Cap.9 Fenomeni magnetici

9
Capitolo
Fenomeni magnetici
1. Il campo magnetico
Nel linguaggio di tutti i giorni, con il termine magnete ci si riferisce ad una barretta di
un particolare tipo di ossido di ferro detto magnetite (Fe 3 O 4 ) la cui proprietà di
attirare a sé dei piccoli pezzi di ferro è nota sin dall’antichità. Le regioni della
barretta dove questi pezzetti si raccolgono in maniera più abbondante vengono
chiamati poli del magnete. La grande maggioranza dei magneti presenta due soli
poli, tuttavia possono essere creati magneti con un numero arbitrario di poli, purché
maggiore di due, come è il caso dei moderni magneti flessibili con cui si realizzano
molti souvenir turistici. Non sono molte le sostanze che, al pari del ferro
sperimentano questa forte attrazione da parte del magnete: esse vengono dette
materiali ferromagnetici, e fra questi c’è il cobalto, il nichel (le vecchie monete da 100
lire) e le loro leghe. Per ogni sostanza ferromagnetica esiste una soglia termica, detta
temperatura di Curie1 tC , al di sopra della quale scompare qualsiasi proprietà
magnetica.
Quali sono le principali evidenze osservative sul comportamento dei magneti?
Studiando il comportamento dei magneti, uno sperimentatore registra quanto segue:
(1) Un magnete è in grado di trasferire le sue proprietà ad un materiale ferromagnetico che
venga strofinato contro di esso o anche solo posto nelle sue vicinanze. La
permanenza di questo effetto dipende dalla sostanza: ad esempio un campione di
acciaio mantiene lo stato di magnetizzazione anche quando il magnete originario
viene rimosso, il ferro dolce (vedi riquadro a lato) invece si smagnetizza non appena
allontanato.
(2) È possibile magnetizzare un pezzetto di materiale ferromagnetico inserendolo all’interno
di un solenoide2, cioè un avvolgimento di filo a forma di elica in cui vi sia corrente.
1
Dal nome del fisico francese Pierre Curie (1859-1906).
2
Dal greco solen=tubo.
265
temperatura di Curie
nichel
358C
magnetite
575C
ferro
cobalto
770C
1131C
 La Controfisica
Il ferro non si trova puro in natura, ma
sempre legato al carbonio in varia percentuale. Si parla di ferro dolce se la percentuale di carbonio è inferiore allo
0.15% e di acciaio se è fra lo 0.15% ed il
2.11% (acciaio duro). L’acciaio è la lega
di ferro più commercialmente utilizzata: chiodi, fermagli, arnesi, travi sono
di acciaio di varia durezza. Percentuali
più alte di carbonio, fino ad un massimo del 6.67% (oltre il quale il carbonio
cessa di sciogliersi nel ferro) si trovano
nella ghisa, un lega ottenuta tramite
raffreddamenti repentini di minerale
fuso, che ne rendono irregolare la
struttura del reticolo cristallino. Rispetto all’acciaio, la ghisa è fragile, dilata
meno, ed è più resistente alla ruggine
per la maggior percentuale di carbonio.
Sono di ghisa fontanelle, panchine,
tombini e le vecchie e pesanti padelle.
N
S
ago magnetico
N
N
S
N
S
N
S
N
S
N
S
S
N
S
N
S
N
S
N
S
N
S

B
(3) Un magnete si orienta approssimativamente lungo la direzione Nord-Sud geografici3
quando viene sospeso ad un filo. In altri termini, ogni magnete possiede un suo asse
predefinito.
(4) Esistono solo due tipi di polo e non più di due. Poli di tipo diverso si attraggono e poli
dello stesso tipo si respingono. Queste conclusioni nascono dalle osservazioni eseguite
con uno strumento detto ago magnetico, che consta di un magnete leggero, libero di
ruotare attorno ad un perno (ed orientarsi nella direzione N-S geografici), ma non di
traslare. In primo luogo si stabilice di chiamare polo nord dell’ago la sua punta diretta
verso il nord geografico e polo sud dell’ago quella indirizzata al sud geografico.
Successivamente diciamo polo sud di un magnete quello che attira il polo nord
dell’ago e ne respinge il sud, e polo nord di un magnete quello che attira il sud
dell’ago e ne respinge il nord. Poiché non esiste alcun polo che attiri o respinga
contemporaneamente entrambi gli estremi dell’ago, se ne conclude che nord e sud
sono i soli due tipi di polo esistenti.
(5) I poli nord e sud non possono essere separati. Se proviamo a spezzare in due o più
pezzi un magnete, nel tentativo di isolare il polo nord dal polo sud, le parti che si
ottengono sono sempre bipolari. Questo fatto viene solitamente enunciato dicendo
che non esiste il monopolo magnetico.
Un magnete genera un campo nello spazio?
Un magnete è capace di esercitare una forza a distanza, e quindi presenta i due
paradossi di istantaneità e di causa ed effetto che già abbiamo incontrato nello studio
della forza elettrica. Quindi, il metodo più conveniente per esprimere le proprietà di
un magnete è assumere che la sua presenza conferisca uno stato fisico a tutto lo spazio,
che esiste indipendentemente dal fatto che il magnete stia interagendo o meno con altri
oggetti. Misureremo la condizione fisica che il magnete produce introducendo una

grandezza vettoriale B detta campo magnetico Esploreremo le caratteristiche del
campo magnetico facendo uso di un ago magnetico, che è lo strumento più elementare
di cui disponiamo per sondare, non essendo possibile realizzare il monopolo.
Come vengono definiti direzione e verso del vettore campo magnetico?
L’aghetto magnetico, dotato di un supporto che gli impedisca di traslare, ma sia libero di
ruotare in ogni direzione dello spazio, quando viene posto in un punto ove stia
agendo un magnete, ruota attorno al suo appoggio girevole finché non si assesta
lungo una precisa direzione.
S
N

Definiamo direzione del vettore campo magnetico B in un punto dello spazio,

quella lungo cui si allinea un aghetto magnetico posto in tale punto, e verso di B
quello che va dal polo sud al polo nord dell’aghetto.

B
N
S

B

Alla regione di spazio sede del campo B vengono associate delle linee di campo,
analogamente a come si fa nel caso del campo elettrico. Le linee di campo magnetico

hanno in ogni punto il vettore B come tangente, non possono mai incrociarsi fra loro, e
soddisfano il criterio di Faraday in base al quale le linee si fanno più fitte nelle zone
in cui il campo ha maggiore intensità. Esse vanno intese come elastici tesi: la loro
tendenza a contrarsi esprime l’attrazione fra poli di tipo diverso. La forza repulsiva fra
poli uguali può essere visualizzata pensando che ogni linea tende a respingere le vicine. È

possibile verificare - con opportune strategie sperimentali - che le linee del campo B non
terminano sulla superficie del magnete (né sono ad essa perpendicolari), ma proseguono
all’interno del magnete stesso. Dentro al magnete si osserva anzi un campo più intenso che
3 La direzione di allienamento si scostata di circa 5° rispetto alla N-S ed inoltre presenta molte irregolarità muovendosi
sulla superficie del pianeta: vedi più avanti per una descrizione del magnetismo terrestre.
266
non fuori, quindi le sue linee, piegando bruscamente sulla superficie, si infittiscono nello

spazio interno. Infine, non esistendo monopoli a fare da sorgente di B , le linee di campo
magnetico formano sempre dei percorsi chiusi4.
?
Esercizi
1. Potrebbe mai funzionare il bizzarro dispositivo di propulsione raffigurato qui a
lato, oppure l’idea di fondo è in conflitto con qualche fondamentale legge della
fisica?
Quali caratteristiche presenta il campo magnetico terrestre?
Il nostro pianeta è dotato di un suo campo magnetico, le cui linee sono
qualitativamente simili a quelle che produrrebbe una enorme barra di magnetite a
due poli, posta nel centro della Terra ed inclinata di 11.5 rispetto all’asse di
rotazione diurna. Le linee del campo magnetico terrestre si estendono migliaia di
chilometri nello spazio, ed i punti in cui l’asse di questo immaginario magnete buca
la superficie terrestre sono detti poli geomagnetici: verso di essi si dirige l’ago delle
bussole (ma non esattamente e non in tutte le parti del globo, perché immaginare che
il campo terrestre sia quello di un magnete a due poli è un’approssimazione).
Malgrado questa analogia di conformazione, è però da escludere che l’origine del
campo magnetico terrestre sia dovuta a degli enormi depositi di magnetite sepolti.
Infatti nel nucleo della Terra si raggiungano i 4500C , cioè un valore molto
superiore alle temperature di Curie di tutte le sostanze ferromagnetiche note. Il
campo terrestre è in realtà prodotto da correnti di ioni metallici all’interno del suo
nucleo fluido di ferro e nichel in continuo moto convettivo (di questo legame fra

corrente e B ci occuperemo nel seguito). In coerenza con la nostra definizione,
dobbiamo accettare il piccolo paradosso linguistico per cui, in prossimità del polo
Nord geografico, verso cui punta il nord della bussola, abbiamo un polo Sud
magnetico, e viceversa, nelle prossimità del polo Sud geografico c’è un polo Nord
magnetico.
Polo Sud
magnetico
N

B
S
N

B
S
Polo Nord
magnetico
 La Controfisica
Le linee del campo magnetico terrestre
sono orizzontali all’equatore ma tendono ad essere verticali in corrispondenza dei poli magnetici, quindi un
estremo dell’ago avrà la tendenza ad
abbassarsi quanto più ci si avvicina ai
poli. Di solito quest’effetto indesiderato viene eliminato bilanciando
l’aghetto, per esempio in modo che il
suo baricentro sia sotto il punto di
appoggio.
Che relazione esiste fra magnetismo ed elettricità?
Le osservazioni mostrano che una particella carica che da ferma non presenti alcuna
proprietà magnetica, quando è in movimento anche solo a velocità costante, subisce
l’interazione a distanza ad opera di un magnete, e diviene essa stessa sorgente di
campo magnetico. Il magnetismo è quindi un particolare aspetto dell’elettricità5, che
si manifesta solo in presenza di moti delle cariche: le sorgenti del campo magnetico sono
pertanto le correnti elettriche.
Sono le cariche in movimento a generare il campo magnetico, il quale dipende dal
loro valore e dalla loro velocità.
Dopo ripetuti tentativi di investigare la relazione fra elettricità e magnetismo, il
primo esperimento che mise in luce questa interconnessione ebbe luogo nel 1820 ad
opera del fisico danese Hans Oersted. Egli osservò che, inviando in un filo
orizzontale una corrente così intensa da poter trascurare l’effetto del magnetismo
terrestre, un ago magnetico libero solo di ruotare in un piano orizzontale sotto al filo,
si disponeva perpendicolarmente ad esso. Inoltre, quando il senso della corrente
viene invertito, l’ago ruotava su sé stesso di 180°. Si trattò di una scoperta
sorprendente perché sino a quel momento le forze in una interazione erano sempre
N
I
S
esperimento di Oersted
Si tratta di una semplificazione: dovremmo invece dire che le linee del campo magnetico non hanno né inizio né fine.
5 Una delle più belle applicazioni della teoria della relatività ristretta consiste nella possibilità di spiegare i fenomeni
magnetici solamente con la legge di Coulomb, purché si tenga conto della contrazione delle lunghezze di un corpo in
moto rispetto alle misure di quiete. È davvero sorprendente che per verificare i geniali risultati di Einstein basti ossevare
un oggetto di uso comune quale una piccola calamita. Una trattazione avanzata di questi aspetti si trova nel volume di
elettromagnetismo della celebre collana “La Fisica di Berkeley”.
4
267
state viste appartenere alla retta congiungente due particelle. L’interazione fra filo
elettrico e magnete osservata da Oersted, invece, presentava una geometria
inusuale. In accordo con la terza legge della dinamica, l’interazione magnete-filo è

reciproca, cioè anche un filo sede di corrente subisce l’azione di B . Di questa
proprietà ci serviremo per definire l’intensità del campo magentico.

Come si definisce l’intensità del vettore B ?
Dopo che si è individuata la direzione del campo magnetico con un aghetto, si
prende un piccolo tratto rettilineo di filo in cui si invia una corrente I , e lo si
dispone perpendicolarmente alle linee del campo. La lunghezza del tratto sarà tale da

poter considerare B uniforme lungo di esso. In questa situazione si osserva che il


campo esercita una forza F sul filo, avente direzione perpendicolare sia a B che al filo
stesso. Cambiando prima il valore di I e poi la lunghezza L del filo, si vede che ad
una maggiore corrente corrisponde una forza più intensa, così come è più intensa la

forza che agisce su di un tratto di filo più lungo. Se ne conclude che l’intensità |F | è

F
L

B
direttamente proporzionale sia ad I che ad L , e quindi direttamente proporzionale

al loro prodotto IL . Ciò significa che il rapporto |F | /IL è una costante di
I
proporzionalità che non dipende dagli strumenti adoperati, ma che esprime una

proprietà del punto in cui abbiamo fatto la misura. In quel punto il valore |F | /IL sarà
+
-
sempre lo stesso, indipendentemente dalla lunghezza del filo e dall’intensità della
corrente. Definiamo quindi operativamente:
 La Controfisica
Il tesla è una unità di misura molto
grande: il campo magnetico terrestre
vale mediamente 0.5x10-4T, mentre
una calamita da tavolo produce nei
dintorni un campo d’intensità
dell’ordine di 10-2T, ed anche gli intensi campi di un’apparecchiatura medica
per esami di risonanza magnetica non
superano 1.5T. I massimi campi magnetici realizzati artificialmente raggiungono i 40T.

B

F
I

B
Intensità del campo magnetico
Preso un tratto di filo rettilineo lungo L , in cui si ha una corrente I , perpendicolare

alle linee del campo B in un punto dello spazio, si definisce intensità del campo
magnetico in quel punto il rapporto:


|F |
|B | =
IL
pari alla forza per unità di lunghezza e per unità di corrente esercitata sul filo.

La definizione dell’intensità di B come forza per unità di lunghezza del filo e per unità
di corrente elettrica è concettualmente simile quella del campo elettrico come forza per
unità di carica: in entrambi i casi si rapporta la forza esercitata dal campo alle sue
sorgenti. Da questa definizione operativa si hanno le dimensioni fisiche del campo
magnetico: N/mA , a cui viene assegnato il nome di tesla6 ed il simbolo T .
Quali sono direzione e verso della forza se il filo non è perpendicolare al campo?

F
I

F

B
I
Indipendentemente dall’angolo che il filo forma col campo, la forza subita è sempre

perpendicolare al piano individuato dalla direzione di B e dalla corrente. Il verso di

F è tale che se qualcuno volesse ruotare il filo per farlo sovrapporre al campo
magnetico seguendo la via più breve, il vettore forza vedrebbe la rotazione avvenire ai

suoi piedi in senso antiorario. Possiamo pensare ad F come se fosse una persona la cui
testa è posta in modo da vedere che la via più breve lungo la quale I può ruotare,

per sovrapporsi a B , è quella antioraria. Può essere utile costruirsi un cartoncino
pieghevole con disegnati all’interno i tre vettori, da utilizzare come strumento per
individuare la direzione della forza, a partire da quelle del campo e della corrente.
J
6
Dal nome dello scienziato serbo Nikola Tesla (1857-1943), inventore del motore elettrico in corrente alternata.
268
Quanto vale l’intensità della forza se il filo non è perpendicolare al campo?

Le osservazioni sperimentali mostrano che, nel caso generale in cui B ed I formano un
angolo7 qualunque J , l’intensità della forza risulta proporzionale alla componente

|B | sin J del campo magnetico lungo la direzione della corrente.
Forza su di un filo percorso da corrente
Prendiamo un tratto rettilineo di filo lungo L , percorso da una corrente I , e sia J
l’angolo minore di 180 che I forma con il campo magnetico. In una regione dove il


campo vale B , il filo subisce una forza magnetica FM d’intensità:


|FM | = IL |B | sin J


La direzione di FM è sempre perpendicolare sia a B che alla corrente, ed il verso

tale che FM vede ai sui piedi in senso antiorario la rotazione di I per sovrapporsi a

B spazzando J . Queste proprietà vengono scritte in modo sintetico tramite il

simbolo “ ´ ” di prodotto vettoriale ed introducendo il vettore L , lungo quanto il filo
ed orientato come la corrente:

 
FM = IL ´ B
La presenza di sin J , sempre minore di 1 , fa si che il massimo valore della forza

magnetica si abbia quando B ed il filo sono perpendicolari fra loro e risulta sin J = 1 (è il


caso che abbiamo considerato per definire |B | ). La forza è invece nulla quando B e filo
hanno la stessa direzione, e risulta sin J = 0 . Per rappresentare la situazione sono
utili i simboli di vettore entrante nel foglio Ä , cioè dal lettore verso la pagina e
perpendicolare alla pagina stessa, e di vettore uscente dal foglio  , cioè dalla pagina
verso chi legge, sempre perpendicolare alla pagina. Quando il campo e la corrente

appartengono al piano della pagina, il verso di FM è allora  se per sovrapporre

I a B
spazzando l’angolo J < 180 dobbiamo girare in modo antiorario.
Viceversa, se la situazione è tale che noi vediamo quella stessa rotazione in senso

orario, allora il verso di FM sarà Ä , cioè dalla parte opposta del foglio rispetto alla
nostra (e dalla quale si vede quello stesso movimento avvenire in verso antiorario).
In certe situazioni torna pure comodo usare i simboli Ä e  anche per il campo
magnetico o per la corrente, come nell’esempio che segue.
Esercizi
2. Un circuito rettangolare i cui lati misurano L1 = 50.0 cm ed L2 = 30.0 cm , si
vettore
vettore
 uscente
Ä entrante

FM
Ä

B
I
J
J


B

B
Ä Ä
I

ÄB Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
I

FM
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
I
Ä
trova immmerso fino alla sua diagonale, in una regione sede di un campo magnetico

d’intensità |B | = 0.150 T , perpendicolare al piano del circuito come in figura.
Sapendo che nel filo si ha una corrente I = 2.50 A , calcolare l’intensità delle forze
esercitata dal campo su ciascuno dei lati del circuito e rappresentare i vettori
corrispondenti.
A subire una forza sono solo i due lati immersi nella regione dove c’è il campo. Il
campo magnetico è entrante nella pagina mentre la corrente appartiene al piano
della pagina, pertanto l’angolo che formano è sempre di 90°. Consideriamo il lato
lungo del circuito: affinché dalla testa del vettore forza si possa veder ruotare I in

modo antiorario per sovrapporsi al campo, F deve puntare verso l’esterno del
circuito, come in figura. Il suo modulo sarà:
7
Ricordiamo che per angolo fra due vettori si intende sempre un valore J < 180 , e quindi sin J > 0 .
269

Ä
Ä B ÄI Ä  Ä

F2
F1
Ä Ä Ä Ä Ä
Ä
Ä
Ä
Ä IÄ


|F1 | = IL1 |B | sin 90 = (2.50 ´ 0.500 ´ 0.150 ´ 1) N = 0.188 N
  

 







I 





B
B

I
N
O

B
I
Anche la forza sul lato corto deve puntare verso l’esterno del circuito per veder
ruotare la corrente in modo antiorario per sovrapporsi al campo:


|F2 | = IL2 |B | sin 90 = (2.50 ´ 0.300 ´ 0.150 ´ 1) N = 0.0750 N
3. Un circuito rettangolare di lati L1 = 50.0 cm ed
L2 = 40.0 cm ,
si trova
immmerso per metà in una regione sede di un campo magnetico d’intensità

|B | = 0.120 T , perpendicolare al piano del circuito come in figura. Sapendo che nel
filo si ha una corrente I = 1.60 A , rappresentare le forze esercitate dal campo su
ciascuno dei lati e calcolare l’intensità della forza risultante.
[R: 0.0768 N,in basso ]
4. Una corrente I = 8.00 A passa in un filo verticale, dal pavimento al soffitto, in
una stanza alta 2.70 m (visione dall’alto in figura). In quella stanza si ha un campo
magnetico costante, diretto dalla parete che si affaccia ad est alla parete che si
affaccia ad ovest, d’intensità 4.00 ´10-4 T . Si trovino direzione, verso ed intensità
E
[R: Nord - Sud, 8.64 ´ 10-3 N ]
della forza sul filo.
S
5. Una corrente I = 6.00 A passa in un filo verticale, dal soffitto al pavimento, in
una stanza alta 2.40 m . In quella stanza si ha un campo magnetico costante, diretto
da da sud-est a nord-ovest. d’intensità 3.20 ´ 10-4 T . Si trovino direzione, verso ed
intensità della forza sul filo.
I
120

B
[R: NordOvest - SudEst, 4.61 ´ 10-3 N ]
6. Un lungo cavo rettilineo che trasporta una corrente I = 4.50 A , attraversa una

regione in cui si ha un campo magnetico uniforme |B | = 6.00 ´ 10-4 T formando con
esso un angolo di 120 . Sapendo che il cavo subisce una forza magnetica
complessiva d’intensità 0.500 N , se ne calcoli la lunghezza L .
[R: 214 m ]
7. Un cavo rettilineo lungo L = 10.0 m trasporta una corrente I = 7.00 A attraversa

una regione in cui si ha un campo magnetico uniforme |B | = 3..00 ´ 10-4 T . Si calcoli
qual è la massima forza magnetica che può subire il cavo.

B
1
2

DL1

DL2

L

B
[R: 0.210 N ]
Quanto vale la forza su di un tratto curvo di filo in un campo uniforme?


Se il filo non è rettilineo andrà suddiviso in tanti piccoli segmenti DL1, DL2 ... e ad

 
ognuno di essi si potrà applicare la formula F = I DL ´ B . Il calcolo si semplifica

molto in un campo uniforme, poiché il vettore B può essere raccolto a fattor
comune:








 
F = I DL1 ´ B + I DL2 ´ B + ... = I (DL1 + DL2 + ...) ´ B = IL ´ B


Infatti la somma vettoriale dei tratti DL1 + DL2 + ... è il vettore spostamento risultante

L che unisce la posizione iniziale e quella finale (rispetto alla corrente) della
porzione di circuito sulla quale si vuol conoscere la forza. Nel caso particolare in cui
il percorso sia chiuso, cioè un qualunque circuito reale completo, l’inizio e la fine
 


coincidono, cioè L = 0 , e quindi anche FM = 0 .
In un campo magnetico uniforme, è nulla la forza magnetica risultante su di un
circuito completo dove la corrente è costante.
270
Non è invece nullo il momento torcente complessivamente esercitato, cioè un
circuito rigido, in campo magnetio uniforme, non trasla ma ruota, come vedremo
trattando il motore elettrico.
Esercizi
8. Un circuito ha la forma di una semicirconferenza chiusa, di raggio R = 0.600 m ,
di cui la sola parte curva è immersa in un campo magnetico uniforme d’intensità

|B | = 8.50 ´ 10-2 T , come in figura. Il circuito è poggiato su di un tavolino ancorato
  



B






I

2
con una catenella, la quale lo tiene in equilibrio tirando con una forza d’intensità
1.50 N . Calcolare la corrente nel circuito.
1
La catenella tira per equilibrare la forza magnetica, che agisce sul solo tratto curvo
del circuito, essendo il resto in una regione dove il campo magnetico è nullo. Poiché




 
B è uniforme possiamo calcolare FM tramite la formula FM = IL ´ B dove L è il

vettore spostamento che unisce i punti iniziale (1) e finale (2) del tratto curvo di


circuito. La regola per il prodotto vettoriale chiede che FM veda L ruotare ai suoi


piedi in senso antiorario per sovrapporsi a B , spazzando l’angolo di 90° che L

forma col campo. Quindi FM ha la direzione della catenella e verso tale da

allontanarsi dal suo punto di aggancio. Per l’intensità di FM risulta:




|FM | = IL |B | sin J = I 2R |B | sin 90 = 2RI |B |
Uguagliando la forza magnetica alla forza esercitata dalla catenella si ottiene la
corrente:


1.50 N
1.50
|FM | = 2RI |B | = 12.0 N  I =
A = 14.7 A
 =
2R |B |
2´ 0.600 ´ 8.50 ´ 10-2
9. Un circuito sede di una corrente I = 8.00A ha la forma di un quadrato di lato
 = 60.0 cm , in cui un quarto è stato sostituito da un arco di circonferenza di raggio
 /2 . Esso viene parzialmente immerso in un campo magnetico uniforme

|B | = 7.00 ´ 10-2 T come in figura. Calcolare la forza magnetica su ciascuno dei tratti
del circuito e quella complessiva.
   FM 



B


  
2

4

4

lati del triangolo, e la forza magnetica complessiva sul circuito.
[R: 0.169 N, 0.120 N, 0.120 N, 0 N ]
Come possiamo esprimere matematicamente l’assenza di monopòli magnetici?
Costruiamo ora una grandezza che chiameremo flusso magnetico attraverso una

superficie S, fS (B ) , concettualmente analoga a quella a suo tempo introdotta per il
campo elettrico, cioè con lo scopo di misurare quante linee di campo attraversano una
superficie qualsiasi. Avendo adottato il criterio di Faraday (per il quale le linee sono tanto
più ravvicinate quanto più il campo è intenso), sappiamo che il numero di linee per unità

di area che bucano ortogonalmente una superficie ove B sia uniforme, risulta
direttamente proporzionale all’intensità del campo. Il numero di linee per unità di area

può essere reso uguale (anziché solo proporzionale) all’intensità di B , facendo la scelta
di rappresentare un campo magnetico avente il valore unitario di 1 T con una linea per
ogni metro quadro di superficie. In tal modo abbiamo che, come per il campo elettrico, il
numero di linee di campo che attraversano una superficie piana è dato dalla componente
271


  I




B



4
[R: 0.0840 N, 0.238 N, 0.0840 N, 0.357 N ]
10. Un circuito ha la forma del triangolo costituito dalle diagonali di tre facce di un
cubo di spigolo s = 40.0 cm , come in figura. Il cubo è appoggiato su di un piano
orizzontale ed immerso in un campo magnetico verticale, uniforme, di intensità

|B | = 0.0500 T . Sapendo che I = 6.00A , calcolare la forza magnetica su ognuno dei
1
L

4

B
1
2
I
s
3


di B lungo la normale alla superficie (cioè |B | cos a , pari alle linee per metro quadro in
quella direzione) moltiplicata per l’area A della superficie:

B
n̂

|B | A cos a
a
a
A
A
A

Il segno del flusso magnetico elementare |B | A cos a è positivo se il campo attraversa la
 superficie nel verso della normale, negativo se la passa in verso contrario. Poiché in
B generale il campo non è uniforme e le superfici non sono piane, come già fatto per il
flusso
flusso
positivo
negativo

B è il numero di linee
per unità di area ortogonale

fS (B ) è il numero totale
di linee che attraversano S
campo elettrico, per ottenere il numero totale di linee che bucano una superficie
qualunque dovremo scomporla in tanti quadrati di area A , così piccoli da poter

considerare B uniforme al loro interno, ed addizionare i contributi di flusso provenienti
da ciascuno di essi:


fS (B ) =
B A cos a
å
L’unità di misura del flusso magnetico è il tesla per metro quadrato, per il quale si usa il
nome di weber (wb): 1 wb = 1 Tm 2 . Il flusso complessivo risulta positivo se il
numero di linee che bucano la superficie nel verso della normale è maggiore di
quelle che la passano in senso opposto ad essa, negativo se è minore, e nullo se il
numero di linee nei due versi è uguale.
Quanto vale il flusso magnetico attraverso una superficie chiusa?

Poiché non esiste il monopolo magnetico, le linee di B sono curve chiuse8: se calcoliamo
il flusso magnetico attraverso una superficie S chiusa, ogni linea che entra nello spazio
dentro S deve anche riuscirne, e quindi buca la superficie due volte con versi opposti,
così che il suo contributo al flusso magnetico risulta nullo. Analogamente sarà nullo il
flusso magnetico delle linee interamente racchiuse e di quelle totalmente esterne. Questa
proprietà è una via matematica per esprimere il fatto che non esiste il monopolo

magnetico, e si dice legge di Gauss per il campo B .
Legge di Gauss per il campo magnetico
Il flusso magnetico attraverso una superficie chiusa S è sempre nullo.

fS (B ) = 0
[S chiusa ]
L
2
3
Cos’è il flusso concatenato ad un percorso?
1

B
concatenata

B
L
flusso concatenato
positivo
Poiché le linee del campo magnetico sono curve chiuse, il flusso magnetico assume lo
stesso valore per tutte le superfici aperte che hanno una stessa curva chiusa L come
contorno, ad esempio le 1 , 2 e 3 in figura. Infatti, presa una qualsiasi linea di campo,
ci sono due possibilità: può essere concatenata ad L (vale a dire che non si può separare
da L senza aprirla, come la linee grande in figura, che forma con L una catena) oppure
può essere non concatenata, cioè separabile senza tagliarla (linea piccola in figura). Le linee
di campo concatenate ad L bucano lo stesso numero di volte tutte le superfici aventi contorno
L , ad esempio bucano una sola volta le 1 , 2 e 3 . Invece, le linee di campo non
concatenate ad L , non sempre bucano le superfici di contorno L , ma quando lo fanno è
sempre una volta in ingresso ed una in uscita, così che il loro contributo al flusso è nullo.
Questa proprietà fa si che si possa associare un valore di flusso direttamente alla curva
chiusa L senza individuare la superficie, dato che il numero di attraversamenti è lo stesso
per tutte le superfici aperte di contorno L . A questa grandezza si dà il nome di flusso
magnetico concatenato ad L . Nel caso in cui il contorno L abbia un suo orientamento,
possiamo assegnare un segno al flusso magnetico concatenato con la consueta regola
della mano destra, considerandolo positivo se disponendo il pollice della mano destra
8
Nei casi più complessi di quelli qui considerati, si tratta di curve senza inizio né fine.
272
nel verso in cui le linee di campo attraversano L , le dita lunghe girano nel senso
dell’orientamento di L .

B
Esercizi
11. Una scatola a forma di cubo di spigolo 40.0 cm è appoggiata sul pavimento di una
stanza dove si trova un campo magnetico uniforme di intensità 2.50 ´10-3 T . Sapendo

che le linee di B formano col pavimento l’angolo di J = 40.0 in figura, calcolare il
flusso magnetico complessivo attraverso tutte le facce che non poggiano sul pavimento.
40
Sappiamo che il flusso magnetico attraverso una superficie chiusa è sempre nullo, quindi
il flusso attraverso tutte le superfici che non poggiano deve essere uguale e contrario a
quello attraverso la superficie a contatto col pavimento, in modo che la somma sia zero.
Essendo il cubo una superficie chiusa, le normali sono tutte uscenti, quindi l’angolo che

B forma con la normale alla superficie appoggiata è:
a = 90.0 + J = 90.0 + 40.0 = 130
da cui si ha il flusso magnetico attraverso di essa:


fS -appoggiata (B) = |B | A cos a = (2.50 ´10-3 ´ 0.4002 ´ cos130) Tm2 = -0.257 Tm2
n̂
e quindi il flusso magnetico attraverso le altre:

faltrefacce + fS -appogg = 0  faltrefacce = - fS -appogg (B) = 0.257 Tm2

B
Il valore (a parte il segno) viene uguale perché si tratta del flusso magnetico concatenato
alla linea chiusa costituita dal perimetro della faccia appoggiata al pavimento.
n̂
45
12. Un paracadute a forma di semisfera di raggio R = 2.50 m sta atterrando in una
regione dove si trova un campo magnetico uniforme di intensità 5.20 ´10-3 T inclinato
di 45.0 rispetto alla normale al terreno. Calcolare il flusso concatenato alla linea formata
dal bordo del paracadute ed il flusso magnetico attraverso il paracadute stesso.

B a
[R: 0.102 Tm2 ]
13. Una cornice quadrata il cui lato esterno misura  1 = 30.0 cm ed il cui lato interno è
 2 = 25.0 cm viene posta su di un piano orizzontale in un campo magnetico uniforme
di 6.00 ´10-3 T inclinato di a = 20.0 rispetto alla direzione verticale. Calcolare il flusso
magnetico attraverso la superficie delimitata dalla cornice.
[R: 0.155 Tm2 ]
14. Calcolare il numero di linee di campo che attraversano una superficie quadrata di lato
 = 80.0 m la cui normale forma un angolo di 75.0 con un campo magnetico uniforme
6.00 ´10-2 T se si rappresenta l’intensità di 1 T con una linea per ogni metro quadro di
superficie ortogonale. Calcolare il numero massimo di linee che possono attraversare la
superficie.
[R: 131 linee, 384 linee ]

B
15. Calcolare il flusso magnetico concatenato ad un percorso chiuso avente la forma del
triangolo costituito dalle diagonali di tre facce adiacenti di un cubo di spigolo
s = 80.0 cm come in figura. Il cubo è appoggiato su di un piano orizzontale ed

immerso in un campo magnetico verticale, uniforme, di intensità |B | = 0.150 T .
s
[R: 4.80 ´10-2 Tm2 ]
273
2. Il motore elettrico in corrente continua
Come schematizzare l’azione meccanica di un campo magnetico su di un magnete?

F
N

B

-F
S
 La Controfisica
Direzione e verso delle linee del campo magnetico possono quindi essere
anche definiti come quelli della forza che
agisce sul polo nord di un aghetto. Piccoli
oggetti di forma allungata di numerosi
materiali, come ad esempio un bastoncino di ferro, si comportano nello
stesso modo dell’aghetto, perché appena immersi nel campo si magnetizzano, e quindi ruotano sino ad allineandosi lungo il campo stesso, ma va
detto che nella grande maggioranza
dei casi il momento delle forze è assai
debole.
I
Qual è l’azione meccanica del campo magnetico su di una spira di corrente?
h
Consideriamo ora una spira rettangolare di lati ,h percorsa da una corrente I , alla
quale con un supporto meccanico venga permesso solo di girare attorno ad un asse
orizzontale. Ci chiediamo quale sia il risultato delle forze magnetiche

complessivamente agenti su di essa ad opera di un campo B uniforme verticale. La
regola per la forza magnetica ci dice che sui due lati di lunghezza h agiscono, in


versi opposti, le due forze F2 ed F4 parallele all’asse di rotazione. Esse tendono solo a
I
I


F2
I

B

B
I

B
deformare la spira (cosa che non accade se essa è robusta) ma non hanno effetto
sull’unico movimento che le abbiamo consentito, cioè quello rotatorio attorno
all’asse. Osserviamo invece i due lati di lunghezza  : questi si mantengono sempre

perpendicolari al campo B , comunque ruoti la spira. Su di essi agiscono, in versi


opposti, le forze F1 ed F3 , entrambe aventi la stessa intensità:

F1

F4
I

F3
Un campo magnetico uniforme causa la rotazione di un magnete, ma non è capace di
produrre la sua traslazione. Ad esempio il campo terrestre, che è senz’altro uniforme
sulla piccola scala di un aghetto da bussola, ne causa l’orientamento in direzione
nord-sud, ma non la traslazione. L’aghetto semplicemente ruota fino a disporsi
lungo una retta tangente alla linea di campo in quel particolare punto. Poiché, come
sappiamo, una forza singola non può produrre rotazioni, questo tipo di azione può
essere schematizzato dicendo che tutto va come se sugli estremi dell’aghetto agisse

una coppia9 di forze, una applicata sul polo nord e diretta come B , ed una applicata

sul polo sud e di verso opposto a B , di risultante nulla. La direzione lungo cui l’ago
si allinea è quella in cui il momento della coppia diviene nullo. Viceversa, campi
mangetici non uniformi come quello fra i poli di un magnete, sono capaci di attrarre
oggetti di materiale ferromagnetico come spilli, chiodi o limatura, in prossimità dei
poli, cioè producono anche traslazioni. In una regione di spazio ove sia presente un

campo magnetico B non uniforme, l’aghetto magnetico, oltre a ruotare, trasla lungo
le linee di campo spostandosi nel verso in cui aumenta l’intensità10, cioè là dove le
linee di campo s’infittiscono, come espresso dal criterio di Faraday. Anche l’azione
di un campo non uniforme su di un magnete necessita di un sistema di almeno due
forze, applicate sui due poli del magnete, per essere schematizzata. In questo caso
però non si tratta più di più una coppia: le due forze infatti, oltre a far ruotare,
devono necessariamente avere una risultante non nulla che produce la traslazione
del magnete.




F1 = F3 = I  B sin 90 = I  B

(essendo il campo sempre perpendicolare alla corrente risulta sin J = 1 ). Le forze F1

ed F3 costituiscono una, cioè un sistema che fa ruotare la spira attorno al perno
girevole centrale. La capacità di far ruotare di una coppia viene espressa dal suo
momento torcente t (tau), pari al prodotto dell’intensità delle forze per la distanza fra le
loro rette di azione (detta braccio della coppia). In questo caso il braccio, distanza fra le
Richiamo: un sistema di due forze appartenenti allo stesso piano, aventi uguale intensità, parallele ma con versi opposti,
si dice coppia di forze. Il risultante di una coppia è chiaramente nullo. Il momento di una coppia indica la sua capacità di
far ruotare un qualunque segmento perpendicolare alle rette di azione delle forze. Detta b la distanza fra le due rette di
azione delle forze (braccio della coppia), il momento è definito dal prodotto b F ed indicato con la lettera greca τ (tau).
10 Quindi per stabilire la direzione delle linee di campo di una calamita occorre impedire all’ago di traslare, ad esempio
poggiando la bussola su di un piano con attrito.
9
274


B
ì
ï
rettte di azione delle due forze, è pari a h sin a , dove a è l’angolo che la normale al
ï

ï
sina

í
piano della spira forma col campo B :
ï
a
I F1
Ä
a
ï
ï
î





t = |F | h sin a = I h |B | sin a = IA |B | sin a
F3 I
Nell’ultimo passaggio abbiamo indicato con A = h l’area della spira. Mentre la
spira gira, tirata a destra ed a sinistra dalle due forze, il braccio diminuisce

B
progressivamente, finché non diviene nulla quando a = 0 e la superficie delimitata
dal circuito si trova essere attraversata perpendicolarmente dalle linee del campo. In  sin a = 0


quell’istante, essendo nulla la distanza fra le rette di azione di F1 ed F3 , la coppia

non è più capace di produrre rotazioni, e viene raggiunto un equilibrio. Come si
vede, il momento torcente sulla spira dipende dalla superficie A che il circuito
racchiude, e non contiene alcun dettaglio geometrico dovuto al fatto che si sia scelta
la forma rettangolare. Ciò suggerisce che anche per spire di forma differente, ad
esempio circolare, si debba ottenere per t la stessa espressione contenente A , ed
infatti questo è proprio quanto risulta da analisi più dettagliate.
I

F3

m
Ä

F1
I

A cosa possiamo paragonare il comportamento di una spira in un campo B ?
Immaginiamo un ago magnetico avente direzione perpendicolare al piano della
spira e nord orientato come il dito pollice di una mano destra le cui dita lunghe
girano nel verso della corrente. Posto in un campo magnetico l’aghetto ruoterebbe

fino ad allineare il suo asse con B , con il nord che punta come il campo. Allo stesso
modo fa la spira, che tende ad allineare con il campo la direzione normale all’area
da essa delimitata. Un’analisi più dettagliata mostra che la forma della spira non ha
alcuna importanza, e che il momento torcente è sempre proporzionale all’area, alla
corrente ed al seno dell’angolo formato dalla normale col campo. Si può quindi
stabilire una piena equivalenza fra un aghetto magnetico ed una spira percorsa da
corrente: un risultato che viene detto teorema di equivalenza di Ampère. Possiamo poi
generalizzare la relazione trovata per il momento torcente associando ad ogni spira
un vettore momento magnetico avente direzione e verso della normale alla spira, ed
intensità e verso tali che:

m = IAnˆ
ago magnetico equivalente
ad una spira circolare

B

m
a

t
Dove il versore n̂ orientato come l’ago magnetico equivalente alla spira. Con tale

scelta, l’azione meccanica di un campo B esterno su di una spira può sempre
esprimersi servendosi del simbolo “ ´ ” di prodotto vettoriale:

B

 
t = m ´B

Con questa scrittura sintetica intendiamo che una spira di momento magnetico m

(unità di misura Am 2 ) immersa un campo B , col quale la normale forma un angolo

a , subisce un momento torcente indicato dal vettore t . L’intensità del vettore


momento torcente vale | t | = IA|B |sin J (unità di misura Nm ), la sua direzione è


perpendicolare sia ad m che a B , ed il verso tale da vedere in senso antiorario la


rotazione di m che spazzando a si sovrappone a B (entrante nel foglio per il caso
in figura).
Come vengono sfruttate queste proprietà della spira per fare un motore elettrico?
Per far si che la spira funzioni da motore elettrico, è necessario che compia delle rotazioni continuative, senza fermarsi nell’istante in cui il campo la buca perpendicolarmente. Per fare questo si utilizza il commutatore, un dispositivo che ha lo scopo di
cambiare automaticamente il verso della corrente ogni mezzo giro. Il commutatore
275
I
 I
F2
I
+
-

F1
si serve di contatti che strisciano sulle due metà di un cilindro di metallo, dette spazzole, separate da un isolante, ognuna delle quali connessa ad un capo della spira che
deve ruotare. Non appena si invia una corrente I nel circuito, la spira si comporta
come un ago magnetico: qualunque sia la posizione di partenza, sotto l’azione delle


due forze F1 ed F2 in figura, inizia a ruotare portandosi con la superfice
perpendicolarmente al campo, in modo che il nord dell’ago ad essa equivalente punti

nel verso di B . In assenza del commutatore la rotazione qui si arresterebbe. In ogni
caso il fenomeno non sarebbe immediato, infatti per inerzia tenderebbe a scavalcare
l’equilibrio leggeremente, e poi oscillerebbe intorno ad esso per un po’, come un
pendolo attorno al punto più basso.

B
I
Ä
I

B

F1
I
Ä
-
-
+
+
I
prima metà
del giro
Il primo motore elettrico venne costruito da Michael Faraday a Londra
nel 1821. Si trattò del prototipo di
motore che oggi chiamiamo omopolare, diverso da quello descritto nel testo. Il circuito si chiudeva grazie ad
una vaschetta di mercurio, al centro
della quale c’era un magnete. e dentro
alla quale pescava una barretta metallica girandovi attorno. Faraday, che a
quel tempo era assunto come lavatore
di bottiglie nel laboratorio della Royal
Institution, costruì dei modellini con
il mercurio chiuso in un’ampolla e li
spedì ai maggiori fisici che si occupavano di elettricità in Europa.

F2

F1
I

F2

B

B
la spira scavalca il punto
di equilibrio per inerzia
-
I

F1
+
I
si inverte I e quindi
il verso delle forze

Nel preciso istante in cui il piano della spira si trova perpendicolare a B , il commutatore scambia automaticamente il lato della spira a contatto con il terminale positivo
della batteria con quello a contatto col negativo, e la corrente nella spira muta di verso. Di conseguenza cambiano di verso anche le forze sui lati che sono sempre perpendicolari al campo, permettendo alla spira di completare il mezzo giro mancante,
e poi il processo si ripete. Grazie al commutatore abbiamo realizzato un dispositivo a
batteria che ruota ininterrottamente, e che viene detto motore elettrico in corrente continua (cc).
Come possiamo aumentare il momento torcente del motore?
Nella pratica, il motore elettrico in corrente continua si costruisce avvolgendo del
filo in modo da formare un circuito composto da un numero N di spire: un grande
numero di avvolgimenti serve a moltiplicare l’efficacia dell’azione torcente esercitata
dal campo. Infatti, poiché l’area complessiva delimitata dal filo risulta ora NA , il
momento torcente che produce la rotazione vale:

t = NIA |B | sin a

F2
I
Si costruisce quindi un supporto che renda possibile la ruotazione attorno ad un asse
centrale appartenete al piano del circuito. Si dispone poi l’apparato fra i poli di un

magnete, dove si ha un campo B abbastanza uniforme e perpendicolare all’asse
attorno a cui la struttura può ruotare e si collega il commutatore ai capi della spira,
con i due contatti striscianti che chiudono il circuito sulla batteria.
Esercizi
16. Viene costruita una bobina con 100 avvolgimenti a sezione quadrata di lato
25.0 cm , ed in essi inviata una corrente I = 4.00 A . Si calcoli il momento torcente
esercitato su di essa da un campo magnetico uniforme d’intensità 5.00 ´10-2 T
276

B

F1
nell’istante in cui forma un angolo di 30.0 con la normale al piano della spira. Si
calcoli il massimo valore che tale momento torcente può assumere.
Dalla formula per il momento torcente di un motore in corrente continua:

t = NIA |B | sin a = (100 ´ 4.00 ´ 0.2502 ´ sin 30.0) Nm = 12.5 Nm
Il valore massimo si ha nel momento in cui la spira è bucata perpendicolarmente
dalle linee del campo magnetico ed a = 90 :

t = NIA |B | sin a = (100 ´ 4.00 ´ 0.2502 ´ sin 90.0) Nm = 25.0 Nm
a

F3
t max
17. Una spira circolare di raggio R = 4.00 cm è disposta con la normale che forma
un angolo J = 45.0 con le linee di un campo magnetico uniforme d’intensità
0.500 T . Nella spira si ha una corrente I = 0.300 A che appare antioraria ad un

osservatore verso cui sono dirette le linee di B . Calcolare il momento magnetico
della spira, il momento torcente che agisce su di essa e descriverne la rotazione.


[R: 1.51 ´ 10-3 Am2 , 0.534 ´ 10-3 Nm,m tende ad allinearsi a B ]
18. Una spira in cui si ha corrente I = 3.00 A ha la forma del triangolo costituito
dalle diagonali di tre facce di un cubo di spigolo s = 70.0 cm , come in figura.
Calcolare il suo momento magnetico. Il cubo è appoggiato su di un piano orizzontale

ed immerso in un campo verticale, uniforme, |B | = 9.00 ´ 10-2 T . Calcolare il
I
J

B
I

B
I
s
momento torcente esercitato dal campo e descrivere il movimento della spira.

[R: 1.27 Am2 , 0.0933 Nm,la superficie della spira tende a porsi ^ a B ]
I
3. La formula di Biot e Savart
Come abbiamo visto, le sorgenti del campo magnetico sono le correnti elettriche. È quindi
importante studiare la situazione più semplice che possa presentarsi, cioè esplorare
lo spazio intorno ad un filo rettilineo in cui si sia inviata una corrente d’intensità
costante I . Per semplicità porremo che il filo sia infinitamente esteso: in termini
pratici questo significa che il risultato della nostra analisi sarà valido solo per
distanze dal filo alle quali tutto va come se il filo fosse infinito, cioè molto minori della
sua lunghezza. Esporremo ora il legame quantitativo che le osservazioni mostrano

esistere, fra il valore I della corrente, ed intensità direzione e verso del campo B
che essa genera nello spazio intorno.

B
Quali caratteristiche hanno le linee di campo magnetico di un filo percorso da corrente?

Tramite un aghetto magnetico si osserva che intorno al filo esiste un campo B

avente simmetria cilindrica. Con questi termini intendiamo che le linee di B che l’ago
mostra sono circonferenze concentriche, centrate nel filo stesso e giacenti su piani
perpendicolari al filo. Il loro orientamento - cioè il verso in cui punta il nord dell’ago è quello indicato dalla seguente regola della mano destra:
Regola della mano destra per il campo magnetico di un filo
se si afferra il filo con la mano destra orientando il pollice come la corrente, le dita
lunghe si stringono intorno al filo puntando nel verso delle linee del campo
magnetico.
277

B
I

B
Come si esprime l’intensità del campo magnetico vicino al filo rettilineo?
Le osservazioni condotte per la prima volta nell’annno 1820 dai fisici francesi Jean
Biot e Félix Savart, mostrano che l’intensità del campo magnetico intorno ad un filo
in cui si invia una corrente I , si mantiene costante lungo ogni circonferenza
individuata dalle linee di campo. Il campo risulta tanto più intenso quanto
maggiore è I , e diviene sempre più debole man mano che il raggio r della

circonferenza aumenta, cioè |B | µ I /r . I risultati delle misure sono riassunti dalla
formula di Biot e Savart:
Formula di Biot e Savart
Nel vuoto (ma anche nell’aria o nell’acqua), intorno ad un filo rettilineo in cui è
presente una corrente stazionaria I , in un punto a distanza r dal filo si ha un
campo magnetico d’intensità:

m I
B = 0
2p r
le cui linee sono circonferenze centrate sul filo, appartenenti ad un piano ad esso
perpendicolare ed orientate secondo la regola della mano destra.
 La Controfisica
Il valore numerico di µ0 non è indipendente da quello di ε0 perché il
coulomb e l’ampere sono grandezze
legate, infatti 1A=1C/s. Abbiamo
quindi la libertà scegliere per una delle
due un valore comodo, e di dedurre
l’altra dalle misure, rispettando la relazione che le lega. Nel SI si misura:
ε0=8.85×10-12Nm2/C
e si sceglie per µ0 il valore esatto:
µ0=4π×10-7Tm/A
Si può dimostrar che la relazione che
lega queste due costanti è:
µ0
ε0=1/c2
dove c è il valore della velocità della
luce nel vuoto.
La costante m0 si chiama permeabilità magnetica del vuoto, e riveste un ruolo analogo a
quello di 0 in elettrostatica. Nel SI risulta:
m0 = 4p ´ 10-7 T ⋅ m/A
Esercizi
19. Un filo di rame ( rrame = 1.69 ´ 10-8 Wm ) di diametro 1.00 mm ,
è posto in
verticale e collegato fra pavimento e soffitto di una stanza alta 5.00 m . Alla distanza
di 6.00 cm dal filo si misura un campo magnetico di 0.200 ´10-4 T . Si calcoli la
differenza di potenziale fra il pavimento ed il soffitto.
Dalla formula di Biot e Savart ricaviamo la corrente nel filo:
2pr 
2p ´ 6.00 ´ 10-2 ´ 0.200 ´ 10-4
A = 6.00 A
I =
B =
m0
4p ´ 10-7
Calcoliamo la resistenza del filo di rame tramite la seconda legge di Ohm:
R=r
L
1.69 ´ 10-8 ´ 5.00
1.69 ´ 5.00
=
W=
´ 10-8+6 W = 0.108 W
2
A 3.14 ´ (1.00 ´ 10-3 /2)2
3.14 ´ 0.500
La corrente nel filo è legata alla differenza di potenziale ai suoi capi dalla prima
legge di Ohm:
DV = RI = (0.108 ´ 6.00) V = 0.648 V
20. Ad una distanza di 2.50 cm da un lungo filo rettilineo viene misurato un campo
magnetico di 0.300 ´10-4 T . Si calcoli quanto vale la corrente nel filo ed il campo che
[R: 3.75 A, 0.625 ´10-5 T ]
esso produce alla distanza di 12.0 cm .
21. Alle latitudini europee, il campo magnetico terrestre ha sulla superficie un
valore mediamente pari a 0.500 ´10-4 T . Una resistenza R = 0.300 W viene
collegata ad una batteria di fem 1.50 V tramite un filo di rame di resistenza
trascurabile. Calcolare la distanza dal filo a cui bisogna porsi per eguagliare
l’intensità del campo terrestre
[R: 2.00 cm ]
278
22. Un tostapane di potenza 660 W , funziona alla tensione di 220 V . Esso sfrutta
l’effetto Joule prodotto dalla corrente in un filo disposto a forma di serpentina lunga
oltre un metro. Calcolare il campo magnetico a distanza di 1.50 cm dalla serpentina.
[R: 4.00 ´10-5 T ]
23. Due fili perpendicolari al piano del foglio, distanti fra loro d = 2.50 cm , come in
figura, trasportano due correnti, I 1 ed I 2 , entrambe d’intensità 5.00 A , ma in versi

opposti. Calcolare l’intensità del campo risultante B , somma vettoriale dei due


campi B1 e B2 , nel punto P distante anch’esso d = 2.50 cm da ciascuno dei due

fili. Disegnare B .
[R: 4.00 ´10-5 T ]

B1

B2
P
I1
I2
d
24. Due fili perpendicolari al piano del foglio, distanti fra loro d = 2.50 cm , come in
figura, trasportano due correnti, I 1 ed I 2 , entrambe d’intensità 5.00 A , nello stesso

verso (uscente dal foglio). Calcolare l’intensità del campo risultante B nel punto P ,

distante anch’esso d = 2.50 cm da ciascuno dei due fili. Disegnare B .
[R: 6.93 ´10-5 T ]
P
d
d
I1
I2
d
25. Due fili perpendicolari al piano del foglio, distanti fra loro d = 4.00 cm , come in
figura, trasportano due correnti, I 1 = 5.00 A ed I 2 = 2.00 A , in versi opposti. Si
I1
calcoli il campo magnetico in un punto P a destra di I 2 , sulla linea che contiene i
I2
d
d
P
due punti in cui le correnti bucano il foglio, e distante altri 4.00 cm da I 2
[R: 0.25 ´10-5 T verso il basso ]
26. Due fili perpendicolari al piano del foglio, distanti fra loro d = 1.50 cm , come in
figura, trasportano due correnti, I 1 ed I 2 , entrambe d’intensità 6.00 A , nello stesso
verso, entrante nel foglio. Si calcoli l’intensità e si disegni campo magnetico nel
punto P posto sopra ad I 1 , sulla perpendicolare alla linea che contiene i due punti in
cui le correnti bucano il foglio, e distante 1.50 cm da I 1 .
[R: 1.27 ´ 10-4 T ]

B2
P

B1
d
I1
I2
d
27. Due fili perpendicolari al piano del foglio, distanti fra loro d = 9.00 cm ,
trasportano due correnti, I 1 = 3.00 A ed I 2 = 4.00 A in versi opposti. Calcolare a
quale distanza x da I 1 deve essere posto il punto P in figura in modo che vi si
I1
I2
P
[R: 3.86 cm ]
misuri un campo magnetico nullo.
x
Come si calcola l’intensità della forza fra due fili paralleli sede di corrente?
Due fili rettilinei paralleli, attraversati da correnti I 1 ed I 2 , si trovano immersi l’uno

B1
nel campo magnetico generato dall’altro: mostreremo ora che essi si attraggono
quando le correnti sono equiverse, e si respingono quando hanno versi opposti. Se la
distanza fra i fili è molto inferiore alla loro lunghezza, possiamo servirci della
formula di Biot e Savart per calcolare l’intensità del campo, e poi utilizzare la


relazione |F | = IL |B | sin J che lega il campo alla forza su di un filo lungo L , che
forma un angolo J col campo stesso. Consideriamo prima il caso in cui le due

correnti abbiano lo stesso verso e calcoliamo l’azione F21 esercitata da I 1 su I 2 . Il

campo B1 generato dal filo I 1 nella posizione dove si trova I 2 , è uscente dal foglio e
forma con I 2 un angolo J = 90 . Per il filo I 2 quindi tutto va come se si trovasse in

una regione di spazio sede di un campo magnetico uniforme. Come sappiamo, F21
279

F21
I2

F12
I1

B2
J

B1
I2

F21

dev’essere perpendicolare ad I 2 ed a B1 , ed il suo verso tale da veder avvenire in

senso antiorario la rotazione che, spazzando l’angolo J porta I 2 a sovrapporsi a B1 .
Questo produce una forza diretta verso I 1 e perpendicolare ad entrambi i fili, come

in figura. Nel vuoto e nell’aria si ha che |F21 | /L , cioè la forza per unità di lunghezza,

F21
vale:

B1
I2

B2
I1

F12

|F21 |
L

mI I
= I 2 B1 sin 90 = 0 1 2
2pd
Poiché la legge di azione e reazione impone che la forza esercitata da I 1 su I 2 sia
uguale e contraria a quella esercitata da I 2 su I 1 , la formula trovata fornisce anche

la forza per unità di lunghezza |F12 | /L subita dal filo I 1 . L’intensità della forza non
cambia se cambiamo il verso di I 2 , ottenendo due fili percorsi da correnti opposte.


In questo caso però, il vettore F21 , sempre perpendicolare ad I 2 ed a B1 , deve avere

F21
verso opposto a prima se vogliamo che continui a vedere in senso antiorario la

rotazione che porta I 2 a sovrapporsi a B1 . Per la terza legge della dinamica

cambierà anche il verso di F12 , producendo un’azione repulsiva fra i due fili.
I2

B1
J
Come si definisce l’ampere nel SI di misura?
Quando introducemmo l’unità di misura della carica elettrica, il coulomb,
spiegammo che tale grandezza viene definita a partire dalla corrente elettrica in
quanto la misura di corrente è assai più semplice sperimentalmente della misura di
carica. Possiamo ora dare la definizione di ampere, riconducendo la misura di
corrente a quella di una forza. Diremo dunque che se due fili rettilinei e paralleli a
distanza di un metro l’uno dall’altro, e percorsi da correnti uguali, si attraggono con
una forza per metro di intensità (m0 ⋅ 1 ⋅ 1)/(2p ⋅ 1) = 2 ´ 10-7 N/m essi sono percorsi
da correnti di un ampere.
Esercizi
28. I capi di due grossi cavi percorsi da correnti uguali ad I ed equiverse, sono
sospesi con dei fili sottili, e si avvicinano come in figura, con d = 2.00 cm . Sapendo
5.00
5.00
che la massa per unità di lunghezza dei cavi vale a = 3.00 ´ 10-2 kg/m , calcolare il
valore della corrente I .
d
5.00

T

F12
5.00

T

W

F12

W
Cosideriamo ad esempio il cavo di sinistra, che chiameremo cavo 1. Ponendo che il

tratto sospeso sia lungo L , su di esso agiranno: la forza magnetica F12 orizzontale e


diretta verso il cavo 2, il peso W , e la tensione T del filo sottile. L’intensità della
forza magnetica su di un tratto di filo lungo L e il peso dello stesso tratto, avente
massa pari ad m = aL , valgono rispettivamente:


mII
F12 = 0 1 2 L
W = mg = aLg
2pd




La situazione di equilibrio W + T + F12 = 0 impone che le forze siano lati di un
triangolo rettangolo di cui la tensione è ipotenusa, e uno degli angoli risulti 5.00 .
La misura del cateto opposto ad un angolo, rapportata alla misura del cateto
adiacente,
è
pari
alla
tangente
goniometrica
dell’angolo
stesso:


tan(5.00) = F12 / W . Sostituendo l’intensità delle forze in questa relazione si
ottiene il valore della corrente:
280

F12
mII
m I2
1
tan(5.00) =  = 0 1 2 L ´
= 0
2pd
a L g 2pdag
W
I =
2pdag ⋅ tan(5.00)
=
m0
2 p ´ 2.00 ´ 10-2 ´ 3.00 ´ 10-2 ´ 9.81 ´ 0.0875
4 p ´ 10-7
A = 50.7 A
29. I capi di due grossi cavi percorsi da correnti uguali ad I ma aventi versi opposti,
sono sospesi ad uno stesso punto tamite dei fili sottili, e si allontanano di un tratto
d = 1.50 cm , come in figura, formando un angolo di 6.00 . Sapendo che la massa
per unità di lunghezza dei cavi vale a = 1.20 ´ 10-2 kg/m , calcolare I .
6.00
[R: 21.5 A ]
30. Due spire circolari di raggio R = 15.0 cm sono affiancate a distanza
d = 4.00 mm e percorse dalle correnti I 1 = 2.00 A ed I 2 = 3.00 A , entrambe in
verso orario. Calcolare la forza con la quale si attirano.
d
I2
I1
[ R: 2.83 ´ 10-4 N ]
31. Due spire circolari molto leggere, di raggio R = 20.0 cm , sono tenute una sopra
all’altra e percorse dalle correnti I 1 = 6.00 A ed I 2 = 9.00 A , in versi opposti. Si
I2
I1
osserva che alla distanza d = 1.20 mm la repulsione magnetica equilibra il peso
della spira superiore. Calcolare la massa di tale spira.
[ R: 1.15 g ]
4. La legge di Ampère
Come viene definita la circuitazione magnetica?
In un piano perpendicolare al filo in cui si ha corrente I , consideriamo ora un
percorso chiuso, che circondi il filo stesso. In questa situazione si dice che la corrente è
concatenata al percorso, intendendo con questo termine il fatto che per separarla da esso
dovremmo aprirlo in un suo punto. Calcoliamo ora quella che viene detta la

circuitazione di B (o anche circuitazione magnetica) e cioè suddividiamo il percorso
in tanti tratti di lunghezza Ds e consideriamo il campo in ognuno di questi trattini.


Scomponiamo il campo in una componente B^ normale al trattino, ed in una B
parallela al trattino. Adesso percorriamo interamente la curva chiusa da noi scelta,
muovendoci in un senso che appaia antiorario ad un osservatore verso il quale si dirige la
corrente (nel momento in cui entra nel percorso). Lungo il tragitto addizioniamo tutti
i prodotti BDs dell’intensità B della componente parallela per la lunghezza Ds

del trattino stesso. Prenderemo con segno negativo solo i trattini dove B punta in
direzione opposta a quella scelta per fare il giro. Si ottiene così:

circuitazione di B = (B1Ds1  B2Ds2  ...) = SBDs
Per brevità a volte indicheremo la circuitazione del campo magnetico anche con il


simbolo C (B ) . Le dimensioni fisiche della cicuitaizione sono [C (B )] = T ⋅ m , come
risulta evidente esaminandone la definizione.
281

B

B

B
Dsi
I

B
In questa figura, I esce dal foglio, e
quindi il lettore è un osservatore verso il
quale sta avanzando la corrente. La circuitazione è pertanto calcolata muovendosi nel senso che appare antiorario al
lettore.
Di quali proprietà gode la circuitazione del campo magnetico di un filo?

B
DJ
I

B

B
circuitazione = m0I
I
Qualunque sia la forma reale del tragitto, è sempre possibile immaginare che un
percorso chiuso, in un piano perpendicolare al filo, sia composto solo di tratti radiali,
cioè disposti lungo semirette che partono dal filo, e di tratti circolari, cioè disposti su
archi di circonferenze centrate nel filo stesso. È infatti sufficiente disegnare attorno al
filo una quadrettatura sufficientemente fitta di questi elementi per approssimare
bene qualsiasi curva chiusa. Dato che le linee del campo magnetico generato da un
filo sono circonferenze, la componente B è sempre nulla sui tratti radiali, che quindi
non contribuiscono alla circuitazione. Sui tratti circolari la formula di Biot e Savart ci
assicura che la componente parallela corrisponde a tutta l’intensità del campo:
B = m0I /2pr . Se con DJ indichiamo l’angolo al centro, in radianti, corrispondente

all’arco Ds , risulta Ds = r DJ che sostituito nella formula per la circuitazione di B :
SBDs = 
circuitazione = 0
m0I
2p r 1
r1 DJ1 
m0I
2p r2
r2 DJ2  ... =
m0I
2p
(DJ1  DJ2  ...) =
m0I
2p
⋅ 2p = m0I
Nel calcolo si è sfruttato il fatto che al termine di un giro completo, la somma degli
angoli al centro (DJ1  DJ2  ...) è pari all’angolo giro 2p . Il risultato ottenuto
dice che la circuitazione del campo magnetico in un percorso concatenato ad un filo
non dipende dalla forma del percorso, ma vale sempre m0I .
Cosa cambia se il percorso non è concatenato oppure se è concatenato più volte?
Nell’eventualità di un percorso complesso in cui vi fossero angoli spazzati prima in
verso orario e poi antiorario, (cioè che per qualche tratto si vada avanti e poi
indietro), questi figurerebbero con segno opposto e si eliderebbero. Un percorso non
concatenato alla corrente spazza uno stesso angolo prima avanti e poi indietro e
quindi per esso si trova un valore nullo di circuitazione. Se invece la concatenazione
avviene più di una volta, ogni giro completo del percorso attorno al filo comporterà
la somma di un ulteriore angolo di 2p nella precedente formula, e quindi la corrente
andrà in tali casi moltiplicata per il numero di concatenzazioni.
La proprietà così dimostrata vale anche per i fili non rettilinei?
Nella semplice situazione di un filo rettilineo, ad una distanza per cui valga la legge

di Biot e Savart, abbiamo dimostrato che la circuitazione di B non dipende dalla
forma del percorso.
Questo risultato ha validità generale, e si applica ad un
qualunque numero fili, anche non rettilinei, e per percorsi curvi contenenti cappi che
possono essere più volte concatenati con uno stesso filo, e che nemmeno giacciono su
di un piano, e costituisce la legge di Ampère:
Legge di Ampère

La circuitazione magnetica C (B) = SBDs non dipende dalla forma del cammino
chiuso scelto, ma si ottiene moltiplicando per m0 la somma algebrica delle sole
correnti ad esso concatenate:

C (B ) = m0SI conc
Le correnti hanno segno positivo se si dirigono verso un osservatore che vede il
cammino orientato in senso antiorario, altrimenti negativo. Ognuna di esse figura
nella somma tante volte quanti sono i giri completi che il cammino gli compie
intorno.
282
A
Esercizi
32. Considerato il percorso chiuso ABCDA, calcolare attraverso di esso la
D
I3
I2
circuitazione del campo magnetico prodotto dalle tre spire di corrente I 1 = 4.00 A ,
I 2 = 5.00 A , I 3 = 3.00 A .
I1
Si vede subito che la corrente I 1 non è concatenata col percorso ABCDA in quanto
B
può esserne separata senza che lo si debba aprire. Pertanto la circuitazione del
campo che essa genera è nulla.
Sono invece concatenate col percorso scelto le altre due correnti I 2 ed I 3 .
C
Guardando la figura il lettore vede il cammino ABCDA orientato in senso
antiorario, quindi la corrente I 3 che entrando nella regione delimitata da esso,
avanza verso di lui avrà circuitazione positiva. Viceversa I 2 , che nel momento in cui
entra nella regiene delimitata da ABCDA si allontana dal lettore, avrà circuitazione
negativa. Sommando i due termini con i relativi segni otteniamo:
SBDs = m0I 2 - m0I 3 = m0 = 4p ´10-7 (3.00 - 5.00) T ⋅ m = -2.51´10-6 T ⋅ m
I1 Ä

33. Attraverso il cammino orientato in figura, calcolare la circuitazione del campo B
generato dai fili percorsi dalle correnti I 1 = 8.0A , I 2 = 6.0A , I 3 = 2.0A , I 4 = 1.5A .
I2
[R: 4.4 ´10 T ⋅ m ]

34. Attraverso il cammino orientato in figura, calcolare la circuitazione del campo B
generato dai fili percorsi dalle correnti I A = 4.0A , I B = 7.0A , IC = 5.0A ,
IB
[R: -5.7 ´ 10-6 T ⋅ m ]
I D = 2.5A .
I3
I4 Ä
-6
Ä
ÄI
IA
C
35. Considerato il percorso chiuso ABCDEFGHLMA, calcolare attraverso di esso la
circuitazione del campo magnetico prodotto dalle sole due spire di corrente
ID
[R: -6.28 ´10-6 T ⋅ m ]
I 1 = 3.00 A , I 2 = 4.00 A .
A
I1
36. Considerato il percorso chiuso ABCDEFGHLMA, calcolare attraverso di esso la
circuitazione del campo magnetico prodotto dalla sola spira di corrente I 3 = 6.00 A .
B
G
I2
F
E
Con riferimento all’esercizio precedente, si calcoli quale intensità dovrebbe avere I 3
H
I3
per rendere nulla la circuitazione magnetica complessiva.
[R: 7.54 ´ 10-6 T ⋅ m, 5.00 A ]
M
D
L
C
37. Calcolare la circuitazione magnetica del campo generato dai fili percorsi dalle
Ä
correnti I 1 = 5.0A , I 2 = 6.0A , I 3 = 1.0A attraverso il percorso a forma di “otto” in
I1
[R: 0.0 ´10-7 T ⋅ m ]
figura.
I2
I3
Come sono fatte le linee del campo magnetico all’interno di un avvolgimento di filo?
L’idea di avvolgere un filo ad elica nasce da una semplice intuizione: se, come dice la
legge di Biot e Savat, un filo rettilineo produce un campo magnetico circolare, allora
dando al filo le forma di una struttura chiamata solenoide, cioè un tubo fatto di
successivi avvolgimenti (non necessariamente circolari, ma ad esempio anche di
forma rettangolare, ovale ecc.), possiamo sperare di avere un campo magnetico
rettilineo. Per capire i meccanismi in azione, useremo un modello semplificato in cui
il campo magnetico di un solenoide è come se fosse dovuto ad una sequenza di
anelli staccati, ciascuno percorso dalla stessa I . Nella figura abbiamo raffigurata
una sezione di questi anelli, usando i simboli di corrente entrante nel foglio: Ä , ed
283
I
I
solenoide ad
avvolgimenti circolari
I

B
Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä

B 2
3
1


B=0
4
 La Controfisica
Per realizzare un solenoide compatto
il filo deve essere rivestito di un isolante, ad esempio uno smalto. In caso
contrario le spire si toccherebbero di
fianco ed il percorso della corrente
non sarebbe quello voluto. Il solenoide funziona come un magnete la cui
intensità può essere regolata dalla corrente, si tratta pertanto di un elettromagnete. È forse il più utilizzato fra i dispositivi magnetici: lo si trova nei
campanelli, nei generatori, decine di
essi sono assemblati in una radiolina,
in una lavatrice od in una lavastoviglie,
in un televisore, ed è il componente
fondamentale dei motori elettrici.
uscente da esso verso il lettore:  . Se ci poniamo molto vicino ad ogni porzione di
filo, cioè realizziamo un solenoide ideale a spire molto serrate fra loro, siamo nelle
condizioni della legge di Biot e Savart, ed osserveremo un campo magnetico a linee
circolari centrate nel filo e perpendicolari alle spire. Nello spazio interno si intuisce
che la composizione di questo campi circolari produce linee di campo sempre più
parallele all’asse centrale del solenoide man mano che ci si avvicina ad esso. Questa

intuizione è confermata dal fatto che B non può avere una componente radiale, cioè
perpendicolare all’asse centrale dell’elica, perché le sue linee devono essere chiuse. Se

infatti in un certo punto il verso di B fosse radiale ad esempio uscente dall’asse,
dovendo poi la linea chiudersi, in qualche altro punto il campo dovrebbe essere
necessariamente radiale entrante in esso. Ma questo è impossibile perché a causa
della simmetria cilindrica della struttura tutte le posizioni di osservazione devono
essere equivalenti: perché allora il campo dovrebbe essere in un punto diretto verso
l’asse ed in un altro uscire da esso? Muovendoci lungo l’asse del solenoide o
girando intorno ad esso, dovremmo trovare sempre la stessa configurazione nelle

linee di B . Il loro verso è ottenibile con una regola analoga a quella per la legge di
Biot e Savart: chiudendo le dita della mano destra nel verso della corrente, il pollice

punta come B .
Come si calcola l’intensità del campo magnerico del solenoide?
Per calcolare l’intensità del campo applichiamo la legge di Ampère ad un percorso
chiuso come il rettangolo 1234, coi lati 12 e 34 paralleli all’asse del solenoide, ed un

verso di percorrenza indicato in figura. Calcoliamo la circuitazione di B per via
diretta:
SBDs = B12Ds12 + B23Ds23 + B34Ds34 + B41Ds41
Infatti, se il campo non può essere diretto radialmente né dentro né fuori dal
solenoide, risultano nulle le componenti B23 e B41 lungo i lati del rettangolo
perpendicolari all’asse. Inoltre risulta nullo anche B34 perché fuori dal solenoide, i
contributi delle due pozioni di spira da un lato e da quello opposto all’asse si
elidono, analogamente a come si combinano all’interno. Questo è tanto più vero
quanto più si va lontano. Calcoliamo ora la stessa circuitazione per via diretta,
addizionando le correnti concatenate al percorso 1234. Se N è il numero di spire che
esso abbraccia, risulta:
SBDs = N m0I
eguagliando le due espressioni trovate si ha:
B12 Ds12 = N m0I  B12 =
 La Controfisica
Si noti che il campo magnetico di un
solenoide NON è proporzionale al
numero totale di avvolgimenti, bensì
al numero di avvolgimenti per unità di
lunghezza. Questo fa sì che lo stesso
numero di spire produca un campo
tanto più intenso quanto più esse vengono strette le une affianco alle altre.
N
mI
Ds12 0
Indicando con n = N /Ds12 il numero di spire per unità di lunghezza del solenoide, e


ricordando che |B | = B12 otteniamo infine B = n m0I .
Campo magnetico dentro ad un solenoide

Il campo B all’interno di un solenoide ha un andamento approssimativamente
rettilineo e costante, parallelo all’asse centrale, orientato come il pollice di una mano
destra che chiude le dita lunghe nel verso della corrente I . La sua intensità è
direttamente proporzionale ad I ed al numero n di avvolgimenti per unità di
lunghezza:
284

B = n m0I
Tutte queste caratteristiche approssimate sono tanto più precise quanto più siamo in
prossimità del suo asse centrale e quanto maggiore è n .
Esercizi
38. Un sottile filo di rame smaltato, lungo h = 40.0 m , di diametro d = 0.500 mm ,
viene avvolto ad elica con spire circolari, serrate a contatto fra di loro. Si calcoli
l’intensità del campo magnetico all’interno del solenoide così realizzato, quando i
capi del filo vengono collegati ad una batteria di fem = 4.50 V (resistività del rame
-8
d = 0.500 mm
r = 1.69 ´ 10 Wm ).
Per utilizzare la formula

B = n m0I , dobbiamo prima calcolare I ed n .
La seconda legge di Ohm lega la resistenza R del filo alla sua lunghezza h ed alla
sua sezione A = p(d /2)2 :
R=r
h
h
=r
A
p(d /2)2
che inserita nella prima legge di Ohm fornisce la corrente I nel solenoide:
I =
p(d /2)2
3.14 ´ (0.250 ´ 10-3 )2
DV
= DV
= 4.50 ´
A = 1.31 A
R
rL
1.69 ´ 10-8 ´ 40.0
Essendo le spire serrate a contatto (il filo è smaltato con un isolante), ognuna di esse
contribuisce alla lunghezza totale del solenoide con uno spessore pari al suo
diametro. Il numero n di spire in un metro di lunghezza si trova pertanto facendo il
rapporto:
1.00 m
1.00
spire/m = 2000 spire/m
n=
=
d
0.500 ´ 10-3
da cui si ha per il campo magnetico:

B = nm0I = (2000 ´ 4 ´ 3.14 ´10-7 ´1.31 )T = 3.29 ´10-3 T
Per avere un’idea dell’ordine di grandezza di tale campo, lo si confronti con quello
terrestre alle latitudini italiane, che è circa 0.5 ´10-4 T .
39. Un solenoide è realizzato con 140 avvolgimenti ogni centimetro, ed ha una
resistenza complessiva di R = 50.0 W . Si calcoli il campo magnetico al suo interno
quando i capi sono connessi ad una batteria di fem = 1.50 V .
[R: 5.28 ´ 10-4 T ]
40. Si calcoli quanta corrente deve essere inviata in un solenoide lungo L = 15.0 cm ,
costituito da 210 avvolgimenti circolari, per produrre un campo di 0.300 ´10-4 T al
suo interno.
[R: 17.1 mA ]
41. Una corrente I = 5.00 A viene inviata in un solenoide di filo di rame
(r = 1.69 ´ 10-8 Wm) , ed il campo al suo interno risulta essere 2.00 ´10-4 T . Si
calcoli la sezione del filo usato e la lunghezza del solenoide sapendo che le spire
sono serrate a contatto e che la sua resistenza è R = 5.00 ´ 10-4 W . Si dica cosa
succede al campo se il filo viene sostituito con uno ugualmente lungo ma di sezione
[R: 31.1 mm2 , 91.9 cm,1.42 ´ 10-4 T ]
doppia, mantenendo la stessa corrente.
42. Il flusso magnetico attraverso un piano perpendicolare all’asse di un solenoide
vale 7.70 ´ 10-7 Tm 2 . Sapendo che il solenoide è composto da un filo di diametro
1.00 mm lungo L = 7.00 m avvolto in 100 spire circolari strettamente serrate,
calcolare la corrente che vi scorre.
[R: 0.159A ]
285

B
ÄI Ä Ä Ä Ä Ä

B
120
n̂
43. Al centro di un grande solenoide lungo L = 2.00 m costituito da N = 800 spire
circolari, si pone una piccola spira circolare anch’essa, di raggio R = 1.50 cm ,
percorsa da una corrente I S = 0.300A . Nell’istante in cui la cui normale alla spira
IS
forma un angolo J = 120 con il campo magnetico del solenoide su essa agisce un

momento torcente di intensità | t | = 9.00 ´ 10-7 Nm . Calcolare la corrente I nel
[R: 9.76A ]
solenoide.
44. Un solenoide lungo L = 90.0 cm è costituito da N = 450 spire quadrate di lato
 = 2.00 cm percorse da corrente I = 6.00A . Calcolare l’intensità della forza con cui
[R: 5.76 ´10-4 N ]
si attirano fra loro due spire.
5. Particelle cariche e campo magnetico

FL
q

B
J
Abbiamo visto che un tratto di filo rettilieo lungo L , percorso da una corrente I

stazionaria, se viene immerso in un campo B uniforme che forma un angolo J con


la corrente stessa, subisce una forza d’intensità |F | = IL |B | sin J . Sappiamo anche

che la corrente stazionaria è legata alla velocità v delle cariche nel filo ed al numero
di cariche per unità di volume n dalla relazione I = nAqv , dove A è la sezione del
filo e q > 0 il valore di ciascuna carica che costituisce la corrente. Sostituendo si ha:


|F | = nALqv |B | sin J

v
La quantità AL è il volume del filo, che moltiplicata per n produce il numero totale
di cariche nel filo il cui spostamento costituisce la corrente. Pertanto l’intensità della

forza su di una singola particella carica, che viene detta forza di Lorentz FL si ha
dividendo ambo i membri dell’equazione precedente per nAL . Si usa per la forza di
Lorenzt il simbolo “ ´ ” di prodotto vettoriale:

 
FL = qv ´ B

v
q

B
Con questa scrittura sintetica intendiamo che una carica q > 0 in moto con velocità



v in un campo magnetico B , col quale v forma un angolo J , subisce una forza




 
FL d’intensità |FL | = q |v ||B | sin J , e direzione perpendicolare sia a v che a B , e

verso tale da vedere in senso antiorario la rotazione di v che spazzando J si

sovrappone a B (in senso orario se q < 0 ). La forza di Lorentz risulta quindi nulla
se la carica si muove con velocità parallela alle linee del campo magnetico, mentre


assume valore massimo se v ^ B .
Cosa accade ad una carica in moto in una regione sede di campo magnetico uniforme?
L’azione della forza di Lorentz è sempre perpendicolare alla velocità della carica e

cioè alla sua traiettoria. Questo significa che FL non compie mai lavoro, e quindi se
essa è l’unica forza ad agire, la velocità potrà subire solo cambiamenti di direzione o
di verso, ma non d’intensità, dovendo conservarsi l’energia cinetica. Pertanto se una

particella di carica q > 0 e massa m in moto con velocità costante v entra in una
regione sede di un campo magnetico uniforme, si presentano tre possibilità, a
seconda che si abbia J = 0 , J = 90 oppure J qualsiasi.
286

B

(1) Se la velocità è inizialmente parallela a B ( J = 0 ), la particella prosegue
indisturbata di moto rettilineo uniforme, essendo nulla la forza di Lorentz.
(2) Se la velocità è inizialmente perpendicolare al campo magnetico ( J = 90 ), e

quindi non ha componenti in direzione di B , la forza di Lorentz non può

cambiare questa situazione, dato che essa non ha mai una componente lungo B .
Pertanto il moto avviene in un piano ortogonale al campo magnetico, ed in
questo piano la particella subisce continuamente una forza d’intensità costante
 
q |v ||B | perpendicolare alla velocità, e quindi alla traiettoria. Ma una forza
costante sempre perpendicolare alla traiettoria, è una forza centripeta, che come
sappiamo costringe la particella a muoversi su di una circonferenza di raggio
costate R tale che:

forza
|FL | = centripeta

2
 
m |v |
q |v ||B | =
R

R=

m |v |

q |B |

v

FL
q
q gira in modo da produrre

un campo opposto a B

v

FL
Come si vede, il valore di R è maggiore quanto più grandi sono la massa e la
velocità, mentre è tanto minore quanto più intenso è il campo magnetico e più
grande la carica della particella (se q < 0 nella formula va | q | ). Calcoliamo ora
T=
2pm

q |B |
f =
R

v

FL

B

v

q |B |
2pm
Periodo e frequenza sono indipendenti dalla velocità iniziale della particella, e
quindi costituiscono una proprietà della carica in quel dato campo. Il valore di f
viene detto frequenza di ciclotrone. Mentre la particella gira, produce anch’essa un

campo magnetico, il cui verso è opposto a quello di B .
(3) L’eventualità più generale è che la velocità iniziale formi un angolo qualunque J

col campo B (uniforme). Questo caso può essere trattato come la

sovrapposizione dei precedenti in quanto possiamo scomporre v in una


che non viene
componente v// parallela al campo, d’intensità |v |cos J ,


disturbata, ed in una componente v^ ortogonale al campo, d’intensità |v | sin J ,
che

FL

v
periodo e frequenza11 di questo moto. Moltiplicando la velocità per il periodo si

ottiene il perimetro della circonferenza |v |T = 2pR , da cui inserendo R :

FL

B

v

v//

v^
q
dà
luogo ad un moto circolare uniforme, stavolta di raggio


R = m |v | sin J/ q |B | . La composizione del moto circolare uniforme con quello
rettilineo uniforme in direzione ad esso perpendicolare produce una traiettoria a
forma di elica, che un osservatore verso cui è diretto il campo vede girare in
senso antiorario.
elettrone e protone
45. Un fascio di protoni emesso con energia cinetica trascurabile, viene accelerato da
una differenza di potenziale di DV = 1.20 ´ 106 V e poi immesso in una regione in
cui si ha un campo magnetico d’intensità 0.800T perpendicolare alla traiettoria delle
particelle. Calcolare l’energia di queste particelle in elettronvolt (eV) ed il raggio
dell’orbita circolare che descrivono.
11
Richiamo: in un moto periodico si dice periodo T il tempo che occorre per completare un ciclo e frequenza f il numero di cicli
completati in un secondo. Risulta f=1/T.
287
m p = 1.67 ´ 10-27 kg
ma = 4m p q a = +2e
me = 9.11 ´ 10-31 kg
+ e = 1.60 ´ 10-19 C
1eV = 1.60 ´ 10-19 J
I protoni hanno massa m p = 1.67 ´ 10-27 kg
e carica +e = 1.60 ´ 10-19 C . Se
accelerati da DV = 1.20 ´ 106 V acquistano un’energia cinetica pari al guadagno di
energia potenziale q DV :

1
K = m |v |2 = (+e)DV = (1.60 ´ 10-19 ´ 1.20 ´ 106 )J = 1.92 ´ 10-13 J
2
Si chiama un elettronvolt l’energia acquistata da una partcella avente la carica +e che
si sposta fra due punti dove la differenza di potenziale vale 1V :
1eV = (+e) ´ 1V = 1.60 ´ 10-19 J
sono spesso utilizzati i multipli kiloelettronvolt 1keV = 103 eV e megaelettronvolt
1MeV = 106 eV . L’energia dei protoni del problema in elettronvolt vale allora:

1
1.92 ´ 10-13
eV = 1.20 ´ 106 eV = 1.20 MeV
m |v |2 =
-19
2
1.60 ´ 10
La velocità risulta:
K=

2K
1.92 ´ 10-13
|v | =
=
m/s = 1.07 ´ 107 m/s
-27
m
1.67 ´ 10
Da cui si ricava il raggio dell’orbita:

m |v |
1.67 ´ 10-27 ´ 1.07 ´ 107
m = 0.140 m = 14.0 cm
R=
 =
q |B |
1.60 ´ 10-19 ´ 0.800
46. Un protone sta seguendo una traiettoria circolare in un campo magnetico
uniforme ed impiega 1.50ms per compiere una rivoluzione. Calcolare l’intensità del
campo. Calcolare quanto durerebbe la rivoluzione di una particella alfa.
[R: 4.37 ´ 10-2 T,3.00ms ]
47. Un elettrone sta descrivendo una traiettoria circolare di raggio 3.00cm in un
campo magnetico unifome d’intensità 0.0140T . Calcolare la velocità dell’elettrone e
[R: 7.38 ´ 107 m/s,15.5 keV ]
sua energia in elettronvolt.
48. Per misurare l’intensità di un campo magnetico uniforme si invia, perpendicolarmente alle sue linee, un fascio di elettroni emessi con energia cinetica
trascurabile, ed accelerati tramite una differenza di potenziale di 400V . Si osserva
che gli elettroni seguono una traiettoria circolare di raggio 8.00 cm . Calcolare
l’intensità del campo magnetico e la frequenza del moto.
[R: 59.6 μT,1.67 MHz ]
49. Un protone in moto rettilineo uniforme a velocità 8.00 ´ 106 m/s entra in una
regione sede di un campo magnetico uniforme d’intensità 0.600 T , le cui linee
formano un angolo di 30.0 con la traiettoria iniziale della particella. Si calcoli il
raggio della traiettoria ad elica descritta e la distanza fra due spire successive (passo),
considerato che per passare da una spira all’altra viene impiegato un tempo pari al
periodo.
[R: 6.96 cm, 75.5 cm ]

B

FL

E

qE

v
selettore
di velocità
Come funziona il dispositivo detto selettore di velocità?
Un fascio di atomi ionizzati di carica q viene inviato in una regione ove siano


presenti un capo elettrico E ed un campo magnetico B perpendicolari fra loro. La
direzione iniziale del fascio è ortogonale ad entrambi i campi, ma poiché ciascuna

particella subisce l’azione, in versi opposti, della forza elettrica d’intensità q |E | e
 
della forza di Lorentz q |v ||B | , se le velocità delle particelle del fascio sono diverse,
saranno diverse anche queste due forze. Così alcune particelle devieranno in una
direzione ed altre in quella opposta, a seconda che sia maggiore la forze di Coulomb
288
o quella di Lorentz. Proseguiranno di moto rettilineo uniforme solo quelle con
velocità tale da eguagliare le due intensità:

 
q |v ||B | = q |E |



|E |
|v | = 
|B |
Quindi in direzione perpendicolare ai due campi si produce un fascio di particelle
 

tutte in moto rettilineo uniforme alla stessa velocità |v | = |E |/|B | , e per questo
motivo il dispositivo viene detto selettore di velocità.

B'
235

v
Come funziona il dispositivo detto spettrometro di massa?
U
Lo spettrometro di massa è un dispositivo per misurare la massa di una molecola,
dopo averla ionizzata. Più precisamente esso separa le molecole di un campione


secondo il valore m /q del rapporto fra la loro massa e la loro carica. Il campione della
FL
qE
sostanza viene fatto evaporare per riscaldamento (che spesso provoca anche la
frammentazione della molecola) viene ionizzato per bombardamento con elettroni e
q
poi inviato in un selettore di velocità, che lascia passare solo quelli aventi
 

|v | = |E |/|B | . Questi entrano in una regione, detta camera di deflessione, dove è
intensità

presente un secondo campo magnetico B ¢ e qui descrivono delle cironferenze di 100 relativa
raggio tanto maggiore quanto più grande è m /q :
80


m |v |
m |E |
R=
 =
 
q |B ¢ |
q |B ¢ ||B |
40
e quindi in un punto in cui le traiettorie sono abbastanza divaricate si raccolgono i
depositi di molecole con massa differente ed uguale carica (ad esempio se ionizzate

entrambe una sola volta). Cambiando poi il valore dell’intensità di B ¢ si può
esporare il campione selezionando ioni con altri valori di m /q . Gli spettri di massa
sono presentati in forma di istogrammi, come l’esempio in figura per l’anidride
carbonica, dove si osservano anche i frammenti dell’atomo originario di CO2 . Le
dimensioni di uno spettrometro di massa possono andare da quelle di una scatola
ad un intero laboratorio. Viene utilizzato in generale in una grande quantità di
processi in ambiti diversi, da quello forense a quello sanitario a quello sportivo. Ad
esempi serve per separare i gas della respirazione e conoscerne in tempo reale la loro
composizione durante un’anestesia; per rivelare l’uso di steroidi da parte degli atleti;
per il controllo delle fermentazioni, per esami di alimenti eccetera.
Come ci si serve dello spettromento di massa per l’arricchimento dell’uranio?
Consideriamo il cosiddetto processo di arricchimento dell’uranio, l’elemento a 92
protoni che funge da sorgente energetica per le centrali a fissione nucleare e per la
bomba atomica. L’uranio si presenta in natura principalmente in forma di
143 neutroni, cioè in tutto 92+143=235 particelle nel nucleo), la seconda è
235
U (con
238
U (con
146 neutroni e cioè in tutto 92+146=238 particelle nel nucleo). Gli atomi
235
U ed
238
U sono entrambi chiamati uranio, e detti isòtopi, perché hanno le stesse proprietà
chimiche. Infatti entrambi sono dotati di 92 elettroni, ed è questo che determina il
modo in cui reagiscono chimicamente con gli altri elementi. Ma per quel che
riguarda le proprietà nucleari, la differenza nel numero di neutroni diviene
importante: soltanto l’isotopo leggero 235U può essere utilizzato nelle reazioni
nucleari a catena. Quando viene estratto, il minerale di uranio contiene i due isotopi
289
U
spettrometro
di massa
44
CO 2-
60
20
miscelati in una percentuale naturale di 0.7% per
238
235
U e 99.3% di
238
U . Per
-
C
O-
CO-
16
28
12
10
20
m /q
30
40
 La Controfisica
Per la datazione delle sostanze organiche
si usa lo spettrometro di massa allo
scopo di separare l’isotopo radioattivo del
carbonio, il C-14, che ha due neutroni
in più dalla comune forma C-12.
L’anidride carbonica nell’atmosfera
contiene 1 isotopo di radiocarbonio
ogni mille miliardi di atomi C-12.
Questa percentuale è mantenuta fissa
dal continuo bombardamento da parte
dei raggi cosmici, e la stessa percentuale si ritrova nei vegetali, che di anidride carbonica vivono grazie al processo di fotosintesi. Finché un organismo si nutre di vegetali (o di animali
che lo hanno a loro volta ricevuto dai
vegetali), si ritrova nelle ossa del radiocarbonio in quella stessa proporzione. Ma alla sua morte cessa il nuovo apporto e la percentuale di C-14
diminuisce, perché esso è instabile e si
trasforma in C-12 in ragione di 12
“decadimenti” per grammo ogni minuto. Con tale ritmo ogni 5730 anni la
quantità di C-14 è dimezzata. Una
volta separati C-12 e C-14 basta allora
contare i decadimenti per minuto per
grammo: se ad esempio sono 12 ogni
2 minuti il campione avrà 5730 anni,
se sono 12 ogni 4 minuti, 11460 anni e
così via. Perché la tecnica sia affidabile
occorre però conoscere la percentuale
di radiocarbonio nell’ atmosfera ai
tempi in cui l’organismo era vivo.
alimentare una centrale nucleare occorre uranio con una percentuale del 4% di 235U
(uranio arricchito con gradazione al livello di reattore) mentre per realizzare una
bomba all’uranio occorre un campione quasi puro di 235U , che raggiunga il 90%
(gradazione al livello delle armi). Questi livelli sono raggiunti inviando il gas delle
miscela dei due isòtopi ionizzati (ognuno perde un elettrone quindi hanno uguale
q ) in un tipo apposito di spettrometro di massa12. Qui si avranno allora due depositi
D

B
G
S

B
ciclotrone
separati, con il campione di 235U , più leggero, che descrive una traiettoria di raggio
più piccolo a causa della minore massa.
Quali principi sfrutta un ciclotrone?
D
La produzione di fasci di ioni o di particelle subatomiche cariche (protoni, elettroni,
antiprotoni, positroni) ad alte energie cinetiche risulta importante per scopi medici,
industriali o di ricerca. Si può pensare di far raggiungere un’elevata velocità alle
particelle servendosi di acceleratori in linea retta, inviando le cariche in un campo
elettrico uniforme. Questa soluzione richiede però di aumentare la lunghezza del
dispositivo ogni volta che si desidera raggiungere un’energia maggiore rispetto a
prima. Gli acceleratori circolari invece ottengono lo stesso scopo facendo ripassare
continuamente la particella in una regione dove viene confinata grazie ad un campo
magnetico, e qui accelerata da un campo elettrico alternato. Con queste finalità nasce
intorno al 1930 il ciclotrone, da un’idea di Ernest Lawrence. Il ciclotrone è costituito
da due conduttori carichi aventi la forma di lettere “D” cave al loro interno, separate
da uno spazio dove è localizzata la sorgente di particelle. Le D sono immerse in un

campo magnetico uniforme B come in figura, e collegate ad un generatore
differenza di potenziale alternata G . Le particelle emesse dalla sorgente S posta
nello spazio fra le D sono inizialmente accelerate in questa regione dal campo

elettrico prodotto da G fino ad arrivare a velocità v1 , e poi entrano in una delle due
cavità conduttrici a forma di D, dove gli effetti elettrici sono schermati. Nelle cavità
subiscono quindi solo l’azione del campo magnetico, e cioè seguono una traiettoria


semicircolare, che abbiamo visto avrà raggio R1 = m |v1 | / q |B | . Al termine del
primo mezzo giro tornano nella regione fra le D dove vengono di nuovo accelerate

dal campo elettrico fino a velocità v2 , e poi entrano nella seconda D, dove
descrivono una semicirconferenza di raggio maggiore della prima:


R2 = m |v 2 | / q |B | . Il processo va avanti finché il raggio della traiettoria non
diviene uguale a quello delle cavità, quindi la particella, che ha guadagnato energia
cinetica, viene fatta uscire. Per poter agire nel modo descritto, il campo elettrico
prodotto da G nello spazio fra le due cavità deve essere oscillante e cambiare di

verso ogni semicirconferenza. Sappiamo che la frequenza di ciclotrone f = q |B | /2pm
cioè il numero di traiettorie circolari che una particella descrive intorno alle linee di
un campo magnetico uniforme, non dipende dalla velocità iniziale. Da questa proprietà
segue che le varie spinte acceleratrici che la particella riceve nello spazio fra le D non
cambiano mai questo numero. Per poter dare le spinte acceleratrici al momento
giusto il generatore deve allora fornire una differenza di potenziale oscillante
proprio alla frequenza di ciclotrone, producendo così un campo elettrico fra le D che
cambia di verso ogni mezzo giro.
Esercizi
50. Un fascio di protoni viene accelerato in un piccolo ciclotrone di raggio
R = 10.0 cm dove il campo magnetico vale 1.50 T . Calcolare la frequenza del moto e
l’energia cinetica delle particelle che escono dal ciclotrone.
12
Detto calutron, inventato da E. Lawrence durante il progetto Manhattan per la realizzazione della prima bomba atomica.
290
Si tratta di calcolare la frequenza di ciclotrone corrispondente ad una particella di
massa m p = 1.67 ´ 10-27 kg e carica +e = 1.60 ´ 10-19 C :

(+e)|B |
1.60 ´ 10-19 ´ 1.50
Hz = 2.29 ´ 107 Hz = 22.9 MHz
f =
=
2pmp
6.28 ´ 1.67 ´ 10-27
Si tratta di una una frequnza radio compresa fra a quella delle onde AM ( 1 MHz ) e
quella della onde FM ( 100 MHz ). Per l’energia cinetica occorre la velocità finale:


q |B | R
1.60 ´ 10-19 ´ 1.50 ´ 0.100
|v | =
m/s = 1.44 ´ 107 m/s
=
m
1.67 ´ 10-27
nel ciclotrone non si arriva mai a velocità relativistiche ( c = 3.0 ´ 108 m/s ).

1
1
K = m |v |2 = ´ 1.67 ´ 10-27 (1.44 ´ 107 )2 J = 1.73 ´ 10-13 J
2
2
51. Calcolare il raggio che deve avere un ciclotrone in cui il campo magnetico sia
4.00 T per riuscire ad accelerare dei protoni fino all’energia di 25.0 MeV ,
specificando il valore della velocità finale raggiunta delle particelle in rapporto alla
velocità della luce c = 3.00 ´ 108 m/s .
[R: 0.231c,18.1 cm ]
52. Uno spettrometro di massa utilizza un selettore di velocità in cui il campo


elettrico misura |E | = 2.00 ´ 103 N/C ed il campo magnetico |B | = 4.00 ´ 10-2 T ,

mentre nella camera di deflessione si ha un campo |B ¢ | = 2.00 ´ 10-2 T . Calcolare la
velocità ed il raggio della traiettoria di una particella alfa che attraversi lo strumento
[R: 5.00 ´ 10 4 m/s, 5.22 cm ]
(m a = 4m p , q a = +2e) .
53. Un fascio composto da ioni di atomi di carbonio-12 e di carbonio-14 ( 126C + e
14 +
C
6
) viene inviato in uno spettrometro di massa dove nel selettore risulta


|E | = 1.50 ´ 103 V/m e |B | = 8.00 ´ 10-3 T , mentre nella camera di deflessione

|B ¢ | = 1.80 ´ 10-2 T . Calcolare i raggi delle traiettorie descritte dalle due specie di
ioni e le loro energie in elettronvolt.

B

F^

F//
[R: 1.30m,1.52m, 0.220 MeV, 0.258 MeV ]
Cosa succede nel caso di campi magnetici non uniformi?
La situazione generale è complessa, tuttavia è di particolare interesse il caso in cui il
moto ad elica sopra esaminato sia diretto verso una regione dove il campo
magnetico si fa più intenso e quindi le sue linee si infittiscono. In questa situazione la

forza di Lorentz, per mantenersi perpendicolare a B che cambia direzione, acquista


una componente F// parallela all’asse dell’elica. L’effetto di F//
è quello di

diminuire progressivamente la componente v // di velocità in tale direzione, fino ad
arrivare ad annullarla e poi a cambiarle verso. In tal modo si ha una regione detta
specchio magnetico, che fa ruotare di 180 la velocità e riflette al’indietro la particella.
Se abbiamo due regioni di questo tipo, come nella figura, il processo si ripete
nell’altra, cosìcché la particella resta intrappolata nelle linee del campo, rimbalzando
avanti ed indietro in una zona detta bottiglia magnetica. Le bottiglie magnetiche sono
usate nei laboratori per confinare gas ionizzati a temperature tali che fonderebbero
qualsiasi contenitore ordinario. Un notevole esempio di bottiglia magnetica sono le
fasce di Van Allen. Si tratta di due regioni intorno al pianeta Terra in cui sono
intrappolati elettroni e protoni del cosiddetto vento solare, cioè particelle cariche che
schizzano via dal Sole, proiettati dal suo moto di rotazione come farebbe un
innaffiatoio automatico. Queste particelle quando giungono in prossimità dei poli
dove le linee si fanno più fitte urtano gli atomi di ossigeno atmosferici ed eccitandoli
291
bottiglia magnetica
protoni

B
elettroni
originano le aurore boreali. La possibilità di confinare le particelle cariche tramite un
campo magnetico è attualmente studiata allo scopo di contenere del plasma
caldissimo, come quello necessario per realizzare la fusione nucleare controllata. Il
tentativo è quello di riprodurre la sorgente energetica delle stelle, che consiste
appunto nella fusione di due nuclei di idrogeno a formarne uno di elio: nel centro
del Sole si devono raggiungere 15 milioni di kelvin affinché l’agitazione termica
vinca la repulsione elettrostatica. Nella macchina a confinamento magnetico
tokamak, in via di perfezionamento, si punta ai 100 milioni di kelvin per avere la
giusta efficienza. In queste condizioni la materia è nello stato di plasma, cioè un gas
completamente ionizzato, e tali temperature fonderebbero qualsiasi tipo di
contenitore ordinario.
Come si esprime il campo magnetico generato una particella carica in moto?
Le osservazioni mostrano la validità di una formula che riveste un ruolo analogo a
quello svolto dalla legge di Coulomb rispetto al campo elettrico, cioè fornisce il
campo magnetico di una carica puntiforme in moto.

B
rˆ
J
q
Prima formula di Laplace

una particella di carica q , in moto a velocità v produce in un punto a distanza r
dalla sua posizione istantanea un campo magnetico:


m0 qv ´ rˆ
B=
4p r 2

v

B
rˆ
J

v
q
Che forma hanno le linee del campo magnetico di una particella carica in moto?
Le linee del campo magnetico di una particella in moto sono tutte circonferenze

perpendicolari al piano individuato da rˆ e v e centrate sulla retta che contiene la
velocità istantanea. Infatti si vede bene dalla figura che la tangente ad una tale

circonferenza in un suo punto si mantiene sempre perpendicolare ad rˆ ed a v .
L’orientamento delle linee appare antiorario ad un osservatore verso cui avanza la
carica (se positiva13), e si trova con la consueta regola della mano destra, allineando il

pollice come v e chiudendo le dita ad arco. Per ogni valore di r e J si ha una
circonferenza lungo la quale l’intensità del campo si mantiene costante. A parità di

distanza da q , |B | risulta nullo sulla retta che contiene la velocità, e cresce al variare di
P
Q

v
70
a
Nella formula di Laplace rˆ indica il versore diretto dalla posizione istantanea della
carica verso il punto in cui si desidera conoscere il campo magnetico. Il simbolo “ ´

” di prodotto vettoriale indica in modo sintetico che il vettore B ha:


m q | v | sin J

• intensità |B | = 0
dove J è l’angolo fra v ed rˆ
2
4p
r

• direzione ortogonale al piano individuato da rˆ e da v
• verso tale da vedere in senso antiorario la rotazione che spazzando J porta


qv su rˆ (attenzione che se q < 0 il verso di qv è opposto alla velocità)
J fino ad un massimo per J = 90 .
R
25
S
Esercizi
54. Una particella alfa viaggia alla velocità 800 m/s . Si trovi il campo magnetico nei
punti P, Q , R ed S in figura che distano dalla particella 0.50 mm .
La particella alfa è un nucleo di elio quindi ha la carica di due protoni:
q = 2 ´ 1.6 ´ 10-19 C = 3.2 ´ 10-19 C
Nel punto R il campo risulta nullo, essendo sulla retta che contiene la velocità.
13
Il verso è opposto per le cariche negative.
292

BP
Nel punto P il campo assume il valore massimo per la distanza di 0.50 mm :


m0 q | v | 10-7 ´ 3.2 ´ 10-19 ´ 800
=
T = 1.0 ´ 10-18 T
|BP | =
2
2
4p r
0.0050

Nei punti Q ed S il campo si ottiene moltiplicando |BP | per il seno degli angoli in

v
figura, che coincidono con l’angolo J della prima formula di Laplace:


|BQ | = |B P | sin 70  = 0.94 ´ 10- 18 T uscente perpendicolarmente dal foglio


|BS | = |BP | sin 25 = 0.42 ´ 10-18 T entrante perpendicolarmente nel foglio
a
55. Calcolare il campo magnetico generato da un protone in moto alla velocità di
1500 m/s sul bordo di un cono di apertura 2J = 60.0 a distanza di 0.400 mm dalla
-19
[ R: 7.83 ´ 10
particella.

BQ

BS

B
0.400
mm
T]
30.0
Se la traiettoria della particella è circolare, quanto vale il campo magnetico nel centro?
1500 m/s
Poniamo che una carica q descriva una circonferenza di raggio R . Utilizzando la

prima formula di Laplace scriviamo il valore del campo B generato nel centro. La


direzione di B dev’essere perpendicolare al piano individuato da rˆ e da v , che è il
piano della spira. Il verso da cui si vede antioraria la rotazione che, spazzando

J = 90 porta qv su rˆ , è anche quello da cui si vede la circonferenza percorsa in
senso antiorario. L’intensità del campo risulta:
+e

B

v
J = 90
R



m q | v | sin J
m q |v |
|B | = 0
= 0
4p
4p R 2
r2
q
rˆ
Quanto vale il campo magnetico nel centro di una spira circolare di corrente?
Indichiamo adesso con q una qualunque delle cariche che formano la corrente:

ognuna di esse contribuirà al valore del campo totale BS di una quantità pari al

BS
risultato trovato sopra. Per eseguire la somma su tutte le cariche nella spira
dobbiamo moltiplicare le cariche per unità di volume n per il volume di una
ciambella, dato dal perimetro 2pR calcolato nel punto medio, per la sezione A :

q |v |

q |v |

m
m
m
mI

|BS | = n ⋅ volume ⋅ 0
= n ⋅ 2pRA ⋅ 0
= 0 (nA q |v | ) = 0
2
2
4p R
4p R
2R
2R
A
I
R
Dove, nell’ultimo passaggio si è fatto uso della relazione I = nqAv a suo tempo
ricavata. Come si nota il verso del campo è legato a quello della corrente dalla solita
regola della mano destra. Se poi si ha ahe fare con un arco Jrad di spira circolare, la
formula può essere generalizzata sostituendo al posto del perimetro 2pR la

lunghezza Jrad R dell’arco : |Barco | = m0I Jrad / 4pR .
Esercizi
56. Un tratto di circuito è formato da due porzioni rettilinee perpendicolari ed un
quarto di circonferenza, come in figura. Sapendo che nei fili si ha una corrente
I = 6.00A e che R = 4.00 cm , calcolare il campo magnetico nel punto P.
Secondo la prima formula di Laplace, i due tratti rettilinei generano un campo nullo
nel punto P, perché esso si trova sulla retta che contiene la loro velocità. Il campo
magnetico in P è quindi dovuto al solo circolare, per il quale possiamo applicare il
ragionamento fatto per l’intera spira, solo che la lunghezza adesso è un quarto del
perimetro:
293
P
I

mI J
m I p /2
mI
4p ´ 10-7 ´ 6.00
|Barco | = 0 ⋅ rad = 0 ⋅
= 0 =
T = 2.36 ´ 10-5 T
-2
R
R 4p
4p
8R
8 ´ 4.00 ´ 10
Seguendo la regola della mano destra si trova che il campo in P è perpendicolare al
foglio ed in verso entrante.
R1
I
57. Un circuito è formato da due tratti rettilinei inclinati fra loro di un angolo di p /6
p /6
P
R2
e due porzioni di circonferenza, come in figura, di raggi R1 = 3.50 cm ed
R2 = 6.50 cm . Sapendo che nei fili si ha una corrente I = 8.00A calcolare il campo
[R: 5.56 ´ 10-4 T entrante]
magnetico nel punto P.
58. Ad un filo in cui si ha una corrente I = 9.00A si deve dare la forma di una spira
circolare in modo che il campo nel suo centro risulti 0.600 ´ 10-4 T . Calcolare il
raggio che deve avere la spira. Calcolare quanto diventa il campo al centro se si
[R: 9.42 cm,1.80 ´ 10-4 T ]
fanno tre avvolgimenti di questo tipo.
6. Il magnetismo nella materia
N

v

Quali comportamenti presentano le sostanze in un campo B non uniforme?
e
I
S
campo magnetico orbitale

B
I
campo magnetico di spin
Alcune sostanze (una minoranza) sono dette ferromagnetiche: fra di esse troviamo il
ferro, il cobalto, il nickel ed i loro composti. Quando queste vengono sospese ad un
filo in un campo magnetico non uniforme, sono attirate lungo le linee di campo nel
verso in cui cresce l’intensità, cioè laddove le linee si infittiscono. E’ questo il
fenomeno osservato per la limatura di ferro, che si accumula presso i poli delle
calamite. Una seconda categoria di sostanze sono dette paramagnetiche: fra di esse
troviamo ad esempio
l’alluminio, il cromo, il sodio e l’ossigeno liquido
(t < -183C) . Anche le sostanze paramagnetiche sono attratte verso le regioni dove
si infittiscono le linee di campo, tuttavia l’intensità della forza che subiscono è circa
un migliaio di volte inferiore rispetto a quella delle ferromagnetiche. Il fenomeno è
così piccolo da non essere osservabile se non con opportuni apparati strumentali. La
terza categoria è quella delle sostanze diamagnetiche, come l’argento, il rame, il
piombo, il mercurio liquido, e l’acqua (quindi anche il corpo umano, di cui è il
principale componente). Quando sono sospese in un campo magnetico variabile, le
sostanze diamagnetiche vengono respinte. Esse tendono a portarsi nelle regioni dove

diminuisce l’intensità di B , cioè laddove le linee di campo si diradano: ad esempio
nello spazio lontano dai poli di una calamita. Anche il diamagnetismo, come il
paramagnetismo, è un effetto debole: per far levitare una persona grazie alla
repulsione diamagnetica occorrerebbe un campo d’intensità molto maggiore di
quelle normalmente disponibili in un laboratorio.
La materia possiede proprietà magnetiche per via delle correnti al livello atomico?
Come sappiamo, è possibile dimostrare che l’intensità e la direzione dell’interazione

di un ago magnetico con il campo B , possono essere calcolate sostituendo
all’aghetto una spira percorsa da una corrente avente verso antiorario se visto dal
nord dell’ago, ed opportuna intensità. Questo risultato, noto come teorema di
equivalenza di Ampère, suggerisce che il magnetismo della materia sia riconducibile a
delle correnti perpetue che hanno luogo al suo interno al livello microscopico.
Esistono due fenomeni fisici in grado di produrre queste correnti atomiche: in primo
luogo il moto di rivoluzione degli elettroni attorno al nucleo, che permette di
294
assimilare gli elettroni a microscopiche spire di corrente. Chiameremo campo

magnetico orbitale il campo B generato da questo movimento. Il secondo è il moto di
rotazione degli elettroni su sé stessi, detto moto di spin , che in inglese significa

“trottola”: chiameremo campo magnetico di spin il campo B corrispondente.
Quali sono le proprietà del campo magnetico orbitale?
La somma dei campi magnetici orbitali di tutti gli elettroni è sempre nulla. Infatti, a
causa del moto di agitazione termica, gli assi delle microscopiche spire descritte
nelle rivoluzioni sono orientati casualmente, e così i loro effetti mediamente si
cancellano l’uno con l’altro. Il campo magnetico orbitale è quindi un fenomeno che,
pur essendo presente al livello atomico in tutte le sostanze, da solo non è in grado di
produrre un effetto su scala macroscopica.

Best

Cosa succede al campo magnetico orbitale in presenza di un campo B esterno?
Come sappiamo, se una particella carica, animata di moto rettilineo, entra in una

regione ove sia presente un campo magnetico Best , tende a descrivere una
circonferenza intorno alle linee di campo, e la traiettoria complessiva che ne risulta
ha la forma di un’elica. Analogamente, nel momento in cui gli elettroni che orbitano

attorno ai nuclei vengono posti in un campo magnetico esterno Best , al moto di

rivoluzione si sovrappone una tendenza a ruotare attorno al campo Best . E’
possibile dimostrare matematicamente che, in conseguenza di queste condizioni, gli
assi delle orbite elettroniche iniziano a ruotare a loro volta, descrivendo una sorta di
doppio cono. Quando ha luogo la rotazione di un asse, attorno a cui a sua volta un
corpo sta già ruotando, il moto che ne risulta viene detto precessione: in questo caso
particolare si parla di precessione di Larmor. La teoria mostra che tutto va come se alla
corrente orbitale si sovrapponesse la corrente di Larmor I L , che possiamo
interpretare come dovuta alla tendenza dell’elettrone a muoversi circolarmente, su

piani perpendicolari a Best . Come nel caso del moto di una carica libera, il campo


magnetico corrispondente BL ha sempre verso opposto al campo Best che produce

v
IL
e
I
precessione di Larmor
IL

BL
la traiettoria circolare, ed intensità proporzionale ad esso.
Il fattore di

proporzionalità è tuttavia così piccolo che il valore di BL per unità di volume
risultante è assai debole. Quindi, se un campione di qualsiasi materiale viene posto
in un campo magnetico non uniforme, ad esempio fra i poli di una calamita, in
assenza di altri meccanismi, esso si trasforma in un magnete che oppone il nord al
nord ed il sud al sud della calamita. Il campione viene allora debolmente respinto,

cioè tende a spostarsi verso la regione dove le linee di Best si diradano. Questo
fenomeno è alla base del comportamento delle sostanze diamagnetiche. Tutti i
materiali sono in linea di principio diamagnetici, ed il diamagnetismo non è
nemmeno influenzato dalla loro temperatura dato che non si tratta di una proprietà
permanente delle sostanze ma viene indotto dall’esterno. Tuttavia si tratta di effetti
così deboli da essere molte volte soverchiati dai processi ferromagnetici e
paramagnetici di cui ora ci occuperemo.
Quali sono le proprietà del campo magnetico di spin?
Per farsi un’idea di quale sia l’origine del campo magnetico di spin, può essere di
aiuto pensare al moto dell’elettrone come ad una trottola, farne mentalmente delle
fette perpendicolari all’asse di rotazione ed interpretare ciascuna di esse come una
microscopica spira di corrente. Ma si tratta solo di uno schema molto semplificato,
perché le particelle elementari non ruotano su loro stesse come farebbe una palla da
basket fra le dita di un giocatore. Se così fosse, infatti, sarebbero delle palle ben
strane, alla quali basta mezzo giro per riassumere la stessa configurazione iniziale!
295

B
I
Il fatto che all’elettrone sia associata una proprietà chiamata spin, che assomiglia
vagamente alle proprietà conferite da un asse di rotazione, va inteso piuttosto come
una caratteristica fondamentale della particella, così come lo sono la massa e la
carica. Lo spin soddisfa il Principio di Esclusione di Pauli, secondo il quale gli
elettroni vicini debbono allinearsi in coppie aventi spin opposti, e quindi campi
magnetici opposti. La disposizione degli spin è regolata da fattori energetici, cambia
con il numero atomico, ed anche con il fatto che l’atomo sia libero oppure
combinato con altri in una sostanza. In conseguenza di questo, per quelle sostanze
in cui tutti gli elettroni si presentano in coppie di spin antiparalleli, il campo
magnetico complessivo si cancella. Quindi, mentre il diamagnetismo è un fenomeno
generale, esistono alcune sostanze per le quali il campo magnetico di spin produce
un effetto complessivo non nullo. Il dettaglio dei meccanismi che conducono alcuni
degli elettroni di queste sostanze a mantenere gli spin “spaiati” è assai complicato. I
principi guida sono due: l’esclusione di Pauli, e la tendenza delle particelle a
disporsi nelle condizioni di minima energia potenziale, in genere più stabili, come fa
una pietra che cade al suolo. In figura è riportata le configurazione del ferro, che ha
26 elettroni. Lo schema indica che per gli elettroni attorno al nucleo non tutti i valori
di energia sono possibili, ma solo quelli di una serie contrassegnata con il numero
intero n , che tende ad essere progressivamente occupata dal più basso ( n = 1 ) al
più alto (corrispondente al valore energetico meno negativo, n = 4). In aggiunta a
4 s
d

E 3 p
N
E
s
R
G
I
p
A
2
s
1 s
disposizione dei 26 elettroni
in un atomo di ferro
questo, gli elettroni non possono disporsi tutti sui livelli più bassi, in quanto gli spin
devono essere antiparalleli a coppie. Ogni livello energetico è strutturato in orbitali,
il cui numero cresce col livello stesso, indicati con le lettere s,p,d,f… Ciascuno degli
orbitali può contiene coppie di elettroni fino ad un massimo (una coppia per
l’orbitale s, tre coppie per l’orbitale p, cinque coppie per il d, eccetera). L’energia
potenziale di un elettrone decresce quando questo si avvicina al nucleo (diviene cioè
più negativa), ma cresce se ad esso si accostano altri elettroni. Pertanto nel ferro è
più economico dal punto di vista energetico, che il livello 4s venga occupato prima
del livello 3d , e che nel livello 3d anziché esserci tre coppie di spin antiparalleli,
quattro elettroni si dispongano con gli spin paralleli ma più lontani. Il risultato è che
ogni atomo ha un campo magnetico di spin non nullo.
Ma allora perché ogni singolo pezzo di ferro non è un magnete permanente?

Best
Per produrre un magnete macroscopico occorre una sorta di cooperazione su grande
scala da parte dei singoli atomi, che debbono per così dire unire le loro forze
allineando gli spin. Quando più atomi di ferro sono accostati nel reticolo cristallino
di un solido, gli elettroni che presentano spin nella stessa direzione, per rispettare il
principio di Pauli tendono a disporsi il più lontano possibile gli uni dagli altri,
sfruttando il margine residuo di spostamento del quale godono pur restando
vincolati alla struttura reticolare. Ora, più sono lontani minore è l’energia potenziale
elettrostatica ad essi associata, in quanto la forza repulsiva cala con la distanza.
Possiamo concludere che, da un punto di vista energetico, è più economico per gli
elettroni di atomi diversi, allineare i loro spin, perché così sono costretti a portarsi a
distanza maggiore, cioè in uno stato di più bassa energia e più stabile. Tuttavia non
si deve pensare che questo processo possa coinvolgere tutti gli atomi allineandoli
contemporaneamente in un’unica direzione. Il fenomeno inizia invece attorno a
tanti centri indipendenti, dove già casualmente qualche atomo ha gli spin allineati
coi vicini, e si allarga come farebbero tante macchie d’olio. Si instaura così una
suddivisione dello spazio in regioni di allineamenti locali degli spin, ciascuna delle
quali è un magnete permanente avente un’estensione dell’ordine di 10 μm .
L’orientamento che assumono i campi magnetici di tali zone, dette domini di Weiss, è
evidentemente casuale, e l’intero processo ancora non spiega il ferromagnetismo ma
si limita a replicare la condizione già vista per i singoli atomi , solo su scala più
296

grande. La presenza di un campo magnetico esterno Best però, riesce in un certo
senso a “pettinare” tutti i campi magnetici dei domini di Weiss, allargando i confini

di quelle zone che già si trovano con una magnetizzazione parallela a Best , a spese

delle regioni contigue dirette diversamente, che sono costrette ad allinearsi a Best .
Da un punto di vista quantitativo l’effetto dipende da sostanza a sostanza e da altri
fattori esterni come la temperatura. Tuttavia il risultato è l’instaurarsi di un
allineamento permanente che non scompare nemmeno quando il campo esterno
viene eliminato, dando così origine alla calamita.
In cosa differiscono le sostanze paramagnetiche da quelle ferromagnetiche?
Le particelle oscillano continuamente a causa dell’agitazione termica, che per la
maggior parte dei materiali, già a temperatura ambiente è così forte da distruggere
qualsiasi tipo di allineamento complessivo possa verificarsi fra gli spin di atomi
contigui. Fu Pierre Curie ad accorgersi che questo effetto varia da sostanza a
sostanza, e che esiste una temperatura di soglia, oggi detta temperatura di Curie tC , al
di sopra della quale ogni proprietà magnetica viene perduta. Quando una sostanza
che possiede un campo magnetico dovuto allo spin dei suoi elettroni, si trova sopra
alla temperatura di Curie, si dice paramagnetica. In queste condizioni l’effetto di
allineamento prima descritto è molto indebolito dall’agitazione termica, ed inoltre il
materiale perde la sua magnetizzazione non appena il campo esterno è rimosso. Per
la gran parte dei materiali la temperatura di Curie è oltrepassata già a temperatura
ambiente, mentre per il ferro vale 770 °C , per il nickel 358 C , e 1131 C per il
cobalto, così che in condizioni normali ci si presentano come materiali
ferromagnetici. Tuttavia non appena tale soglia viene superata, anche ferro, cobalto e
nickel diventano sostanze paramagnetiche.
297