Campo elettrico e Teorema di Gauss
Simone Alghisi
Liceo Scientifico Luzzago
Ottobre 2013
Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago)
Campo elettrico e Teorema di Gauss
Ottobre 2013
1/1
Ripasso
Definizione
Chiamiamo vettore campo elettrico generato da una carica Q la
grandezza vettoriale
~
~ = F ,
E
q0
dove q0 è una carica di prova posta in un punto dello spazio e F~ è la
forza di Coulomb che Q esercita su q0 .
~ è il newton/coulomb (in simboli
L’unità di misura del campo elettrico E
N/C). Uno strumento grafico utile per analizzare qualitativamente il
~ nello spazio è costituito dalle linee di forza del
campo elettrico E
~
campo E.
Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago)
Campo elettrico e Teorema di Gauss
Ottobre 2013
2/1
Ripasso
Definizione
Chiamiamo vettore campo elettrico generato da una carica Q la
grandezza vettoriale
~
~ = F ,
E
q0
dove q0 è una carica di prova posta in un punto dello spazio e F~ è la
forza di Coulomb che Q esercita su q0 .
~ è il newton/coulomb (in simboli
L’unità di misura del campo elettrico E
N/C). Uno strumento grafico utile per analizzare qualitativamente il
~ nello spazio è costituito dalle linee di forza del
campo elettrico E
~
campo E.
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Campo elettrico e Teorema di Gauss
Ottobre 2013
2/1
~ (statico).
Esistono alcune regole per tracciare le linee di forze di E
1
la tangente t ad una linea di forza in un dato punto coincide con la
~ in quel punto;
direzione di E
~
2
il verso della linea di forza coincide con il verso di E;
3
le linee di forza escono da cariche positive ed entrano in cariche
negative;
4
le linee di forza generate da una carica elettrica sono linee aperte;
5
per un dato punto dello spazio passa una ed una sola linea di
forza, in quanto in ogni punto dello spazio esiste uno ed un solo
~ (pertanto, due linee di forza non
vettore campo elettrico E
possono intersecarsi);
6
all’interno di un conduttore non esistono linee di forza, in quanto la
forza elettrica è nulla;
7
all’esterno di un conduttore e nelle sue immediate vicinanze le
linee di forza devono essere in ogni punto perpendicolari alla
superficie del conduttore stesso. Infatti, se così non fosse,
esisterebbe una componente della forza elettrica parallela a tale
superficie e gli elettroni liberi presenti all’interno del conduttore
non potrebbero essere in quiete.
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3/1
~ (statico).
Esistono alcune regole per tracciare le linee di forze di E
1
la tangente t ad una linea di forza in un dato punto coincide con la
~ in quel punto;
direzione di E
~
2
il verso della linea di forza coincide con il verso di E;
3
le linee di forza escono da cariche positive ed entrano in cariche
negative;
4
le linee di forza generate da una carica elettrica sono linee aperte;
5
per un dato punto dello spazio passa una ed una sola linea di
forza, in quanto in ogni punto dello spazio esiste uno ed un solo
~ (pertanto, due linee di forza non
vettore campo elettrico E
possono intersecarsi);
6
all’interno di un conduttore non esistono linee di forza, in quanto la
forza elettrica è nulla;
7
all’esterno di un conduttore e nelle sue immediate vicinanze le
linee di forza devono essere in ogni punto perpendicolari alla
superficie del conduttore stesso. Infatti, se così non fosse,
esisterebbe una componente della forza elettrica parallela a tale
superficie e gli elettroni liberi presenti all’interno del conduttore
non potrebbero essere in quiete.
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Campo elettrico e Teorema di Gauss
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3/1
~ (statico).
Esistono alcune regole per tracciare le linee di forze di E
1
la tangente t ad una linea di forza in un dato punto coincide con la
~ in quel punto;
direzione di E
~
2
il verso della linea di forza coincide con il verso di E;
3
le linee di forza escono da cariche positive ed entrano in cariche
negative;
4
le linee di forza generate da una carica elettrica sono linee aperte;
5
per un dato punto dello spazio passa una ed una sola linea di
forza, in quanto in ogni punto dello spazio esiste uno ed un solo
~ (pertanto, due linee di forza non
vettore campo elettrico E
possono intersecarsi);
6
all’interno di un conduttore non esistono linee di forza, in quanto la
forza elettrica è nulla;
7
all’esterno di un conduttore e nelle sue immediate vicinanze le
linee di forza devono essere in ogni punto perpendicolari alla
superficie del conduttore stesso. Infatti, se così non fosse,
esisterebbe una componente della forza elettrica parallela a tale
superficie e gli elettroni liberi presenti all’interno del conduttore
non potrebbero essere in quiete.
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Ottobre 2013
3/1
~ (statico).
Esistono alcune regole per tracciare le linee di forze di E
1
la tangente t ad una linea di forza in un dato punto coincide con la
~ in quel punto;
direzione di E
~
2
il verso della linea di forza coincide con il verso di E;
3
le linee di forza escono da cariche positive ed entrano in cariche
negative;
4
le linee di forza generate da una carica elettrica sono linee aperte;
5
per un dato punto dello spazio passa una ed una sola linea di
forza, in quanto in ogni punto dello spazio esiste uno ed un solo
~ (pertanto, due linee di forza non
vettore campo elettrico E
possono intersecarsi);
6
all’interno di un conduttore non esistono linee di forza, in quanto la
forza elettrica è nulla;
7
all’esterno di un conduttore e nelle sue immediate vicinanze le
linee di forza devono essere in ogni punto perpendicolari alla
superficie del conduttore stesso. Infatti, se così non fosse,
esisterebbe una componente della forza elettrica parallela a tale
superficie e gli elettroni liberi presenti all’interno del conduttore
non potrebbero essere in quiete.
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3/1
~ (statico).
Esistono alcune regole per tracciare le linee di forze di E
1
la tangente t ad una linea di forza in un dato punto coincide con la
~ in quel punto;
direzione di E
~
2
il verso della linea di forza coincide con il verso di E;
3
le linee di forza escono da cariche positive ed entrano in cariche
negative;
4
le linee di forza generate da una carica elettrica sono linee aperte;
5
per un dato punto dello spazio passa una ed una sola linea di
forza, in quanto in ogni punto dello spazio esiste uno ed un solo
~ (pertanto, due linee di forza non
vettore campo elettrico E
possono intersecarsi);
6
all’interno di un conduttore non esistono linee di forza, in quanto la
forza elettrica è nulla;
7
all’esterno di un conduttore e nelle sue immediate vicinanze le
linee di forza devono essere in ogni punto perpendicolari alla
superficie del conduttore stesso. Infatti, se così non fosse,
esisterebbe una componente della forza elettrica parallela a tale
superficie e gli elettroni liberi presenti all’interno del conduttore
non potrebbero essere in quiete.
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3/1
~ (statico).
Esistono alcune regole per tracciare le linee di forze di E
1
la tangente t ad una linea di forza in un dato punto coincide con la
~ in quel punto;
direzione di E
~
2
il verso della linea di forza coincide con il verso di E;
3
le linee di forza escono da cariche positive ed entrano in cariche
negative;
4
le linee di forza generate da una carica elettrica sono linee aperte;
5
per un dato punto dello spazio passa una ed una sola linea di
forza, in quanto in ogni punto dello spazio esiste uno ed un solo
~ (pertanto, due linee di forza non
vettore campo elettrico E
possono intersecarsi);
6
all’interno di un conduttore non esistono linee di forza, in quanto la
forza elettrica è nulla;
7
all’esterno di un conduttore e nelle sue immediate vicinanze le
linee di forza devono essere in ogni punto perpendicolari alla
superficie del conduttore stesso. Infatti, se così non fosse,
esisterebbe una componente della forza elettrica parallela a tale
superficie e gli elettroni liberi presenti all’interno del conduttore
non potrebbero essere in quiete.
Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago)
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3/1
~ (statico).
Esistono alcune regole per tracciare le linee di forze di E
1
la tangente t ad una linea di forza in un dato punto coincide con la
~ in quel punto;
direzione di E
~
2
il verso della linea di forza coincide con il verso di E;
3
le linee di forza escono da cariche positive ed entrano in cariche
negative;
4
le linee di forza generate da una carica elettrica sono linee aperte;
5
per un dato punto dello spazio passa una ed una sola linea di
forza, in quanto in ogni punto dello spazio esiste uno ed un solo
~ (pertanto, due linee di forza non
vettore campo elettrico E
possono intersecarsi);
6
all’interno di un conduttore non esistono linee di forza, in quanto la
forza elettrica è nulla;
7
all’esterno di un conduttore e nelle sue immediate vicinanze le
linee di forza devono essere in ogni punto perpendicolari alla
superficie del conduttore stesso. Infatti, se così non fosse,
esisterebbe una componente della forza elettrica parallela a tale
superficie e gli elettroni liberi presenti all’interno del conduttore
non potrebbero essere in quiete.
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Campo elettrico e Teorema di Gauss
Ottobre 2013
3/1
~ (statico).
Esistono alcune regole per tracciare le linee di forze di E
1
la tangente t ad una linea di forza in un dato punto coincide con la
~ in quel punto;
direzione di E
~
2
il verso della linea di forza coincide con il verso di E;
3
le linee di forza escono da cariche positive ed entrano in cariche
negative;
4
le linee di forza generate da una carica elettrica sono linee aperte;
5
per un dato punto dello spazio passa una ed una sola linea di
forza, in quanto in ogni punto dello spazio esiste uno ed un solo
~ (pertanto, due linee di forza non
vettore campo elettrico E
possono intersecarsi);
6
all’interno di un conduttore non esistono linee di forza, in quanto la
forza elettrica è nulla;
7
all’esterno di un conduttore e nelle sue immediate vicinanze le
linee di forza devono essere in ogni punto perpendicolari alla
superficie del conduttore stesso. Infatti, se così non fosse,
esisterebbe una componente della forza elettrica parallela a tale
superficie e gli elettroni liberi presenti all’interno del conduttore
non potrebbero essere in quiete.
Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago)
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Ottobre 2013
3/1
Il Teorema di Gauss: enunciato
Definizione
~ e una superficie A immersa in tale campo,
Dato un campo elettrico E
~ attraverso la superficie A la
definiamo flusso del campo elettrico E
quantità scalare
~ =E
~ ·A
~ = EA cos ϕ ,
ΦA E
~ e A.
~
dove ϕ è l’angolo compreso tra i vettori E
L’unità di misura del flusso del campo elettrico è
N·m2
C .
Osservazione
~ è definito nel modo seguente: esso è un vettore
Il vettore area A
perpendicolare alla superficie considerata e ha modulo pari all’area
della superficie stessa.
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4/1
Il Teorema di Gauss: enunciato
Definizione
~ e una superficie A immersa in tale campo,
Dato un campo elettrico E
~ attraverso la superficie A la
definiamo flusso del campo elettrico E
quantità scalare
~ =E
~ ·A
~ = EA cos ϕ ,
ΦA E
~ e A.
~
dove ϕ è l’angolo compreso tra i vettori E
L’unità di misura del flusso del campo elettrico è
N·m2
C .
Osservazione
~ è definito nel modo seguente: esso è un vettore
Il vettore area A
perpendicolare alla superficie considerata e ha modulo pari all’area
della superficie stessa.
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Campo elettrico e Teorema di Gauss
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4/1
Il Teorema di Gauss: enunciato
Definizione
~ e una superficie A immersa in tale campo,
Dato un campo elettrico E
~ attraverso la superficie A la
definiamo flusso del campo elettrico E
quantità scalare
~ =E
~ ·A
~ = EA cos ϕ ,
ΦA E
~ e A.
~
dove ϕ è l’angolo compreso tra i vettori E
L’unità di misura del flusso del campo elettrico è
N·m2
C .
Osservazione
~ è definito nel modo seguente: esso è un vettore
Il vettore area A
perpendicolare alla superficie considerata e ha modulo pari all’area
della superficie stessa.
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4/1
Il Teorema di Gauss: enunciato
Definizione
~ e una superficie A immersa in tale campo,
Dato un campo elettrico E
~ attraverso la superficie A la
definiamo flusso del campo elettrico E
quantità scalare
~ =E
~ ·A
~ = EA cos ϕ ,
ΦA E
~ e A.
~
dove ϕ è l’angolo compreso tra i vettori E
L’unità di misura del flusso del campo elettrico è
N·m2
C .
Osservazione
~ è definito nel modo seguente: esso è un vettore
Il vettore area A
perpendicolare alla superficie considerata e ha modulo pari all’area
della superficie stessa.
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4/1
Teorema (di Gauss)
Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale
al rapporto tra la somma delle cariche elettriche racchiuse da tale
superficie e la costante dielettrica nel vuoto ε0 , cioè
n
P
Q
~ = int =
ΦA E
ε0
Qi
i=1
ε0
.
Ricordiamo che una superficie chiusa che racchiude almeno una
carica elettrica Q è detta superficie gaussiana.
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5/1
Teorema (di Gauss)
Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale
al rapporto tra la somma delle cariche elettriche racchiuse da tale
superficie e la costante dielettrica nel vuoto ε0 , cioè
n
P
Q
~ = int =
ΦA E
ε0
Qi
i=1
ε0
.
Ricordiamo che una superficie chiusa che racchiude almeno una
carica elettrica Q è detta superficie gaussiana.
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5/1
Osservazione
Il Teorema di Gauss è utile per il calcolo dei campi elettrici di
distribuzioni di cariche con particolari simmetrie. É sufficiente trovare il
tipo di simmetria e la corrispondente superficie gaussiana attraverso la
~
quale calcolare il flusso del campo elettrico E.
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6/1
Esempio
Determinare il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q.
Soluzione
La simmetria dello spazio è sferica. Si sceglie come superficie
gaussiana una sfera S centrata nella carica Q. Suddividendo la
superficie della sfera S in tante piccole aree S1 , S2 , . . . , Sn e per ogni
superficie si calcola il relativo flusso, si ottiene
n
X
~
ΦS E = ES1 + ES2 + · · · + ESn = E ·
Si = E(4πr2 ) .
i=1
~ = Q/ε0 , quindi
D’altra parte ΦS E
E(4πr2 ) =
Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago)
Q
Q
⇒ E=
.
ε0
4πε0 r2
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7/1
Esempio
Determinare il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q.
Soluzione
La simmetria dello spazio è sferica. Si sceglie come superficie
gaussiana una sfera S centrata nella carica Q. Suddividendo la
superficie della sfera S in tante piccole aree S1 , S2 , . . . , Sn e per ogni
superficie si calcola il relativo flusso, si ottiene
n
X
~
ΦS E = ES1 + ES2 + · · · + ESn = E ·
Si = E(4πr2 ) .
i=1
~ = Q/ε0 , quindi
D’altra parte ΦS E
E(4πr2 ) =
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Q
Q
⇒ E=
.
ε0
4πε0 r2
Campo elettrico e Teorema di Gauss
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7/1
Esempio
Determinare il campo elettrico generato da una lastra infinita
uniformemente carica.
Soluzione
Consideriamo come superficie gaussiana un cilindro C con asse di
~ è
simmetria perpendicolare al piano. Il campo elettrico E
perpendicolare al piano di densità di carica (sperficiale) σ. Il flusso
sarà
~ = ΦB E
~ + ΦB E
~ + ΦS
~ = ES + ES + 0 = 2ES .
ΦC E
E
1
2
lat
D’altra parte
Q
~ = int = σS .
ΦC E
ε0
ε0
Uguagliando i due membri si ha
E=
Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago)
σ
.
2ε0
Campo elettrico e Teorema di Gauss
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8/1
Esempio
Determinare il campo elettrico generato da una lastra infinita
uniformemente carica.
Soluzione
Consideriamo come superficie gaussiana un cilindro C con asse di
~ è
simmetria perpendicolare al piano. Il campo elettrico E
perpendicolare al piano di densità di carica (sperficiale) σ. Il flusso
sarà
~ = ΦB E
~ + ΦB E
~ + ΦS
~ = ES + ES + 0 = 2ES .
ΦC E
E
1
2
lat
D’altra parte
Q
~ = int = σS .
ΦC E
ε0
ε0
Uguagliando i due membri si ha
E=
Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago)
σ
.
2ε0
Campo elettrico e Teorema di Gauss
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8/1
Esempio
Determinare il campo elettrico generato da una sfera S carica vuota
all’interno.
Soluzione
La simmetria presente è sferica. Poichè all’interno non sono presenti
cariche, il campo elettrico sarà nullo dentro. Sulla superficie della sfera
avremo
~ = 4πr2 E = Qint ⇒ E = Q .
ΦS E
ε0
4πε0 r2
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Campo elettrico e Teorema di Gauss
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9/1
Esempio
Determinare il campo elettrico generato da una sfera S carica vuota
all’interno.
Soluzione
La simmetria presente è sferica. Poichè all’interno non sono presenti
cariche, il campo elettrico sarà nullo dentro. Sulla superficie della sfera
avremo
~ = 4πr2 E = Qint ⇒ E = Q .
ΦS E
ε0
4πε0 r2
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Campo elettrico e Teorema di Gauss
Ottobre 2013
9/1
Esempio
Determinare il campo elettrico di una sfera piena di cariche di raggio R.
Soluzione
La superficie gaussiana è una superficie sferica concentrica di raggio
r. Indichiamo con ρ la densità volumetrica di carica, cioè
ρ=
Si ha
Q
Q
= 4 3.
V
3 πR
~ = E · 4πr2 = Q ⇒ E = Q ,
ΦS E
ε0
4πε0 r2
ρ 4 πr3
E= 3 2 =
4πε0 r
Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago)
Q
4
πR3
3
· 43 πr3
4πε0 r2
=
Campo elettrico e Teorema di Gauss
Q
r.
4πε0 R3
Ottobre 2013
10 / 1
Esempio
Determinare il campo elettrico di una sfera piena di cariche di raggio R.
Soluzione
La superficie gaussiana è una superficie sferica concentrica di raggio
r. Indichiamo con ρ la densità volumetrica di carica, cioè
ρ=
Si ha
Q
Q
= 4 3.
V
3 πR
~ = E · 4πr2 = Q ⇒ E = Q ,
ΦS E
ε0
4πε0 r2
ρ 4 πr3
E= 3 2 =
4πε0 r
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Q
4
πR3
3
· 43 πr3
4πε0 r2
=
Campo elettrico e Teorema di Gauss
Q
r.
4πε0 R3
Ottobre 2013
10 / 1
Esempio
Determinare il campo elettrico generato da una distribuzione lineare
infinita di cariche.
Soluzione
Considerando come superficie gaussiana un cilindro chiuso di raggio r
e lunghezza ∆`, disposto in modo tale da avere l’asse di simmetria
coincidente con la distribuzione di carica, è possibile dimostrare che il
campo elettrico è dato da
E=
λ
,
2πε0 r
essendo λ = ∆Q/∆` la densità lineare di carica.
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11 / 1
Esempio
Determinare il campo elettrico generato da una distribuzione lineare
infinita di cariche.
Soluzione
Considerando come superficie gaussiana un cilindro chiuso di raggio r
e lunghezza ∆`, disposto in modo tale da avere l’asse di simmetria
coincidente con la distribuzione di carica, è possibile dimostrare che il
campo elettrico è dato da
E=
λ
,
2πε0 r
essendo λ = ∆Q/∆` la densità lineare di carica.
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11 / 1
