Diapositiva 1 - CIDI Brescia

Brescia, 3 ottobre 2015
Probabilità e competenze di cittadinanza
Analisi di attività didattiche
Michele Impedovo
www.matematica.it/impedovo
[email protected]
Indicazioni nazionali
Ambiti di competenze
1.
2.
3.
4.
Aritmetica e algebra
Geometria
Relazioni e funzioni
Dati e previsioni
•
•
•
•
Ricordate il PNI?
Il ruolo della combinatoria
La preparazione dei docenti
Probabilità e statistica
Dadimonetecarte
2014, 3. Venti palline sono poste in un’urna. Cinque sono rosse,
cinque verdi, cinque gialle e cinque bianche. Dall’urna si
estraggono a caso, senza reimbussolamento, tre palline. Si
valutino le seguenti probabilità:
• esattamente una pallina è rossa;
• le tre palline sono di colori differenti.
2014, 8. La “zara” è un gioco d’azzardo di origine araba che
conobbe particolare fortuna in Italia in epoca medievale - ne parla
anche Dante nella Divina Commedia - e si giocava con tre dadi.
Si confronti la probabilità di ottenere in un lancio la somma 9 con
quella di ottenere la somma 10.
Indicazioni nazionali. Obiettivi
specifici di apprendimento I biennio
Dati e previsioni
Lo studente sarà in grado di rappresentare e analizzare in diversi
modi (anche utilizzando strumenti informatici) un insieme di dati,
scegliendo le rappresentazioni piu idonee. Saprà distinguere tra
caratteri qualitativi, quantitativi discreti e quantitativi continui,
operare con distribuzioni di frequenze e rappresentarle. Saranno
studiate le definizioni e le proprietà dei valori medi e delle misure di
variabilità, nonche l’uso strumenti di calcolo (calcolatrice, foglio di
calcolo) per analizzare raccolte di dati e serie statistiche. Lo studio
sarà svolto il più possibile in collegamento con le altre discipline
anche in ambiti entro cui i dati siano raccolti direttamente dagli
studenti.
Lo studente apprenderà la nozione di probabilità, con esempi tratti
da contesti classici e con l’introduzione di nozioni di statistica.
"… apprenderà
la nozione di
probabilità …"
L'interpretazione classica
(ovvero la probabilità dell'equiprobabile)
Pierre-Simon Laplace, 1749-1827
numero casi favorevoli
probabilità =
numero casi possibili
Genesi: giochi d'azzardo
Contesto: simmetria dei risultati  combinatoria
?
L'interpretazione statistica
Richard Von Mises, 1883-1953
Si ripete l'esperimento aleatorio N volte e si osserva
con quale frequenza si verifica un certo evento.
frequenza
probabilità = lim
N 
N
?
Genesi: assicurazioni, scienze sociali, biologia,
economia
Contesto: osservazioni empiriche, statistica
CLASSICO  FREQUENTISTA
Proviamo a rispondere
Qual è una stima della probabilità
•
•
•
•
•
•
•
•
•
che un numero naturale sia pari?
- informazioni
- valutazione
- decisione
che ti rubino l'auto entro l'anno?
di non causare incidenti nel 2015?
che il semaforo sia verde?
che Garibaldi sia nato in agosto?
che $ oggi scenda rispetto a €?
che tu sia vivo tra 10 anni?
che l'Italia vinca il prossimo Sei Nazioni di rugby?
che l'iPhone 7 abbia successo?
tavole mortalita ISTAT.xlsx
La probabilità è facile
Su un tavolo ci sono 3 buste di
cui 2 contengono un premio.
Su un altro tavolo ci sono 10
buste di cui 5 contengono un
premio.
Da quale tavolo è meglio
scegliere una busta?
- informazioni
- valutazione
- decisione
La probabilità soggettiva
Bruno de Finetti (1906-1985)
La mia stima di probabilità su un evento E è p se sono
indifferente tra le seguenti posizioni:
SCOMMETTITORE: punto p per ricevere
1 se E si verifica
0 se E non si verifica
BANCO: accetto una scommessa di importo p per
impegnarmi a pagare
1 se E si verifica
0 se E non si verifica.
Una rivoluzione copernicana
 La probabilità non è una proprietà dell'evento
 La probabilità è una proprietà dell'osservatore
 Dipende dallo stato delle informazioni
 Si aggiorna al variare delle informazioni
Non è necessaria l'equiprobabilità
 Non è necessario ripetere l'esperimento
 Si adatta perfettamente alle valutazioni in
campo economico e sociale
 Comprende le altre due interpretazioni e allarga
la possibilità di assegnare una probabilità a
qualsiasi evento: si può scommettere su tutto
La probabilità è facile
Un cerchio è inscritto in un
bersaglio quadrato. Qual è la
probabilità di colpire un punto
del cerchio?
montecarlo pigreco.ggb
Secondo me: I biennio
1. La probabilità è un numero reale compreso tra 0 e 1
(per esempio 25%, 0.25, 1/4, 25/100). Attenzione al
linguaggio.
2. La probabilità di un evento impossibile è 0; la
probabilità di un evento certo è 1.
3. Se la probabilità che un evento si verifichi è 0.25
(oppure 25%, oppure 1/4), la probabilità che non si
verifichi è 0.75 (oppure 75%, oppure 3/4).
4. Corrispondenza tra eventi e insiemi (tra linguaggio
e logica): Pr(AB), Pr(AB), Pr(AC). (insiemi
disgiunti, eventi incompatibili, …)
5. La probabilità che si verifichi A o B non è uguale
alla somma tra Pr(A) e Pr(B).
1933 A. Kolmogorov, Foundations
of the theory of probability
Kolmogorov  de Finetti
Una scommessa (o un sistema di
scommesse) deve essere coerente: non deve
essere possibile una vincita certa o una
perdita certa.
La coerenza di una scommessa è
equivalente ai tre assiomi di Kolmogorov.
Assioma 1. 0  Pr(A)  1
 A
A
scomm.: 
 p 1  p
 A
banco : 
 p
A
p 1
La scommessa non deve generare una vincita
certa o una perdita certa; significa che -p e 1-p
devono essere discordi:
 p 1  p   0  p 2  p  0  0  p  1
Assiomi di Kolmogorov
I primi problemi
Pr(A)=0.3, Pr(AC)=?
Pr(A)=0.3, Pr(B)=0.4, Pr(AB)=? Pr(AB) = ?
Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) – Pr(AB)
probabilità condizionata aree.ggb
Attività 1: il "dado" moderno
Simulazione
Probabilità  frequenza relativa
X=CASUALE()
(Excel)
simula la scelta di un numero casuale
(reale?) X compreso tra 0 e 1.
1) Qual è una stima della probabilità che X
sia compreso tra 0.2 e 0.8?
2) Ora prendo due numeri causali tra 0 e 1
e ne calcolo la media M. Qual è una
stima della probabilità che M sia
compreso tra 0.2 e 0.8?
dado moderno.xlsx
X Y
0.2 
 0.8  0.4  X  Y  1.6
2
AREA
MISURA
Il problema
Attività 2
Devo decidere se assicurare o no la mia moto
(valore commerciale 10000 €) contro il furto.
Il premio è 500 € e se me la rubano
l'assicurazione rifonde solo l'80% del valore
commerciale. Stimo che la probabilità di furto
entro l'anno sia del 10%.
Che fare?
Attività 2
valore commerciale = 10000 €
premio = 500 € (80% in caso di furto)
probabilità di furto entro l'anno = 0.1
Se assicuro:
2500

 0.1
500
0.9
valore atteso = -700
Se non assicuro:
10000

 0.1
valore atteso = -1000
0
0.9
Attività 3
Un sito di scommesse online assegna le
seguenti quote a una partita di calcio.
q1  8 qX  4.4 q2  1.36
p1  ? p X  ?
Quale relazione tra
quote e probabilità?
p2  ?
 1
V1 : 
 p X  p2
7
p1
3.4
 1
VX : 
 p1  p2 pX
0.36
 1
V2 : 
p2
 p1  pX
Quote e probabilità
Dal sito
www.bwin.it
Quote e probabilità
V1
 1

 pX  p2
7
p1
q1  8 qX  4.4 q2  1.36
p1  ? p X  ?
VX
 1

 p1  p2
3.4
pX
V2
 1

 p1  pX
0.36
p2
p2  ?
Ipotesi: le quote sono
inversamente proporzionali
alle probabilità.
p1q1  pX qX  p2q2  C
8 p1  4.4 p X  1.36 p2  C
Quote e probabilità
8 p1  4.4 p X  1.36 p2  C
C
p1 
8
C
pX 
4.4
C
p2 
1.36
C C
C


1
8 4.4 1.36
p1  11%
pX  21%
C  0.92
p2  68%
Quale dovrebbe essere la quota di una scommessa su 1 o X?
C<1
Il banco vince sempre
Il popolo degli scommettitori si orienta verso
l'evento più probabile.
S1  kp1
S X  kpX
S 2  kp2
Pay off per il banco:
S1  S X  S 2  qi Si 
 kp1  kp X  kp2  qi kpi 
 k  kC  k 1  C   0
Indicazioni nazionali. Obiettivi
specifici di apprendimento II biennio
Dati e previsioni
Lo studente, in ambiti via via piu complessi, il cui studio sarà
sviluppato il più possibile in collegamento con le altre discipline e in
cui i dati potranno essere raccolti direttamente dagli studenti, saprà far
uso delle distribuzioni doppie condizionate e marginali, dei concetti di
deviazione standard, dipendenza, correlazione e regressione, e di
campione.
Studierà la probabilità condizionata e composta, la formula di Bayes e
le sue applicazioni, nonché gli elementi di base del calcolo
combinatorio.
Indicazioni nazionali. Obiettivi
specifici di apprendimento 5° anno
Dati e previsioni
Lo studente apprenderà le caratteristiche di alcune distribuzioni di
probabilità (in particolare, la distribuzione binomiale e qualche
esempio di distribuzione continua).
Secondo me: II biennio
1. La probabilità è sempre condizionata.
2. Il meccanismo di aggiornamento della probabilità.
3. Se AB= allora Pr(A|B)=0.
4. Se BA allora Pr(A|B)=1.
5. Grafi di probabilità e tabelle a doppia entrata: da
Pr(A|B) a Pr(AB) e ritorno.
6. La verità e la verosimiglianza: il teorema di Bayes.
7. Le prove ripetute: probabilità costante o variabile.
8. Le prove ripetute: la distribuzione binomiale.
9. Numeri aleatori: valore atteso e varianza
Aggiornamento della probabilità
Pr  A   
Pr  A   Pr  A |   

Pr   
Pr  A  B 
Pr  A | B  
Pr  B 
Attività 1
Probabilità condizionata
Scelgo un numero reale a caso in =[0,1]
(=CASUALE() di Excel)
1) Qual è la probabilità che stia in A=[0.5,0.9]?
2) Vengo a sapere che uscirà un numero
compreso in B=[0.4,0.6].
3) Cambia la mia stima di probabilità di A?
probabilità condizionata.ggb
Pr  M  S 
Attività 2
X\Y
Non
Fumatori
fumatori
Pr  M 
X
Maschi
10%
35%
45%
Femmine
11%
44%
55%
Y
21%
79%
100%
Lettura insiemistica di una tabella
Fumano di più i
maschi o le
femmine?
Pr  S  M  0.1
Pr  S | M  

 0.22
Pr  M 
0.45
Pr  S  F  0.11 1
Pr  S | F  

  0.2
Pr  F 
0.55 5
Tabelle e grafi
0.1 Pr  S  M 

0.45
Pr  M 
Teorema della
probabilità totale
Teorema
di Bayes:
Pr(M|S)
Pr  M  Pr  S | M   Pr  S  M 
Attività 3
Un esame universitario consiste di 10 domande
ciascuna con n risposte, di cui una sola giusta. Uno
studente che ignora completamente l'argomento
potrebbe rispondere a caso e raggiungere la
sufficienza (6 risposte esatte); l'università vuole
rendere minima, diciamo sotto l'1%, la probabilità che
tale studente superi l'esame. Quanto deve valere n?
1
p
n
 10  k
10  k
Pr  X  6      p 1  p 
k 6  k 
Calcolatore di probabilità di GeoGebra
10
Attività 3
-
La lunga strada verso la
distribuzione binomiale
il coefficiente binomiale (!)
i limiti del diagramma ad albero
l'indipendenza di eventi ripetuti
il bivio: reimmissione o no?
il bivio: binomiale o ipergeometrica?
il numero aleatorio
la distribuzione di probabilità
il passaggio al continuo
Attività 4
Un'università ha preparato e migliorato negli anni un
test di ammissione finalizzato a identificare gli studenti
eccellenti. Incrociando il risultato del test con il
successivo curriculum accademico dello studente, si
sa che:
• il 90% degli studenti eccellenti supera il test;
• il 99% degli studenti non eccellenti non supera il
test.
Ho superato il test: sono uno studente eccellente?
Attività 4
E = lo sudente è eccellente
T = lo studente supera il test
• il 90% degli studenti eccellenti supera il test: Pr(T|E)=0.9
• il 99% di quelli non eccellenti non supera il test: Pr(TC|E)=0.99
Pr(E|T) = ?
Pr  T | E C  Pr  E C 
Pr  T | E  Pr  E 
Pr  E | T  
Pr  T 
Pr  E C | T  
Pr  E | T   Pr  T | E  Pr  E 
Pr  E C | T   Pr  T | E C  Pr  E C 
Pr  E | T   Pr  T | E 
Pr  E C | T   Pr  T | E C 
Pr  T 
Verità e verosimiglianza. Verità e realtà.
Bibliografia
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School (pp. 15-37). Springer US.
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