Si vuole verificare se la lunghezza delle foglie di due

Test per Campioni Indipendenti
Indago una variabile X su due popolazioni
X Normale
X Normale
Varianza nota
Varianza ignota
Bidirezionale H0: 1=2
Bidirezionale H0: 1=2
Unidirezionali H0: 1=2
H1:1<2
Unidirezionali H0: 1=2
H1:1<2
Oppure
Oppure
H0: 1=2
H1:1>2
Uso le tavole della Normale
La statistica-test è:
x1  x2
z

n
H0: 1=2
H1:1>2
Se n<30
Uso le tavole della T di Student
x1  x2
(n1  1) s1  (n2  1) s2
n1  n2  2
2
2
 n1  n2 


 n1n2 
 tg
Se n>30
Uso le tavole della Normale
x1  x2
(n1  1) s1  (n2  1) s2
n1  n2  2
2
2
 n1  n2 


 n1n2 
z
Esercizio 1: Si vuole verificare se la lunghezza delle foglie di due specie
di piante è significativamente diversa. A tal fine si estrae un campione di
10 foglie per la specie A e uno di 12 foglie per la specie B che forniscono i
seguenti risultati (in cm)
Specie A Specie B
8
7
6
9
7
5
5
7
7
7
9
8
7
6
7
6
5
5
6
8
8
9
Media campionaria
Varianza campionaria corretta
Maschi
6,7
1,57
Uguaglianza tra le medie:
H0=m=f
Ipotesi bidirezionale
na e nb <30
Valore empirico:
t
6,7  7,1
1,57  9  1,9 11  22 


20
120


 0,67
Femmine
7,1
1,9
Per la proprietà della simmetria della T di Student Pr(T<-0.67) =
Pr(T>0.67). Cerco sulle tavole della T di Student con 20 gdl il valore 0.67
e trovo due valori: 0.5329<0.67< 0.6870 che hanno associato il P-value di
0.3 e 0.25.
Dunque:
2*0.3<P-value<2*0.25
Non ho abbastanza evidenza per rifiutare H0: la lunghezza delle foglie per
le due specie non è significativamente diversa.
Test per Campioni Appaiati
1. X normale
2. campione di ampiezza n
Sulle unità estratte si hanno due misurazioni della variabile Y (prima e
dopo un trattamento, suolo e sottosuolo, etc…), denominate Y1 e Y2
Calcolo le differenze:
d1=y11-y12
……
dn=yn1-yn2
ho costruito un campione di ampiezza n
INDIPENDENTE (d1 è indipendente da d2..)
Variabile Casuale D ~ N(d,2d)
L’ipotesi nulla sarà:
H0: d =0
H1: d ≠ 0
Rifiuto l’ipotesi quando le differenze d sono troppo grandi o troppo
piccole rispetto a 0.
Valore empirico
t
d 0
s2
n
Esercizio 2:
A 6 soggetti viene somministrato un farmaco che può agire sulla pressione.
Qui di seguito vengono riportati i valori della pressione dei soggetti prima
e dopo l’assunzione del farmaco.
sogg.
1
2
3
4
5
6
Y1
160
175
180
185
180
178
Y2
165
170
175
180
180
170
Si verifichi l’ipotesi che il farmaco non abbia effetto.
Devo costruire le differenze d:
sogg.
1
2
3
4
5
6
Y1
160
175
180
185
180
178
Y2
165
170
175
180
180
170
Calcolo la media campionaria delle differenze
standard del campione s=4.69.
d
5
-5
-5
-5
0
-8
d = - 3 e la deviazione
L’ipotesi nulla che dobbiamo verificare è:
H0
=0
Il valore empirico per la t di Student è:
d 0
3
t

 1.57
2
4
.
69
con (n-1=5) gradi di libertà.
s
6
n
So che Pr(T<-1.57 sotto H0) = Pr(T>1.57 sotto H0). Dalle tavole della T
ottengo 1.4759<1.57<2.0150 con una probabilità associata di
2*1>Pvalue>2*0.05
Il Pvalue è comunque maggiore di 0.1 dunque non abbiamo sufficiente
evidenza per rifiutare H0