchio per sollevare un’auto che pesa 15 000 N.
▶ Quale forza minima devi essere in grado di esercitare?
A
17
In un torchio idraulico le superfici dei pistoni sono pari a
12,8 cm2 e 70,1 cm2. Spingiamo in basso la superficie più
piccola con una forza di 130 N.
▶ Qual è l’intensità della forza verso l’alto che si produce
sulla superficie più grande?
Al mare, per fare snorkeling nuoti con la faccia sotto il
pelo dell’acqua respirando con un boccaglio.
▶ Potresti fare delle immersioni in profondità, senza
fare ricorso all’uso di bombole di ossigeno o scafandri,
solo con l’ausilio di un lungo tubo che emerge dal pelo
dell’acqua per respirare?
23
PENSACI BENE Uno studente afferma che, secondo la
[712 N]
18
★★★
In un circo un clown gioca a sollevare un orso di massa
320 kg. Il clown sale su un piedistallo circolare di raggio
65 cm di un torchio idraulico, e fa salire l’orso sul piedistallo all’altro estremo del torchio, che ha una superficie di 4,0 m2. L’orso si solleva quando il clown prende in
braccio un pinguino di massa 28 kg.
Calcola:
▶ la pressione necessaria per sollevare l’orso;
C
22
[5000 N]
★★★
B
legge di Stevino, un liquido esercita pressione solo sulla
base del recipiente che lo contiene, perché rispetto alla
base la colonna di liquido ha la massima altezza.
▶ Ha ragione?
24
PENSACI BENE Un secchiello e una bottiglia sono appoggiati sulla sabbia. Sono riempiti di acqua fino alla
stessa altezza e la profondità del segno che lasciano sulla
sabbia appare la stessa per entrambi.
▶ il peso complessivo del clown e del pinguino.
[7,8 × 102 Pa; 1,0 × 103 N]
19
★★★
Il funzionamento di una pressa idraulica si basa sullo stesso principio del torchio. Una lastra metallica di
2,00 × 103 kg è pressata applicando sul pistone di superficie minore una forza di 1,23 × 103 N.
▶ Qual è il rapporto tra i raggi dei pistoni?
▶ Come è possibile, visto che le due quantità di acqua, e
quindi i loro rispettivi pesi, sono molto diverse?
[1:4]
5
PROBLEMI
PROBLEMA MODELLO
LA PRESSIONE DELLA FORZA-PESO
NEI LIQUIDI
DOMANDE
25
★★★
20
2
Calcolo della profonditˆ
→ a pag. 421
I tre recipienti contengono lo stesso tipo di liquido, hanno uguale base e sono tutti riempiti fino alla stessa altezza. Pur contenendo quantità di liquido diverse, la pressione sul fondo è sempre la stessa.
▶ Spiega perché e traccia le forze che agiscono sul liquido.
La pressione atmosferica di Titano, la maggiore delle
lune di Saturno, è patm = 1,5 ×105 Pa, mentre la sua accelerazione di gravità è g = 1,4 m/s². Su Titano esistono laghi di metano liquido, una sostanza che ha una densità
di 423 kg/m3.
▶ Un lago di metano ha una profondità di 10 m: qual è la
pressione sul fondo del lago?
(a cura di SAIT) [1,6 × 105 Pa]
26
★★★
446
La colonnina di mercurio in un termometro da interni,
a temperatura ambiente, è alta 12,0 cm. La densità del
mercurio è 13,6 × 103 kg/m3.
termodinamica
i Fluidi
▶ Qual è il valore della pressione dovuta alla forza-peso
6
13
ESERCIZI
I VASI COMUNICANTI
del mercurio in fondo al bulbo del termometro?
DOMANDE
[16,0 kPa]
27
★★★
28
★★★
Una bottiglia di olio è riempita fino all’altezza di 16 cm e
la pressione sul suo fondo, dovuta alla forza-peso dell’olio, vale 1,2 × 103 Pa.
▶ Qual è la densità dell’olio?
32
Nei palazzi con numerosi piani, spesso negli appartamenti più alti l’acqua esce dai rubinetti con «poca pressione».
▶ Perché?
[7,7 × 102 kg/m3]
33
PENSACI BENE Tre vasi comunicanti contengono tre liquidi diversi A, B e C. La densità di A è maggiore di quella di B e la densità di B è maggiore di quella di C.
▶ All’equilibrio, chi raggiunge un’altezza maggiore?
Il relitto del Titanic fu ritrovato, nel 1985, sul fondo
dell’Oceano Atlantico ad una pressione di 4,2 × 107 Pa.
La densità dell’acqua di mare è 1030 kg/m3.
▶ A quale profondità giace il Titanic?
▶ La pressione atmosferica modifica il risultato?
[4,2 km]
29
★★★
PROBLEMI
34
★★★
Un sottomarino si trova a 120 m di profondità (densità
dell’acqua di mare 1030 kg/m3) e il suo portellone ha forma circolare di raggio 40 cm.
▶ Quale forza sarebbe necessaria per aprirlo?
In laboratorio, versi in un tubo a U dell’acqua in un’estremità e dell’olio nell’altra. Le densità dell’olio e dell’acqua sono, rispettivamente, 890 kg/m3 e 1010 kg/m3. L’altezza della colonna d’acqua è 18 cm.
▶ A che altezza arriva l’olio nell’altro ramo del tubo?
▶ Quanto vale la differenza fra i livelli superiori dell’acqua e dell’olio nei due rami?
5
[6,1 × 10 N]
[20 cm; 2 cm]
30
★★★
Una botte è piena d’acqua fino al livello del coperchio superiore. La pressione esercitata dall’acqua sul fondo della
botte è 7,8 kPa. Da un foro al centro del coperchio si alza
un tubo lungo 1,00 m, inizialmente vuoto.
▶ Quanto vale l’altezza della botte?
35
★★★
▶ Qual è il valore della pressione quando anche il tubo è
Un serbatoio fornisce acqua a un condominio. Il rubinetto di un appartamento chiude il tubo dell’acqua, di sezione 1,80 cm2, esercitando una forza di 24,0 N sull’acqua.
▶ A quale altezza è situato il serbatoio rispetto al rubinetto?
[13,6 m]
riempito di acqua?
[0,80 m; 18 kPa]
36
★★★
31
★★★
Un cilindro di raggio 6,0 cm è riempito da due liquidi che non si mescolano, come nella figura. Le densità
dei due liquidi sono: d1 = 1600 kg/m3 (liquido verde) e
d2 = 1380 kg/m3 (liquido giallo).
Un tubo a U contiene acqua e mercurio (densità
13 600 kg/m3). Nel ramo di destra, dove si trova il mercurio, c’è un foro di 4,0 cm di diametro, chiuso con un
tappo di sughero. Il foro si trova alla quota di 20 cm sotto
il pelo libero dell’acqua.
cm
18,0
12,0
6,0
h2
acqua
h1
20 cm
mercurio
h3
▶ Calcola la pressione dovuta al peso dei liquidi che agisce sulle pareti del cilindro a un’altezza di 6,0 cm dal
fondo.
▶ Determina l’intensità della forza totale esercitata dai
liquidi sul fondo del cilindro.
[1,8 × 103 Pa; 30 N]
▶ Quale forza dovuta al liquido sopporta il tappo di sughero?
▶ Quanti centimetri di mercurio ci sono sopra il foro?
[2,5 N; 1,5 cm]
447