matematica - IIS Alessandrini

MATEMATICA
La teoria dei nodi tra matematica,fisica e biologia.
Negli anni ’60-’70 dopo la scoperta della molecola di DNA circolare, gli scienziati hanno
cominciato a porsi interrogativi sull’influenza della forma topologica del DNA, cioè della sua
disposizione nello spazio. Nel 1971 il biochimico americano James Wang ha messo in evidenza che,
certi enzimi, possono modificare la configurazione topologica del DNA, per esempio creando dei
nodi.
Nata circa un secolo fa, la teoria dei nodi cerca di studiare precisamente la struttura dei nodi, e di
classificarli.
L’obiettivo della teoria dei nodi è quello di trovare quali proprietà dei nodi non variano, al variare
del loro aspetto, per permetterne la classificazione, e quindi lo studio,
Nodi equivalenti e invarianti
In matematica, e più precisamente in topologia, un nodo (link) è una curva semplice chiusa nello
spazio tridimensionale. Due nodi sono equivalenti quando possiamo trasformare l'uno nell'altro
tramite una serie di movimenti che non rompano lo spago di cui è fatto il nodo. I tre nodi della
figura sono equivalenti.
Un invariante dei nodi è una proprietà che associa ad ogni nodo un numero, in modo tale che a
due nodi equivalenti venga associato lo stesso numero (linking number).
Esempi di invariante:
Tricolorazione dei nodi: Supponiamo di prendere una proiezione di un nodo e di cominciare a
colorarla avendo a disposizione tre diversi colori. Ad ogni incrocio ci sarà un filo che passa sopra ad
un altro. Richiediamo che il filo che passa sopra abbia lo stesso colore sia prima che dopo l'incrocio,
mentre il filo che passa sotto può avere due colori diversi, prima e dopo l'incrocio. Infine chiediamo
che almeno due colori vengano usati per colorare il nodo. Diciamo che una proiezione di un nodo, è
tricolorabile se è possibile colorarla interamente rispettando tutte le regole elencate sopra.
Non tutti i nodi però sono tricolorabili: ad esempio il nodo banale non lo è. Per cui, se una
proiezione del nodo è tricolorabile, allora ogni altra proiezione di un qualsiasi altro nodo
I nodi taurini (o torici)
Sono nodi completamente classificabili.
Nodi di questo tipo hanno la caratteristica di poter essere disegnati sulla superficie di una ciambella,
in quanto la definizione matematica per “ciambella” è “toro”. Possono essere originati a partire da
un cilindro, sulla cui superficie laterale possiamo pensare di fissare dei segmenti paralleli all’altezza
del cilindro, ognuno dei quali si genera dall’altro con una rotazione di 120°. Se supponiamo che il
cilindro sia flessibile, possiamo ripiegarlo su se stesso per formare una ciambella.
Sulle due facce che stiamo andando ad identificare per ottenere la ciambella otteniamo i tre punti; se
incolliamo le due facce senza dare torsioni, il punto che su una faccia proviene da un certo
segmento si attacca al punto che sulla seconda faccia proviene dallo stesso segmento; e in
conclusione i tre segmenti si uniscono a formare tre circonferenze staccate tra loro. Se prima di
incollare diamo una torsione non qualsiasi, ma facendo in modo che ciascuno dei tre punti su una
faccia si colleghi con uno dei punti dell’altra.; quindi la torsione dovrà essere di un angolo multiplo
di 120°. Il nodo taurino è individuato da due numeri interi p e q. Q è quello che si ottiene a partire
da p segmenti sul cilindro,identificando le facce dopo una torsione di 360°/p. P dà il numero di
volte in cui la curva si avvolge longitudinalmente intorno al buco della ciambella(numero dei punti
in cui la curva interseca un meridiano), q invece dà il numero delle volte in cui la curva si avvolge
trasversalmente(numero dei punti in cui la curva interseca un parallelo).
Può succedere che si formino in questo modo, più nodi collegati tra loro e ciò è deducibile da p e q.
DISEGNI
I NODI DEL DNA
Una molecola di DNA a doppia elica può annodarsi in modi diversi, può portare, per esempio,
filamenti singoli tra loro complementari a entrambe le estremità 3’, cioè può avere terminazioni
coesive.
Possiamo quindi pensare al DNA come ad una banda intrecciata nello spazio, una specie di nodo
(aperto) , la cui geometria può essere modificata da degli enzimi. La teoria dei nodi entra qui in
gioco poiché mentre non è possibile vedere direttamente gli effetti degli enzimi sul DNA, è
possibile accorgersi dei cambiamenti indotti nella geometria del DNA.
Twist di una banda.
Se abbiamo a che fare con un nodo aperto, non si può avere nessun cambiamento della geometria
del DNA (banalmente, ogni nodo aperto può essere sciolto). Allora è necessario far agire gli enzimi
su un frammento di DNA chiuso.
Gli enzimi più semplici che possiamo considerare operano in questo modo: tagliano il DNA in un
punto, fanno fare un twist al DNA aperto (ovvero una contorsione attorno all'asse del nastro), e lo
reincollano . Ci chiediamo quali cambiamenti genera questa operazione e soprattutto come
possiamo accorgerci di questi cambiamenti. Per rispondere a questa domanda dobbiamo introdurre
degli strumenti matematici, analoghi agli invarianti dei nodi e dei link, per i nastri.
Un nastro ha due bordi, ciascuno dei quali può essere visto come un nodo, e ha quindi senso
calcolare il linking number tra i due bordi: indicheremo questa quantità con Lk(B). Definiamo poi
due quantità Tw(C) e Wr(C) che misurano rispettivamente il grado di avvolgimento della banda
lungo il proprio asse e il grado di contorsione della banda nello spazio (per asse della banda
intendiamo la curva che corre al centro del nastro):
o
Tw(B) (twist della banda): se disponiamo la banda in modo che il suo asse giaccia su un
piano senza mai autointersecarsi, Tw(B) è definito come la metà della somma di un ±1
per ogni intersezione tra l'asse e uno dei due bordi. Questa quantità misura quante volte i
bordi della banda si avvolgono attorno all'asse.
o
Wr(B) (writhe della banda): è il linking number dell'asse con se stesso, relativamente ad
una qualche proiezione della banda su un piano. E' la misura della contorsione della
banda nello spazio.
E' possibile dimostrare che le tre quantità descritte sopra sono legate tra di loro dalla
relazione:
Lk(B)=Tw(B)+Wr(B)
Osserviamo che Tw(B) e Wr(B), separatamente, non sono invarianti, nel senso che se
cambiamo la proiezione del nastro anche Tw(B) e Wr(B) cambiano. Sappiamo però anche
che Lk(B) é una quantità invariante. Quindi il senso della precedente equazione è che
mentre Tw(B) e Wr(B), separatamente, non sono invarianti, la loro somma lo è!
La figura mostra due modi di disporre la stessa banda B. Nella figura l'asse della banda
giace nel piano senza autointersecarsi, quindi Wr(B)=0, mentre Tw(B)=1 (infatti la banda si
avvolge una volta lungo il proprio asse) e Lk(B)=1.
Figura 9a: Lk(B)=+1, Tw(B)=+1, Wr(B)=0.
Figura 9b: Lk(B)=+1, Tw(B)=0, Wr(B)=+1.
Per contro nella figura 9b viene eliminato il twist della banda (Tw(B)=0) e al suo posto
compare una torsione della banda nello spazio (Wr(B)=1). Ovviamente Lk(B), essendo una
quantità invariante, rimane uguale ad 1.
Quello che tipicamente succede nel DNA è che la doppia elica si avvolge su se stessa ogni
10,5 basi. Quindi, se prendessimo un DNA circolare composto da 105 basi, esso si
disporrebbe naturalmente nel piano effettuando dieci avvolgimenti su se stesso (ovvero con
Tw(B)=10) e senza contorcersi (ovvero con Wr(B)=0, per cui Lk(B)=10), similmente alla
figura 9a, ma con dieci avvolgimenti attorno al propio asse.
Se ora un enzima ricombinasse il DNA come nella figura 8, aggiungendo altri 10 twist,
allora avremmo Tw(B)=20. Dato che però l'enzima non introduce nessuna contorsione si ha
ancora Wr(B)=0, e dunque Lk(B)=20.
OSSERVAZIONE CRUCIALE: la quantità Lk(B) è un invariante del nastro. Quindi se
deformo il nastro senza tagliarlo e ricucirlo, Lk(B) non cambia. L'enzima però taglia e
ricuce il nastro, e pertanto Lk(B) assume valori diversi prima e dopo la trasformazione.
Dopo l'azione dell'enzima, il DNA si dispone spontaneamente (cioé con una trasformazione
continua, senza taglia e cuci) in una posizione con Tw(B)=10. Visto che Lk(B) deve
rimanere costante, la nuova posizione avrà necessariamente Wr(B)=10. Questo in pratica
significa che dopo l'azione dell'enzima il DNA si contorcerà nello spazio, un po' come nella
figura 9b. Così facendo diminuisce la propria dimensione, e tende in un certo senso a
raggomitolarsi su se stessa. Se da un lato non è possibile vedere al microscopio un twist del
DNA, è invece possibile notare il cambiamento delle dimensioni della molecola dovuto alla
contorsione. Quindi, una misura quantitativa del cambiamento di dimensione del DNA
permette di risalire al numero di twist che l'enzima ha prodotto nel DNA.