INDUZIONE ELETTROMAGNETICA
La rivoluzione determinata dall'utilizzo dell'energia elettrica
su larga scala non poteva fondarsi sulla creazione di
corrente ad opera della pila di Volta. Ci voleva un modo più
efficace di produrre corrente.
Spesso, nella storia della fisica, si è ragionato per analogie
e simmetrie; nel caso dell'elettromagnetismo gli scienziati
dell'epoca si domandarono: Se la corrente genera un campo
magnetico, può un campo magnetico generare una
corrente?
Nel 1821, un anno dopo la scoperta di Oersted, il giovane
inglese Michael Faraday (1791-1867), assistente di chimica
autodidatta, ebbe l'incarico di compilare una storia delle
esperienze recenti sull'elettromagnetismo.
Michael Faraday
Faraday ripetè le esperienze nel suo laboratorio e ne programmò altri; si soffermò in
particolare sull'andamento della forza magnetica nello spazio che descrisse in termini di linee di
campo. Fu Faraday, infatti, il primo a proporre la descrizione grafica del campo magnetico (e in
seguito anche quella del campo elettrico) in termini di linee di campo, cui attribuiva una vera e
propria presenza fisica nello spazio, mentre gli scienziati contemporanei ne parlavano in
termini di azione a distanza.
Maxwell, Treatise on Electricity and Magnetism (1873): “. . Faraday, nella sua
immaginazione, vedeva linee di forza che attraversavano l'intero spazio dove i matematici
vedevano centri di forza che si attiravano a distanza; Faraday cercava la sede dei fenomeni
nelle azioni reali che si verificavano nel mezzo, mentre questi erano appagati dall'averla
trovata in una potenza dell'azione a distanza impressa sui fluidi elettrici . .” I grandi della
scienza, Maxwell, p.46
Nel 1824 Faraday tentò di produrre corrente per mezzo del magnetismo e a questo problema
dedicò diversi anni, finchè, nel 1831, arrivò quasi per caso alla soluzione del problema
1
Esperienze in laboratorio
Esperienza 1: si ha a disposizione una bobina connessa ad un amperometro molto sensibile
ed un magnete. Come fare per produrre corrente nella bobina, senza ricorrere ad un
generatore? Fai qualche esperimento, annotando per quali casi riesci a produrre corrente
(osserva l'ago dell'amperometro) e, se l'amperometro ha uno zero centrale, prendi nota
anche del verso della corrente.
Se il magnete viene mosso rispetto
alla bobina, si nota che l'ago
dell'amperometro
si
muove,
segnalando
un
passaggio
di
corrente. In questo caso parliamo di
corrente indotta.
Il movimento dell'ago è tanto più
evidente quanto più veloce è il
movimento. Se il magnete è in
quiete rispetto alla bobina, cessa il
passaggio di corrente indotta.
Si può notare che il verso della corrente indotta dipende dal movimento di avvicinamento (a) o
allontanamento (b) del magnete (muovendo il magnete con moto oscillatorio, il verso della
corrente cambia continuamente). Il verso della corrente dipende anche dal polo magnetico che
si avvicina (o allontana) dalla bobina.
Esperienza 2: si hanno a disposizione due bobine, una A con generatore (circuito primario),
una B senza (circuito secondario), ma collegata ad un amperometro. Fra le due bobine non
c'è contatto elettrico. Bisogna far circolare corrente (indotta) nel circuito secondario.
Se si chiude o si apre l'interruttore della bobina primaria, si
può notare un movimento nell'amperometro collegato al
secondario. La stessa cosa avviene, variando (meglio se
velocemente) la corrente del primario.
Si osserva il verso della corrente indotta (in B) da un
aumento della corrente in A è opposto a quello della
corrente indotta da una diminuzione di corrente in A.
La corrente indotta dura solo per un breve intervallo di
tempo, durante la variazione di corrente in A. Se nel circuito
primario circola invece una corrente anche molto intensa,
ma stazionaria, non si ha corrente indotta nel secondario.
Il fenomeno è molto più evidente se si introduce un nucleo di ferro nelle due bobine. La sua
presenza non è essenziale, ma ne intensifica l'effetto.
2
Legge di induzione elettromagnetica di Faraday Neumann
Con le esperienze di Faraday si è ottenuta la produzione di corrente indotta. Che cosa
accomuna i due esperimenti?
Il circuito in cui circola la corrente indotta è sempre immerso in un campo magnetico (quello
del magnete nel primo esperimento, quello generato dalla corrente del circuito primario nel
secondo esperimento). In condizioni stazionarie, però, non avviene nulla. Il fenomeno di
induzione elettromagnetica si verifica con il cambiamento nel tempo di qualche grandezza.
Cosa cambia nel tempo?
L'intuizione delle linee di campo di Faraday è stata fondamentale per una chiave di lettura del
fenomeno: Faraday capì che la grandezza che variava nel tempo era il numero di linee di
campo magnetico che attraversavano il circuito, in altre parole, la variazione di flusso
magnetico attraverso le spire.
Ricordiamo che il flusso di campo magnetico attraverso una superficie si calcola in modo
analogo al flusso di campo elettrico:
Se il campo magnetico B è uniforme nello spazio e la superficie A è piana, il flusso magnetico
ΦB è definito come il prodotto scalare del vettore B e del vettore superficie A (vettore di
modulo A, perpendicolare alla superficie e verso uscente da essa):
ΦB = B A
Se il campo B non è uniforme o se la superficie A non è piana, il flusso magnetico ΦB è definito
tramite un integrale esteso a tutta la superficie A:
3
L'unità di misura del flusso magnetico è il weber (simbolo Wb)
1 Wb = 1 T m2
Faraday non era un teorico. La legge trovata da Faraday fu espressa matematicamente da
Franz Ernst Neumann (1798-1895), fisico tedesco e prende quindi il nome di
Legge di Faraday-Neumann:
la derivata del flusso di campo magnetico nel tempo rappresenta la forza
elettromotrice indotta nella spira
Si può verificare che la formula ha consistenza dimensionale.
Il segno - della legge è una conseguenza della conservazione dell'energia e determina il verso
della forza elettromotrice indotta e quindi della corrente. Di ciò si occupa la legge di Lenz.
La corrente indotta nella bobina dipende, naturalmente, dalla resistenza elettrica R della
bobina stessa:
iindotta = εindotta / R
4
Legge di Lenz
Potrebbe sembrare che con l'induzione elettromagnetica si ottenga dell'energia elettrica gratis:
come funziona la conservazione dell'energia?
Al fisico russo Heinrich Friedrich Emil Lenz (1804-1865) si deve la seguente scoperta, fatta
nel 1834: la corrente indotta in una spira ha un verso tale da opporsi alla variazione di flusso
che la ha prodotta.
Se si avvicina il polo NORD di un magnete naturale verso una bobina, il flusso magnetico
attraverso di essa aumenta e la corrente indotta che si genera trasforma la bobina in un
elettromagnete con il polo NORD opposto a quello del magnete naturale che si avvicina.
In tal modo si crea una forza magnetica
repulsiva che che si oppone all'avvicinamento:
per muovere il magnete verso la spira occorre
fare un lavoro contro la forza di repulsione ed è
proprio questo lavoro che viene speso in energia
elettromagnetica.
Se invece si allontana il polo NORD del magnete
naturale dalla bobina, il flusso magnetico
attraverso di essa diminuisce e la corrente indotta ha verso tale da trasformare la bobina in un
elettromagnete con il polo SUD verso il magnete che si allontana.
Ora la forza magnetica è attrattiva e si oppone all'allontanamento: il lavoro fatto contro la
forza di attrazione è speso in energia elettromagentica.
E' una questione di conservazione dell'energia: bisogna fare lavoro contro una forza esterna
per avere energia elettromagnetica
5
Spira rotante in un campo magnetico
La forza elettromotrice indotta è dovuta alla variazione nel tempo del flusso magnetico
attraverso una superficie, cioè all'esistenza di una derivata non nulla del flusso rispetto al
tempo:
Il flusso magnetico varia nel tempo se almeno una delle seguenti grandezze non è stazionaria:
1. l'intensità B di campo magnetico
2. l'area A della superficie
3. l'orientazione della superficie, cioè l'angolo α tra il vettore superficie e il vettore campo
magnetico
La dinamo trasforma energia cinetica in energia elettrica. Alla base del suo funzionamento c'è
una spira rotante all'interno di un campo magnetico.
Una spira di area 1 cm2 viene fatta ruotare in un campo magnetico uniforme di 5 mT con una
velocità angolare di 10 rad/s.
Determina la legge di variazione della forza elettromotrice indotta nella spira ed il suo valore
massimo.
Dati del problema
Richieste
A = 1 cm2 = 10-4
m2
superficie della spira
εindotta = f (t)
legge della forza elettromotrice
indotta
B = 5 mT
campo magnetico in cui è immersa la
spira
Vmax
massimo valore della forza
elettromotrice
ω = 10 rad/s
velocità angolare della spira
Se la spira ruota, l'angolo α varia nel tempo con legge lineare α = ω t e quindi il flusso varia
nel tempo con una legge sinusoidale:
Φ(t) = B A cos (ω t)
La derivata di Φ(t) è
Φ'(t) = - B A ω sen (ω t)
e quindi anche la forza elettromotrice indotta varierà nel tempo in modo sinusoidale:
6
εindotta(t) = B A ω sen (ω t)
La
forza
elettromotrice
è
alternata
e
oscilla
con
pulsazione ω e ampiezza
Vmax = B A ω
Sostituendo i dati del problema
si ottiene:
Vmax = 5 10-6 V
7
Induttanza
L'induzione elettromagnetica, cioè la produzione di corrente indotta è stata vista finora come
interazione tra due elementi: bobina e magnete, due bobine o spira e magnete.
Una singola bobina, però, può fungere sia da circuito induttore che da circuito indotto, cioè può
provocare su se stessa la creazione di corrente indotta, accanto alla corrente ordinaria. Questo
avviene ogni volta che c'è una variazione della corrente ordinaria.
In una bobina circola una corrente i stazionaria. Ad un certo istante il valore della corrente
viene bruscamente aumentato. Questa variazione causa una corrente indotta che si
sovrappone ad i. Quale sarà il verso della corrente indotta?
1. il verso della corrente indotta è concorde con i
2. il verso della corrente indotta è opposto a quello di i
Analizziamo alcune analogie tra due diversi componenti di circuiti elettrici: un condensatore
carico ed una bobina percorsa da corrente.
Tra le piastre del condensatore carico si crea un campo
elettrico E uniforme
All'interno della bobina percorsa da corrente si crea un
campo magnetico B uniforme.
Con la legge di Gauss si dimostra che il campo elettrico tra le
Con la legge di Ampère si dimostra che il campo magnetico
piastre cariche vale E = σ / ε0
(con σ densità superficiale di carica ed ε0 costante dielettrica
del vuoto).
creato dal passaggio di corrente vale B = µ0 n i
(con µ0 permeabilità magnetica del vuoto, n densità lineare
delle spire e i intensità di corrente).
Una grandezza caratteristica del condensatore è la capacità C
data dal rapporto costante tra carica Q e differenza di
potenziale V tra le piastre:
Una grandezza caratteristica della bobina è il coefficiente
di autoinduzione o induttanza L data dal rapporto
costante tra il flusso magnetico NΦB concatenato alle N
spire e l'intensità di corrente i:
C = Q / V.
La capacità si misura in farad (simbolo F)
1F=1C/V
L = N ΦB / i
L'induttanza si misura in henry (simbolo H)
1 H = 1 Wb / A
La capacità di un condensatore e l'induttanza di una bobina dipendono unicamente dalle
caratteristiche geometriche e dal mezzo interposto tra le piastre o inserito all'interno delle
spire.
8
Per un condensatore piano con piastre di superficie A poste a distanza d, la capacità vale:
C=
ε A / d (dove ε è la costante dielettrica del mezzo).
Esprimi l'induttanza di una bobina in funzione delle sue caratteristiche geometriche e del
mezzo posto al suo interno.
Le caratteristiche geometriche di una bobina sono:
la lunghezza l
la sezione A delle spire
il numero delle spire N (densità delle spire n = N / l)
Dalla definizione di induttanza si ha:
L = N ΦB / i = N B A / i = N µ0 n i A / i = µ0 N2 A / l
Se all'interno della bobina viene inserito un nucleo di materiale ferromagnetico di permeabilità
magnetica µ, l'induttanza vale:
L = µ N2 A / l
In una bobina lunga 4 cm, formata da 700 avvolgimenti di area 1 cm2 circola una corrente i
stazionaria. Ad un certo istante la corrente diminuisce con una variazione di -300 A/s.
Determina il valore della fem indotta.
Dati del problema
Richieste
l = 4 cm = 4 10-2 m
lunghezza della bobina
N = 700
numero degli avvolgimenti
A = 1 cm2 = 10-4 m2
area degli avvolgimenti
di/dt = - 300 A/s
variazione di corrente nel tempo
µ0 = 1,26 10-6 N/A2
permeabilità magnetica del vuoto
εindotta
forza elettromotrice
indotta
Finchè la corrente è stazionaria non ci sono fenomeni di induzione elettromagnetica, infatti
anche il flusso magnetico NΦB = L i è stazionario nel tempo. Durante la diminuzione di
corrente, si ha una variazione del flusso. Applichiamo la legge di Faraday:
εindotta = - d NΦB / dt = - L di/dt
Dai dati del problema si calcola il valore dell'induttanza: L = 1,54 mH
La forza elettromotrice indotta vale quindi:
εindotta = 0,46 V
9
Il segno positivo significa che essa provoca una corrente indotta concorde con la corrente che
sta diminuendo. La corrente indotta ostacola la diminuzione della corrente ordinaria durante il
tempo della variazione.
Quando la corrente si stabilizza su un nuovo valore, la corrente indotta cessa. In ogni circuito
in cui è presente una bobina, si ha un ritardo nel raggiungimento di una nuova situazione di
equilibrio.
Quando un circuito viene aperto o chiuso, la brusca variazione di corrente provoca una
cosiddetta extracorrente di apertura o di chiusura del circuito. (Spesso togliendo o inserendo
una spina si nota infatti una scintilla dovuta all'extracorrente).
10
CAMPI ELETTRICI INDOTTI
Campo magnetico variabile nel tempo
In un solenoide percorso da corrente si crea un campo magnetico B uniforme. Inseriamo nel
solenoide un anello conduttore di raggio r (minore del raggio del solenoide). Finchè il campo
magnetico rimane stazionario nel tempo, nell'anello non si crea alcuna corrente indotta. Se
però la corrente del solenoide aumenta linearmente nel tempo, anche l'intensità del campo
magnetico B aumenta con una legge lineare.
Quanto vale la forza elettromotrice indotta sull'anello? E che verso ha la corrente indotta?
La corrente (in blu) circola in verso orario e
aumenta nel tempo. Il campo B (in blu) entra
nel foglio ed il suo valore cresce nel tempo.
L'intensità di campo magnetico aumenta nel
tempo con legge lineare:
B(t) = k t (con k > 0)
Il flusso magnetico attraverso l'anello aumenta
nel tempo, con legge:
ΦB (t) = B(t) A cos α = k t A cos α
A = π r2 è la superficie racchiusa dall'anello e α è l'angolo compreso tra il vettore B e il vettore
superficie A. In questo caso si ha cos α = 1
La forza elettromotrice indotta è data dalla derivata (cambiata di segno) del flusso rispetto al
tempo:
εindotta = - k A
L'aumento di flusso magnetico attraverso
l'anello causa una forza elettromotrice
indotta costante e quindi un campo elettrico
indotto E che fa muovere gli elettroni di
conduzione
dell'anello.
In ogni punto dell'anello il campo E indotto
avrà direzione e verso della corrente.
La corrente indotta e il campo E indotto (in
rosso) hanno un andamento antiorario
Per la legge di Lenz, il verso della corrente indotta è antiorario per opporsi alla causa, cioè
all'aumento della corrente del solenoide.
Se la corrente del solenoide diminuisse la corrente indotta nell'anello avrebbe lo stesso verso
(orario) della corrente del solenoide.
Possiamo concludere che:
11
Un campo magnetico variabile nel tempo genera un campo elettrico indotto.
Le linee del campo elettrico indotto sono linee circolari chiuse.
Abbiamo quindi due tipi di campi elettrici:
Il campo elettrostatico creato da cariche elettriche statiche con linee aperte che
nascono e muoiono nei punti in cui si trovano le cariche
Il campo elettrico indotto da una variazione di flusso magnetico, con linee chiuse
perpendicolari alle linee di campo magnetico
Il campo elettrico indotto non ha bisogno
del supporto fisico dell'anello conduttore,
esso è presente in tutto lo spazio (anche
vuoto) al di fuori dell'anello ed anche in
assenza dell'anello, purchè ci sia una
variazione di campo magnetico. Per ragioni
di simmetria, le linee di campo sono sempre
cerchi concentrici perpendicolari alle linee di
campo magnetico.
Il campo E indotto (in rosso) è presente in tutto lo spazio in cui sta variando il campo
B
12
La circuitazione del campo elettrico indotto
Una carica elettrica di prova q0 in un campo elettrico indotto E di
intensità costante si muove su un percorso circolare di raggio r sotto
l'azione della forza elettrica F = E q0
Calcoliamo il lavoro elettrico L fatto per spostare la carica sul percorso
chiuso.
Esso è dato dall'integrale:
In questa ultima espressione possiamo riconoscere la circuitazione del campo E.
Poichè il campo E ha intensità costante su tutto il percorso, l'integrale si può facilmente
risolvere:
L = = q0 E 2 π r
Come si vede, il valore dell'integrale non è nullo, il lavoro dipende dalla lunghezza del percorso
compiuto: questo significa che il campo indotto E non è conservativo!
Il campo elettrostatico è conservativo: il lavoro della forza elettrica lungo un
qualunque percorso chiuso è sempre nullo.
Il campo elettrico indotto non è conservativo: il lavoro della forza elettrica lungo
un percorso chiuso dipende dal percorso compiuto.
Poichè il lavoro L è
L = q0 εindotta, si ha:
La forza elettromotrice indotta è la circuitazione del campo indotto E
La legge di Faraday
elettrico:
può essere scritta in termini di circuitazione di campo
In questa forma essa costituisce una delle equazioni di Maxwell.
13
LA SINTESI DELLA FISICA CLASSICA
Il Newton dell'elettromagnetismo
Nel XVII secolo Newton operò un fondamentale momento di sintesi riconducendo tutte le leggi
della meccanica a soli tre principi.
Le tre leggi della meccanica di Newton riguardano le forze in genere (indipendentemente dalla
loro natura). Esse, insieme alla legge di gravitazione universale che introduce una delle forze
fondamentali della natura (la forza gravitazionale), costituiscono il compendio della meccanica
classica.
Qualunque problema di dinamica può essere affrontato a partire da queste leggi e dall'analisi
della forza agente.
Un ruolo analogo per l'elettromagnetismo svolgono le quattro equazioni di James Clerk Maxwell
enunciate nel 1871. Ad esse va associata l'espressione della forza elettromagnetica di Lorentz,
un'altra delle forze fondamentali della natura.
La meccanica di Newton
L'elettromagnetismo di Maxwell
I principio (legge di inerzia)
I equazione (flusso elettrico)
II principio (proporzionalità tra forza e accelerazione)
II equazione (flusso magnetico)
III principio (legge di azione e reazione)
III equazione (circuitazione di campo elettrico)
IV equazione (circuitazione di campo magnetico)
Forza di gravitazione universale
Forza elettromagnetica di Lorentz
F = G M m / d2
F=qE+qvB
Le leggi dell'elettromagnetismo erano numerose e riguardavano un'ampia casistica di fenomeni
(legge di Coulomb, leggi sui dipoli elettrici e magnetici, interazioni tra correnti, campi
magnetici generati da particolari configurazioni di correnti, induzione elettromagnetica,
proprietà della materia..).
Il merito di Maxwell è stato quello di riorganizzare le conoscenze dell'epoca, individuando quali
leggi potevano diventare il pilastro della nuova teoria:
Le leggi di Gauss per l'elettricità ed il magnetismo
La legge di Faraday sull'induzione elettromagnetica
La legge di Ampère sulla circuitazione del campo magnetico
Ma soprattutto egli sottopose queste leggi a generalizzazioni ed ampliamenti così arditi da
evidenziare nuove conseguenze che aprirono il campo dell'elettromagnetismo all'imprevisto
sviluppo delle onde elettromagnetiche.
Le quattro equazioni di Maxwell sono apprezzate anche per la loro eleganza poichè
interpretano i fenomeni elettrici e magnetici utilizzando una simmetria di forma: il campo
elettrico ed il campo magnetico assumono in queste equazioni un'immagine speculare l'uno
dell'altro.
La fisica classica trovò così la sua sintesi più alta, scambiata allora per il punto d'arrivo
definitivo.
Come oggi sappiamo, oltre alla forza gravitazionale e a quella elettromagnetica, rimanevano
fuori altre forze fondamentali della natura (le forze nucleari) e si aprivano inoltre nuovi e
inesplorati campi di indagine, quelli della fisica quantistica e relativistica.
14
Le leggi sul flusso
Le prime due equazioni di Maxwell sono le due leggi di Gauss per l'elettricità ed il magnetismo.
Esse descrivono la struttura del campo elettrico e del campo magnetico in termini di
andamento delle linee di campo. La grandezza interessata è il flusso dei rispettivi campi. E' il
caso di ricordare che qui si tratta di flusso attraverso una superficie gaussiana, cioè una
superficie chiusa.
Il flusso di campo elettrico e quello di campo magnetico attraverso una superficie gaussiana
sono definiti mediante integrali di superficie:
flusso elettrico
flusso magnetico
Possiamo subito notare una evidente asimmetria tra le due leggi.
Prima equazione di Maxwell (legge di Gauss)
Seconda equazione di Maxwell (legge di Gauss per il
magnetismo)
Il flusso elettrico attraverso una superficie chiusa è proporzionale
alla carica totale racchiusa: esso può essere positivo, negativo o
nullo.
Il campo elettrico indotto non è creato da cariche statiche e quindi
il flusso di un campo elettrico indotto (attraverso una superficie
chiusa) è ovunque nullo.
Il flusso magnetico attraverso una superficie chiusa è
sempre nullo.
Le cariche elettriche sono le sorgenti del campo elettrostatico (a
volte le cariche positive sono dette sorgenti, quelle negative pozzi).
Il campo magnetico non ha mai sorgenti. In natura
non esistono monopoli magnetici, cioè poli NORD o
SUD isolati.
Le cariche rappresentano dei punti di singolarità che interrompono
la continuità delle linee di campo.
Le linee di campo magnetico sono sempre linee
chiuse: non nascono dai poli magnetici, ma
continuano all'interno dei magnete. Il loro verso va
dal NORD al SUD fuori del magnete e dal SUD al
NORD dentro il magnete.
Il ruolo della costante dielettrica ε non è tanto importante dal punto
di vista numerico perché i valori numerici dipendono dalla scelta del
sistema di misura, ma sottolinea che il campo elettrico dipende dal
mezzo ed esiste anche nello spazio vuoto.
Conseguenze: Dalla legge di Gauss si ottiene il valore del campo E
in ogni punto dello spazio in funzione della configurazione delle
cariche sorgenti.
In particolare si ottiene il campo creato da una singola carica
puntiforme, da una sfera e da un piano caricati uniformemente. Si
ricava inoltre la legge di Coulomb, la distribuzione superficiale delle
cariche in un conduttore e la capacità elettrica di un condensatore
piano.
15
Le leggi sulla circuitazione
Le altre due equazioni di Maxwell riguardano la circuitazione del campo elettrico e del campo
magnetico.
Sia il flusso che la circuitazione sono grandezze scalari associate a campi vettoriali e hanno una
definizione integrale.
La circuitazione, come abbiamo visto, è una operazione che si esegue lungo un immaginario
percorso chiuso nella zona di spazio considerata.
La circuitazione di campo elettrico e quello di campo magnetico è definita mediante integrali di
linea:
Circuitazione di campo elettrico in un percorso chiuso
Circuitazione di campo magnetico in un percorso chiuso
Anche qui possiamo notare delle differenze.
Terza equazione di Maxwell (legge di Faraday)
Quarta equazione provvisoria di Maxwell (legge di
Ampère)
La circuitazione di campo elettrico è data dalla derivata del
flusso magnetico rispetto al tempo, cambiata di segno
La circuitazione di campo magnetico è proporzionale alla
sommatoria delle correnti concatenate con il percorso. Le
correnti elettriche (cariche in moto) producono un campo
magnetico nello spazio circostante: le correnti non
possono definirsi sorgenti di campo, perché le linee di
forza non nascono da esse.
La circuitazione di campo elettrico ha le dimensione fisiche di
una forza elettromotrice.
La circuitazione di campo magnetico si misura in weber
(1 Wb = 1 T m2)
Il ruolo della permeabilità magnetica µ, come quello della
costante dielettrica ε, sottolinea che il campo magnetico,
come quello elettrico, dipende dal mezzo ed esiste anche
nello spazio vuoto.
Il campo elettrostatico (creato da cariche elettriche statiche) è
conservativo perché la circuitazione è nulla. In un campo
elettrico indotto (da un flusso magnetico variabile nel tempo),
la circuitazione è diversa da zero e dipende dal particolare
percorso: il campo elettrico indotto non è conservativo e non ha
senso introdurre un potenziale elettrico.
La circuitazione del campo magnetico non è sempre nulla
e dipende dal percorso. Il campo magnetico non è
conservativo e non ha senso introdurre un potenziale
magnetico.
Conseguenze: Con la legge di Faraday si spiegano le correnti
indotte causate dal movimento di un magnete rispetto ad una
bobina, dalla rotazione di una bobina in un campo magnetico,
dalle oscillazioni nel tempo di un campo magnetico e quelle
indotte nel circuito secondario dei trasformatori.
Conseguenze: Dalla legge di Ampère si ottiene il valore
del campo B in ogni punto dello spazio in funzione della
configurazione delle correnti generatrici. In particolare si
ottiene il campo creato da un conduttore rettilineo e da
una bobina.
Una variazione di flusso magnetico crea un campo
elettrico indotto.
Una variazione di flusso elettrico potrà creare un
campo magnetico indotto?
16
Corrente di spostamento
Le due leggi sulla circuitazione sembrano del tutto diverse. Poichè i fisici sono sempre alla
ricerca di simmetrie e analogie, la domanda che si pose Maxwell era: Se una variazione di
flusso magnetico crea un campo elettrico indotto, anche una variazione di flusso elettrico potrà
creare un campo magnetico indotto?
Maxwell aggiunse alla legge di Ampère un termine che la rese quasi simmetrica alla legge di
Faraday: il termine aggiunto è, con opportune correzioni dimensionali, analogo alla derivata
del flusso magnetico.
Maxwell coniò il termine corrente di spostamento per indicare la seguente grandezza:
Dimostra che la corrente di spostamento ha le dimensioni fisiche di una corrente elettrica.
Maxwell pensò che una variazione di flusso elettrico potesse comportarsi, anche nello spazio
vuoto, come una normale corrente in un conduttore e generare quindi un campo magnetico
nello spazio circostante.
Un caso tipico di campo elettrico variabile nel tempo è quello che si stabilisce tra le piastre di
un condensatore piano, mentre esso viene caricato fino alla sua capacità massima.
Durante il processo di carica si ha una situazione non stazionaria in cui il campo elettrico E tra
le piastre aumenta nel tempo.
La corrente di carica scorre nei fili elettrici ma non nel condensatore, quindi, secondo la legge
di Ampère, solo intorno al filo si dovrebbe generare un campo magnetico con una interruzione
del campo nella zona intorno al condensatore.
Dalla legge di Gauss per l'elettricità si deduce che il campo elettrico è legato alla densità σ di
carica sulle piastre ed alla costante dielettrica.
17
E = σ / ε0 = q / A ε0
(con A superficie delle piastre).
Il flusso elettrico attraverso la superficie A delle piastre del condensatore è:
ε0 (con q variabile nel tempo)
ΦE = E A = q /
La derivata del flusso elettrico nel tempo è:
dΦE/dt = 1/ε0 dq/dt
Ma dq/dt è la corrente i di carica che fluisce realmente nel circuito durante il processo di carica
e quindi
i = dq/dt = ε0 dΦE/dt
La corrente di spostamento definita da Maxwell ha lo stesso valore della
corrente reale nel circuito: è come se non ci fosse soluzione di continuità.
La corrente di spostamento genera, intorno al condensatore, un campo magnetico indotto con
linee di forza concentriche e perpendicolari ad E, identico a quello che si crea intorno al filo
elettrico di conduzione.
Il campo E (in rosso) entra nel foglio ed il suo valore cresce nel tempo. Il campo indotto B (in
blu) ha linee di forza concentriche con verso orario (nella corrente di spostamento non c'è il
segno - che è presente nella legge di Lenz.
Quando il condensatore è carico, le condizioni ritornano stazionarie: la corrente di carica cessa
ed il campo E tra le piastre assume il suo valore massimo (costante). Sparisce quindi sia il
campo magnetico intorno al filo, sia il campo magnetico indotto intorno al condensatore.
La corrente di spostamento è un po' diversa da quella di conduzione che è data dal moto
ordinato di cariche in un conduttore; essa si riferisce infatti ad una generica variazione del
campo elettrico. Se la variazione di campo avviene in un mezzo isolante, le molecole del mezzo
sono continuamente sollecitate a deformarsi e si ha quindi un movimento di cariche, che
Maxwell per l'appunto chiamò corrente di spostamento.
Maxwell estese questo concetto anche allo spazio vuoto (il mezzo dielettrico per eccellenza),
dove non esistono molecole da deformare, ma solo il campo elettrico variabile.
Secondo Maxwell, la circuitazione del campo magnetico è legata quindi a due tipi di corrente:
quella normale di conduzione e quella di spostamento: il campo magnetico B può essere
generato, oltre che da corpi magnetizzati e da correnti elettriche, anche da campi elettrici
variabili nel tempo.
18
Leggi di Maxwell
Leggi di Maxwell per campi stazionari
Ed ecco le versioni definitive delle leggi dell'elettromagnetismo di Maxwell:
Legge di Gauss per il campo magnetico
Legge di Gauss per il campo elettrico
Legge di Faraday
Legge di Ampère - Maxwell
Permane l'asimmetria nelle leggi che riguardano il flusso, legata al fatto che non esiste in
natura un monopolo magnetico.
Le leggi sulla circuitazione hanno una struttura simile: ognuno dei due campi è legato alla
variazione nel tempo dell'altro campo: questo rende possibile la propagazione di onde
elettromagnetiche.
19
ONDE ELETTROMAGNETICHE
La propagazione dei campi elettrici e magnetici nello spazio
Dalle leggi dell'elettromagnetismo Maxwell riuscì a prevedere teoricamente l'esistenza di onde
elettromagnetiche che, come le onde meccaniche già conosciute, si sarebbero propagate nello
spazio a grandi distanze dalla sorgente.
In un circuito a corrente alternata sono presenti, oltre alle resistenze, anche dei condensatori
(capacità) e solenoidi (induttanze). All'interno di un condensatore si crea un campo elettrico e
all'interno di un solenoide un campo magnetico.
Sia il campo elettrico, sia quello magnetico oscillano nel tempo con la stessa frequenza della
corrente alternata. Un campo elettrico variabile in modo sinusoidale provoca la creazione di un
campo magnetico indotto perpendicolare e anch'esso sinusoidale (dato che la derivata di un
seno o di un coseno è sempre sinusoidale). A sua volta il campo magnetico induce un altro
campo elettrico indotto perpendicolare e sinusoidale e così via con la propagazione di campi
elettrici e magnetici oscillanti nello spazio, l'uno perpendicolare all'altro.
Da un circuito oscillante si genera quindi una perturbazione a carattere ondulatorio che si
allontana dalla sorgente propagandosi anche nello spazio vuoto.
L'onda elettromagnetica è formata dai due campi in mutua induzione: non può esistere
un'onda solo elettrica o solo magnetica.
Le onde elettromagnetiche sono trasversali, poiché l'oscillazione dei campi elettrico e
magnetico è sempre perpendicolare alla direzione di propagazione
Oscillazione delle Cariche e le Onde Elettromagnetiche
La velocità di propagazione, altissima, dipende dalle proprietà elettriche e magnetiche del
mezzo che esse attraversano e quindi dalla costante dielettrica ε e dalla permeabilità
magnetica µ.
Maxwell dedusse in modo matematico dalle sue equazioni che tale velocità dovesse essere:
20
Dato che il prodotto di queste grandezze assume nel vuoto il valore minore, la velocità di
propagazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto deve essere la massima possibile.
Calcolando la velocità con ε0 = 8.85 10-12 F/m e µ0 = 12.57 10-7 T m / A si ottiene:
velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto
v = 3 108 m/s
La coincidenza di questo numero con la velocità della luce c, non passò inosservata e Maxwell
intuì che la natura delle onde luminose, fino allora sconosciuta, fosse di origine
elettromagnetica.
Si giunse pertanto ad una nuova sintesi: quella tra i fenomeni elettro-magnetici e quelli
luminosi: in questo quadro la luce è una particolare radiazione elettromagnetica.
L'esistenza di radiazioni elettromagnetiche diverse da quelle luminose era soltanto ipotizzata
da Maxwell. Qualche tempo più tardi la conferma sperimentale arrivò da Heinrich Hertz (18571894) nel 1886, qualche anno dopo la morte di Maxwell.
Esperienza di Hertz
Nel 1886, dopo la morte di Maxwell, Heinrich Hertz (1857-1894) ebbe la conferma
sperimentale dell'esistenza di radiazioni elettromagnetiche diverse da quelle luminose.
Hertz osservò la produzione di scintille indotte su un circuito posto ad una certa distanza da un
rocchetto di Ruhmkorff.
Il rocchetto di Ruhmkorff è un trasformatore in cui, da rapide variazioni del primario, si
ottengono elevate tensioni nel secondario che producono scintille tra due sferette metalliche.
L'interpretazione del fenomeno era che il rocchetto fosse la sorgente di una radiazione
elettromagnetica che produceva scintille sul circuito. La natura ondulatoria della radiazione fu
provata da fenomeni di riflessione, rifrazione, interferenza.
21
Lo spettro elettromagnetico
Le onde elettromagnetiche si distribuiscono su uno spettro molto ampio di frequenze (f) e di
lunghezze d'onda (λ) legate fra loro dalla relazione
λf=c
con c velocità delle onde elettromagnetiche nel vuoto
Oggi conosciamo un vasto spettro di radiazioni che possono essere ordinate in base alla
frequenza. La classificazione è del tutto arbitraria e viene fatta rispetto alle applicazioni
pratiche delle onde o alla loro origine; in questo senso gli intervalli di frequenza non sono
molto rigidi e vi sono anche sovrapposizioni.
Nome
Frequenza (Hz)
Origine
telefonia
meno di 3000
circuiti oscillanti
onde radio
104 - 107
circuiti oscillanti
tv, radio
108 - 1010
circuiti oscillanti
microonde
109 - 1012
circuiti oscillanti
infrarosso
1012 - 1014
corpi caldi
luce
4 1014 - 7 1014
corpi incandescenti
ultravioletto
8 1014 - 1016
corpi incandescenti
raggi X
1016 - 1020
elettroni frenati
raggi γ
1020 - 1022
decadimento radioattivo
raggi cosmici
più di 1023
genesi delle stelle
22
Le onde scoperte da Hertz avevano frequenze particolarmente basse, corrispondenti a
lunghezze d'onda di circa 1 m.
La luce ha uno spettro di frequenze un milione di volte maggiore, corrispondente a lunghezze
d'onda intorno ai decimi di micron (1 micron = 10-6 m)
Indipendentemente dalla loro frequenza, tutte le onde elettromagnetiche sono prodotte da
cariche elettriche in moto accelerato. L'accelerazione può essere prodotta in molti modi, ad
esempio facendo oscillare gli elettroni di conduzione di un'antenna per mezzo di differenze di
potenziale sinusoidali (onde radio, microonde), oppure riscaldando un corpo ed aumentando la
frequenza di vibrazione di particelle cariche (infrarosso e visibile), oppure deviando
bruscamente un fascio di elettroni veloci (raggi X).
In ogni caso occorre fornire energia ad una sorgente e questa energia viene emessa nello
spazio sotto forma di onde elettromagnetiche.
23
Interpretazione relativistica del magnetismo
A conclusione del discorso sulla sintesi di Maxwell è opportuno riprendere in esame l'apparente
fallimento del principio di relatività nei fenomeni elettromagnetici.
La forza magnetica, infatti, dipende dalla velocità delle cariche e quindi sembra dipendere dal
sistema di riferimento inerziale da cui i fenomeni sono osservati.
Per renderci conto della questione facciamo un esempio.
Consideriamo un fascio di elettroni emessi da un tubo
catodico sparati a velocità elevata parallelamente ad un
conduttore rettilineo percorso da corrente.
Osservazione sperimentale: se il conduttore viene
percorso da corrente nel verso indicato, il fascio di
elettroni viene attratto dal filo.
Questa constatazione è un fatto e come tale è
indipendentemente dal riferimento.
L'interpretazione del fenomeno, però, è diversa a seconda del sistema di riferimento prescelto.
Riferimento inerziale del laboratorio
Per un osservatore solidale al laboratorio il conduttore è in quiete e gli elettroni sono in
movimento. Gli elettroni del fascio si muovono all'interno del campo magnetico originato dalla
corrente e subiscono quindi una forza magnetica che li attira verso il conduttore.
Riferimento inerziale degli elettroni del fascio
Per un osservatore solidale agli elettroni, gli elettroni sono immobili. Nonostante questo
l'osservatore registra l'esistenza di una forza attrattiva che verso il filo conduttore. Poichè su
una carica in quiete non può agire nessuna forza di origine magnetica, l'osservatore conclude
che sugli elettroni deve agire una forza elettrica che li attrae verso il filo. Da dove ha origine
questa forza elettrica, se il filo è complessivamente neutro?
Per spiegare l'origine della forza elettrica, si ha bisogno di ricorrere alla teoria della relatività
ristretta.
Nel sistema di riferimento degli elettroni del fascio tutto il conduttore si muove a velocità v
molto elevata. Le cariche all'interno del conduttore (ioni positivi ed elettroni di conduzione),
però, hanno velocità differenti.
Gli ioni positivi si muovono insieme al filo
con velocità v.
Gli elettroni di conduzione hanno una
velocità di trascinamento rispetto agli ioni
positivi del reticolo cristallino del metallo e
in verso opposto alla direzione della
corrente.
In definitiva, gli elettroni immobili vedono gli elettroni di conduzione muoversi più lentamente
degli ioni positivi.
24
Sulla base della teoria della relatività di Einstein, sia la
distanza tra gli ioni positivi, sia quella tra gli elettroni di
conduzione subiscono una contrazione dipendente dalla
velocità, ma la distanza tra gli ioni positivi si riduce di
più, con il risultato che la concentrazione di carica
positiva è maggiore della concentrazione di carica
negativa.
Dal punto di vista degli elettroni immobili, il conduttore in moto non appare più
complessivamente neutro, ma con una maggiore concentrazione di carica positiva: l'elettrone
immobile è quindi attratto verso il filo per forza elettrica attrattiva.
Ricapitolando, in tutti e due i riferimenti avviene il seguente fenomeno:
gli elettroni del fascio sono attratti verso il conduttore.
L'interpretazione del fenomeno è diversa nei due riferimenti:
nel riferimento del laboratorio esiste l'azione di una forza magnetica
nel riferimento solidale all'elettrone, esiste l'azione di una forza elettrica
Nell'interpretazione relativistica dell'elettromagnetismo il campo magnetico ed il campo
elettrico appaiono come le due facce di una stessa medaglia.
Si può obiettare che la spiegazione data appare poco credibile, perché, come abbiamo visto, la
velocità di trascinamento degli elettroni di conduzione è molto piccola, dell'ordine di 0.1 mm/s.
Come è possibile che questa piccola velocità dia luogo ad una contrazione relativistica delle
lunghezze in grado di dare effetti così vistosi? Abbiamo infatti detto che gli effetti relativistici
sono sensibili solo alle alte velocità. La risposta va cercata nell'elevatissimo numero di elettroni
di conduzione (dell'ordine di 1022 elettroni/cm3); è così sufficiente un piccolissimo contributo da
parte di ciascuno di essi per avere un effetto totale significativo.
25
