Indice - Dipartimento di Ingegneria dell`Informazione

Indice
1 Strutture guidanti
1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Cavo coassiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Perdite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Stripline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Microstriscia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Guide a piatti paralleli . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Modo TEM . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Modi TE e TM . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Guida rettangolare . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Modi TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Modi TM . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3 Modo T E10 . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.4 Laboratorio: Determinazione sperimentale
ghezza d’onda e della dispersione in guida
1.7 Guida complanare (CPW) . . . . . . . . . . . . .
1.8 Guida circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Modi TM . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2 Modi TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Guide dielettriche . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1 Modi TE pari . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.2 Modi TE dispari . . . . . . . . . . . . . .
1.9.3 Modi TM pari . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Analisi di circuiti a microonde
2.1 La matrice di impedenza . . . . . . . .
2.1.1 Reciprocità . . . . . . . . . . .
2.1.2 Altre proprietà . . . . . . . . .
2.2 La matrice di ammettenza . . . . . . .
2.3 La matrice ABCD . . . . . . . . . . . .
2.4 La matrice di scattering o di diffusione
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2.4.1
2.4.2
Proprietà della matrice di scattering . . . . . . . . .
Proprietà delle matrici di scattering per alcuni circuiti
ad N porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 L’analizzatore vettoriale di reti (VNA) . . . . . . . .
2.5 Matrici di scattering e simmetria . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Analisi di un circuito due porte simmetrico . . . . . .
2.5.2 Analisi di un circuito tre porte a massima simmetria
2.5.3 Estensione al caso N porte . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Divisori di potenza (simmetria degenere) . . . . . . .
3 Proprietà dei modi in guida
3.1 Ortogonalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Espansione modale in guida . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Guide d’onda e linee di trasmissione . . . . . . . . .
3.3 Potenziali Hertziani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Modi TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Modi TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Singolarità dei campi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Risonanza trasversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Guide parzialmente riempite di dielettrico . . . . . . . . .
3.6.1 Slab verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Slab orizzontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Discontinuità in guida d’onda . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Diaframma induttivo . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Diaframma capacitivo . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.3 Diaframma capacitivo in guida d’onda rettangolare
3.7.4 Diaframmi spessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Reti di adattamento
4.1 Adattatore a λ/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Risposta in frequenza dell’adattatore a λ/4 . . . . . .
4.2 Adattatori multi sezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Progetto di un adattatore multi sezione con risposta di
Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Carta di Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Uso della carta di Smith . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Carta di smith per le ammettenze . . . . . . . . . . .
4.4 Adattamento a singolo stub . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Formule per la progettazione di un adattatore a singolo
stub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.4.2
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4.6
Progetto di un adattatore a singolo stub mediante carta di Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Adattatore a doppio stub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Progetto di un adattatore a doppio stub con carta di
Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Criterio di Bode-Fano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Accoppiatori direzionali
5.1 Accoppiatore direzionale ideale . . . . . . .
5.2 L’accoppiatore reale . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Accoppiamento distribuito . . . . . . . . . .
5.3.1 Accoppiamento distribuito broad-side
5.4 Branch-line coupler o ibrido a 90◦ . . . . . .
5.5 Rat-race coupler o ibrido a 180◦ . . . . . . .
5.5.1 T-Magico . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Accoppiatori direzionali in guida d’onda . .
5.7 Misura riflettometrica . . . . . . . . . . . . .
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193
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6 Dispositivi passivi a microonde
201
6.1 Divisori di potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.1.1 Divisore di Wilkinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
A Relazioni vettoriali
209
B Dimensioni standard delle guide d’onda
211
B.1 Guide d’onda rettangolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
C Funzioni speciali
213
C.1 Polinomi di Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
C.2 Funzioni di Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
iv
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
Capitolo 1
Strutture guidanti
1.1
Introduzione
A bassa frequenza, si pensi alla frequenza 50 Hz di alimentazione degli elettrodomestici, il trasporto dell’energia avviene perlopiù attraverso linee bifilari,
costituite cioè da due fili metallici (rame o alluminio), la cui sezione tipica è
mostrata in Fig. 1.1.
Figura 1.1: Linea bifilare
Quando la lunghezza d’onda, λ = c/f , è molto grande rispetto alle dimensioni del circuito (a 100 Hz λ = 3000 Km in aria), i ritardi di fase
introdotti dalle linee di connessione possono essere tranquillamente trascurati. La caratterizzazione del trasporto di energia in queste strutture avviene
usualmente in termini delle grandezze scalari tensione V e corrente I, anche
se uno studio più approfondito rivelerebbe la presenza di un’onda elettromagnetica, caratterizzata dai vettori campo elettrico E e campo magnetico H,
distribuiti nella regione di spazio compresa tra i fili, alle quali le suddette
grandezze sono legate.
A basse frequenze, l’analisi dei circuiti avviene risolvendo le familiari
equazioni di Kirchhoff alle maglie e ai nodi.
1
2
1.1. INTRODUZIONE
Mentre la caratterizzazione in termini di tensione e corrente di circuiti
a costanti concentrate è dunque facile, tentare di descrivere il campo elettromagnetico è, al contrario, spesso difficile, anche se le leggi che ne fissano
il comportamento sono espresse in forma straordinariamente compatta da
quattro equazioni differenziali meglio note come equazioni di Maxwell:
∂B
∂t
∂D
∇×H = J +
∂t
∇·D = ρ
∇·B = 0
∇×E = −
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
La soluzione delle equazioni di Maxwell può aver luogo soltanto quando
siano specificate le relazioni costitutive, che esprimono le relazioni che legano
il campo elettromagnetico E, H - assunto come grandezza primaria, in questo
testo - ai vettori induzione elettrica e magnetica D, B. Nel caso di mezzo
lineare omogeneo e isotropo, le relazioni costitutive assumono una forma
particolarmente semplice:
D = ǫE
B = µH
(1.5)
(1.6)
dove ǫ [Farad/m] e µ [Henry/m] sono entrambi costanti. In questo caso i
vettori campo e induzione sono paralleli e la costante di proporzionalità non
dipende dalla posizione.
Inoltre, le equazioni di Maxwell non possono essere risolte fin tanto che
non siano specificate, oltre alle relazioni costitutive, le condizioni cui è soggetto il campo sulla superficie che delimita la regione nella quale si sta cercando
la soluzione.
Si può dimostrare che è sufficiente specificare il solo campo tangente alla
superficie che delimita la regione per poter trovare una soluzione unica (vale
anche se le relazioni costitutive sono di tipo non lineare cioè ǫ = ǫ(E), µ =
µ(H)).
I problemi che ci si pone in questo capitolo sono i seguenti: può un’onda
elettromagnetica propagarsi attraverso una struttura uniforme in una direzione che abbia una certa sezione trasversale? In caso affermativo, quali
sono le strutture che, per ragioni fisiche e tecnologiche, meglio si prestano
allo scopo?
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 1. STRUTTURE GUIDANTI
3
Dunque dobbiamo preliminarmente verificare se e sotto quali condizioni
esista una soluzione delle equazioni di Maxwell per la geometria considerata
di tipo:
E(x, y, z) = E0 (x, y) e−jβz
H(x, y, z) = H0 (x, y) e−jβz
(1.7)
che costituisce un’onda. Chiameremo β costante di propagazione. La
costante di propagazione è funzione della frequenza f. La guida si dice non
dispersiva se la dipendenza è di pura proporzionalità, dispersiva altrimenti.
Infatti, poiché le diverse componenti spettrali di un segnale si propagano con
la medesima velocità di fase e di gruppo in una guida non dispersiva, la forma
del segnale non viene alterata durante la propagazione. Nel caso dispersivo
le componenti spettrali si propagano con velocità diverse, provocando una
distorsione o dispersione dell’onda.
Vi sono un numero molto grande di strutture guidanti il cui studio accurato da solo richiederebbe molti libri.
Noi risolveremo il problema elettromagnetico in dettaglio per alcune strutture particolari, guide coassiali, a sezione rettangolare e circolare per le quali
la soluzione può essere ricavata analiticamente.
La soluzione trovata diventerà paradigma della soluzione di altre strutture
guidanti, di grande interesse applicativo, le cui caratteristiche possono essere
ricavate soltanto numericamente. Di queste strutture, microstriscia, cpw,
stripline, illustreremo proprietà ed applicazioni. Le caratteristiche elettriche
saranno fornite al lettore con formule e tabelle, sufficienti alla progettazione
di molti dispositivi e sottosistemi.
All’aumentare della frequenza, le linee bifilari diventano sempre meno
adeguate al trasporto dell’energia a causa dell’attenuazione eccessiva. Infatti, le correnti che fluiscono nei conduttori, da un lato riscaldano i conduttori
stessi (perdite per effetto joule), dall’altro diventano sorgenti di onde elettromagnetiche che per radiazione si disperdono nello spazio circostante (perdite
per radiazione).
Quest’ultime vengono eliminate schermando le linee. Si perviene cosı̀ a
una delle strutture guidanti maggiormente impiegate, il cavo coassiale.
Le configurazioni di campo elettromagnetico compatibili con il cavo coassiale si ottengono risolvendo le equazioni di Maxwell, con le condizioni al
contorno che, nell’ipotesi che i conduttori che costituiscono la linea siano
perfetti (la loro conducibilità elettrica σ [S/m] sia infinitamente grande),
valgono:
E × n = 0 essendo n la normale al conduttore
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(1.8)
4
1.2. CAVO COASSIALE
Infatti, se il campo tangenziale fosse non nullo sulla superficie e quello
totale all’interno dei conduttori, le cariche presenti ne sarebbero accelerate
con conseguente dissipazione di potenza per effetto joule.
Benché tale condizione non sia verificata a rigore, nondimeno molti conduttori possono essere considerati in prima battuta perfetti. I risultati non
differiscono sensibilmente, per molti aspetti, da quelli ottenuti - in modo
tremendamente più difficile - tenendo conto della non idealità dei conduttori.
1.2
Cavo coassiale
Figura 1.2: Sezione trasversale di un cavo coassiale
Trattandosi di una guida costituita da due conduttori, il coassiale è compatibile con la propagazione di un’onda elettromagnetica a qualunque frequenza. Possiamo tentare di trovare una soluzione semplice delle equazioni
di Maxwell, provando con un campo elettrico trasversale rispetto all’asse del
cavo, anzi, diretto soltanto radialmente e non dipendente dalla coordinata
azimutale φ, del tipo:
E = Er (r, z)ar
(1.9)
Un tale campo ha la stessa simmetria cilindrica della struttura e soddisfa
le condizioni al contorno, essendo sempre normale alle superfici dei conduttori interno ed esterno. Inoltre, essendo nulla la carica libera nel dielettrico
compreso fra i due conduttori, deve essere:
1
∇ · E = ∂r (rEr (r, z)) = 0
r
(1.10)
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CAPITOLO 1. STRUTTURE GUIDANTI
5
Ciò accade se Er (r, z) ha la forma
CV (z)
[V /m]
(1.11)
r
La costante adimensionale C viene fissata in modo che l’integrale di linea,
in una sezione trasversale del cavo, del campo elettrico fra i due conduttori,
lungo un percorso qualsiasi, sia uguale alla quantità V(z). E’ immediato
verificare che tale integrale è indipendente dal cammino percorso e il suo
valore è dato da:
Er (r, z) =
Z
b
a
E(l, z) · dl = CV (z) log(b/a)
(1.12)
1
Dunque, la costante C = log(b/a)
.
Il campo appena trovato deve soddisfare tutte le eq. di Maxwell. Calcolando il campo magnetico dalla I equazione di Maxwell, si ottiene
H(r, z) =
1 CV ′ (z)
1
∇×E=
aφ
−jωµ
−jωµ r
(1.13)
Quindi, il campo elettrico deve potersi ricavare dal campo magnetico
attraverso la II eq. di Maxwell:
d2 V (z)
1
1 C dz 2
E(r, z) =
∇×H= 2
ar
jωǫ
k
r
(1.14)
Dunque, è immediato verificare che le due espressioni del campo elettrico
(1.11) e (1.14) sono equivalenti e consistenti con le eq. di Maxwell se V(z)
soddisfa l’equazione:
d2 V (z)
+ k 2 V (z) = 0
2
dz
(1.15)
V (z) = V + e−jkz + V − ejkz
(1.16)
√
Essendo k = ω ǫµ [ m−1 ].
Tale equazione descrive, come ben noto, un’onda. La soluzione generale
vale:
Che rappresenta la somma di due onde, la prima (-) progressiva (che
si propaga nel verso positivo), la seconda (+) regressiva (che si propaga
nel verso negativo). Il campo elettrico e il campo magnetico sono vettori
tra loro ortogonali, con la medesima dipendenza funzionale dalla coordinata
trasversale. Consistentemente con le equazioni di Maxwell, essendo il campo
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6
1.2. CAVO COASSIALE
magnetico trasverso rispetto all’asse della guida, la corrente I(z) che fluisce
nel conduttore interno è data da:
I(z) =
Z
H(l, z) · dl =
1
CV ′ (z)2π
−jωµ
(1.17)
E’ immediato verificare che anche la corrente I(z) deve soddisfare la stessa
equazione d’onda di V e dunque ha la forma:
I(z) = I + e−jkz + I − ejkz
(1.18)
- Impedenza d’onda Avendo in ciascuna sezione z, i campi elettrico e
magnetico trasversali, associati al modo fondamentale che si propaga
nella direzione positiva, la medesima forma, il loro rapporto puntuale
è costante. Tale rapporto ha le dimensioni di un’impedenza e viene
chiamato impedenza d’onda e indicato come Zw . Quindi,
Zw =
r
µ
ǫ
(1.19)
- Impedenza caratteristica Anche il rapporto Z(z)=V(z)/I(z) ha le
dimensioni di un’impedenza. Nelle condizioni di adattamento, tali cioè
che soltanto l’onda progressiva si propaghi lungo la guida, tale rapporto
non dipende dalla sezione z e viene detto impedenza caratteristica e
indicato con Z0 . Nel caso in esame il suo valore è:
Z0 =
r
µ ln(b/a)
ǫ 2π
(1.20)
E’ vero anche che, se in una sezione qualsiasi Z(z) = Z0 = V + /I + =
−V − /I − , allora lungo il cavo vi è soltanto un’onda progressiva.
Si noti che l’impedenza caratteristica Z0 è proporzionale, ma non uguale
all’impedenza d’onda Zw .
1.2.1
Perdite
In un cavo coassiale ci sono due possibili cause di perdita: la dissipazione
nei conduttori e la dissipazione nel dielettrico. Nel caso dei conduttori reali,
questi hanno una conducibilità finita, mentre nel caso dei dielettrici le perdite
sono tenute in conto mediante l’uso di una costante dielettrica complessa,
dove la parte immaginaria e quella reale sono legate tra loro mediante il
tan δ, parametro normalmente fornito dai produttori di dielettrici.
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CAPITOLO 1. STRUTTURE GUIDANTI
7
I conduttori effettivamente impiegati nella realizzazione di strutture guidanti (rame, ottone, leghe di alluminio, argento) hanno una conducibilità σ
elevata ma finita. I valori per alcune leghe sono elencati nella tabella 1.1.
Conducibilità
Argento
Rame
Alluminio
Ottone
σ [S/m]
6.17107
5.8107
3.72107
1.57107
Profondità
di penetrazione
δ [m]
0.0642f −1/2
0.066f −1/2
0.0862f −1/2
0.127f −1/2
Resistenza
superficiale
Rs [Ω]
2.5210−7f −1/2
2.6110−7f −1/2
3.2610−7f −1/2
5.0110−7f −1/2
Tabella 1.1: Conducibilità, profondità di penetrazione e resistenza
superficiale di alcuni materiali
Si presti attenzione al fatto che i valori, nel caso di ottone e alluminio,
si riferiscono a leghe particolarmente adatte alla lavorazione meccanica e
dunque effettivamente impiegate. Cambiando la lega, cambia anche la conducibilità. Non si è riportata la conducibilità dell’alluminio puro, benché
maggiore, perché non lavorabile praticamente.
Nella tabella 1.2 sono invece riportati i valori di permettività dielettrica
e per alcuni dielettrici usati nelle applicazioni a microonde. Da notare che
questi valori variano con la frequenza.
Alumina
Quarzo
Teflon
Ti O2
ǫr
9.5 - 10
3.78
2.08
95 ± 5%
tan δ
310−4
110−4
410−4
110−3
Frequenza [GHz]
10
10
10
6
Tabella 1.2: Costanti dielettriche di alcuni materiali
Cosa comportano le perdite nei conduttori e nei dielettrici? La soluzione
rigorosa del problema elettromagnetico nel caso reale è molto complicata,
dato che al posto delle ideali condizioni al contorno di Neumann e di Dirichelet troviamo difficili condizioni di impedenza che rendono impossibile la
soluzione delle equazioni di Maxwell in forma chiusa. D’altra parte, nel caso
in cui la conducibilità dei conduttori sia elevata e il tan δ piccolo, è comunque
ragionevole supporre che la distribuzione di campo sia molto simile a quella
che si ha nella guida ideale.
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1.2. CAVO COASSIALE
Questo metodo per valutare le perdite prende il nome di metodo perturbativo ed ipotizza un decadimento esponenziale della potenza lungo la linea
di trasmissione:
P (z) = P0 e−2αz
dove P0 è la potenza in ingresso e α è la costante di attenuazione. La
potenza dissipata per unità di lunghezza è quindi uguale a:
∂P
= −2αP0 e2αz
∂z
dove il segno - deriva dal fatto che la potenza è decrescente lungo la linea.
Quindi la costante di dissipazione vale:
α=−
∂P/∂z
2P (0)
Per valutare α, non rimane che valutare la potenza dissipata per unità di
lunghezza dovuta sia alle perdite nei conduttori che alle perdite nel dielettrico
e poi sommarle.
Per calcolare le perdite dovute ai conduttori si parte quindi dalla distribuzione di campo ricavata in assenza di perdite. Corrispondentemente, le
densità di correnti che fluiscono sulle pareti dei due conduttori J = n × H,
in presenza di un’onda progressiva, valgono, sulla superficie del conduttore
interno:
|Jz (a)| = |Hr (a, 0)| = |I + |/a
Pertanto, le potenze per unità di lunghezza Pa e Pb dissipate sui due
conduttori valgono:
Pa = 21 Rs 2π|Jz (a)|
Pb = 12 Rs 2π|Jz (b)|
ove la resistenza superficiale è fornita in tabella 1.1 per alcuni materiali
comuni.
La potenza totale Pc dissipata in calore, per unità di lunghezza, vale:
Pc = Pa + Pb
Dunque, la potenza è tanto maggiore quanto minore è la sezione del coassiale. Inoltre, le perdite sono comunque superiori nel conduttore interno,
essendo la densità di corrente decisamente maggiore.
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CAPITOLO 1. STRUTTURE GUIDANTI
9
Il calcolo delle perdite dovute al materiale dielettrico è enormemente facilitato dal fatto che questo riempie in modo omogeneo lo spazio tra i due conduttori. Fatta questa considerazione la costante di propagazione complessa
è pari a:
γ = αd + jβ =
q
kc2 − k̄ 2 =
q
kc2 − ω 2 µ0 ǫ0 ǫr (1 − tan δ)
Nell’ipotesi in cui tan δ sia molto minore dell’unità tale espressione può
essere approssimata mediante una espansione di Taylor troncata al primo
ordine:
γ=
q
kc2 − k 2 + jk 2 tan δ ≈
dove k 2 = ω 2 µ0 ǫ0 ǫr e jβ =
Quindi l’espressione:
jk 2 tan δ
k 2 tan δ
kc2 − k 2 + q
=
+ jβ
2β
2 kc2 − k 2
q
q
kc2 − k 2 .
k 2 tan δ
[Np /m]
(1.21)
2β
Permette di trovare la costante di attenuazione dovuta al dielettrico nel
caso generale.
Nel caso in esame di propagazione TEM, essendo β = k, l’espressione può
essere ulteriormente semplificata:
αd =
k tan δ
[Np /m]
(1.22)
2
Da notare che le espressioni (1.21) e (1.22) sono del tutto generali e valgono per ogni linea di trasmissione riempita in modo omogeneo di dielettrico,
quindi per cavi coassiali, stripline ed eventuali guide d’onda completamente
riempite.
Se il dielettrico riempie solo parzialmente la struttura, od in generale si
hanno dielettrici diversi, tali formule non sono più valide e l’attenuazione va
calcolata risolvendo le equazioni d’onda per la struttura in esame.
αd =
1.3
Stripline
La stripline è un mezzo trasmissivo planare facile da realizzare e con caratteristiche interessanti. La geometria della struttura è riportata in Fig.
1.3.
La stripline è composta da una striscia conduttiva di larghezza W e spessore t tra due piani conduttori distanti b. Lo spazio tra i due piani di massa è
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10
1.3. STRIPLINE
Figura 1.3: Sezione trasversa di una stripline
riempito con un dielettrico di permettività relativa ǫr . Normalmente la pista
conduttrice è posta al centro della struttura, ovvero la distanza h tra il suo
piano di simmetria orizzontale ed i piani conduttori è pari a b/2.
I due piani conduttori, inoltre, sono mantenuti allo stesso potenziale, ad
esempio realizzando dei fori di collegamento. Dato che la struttura è composta da due conduttori ed il dielettrico riempie in modo omogeneo lo spazio,
è in grado di supportare un modo di propagazione TEM (1.4). Questo è il
modo fondamentale che normalmente si usa per le applicazioni a microonde.
L’effettiva banda utilizzabile dipende dalla frequenza di innesco dei modi superiori e questa può controllata, in prima istanza, attraverso la distanza b
tra i due piani conduttori. Tanto più questa è piccola, tanto maggiore è la
frequenza di taglio dei modi superiori.
Figura 1.4: Linee di campo elettrico trasverso per una stripline
Questo significa che per quanto riguarda la distribuzione trasversa di
campo, esso avrà la stessa distribuzione del campo statico. La soluzione del
problema elettromagnetico va quindi cercata risolvendo l’equazione di Laplace nella sezione della linea di trasmissione. La soluzione di tale equazione
è tuttavia complicata ed in questa sede verranno date solo alcune formule approssimate per il calcolo delle grandezze elettriche fondamentali della
struttura.
Dato che la struttura supporta un modo TEM, la costante di propagazione
può essere semplicemente ricavata con la seguente formula:
β=
√
√
ǫr k0 = ω ǫr ǫ0 µ0
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CAPITOLO 1. STRUTTURE GUIDANTI
11
A partire dalle dimensioni fisiche della struttura, l’impedenza caratteristica vale:
b
30π
Z0 = √
ǫr We + 0.441b
dove We è detta larghezza efficace, od effettiva, della pista conduttrice
centrale e può essere ricavata mediante l’espressione:
W
We
=
−
b
b
(
0
(0.35 − W/b)2
W
b
W
b
≥ 0.35
< 0.35
(1.23)
Per la sintesi della stripline, ovvero il calcolo delle dimensioni fisiche a
partire dalle grandezze elettriche che si desiderano ottenere, la larghezza
della pista può essere ottenuta mediante la seguente:
W
=
b
(
0.85 −
x
√
√
ǫ Z < 120
√ r 0
0.6 − x
ǫr Z0 ≥ 120
dove
30π
x=√
− 0.441
ǫr Z0
1.4
Microstriscia
Figura 1.5: Sezione trasversa di una microstriscia
La microstriscia rappresenta certamente il mezzo trasmissivo più diffuso
per circuiti a microonde. Essa consiste di una striscia metallica di larghezza W su un substrato dielettrico di spessore d, a basse perdite, incollato
su un piano conduttore. La sezione trasversale della microstriscia è spesso
rappresentata come in Fig. 1.5. Il modo fondamentale della microstriscia ha
ovviamente frequenza di taglio nulla, data la presenza dei due conduttori.
La determinazione rigorosa del campo è tuttavia un problema non banale, la
cui soluzione può essere condotta soltanto numericamente. Si tratta infatti
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
12
1.4. MICROSTRISCIA
di risolvere le equazioni di Maxwell in un mezzo non omogeneo e con la presenza della striscia conduttrice. D’altra parte, esistono formule approssimate
che forniscono le caratteristiche elettromagnetiche del modo fondamentale.
Inoltre, nella maggior parte delle applicazioni, si usano linee standard costruite su substrati e dunque anche i risultati in forma grafica consentono di
risolvere un gran numero di casi pratici.
Figura 1.6: Linee di campo trasverso in una microstriscia
Il campo elettromagnetico è perlopiù confinato nella regione compresa
tra la striscia e il piano di massa, come mostrato in Fig. 1.6, e tuttavia una
porzione del campo deborda in aria. Per questa ragione la velocità di fase
è la stessa che si avrebbe se il mezzo fosse omogeneo e avesse permettività
relativa ǫe , detta costante dielettrica effettiva, compresa tra 1 e ǫr . Pertanto
la velocità di fase e la costante di propagazione valgono:
c
vp = √
ǫe
(1.24)
√
β = k0 ǫe
(1.25)
La costante dielettrica effettiva dipende da W e da d ; dipende anche, in
maniera meno evidente, dalla frequenza, giacché, all’aumentare di questa, il
campo si concentra sempre di più nella regione sottostante la striscia e conseguentemente ǫe → ǫr . Le caratteristiche elettriche, ǫe e Z0 , della microstriscia
sono ben approssimate dalle seguenti formule:
ǫe =
Z0 =



ǫr + 1 ǫr − 1
1
+
2
2 1 + 12d/W
W
4d
120π
√
ǫe [W/d+1.393+0.667 ln( W
+1.444)]
d
√60
ǫe
ln
8d
W
+
W/d ≤ 1
W/d ≥ 1
(1.26)
(1.27)
Per progettare una microstriscia che abbia una certa impedenza caratteristica Z0 , il rapporto W/d deve essere:
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CAPITOLO 1. STRUTTURE GUIDANTI


W
=

d
8eA
e2A
n−2
2
B
π
− 1 − ln(2B − 1) +
ǫr −1
2ǫr
13
h
ln(B − 1) + 0.39 −
0.61
ǫr
io
W
d
W
d
≤2
≥2
(1.28)
dove:
A=
B=
q
Z0
ǫr +1
60
2
377π
√
2Z0 ǫr
+
ǫr −1
ǫr +1
0.23 +
0.11
ǫr
Le perdite nella microstriscia sono dovute sia ai conduttori, espresse dalla
costante di attenuazione αc , sia dal dielettrico, espresse dalla costante αd . Le
prime valgono approssimativamente:
αc =
Rs
Z0 W
[Np /m]
(1.29)
q
dove Rs = ωµ0/2σ è la resistenza superficiale del conduttore. Le perdite
dovute al dielettrico possono essere approssimate con la formula:
αd =
k0 tan δ ǫr (ǫe − 1)
√
2
ǫe (ǫr − 1)
[Np /m]
(1.30)
che, a ben guardare, è la (1.22) con un fattore di peso aggiuntivo, visto
che le perdite sono concentrate nel solo substrato.
Per quanto poi riguarda la realizzazione, le strisce vengono ricavate o con
un processo di fotoincisione ovvero con plotter in cui in luogo della penna
vi è una piccola fresa. Ultimamente, sono disponibili sul mercato anche
delle macchine che permettono di depositare strati conduttivi di spessore di
circa 20 µm con tecniche simili a quelle usate dalle stampanti a getto di
inchiostro. Questi processi hanno il vantaggio di poter realizzare i circuiti
anche su substrati flessibili.
Esempio: Calcolare la lunghezza e la larghezza di una microstriscia che
abbia un’impedenza caratteristica di 50 Ω e che produca uno sfasamento di
45◦ a 1 GHz. Lo spessore del substrato d = 1.27 mm mentre la permettività
relativa ǫr = 2.20.
I modi di ordine superiore della microstriscia non vengono dati. La loro
determinazione richiede la soluzione dell’equazione d’onda per via numerica.
D’altra parte, essendo il calcolo dei modi piuttosto complicato, i circuiti planari non vengono normalmente caratterizzati a partire dai modi delle strutture guidanti che li costituiscono. Questi infatti dipendono sensibilmente
dall’involucro metallico che racchiude il circuito e vengono perlopiù rappresentati come combinazione lineare di modi della scatola stessa. Poiché nei
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
14
1.5. GUIDE A PIATTI PARALLELI
problemi pratici (modellazione di un salto di impedenza, di una curva) la
soluzione richiede la conoscenza di un numero molto elevato di modi, spesso
si preferisce cercare di calcolare direttamente per via numerica la soluzione
piuttosto che passare attraverso i modi di ordine superiore.
La sezione trasversale di una microstriscia è sensibilmente più piccola di
quella di una guida rettangolare per due ragioni: da un lato la presenza del
dielettrico (teflon e allumina quali esempi) dall’altro la necessità di lavorare
in regime di mono-modalità. Data la notevole vicinanza tra i conduttori, il
campo nella microstriscia risulta essere confinato in una porzione limitata
di spazio inducendo cosı̀ una notevole densità di corrente sui conduttori con
conseguente incremento delle perdite, notevolmente superiori a quelle di una
guida rettangolare.
Da ultimo, si osservi che nella realtà circuiti trasmissivi a microstriscia
sono sempre incapsulati in una scatola realizzata con un buon conduttore
per evitare che irradino.
1.5
Guide a piatti paralleli
K
x
a
q
z
Figura 1.7: Guida a piatti paralleli
Le guide a piatti paralleli sono formate da due piani conduttori infinitamente grandi posti ad una distanza a (fig. 1.7). Essendo una struttura
a due conduttori può propagarsi sia un modo T EM che, come vedremo nel
seguito, anche strutture di campo non trasverso. Come vedremo questo tipo
di guida è una idealizzazione, in quanto non realizzabile in pratica. Tuttavia, possono essere utili sia da una punto di vista didattico, visto che sono
di facile comprensione, sia da una punto di vista pratico, in quanto alcune
strutture hanno un comportamento che almeno localmente assomiglia alle
guide a piatti paralleli.
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CAPITOLO 1. STRUTTURE GUIDANTI
1.5.1
15
Modo TEM
Il modo Trasversale Elettro Magnetico, T EM, può essere trovato risolvendo
l’equazione di Laplace per il potenziale elettrostatico:
∇2t φ(x, y) = 0
(1.31)
in quanto la configurazione del campo elettromagnetico è la stessa che si
ha nel caso elettrostatico.
Come condizioni al contorno prendiamo un potenziale nullo nel conduttore in y = 0 ed un potenziale pari a V0 nel conduttore in y = a. Se si
suppone che l’onda si propaghi lungo z, nella direzione x non si ha variazione
di campo, quindi la soluzione dell’equazione (1.31) è del tipo:
φ(x, y) = A + By
e le costanti A e B possono essere ricavate applicando le condizioni al
contorno, quindi:
φ(x, y) =
V0 y
a
Il campo elettrico trasverso può essere ricavato calcolando il gradiente
trasverso di questa quantità:
e(x, y) = −∇t φ(x, y) = −ŷ
V0
a
Quindi il campo totale è:
E(x, y, z) = e(x, y)e−jkz = −ŷ
V0 −jkz
e
a
√
dove k = ω ǫµ è la costante di propagazione dell’onda nel mezzo, supposto omogeneo ed isotropo, che riempie la guida. Il campo magnetico può
essere ricavato mediante:
H(x, y, z) =
dove η =
V0
1
ẑ × E(x, y, z) = x̂ e−jkz
η
ηa
q
µ/ǫ è l’impedenza d’onda del mezzo.
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16
1.5. GUIDE A PIATTI PARALLELI
1.5.2
Modi TE e TM
Prima di introdurre il concetto di modo quale soluzione dell’equazione d’onda in guida, vediamo se è possibile ricavare le medesime informazioni con un
metodo alternativo. In particolare ci baseremo sulla teoria dei raggi, considerando onde piane che si propagano e che vengono riflesse dalle pareti
metalliche.
Consideriamo una sorgente posta all’interno della guida, come ad esempio
un dipolo elettrico. In prima approssimazione, mettendoci sufficientemente
lontani, questo dipolo eccita un’onda piana che si propaga all’interno della
guida con un suo vettore d’onda K che identifica la direzione ed il verso di
propagazione. Supponiamo, inoltre, che tale vettore appartenga al piano xz
come in figura 1.7, ipotesi sempre valida in quanto, avendo una struttura
infinita in y e z, possiamo ruotare gli assi di riferimento come vogliamo.
Il campo elettromagnetico di un’onda piana è ortogonale alla direzione di
propagazione. Consideriamo ora due casi notevoli: nel primo il campo H sia
diretto lungo y, nel secondo il campo E sia diretto lungo y.
Rispetto al sistema di riferimento della guida, il campo magnetico rimane
trasverso nel primo caso e quindi parleremo di modi trasversali magnetici
(T M). Nel secondo caso è il campo elettrico a rimanere trasverso e parleremo
di modi trasversali elettrici (T E). Si noti, inoltre, che nel caso T M appaiono
tre componenti di campo nel sistema della guida, cioè Ex , Ez e Hy , mentre
nel caso T E appaiono Hx , Hz e Ey (fig. 1.8).
E
K
q
Z
H
K
H
q
E
Z
Figura 1.8: Orientamento dei campi nella guida. In alto i modi TM (con H
uscente dal foglio), in basso i modi TE (con E uscente dal foglio)
L’analisi seguente è comune alle due famiglie di modi.
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CAPITOLO 1. STRUTTURE GUIDANTI
17
In figura 1.9 è mostrato il percorso del raggio all’interno della guida d’onda. Se si scinde il moto ondoso nelle due componenti ortogonali lungo z e
lungo x. Per la prima si ha una struttura uniforme ed infinitamente lunga,
quindi ci aspettiamo un andamento del tipo e−jβz , mentre per la seconda si
hanno i vincoli dati dalle pareti metalliche.
x
a
A
A
q
z
Figura 1.9: Raggio interno alla guida
Per la conservazione del numero d’onda vale:
K 2 = Kx2 + β 2
dove Kx è il numero d’onda nella direzione trasversa, mentre β è il numero
d’onda nella direzione di propagazione. Questi sono pari a:
Kx = K sin θ
β = K cos θ
In figura 1.9 il raggio che si propaga deve mantenersi indistinguibile nei
′
punti A e A , ciò significa che lo sfasamento subito dall’onda lungo la direzione
X deve essere un multiplo intero di 2π. Dato che l’onda ha percorso una
distanza pari a 2a si ha:
2Kx a = 2nπ
⇒
Kx =
nπ
a
L’angolo di incidenza θ diventa quindi:
K sin θ =
nπ
a
⇒
θ = arcsin
nπ
Ka
Questo significa che l’angolo di incidenza può assumere solo questo valore
affinché si abbia propagazione. In pratica il dipolo eccita delle onde sferiche
nell’intorno di esso e a distanza sufficientemente elevata si ha la sola propagazione del raggio con l’angolo di incidenza giusto. Per ora fermiamoci al
solo modo guidato, più avanti nel libro vedremo come riuscire a descrivere
correttamente anche il campo nell’intorno delle sorgenti.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
18
1.5. GUIDE A PIATTI PARALLELI
L’interpretazione geometrica della propagazione ha un impatto limitato.
Infatti, essa è valida solo se nπ/Ka < 1. Se tale rapporto è maggiore di 1,
gli angoli diventano immaginari e il modello non è più valido. E’ interessante
notare, tuttavia, che per:
nπ
=1
Ka
⇒
θ=
π
2
ciò comporta β = K cos θ = 0. In pratica è come se il raggio rimbalzasse in alto ed in basso sulla guida senza propagarsi lungo z. Questa è la
condizione di taglio del modo.
Modi TM
Vediamo ora come ricavare le caratteristiche di propagazione partendo dall’equazione d’onda per una qualsiasi delle componenti del campo, sia essa
Ex . Questa per i modi T M è:
d2 Ex (x)
+ Kx2 Ex (x) = 0
dx2
Da notare che, essendo la struttura uniforme lungo y, in questa direzione
non ci deve essere variazione del campo elettromagnetico. Possiamo quindi
ridurre il Laplaciano trasverso alla sola derivata seconda rispetto alla variabile
x.
La soluzione di questa equazione d’onda è una combinazione di seni e
coseni:
Ex (x) = A cos Kx x + B sin Kx x
dove A e B sono costanti arbitrarie.
La condizione al contorno di muro elettrico ideale a x = 0, a implica
∂E =0
∂x x=0
sicché B = 0.
Troviamo le altre componenti di campo elettrico attraverso l’equazione
della divergenza (∇ · E = 0):
∂x Ex + ∂z Ez = 0
→
∂x Ex − jβEz = 0
dove ∂y = 0, non avendo variazione lungo tale direzione. Ne deriva che
l’altra componente di campo elettrico è diretta lungo z e vale:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 1. STRUTTURE GUIDANTI
Ez =
19
1
1
∂x Ex =
[−AKx sin Kx x]
jβ
jβ
Tale componente si deve annullare sulle pareti metalliche, essendo tangente ad esse, quindi deve essere necessariamente:
Ez (a) = 0
⇒
Kx =
nπ
a
In definitiva il campo elettrico vale:
Ex (x) = A cos
Ez (x) = −A
nπ
x
a
nπ 1
nπ
sin
x
a jβ
a
dove ad ogni indice n corrisponde un modo T Mn .
La condizione ricavata ora è la stessa di quella ricavata con la teoria dei
raggi, tuttavia ora abbiamo una informazione in più. Se, infatti, nπ/Ka > 1,
allora si ha:
β 2 = K 2 − Kx2 < 0
quindi β diventa immaginario puro (β = −jγ, con γ reale e positivo),
quindi il propagatore si scrive:
e−jβz = e−γz
che indica una attenuazione del modo lungo la direzione z. Questa attenuazione non è dovuta a perdite ohmiche ma dipende dal fatto che il modo
è sotto-taglio, quindi la potenza non si propaga lungo z ma viene riflessa.
Considerando l’infinità (numerabile) di modi T M trovati, questi possono
essere o soprataglio, β reale, oppure sotto-taglio, β immaginario. Questo
dipende da due fattori: la frequenza operativa (quindi il valore di K) e la
distanza a tra i due piani metallici. Regolando questi è possibile scegliere quanti modi saranno in propagazione, essendo la frequenza di taglio dei
singoli modi la seguente:
1
nπ
fc = √
2π ǫµ a
=
n
√
2a ǫµ
(1.32)
Il campo magnetico può essere ricavato, ad esempio, dall’equazione del
rotore di H:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
20
1.5. GUIDE A PIATTI PARALLELI
∇ × H = jωǫE → −∂z Hy = jβHy = jωǫEx
quindi:
Hy =
ωǫ
Ex
β
La quantità Y0 = ωǫ/β è l’ammettenza modale dei modi T Mn . Da notare
che per modi sopra taglio, quindi in propagazione, tale quantità è reale, mentre per modi sotto taglio l’ammettenza (o l’impedenza) diventa puramente
immaginaria.
Dalla teoria delle linee di trasmissione sappiamo che una linea semi infinita con una certa impedenza caratteristica Z0 può essere sostituita con
un carico di pari valore. Questo significa che le guide sopra taglio vengono
viste come dei carichi resistivi, che dissipano energia, mentre le guide sotto
taglio vengono viste come carichi reattivi, ovvero completamente riflettenti.
Questa proprietà è valida ogni volta che si parla di modi sopra taglio e sotto
taglio, per qualsiasi struttura guidante.
In definitiva, i modi T Mn hanno sole tre componenti di campo elettromagnetico: Ex , Ez e Hy .
Il campo Ht può anche essere ricavato tramite
Ht = Y0 ẑ × Et
Si fa notare come le componenti Ex e Hy siano in fase, mentre le componenti Ez e Hy siano in quadratura di fase. Questo significa che c’è trasporto di
potenza solo nella direzione z e non nella direzione trasversa. Per rendersene
conto è sufficiente calcolare il vettore di Poynting:
E × H∗ = −x̂Ez Hy + ẑEx Hy
La componente lungo x̂ è immaginaria, evidenziando che si ha una potenza reattiva. Da notare, inoltre, che la densità di potenza andrebbe integrata
su una superficie infinita, comportando una potenza infinita. Proprio in questo fatto risiede l’idealità della struttura, che può solo essere considerata come
il limite ideale di una struttura reale con una dimensione trasversa molto più
grande dell’altra.
E’ interessante notare l’esistenza di un modo T M0 che ha ampiezza di
campo Ex costante nella direzione trasversa. Inoltre, proprio in virtù del
fatto che n = 0, esso non ha frequenza di taglio e β = K. Come si intuisce
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 1. STRUTTURE GUIDANTI
21
tale modo altro non è che il modo di propagazione T EM visto in precedenza.
A riprova di questo fatto, l’ammettenza modale di questo modo è:
ωǫ
ωǫ
Y0 =
=
=
β
K
s
ǫ
1
=
µ
η
ovvero l’ammettenza modale del modo T EM, o di un’onda piana, che si
propaga in un mezzo omogeneo isotropo.
Usualmente si introduce una normalizzazione sull’ampiezza dei campi,
fatta normalizzando la potenza trasportata dall’onda:
Z
0
a
Ex2 dx
2
=A
Z
a
0
cos2
nπ
xdx = 1
a
Da questa si ricava la costante A:
A=
 q
2

qa
1

a
Modi TE
n>0
n=0
Per i modi T E si procede in maniera analoga ai modi T M. Partiamo dalla
componente Ey e risolviamo l’equazione d’onda:
d2 Ey (x)
+ Kx2 Ey (x) = 0
dx2
Dato che questa componente si deve annullare sulle pareti metalliche della
guida, la soluzione dell’equazione d’onda è di tipo seno:
Ey = A sin
nπ
x
a
evidenziando il fatto che anche i modi T E sono una infinità numerabile e
sono identificati da un indice n. Da notare che tale indice deve essere strettamente maggiore di zero per avere una soluzione non nulla. La frequenza di
taglio dei modi T En è la stessa dei modi T Mn (equazione (1.32)).
Facendone la divergenza si vede che le altre due componenti di campo
devono essere nulle, facendone il rotore si ha:
∇ × E = −jωµ0 H
→
−∂z Ey = jβEy = −jωµ0 Hx
quindi risulta che:
Hx = −
β
Ey
ωµ0
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
22
1.6. GUIDA RETTANGOLARE
in questo caso l’ammettenza modale che lega le componenti di campo
trasverse è:
Y0 =
β
ωµ0
Anche per i modi T E, comunque, è possibile applicare la seguente relazione per trovare il campo magnetico trasverso a partire dal campo elettrico:
Ht = Y0 ẑ × Et
Anche i modi T En possono essere normalizzati rispetto alla potenza viaggiante. L’unica componente che conta nel trasporto della potenza lungo z è
la Ey :
Z
0
a
Ey2 dx
2
=A
Z
a
0
sin2
nπ
xdx = 1
a
che permette di ricavare la costante A:
A=
s
2
a
Da notare che, sia per i modi T Mn che per i T En la vera ampiezza dei
campi dipende dalla sorgente che li eccita.
1.6
Guida rettangolare
Una struttura reale invece è fornita dalla guida rettangolare. essa è costituita
un tubo di buon conduttore a sezione rettangolare, come mostrato in Fig.
1.10. E’ facile comprendere come la propagazione in un tale mezzo non possa
avvenire a frequenza nulla. Se si provasse a connettere una batteria a una
guida rettangolare si avrebbe quale unico effetto un corto tra gli elementi.
D’altra parte, osservando il passaggio della luce (che è pur sempre un’onda
elettromagnetica!) attraverso un tubo conduttore - la prova è molto semplice
da effettuarsi - si comprende che un’onda elettromagnetica può propagarsi
in una struttura siffatta. Si intuisce, inoltre, l’esistenza di una frequenza di
taglio, sopra la quale tale fenomeno può avvenire, e che tale frequenza sarà
legata alle dimensioni della sezione trasversale del tubo.
A parità di frequenza di lavoro, la guida rettangolare ha una sezione
trasversale decisamente più grande di quella di un coassiale o di una microstriscia. Questo fatto comporta una drastica diminuzione della densità di
corrente sulle superfici e una conseguente diminuzione delle perdite Ohmiche.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 1. STRUTTURE GUIDANTI
23
Figura 1.10: Sezione trasversale di una guida rettangolare
Inoltre, ciò corrisponde anche a un aumento consistente della massima potenza alla quale avviene la scarica elettrostatica, il che rende questa soluzione
particolarmente adatta alle applicazioni di potenza. Gli svantaggi risultano
invece il costo aggiuntivo, il maggior peso ed ingombro e la riduzione di banda
rispetto alle strutture TEM.
La soluzione del problema elettromagnetico non può che partire dalle
equazioni di Maxwell, la cui soluzione coinvolge le sei componenti del campo
elettromagnetico che devono soddisfare le condizioni al contorno imposte
dalle pareti metalliche.
Tuttavia, il risultato generale di Hertz, che vedremo più tardi, ci assicura
che sue sole di queste componenti scalari saranno sufficienti a descrivere il
campo. In particolare le sole componenti longitudinali Ez , Hz , che soddisfano
alle seguenti condizioni al contorno:
∂n Hz (x, y) =
0
sul contorno
Ez (0, y)(x, y) = 0
(1.33)
Essendo n la normale al contorno della guida. La dipendenza da z non
appare nelle condizioni al contorno perché stiamo cercando soluzioni di tipo
ondoso con dipendenza da z di tipo esponenziale separata da quella trasversa.
Inoltre, siccome le condizioni al contorno per Ez e Hz sono tra loro disgiunte,
le soluzioni si ottengono considerando separatamente i casi in cui Ez = 0 e
Hz 6= 0 (modi TM o modi H) e Hz = 0 e Ez 6= 0 (modi TE o modi E).
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
24
1.6. GUIDA RETTANGOLARE
1.6.1
Modi TE
L’equazione d’onda per la componente Hz vale:
∇2 Hz + k 2 Hz = 0 sul contorno ∂n Hz (x, y, z) = 0
(1.34)
Come abbiamo detto, stiamo cercando una soluzione ondosa, dunque tale
che Hz (x, y, z) = hz (x, y)e−γz . Effettuando la sostituzione otteniamo:
∇2t hz + kc2 hz = 0 sul contorno ∂n hz (x, y) = 0
(1.35)
hz = A cos kx x cos ky y
(1.36)
essendo kc2 = k 2 + γ 2 . E’ immediato osservare che la soluzione dell’equazione vale:
con kc2 = kx2 + ky2 e kx = mπ
m = 0, 1.. e ky = nπ
n = 0, 1... Si noti
a
b
subito che o n o m devono essere diversi da 0, affinché il campo non sia
identicamente nullo su tutto lo spazio.
Le componenti del campo elettromagnetico possono essere quindi facilmente ricavate:
ex =
ey =
jωµnπ
mπx
nπy
Amn cos
sin
2
kc b
a
b
mπx
nπy
−jωµmπ
Amn sin
cos
2
kc a
a
b
hx =
jβmπ
mπx
nπy
A
sin
cos
mn
kc2 a
a
b
jβnπ
mπx
nπy
A
cos
sin
mn
kc2 b
a
b
mπx
nπy
hz = Amn cos
cos
a
b
La costante di propagazione γ è allora data da:
hy =
γmn =
s
nπ
a
2
mπ
+
b
2
− k2
(1.37)
e risulta essere immaginaria, tipica cioè di un’onda in propagazione soltanto quando
mπ
a
2
+
nπ
b
2
≤ k2
(1.38)
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 1. STRUTTURE GUIDANTI
25
Da questa può essere ricavata la frequenza di taglio per ogni modo T Emn ,
che risulta pari a:
fc mn
kc
1
= √ = √
2π µǫ
2π µǫ
s
mπ
a
2
nπ
+
b
2
Se, come avviene di solito, si indica con a il lato maggiore della guida
d’onda (b ≈ a/2 per la maggior parte delle guide), allora il modo TE di
ordine inferiore (m=1 n=0 ) si può propagare soltanto per valori di k ≥ π/a.
Il modo immediatamente successivo (m = 2 n = 0 o m = 0 n = 1) entra in
propagazione quando k ≥ 2π/a o k ≥ π/b.
Si noti come l’impedenza d’onda, ovvero il rapporto tra le ampiezze dei
campi trasversi, per tutti i modi T Emn abbia la seguente forma:
ZT E mn =
1.6.2
Ey
kη
ωµ
Ex
=−
=
=
Hy
Hx
βmn
βmn
Modi TM
L’equazione d’onda per la componente E z vale:
∇2 Ez + k 2 Ez = 0 sul contorno Ez (x, y, z) = 0
(1.39)
∇2t ez + kc2 ez = 0 sul contorno ez (x, y) = 0
(1.40)
ez = B sin kx x sin ky y
(1.41)
Come abbiamo detto, stiamo cercando una soluzione ondosa, dunque tale
che Ez (x, y, z) = ez (x, y)e−γz . Effettuando la sostituzione otteniamo:
essendo kc2 = k 2 + γ 2 .
E’ immediato osservare che la soluzione dell’equazione vale:
con kc2 = kx2 + ky2 e kx = mπ
m = 0, 1.. e ky = nπ
m = 0, 1... Si noti subito
a
b
che sia m che n devono essere diversi da 0 affinché ez sia non nullo.
Le altre componenti del campo elettromagnetico possono quindi essere
facilmente derivate mediante le equazione di Maxwell:
ex = −
jβmπ
mπx
nπy
Bmn cos
sin
2
kc a
a
b
jβnπ
mπx
nπy
Bmn sin
cos
2
kc b
a
b
nπy
mπx
sin
ez = Bmn sin
a
b
ey = −
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
26
1.6. GUIDA RETTANGOLARE
hx =
jωǫnπ
mπx
nπy
Bmn sin
cos
2
kc b
a
b
hy = −
mπx
nπy
jωǫmπ
B
cos
sin
mn
kc2 a
a
b
La costante di propagazione γ è allora data da:
s
nπ 2
mπ 2
+
− k2
(1.42)
γmn =
a
b
e, affinché il modo sia in propagazione, deve risultare immaginaria pura:
nπ 2
mπ 2
+
≤ k2
(1.43)
a
b
Se, come avviene di solito, si indica con a il lato maggiore della guida
d’onda (pari a 2b nella maggior parte delle guide standard, appendice B),
allora il modo TM di ordine inferiore (m=1 n=1 ) si può propagare soltanto
per valori di k 2 ≥ ( πa )2 + ( πb )2 . Nel caso di guide standard, la frequenza di
taglio del 1◦ modo TM risulta dunque superiore a quella del 2◦ modo TE.
Per i modi T M l’impedenza d’onda assume il valore:
ZT M mn =
1.6.3
Ey
βmn η
βmn
Ex
=−
=
=
Hy
Hx
k
ωǫ
Modo T E10
Nella banda di frequenze in cui π/a ≤ k ≤ 2π/a soltanto una delle soluzioni TE e TM dell’equazione d’onda rappresenta un’onda elettromagnetica
e questa corrisponde al modo T E10 . Tale soluzione viene detta modo fondamentale della guida e la regione di frequenza banda di monomodalità. Il
campo elettromagnetico per il modo fondamentale della guida rettangolare
ha nella sezione trasversale la seguente forma:
Ey (x, y) = A sin πa x
Hx (x, y) = ωµβ 0 A sin πa x
π/a
A cos πa x
Hz (x, y) = j ωµ
0
(1.44)
q
La curva β(f ) = k02 − (π/a)2 presenta una caratteristica fortemente non
lineare, in particolare nella regione in cui β ≈ 0. In tale regione, inoltre, la
sensibilità di β rispetto alla frequenza è piuttosto elevata. Questa è una delle
ragioni per cui si preferisce impiegare le guide d’onda a partire da frequenze
dell’ordine di 1.3 fc . In Fig. 1.11 è riportato come esempio l’andamento
del β in funzione della frequenza nella banda di monomodalità della guida
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 1. STRUTTURE GUIDANTI
27
WR-90 (per maggiori informazioni sugli standard delle guide d’onda vedere
l’appendice B).
Figura 1.11: Costante di propagazione β per una guida WR-90
Il fatto di avere una costante di propagazione che non varia linearmente
con la frequenza, diversamente da quanto accadeva nei modi TEM, ha diverse
conseguenze. Ad esempio, la lunghezza d’onda, definita come la distanza tra
due piani equifase dell’onda, è data da:
λg =
2π
λ
=r
2
β
λ
1 − 2a
Tale lunghezza d’onda λg prende il nome di lunghezza d’onda in guida.
Da notare che, essendo λ/2 < a quando il modo T E10 è in propagazione, la
lunghezza d’onda in guida è sempre maggiore della lunghezza d’onda nello
spazio libero λ (Fig. 1.12).
In figura 1.13 è riportata la velocità di fase (vf = ω/β) sempre per una
guida WR90.
mentre la figura 1.14 mostra l’andamento della velocità di gruppo
vg =
dω
dβ
La dipendenza della velocità di fase vf , o della velocità di gruppo vg , dalla
frequenza viene definita dispersione. Quando un segnale con una certa banda
si propaga in un mezzo dispersivo, ogni componente di frequenza viaggia con
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
28
1.6. GUIDA RETTANGOLARE
Figura 1.12: Confronto tra la lunghezza d’onda in guida λg per una guida
WR-90 e la lunghezza d’onda nello spazio libero λ
una diversa velocità di fase e viene sfasata in maniera diversa distorcendo il
segnale. Tale distorsione è tanto più accentuata quanto più si lavora vicino
alla frequenza di taglio e tanto più la banda del segnale è larga. Dal grafico
in Fig. 1.13 si nota come la vf sia sempre maggiore della velocità della
luce (ca. 3 · 108 [m/s]) e tenda a questo valore asintoticamente al crescere
della frequenza. Questo comportamento non è in violazione della teoria della
relatività, in quanto ciò che conta è la velocità con cui si propaga l’energia,
ovvero la velocità di gruppo. Essa si mantiene sempre al di sotto della velocità
della luce e tende a questa asintoticamente al crescere della frequenza (Fig.
1.14).
Le perdite giocano un altro ruolo essenziale. Per calcolarle, si procederà
come per il cavo coassiale, supponendo ideale la distribuzione di corrente
sulle superfici conduttrici e calcolando le perdite che risultano dal considerare
finita la conducibilità. Corrispondentemente, le correnti che fluiscono sulle
pareti della guida hanno la seguente distribuzione (J = n × H):
Sulle pareti larghe (y = 0 y = b):
|Jz (x)| = |Hx (x, 0)| =
|Jx (x)| = |Hz (x, 0)| =
β
A sin πa x
ωµ0
π/a
A cos πa x
ωµ0
(1.45)
Pertanto, la potenza Pl , per unità di lunghezza, dissipata su ciascuna
parete larga vale:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 1. STRUTTURE GUIDANTI
29
Figura 1.13: Velocità di fase vf per una guida WR-90
i
1 (π/a)2 + β 2 2
1 Z ah
|Jz (x)|2 + |Jx (x)|2 dx = Rs
Pl = Rs
A a/2
2
2
(ωµ0)2
0
(1.46)
Analogamente, la corrente che fluisce sulle pareti laterali vale:
|Jy (y)| = |Hz (0, y)| =
π/a
A
ωµ0
(1.47)
Conseguentemente, la potenza Ps , per unità di lunghezza, dissipata su
ciascuna parete stretta vale:
1
Ps = Rs
2
Z
0
b
"
#2
1
π/a
|Jz (y)| dy = Rs
A
2
ωµ0
2
b
(1.48)
Pertanto la potenza totale dissipata sulle pareti si ottiene sommando Ps
e Pl . L’attenuazione α per unità di lunghezza è data dal rapporto tra la
potenza dissipata e quella che viaggia nella guida nella sezione z=0 :
P =
Z Z
E×H·z
quindi:
α=
2(Pl + Ps )
P
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
(1.49)
30
1.6. GUIDA RETTANGOLARE
vf [109 m/s]
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
6
7
8
9
10
11
12
f [Ghz]
Figura 1.14: Velocità di gruppo vg per una guida WR-90
Le perdite nel dielettrico non vengono considerate, in quanto la guida
d’onda rettangolare è sempre vuota o riempita di aria. Nelle strutture guidanti viste precedentemente (coassiale, microstriscia, etc.), il dielettrico ha
lo scopo meccanico di sostenere i conduttori e distanziarli tra loro. La guida
rettangolare è, invece, una struttura rigida e non ha bisogno di dielettrico
interno, il cui uso sarebbe solo controproducente, in quanto avrebbe l’unica
conseguenza di aumentare le perdite complessive.
Esercizi sulla guida rettangolare
1) Si scelga, dalla tabella in appendice B, una guida d’onda rettangolare per
lavorare intorno alla frequenza di 14 GHz, in modo da minimizzare le perdite.
2) Si calcoli la costante di attenuazione α in dB/m per il modo fondamentale in una guida rettangolare di rame di dimensioni a=7.112 mm, b=3.556
mm (WR28) alla frequenza di 35 GHz.
3) Si ripeta il calcolo nel caso in cui l’altezza diventi b/2, 2b.
4) Si confrontino le perdite con quelle di un cavo coassiale, di dimensioni
Ri = Re =, tali da garantire la propagazione del solo modo TEM.
5) Si confrontino le perdite con quelle di una microstriscia, di dimensioni
W=, d=, costante dielettrica ǫr =, tan δ = , tali da garantire la propagazione
del solo modo quasi TEM.
6) Si calcoli la massima potenza gestibile da una guida rettangolare WR
90.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 1. STRUTTURE GUIDANTI
1.6.4
31
Laboratorio: Determinazione sperimentale della
lunghezza d’onda e della dispersione in guida
La determinazione sperimentale della lunghezza d’onda in guida avviene, in
linea di principio, misurando la distanza fra due minimi o due massimi di
campo elettrico dell’onda stazionaria che si instaura in un tratto di guida
alimentata con un generatore da un lato e cortocircuitata dall’altro. La
misura del campo richiede naturalmente un accesso alla guida, in modo da
poter captare il campo mediante un probe, praticamente una piccola antenna.
Figura 1.15: Guida fessurata con probe mobile
Tipicamente si cerca di praticare una apertura in modo da perturbare
il meno possibile il campo interno della guida, in modo che il sistema di
misura non interferisca con il funzionamento del dispositivo. Questo può
essere fatto aprendo una fessura al centro del lato largo della guida d’onda
(fig. 1.15), in modo da non tagliare le linee di corrente presenti sulla parete
della guida. Se si vuole captare il campo elettromagnetico all’interno di un
coassiale, basterà praticare una fessura longitudinalmente al cavo stesso. Da
notare che, in entrambi i casi, il probe è parallelo al campo elettrico interno
ed in guida d’onda è posizionato al centro del lato largo dove il campo è
massimo.
Figura 1.16: Carrellino utilizzato per effettuare la misura della dispersione
Per effettuare questo tipo di misura esistono dei carrellini millimetrati
adatti allo scopo (fig. 1.16). Tramite la piccola manovella è possibile spostare
il probe che capta il campo presente all’interno della guida (rettangolare o
coassiale).
Lo schema delle connessione del banco di misura è raffigurato in fig. 1.17.
Il generatore è connesso, tramite una transizione coassiale-guida, alla guida
d’onda fessurata e questa è chiusa su un corto circuito. Il segnale generato
non è sinusoidale, ma è costituito da una portante sinusoidale a radiofrequenza modulata in ampiezza con un’onda quadra di frequenza circa 1 KHz. Il
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
32
1.7. GUIDA COMPLANARE (CPW)
Generatore
Rosmetro
Corto
circuito
Figura 1.17: Banco di misura per verificare la dispersione della guida d’onda
segnale modulato, quindi, non ha uno spettro costituito da un singolo tono,
ma possiede uno spettro di una certa larghezza di banda che però è molto
inferiore rispetto alla portante (dell’ordine di 1 milionesimo). Per questo motivo possiamo sicuramente considerare il segnale che si propaga nella guida
d’onda come monocromatico e riuscire a misurarne la lunghezza d’onda. A
valle del probe c’è un demodulatore di ampiezza, che permette di rilevare il
segnale modulante da 1 KHz e mandarlo ad un ROSmetro.
Il ROSmetro misura la tensione picco-picco dell’onda quadra che gli arriva
e fornisce l’indicazione con un ago. Da un punto di vista operativo, spostando
il carrellino avanti e indietro lungo la linea si vede l’ago del ROSmetro che
oscilla tra un valore massimo ed uno minimo. Questi corrispondono ai punti
di massimo e minimo, rispettivamente, del campo elettrico interno alla guida,
permettendo la localizzazione di questi e la misura della distanza esistente
tra essi.
Con questo sistema è possibile trovare la lunghezza d’onda per diverse frequenze e, confrontando i valori ottenuti con la lunghezza d’onda nello spazio
libero, è possibile verificare sperimentalmente il fenomeno della dispersione
in guida d’onda rettangolare.
Il sistema non consente di ottenere valori precisi e attualmente è utilizzato
solo per scopi didattici e non in ambienti di produzione. Tuttavia, consente
allo studente di capire come funziona una guida d’onda in maniera semplice
e diretta.
1.7
Guida complanare (CPW)
La guida CPW (coplanar waveguide) costituisce una alternativa molto valida alla microstriscia nelle applicazioni a frequenze millimetriche. Infatti,
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 1. STRUTTURE GUIDANTI
33
Figura 1.18: Guida coplanare
dalla figura si vede che i tre conduttori sono tutti posti sulla faccia superiore
e quindi facilmente accessibili dall’esterno. L’inserimento di un dispositivo
attivo (a tre piedini) avviene molto semplicemente e la realizzazione di un
cortocircuito avviene senza la necessità di forare il dielettrico (e metallizzare
il foro) con evidenti vantaggi economici. Ma soprattutto, la CPW è la struttura guidante ideale nella realizzazione di circuiti monolitici integrati. Per la
presenza di tre conduttori, i modi fondamentali sono quasi TEM. Chiameremo il primo pari e il secondo dispari con riferimento alla simmetria della
componente dominante del campo elettrico Ex rispetto al piano di simmetria
della guida. Una caratterizzazione accurata della CPW può avvenire soltanto risolvendo le equazioni di Maxwell con una delle tecniche numeriche viste
per la microstriscia. Analogamente alla microstriscia, la dispersione, seppur
presente, può essere trascurata in prima approssimazione. I risultati possono
comunque essere compendiati dalle seguenti formule approssimate relative
alla dispersione ed ai parametri elettrici essenziali della CPW.
Nel caso più semplice, ovvero considerando il piano di massa sottostante
la CPW molto lontano (h ≫ 2W + S) è possibile definire una costante
dielettrica efficace nel seguente modo [15]:
ǫe =
ǫr + 1
2
Mentre l’impedenza caratteristica della linea è data da:
′
120πK(k )
Z0 = √
4 ǫe K(k)
Dove K(k) è l’integrale ellittico completo del primo tipo (vedere appendice ????) e:
S
k =√S+2W
k = 1 − k2
′
La frequenza di taglio del primo modo di ordine superiore dipende dalla
scatola metallica che racchiude il circuito.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
34
1.8. GUIDA CIRCOLARE
1.8
Guida circolare
Figura 1.19: Sezione trasversa di una guida circolare
La guida circolare viene impiegata per due ragioni principali:
- La sezione consente la connessione con giunti rotanti, essenziali nell’alimentazione di antenne che, come nel caso di radar nautici, devono
poter ruotare.
- Le distribuzioni di campo elettromagnetico associate alla guida circolare si adattano particolarmente ad alcune applicazioni.
Sebbene il comportamento di una guida circolare sia analogo a quello
della guida rettangolare, almeno qualitativamente, l’analisi risulta un poco
complicata dall’adozione del sistema di coordinate cilindrico che ben si sposa
con le condizioni al contorno della geometria in esame. Una componente
longitudinale φ(r, θ) del campo elettromagnetico deve soddisfare l’equazione
d’onda, che in coordinate cilindriche diventa:
1
1
∂r2 φ + ∂r φ + 2 ∂θ2 φ + kt2 φ = 0
r
r
Con le condizioni al contorno di tipo Neumann o Dirichelet a seconda che
φ sia la componente longitudinale di campo magnetico (modi TE) o elettrico
(modi TM).
Data la natura della guida d’onda è possibile applicare la separazione
delle variabili φ(r, θ) = f (r)g(θ) giungendo all’equazione:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 1. STRUTTURE GUIDANTI
35
r 2 d2 f (r)
r df (r)
1 d2 g(θ)
2 2
+
+
r
k
=
−
t
f (r) dr 2
f (r) dr
g(θ) dθ2
L’equazione è soddisfatta se i termini a sinistra e a destra sono pari alla
stessa costante v 2 , giungendo quindi al seguente sistema di equazioni:



d2 f (r)
dr 2
+
1 df (r)
r dr
d2 g(θ)
dθ 2
+ f (r) kt2 −
v2
r2
+ g(θ)v 2 = 0
=0
La seconda è una equazione armonica, data la simmetria cilindrica della
struttura, la funzione g(θ) deve essere periodica di 2π, quindi v non può
assumere qualsiasi valore ma deve essere per forza un intero (v=n).
Sostituendo l’indice intero nella seconda equazione si ha:
d2 g(θ)
= −n2 g(θ)
2
dθ
questa ammette soluzioni del tipo:
A1 cos(nθ) + A2 sin(nθ)
Le due soluzioni sono del tutto equivalenti dal punto di vista delle condizioni al contorno e possono presentarsi entrambe.
A ben guardare, si nota che la coordinata θ è stata definita in base ad una
semiretta che in Fig. 1.19 è orizzontale. Data la simmetria cilindrica della
struttura, l’orientamento di tale semiretta è arbitrario, rendendo di fatto
arbitraria la polarizzazione del campo all’interno della guida.
L’orientamento effettivo del campo dipenderà dalla struttura fisica del
componente, in particolare dalla sorgente e da eventuali discontinuità presenti nella guida. La capacità della guida circolare di supportare un campo
elettromagnetico la cui polarizzazione è arbitraria può essere proficuamente
utilizzata in diversi componenti a microonde, come i giunti rotanti dei radar,
rotatori di Faraday, etc.
Sostituendo l’indice n intero nella prima equazione si ha:
d2 f (r) 1 df (r)
n2
2
+
+
f
(r)
k
−
t
dr 2
r dr
r2
!
=0
che è una equazione differenziale del 2◦ ordine di Bessel (Appendice C.2)
ed ammette due soluzioni indipendenti:
- Jn (Kt r) funzioni di Bessel del primo tipo di ordine n
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
36
1.8. GUIDA CIRCOLARE
n/i
0
1
2
1
2
3
2.405 5.520 8.652
3.832 7.016 10.174
5.135 8.417 11.620
Tabella 1.3: Zeri delle funzioni di Bessel
- Nn (Kt r) funzioni di Bessel del secondo tipo (o di Neumann) di ordine
n
Dato che le funzioni del secondo tipo hanno una singolarità nell’origine,
esse non costituiscono una soluzione fisicamente accettabile per il problema
in esame, quindi la soluzione generale assume la forma:
φ(r, θ) = (A1 cos(nθ) + A2 sin(nθ)) Jn (Kt r)
L’analisi ora può continuare differenziando i casi di onde TM e TE.
1.8.1
Modi TM
In questo caso la componente longitudinale è la Ez , quindi la condizione al
contorno da applicare è:
φ(a, θ) = 0
che in pratica si riduce a cercare gli zeri delle funzioni di Bessel Jn (Kt a) =
0. La tabella 1.3 riporta i valori di Kt a per i quali si ha l’annullamento della
funzione di Bessel fino all’ordine n=2:
Come si vede il valore più basso è quello relativo al primo zero della
funzione di ordine 0. Come già visto per i modi in guida rettangolare, anche
per la guida circolare è opportuno usare due indici per identificare il modo
considerato. Quindi si parlerà di modi T Mni dove gli indici hanno il seguente
significato:
- n è l’ordine della funzione di Bessel considerata
- i è l’ordine dello zero della funzione
Con gli indici assegnati, il modo TM che si innesca per primo è, quindi,
il T M01 e l’espressione del campo elettrico longitudinale è:
Ez = J0
2.405
r e−jβz
a
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 1. STRUTTURE GUIDANTI
n/i
0
1
2
37
1
2
3
3.832 7.016 10.174
1.841 5.33 8.536
3.054 6.706 9.970
′
Tabella 1.4: Zeri delle funzioni Jn
1.8.2
Modi TE
Nel caso di modi TE la componente longitudinale è la Hz , quindi la condizione
al contorno che deve essere soddisfatta è:
∂φ(r, θ)
|r=a = 0
∂r
la quale si traduce nel cercare gli zeri della derivata prima della funzione
di Bessel:
′
Jn (Kt a) = 0
(1.50)
Nella tabella 1.4 sono riportati i valori di Kt a per i quali si ha l’annullamento della (1.50):
Usando lo stesso schema dei modi TM per definire gli indici, il primo modo
trasverso elettrico che si innesca è il T E11 , che è anche il modo fondamentale
della guida circolare. Il campo magnetico longitudinale assume quindi la
forma:
H z = J1
1.841
r (A1 cos θ + A2 sin θ) e−jβz
a
Dove A1 e A2 sono da determinare in base all’eccitazione.
La regione di monomodalità si estende nell’intervallo 1.841 ≤ Kt a ≤
2.405, anche se da un punto di vista pratico, considerata l’elevata dispersione della guida vicino alla frequenza di taglio, l’intervallo effettivamente
utilizzabile è circa il 70%.
1.9
Guide dielettriche
Nelle guide dielettriche il confinamento dell’onda elettromagnetica è possibile
grazie al solo contrasto di dielettrico che si instaura tra due mezzi di diversa
densità. Supponiamo di avere una lastra (o slab) di dielettrico con indice
di rifrazione n1 immersa in un mezzo meno denso di indice di rifrazione
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
38
1.9. GUIDE DIELETTRICHE
n2 < n1 . Secondo l’ottica geometrica, se un’onda elettromagnetica incide
sulla superficie di separazione con un angolo superiore ad un valore critico
θc , allora si avrà una riflessione totale, garantendo la propagazione dell’onda
all’interno della barra dielettrica (Fig. 1.20).
Figura 1.20: Slab dielettrico
Essendo lo slab infinito lungo la direzione y, il moto ondoso si scinde in
due componenti:
- una lungo l’asse z del tipo e−jβz
- una lungo l’asse x del tipo e±jKx x , dove Kx è il numero d’onda nella
direzione x, che rappresenta un’onda stazionaria
Riferendoci alla figura 1.20, l’onda nella direzione x deve essere indistin′
guibile nei punti A e A , cioè deve avvenire:
2Kx 2d = 2nπ
ovvero:
nπ
2d
inoltre, il numero d’onda si deve conservare, quindi:
Kx =
(1.51)
Kx2 + β 2 = (n1 K0 )2
L’ottica geometrica, tuttavia, è valida solo se n1 ≫ n2 , garantendo il
completo confinamento del campo all’interno del mezzo più denso. Nel caso
generale ove il contrasto di dielettrico non è eccessivamente elevato, la (1.51)
non vale più, in quanto il campo non sarà completamente confinato all’interno
della barra. Infatti nel mezzo n2 si ha un campo elettromagnetico che decade
esponenzialmente man mano che ci si allontana dallo slab.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 1. STRUTTURE GUIDANTI
39
Ciò si evince dall’equazione d’onda per il campo elettrico:
i
d2 E h
2
2
E=0
(1.52)
+
(nK
)
−
β
0
dx2
che, come sappiamo, ammette soluzioni trigonometriche o esponenziali.
In particolare, tale equazione deve valere in entrambi i mezzi, ove l’indice di
rifrazione assume i seguenti valori:
(
n = n1 per |x| < d
n = n2 per |x| > d
E’ da sottolineare come sia essenziale avere la stessa costante di propagazione β in entrambi i mezzi, cosı̀ che un unico fronte d’onda si propaghi nella
direzione z. Affinché si abbia confinamento lungo la direzione x è necessario
che nel dielettrico n1 Kx sia reale, mentre nel dielettrico n2 esso deve essere
puramente immaginario (Kx = jγ). Quindi le equazioni di conservazione del
numero d’onda assumono la forma:
(
Kx2 + β 2 = (n1 K0 )2
−γ 2 + β 2 = (n2 K0 )2
(1.53)
Kx2 + γ 2 = (n21 − n22 )K02
(1.54)
Sottraendo le due equazioni si ottiene:
Nella (1.54) ci sono due incognite da determinare (Kx e γ), quindi è necessaria un’altra equazione che leghi questi parametri. Una volta determinati i
numeri d’onda trasversi nelle due regioni, è possibile ricavare anche β usando
una delle due in (1.53).
Per trovare il legame aggiuntivo l’analisi verrà particolareggiata per i
modi TE e TM che si possono propagare nella struttura. Inoltre, essendo la
struttura simmetrica lungo l’asse x, verrà effettuata una analisi pari e dispari
per semplificare ulteriormente la trattazione.
1.9.1
Modi TE pari
La polarizzazione T E implica la presenza delle tre componenti Ey , Hx e
Hz . Questa configurazione si ottiene eccitando con due sorgenti uguali poste
simmetricamente al piano di mezzeria della struttura. Il campo elettrico eccitato sarà quindi massimo su tale piano. Tale configurazione è equivalente
a considerare la struttura in figura 1.21, con un muro magnetico posto sul
piano di simmetria. Questa bisezione è molto comoda in quanto ci consente di risolvere il problema solo nel semispazio superiore (x > 0), con una
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
40
1.9. GUIDE DIELETTRICHE
facile condizione al contorno in x = 0, sapendo che nel semispazio inferiore
l’andamento del campo è simmetrico.
x
n2
x
n2
d
n1
z
n2
d
n1
muro magnetico
z
-d
Figura 1.21: Modo pari nello slab dielettrico. Andamento dell’ampiezza della
componente di campo elettrico Ey
Le soluzioni dell’equazione d’onda (1.52) nelle due regioni di spazio sono
quindi:
Ey =
(
cos(Kx x) x < d
Ae−γ(x−d) x > d
La costante A può essere determinata imponendo la continuità del campo
elettrico tangente all’interfaccia, quindi A = cos(Kx d). Ne segue che:
Ey =
(
cos(Kx x)
x<d
cos(Kx d)e−γ(x−d) x > d
Per trovare l’equazione da aggiungere alla (1.54) si deve imporre la continuità del campo magnetico all’interfaccia. Dato che Hx = −Y0 Ey , il campo
magnetico lungo x è direttamente proporzionale al campo elettrico lungo y
mediante l’ammettenza caratteristica.
All’interfaccia x = d anche il campo magnetico normale deve essere
continuo. Se si prende la divergenza di H, si ottiene:
∇ · H = 0 → ∂x Hx + ∂z Hz = 0
Sostituendo ∂z = −jβ:
∂x Hx = jβHz → Hz =
che
∂x Hx
jβ
Essendo ora Hx = −Y0 Ey , dove Y0 è l’ammettenza caratteristica, si ricava
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 1. STRUTTURE GUIDANTI
Hx ∝
41
∂Ey
∂x
quindi anche la derivata rispetto ad x di Ey deve essere continua all’interfaccia:
−Kx sin Kx d = −γ cos Kx d → γ = Kx tan Kx d
(1.55)
Moltiplicando la (1.54) e la (1.55) per d si ottiene il sistema di equazioni
da usare per risolvere il problema:
(
Kx d tan Kx d = γd
(Kx d)2 + (γd)2 = (n21 − n22 ) (K0 d)2
(1.56)
Le equazioni ricavate sono anche dette equazioni di dispersione. Il sistema
di equazioni (1.56) può essere risolto solo numericamente, tuttavia, tramite
un’analisi grafica si possono ottenere informazioni qualitative sui modi in
esame e sulle loro frequenze di taglio. Infatti, sostituendo:




le (1.56) diventano:
q
v = n21 − n22 K0 d
u = Kx d


 w = γd
(
u2 + w 2 = v 2
u tan u = w
(1.57)
(1.58)
In figura 1.22 c’è l’esempio di una soluzione grafica di tali equazioni.
Si vede chiaramente come la prima delle (1.58) rappresenti una circonferenza di raggio v e centro nell’origine, mentre nella seconda il termine u tan u
ha gli stessi zeri e poli della sola tan u. Da notare che, affinché ci sia propagazione di un modo, w deve essere necessariamente positiva, mentre il sistema è
pari rispetto alla variabile u. Questo riduce il campo di analisi al solo primo
quadrante nel piano.
Dall’analisi grafica si nota come ci sia sempre un modo T E pari in propagazione, in quanto si ha sempre un’intersezione tra le due curve. La zona
di monomodalità si ha per 0 < v < π, al di sopra della quale si innescano
anche dei modi superiori.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
42
1.9. GUIDE DIELETTRICHE
w
v
p/2
p
3p/2
u
Figura 1.22: Soluzione grafica del sistema di equazioni (1.58)
1.9.2
Modi TE dispari
Anche in questo caso le componenti di campo da considerare sono Ey , Hx ed
Hz . Un modo dispari in uno slab dielettrico (Fig. 1.23) può essere eccitato
mediante due sorgenti poste simmetricamente rispetto all’asse x di uguale
ampiezza ma fase opposta.
x
n2
x
n2
d
n1
n1
z
n2
d
muro elettrico
z
-d
Figura 1.23: Modo dispari nello slab dielettrico. Andamento dell’ampiezza
della componento di campo elettrico Ey
Qualitativamente la distribuzione del campo elettrico sarà come quella
indicata in figura, con uno zero posizionato in x = 0. Ciò comporta un
andamento sinusoidale all’interno dello slab ed un andamento esponenziale
decrescente all’esterno:
Ey =
(
sin Kx x
x<d
−γ(x−d)
sin(Kx d)e
x>d
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 1. STRUTTURE GUIDANTI
43
dove è stata già imposta la continuità del campo elettrico all’interfaccia.
L’imposizione della continuità della componente Hz comporta, come visto
anche per il caso precedente, la continuità della derivata del campo elettrico
rispetto a x, ovvero:
Kx cos Kx d = −γ sin Kx d → γ = −Kx cot Kx d
Moltiplicando per lo spessore d dello slab dielettrico si ha:
(
−Kx d cot Kx d = γd
(Kx d)2 + (γd)2 = (n21 − n22 ) (K0 d)2
(1.59)
effettuando la sostituzione (1.57) si ottiene:
(
u2 + w 2 = v 2
−u cot u = w
(1.60)
la cui soluzione grafica è riportata in figura 1.24.
w
v
p
3p/2
p/2
u
Figura 1.24: Soluzione grafica del sistema di equazioni (1.60)
Differentemente al caso T E pari, in questo caso non si hanno intersezioni
per v < π/2, indicando il fatto che il primo modo T E dispari ha una frequenza
di taglio diversa da zero e dipendente dal sistema (Contrasto di dielettrico
e spessore slab). L’intervallo di monomodalità del modo fondamentale è poi
π/2 < v < 3π/2.
E’ da notare che il comportamento di una guida dielettrica differisce profondamente da quello di una guida metallica. Infatti, se si eccita uno slab
dielettrico con un modo TE dispari con un segnale a frequenza inferiore rispetto al taglio, si misurerà comunque un coefficiente di riflessione in ingresso
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
44
1.9. GUIDE DIELETTRICHE
molto basso. Ciò è dovuto al fatto che la guida non ha un comportamento
reattivo, come ad esempio una guida rettangolare sotto-taglio, ma il segnale
applicato in ingresso viene irradiato dallo slab stesso nello spazio circostante.
Nella presente trattazione, verrà ignorato questo comportamento.
1.9.3
Modi TM pari
La trattazione dei modi T M non è sostanzialmente diversa da quella effettuata per i modi T E. In questo caso le componenti da considerare sono Ex , Ez
e Hy , pertanto l’equazione d’onda considerata sarà quella per la componente
Hy , potendo ricavare poi le altre due attraverso le equazioni di Maxwell.
Nel caso T M pari, il campo Hy deve avere un massimo in x = 0 e questo
equivale ad avere un muro elettrico (conduttore perfetto) nel piano di simmetria. All’interno dello slab, quindi, dovrà essere considerata una soluzione
di tipo coseno:
Hy =
(
cos Kx x
x<d
cos(Kx d)e−γ(x−d) x > d
dove è stata già imposta la continuità all’interfaccia.
x
n2
x
n2
d
n1
n1
z
n2
d
muro elettrico
z
-d
Figura 1.25: Modo TM pari nello slab dielettrico. Andamento dell’ampiezza
della componente di campo magnetico Hy
Analogamente all’analisi T E anche qui si cerca un’altra condizione al
contorno che dia una equazione da poter mettere a sistema con la (1.54). In
questo caso se si prende l’equazione del rotore:
∇ × H |z = −jωD |z →
∂Hy
= −jωǫEz
∂x
Imponendo la continuità del campo Ez all’interfaccia, si ricava:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 1. STRUTTURE GUIDANTI
−Kx
45
sin Kx d
cos Kx d
ǫ1
= −γ
→ Kx tan Kx d = γ
ǫ1
ǫ2
ǫ2
Effettuando, come al solito, le sostituzioni di variabile (1.57) si arriva al
sistema di equazioni:
(
u2 + w 2 = v 2
u tan u = ǫǫ21 w
La soluzione, per via grafica, è molto simile a quella vista per il T E pari,
basta solo scalare diversamente l’asse delle ordinate di un fattore ǫ1 /ǫ2 .
I casi T E dispari e T M pari sono di particolare importanza, in quanto
la struttura presa in esame è in pratica composta da un substrato dielettrico
posto su un piano di massa, mentre il dielettrico n2 può essere considerato
aria. Questa struttura si ritrova in tutti i circuiti stampati a microstriscia
ed il fatto di avere dei modi che si possono propagare costituisce un problema. Se, infatti, una qualsiasi discontinuità sulla microstriscia innescasse
uno di questi modi, si avrebbe un’onda viaggiante nel substrato, il che comporterebbe una perdita di potenza del segnale che si propaga sulla linea di
trasmissione ed un cross-talk parassita tra piste sullo stesso substrato. Tali
onde, dette anche onde di substrato, sono, ovviamente, da evitare, prendendo
tutti gli accorgimenti necessari.
Esercizi
-) Ricavare le equazioni di dispersione per il caso TM dispari
n2
n1
z
n2
Figura 1.26: Sorgente esterna ad uno slab
Dalle analisi effettuate, sono state ricavate le equazioni di dispersione
dei soli modi guidati. Tuttavia, si fa notare al lettore che questo approccio
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
46
1.9. GUIDE DIELETTRICHE
non descrive completamente la propagazione ondosa in uno slab dielettrico.
Basti pensare che quando un fascio luminoso incide su una lastra di vetro
(Fig. 1.26) si ha una doppia rifrazione dovuta ai due salti di dielettrico.
L’onda elettromagnetica fuoriesce poi dall’altro lato, senza che si inneschino
modi guidati. Ebbene, la teoria sviluppata non riesce a descrivere questo
comportamento. Tuttavia, la trattazione precedente è più che sufficiente per
i nostri scopi.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
Capitolo 2
Analisi di circuiti a microonde
Già nel capitolo precedente abbiamo tentato di estendere concetti propri
dell’elettrotecnica, quali tensioni e correnti, in modo da poterli impiegare
nell’analisi e nella progettazione di sistemi a parametri distribuiti.
In questo verrà illustrata la teoria dei circuiti distribuiti. La principale
differenza, rispetto ai circuiti concentrati, è costituita dalla presenza di linee
di lunghezza elettrica θ non trascurabile che congiungono i vari elementi. Tali
linee sono graficamente indicate come mostrato in Fig. 2.1.
Z
0
θ=βl
Figura 2.1: Una linea di trasmissione di lunghezza elettrica θ e impedenza
caratteristica Z0
Inoltre, un qualunque dispositivo a microonde è definito soltanto quando
siano univocamente identificate le porte di accesso. Quest’ultime coincidono con sezioni di guida d’onda (nella accezione più generale del termine,
potrebbe trattarsi di microstriscie, coassiali, guide rettangolari etc.) che
costituiscono l’interfaccia fra il dispositivo e il mondo esterno.
La scatola mostrata in Fig. 2.2 non è un dispositivo a microonde: lo
diventa quando viene connessa con due guide d’onda, come mostrato in Fig.
2.3, che ne definiscono le porte (2, nel caso specifico).
47
48
Figura 2.2: Una scatola non è un dispositivo a microonde ...
Figura 2.3: ... lo diventa quando siano definite le guide/linee di accesso
Si noti anche che le guide di accesso possono essere diverse tra loro, come
tipicamente accade nella giunzione fra una guida d’onda e un’altra. Non solo,
può accadere che i parametri elettrici di due strutture guidanti siano gli stessi
pur essendo queste diverse fisicamente.
Per fare un esempio concreto, si considerino due semplici dispositivi a due
porte, il primo un tratto di cavo coassiale di impedenza 50 Ω e il secondo un
tratto di microstriscia di eguali parametri elettrici
Benché i due circuiti siano caratterizzati dai medesimi parametri elettrici,
essi non sono uguali e la loro connessione fisica non dà luogo che in modo
molto approssimato a quello che si ottiene connettendo i due circuiti che li
rappresentano in figura 2.5.
Il cambiamento brusco da una guida all’altra, infatti, costituisce comunque una discontinuità che non è sufficientemente rappresentata dalla conMorini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
49
coassiale
microstriscia
Figura 2.4: Transizione tipica fra un cavo coassiale e una microstriscia
nessione delle linee di trasmissione corrispondenti. Questo non significa che
il modello circuitale non possa rappresentare la struttura fisica a frequenze
basse dove l’effetto dovuto al cambiamento brusco di sezione è trascurabile.
Torneremo su questo problema molte volte in seguito.
Per ora il lettore deve ricordare che i parametri che descrivono un certo
dispositivo si riferiscono sempre e solo a guide specifiche.
Pur con le cautele necessarie, le guide di accesso sono modellate attraverso
linee di trasmissione.
Infatti, le guide di accesso sono monomodali, almeno nei casi considerati
in questa prima parte. Dunque, ciascuna guida può essere rappresentata con
una linea di trasmissione di parametri elettrici Zk , βk .
Le porte k-esima della giunzione corrisponde a una sezione precisa della
k-esima guida (o linea) di accesso, nella quale sono definite una tensione Vk
e una corrente Ik , che rappresentano l’ampiezza del campo elettrico e del
campo magnetico trasversale (sempre associato al modo fondamentale).
Se il dispositivo è lineare, allora le tensioni Vk e le correnti Ik sono legate
tra loro da una matrice di impedenza, cosı̀ come avviene per i circuiti a
parametri concentrati tradizionali.
2.1
La matrice di impedenza
Con riferimento al generico circuito lineare a N porte (N = Nl (porte a
sinistra) + Nr (porte a destra) mostrato in Fig. 2.6 abbiamo, ad esempio:
"
V1
V2
#
=
"
z11 z12
z21 z22
#"
I1
I2
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
#
(2.1)
50
2.1. LA MATRICE DI IMPEDENZA
Z
Z
coassiale
0
θ=βl
0
microstriscia
θ=βl
NO !!!
Figura 2.5: La transizione fisica non viene modellata adeguatamente
connettendo le linee che rappresentano le due guide
V1 e I1 sono i vettori delle tensioni e correnti del gruppo di porte indicate
a sinistra della figura, V2 e I2 rappresentano invece le tensioni e le correnti
del gruppo di porte a destra.
Ad entrambe le porte le correnti sono quelle entranti. Quando il dispositivo contiene due porte (Nl = Nr = 1) allora le grandezze precedenti diventano
scalari.
Ciascun termine della matrice zij è pari al rapporto VIji , quando le correnti
alle rimanenti porte sono nulle, Ik = 0 con k 6= j.
Dunque la zij è il rapporto tra l’ampiezza del campo elettrico nella sezione della guida che definisce la porta i-esima e l’ampiezza del campo magnetico alla porta j-esima, quando le restanti porte sono terminate su pareti
magnetiche perfette.
Consideriamo, ad esempio, un tratto di linea di trasmissione di impedenza
caratteristica Z0 e lunghezza elettrica θ. Le relazioni che legano tensioni e
correnti sulla linea sono:
2.1.1
Reciprocità
Consideriamo il dispositivo a due porte mostrato in Fig. 2.3. Immaginiamo
ora due situazioni distinte denominate (a) e (b) in cui il medesimo dispositivo
è soggetto a due diverse alimentazioni. Supponiamo cioè che nel primo caso
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
51
N+1
l
N+2
l
N+3
l
1
2
N = Nl + N r
Nl
Figura 2.6: Giunzione a N porte
alle due porte siano impresse le correnti modali I1a e I2a , cui corrispondano
tensioni modali V1a e V2a , e, analogamente, nel secondo caso le correnti modali impresse siano I1b e I2b , cui corrispondano le tensioni modali V1b e V2b .
Valutiamo ora la quantità
(V1a I1b − V1b I1a ) + (V2a I2b − V2b I2a )
(2.2)
Le precedenti quantità possono essere interpretate in termini delle ampiezze dei campi trasversi. Infatti, il campo elettromagnetico trasverso vale
nella sezione della guida i-esima:
Et = V e Ht = Ih
(2.3)
Essendo e, h i campi modali trasversi ortonormalizzati, tali cioè che
Z
s
e × h · ds = 1
(2.4)
Essendo d s parallelo all’asse della guida i-esima e col verso uscente rispetto al dispositivo. Pertanto, la (2.2) è uguale a:
Z
s1
a
b
b
a
(E × H − E × H ) · ds +
Z
s2
(Ea × Hb − Eb × Ha ) · ds
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
(2.5)
52
2.1. LA MATRICE DI IMPEDENZA
Essendo s1 e s2 le sezioni delle due guide di accesso. Utilizzando il
teorema di Green, l’integrale precedente diventa:
Z
V
∇ · (Ea × Hb − Eb × Ha )dV
(2.6)
Essendo V il volume che racchiude l’intero dispositivo. Ora, sfruttando
la relazione ?????? (Da mettere in appendice A) che lega la divergenza di un
prodotto vettoriale ai rotori, la (2.6) diventa
Z
V
Hb · ∇ × Ea − Ea · ∇ × Hb − Ha · ∇ × Eb + Eb · ∇ × Ha dV
(2.7)
Sostituendo ora le espressioni dei rotori, come dalle equazioni di Maxwell,
Z
V
Hb · (−µ) · Ha − Ea (ǫ) · Eb − Ha · (−µ)Hb + Eb · (ǫ) · Ea dV
(2.8)
Nel caso di mezzi isotropi, i tensori ǫ e µ sono quantità scalari. Il valore
dell’integrale (2.8) è allora nullo e cosı̀ pure la (2.2).
Ricordando che le relazioni lineari che legano tensioni e correnti nelle due
situazioni sono rappresentate dalla stessa matrice di impedenza:
"
a/b
V1
a/b
V2
#
=
"
z11 z12
z21 z22
#"
a/b
I1
a/b
I2
#
(2.9)
e sostituendo queste ultime nella (2.2), otteniamo:
((z11 I1a +z12 I2a )I1b −(z11 I1b +z12 I2b )I1a )+((z21 I1a +z22 I2a )I2b −(z21 I1b +z22 I2b )I2a ) = 0
(2.10)
Osservando che i termini contenenti z11 e z22 si elidono, otteniamo l’equazione:
(z12 − z21 )(I2b I1a + I1b I2a ) = 0
(2.11)
che può essere soddisfatta per una scelta arbitraria delle eccitazioni soltanto se
z12 = z21
(2.12)
In tal caso il dispositivo si dice reciproco. Il ragionamento può essere
esteso a dispositivi a N porte, con N qualunque.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
53
Come si è visto la reciprocità dipende dalle proprietà fisiche dei materiali
impiegati. Nel caso di mezzi isotropi, anche se non omogenei (metalli, gran
parte dei dielettrici), i dispositivi sono sempre reciproci.
La classe di materiali non reciproci più significativa per le microonde è
senz’altro quella delle ferriti, che, opportunamente polarizzate, presentano
notevoli proprietà magnetiche. Il momento di dipolo magnetico di una ferrite magnetizzata da un campo magnetico costante H0 , descrive un moto di
precessione intorno a quest’ultimo. Un campo a radiofrequenza che si propaga in direzione di H0 , polarizzato circolarmente, interagisce con i dipoli
magnetici della ferrite in modo molto diverso a seconda che il senso di rotazione sia concorde o meno con quello del dipolo magnetico. Su tale proprietà
si costruiscono dispositivi non reciproci di grande interesse, che verranno
descritti in seguito.
2.1.2
Altre proprietà
La matrice di impedenza di un dispositivo lineare gode di altre notevoli
proprietà, che elenchiamo brevemente:
- Se senza perdite Re{Znm + Zmn } = 0, Im{Znm − Zmn } = 0;
- Se reciproco e senza perdite Re{Znm } = 0, ovvero Znm = jXnm , con
Xnm reale;
- Una qualunque funzione ammettenza di ingresso deve essere reale e
positiva (P.R.). Infatti, comunque vengano terminate le altre porte, perché l’impedenza di ingresso Zin (s) di un circuito passivo sia
fisicamente realizzabile deve essere reale e positiva cioè
· Se s reale ⇒ Z(s) reale
·· Se Re{s} ≥ 0 ⇒ Re{Z} ≥ 0
- Se totalmente simmetrico zii = zjj
ESERCIZI
1) Si calcoli la matrice di impedenza del circuito a T mostrato in figura 2.7.
Si esprimano, inoltre, le impedenze Za , Zb e Zc in funzione degli elementi
della matrice impedenza. Cosa accade quando Zc = 0 ?
2) Si calcoli la matrice di impedenza del trasformatore mostrato in figura
2.8 le cui equazioni costitutive sono:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
54
2.1. LA MATRICE DI IMPEDENZA
ZB
ZA
ZC
Figura 2.7: Topologia di circuito a T
V1 = V2 /n
I1 = −nI2
(2.13)
(2.14)
i
i
2
1
v
v
2
1
Figura 2.8: Trasformatore 1:n
3) Dimostrare che la matrice di impedenza di un tratto di linea di lunghezza elettrica θ e di impedenza caratteristica Z0 vale
−jZ0
"
cot θ
cosecθ
cosecθ cot θ
#
(2.15)
4) Si calcoli la matrice di impedenza di un circuito a tre porte ottenuto
dall’interconnessione di tre linee di trasmissione di impedenza caratteristica
Z0 , come in fig 2.9.
Z
o
Z
o
Z
o
Figura 2.9: Giunzione di tre linee in parallelo
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
55
5) Si calcoli la matrice di impedenza di un circuito ottenuto ponendo in
cascata due circuiti di matrice d’impedenza z e ζ.
2.2
La matrice di ammettenza
Sempre con riferimento al circuito N porte di figura 2.6, la matrice di ammettenza lega le correnti e le tensioni alle varie porte:
"
I1
I2
#
=
"
y11 y12
y21 y22
#"
V1
V2
#
(2.16)
V1 e I1 sono i vettori delle tensioni e correnti del gruppo di porte indicate
a sinistra della figura, V2 e I2 rappresentano invece le tensioni e le correnti
del gruppo di porte a destra. Le correnti sono convenzionalmente prese con
verso positivo entrante.
Ciascun termine della matrice yij è pari al rapporto VIij , quando le tensioni
alle rimanenti porte sono nulle, ovvero sono chiuse in corto circuito (Vk = 0
con k 6= j).
Dalla definizione (2.16) si capisce subito come la matrice Y non sia altro
che l’inversa della matrice impedenza Z (Y = Z−1 ) e con essa condivide le
medesime proprietà:
- Reciprocità. Se il circuito è reciproco allora yij = yji con i 6= j.
- Assenza di perdite. Re{Yij } = 0 per qualsiasi coppia i, j.
- Una qualunque funzione ammettenza di ingresso deve essere P.R. Infatti, comunque vengano terminate le altre porte, perché l’ammettenza
di ingresso Yin (s) di un circuito passivo sia fisicamente realizzabile deve
essere reale e positiva cioè
Se Re{s} ≥ 0 ⇒ Re{Y } ≥ 0
- Se totalmente simmetrico yii = yjj
2.3
La matrice ABCD
Una rappresentazione diversa, particolarmente utile nel calcolo della cascata
di componenti, è fornita dalla matrice di trasmissione T o ABCD, che mette
in relazione le tensioni e le correnti alla porta 1 con quelle alla porta 2 (fig.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
56
2.3. LA MATRICE ABCD
I1
I2
A B
V1
V2
C D
Figura 2.10: Rappresentazione circuitale della matrice di Trasmissione
2.10). Si noti che la definizione di corrente uscente positiva è diversa da
quella precedente.
Le equazioni che definiscono la matrice ABCD sono:
"
V1
I1
#
=
"
A B
C D
#"
V2
I2
#
(2.17)
E’ importante notare come gli elementi della matrice ABCD non siano tutti della stessa dimensione. Infatti, la definizione operativa dei vari
parametri, limitatamente al caso del due porte, è la seguente:
V1 A=
V2 I2 =0
V1 B=
I2 V2 =0
I1 C=
V2 I2 =0
[Ω]
[1/Ω]
I1 D = I2 V2 =0
Nelle precedenti equazioni sono state lasciate le espressioni matriciali per
i parametri della matrice per indicare il fatto che la definizione vale anche per
circuiti N-porte. E’ facile rendersi conto che il numero di porte in ingresso ed
in uscita debba essere lo stesso affinché la definizione sia consistente e questo
limita l’uso della matrice ABCD ai soli circuiti con un numero di porte pari.
Nel caso di un circuito due porte tutti gli elementi della matrice diventano
scalari.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
57
Cosı̀ facendo, è immediato verificare che la matrice di trasmissione totale
T3 , ottenuta mettendo in cascata due dispositivi di matrici di trasmissione
T1 e T2 , vale:
T3 = T1 T2
(2.18)
L’espressione (2.18) è il punto di forza di questa matrice, che consente
di ottenere la matrice complessiva di una cascata di elementi, configurazione
frequentemente usata a microonde, con il semplice prodotto righe per colonne
delle matrici dei singoli blocchetti.
Inoltre, nota la matrice di impedenza di un circuito, nella quale si è
denotato con il pedice 1 l’insieme delle porte a sinistra, mentre il 2 quelle a
destra, si può scrivere:
V1 − z11 I1 = −z12 I2
V2 + z22 I2 = z21 I1
"
V1
I1
#
=
"
U −z11
0 z21
#−1 "
0 z12
U −z22
(2.19)
(2.20)
#"
V2
I2
#
(2.21)
Dalle relazioni appena scritte, si nota immediatamente che la matrice di
trasmissione può esistere soltanto se il numero di porte a destra è pari a quello
a sinistra e dunque la dimensione di z11 è uguale a quella di z22 . Partendo
dalla matrice di impedenza, è facile, inoltre, dedurre le seguenti proprietà
- Se il dispositivo è senza perdite A e D sono reali B e C immaginari
- Se il dispositivo è reciproco AD - BC = U, essendo U la matrice
unitaria
- Se il dispositivo è simmetrico A = D
Esempi di matrici di trasmissione
1 Impedenza in serie Z
Le equazioni che legano tensioni e correnti sono:
I1 = I2
V1 = V2 + ZI1
pertanto
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
(2.22)
58
2.3. LA MATRICE ABCD
Z
I1
I2
V2
V1
Figura 2.11: Impedenza in serie
T=
"
1 Z
0 1
#
(2.23)
2 Ammettenza in parallelo (fig. 2.12)
I1
I2
V1
V2
Y
Figura 2.12: Ammettenza in parallelo
Le equazioni che legano tensioni e correnti sono:
V1 = V2
I1 = Y V 2 + I2
(2.24)
pertanto
T=
"
1
Y
0
1
#
(2.25)
3 Trasformatore di impedenza n:1 (fig.2.8)
In tal caso la matrice di trasmissione è immediata
T=
"
n 0
0 1/n
#
(2.26)
4 Tratto di linea di trasmissione di impedenza caratteristica Z0 e lunghezza elettrica θ = βl. La distribuzione di tensione e corrente lungo
la linea è data dalle equazioni:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
V (z) = V + e−jβz + V − e+jβz
1 + −jβz
[V e
− V − e+jβz ]
I(z) =
Z0
59
(2.27)
(2.28)
Ora, ponendo V1 = V (0), I1 = I(0), V2 = V (l) I2 = I(l), otteniamo:
V2 = V + e−jβl + V − e+jβl
1 + −jβl
I2 =
[V e
− V − e+jβl ]
Z0
(2.29)
(2.30)
e quindi,
V2 + Z0 I2 jβl
e
2
V2 − Z0 I2 −jβl
e
=
2
V+ =
(2.31)
V−
(2.32)
Conseguentemente,
V1 = V + + V − = cos(βl)V2 + jZ0 sin(βl)I2
1 +
j
I1 =
[V − V − ] =
sin(βl)V2 + cos(βl)I2
Z0
Z0
(2.33)
(2.34)
Dunque, la matrice di trasmissione di un tratto di linea di lunghezza l
e di parametri elettrici Z0 = 1/Y0 e β, vale:
T=
"
cos θ
jZ0 sin θ
jY0 sin θ
cos θ
#
(2.35)
Si noti peraltro che quando θ = π/2 la matrice assume la forma
T=
"
0
jZ0
jY0 0
#
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
(2.36)
60
2.3. LA MATRICE ABCD
Un dispositivo con questa caratteristica viene detto invertitore di impedenza di impedenza caratteristica Z0 , denominazione che deriva dal fatto che
l’impedenza di ingresso di un invertitore k terminato sul carico ZL è k 2 /Zl ,
come si verifica immediatamente. Infatti, essendo V1 = jkI2 e I1 = (j/k)V2
risulta che Zin = V1 /I1 = k 2 I2 /V2 = k 2 /Zl .
A che serve un siffatto componente? Si supponga di voler adattare il
carico ZL ad una linea di impedenza caratteristica Z0 . Ciò può essere fatto interponendo un invertitore di impedenza con k 2 = Z0 Zl . Ad una data
frequenza, l’invertitore può essere realizzato
con un tratto di linea di tra√
smissione di impedenza caratteristica Z0 Zl e di lunghezza elettrica π/2 o,
corrispondentemente, di lunghezza fisica λ/4, che è proprio l’adattatore a
λ/4 del corso di fondamenti di elettromagnetismo. Ma questa non è l’unica
applicazione dell’invertitore di impedenza né tanto meno la sua realizzazione
avviene esclusivamente con le modalità descritte.
ESERCIZI
1) Si calcoli la matrice di trasmissione del dispositivo che si ottiene mettendo
in cascata:
- un invertitore di impedenza k e un trasformatore n
- un trasformatore n e un invertitore di impedenza k
- due invertitori di impedenza k1 e k2
2) Si determinino i valori dei parametri del circuito a T mostrato in fig.
2.7 in modo tale che esso realizzi un invertitore ideale k
3) Si calcoli il coefficiente di riflessione di un trasformatore 1:-1 terminato
su un impedenza Z0 (pari a quella caratteristica della linea di ingresso)
4) Si vuole realizzare un invertitore di impedenza di impedenza caratteristica k=100 alla frequenza di 3 GHz utilizzando una linea di trasmissione
di impedenza opportuna. Si calcoli l’impedenza, e la lunghezza della linea
essendo β = ǫef f k0 con ǫef f = 1.6.
5) Verificare che il legame tra matrice di impedenza e matrice di trasmissione è quello riportato di seguito.
"
V1
V2
#
=
"
−U A
0
C
#−1 "
0 B
U D
#"
I1
I2
#
(2.37)
Suggerimento Tenere conto che
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
61
−V1 + AV2 = BI2
I1 + DI2 = CV2
6) Verificare che il legame tra matrice di trasmissione di un due porte e
quella di impedenza è quello riportato di seguito.
"
A B
C D
#
=
"
z11
z21
1
z21
∆z
z21
z22
z21
#
(2.38)
Dove ∆z = z11 z22 − z21 z12 .
Benché la matrice di trasmissione consenta di calcolare molto efficacemente la cascata di circuiti (nei quali il numero di porte a destra sia uguale
a quello a sinistra), il suo impiego è fortemente limitato per il fatto che i
parametri, legando tensioni e correnti non sono direttamente misurabili a
microonde. Inoltre, la matrice di trasmissione non da informazioni dirette
al progettista, il quale è abituato a giudicare le prestazioni di un sistema in
termini di coefficienti di riflessione, perdite di inserimento e di guadagno. Per
questa ragione si introduce la matrice di scattering o di diffusione che lega le
ampiezze delle onde riflesse a quelle incidenti.
2.4
La matrice di scattering o di diffusione
Data una giunzione lineare a N porte, nella quale siano definite le linee
di trasmissione che vi afferiscono (in termini di impedenza caratteristica e
di costante di propagazione), definiamo il vettore delle ampiezze delle onde
V+
incidenti aT = (a1 , ...., aN ), nel quale il temine ai = √ i , essendo Vi+
Z0i
l’ampiezza del campo elettrico incidente alla porta i -esima e Zoi l’impedenza
caratteristica reale della linea di trasmissione connessa alla porta i -esima.
Analogamente, definiamo il vettore delle ampiezze delle onde riflesse bT =
V−
(b1 , ...., bN ), nel quale il temine essendo bi = √ i
l’ampiezza del campo
Z0i
elettrico riflesso alla porta i -esima.
La matrice di scattering S lega il vettore contenente le ampiezze delle
onde riflesse a quello delle onde incidenti:
b = Sa
(2.39)
Dunque, appare evidente che l’elemento sii = bi /ai con ak = 0, k 6= i rappresenta il coefficiente di riflessione misurabile alla porta i quando soltanto
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
62
2.4. LA MATRICE DI SCATTERING O DI DIFFUSIONE
questa è alimentata e tutte le altre porte sono adattate (cioè terminate su un
carico adattato), mentre l’elemento sij = bi /aj con ak = 0, k 6= j rappresenta
il coefficiente di trasmissione che si misura alla porta i quando solo la porta
j è alimentata e tutte le altre sono adattate. Si noti che le ampiezze d’onda ai e bi possono essere, equivalentemente, legate alle ampiezze del campo
elettro-magnetico. Infatti:
ai =
bi =
V+
√i
Z0i
Vi−
√
Z0i
√
= Ii+ Z0i
√
= −Ii− Z0i
(2.40)
Non si tratta di una rappresentazione diversa soltanto nella forma. Nella
sostanza, l’attenzione si sposta dai campi elettrici e magnetici a quello elettromagnetico, rappresentato compiutamente in termini di ampiezza dell’onda
elettromagnetica.
Infatti, a causa della normalizzazione attraverso la radice dell’impedenza
caratteristica, le ampiezze d’onda, ai e bi , sono legate all’energia trasportata
dall’onda elettromagnetica, piuttosto che al solo campo elettrico, come avviene per le onde di tensione, o a quello magnetico, come avviene per le onde
di corrente.
Infatti, la potenza di picco Pi+ , incidente alla porta i -esima, vale:
|Vi+ |2
= |Ii+ |2 Z0i = |ai |2
(2.41)
Z0i
Analogamente, la potenza media , riflessa alla porta i-esima, vale
Pi+ =
|Vi− |2
= |Ii− |2 Z0i = |bi |2
(2.42)
Z0i
La matrice di diffusione fornisce i coefficienti di riflessione e di trasmissione di un dispositivo lineare a N porte quando questo è terminato su carichi
adattati.
Operativamente, questo significa che la matrice di scattering di una giunzione a N porte, può essere determinata misurando una coppia di porte alla
volta purché le porte restanti siano terminate su carichi adattati. Si osservi
che questa procedura differisce sensibilmente da quanto richiesto dalla misura di matrice di impedenza. In tal caso, infatti, la misurazione può ancora
effettuarsi considerando una coppia di porte alla volta ma le porte rimanenti
devono essere terminate su pareti magnetiche perfette (circuiti aperti). A
parte la difficoltà oggettiva nel realizzare una tale condizione, si deve pure
notare che in questo caso la misura dipende dalle posizioni dei carichi. Se
consideriamo, invece, la matrice di ammettenza, le condizioni di terminazione
delle porte non misurate si semplificano, poiché in questo caso sono richiesti
Pi− =
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
63
corto circuiti, più semplici da realizzare, anche se rimane il problema della
posizione dei carichi.
La matrice di scattering rimane comunque la scelta migliore per misurare
la risposta in frequenza dei dispositivi a microonde. Si pensi ad esempio ad
un amplificatore, se si volesse misurare la matrice di ammettenza si dovrebbe
cortocircuitare la porta di uscita, rischiando di bruciare il circuito o facendo
intervenire la protezione contro i corto circuiti. In entrambi i casi quello che
si misura non ha nulla a che fare con il comportamento in condizioni normali
dell’amplificatore.
Si noti che la condizione di adattamento è essenziale nella definizione. Se
si utilizzassero carichi diversi, i coefficienti di riflessione e trasmissione, che
pure sarebbero misurabili, differirebbero dai parametri di scattering della
giunzione.
Si prenda ad esempio il dispositivo a due porte costituito dalla semplice
ammettenza parallelo Y di fig. 2.12 e si supponga che le linee di alimentazione abbiano impedenza unitaria. I parametri di diffusione del due porte si
ottengono dalla definizione.
s11 è il coefficiente di riflessione alla porta 1 quando la porta 2 è adattata.
Tale condizione è raffigurata in fig. 2.13a
1
Y
1
Y
a)
b)
Figura 2.13: Circuiti usati per calcolare i parametri di scattering
di una suscettanza parallelo
s11 =
1 − (1 + Y )
Y
=−
1 + (1 + Y )
2+Y
(2.43)
s21 è il coefficiente di trasmissione V2+ /V1+ quando la porta 2 è adattata.
In tal caso, è immediato osservare che V2+ = V2 = V1 = V1+ (1 + s11 ) e,
conseguentemente, che:
s21 = 1 + s11 =
2
2+Y
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
(2.44)
64
2.4. LA MATRICE DI SCATTERING O DI DIFFUSIONE
Dal circuito in figura 2.13b possono essere calcolati gli altri parametri
di scattering, che, come si comprende facilmente, sono uguali a quelli già
trovati : s22 = s11 e s12 = s21 . Una verifica sul risultato ottenuto può essere
fatta calcolando i valori dei parametri di scattering quando quelli del circuito
tendono a valori limite. Nella fattispecie, quando Y = 0 il circuito a due porte
si riduce a una semplice connessione e infatti s11 = 0; d’altra parte, quando
Y → ∞ esso diventa un corto circuito e, corrispondentemente, s11 = −1.
Nel caso avessimo terminato il due porte su un carico diverso, diciamo
un’ammettenza di valore 2, il coefficiente di riflessione alla porta 1 sarebbe
stato:
Γ=
1 − (2 + Y )
1 + (2 + Y )
(2.45)
Ovviamente diverso da s11 calcolato sopra.
ESERCIZIO
Si determinino i parametri di scattering e i coefficienti di riflessione e di trasmissione del due porte costituito dalla giunzione di due linee di trasmissione
di impedenza Z1 e Z2 , mostrato in fig. 2.14
Z
Z
1
2
Figura 2.14: Il parametro s11 di un due porte costituito da un’ammettenza
in parallelo coincide con il coefficiente di riflessione alla porta 1 quando la
porta 2 è terminata su un carico adattato
Parametri Γ e T :
Γ1 =
Z2 − Z1
= −Γ2
Z2 + Z1
T21 = 1 + Γ1
(2.46)
(2.47)
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
65
mentre
T12 = 1 + Γ2 = 1 − Γ1
(2.48)
Dalla definizione di matrici di scattering, essendo s11 pari al coefficiente
di riflessione alla porta 1 quando la porta 2 è terminata su un carico adattato,
cioè Z2 , risulta immediatamente che
Z2 − Z1
= Γ1
(2.49)
Z2 + Z1
Analogamente, si dimostra facilmente che s22 = Γ2 .
√
√
Z
Z2 ,
Per quanto riguarda s21 , l’ampiezza dell’onda
b
=
V
/
=
V
/
2
2
2
1
√
essendo a2 = 0, mentre a1 (1 + s11 ) = V1 / Z1 . Dunque:
s11 =
s21
√
√
1 + s11 q
V1 / Z2
2 Z1 Z2
b2
√
Z1 =
= √
=
=
a1
Z2 + Z1
V1 / Z1 /(1 + s11 )
Z2
(2.50)
√
Allo stesso modo si calcola s12 , l’ampiezza dell’onda b1 = V1 / Z1 , essendo
a2 = 0, mentre a2 (1 + s22 ) = V2 /Z2. Dunque:
√
2 Z1 Z2
b1
=
(2.51)
s12 =
a2
Z2 + Z1
Dunque i due coefficienti di trasmissione T21 e T12 sono diversi tra loro,
mentre s21 = s12 . La spiegazione va ricercata nelle diverse impedenze di
normalizzazione impiegate alla porte 1 e 2.
2.4.1
Proprietà della matrice di scattering
La matrice di scattering di un N porte è composta da N × N elementi in
generale tutti indipendenti. Dato che tali parametri sono complessi, il numero
di parametri reali indipendenti sono 2 × N × N.
In realtà, è quasi sempre possibile ridurre fortemente il numero di parametri indipendenti. In particolare, se il circuito presenta le seguenti proprietà:
- Se il circuito è reciproco allora sij = sji con i 6= j. Questa è una proprietà spesso verificata, in quanto la reciprocità dipende dai materiali
utilizzati per realizzare i dispositivi a microonde. La non reciprocità è
data da materiali ferromagnetici od in generale non girotropici, mentre
con materiali come alluminio, rame, etc. si hanno dispositivi reciproci.
- Se il circuito è simmetrico, allora sii = sjj . La simmetria può essere
parziale, nel senso che può coinvolgere solo alcune delle N porte del
dispositivo.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
66
2.4. LA MATRICE DI SCATTERING O DI DIFFUSIONE
Degli esempi fatti, il circuito formato dalla suscettanza in parallelo di fig.
2.12 è reciproco e simmetrico, mentre il circuito di fig. 2.14 è reciproco ma
non simmetrico.
Conservazione della potenza
Se il circuito è passivo (non contiene sorgenti) e privo di perdite, la potenza di picco entrante deve uguagliare quella uscente. La potenza di picco
totale entrante (uscente) nel circuito si ottiene sommando le potenze entranti (uscenti) in ciascuna linea di trasmissione che connette il dispositivo al
mondo esterno. Per la normalizzazione assunta, si deve dunque avere:
N
X
i=1
|bi |2 =
N
X
i=1
|ai |2
(2.52)
O, in forma compatta,
b+ b = a+ a
(2.53)
Dove l’apice + indica il vettore (o la matrice, in seguito) coniugato (o
hermitiano) trasposto. Sostituendo a b la sua espressione in termini di a, si
ottiene:
(Sa)+ Sa = a+ S+ Sa = a+ a
(2.54)
a+ (S+ S − I)a = 0
(2.55)
E dunque,
Quest’ultima equazione ammette soluzione per una scelta arbitraria delle
eccitazioni a soltanto se:
S+ S = U
(2.56)
Dunque S−1 = S+ , il che implica immediatamente che:
|det(S)| = 1
(2.57)
La condizione di assenza di perdite (2.56) si rivela molto utile nella modellizzazione dei circuiti a microonde, che, molto spesso, hanno perdite effettivamente contenute. Vale la pena di scrivere per esteso la relazione testé
trovata per i dispositivi a due porte:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
|s11 |2 + |s21 |2
s∗11 s12 + s∗21 s22
s∗12 s11 + s∗22 s21
|s12 |2 + |s22 |2
=1
=0
=0
=1
67
(2.58)
(2.59)
(2.60)
(2.61)
Si noti, innanzi tutto, che queste 4 equazioni (attenzione, soltanto 3 equazioni sono indipendenti, potendosi ricavare la terza equazione dalla seconda,
facendone il complesso coniugato) insieme con la (2.57) riducono il numero
di parametri di scattering indipendenti da 8 a 4 numeri reali, come era ovvio
aspettarsi, essendo una giunzione due porte priva di perdite perfettamente
caratterizzata da una matrice di impedenza (o ammettenza) 2x2 contenente,
dunque, 4 elementi puramente immaginari. La prima e la quarta equazione
hanno inoltre un’interpretazione immediata, esprimendo il fatto che la potenza incidente ad una porta di una giunzione priva di perdite viene in parte
riflessa, mentre la parte restante viene trasmessa all’altra porta. La seconda
equazione fornisce, infine, una relazione tra le fasi dei parametri di diffusione.
Scrivendo le ampiezze delle onde in funzione delle tensioni e correnti nore b = v−i
, si ottiene il legame tra matrice
malizzate, rispettivamente a = v+i
2
2
di impedenza e di scattering
b = [z − I]i
a = [z + I]i
(2.62)
Ricavando i in funzione di a dalla seconda equazione e sostituendolo nella prima, si ottiene la relazione che lega la matrice di scattering a quella
d’impedenza normalizzata z:
s = [z − I][z + I]−1
(2.63)
Si noti che la matrice di scattering ha gli stessi autovettori della matrice
di impedenza. Infatti, se w è un autovettore di z, cioè zw = ζw, ζ essendo
il corrispondente autovalore, allora:
sw = [z − I][z + I]−1 w = σw
dove σ = (ζ − 1)/(ζ + 1) è l’autovalore di s.
E’ opportuno sottolineare che, a rigore, nessun dei circuiti usati nella
pratica è privo di perdite. Tuttavia, se queste sono contenute è possibile in
prima istanza trascurarle per semplificare notevolmente l’analisi e la sintesi.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
68
2.4.2
2.4. LA MATRICE DI SCATTERING O DI DIFFUSIONE
Proprietà delle matrici di scattering per alcuni
circuiti ad N porte
Verranno ora illustrate le proprietà delle matrici di scattering per dispositivi
a 2, 3 o 4 porte.
Matrice di scattering di un due porte
Un circuito due porte ha una matrice di scattering a 4 elementi, con 8 parametri reali indipendenti tra loro. Se il circuito presenta alcune delle proprietà
viste precedentemente è possibile ridurre sensibilmente il numero di gradi di
libertà.
Per esempio se il circuito è reciproco, deve essere s12 = s21 , riducendo di
fatto il numero di variabili indipendenti a 6. Se, inoltre, il circuito è privo di
perdite valgono anche i seguenti legami:
|s11 |2 + |s12 |2 = 1
|s12 |2 + |s22 |2 = 1
s∗11 s12 + s∗12 s22 = 0
s∗12 s11 + s∗22 s12 = 0
Queste quattro relazioni (in realtà solo 3 indipendenti) permettono di
ridurre il numero di parametri indipendenti a 3. Val la pena di notare,
inoltre, che con questi vincoli deve essere necessariamente |s11 | = |s22 |.
Un due porte siffatto può essere rappresentato mediante svariati circuiti
equivalenti. Due tra i più usati sono i circuiti cosiddetti a T o a Π (Fig.
2.15). Ogni elemento circuitale, inoltre, è una pura reattanza o suscettanza
affinché il circuito abbia la proprietà dell’assenza di perdite.
Figura 2.15: Rappresentazione a T e a Π di circuiti due porte reciproci e
privi di perdite
Se alle proprietà di reciprocità e assenza di perdite si aggiunge anche la
simmetria, allora s11 = s22 e i parametri reali indipendenti si riducono a
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
69
2. Ad esempio, si può fissare il coefficiente di riflessione e determinare di
conseguenza il coefficiente di trasmissione s21 . Anche in questo caso possono
essere usati dei circuiti equivalenti come quelli illustrati in fig. 2.15, avendo
però l’accortezza di porre Z1 = Z3 e Y1 = Y3 .
Figura 2.16: Rappresentazione circuitale di un due porte simmetrico,
reciproco e privo di perdite
Un altro circuito equivalente molto comodo per rappresentare un due
porte con le proprietà illustrate è raffigurato in fig. 2.16. Come si vede, il
circuito è composto da una suscettanza in parallelo Y = jB posta tra due
tratti di linea di impedenza unitaria e lunghezza θ. Tale rappresentazione è
comoda perché il modulo del coefficiente di riflessione può essere imposto regolando opportunamente il valore di B, mentre la variazione della lunghezza
dei tratti di linea influenza solo la fase di s11 .
Spostamento dei piani di riferimento per circuiti N porte
La trattazione del due porte ha messo alla luce un comportamento interessante della matrice di scattering estendibile al caso generale. Preso un circuito
N porte, se ad ogni porta viene aggiunto un tratto di linea di impedenza
caratteristica pari a quella della corrispondente linea di alimentazione e lunghezza elettrica θi , l’effetto sui parametri di scattering sarà una variazione
della loro fase e non dei moduli (Fig 2.17). In altre parole l’effetto è solo
quello di spostare il piano di riferimento rispetto al quale le fasi vengono
calcolate.
In pratica, la nuova matrice di scattering sarà data da:
′
S =






e−jθ1
0
e−jθ2
..
0
.
e−jθn


 
 
S
 
 
e−jθ1
0
e−jθ2
..
0
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
.
e−jθn






(2.64)
70
2.4. LA MATRICE DI SCATTERING O DI DIFFUSIONE
Figura 2.17: Shift dei piani di riferimento per un circuito N porte
Questa tecnica è molto usata nella pratica per aggiustare la fase dei vari
coefficienti di scattering in base alle specifiche di progetto.
Circuito tre porte massimamente simmetrico
Supponiamo di avere un circuito tre porte come quello rappresentato in figura
2.18. Esso presenta un asse di simmetria uscente dal foglio, tale per cui
per una rotazione di 120◦ o multipli interi si riottiene esattamente lo stesso
circuito. Si supponga che esso sia inoltre reciproco e privo di perdite. La
matrice di scattering può scriversi allora:


s11 s12 s12


S =  s12 s11 s12 
s12 s12 s11
L’assenza di perdite lega con ulteriori vincoli i quattro parametri reali
rimasti:
(
|s11 |2 + 2|s12 |2 = 1
2Re{s∗11 s12 } + |s12 |2 = 0
(2.65)
riducendo ancora una volta i parametri indipendenti a due soltanto.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
3
71
2
1
Figura 2.18: Circuito tre porte simmetrico
Se ora si ipotizza l’adattamento su ciascuna porta di ingresso (s11 = 0),
si arriva ad un paradosso, poiché dovrebbe essere contemporaneamente:
2|s12 |2 = 1
|s12 |2 = 0
(2.66)
α2 + 2t2 = 1
2αt cos φ + t2 = 0
(2.67)
E’ chiaro che le (2.66) non possono essere soddisfatte, quindi il circuito
tre porte non può essere contemporaneamente adattato, reciproco e privo di
perdite. Da notare che questo risultato può essere esteso a tutti i tre porte
reciproci e privi di perdite, indipendentemente dalla presenza di piani o assi
di simmetria.
Se si vuole mantenere la reciprocità e l’assenza di perdite, il circuito non
può essere adattato alle varie porte. Cerchiamo di trovare allora il minimo
coefficiente di riflessione possibile alle tre porte, che nel caso in esame deve
essere lo stesso vista la simmetria assiale.
Per semplificare la trattazione, si aggiungano ora dei tratti di linea uguali
alle tre porte del circuito in modo tale che il coefficiente di riflessione alle tre
porte diventi puramente reale e positivo (s11 = α > 0). Ciò è sicuramente
possibile in virtù di quanto detto nella sezione precedente. Esprimendo,
inoltre, il coefficiente di trasmissione nella forma s12 = tejφ e sostituendo il
tutto nelle equazioni (2.65):
(
dalla seconda:
cos φ = −
t
2α
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
72
2.4. LA MATRICE DI SCATTERING O DI DIFFUSIONE
dato che t ed α sono entrambi positivi, deve avvenire che:
t
≤1
(2.68)
2α
Ora il minimo coefficiente di riflessione si ha quando si massimizza il
coefficiente di trasmissione. Tale condizione corrisponde all’uguaglianza nella
relazione (2.68), quindi tmax = 2αmin . Sostituendo nella prima equazione di
(2.67) si ottiene quindi:
2
αmin
+ 2(2αmin )2 = 1
ovvero:
αmin =
1
3
che rappresenta il modulo del minimo coefficiente di riflessione che è
possibile ottenere.
In molte applicazioni è necessario avere adattamento su tutte le porte. Per
ottenere ciò è necessario però rilassare le specifiche, ad esempio rimuovendo
l’ipotesi di reciprocità. In tal caso è possibile sintetizzare un circuito tre
porte con una matrice di scattering (ideale) del tipo:


0 1 0


S= 0 0 1 
1 0 0
Tale dispositivo si chiama circolatore ed è costruito introducendo un elemento di ferrite (materiale non reciproco) all’interno della giunzione tre porte. Dalla matrice si vede che il circuito è, almeno in teoria, ancora privo
di perdite. Nella pratica, l’introduzione delle ferriti porta sempre ad un
aumento delle perdite complessive del circuito in misura non trascurabile.
Più avanti verranno analizzati dei circuiti divisori di potenza, dove per
ottenere adattamento alle porte e mantenere la reciprocità del circuito, verrà
rimossa la specifica sull’assenza di perdite.
Circuito a quattro porte con due piani di simmetria
Una possibile realizzazione di un circuito a quattro porte con un doppio
piano di simmetria è un accoppiatore direzionale (fig. 2.19), che verrà studiato approfonditamente più avanti. Per ora verrà effettuata la sola analisi
e semplificazione della matrice di scattering sulla base delle proprietà finora
esposte.
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CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
73
Figura 2.19: Circuito quattro porte con due piani di simmetria
Innanzitutto, la doppia simmetria comporta l’uguaglianza dei vari coefficienti di riflessione alle quattro porte, quindi:
s11 = s22 = s33 = s44
Inoltre, considerando la reciprocità, si hanno anche le seguenti relazioni
di uguaglianza:
s12 = s21 = s34 = s43
s13 = s31 = s24 = s42
s14 = s41 = s23 = s32
Da notare che il doppio piano di simmetria è una condizione di simmetria
leggermente meno forte della simmetria rotazionale (fig. 2.20), che, invece,
implicherebbe anche l’uguaglianza s12 = s14 .
Figura 2.20: Circuito quattro porte con simmetria rotazionale
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
74
2.4. LA MATRICE DI SCATTERING O DI DIFFUSIONE
La matrice di scattering si riduce quindi alla seguente forma:




S=
s11
s12
s13
s14
s12
s11
s14
s13
s13
s14
s11
s12
s14
s13
s12
s11





Aggiungendo ora la conservazione della potenza, da S+ S = I si ricavano
dei nuovi legami tra i parametri di scattering:
|s11 |2 + |s12 |2 + |s13 |2 + |s14 |2 = 1
s11 s∗12 + s12 s∗11 + s13 s∗14 + s14 s∗13 = 0

s11 s∗13 + s12 s∗14 + s13 s∗11 + s14 s∗12 = 0



s11 s∗14 + s12 s∗13 + s13 s∗12 + s14 s∗11 = 0





(2.69)
dalle (2.69) si ricava una proprietà interessante di tale circuito. Si supponga che le quattro porte siano tutte adattate (quindi s11 = 0) e, successivamente, si esegua uno shift dei piani di riferimento in modo tale da rendere
s14 = α puramente reale. I tratti di linea aggiunti alle quattro porte devono
essere di uguale lunghezza per non rompere la simmetria del circuito. Le
equazioni (2.69) si riducono a:
|s12 |2 + |s13 |2 + α2 = 1
2αRe{s13 } = 0

2αRe{s12 } = 0



s12 s∗13 + s13 s∗12 = 0





(2.70)
il che comporta necessariamente l’annullamento di uno dei tre coefficienti
di trasmissione, ad esempio proprio α. La porta che corrisponde al coefficiente di trasmissione nullo viene definita porta isolata. Se, invece, si ipotizza
α 6= 0 è facile dimostrare che almeno uno degli altri due coefficienti deve
essere per forza nullo. Infatti, dalla seconda e terza equazione delle (2.70)
dovrebbe essere contemporaneamente Re{s13 } = 0 e Re{s12 } = 0, quindi i
due coefficienti devono essere puramente immaginari:
(
s13 = jβ
s12 = jγ
sostituendo queste espressioni nell’ultima di (2.70), si ricava:
−jγjβ − jβjγ = 0 ⇒ 2βγ = 0
quindi deve avvenire che β = 0 oppure γ = 0.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
75
Ricapitolando, dato un circuito quattro porte con due piani di simmetria,
reciproco, privo di perdite e adattato, una delle porte di uscita deve essere
necessariamente isolata. Quale delle tre dipende poi dalla struttura fisica del
dispositivo.
Inoltre, se si parte di nuovo dalle (2.70) e si suppone che la porta isolata
sia la numero 3 (s13 = 0), si vede subito (da 2αRe{s12 } = 0) che le altre
due uscite devono essere in quadratura di fase. E’ facile dimostrare come
anche la quadratura di fase tra le uscite non nulle di questo circuito sia una
proprietà che vale sempre, qualsiasi sia la porta isolata.
Queste proprietà sono molto importanti perché sono strutturali e valgono
indipendentemente dalla frequenza permettendo la realizzazione di accoppiatori direzionali a banda larga.
ESERCIZI
1) E’ possibile realizzare un dispositivo a due porte, senza perdite, che sia
perfettamente adattato alla porta 1 (|s11 | = 0, |s21 | = 1) e completamente
disadattato alla porta 2 (|s12 | = 0, |s22 | = 1)?
Tale dispositivo potrebbe essere utilizzato, ad esempio, per adattare un
generatore di potenza ad una scatola metallica nella quale, una volta eccitato
un campo elettromagnetico, si potrebbe scaldare un pollo, una tazza di latte,
del pane e quant’altro. In questa applicazione, come si intuisce facilmente,
il carico cambia in modo non facilmente prevedibile e tuttavia il generatore
deve funzionare in condizioni di adattamento.
Malgrado le aspettative, data l’utilità del dispositivo, la risposta al quesito è negativa. Per rendersene conto è sufficiente notare che per un tale componente |det(S)| = 0, il che contraddice evidentemente la relazione
(2.57). D’altra parte, si deve anche notare che l’esistenza di un tale dispositivo consentirebbe di adattare un carico reattivo senza alcuna perdita di
energia.
Rimuovendo l’ipotesi di assenza di perdite è invece possibile realizzare
un dispositivo con le seguenti caratteristiche: |s11 | = 0, |s21 | = 1,|s12 | = 0,
|s22 | = 0. Come nel caso precedente, l’interposizione di questo dispositivo
fra un generatore e un carico qualunque fa si che il primo veda comunque
un carico adattato e lavori al meglio. Tuttavia, la potenza riflessa dal carico
viene dissipata all’interno del dispositivo stesso. Tale componente prende il
nome di isolatore. Nel capitolo relativo alla progettazione vedremo come si
realizza.
2) Calcolare la matrice di scattering della cascata di due giunzioni di
matrici s e σ.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
76
2.4. LA MATRICE DI SCATTERING O DI DIFFUSIONE
3) Si progetti un dispositivo senza perdite e reciproco che abbia la seguente matrice di scattering, alla frequenza di 10 GHz:
"
0.333ejπ 0.949ej0.5
0.949ej0.5 0.333ejπ
#
(2.71)
impiegando una suscettanza parallelo jb e due tratti di linea di trasmis√
sione di lunghezza l1 e l2 (Z0 = 1, β = ω ǫ0 µ0 ). Si determinino i valori di b,
l1 e l2 .
4) Si calcoli quindi la risposta in frequenza del dispositivo (da 9 a 11 GHz)
nei casi in cui la reattanza sia induttiva o capacitiva.
5) Esiste un valore di impedenza di carico ZL sul quale terminare il due
porte precedentemente sintetizzato, in modo che la riflessione all’ingresso
risulti nulla? Suggerimento Ricavare la formula generale che fornisce il coefficiente di riflessione di un due porte terminato su un carico nell’ipotesi di
conoscere la matrice S e la riflettenza del carico
Soluzione: aggiustiamo subito il modulo del coefficiente di riflessione,
risolvendo l’equazione:
|s11 | = √
b
= 0.333
4 + b2
(2.72)
√
da cui si ricava b = 0.4444. Essendo il dispositivo simmetrico, l1 = l2 =
−jb
) è la fase del due porte costituito dalla sola suscettanza b
l. Se ψ = 6 ( 2+jb
in parallelo, allora dovremmo aggiungere due tratti di linea tali che:
ψ + 2βl = π e cioè l =
π−ψ
2β
(2.73)
Se, infine, il dispositivo è anche simmetrico s11 = s22 , allora soltanto due
parametri reali saranno necessari per la sua completa caratterizzazione e cioè
un modulo e una fase di s11 o s12 .
Da ultimo, si noti che, nel caso di circuito due porte reciproco con perdite,
in generale, non si ha uguaglianza fra i moduli delle riflettenze, cioè |s11 | =
6
|s22 |.
Per dimostrare l’ultima asserzione è sufficiente mostrare un caso particolare. Si consideri allora il banale partitore di tensione di resistenze R1 e R2
mostrato in fig. 2.21.
Assumendo che le impedenze caratteristiche delle linee di connessione
valgano Z0 , abbiamo:
Zin1 = R1 + R2 Z0 /(R2 + Z0 )
Zin2 = R2 (Z0 + R1 )/(R2 + R1 + Z0 )
(2.74)
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
77
Figura 2.21: Partitore di tensione resistivo
Dunque, in questo caso particolare, |s11 | =
6 |s22 | e dunque l’asserzione è
dimostrata. Si noti che è pure possibile che il dispositivo sia perfettamente
adattato ad una porta (es. porta 1). E’, infatti, sufficiente risolvere l’equazione Zin1 = Z0 . Si trova immediatamente che l’equazione è soddisfatta se
R2
R1 = Z0 − ZZ00+R
.
2
6) Si calcolino
1. la matrice di scattering di un tratto di linea di trasmissione di parametri
β, Z di lunghezza l;
2. la matrice di scattering di un trasformatore ideale n : 1;
3. la matrice scattering di un invertitore di impedenza k;
4. la matrice di scattering di un tratto di linea (β, Z,l) compreso tra due
invertitori di impedenza uguali, k
2.4.3
L’analizzatore vettoriale di reti (VNA)
L’analizzatore vettoriale di reti è lo strumento principale per le misure a microonde. Esso consente di misurare i parametri di scattering, in modulo e
fase, di un dispositivo. Sul mercato ci sono analizzatori a due o più porte, tuttavia, ricordando la definizione operativa della matrice S, è sempre possibile
ottenere la misura per un qualsiasi circuito ad N porte semplicemente terminando su carico adattato le porte non direttamente connesse all’analizzatore
stesso.
Esternamente lo strumento si presenta come un box sul quale sono presenti due, o più, connettori coassiali per connettere i dispositivi da misurare.
In più è presente un display dove vengono visualizzate le misure e una serie
di controlli che permettono di pilotare il sistema (fig. 2.22).
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
78
2.4. LA MATRICE DI SCATTERING O DI DIFFUSIONE
Figura 2.22: Analizzatore vettoriale di reti
a1
a2
b1
b2
D.U.T.
Figura 2.23: Schema di principio del funzionamento interno di un VNA
In figura 2.23 è riportato uno schema di principio molto semplificato della
struttura interna del VNA.
In esso sono individuabili i seguenti componenti:
- Una sorgente a radiofrequenza stabilizzata per avere buon adattamento;
- Uno switch a due o più vie per alimentare i singoli canali. I canali non
alimentati sono chiusi su carichi adattati;
- Per ogni canale si ha un primo accoppiatore direzionale che consente
di misurare il segnale generato;
- Subito dopo c’è un altro accoppiatore direzionale che consente di misurare il segnale che viaggia nella direzione opposta, ovvero il segnale
riflesso dal carico;
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
79
- Il connettore di uscita con il cavo che permette di collegare il Device
Under Test (DUT);
Anche da questa schematizzazione, si capisce subito come lo strumento
non sia in grado di misurare direttamente i parametri di scattering di un
dispositivo connesso ai cavi coassiali uscenti da esso. Infatti la misura delle
ampiezze delle onde incidenti e riflesse dal carico non viene effettuata direttamente alle porte di ingresso del DUT, ma viene effettuata internamente
allo strumento (in figura indicate con le grandezze α1 , β1 , α2 e β2 ), quindi
è affetta da tutta una serie di errori che derivano dalla manipolazione dei
segnali. Basti pensare ai soli cavi coassiali di connessione tra strumento e
DUT. Essi introducono non solo uno sfasamento ma anche una attenuazione,
che diventa sempre più grande all’aumentare della frequenza.
In definitiva l’apparecchio commette un errore nella misura, che per nostra
fortuna è sistematico, quindi si può pensare di correggerlo. La procedura
utilizzata per correggere questo errore è detta calibrazione dello strumento.
La potenza della matrice S sta nella possibilità di schematizzare un qualsiasi circuito a N porte, purché questo sia stazionario e lineare. Si può
pensare quindi di schematizzare tutto ciò che è compreso tra il punto in cui
viene effettuata la misura delle ampiezze delle onde viaggianti e il DUT con
una matrice di scattering a 2 porte (Fig. 2.24).
S1
S
S2
(D.U.T.)
Figura 2.24: Schematizzazione dell’accoppiatore direzionale con matrici di
scattering
In pratica, la calibrazione non fa altro che misurare i parametri di scattering delle due matrici S1 e S2 di figura 2.24. Questa misura viene effettuata
collegando al posto del DUT dei carichi di test con coefficiente di riflessione
noto e costruendo un sistema di equazioni tale da poter ricavare le grandezze
incognite.
Per capire come funziona la procedura di calibrazione, limitiamoci a considerare il caso di un dispositivo ad 1 porta (ovvero un carico con un certo
coefficiente di riflessione Γ) (fig. 2.25).
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
80
2.4. LA MATRICE DI SCATTERING O DI DIFFUSIONE
S
G
Figura 2.25: Circuito equivalente per la calibrazione di un VNA ad una porta
La matrice S identifica tutti gli apparati interni all’analizzatore vettoriale
e il cavo uscente da esso per poter connettere il carico. Dato che non possiamo
fare alcuna ipotesi sulla matrice, in generale si avranno 4 incognite complesse
(una per ogni parametro).
Il sistema è governato dalle seguenti equazioni:
(
b1 = s11 a1 + s12 a2
b2 = s21 a1 + s22 a2
e
a2 = Γb2
Mediante semplici conti è possibile arrivare al legame che esiste tra il
rapporto delle onde in ingresso ed il coefficiente di riflessione del carico:
b1
s12 s21 Γ
= s11 +
a1
1 − s22 Γ
(2.75)
Invertendo tale relazione si ottiene il coefficiente di riflessione in funzione
della misura effettuata internamente allo strumento:
Γ=
b1
a1
b1
s
a1 22
− s11
+ s11 s22 + s12 s21
(2.76)
Come si vede le incognite del problema sono tre: s11 , s22 ed il prodotto
s12 s21 . Sarà necessario quindi costruire un sistema di tre equazioni (complesse) per poter trovare una soluzione. Da un punto di vista operativo si ha
bisogno di tre carichi noti da connettere a posto del carico incognito.
Carichi noti per effettuare la calibrazione sono:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
81
- Corto circuito. Questo può essere anche shiftato, ovvero può essere
inserito un tratto di linea prima del corto. Con questo stratagemma
si possono costruire una gran quantità di carichi noti (basta variare la
lunghezza della linea);
- Carico adattato. In questo caso è necessario assicurarsi che sia di buona
qualità, ovvero che il suo Return Loss sia alto;
- Circuito aperto. Molto difficile da realizzare in pratica e valido solo
per alcuni mezzi trasmissivi. Ad esempio non è realizzabile in guida
d’onda.
In generale è sufficiente avere un qualsiasi carico di cui si conosce con
elevata precisione il comportamento in frequenza, in modo da poter costruire
un sistema affidabile. Da questo punto di vista il corto circuito shiftato
costituisce sicuramente la scelta ottimale.
Facciamo ora un esempio prendendo come carichi di test un carico perfettamente adattato e due carichi di cui conosciamo l’andamento (in modulo
e fase) in frequenza. Indichiamo i coefficienti di riflessione di tali carichi con
Γs1 e Γs2 , ovviamente dipendenti dalla frequenza.
Collegando il carico adattato si misura direttamente la s11 dello strumento
(basta sostituire Γ = 0 in (2.75)). Collegando il corto circuito e il circuito
aperto si ricavano le seguenti:
b1 s12 s21 Γs1
= s11 +
a1 s1
1 − s22 Γs1
s12 s21 Γs2
b1 = s11 +
a1 s2
1 − s22 Γs2
E’ facile vedere che questo è un semplice sistema lineare la cui soluzione
ci fornisce le incognite mancanti s22 e s12 s21 . Tale sistema deve essere risolto
per ogni frequenza che si vuole analizzare.
Ottenuta la matrice di scattering del VNA si connette il carico incognito
e tramite la (2.76) è possibile calcolare il coefficiente di riflessione calibrato.
In ultimo è necessario fare alcune considerazioni sulla calibrazione:
- La calibrazione va sempre fatta prima di effettuare la misura. Dato
che le condizioni al contorno cambiano (si pensi solo al fatto che i cavi
coassiali di collegamento possono essere cambiati) è necessario rifare la
calibrazione per i punti di frequenza che interessano;
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
82
2.4. LA MATRICE DI SCATTERING O DI DIFFUSIONE
- Nel caso di calibrazione due porte il principio non cambia, si complica
solo la trattazione matematica dato che il numero di incognite aumenta. Infatti devono essere determinati i coefficienti di scattering di due
matrici 2x2, una per ogni canale, che in generale sono diverse;
- La calibrazione va effettuata a strumento caldo, dato che la variazione di temperatura dei componenti interni cambia la loro risposta in
frequenza;
- Normalmente l’acquisizione dei carichi di test e la successiva correzione della misura viene effettuata direttamente dallo strumento, che ha
implementato internamente il software necessario per la calibrazione.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
2.5
83
Matrici di scattering e simmetria
Nei paragrafi precedenti abbiamo già avuto modo di studiare alcune proprietà
dei circuiti simmetrici. In particolare ci siamo soffermati ai circuiti a due
porte, tre porte con massima simmetria e quattro porte con due piani di
simmetria.
In questo paragrafo verrà fatto uno studio più approfondito del problema
e verranno ricavate alcune proprietà del tutto generali che permetteranno di
semplificare lo studio di circuiti particolarmente complessi. In particolare si
vedrà come la presenza della massima simmetria comporta alcune proprietà
strutturali nella matrice di scattering.
Prima di procedere, è necessario formulare alcune ipotesi necessarie per
lo sviluppo della teoria:
- Innanzitutto il circuito considerato deve poter essere rappresentato mediante una matrice S diagonalizzabile, ovvero gli autovalori non distinti della matrice devono avere molteplicità geometrica pari a quella
algebrica.
Sotto questa ipotesi è possibili scrivere la matrice S nella seguente forma
che prende il nome di rappresentazione spettrale:
S=
N
X
sn vn un
(2.77)
n=1
dove:
vn : autovettore destro (Svn = sn vn ) relativo all’autovalore sn ;
un : autovettore sinistro (un S = sn un ) relativo all’autovalore sn .
I due sistemi di autovettori sono ortogonali tra loro e possono essere resi
ortonormali. Infatti,
(
Svn = sn vn
⇒
um S = sm um
(
um Svn = sn um vn
um Svn = sm um vn
sottraendo le equazioni precedenti si ha:
(sn − sm )um vn = 0
(2.78)
Prendendo il caso n 6= m, nel caso di autovalori distinti (sn 6= sm ) la
conseguenza della (2.78) è:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
84
2.5. MATRICI DI SCATTERING E SIMMETRIA
um vn = 0 ⇒ um ⊥ vn
Nel caso in cui gli autovalori siano coincidenti la dimostrazione è leggermente più complicata e non verrà svolta in questa sede. Comunque il fatto
che la matrice S sia diagonalizzabile garantisce che per ogni autovalore multiplo esista un corrispondente autospazio di autovettori destri ed un autospazio
di autovettori sinistri di dimensioni pari alla molteplicità algebrica dell’autovalore. Per entrambi gli spazi è possibile costruire una base ortonormale,
permettendo di generalizzare il risultato ottenuto precedentemente.
Quindi, in conclusione si ha
um vn = δmn
(
δmn = 0 per n 6= m
δmn = 1 per n = m
Se il circuito è reciproco, sappiamo che la matrice di scattering è simmetrica, ovvero
S = ST
Con questa condizione aggiuntiva si dimostra che gli autovettori sinistri coincidono con gli autovettori destri trasposti. Infatti, considerando
l’autovettore destro vn :
Svn = sn vn ⇒ (Svn )T = sn vnT
(2.79)
(Svn )T = vnT ST = vnT S
(2.80)
ora, data la simmetria della matrice di scattering è facile vedere che
Confrontando la (2.79) e la (2.80) si deduce che:
vnT S = sn vnT
dimostrando il fatto che vnT è un autovettore sinistro della matrice di
scattering (un = vnT ).
Quindi la rappresentazione spettrale per un circuito N-porte reciproco
può essere scritta come:
S=
N
X
sn vn vnT
n=1
con
T
vm
vn = δmn
Con i risultati ottenuti, è possibile dimostrare il seguente
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
85
Teorema 1 Se la matrice S simmetrica gode della rappresentazione spettrale
S=
N
X
sn vn vnT
n=1
dove {v1 , v2 , . . . , vn } è una base di autovettori ortonormali, allora la
rappresentazione spettrale della sua Hermitiana è:
+
S =
N
X
s∗n vn vnT
n=1
La dimostrazione è abbastanza immediata, in quanto, partendo da:
S+ =
N
X
s∗n vn vnT
n=1
e moltiplicando a destra per un autovettore vm della base di rappresentazione della S si ottiene:
S+ vm =
N
X
s∗n vn vnT vm =
N
X
s∗n vn δnm = s∗m vm
n=1
n=1
Quindi vm è anche autovettore della matrice Hermitiana.
Osservazione 1 Il risultato appena dimostrato non è banale, in quanto facendo l’Hermitiana della rappresentazione di partenza si arriva ad un cambio
della base di rappresentazione.
Infatti:
S+ =
N X
sn vn vnT
n=1
+
=
N
X
n=1
sn vn vnT
+
=
N
X
s∗n vn∗ vn+
n=1
Se ora si introduce l’ipotesi di conservatività del circuito, si può dimostrare che, sotto questa ipotesi, gli autovalori della matrice di scattering sono
dei fasori. Infatti, per la conservatività di ha:
S+ S = I
(2.81)
Sostituiamo ora alle matrice S e S+ le loro rispettive rappresentazioni
spettrali. In particolare usiamo il risultato ottenuto dal teorema 1, che ci
permette di usare la medesima base di autovettori nelle due rappresentazioni.
Inoltre, costruiamo anche la rappresentazione spettrale della matrice identità
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
86
2.5. MATRICI DI SCATTERING E SIMMETRIA
con la medesima base. Ciò è lecito in quanto la matrice identità è diagonale
su qualsiasi base di rappresentazione. Si ottiene quindi:
+
S S=
N
X
T
s∗m vm vm
N
X
sn vn vnT
=
N
X
s∗m sn vm δnm vnT =
N
X
T
s∗m sn vm vm
vn vnT =
m,n=1
n=1
m=1
N
X
s∗n sn vn vnT =
n=1
m,n=1
N
X
n=1
ora, sapendo che:
I=
|sn |2 vn vnT
(2.82)
N
X
(2.83)
1vn vnT
n=1
sostituendo la (2.82) e la (2.83) nella (2.81), si ottiene:
N
X
n=1
|sn |
2
vn vnT
=
N
X
n=1
1vn vnT ⇒ |sn |2 = 1 ∀n ∈ {1, 2, . . . , N}
quindi gli autovalori della matrice S di un N-porte reciproco e conservativo
hanno modulo quadrato unitario, quindi sono dei fasori:
sn = ejφn
∀n ∈ {1, 2, . . . , N}
A questo punto non rimane che introdurre anche l’ultima ipotesi sul circuito, ovvero quella di simmetria. Questa ulteriore ipotesi ci permetterà di
ricavare la seguente proprietà: gli autovettori di una giunzione priva di perdite e dotata di massima simmetria non dipendono dal dettaglio della giunzione
ma solo dalla simmetria.
Prima di dimostrare una tale affermazione, facciamo la seguente:
Osservazione 2 In un circuito reciproco rappresentato mediante matrice di
scattering, la proprietà di simmetria fa sı̀ che la matrice S sia invariante per una operazione di similitudine con una matrice di permutazione che
rappresenta tale simmetria.
Verifichiamo una tale proprietà nel caso più semplice, ovvero per un
circuito 2 porte reciproco la matrice di scattering è:
S=
"
s11 s12
s12 s22
#
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
87
mentre la matrice di permutazione è:
"
T=
0 1
1 0
#
Se si effettua la permutazione si arriva al risultato:
TST
−1
= TST =
"
s22 s12
s12 s11
#
Ora imponendo l’invarianza:
S = TST−1
ovvero:
"
s11 s12
s12 s22
#
=
"
s22 s12
s12 s11
#
per similitudine si ottiene:
s11 = s22
che è la condizione di simmetria per il due porte reciproco.
Il ragionamento può essere facilmente esteso anche al caso del tre porte
massimamente simmetrico di figura 2.18. Per tale circuito, facendo l’ipotesi
di reciprocità, la matrice di scattering è:


s11 s12 s13


S =  s12 s22 s23 
s13 s23 s33
mentre la matrice di permutazione che pone la porta 1 in posizione 3, la
porta 2 in posizione 1 e la porta 3 in posizione 2 (rotazione in senso orario
delle porte), assume la seguente forma:


0 1 0


T= 0 0 1 
1 0 0
da notare che, diversamente dal caso del due porte, la matrice T−1
differisce dalla matrice T. Infatti:
T−1


0 0 1

= 1 0 0 

0 1 0
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
88
2.5. MATRICI DI SCATTERING E SIMMETRIA
Effettuando la permutazione si arriva al seguente risultato:
TST−1


s22 s23 s12


=  s23 s33 s13 
s12 s13 s11
Se si effettua una nuova rotazione in senso orario, la matrice deve rimanere
comunque invariante, quindi si arriva a:
S = TST−1 = TTST−1 T−1
che ha come conseguenza le seguenti uguaglianze tra gli elementi della
matrice di partenza:
(
s11 = s22 = s33
s12 = s13 = s23
che sono le condizioni di massima simmetria per un circuito 3-porte
reciproco.
Data l’invarianza, è interessante notare che la matrice S goda della seguente proprietà. Se
S = TST−1
allora
ST = TST−1 T
Dato che:
T−1 T = TT−1 = I
ne segue che:
ST = TS
ovvero che la matrice S e la matrice T commutano tra loro.
Teorema 2 Se la matrice T è non degenere (ovvero non ha autovalori coincidenti) e commuta con la matrice S, allora esiste una base di autovettori destri e una di autovettori sinistri di T che è anche una base di rappresentazione
per la matrice S.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
89
Per dimostrarlo consideriamo una matrice T diagonalizzabile non degenere. Supponiamo che λi sia un suo autovalore. Il corrispondente autovettore
destro sia ti è definito, a meno di una costante moltiplicativa, dalla seguente
relazione:
Tti = λi ti
(2.84)
Se si moltiplica a sinistra per la matrice S si ha
STti = λi Sti
(2.85)
Dato che le matrici S e T commutano, si può scrivere:
ST = TS ⇒ STti = TSti
(2.86)
Combinando le relazioni (2.85) e (2.86) emerge che:
T(Sti ) = λi (Sti )
il che significa che Sti è l’autovettore destro corrispondente all’autovalore
λi .
Combinando quest’ultima relazione con la (2.84) si vede che Sti deve
essere parallelo a ti , ovvero tra i due esiste il seguente legame:
Sti = si ti
ovvero ti è un autovettore della matrice S e l’autovalore corrispondente
è si .
Da notare che se l’autovalore λi fosse stato degenere, con molteplicità algebrica m, dato che la matrice T è diagonalizzabile, avremmo avuto un autospazio destro di dimensione m generato dagli autovettori destri {ti1 , ti2, . . . , tim }
corrispondenti a λi . La conseguenza è che Sti è ancora un autovettore
destro della matrice T ma non è detto che sia ancora parallelo a ti , in
quanto è combinazione lineare degli autovettori che formano l’autospazio
(c1 ti1 + c2 ti2 + . . . + cm tim ).
Il teorema 2 è estendibile anche al caso di autovettori sinistri wn . Infatti,
dato wi l’autovettore sinistro corrispondente all’autovalore λi , esso è definito,
a meno di una costante moltiplicativa, dalla seguente relazione:
wi T = λi wi ⇒ wi TS = λi wi S
Dato che T e S commutano:
wi TS = wi ST
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
90
2.5. MATRICI DI SCATTERING E SIMMETRIA
e dal confronto delle due relazioni si arriva al risultato:
(wi S) T = λi (wi S)
evidenziando il fatto che (wi S) è un autovettore sinistro della matrice T
relativo a λi . Essendo wi definito a meno di una costante moltiplicativa, si
ha che wi è anche autovettore sinistro della matrice S, ovvero:
w i S = si w i
Come si è notato, se S è una matrice simmetrica, gli autovettori sinistri
sono i trasposti di quelli destri. Quindi in definitiva, il risultato ottenuto è che
dato un circuito conservativo e simmetrico la matrice di scattering S di questo
commuta con un’opportuna matrice T che descrive la simmetria del circuito.
Se la matrice è diagonalizzabile e non degenere, allora si può costruire una
rappresentazione spettrale della S tramite gli autovettori destri e sinistri della
matrice T (poiché le due matrici condividono gli stessi autovettori).
Lo studio ora si trasferisce sulla matrice di permutazione, che in genere
è molto più semplice, facilitando lo studio delle proprietà del circuito di
partenza.
Infatti, la matrice T è una matrice le cui colonne sono date da una
permutazione dei vettori della base canonica:
T = |ei , ej , . . . , eh |
La sua trasposta avrà quindi per righe i medesimi vettori:
T
T =






eTi
eTj
..
.
eTh






E’ semplice dimostrare che il prodotto righe per colonne TT T è uguale
alla matrice identità:
T
T T=






eTi
eTj
..
.
eTh



 |ei , ej , . . . , eh |


=I
quindi, l’inversa della matrice coincide con la sua trasposta (T−1 = TT ),
indicando che la matrice di permutazione è ortogonale.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
91
Un importante teorema della geometria afferma che matrici Hermitiane,
unitarie (A+ A = I) e ortogonali ammettono sempre una base di autovettori
ortonormali nel campo dei numeri complessi, cioè rispetto al prodotto scalare
Hermitiano
t+
m tn = δmn
(2.87)
Ciò permette di asserire che se per T vale la seguente rappresentazione
spettrale:
T=
N
X
λn t n wn
n=1
allora wn = t+
n e quindi:
T=
N
X
λn t n t +
n
con t+
m tn = δmn
(2.88)
n=1
Se poi la matrice di permutazione è anche simmetrica T = TT = T−1 ,
allora si ha che wn = tTn :
T=
N
X
λn tn tTn
con tTm tn = δmn
(2.89)
n=1
Quindi se la matrice di permutazione soddisfa le ipotesi, allora esiste
una base di autovettori ortonormali tra loro. Per la teoria sviluppata in
precedenza, questi costituiranno una base anche per la matrice di scattering
del circuito simmetrico la cui simmetria è descritta dalla matrice T.
Inoltre, dato che la simmetria è strutturale e non dipende né dalla frequenza né dal dettaglio della giunzione, tale base di autovettori sarà indipendente
da essi. Questo significa che tutta l’informazione relativa alla variazione in
frequenza è contenuta solo ed esclusivamente negli autovalori.
In definitiva, possiamo rappresentare la matrice S nel seguente modo:
S(ω) =
N
X
sn (ω)tn t+
n
con t+
m tn = δmn
(2.90)
N
X
sn (ω)tn tTn
con tTm tn = δmn
(2.91)
n=1
e se T è simmetrica:
S(ω) =
n=1
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
92
2.5. MATRICI DI SCATTERING E SIMMETRIA
2.5.1
Analisi di un circuito due porte simmetrico
Come applicazione dei concetti esposti fino ad ora, facciamo un esempio di un
circuito due porte dotato di un piano di simmetria. Ipotizzando tale circuito
reciproco, la matrice di scattering assume la forma:
S=
"
s11 s12
s12 s22
#
(2.92)
La matrice di permutazione, che permette di scambiare la porta 1 con la
porta 2 e viceversa è:
T=
"
0 1
1 0
#
Dato che tale matrice è simmetrica, avrà una base di autovettori ortonormali rispetto al prodotto scalare reale. Il calcolo degli autovalori e degli
autovettori è semplice. Gli autovalori sono i seguenti:
(
λ1 = 1
λ2 = −1
I corrispondenti autovettori normalizzati sono:
1
t1 = √
2
"
1
1
#
1
t2 = √
2
"
1
−1
#
(2.93)
E’ facile verificare che tali autovettori sono ortonormali. La rappresentazione spettrale della matrice di permutazione è quindi:
1
T = (1)
2
"
1
1
#
h
1 1
i
1
+ (−1)
2
"
1
−1
#
h
1 −1
i
=
"
0 1
1 0
#
Sappiamo da quanto detto in precedenza che gli autovettori della rappresentazione spettrale della matrice S sono gli stessi della T, quindi:
1
S = s1
2
"
1
1
#
h
1 1
i
1
+ s2
2
"
1
−1
#
h
1 −1
i
Eguagliando quest’ultima con la (2.92) possiamo ricavare gli autovalori
della matrice. In particolare si arriva a:
(
s11 =
s12 =
s1 +s2
2
s1 −s2
2
(
s1 = s11 + s12
s2 = s11 − s12
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
93
Vediamo ora qual è il significato fisico di tali autovalori della rete due
porte.
Noi sappiamo che la matrice di scattering lega le ampiezze dei segnali
entranti ed uscenti al circuito:
"
b1
b2
#
=S
"
a1
a2
#
Se un vettore ti è un autovettore della matrice si ha:
Sti = si ti
Questo significa che se l’autovettore, o un vettore proporzionale ad esso,
viene applicato in ingresso al circuito, in uscita si ha qualcosa proporzionale
all’ingresso, e la costante di proporzionalità è proprio l’autovalore.
′
′
- Circuito eccitato in maniera simmetrica (a1 = 1/2, a2 = 1/2)
L’uscita sarà quindi proporzionale all’ingresso:
"
′
b1 =
′
b2 =
s1
2
s1
2
#
dove s1 è l’autovalore associato all’autovettore t1 . Data la simmetria dell’eccitazione (e della struttura), le onde di tensione applicate ai due ingressi
arrivano con la stessa fase sul piano di simmetria, dando luogo ad un massimo
di tensione su di esso. Essendo, invece, le correnti entrambe entranti, sul piano di simmetria esse si annullano a vicenda, avendo uguale modulo ma versi
opposti. Questa configurazione corrisponde ad un circuito aperto. Se si riporta tutto al campo elettromagnetico, sul piano di simmetria si ha il campo
elettrico disposto tangenzialmente, mentre il campo magnetico è ortogonale
al piano. Questa configurazione corrisponde ad un muro magnetico.
La presenza di questa condizione al contorno permette di semplificare
l’analisi, in quanto per il teorema di unicità possiamo considerare solo metà
struttura delimitata dal muro magnetico sul piano di simmetria. Il circuito
che ne risulta è un circuito ad una porta soltanto ed è facile vedere che
l’autovalore s1 altro non è che il coefficiente di riflessione a questa porta.
′
′
- Circuito eccitato in maniera antisimmetrica (a1 = 1/2, a2 = −1/2)
Anche in questo caso sappiamo che l’uscita è proporzionale all’ingresso:
"
b1 = s22
′′
b2 = − s22
′′
#
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
94
2.5. MATRICI DI SCATTERING E SIMMETRIA
dove s2 è l’autovalore associato all’autovettore t2 . Diversamente dal caso
precedente, data la simmetria della struttura e l’antisimmetria dell’eccitazione, le onde di tensione applicate ai due ingressi arrivano con fasi opposte sul
piano di simmetria, dando luogo ad uno zero di tensione su di esso. Viceversa
le correnti arrivano concordi, quindi si avrà un massimo di corrente. Questa
configurazione corrisponde ad un corto circuito. Corrispondentemente si ha
il campo elettrico ortogonale e il campo magnetico parallelo alla superficie
di mezzeria. Questa configurazione corrisponde ad avere un muro elettrico
Posso quindi analizzare solo metà struttura con l’aggiunta del muro elettrico, riducendo l’analisi ad un circuito ad una porta soltanto. Anche in
questo caso è facile vedere che l’autovalore s2 altro non è che il coefficiente
di riflessione a questa porta.
Volendo ora conoscere la risposta del circuito completo eccitando solo la
porta 1, dato che il circuito è lineare posso applicare la sovrapposizione degli
effetti.
"
b1
b2
′
#
=S
′′
b1 = b1 + b1 =
′
′′
b2 = b2 + b2 =
2.5.2
"
1
0
s1 +s2
2
s1 −s2
2
#
= s11
= s12
Analisi di un circuito tre porte a massima simmetria
Analizziamo ora il caso di una matrice S di un circuito tre porte massimamente simmetrico (2.26).
Figura 2.26: Giunzione a tre porte


s11 s12 s12

S =  s12 s11 s12 

s12 s12 s11
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
95
con la matrice di permutazione che assume la seguente forma:


0 1 0


T= 0 0 1 
1 0 0
Gli autovalori della matrice T possono essere facilmente determinati risolvendo l’equazione λ3 − 1 = 0 e sono:




λ1 = 1
√
3
λ2 = ej2π/3 = − 12 + j 2√


 λ = e−j2π/3 = − 1 − j 3
3
2
2
Gli autovettori possono essere anch’essi facilmente determinati risolvendo
le equazioni Tti = λi ti per i = 1, 2, 3, che conducono ai seguenti risultati:


1

1 
√
t1 = 3  1  t2 =
1


1


√1  ω  t3 =
3
ω∗


1


√1  ω ∗ 
3
ω
avendo posto ω = ej2π/3 . Dato che la matrice T non è simmetrica, la base
di autovettori trovata è ortonormale rispetto al prodotto scalare Hermitiano.
Costruiamo ora una matrice G avente per colonne gli autovettori appena
trovati:


1
1
1
1 

j2π/3
−j2π/3
e
G= √  1 e

3 1 e−j2π/3 ej2π/3
la sua inversa è:
G−1


1
1
1
1 

−j2π/3
j2π/3
=√  1 e
e

3 1 ej2π/3 e−j2π/3
è possibile verificare il seguente prodotto restituisce la matrice T iniziale:
G · diag[λ1 , λ2 , λ3 ] · G−1


0 1 0


= 0 0 1 
1 0 0
Ne segue che le righe della matrice G−1 sono gli autovettori sinistri della
matrice T.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
96
2.5. MATRICI DI SCATTERING E SIMMETRIA
i
1 h
1 1 1
w1 = √
3
i
1 h
w2 = √
1 e−j2π/3 ej2π/3
3
i
1 h
1 ej2π/3 e−j2π/3
w3 = √
3
Da notare come questi siano gli hermitiani degli autovettori destri, come
dimostrato precedentemente.
La base di autovettori trovata è, come dimostrato, una base anche per la
matrice S di partenza, quindi possiamo scrivere la rappresentazione spettrale:
S=
3
X
+
+
+
sn t n t +
n = s1 t 1 t 1 + s2 t 2 t 2 + s3 t 3 t 3
n=1






1
1 h
1
i
i
i
s1  ∗  h
s2 
s1   h

∗
=  1  1 1 1 +  ω  1 ω ω +  ω  1 ω ω∗
3
3
3
ω
1
ω∗
1 1 1
1 ω∗ ω
1 ω ω∗
s1 
s
s2 
1




=  1 1 1  +  ω 1 ω∗  +  ω∗ 1 ω 
3
3
3
ω∗ ω 1
ω ω∗ 1
1 1 1








s11 s12 s12


=  s12 s11 s12 
s12 s12 s11
Dall’uguaglianza precedente si ricavano le relazioni che permettono di
ricavare i parametri di scattering a partire dagli autovalori della matrice:
(
s11 = 31 (s1 + s2 + s3 )
s12 = 31 (s1 + s2 ω ∗ + s3 ω) = 13 (s1 + s2 ω + s3 ω ∗)
Osserviamo, inoltre, che dall’ultima delle due relazioni precedenti emerge
la seguente uguaglianza:
s2 ω ∗ + s3 ω = s2 ω + s3 ω ∗ ⇒ s2 (ω ∗ − ω) = s3 (ω ∗ − ω) ⇒ s2 = s3
possiamo quindi riscrivere la s12 nel seguente modo:
1
1
s12 = (s1 + s2 ω ∗ + s2 ω) = [s1 + s2 (ω ∗ + ω)] =
3
3
1
1
1
1
= [s1 + s2 2Re{ω}] =
s1 + s2 2(− ) = (s1 − s2 )
3
3
2
3
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
2.5.3
97
Estensione al caso N porte
Quanto detto fino ad ora può essere esteso al caso di un circuito N-porte
dotato di un asse di simmetria rotazionale (fig. 2.27). La giunzione raffigurata è, nello specifico, realizzata in guida d’onda e grazie ad una rotazione di
2π/N radianti è possibile portare la porta 1 nella posizione della 2, la porta
2 nella porta 3 e cosı̀ via fino alla porta N-esima che va nella posizione della
1.
Figura 2.27: Giunzione N-porte in guida d’onda
La matrice di permutazione assume quindi la seguente forma:

T=








0
0
0
..
.
1
0
0
..
.
0
1
0
..
.

0 ...

0 ... 

1 ... 

.. .. 
. . 

1 0 0 0 ...
La matrice di scattering partizionata a blocchi per N pari è:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
(2.94)
98
2.5. MATRICI DI SCATTERING E SIMMETRIA

S=














s11
s12
..
.
s1,N/2−1
s1,N/2
..
.
s12 . . . s1,N/2−1 s1,N/2 s1,n/2−1 . . . s12
..
s11 . . .
.
.. . .
.
.
... ...
s11
s11
..
..
.
.
s12
s11















Dato che TN = I gli autovalori della (2.94) sono le N radici complesse di
1, ovvero:
λi = ω i−1
i = 1...N
dove
ω = ej2π/N
ed i corrispondenti autovettori soddisfano la relazione:
Tti = ω i−1ti
i = 1...N
Le soluzioni sono del tipo:
1
ti = √
N









1
ω i−1
ω 2(i−1)
..
.
ω (N −1)(i−1)









dove la periodicità di ciclo N comporta che ω N −m = ω m∗ .
Questi autovettori sono ortonormali rispetto al prodotto scalare Hermitiano e siccome T è non degenere e commuta con S queste due matrici hanno
gli stessi autovettori.
A questo punto la matrice di scattering può essere facilmente ricavata
usando la rappresentazione spettrale (2.90). I singoli coefficienti di scattering
sono:
sji =
N
X
σn (tn )i (t∗n )j
n=1
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
99
dove (tn )i è l’i-esimo elemento di tn e σn sono gli autovalori della matrice
di scattering.
Inoltre, dato che:
sji =
N
X
σn ω
(j−i)(n−1)
=
N
X
σn ω ∗(j−i)(n−1)
n=1
n=1
e sji = sij per la reciprocità, si ricava il seguente set di relazioni lineari
tra gli autovalori:
N
X
n=1
n
σn Im ω
(j−i)(n−1)
o
N
X
2π
σn sin (j − i)(n − 1)
=
=0
N
n=1
Questo implica il fatto che non tutti gli autovalori sono distinti, ma vale
la relazione σn = σm con m = N − n + 2.
Come era accaduto per il caso a 2-porte, anche nel caso a 3-porte o ad
N-porte, che ne costituisce la generalizzazione, la decomposizione spettrale permette di ricavare la matrice di scattering complessiva a partire dagli
autovalori σn che possono essere ricavati analizzando solo una parte (per
la precisione 1/N) del circuito originale. Questo significa che gli autovalori
possono essere ricavati analizzando solo lo spicchio in fig. 2.28, con le opportune condizioni al contorno. Nel caso di divisori ad N-porte le condizioni
da applicare sono quelle di Floquet, che permettono appunto di imporre lo
sfasamento tra i campi elettromagnetici presenti sulle superfici di separazione
tra gli spicchi (indicati con le frecce in figura 2.28).
e jn(2p / N )
e j0
Figura 2.28: Spicchi da analizzare per ricavare gli autovalori σn
L’analisi di tale elemento può essere condotta sia ricavando un modello
basato sulla soluzione delle equazioni di Maxwell all’interno della struttura
oppure mediante l’ausilio di un simulatore commerciale. In entrambi i casi è
comunque necessario avvalersi dell’ausilio di un calcolatore per la soluzione.
Il vantaggio concreto della tecnica risiede nel fatto che la simulazione di un
solo elemento è molto più leggera, in termini di memoria e tempi di calcolo,
della simulazione dell’intera struttura.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
100
2.5.4
2.5. MATRICI DI SCATTERING E SIMMETRIA
Divisori di potenza (simmetria degenere)
Come ultimo caso analizziamo cosa succede quando non si ha simmetria completa ma si ha degenerazione, causata dalla presenza di una porta aggiuntiva
come raffigurato in fig. 2.29. In esso, rispetto al caso della sezione precedente, è stato aggiunto un cavo coassiale che costituisce la porta N + 1-esima.
La potenza entrante viene divisa equamente tra le uscite, per questo di parla
di divisore di potenza.
Cavo coassiale
(ingrandito)
Figura 2.29: Divisore di potenza
L’analisi del dispositivo può essere condotta seguendo la teoria enunciata fino ad ora, con l’accortezza di tenere in conto la porta aggiuntiva. In
particolare, la matrice di permutazione assumerà la seguente forma:
′
T =
0






T
0
..
.
... 1






dove si osserva che la porta N + 1 non permuta con nessuna delle altre,
dato che la rotazione avviene intorno all’asse del coassiale di alimentazione.
La matrice gode della seguente proprietà:
′
TN =I
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 2. ANALISI DI CIRCUITI A MICROONDE
101
ma dato che le porte sono N + 1 la matrice risulta degenere.
N-1 autovettori ortonormali possono essere costruiti semplicemente prendendo gli autovettori di T, ovvero:
′
ti =
"
ti
0
#
(2.95)
Invece, una eccitazione del tipo:
1
v(z) = q
N + |z|2






1
1
..
.
z






(2.96)
′
per ogni z complesso non costituisce un autovettore di T , quindi non può
essere utilizzato per la decomposizione spettrale. Al variare di z la (2.96)
descrive un piano in uno spazio a (N + 1) dimensioni nel quale per ogni
coppia di punti z1 , z2 per cui valga la relazione N + z1 z2∗ = 0 corrisponde una
coppia di vettori ortogonali secondo il prodotto scalare Hermitiano (2.87).
′
La matrice S assume la forma:
′
S =






s1,N +1
..
.
S
s1,N +1
s1,N +1 . . . s1,N +1 sN +1,N +1
′






(2.97)
Applicando la matrice S agli autovettori (2.95) si ricavano N − 1 autovalori per i = 2 . . . N. Gli autovettori (2.96), invece, non sono in generale
′
comuni con la S e la decomposizione spettrale (2.90) non vale a meno che
non sia soddisfatta la condizione:
′
S v = σv
′
dove σ è l’autovalore della matrice S .
′
Data la forma della matrice S , a partire dalla precedente relazione è
possibile costruire un sistema di due equazioni indipendenti:
(
s11 + . . . + s1,N + s1,N +1 z = σ
Ns1,N +1 + sN +1,N +1 z = σz
(2.98)
che fornisce due soluzioni σ1 e σ2 . Corrispondentemente possono essere
trovati anche i due valori z1 e z2 che soddisfano la condizione di ortogonalità
N + z1 z2 = 0.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
102
2.5. MATRICI DI SCATTERING E SIMMETRIA
′
La matrice S può essere finalmente ricavata usando la seguente rappresentazione spettrale:
′
S =
N
X
i=2
′
′
′
σi ti ti+ +
σ1
σ2
v1 v1+ +
v2 v2+
2
N + |z1 |
N + |z2 |2
(2.99)
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
Capitolo 3
Proprietà dei modi in guida
Si è visto che, nonostante il numero di modi soluzioni dell’equazione d’onda
sia infinito, nella stragrande maggioranza delle applicazioni, le guide vengono
dimensionate in modo tale da garantire la propagazione del solo modo fondamentale. A che servono, allora, tutti gli altri? La risposta è che i modi nel loro
insieme costituiscono una base completa nella quale può essere rappresentato
il campo elettromagnetico in presenza di una perturbazione qualunque. Nella realtà, infatti, le guide d’onda sono accoppiate a generatori o contengono
elementi che consentono di realizzare una particolare caratteristica elettrica.
Spesso i campi localizzati in corrispondenza di tali perturbazioni assumono una forma considerevolmente diversa da quella del modo fondamentale.
Un caso evidente è quello mostrato in figura relativo alla transizione tra un
cavo coassiale e una guida d’onda.
Figura 3.1: Transizione coassiale guida d’onda
Ebbene, nella regione della guida rettangolare in cui penetra il conduttore
interno del coassiale il campo elettromagnetico non potrà certamente essere
quello del modo fondamentale. Basti osservare che proprio nella sonda, supposta per semplicità perfettamente conduttrice, il campo elettrico tangenziale deve annullarsi, diversamente dal campo elettrico del modo fondamentale
che raggiunge nel centro il suo massimo. Una rappresentazione del campo
in questa situazione è comunque possibile impiegando una sovrapposizione
di modi della guida d’onda secondo le modalità che verranno mostrate nel
seguito.
Data una componente di campo φ all’interno di una guida metallica
chiusa, questa deve soddisfare l’equazione d’onda:
103
104
3.1. ORTOGONALITÀ
∇2t φ + K02 − β 2 φ = 0
con una delle due seguenti condizioni al contorno:
φ(c) = 0
se φ rappresenta un campo elettrico, oppure
∂φ =0
∂n c
se φ è una componente del campo magnetico.
Andiamo ora ad analizzare alcune proprietà che devono avere i campi
modali.
3.1
Ortogonalità
Due componenti omologhe qualunque φi , φj (ad esempio Exi e Exj ) del campo
elettromagnetico corrispondenti agli autovalori λi e λj soddisfano la seguente
proprietà di ortogonalità [1]:
(λi − λj )
Z
0
a
Z
0
b
φi φj dxdy = 0
(3.1)
La dimostrazione è piuttosto semplice. Dall’equazione d’onda si ottiene
(∇2t φi + λi φi )φj = 0
(∇2t φj + λj φj )φi = 0
(3.2)
(3.3)
Sottraendo la seconda equazione dalla prima e integrando sulla sezione
della guida otteniamo:
Z
0
a
Z
0
b
h
i
φj ∇2t φi − φi ∇2t φj dxdy + (λi − λj )
Z
a
0
Z
0
b
φi φj dxdy = 0
(3.4)
Utilizzando il II teorema di Green, il primo integrale diventa un integrale
di linea:
Z
a
0
"
#
∂φi
∂φj
φj
dl
− φi
∂n
∂n
(3.5)
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 3. PROPRIETÀ DEI MODI IN GUIDA
105
essendo n la normale al contorno l. E’ immediato osservare che quest’ultimo integrale deve essere nullo essendo nulli sul contorno o la componente φi
(nel caso sia una campo elettrico tangenziale o un campo magnetico normale
i
al contorno) ovvero la ∂φ
(nel caso sia una campo magnetico tangenziale
∂n
o un campo elettrico normale). Dunque, se λi 6= λj , φi e φj sono tra loro ortogonali. La conseguenza immediata è due funzioni vettoriali di modo
omologhe ei , ej o hi , hj sono ortogonali:
Z
0
a
Z
0
b
ei · ej dxdy = 0 =
Z
a
0
Z
b
0
hi · hj dxdy
(3.6)
Nel caso in cui due funzioni vettoriali di modo omologhe, ad esempio φi
ed φj , corrispondano allo stesso autovalore λ, allora si parla di modi degeneri.
In tal caso è comunque possibile ottenere due combinazioni lineari dei modi,
′
definite come φi = φi e φj ′ = φj + αφi , tra loro ortogonali. La costante α
deve essere determinata in modo tale da avere:
Z Z
′
S
′
φi φj dS = 0
(3.7)
Se ora si pone:
Z Z
S
φi φj dS = Pij
allora la costante α che annulla la 3.7 è pari a:
α=−
Pij
Pii
Questa dimostrazione può essere generalizzata al caso di n modi degeneri.
3.2
Espansione modale in guida
Come primo esempio consideriamo l’espansione modale di un campo TM
all’interno di una guida a piatti piani paralleli. Supponiamo di conoscere
la distribuzione di campo elettrico in z = 0, ovvero Ex (x, 0) e ricaviamo il
campo per una qualunque posizione Ex (x, z). Il campo imposto potrebbe
essere quello eccitato da una sorgente posta all’interno della guida.
Riprendendo quanto già detto per le guide a piatti paralleli, il campo
elettrico trasverso per l’n-esimo modo TM è:
 q
2

qa
1

a
cos nπ
x n>0
a
n=0
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
106
3.2. ESPANSIONE MODALE IN GUIDA
x
a
Ex(x,0)
z
0
Figura 3.2: Espansione modale all’interno di una guida a piatti paralleli
dove per n = 0 si ha il modo T EM. Le costanti moltiplicative permettono
la normalizzazione nel senso che i campi cosı̀ scritti risultano ortonormali tra
loro, ovvero:
Z
0
a
exn exm dx = δnm
(3.8)
Tramite questa base di modi esprimiamo il campo elettrico nella sezione
z = 0:
Ex (x, 0) =
∞
X
Vn exn (x)
(3.9)
n=0
dove le Vn sono dette ampiezze modali.
Queste ampiezze possono essere facilmente ricavate moltiplicando l’espressione (3.9) per il campo del modo m-esimo ed integrando all’interno
della guida:
Z
a
0
Ex (x, 0)exm (x)dx =
Z
∞
a X
0 n=0
Vn exn (x)exm (x)dx
scambiando l’integrale con la sommatoria si ha:
Z
0
a
Ex (x, 0)exm (x)dx =
∞
X
n=0
Vn
Z
0
a
exn (x)exm (x)dx
che, grazie alla proprietà di ortonormalità dei vettori (3.8), rimane un
solo termine della sommatoria, ovvero quello per cui n = m:
Vn =
Z
0
a
Ex (x, 0)exn (x)dx
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 3. PROPRIETÀ DEI MODI IN GUIDA
107
che ci fornisce le ampiezze modali.
Da notare che, essendo il campo exn funzione di un coseno, l’espansione
(3.9) è in pratica una serie di Fourier e le ampiezze modali non sono altro
che i coefficienti di tale espansione.
Lo stesso procedimento può essere ripetuto per espandere il campo elettrico nella direzione y, ovvero per i modi T E. Il campo elettrico trasverso di
ciascun modo sarà:
eyn =
s
2
nπ
sin x
a
a
n>0
non essendoci il modo T E con indice n = 0. L’andamento di tipo
seno consente di soddisfare le condizioni al contorno imposte dalle pareti
metalliche e i modi sono ortonormali tra loro.
Le ampiezze modali saranno:
′′
Vn =
Z
a
0
Ey (x, 0)eyn (x)dx
Quindi il campo complessivo si può scrivere nel seguente modo:
Et (x, 0) = x̂
∞
X
′
Vn exn (x) + ŷ
∞
X
′′
Vn eyn (x)
n=1
n=0
dove è stato aggiunto l’apice ’ alle ampiezze modali per i modi TM.
Il campo magnetico può essere facilmente ricavato a partire dal campo
elettrico, dato che:
hn = Y0n ẑ × en
dove la Y0n è l’ammettenza caratteristica del modo n-esimo e, nei casi T E
e T M, vale:
(
βn
Y0T E = ωµ
Y0T M = βωǫn
queste ammettenze sono diverse modo per modo, essendo diversi i βn , e
permettono di ricavare il campo magnetico complessivo:
Ht (x, 0) =
∞
X
n=0
′
′
′
Vn Y0n ẑ × en +
∞
X
n=1
′′
′′
′′
Vn Y0n ẑ × en
A partire dall’espansione modale nella sezione z = 0, si può ricavare il
campo elettromagnetico in una qualsiasi sezione della guida. Infatti, se la
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
108
3.2. ESPANSIONE MODALE IN GUIDA
guida è uniforme, essendo i modi ortogonali tra loro, questi non si scambiano
energia e si propagano indipendentemente gli uni dagli altri. Ad ogni modo
dovrà quindi essere applicato il proprio propagatore (ovvero il fattore ejβn z ,
ottenendo:
Et (x, z) =
∞
X
′
′
′
Vn etn e−jβnz +
∞
X
′′
′′
′′
Vn etn e−jβn z
(3.10)
n=1
n=0
Ovviamente ogni modo avrà la sua costante di propagazione, che in
generale sono diverse.
A seconda della guida ed a seconda della frequenza alla quale si sta operando, i modi possono essere sopra-taglio oppure sotto-taglio. Nel primo caso
il β sarà reale, dando luogo effettivamente ad una propagazione, nel secondo
caso la costante di propagazione sarà immaginaria pura (β = −jγ) dando
luogo ad un decadimento esponenziale dell’ampiezza1 .
Il fattore di propagazione diverrà allora:
e−γz
con γ > 0.
Da notare che questo decadimento non è dovuto all’attenuazione intesa
come perdite Ohmiche o sul dielettrico, ma solo ad una localizzazione dell’energia associata ad un certo modo. In pratica se una sorgente, ad esempio
un probe in guida, eccita un modo sotto-taglio, l’energia associata a questo
modo rimarrà localizzata vicino alla sorgente, con decadimento dell’ampiezza
dei campi esponenziale, e non si propagherà nella guida. Lontano dalla sorgente si avranno solo i modi in propagazione, essendo tutti i modi sotto taglio
enormemente attenuati. La distanza minima che si considera come lontano
dipende sia dalla situazione specifica che dalla costante di attenuazione del
primo modo sotto taglio. Quando questo è sufficientemente attenuato allora
può dire di avere solo i modi in propagazione.
Oltre a questo ci si può chiedere cosa accade nella regione intermedia,
ovvero nella regione compresa tra le immediate vicinanze della sorgente e
la distanza alla quale i modi superiori non ci sono più. E’ evidente che
allontanandosi dalla sorgente i modi con γn maggiore decadono più rapidamente degli altri, facendo sı̀ che solo alcuni di quelli eccitati mantengano
un’ampiezza apprezzabile.
Conviene quindi dare la definizione di modo accessibile. Un modo si dice
accessibile ad una certa distanza da una sorgente, se la sua ampiezza residua
è superiore ad una certa soglia prefissata. Nelle immediate vicinanze della
1
Stiamo trascurando le perdite
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 3. PROPRIETÀ DEI MODI IN GUIDA
109
sorgente un gran numero di modi risulta accessibile e man mano che ci si
allontana questo numero diminuisce. Alla fine gli unici modi che risultano
accessibili sono solo quelli in propagazione, che mantengono la loro ampiezza
in teoria fino a distanza infinita. Un modo risulta quindi accessibile o meno a
seconda della sua costante di propagazione/attenuazione, della distanza del
punto di osservazione dalla sorgente e della soglia che è stata imposta. I modi
sotto taglio non accessibili vengono anche definiti come locali.
Avendo dato la definizione di modi accessibili, appare ragionevole troncare la sommatoria in (3.10) e considerare solo N termini, dove N è il numero
di modi accessibili nella posizione z considerata. Da notare che un campo
ottenuto troncando la serie è comunque soluzione delle equazioni di Maxwell
essendo combinazione lineare di soluzioni.
Questi discorsi sono validi anche quando all’interno della guida si trova
una qualsiasi discontinuità che rompe l’uniformità della guida stessa. Come vedremo in maniera più approfondita successivamente, una discontinuità
eccita modi superiori necessari per rispettare le condizioni al contorno, comportandosi a tutti gli effetti come una sorta di sorgente virtuale. Se si ha
un solo modo in propagazione ed i modi superiori sono sotto-taglio, come
nei casi pratici accade, questi ultimi rimarranno localizzati nell’intorno della
discontinuità.
A questo punto è facile estendere la trattazione fatta a qualsiasi guida
chiusa uniforme lungo l’asse z, quindi anche per guide a sezione rettangolare o
circolare. Dato che in queste guide i modi T E e T M possono avere entrambe
le componenti trasverse dei campi, l’ortogonalità tra i modi si ha nel senso
delle funzioni e non nel senso dei vettori. Da notare che in questo caso si
ha ortogonalità dei modi non solo in base all’indice ma anche in base alla
famiglia. Per chiarire questo concetto basti pensare ai modi (degeneri) T E11
e T M11 . Questi hanno gli stessi indici (e la stessa frequenza di taglio), ma
sono comunque ortogonali tra loro e si propagano indipendentemente l’uno
dall’altro.
Per comodità di rappresentazione scriveremo i campi nel seguente modo:
Et (x, z) =
X
Vn etn e−jβn z
n
Ht (x, z) =
X
n
Y0n Vn ẑ × etn e−jβnz
a patto di distinguere i modi in base all’indice n.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
110
3.2. ESPANSIONE MODALE IN GUIDA
3.2.1
Guide d’onda e linee di trasmissione
La possibilità di espandere il campo in guida con i modi ed il fatto che questi si
propaghino all’interno della struttura indipendentemente gli uni dagli altri,
ci permette di stabilire un parallelismo tra modi e linee di trasmissione.
Ovvero, si può pensare di associare ad ogni modo una linea di trasmissione
con costante di propagazione ed impedenza caratteristica pari a quella del
modo.
Y01
Y02
Y0n
Figura 3.3: Equivalenza tra modi in guida e linee di trasmissione
Le ampiezze delle onde di tensione e di corrente sulla linea equivalente
sono pari alle ampiezze modali:
Vn =
Z
Et etn ds
In =
Z
Ht htn ds
S
S
Dove S è la superficie trasversa della guida d’onda.
Dato che
Ht =
∞
X
n=0
Y0n Vn ẑ × etn
e
htn = Y0n Vn ẑ × etn
risulta che:
In = Y0n Vn
La potenza viaggiante su ogni singola linea è:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 3. PROPRIETÀ DEI MODI IN GUIDA
111
Pn = Y0n Vn2
che è reale, quindi c’è potenza che viaggia lungo la linea, se Y0n è reale,
ovvero se il modo è sopra taglio.
0
z
Figura 3.4: Guida chiusa in corto circuito
Tramite il parallelismo modi-linee di trasmissione è possibile risolvere i
problemi in guida tramite la classica teoria delle linee di trasmissione. Ad
esempio se si chiude una guida in corto circuito (fig. 3.4) significa chiudere
in corto tutte le linee di trasmissione associate ai modi. In ogni linea quindi
si ha un’onda stazionaria e i campi all’interno della guida, ponendo l’origine
z = 0 in corrispondenza del corto, sono:
Et (x, z) = −2j n Vn etn sin βn z
P
Ht (x, z) = 2 n Y0n Vn ẑ × etn cos βn z
P
Ovviamente i campi sono tra loro in quadratura di fase, visto che non c’è
flusso netto di potenza in una direzione.
In presenza di un circuito aperto, invece i campi interni possono essere
ricavati mediante:
Et (x, z) = 2 n Vn etn cos βn z
P
Ht (x, z) = −2j n Y0n Vn ẑ × etn sin βn z
P
Nel caso generale, in cui si termina la guida su un carico si possono prendere due strade. La prima consiste nel considerare i coefficienti di riflessione Γn
di ciascun modo, diversi in quanto dipendenti dalla impedenza caratteristica
delle linee.
Et (x, z) = n (Vn etn e−jβnz + Γn Vn etn ejβnz )
P
Ht (x, z) = n (Y0n Vn ẑ × etn e−jβn z − Γn Y0n Vn ẑ × etn ejβn z )
P
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
112
3.3. POTENZIALI HERTZIANI
Un modo alternativo consiste nel considerare la matrice ABCD, o meglio
la matrice ABCD −1 che permette di sapere tensione e corrente all’uscita di
una linea in funzione della tensione e della corrente all’ingresso.
"
Vn (z)
In (z)
X
Et (z)
=
Ht (z)
n
3.3
"
#
=
"
cos βn z
−jZ0n sin βn z
j
cos βn z
− Z0n sin βn z
etn ·
· htn
#"
#"
Vn (0)
In (0)
cos βn z
−jZ0n sin βn z
−jY0n sin βn z
cos βn z
#
#"
Vn (0)
In (0)
#
Potenziali Hertziani
Come noto il campo elettromagnetico può essere ricavato a partire da due
potenziali, uno vettore A ed uno scalare Φ. Essi sono legati tra loro mediante
la condizione di Lorentz:
∇ · A = −jǫµΦ
e i campi elettrico e magnetico sono:
B =∇×A
∇∇ · A
jωǫµ
Tali potenziali possono essere utilizzati in presenza o meno di sorgenti J
e ρ.
In assenza di sorgenti, tuttavia, può essere più utile considerare altri
potenziali, che siano più comodi da gestire.
Se consideriamo un regione di spazio omogenea ed isotropa in assenza di
sorgenti si ha:
E = −jωA +
∇·E =0
quindi il vettore E può essere ricavato a partire dal rotore di un vettore
potenziale ausiliario, che definiamo nel seguente modo:
E = −jωµ∇ × Πh
(3.11)
dove Πh è detto potenziale magnetico Hertziano. Dall’equazione del
rotore di H si ha:
∇ × H = k 2 ∇ × Πh
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 3. PROPRIETÀ DEI MODI IN GUIDA
113
quindi è possibile introdurre una funzione scalare arbitraria Φ e legare il
campo H al gradiente di questa:
H = k 2 Πh + ∇Φ
Sostituendo nella equazione di Maxwell del rotore di E si ha:
∇ × ∇ × Πh = ∇∇ · Πh − ∇2 Πh = k 2 Πh + ∇Φ
E’ possibile introdurre ora una relazione che lega Πh e Φ, data la loro
arbitrarietà, con una condizione simile a quella di Lorentz:
∇ · Πh = Φ
in modo tale che:
∇2 Π h + k 2 Π h = 0
(3.12)
Infine, dalla equazione di Maxwell della divergenza di B, si ricava che
anche Φ deve soddisfare l’equazione d’onda:
∇2 Φ + k 2 Φ = 0
(3.13)
Il campo elettromagnetico può quindi essere ricavato a partire dal solo
potenziale vettore con le seguenti relazioni:
(
E = −jωµ∇ × Πh
H = k 2 Πh + ∇∇ · Πh = ∇ × ∇ × Πh
(3.14)
Analogamente, dato che in un materiale omogeneo isotropo e senza sorgenti ∇ × H = 0, può essere definito anche un potenziale Hertziano elettrico:
H = jωǫ∇ × Πe
(3.15)
soluzione dell’equazione d’onda
∇2 Π e + k 2 Π e = 0
(3.16)
Il campo elettrico può essere ricavato, dopo semplici passaggi, con:
E = k 2 Πe + ∇∇ · Πe = ∇ × ∇ × Πe
(3.17)
Con le ipotesi di materiale isotropo, omogeneo e in assenza di sorgenti,
è quindi possibile ricavare il campo elettromagnetico usando uno di questi
due potenziali. La scelta dipende dal problema che si deve analizzare e viene
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
114
3.3. POTENZIALI HERTZIANI
fatta in modo da semplificare i conti. Nel caso in cui queste ipotesi decadano,
come ad esempio quando non si ha più una struttura omogenea, è possibile
ricavare il campo utilizzando entrambi i potenziali:
(
E = −jωµ∇ × Πh + ǫr k02 Πe + ∇∇ · Πe
H = jωǫ0 ǫr ∇ × Πe + ǫr k02 Πh + ∇∇ · Πh
(3.18)
dove è stato messo in evidenza la permettività dielettrica relativa ǫr che,
nelle strutture non omogenee, è dipendente dalla posizione.
3.3.1
Modi TE
Per capire meglio come utilizzare i potenziali Hertziani, facciamo un esempio
considerando la propagazione all’interno di un cilindro metallico omogeneo
ed uniforme lungo l’asse z. Come sappiamo, questa struttura supporta la
propagazione di modi T E e T M, iniziamo a vedere i primi. Ebbene, i modi
T E possono essere ricavati dal potenziale Hertziano magnetico Πh :
E = −jωµ0 ∇ × Πh
H = k02 Πh + ∇∇ · Πh
con il potenziale soluzione dell’equazione d’onda (3.12).
Dato che stiamo cercando delle onde che si propagano lungo z, il potenziale può essere anche scritto nel seguente modo:
Πh = ẑψh (u1 , u2)e±γz
dove u1 ed u2 sono due coordinate qualsiasi nel piano trasverso e γ è la
costante di propagazione, che può essere immaginaria o reale a seconda che
il modo sia rispettivamente in propagazione oppure no. Ovviamente, anche
la funzione scalare ψh deve soddisfare l’equazione d’onda:
∇2t ψh + kc2 ψh = 0
con le opportune condizioni al contorno. Questa equazione ha soluzione
semplice, ovvero esprimibile in forma chiusa, solo nel caso in cui sia possibile
usare la separazione delle variabili, dando luogo ad un potenziale del tipo
ψh = U1 (u1 )U2 (u2 ).
I campi che ne derivano sono:
Ht = ±γe±γz ∇t ψh
Hz = −∇2t ψh e±γz = kc2 ψh e±γz
0
Et = ± jωµ
ẑ × Ht
γ
Dall’applicazione delle condizioni al contorno, si possono ricavare i valori
di kc per i quali si ha propagazione modale.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 3. PROPRIETÀ DEI MODI IN GUIDA
3.3.2
115
Modi TM
Analogamente ai modi T E, anche i T M possono essere ricavati a partire dal
potenziale Hertziano elettrico Πe = ẑΠe :
E = k02 Πe + ∇∇ · Πe
H = jωǫ0 ∇ × Πe
Anche in questo caso, ipotizzando un modo guidato si ha Πe = ẑψe (u1, u2 )e±γz ,
dal quale è possibile ricavare i campi con le seguenti formule:
Et = ±γ∇t ψe e±γz
Ez = −∇2t ψe e±γz = kc2 ψe e±γz
jγ
H = ∓ ωǫ
ẑ × Et
0
Anche in questo caso si deve applicare la condizione al contorno sulla ψe ,
ovvero il suo annullamento sulle pareti conduttrici laterali.
3.4
Singolarità dei campi
I campi elettromagnetici, nelle vicinanze di spigoli metallici, hanno un andamento singolare che dipende dalla forma dello spigolo stesso.
Metallo
Dielettrico
f
r
Figura 3.5: Spigolo di conduttore ideale
Data una struttura metallo-dielettrico come in figura 3.5 in cui è presente
uno spigolo metallico, detto φ l’angolo formato dal metallo e r la distanza
del punto di osservazione dello spigolo, definiamo la quantità:
ν=
π
2π − φ
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
(3.19)
116
3.4. SINGOLARITÀ DEI CAMPI
nelle vicinanze di tale spigolo si vede che se il campo è parallelo allo spigolo
allora ha un andamento del tipo r ν . Se, invece, il campo è perpendicolare
allo spigolo ha un andamento del tipo r ν−1 .
Esempi
r
r
r
a)
b)
c)
Figura 3.6: Esempi di angoli diversi
1 - Supponiamo di avere uno spigolo che forma un angolo di 90◦ (fig. 3.6a).
In questo caso φ = π/2, ν = 2/3, quindi se il campo è parallelo, nelle
vicinanze dello spigolo avrà un andamento del tipo:
2
rν = r 3
se il campo è ortogonale avrà un andamento del tipo:
1
r ν−1 = r − 3
Come si vede, nel secondo caso esiste una singolarità e il campo tende
ad ∞.
2 - Supponiamo di avere uno spigolo che forma un angolo di 270◦ (fig.
3.6b).
In questo caso φ = 3π/2, ν = 2, quindi se il campo è parallelo, nelle
vicinanze dello spigolo avrà un andamento del tipo:
rν = r2
se il campo è ortogonale avrà un andamento del tipo:
r ν−1 = r
Ovvero non si ha mai una singolarità.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 3. PROPRIETÀ DEI MODI IN GUIDA
117
3 - Supponiamo di avere uno spigolo che forma un angolo di 0◦ (fig. 3.6c),
ovvero abbiamo una lamina di metallo infinitamente sottile.
In questo caso φ = 0, ν = 1/2, quindi se il campo è parallelo, nelle
vicinanze dello spigolo avrà un andamento del tipo:
1
rν = r 2
se il campo è ortogonale avrà un andamento del tipo:
1
r ν−1 = r − 2
Questa è la singolarità 2D più forte che si riesce ad ottenere.
La singolarità più forte in assoluto si ottiene con una punta (o uno spillo),
per la quale non è più possibile fare la distinzione tra campo ortogonale o
parallelo. In tal caso, qualunque sia l’orientamento del campo, esso ha un
andamento del tipo r −1 .
3.5
Risonanza trasversa
La risonanza trasversa è un principio fisico ed è molto utile come metodo
di calcolo. Per capire come funziona prendiamo un caso già noto, ovvero
un’onda che si propaga in una guida rettangolare. Se si considera il T E10 ,
la distribuzione trasversa di campo elettrico ha, qualitativamente, la forma
indicata in figura 3.7.
Figura 3.7: Distribuzione di campo trasverso del modo T E10
Normalmente tale struttura viene vista prendendo come asse longitudinale z. Cambiamo ora il punto di vista e consideriamo invece una propagazione
lungo x. Con questa ipotesi, la struttura diventa una guida a piatti paralleli
(visto che lungo z è infinita), con conduttori distanziati di una lunghezza b,
chiusa in corto circuito in x = 0 e x = a. Eccitando il campo all’interno di
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
118
3.5. RISONANZA TRASVERSA
questa struttura si ottiene un’onda stazionaria con due corto circuiti in x = 0
e x = a. Il numero di oscillazione dipende dal modo che si sta considerando,
nel caso di T E10 si ha una sola oscillazione.
Volendo trovare un circuito equivalente per questa struttura, si identifica
con una tensione il campo Ey e con una corrente la componente di campo
Hz che è la componente trasversa nel nuovo modo di vedere la struttura.
Quindi:
(Ey , Hz )
→
(V, I)
ed il circuito equivalente è semplicemente un tratto di linea chiuso tra
due corti (fig. 3.8).
a
x
Z0
Figura 3.8: Circuito equivalente trasverso
Da notare che si ha un modo T E anche nella direzione trasversa con:
Z0x =
ωµ0
Kx
dove Kx è il numero d’onda nella direzione x.
La distribuzione di campo trasversa è quella di un circuito risonante.
Avere risonanza significa che una oscillazione si deve mantenere indefinitamente anche dopo aver tolto la sorgente che genera il campo (trascurando le
perdite).
La condizione affinché ciò si verifichi è che, prendendo una qualsiasi sezione del nostro circuito e definendo Z l l’impedenza di ingresso vista a sinistra
e Z r l’impedenza di ingresso vista a destra (fig. 3.9) deve valere:
Zl + Zr = 0
Da notare che, se si passa alle ammettenze si ha:
1
1
+ r =0
l
Y
Y
⇒
Yl+Yr
=0
Y lY r
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CAPITOLO 3. PROPRIETÀ DEI MODI IN GUIDA
Z
l
Z
119
r
Figura 3.9: Impedenze viste a destra e a sinistra
ovvero anche la somma delle ammettenze si deve annullare:
Yl+Yr = 0
Se si applica questo principio al caso semplice in esame, data l’arbitrarietà
della scelta del piano di riferimento, conviene mettersi in corrispondenza di
uno dei due corto circuiti (fig. 3.10).
a
x
Z0
Z
l
Z
r
Figura 3.10: Esempio risonanza trasversa
in questo modo si ha:
Zl = 0
Zr = j
ωµ0
tan Kx a
Kx
imponendo Z l + Z r = 0 si deve avere Z r = 0, ovvero:
tan Kx a = 0
⇒
Kx =
nπ
a
In definitiva quindi, il principio della risonanza trasversa ci consente di
calcolare il numero d’onda trasverso in maniera relativamente semplice.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
120
3.6
3.6. GUIDE PARZIALMENTE RIEMPITE DI DIELETTRICO
Guide parzialmente riempite di dielettrico
Le guide d’onda parzialmente riempite di dielettrico trovano applicazione nella realizzazione di alcuni dispositivi a microonde, come sfasatori e adattatori
di impedenza. L’effetto di un dielettrico all’interno della guida è quella di modificare la distribuzione del campo elettromagnetico, in particolare concentrandolo maggiormente all’interno del dielettrico. Questa modifica comporta
una variazione dell’impedenza caratteristica e della costante di propagazione,
rendendo possibile la realizzazione dei dispositivi menzionati.
y
er
er
x
a)
b)
er
er
c)
d)
Figura 3.11: Guide caricate con dielettrico
Alcuni esempi di guida con dielettrico interno sono riportati in figura 3.11.
I casi raffigurati sono semplici da realizzare fisicamente e sono relativamente
facili da analizzare.
Strutture del genere non permettono la propagazione dei soli modi T E
o T M, per via del soddisfacimento delle condizioni al contorno sulla superficie, o sulle superfici, di separazione tra aria e dielettrico. Se si prende una
guida terminata con un blocchetto di dielettrico che riempie tutta la guida, i
modi T E e T M sono in grado di soddisfare la continuità all’interfaccia, che
è normale alla direzione di propagazione z. Nel caso di guide parzialmente
riempite, almeno nei casi più semplici che tratteremo, l’interfaccia di separazione può giacere sul piano normale all’asse x (preso solidale con il lato largo
della guida) oppure normale all’asse y. Appare ragionevole, quindi, considerare dei modi che siano trasversi rispetto a queste direzioni, ovvero che hanno
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 3. PROPRIETÀ DEI MODI IN GUIDA
121
una sola componente di campo elettromagnetico diretta ortogonalmente al
piano dielettrico/aria.
Nei casi in cui manca la componente di campo elettrico ortogonale all’interfaccia aria/dielettrico si parla di modi Longitudinal Section Electric (LSE),
mentre se manca la componente di campo magnetico normale all’interfaccia
si parla di modi Longitudinal Section Magnetic (LSM).
3.6.1
Slab verticale
y
t
b
d
er
x
a
Figura 3.12: Guida d’onda rettangolare con uno slab dielettrico interno
Come esempio prendiamo la struttura in figura 3.12. In essa la guida
rettangolare è riempita parzialmente con uno slab dielettrico di spessore t e
di costante dielettrica relativa ǫr .
Modi LSEx
I modi si ottengono, analogamente ai TE, partendo da un potenziale Hertziano magnetico Πh = x̂ψh (x, y)e−γz con i campi elettrico e magnetico dati
dalle seguenti relazioni:
E = −jωµ0 ∇ × Πh
H = ∇ × ∇ × Πh = ǫr (x)k02 Πh + ∇∇ · Πh
(3.20)
La ψh è soluzione dell’equazione d’onda:
∇2t ψh + [γ 2 + ǫr (x)k02 ]ψh = 0
dove la ǫr è funzione della posizione x e vale:
ǫr (x) =
(
1 0≤x≤d
ǫr d ≤ x ≤ a
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(3.21)
122
3.6. GUIDE PARZIALMENTE RIEMPITE DI DIELETTRICO
Da notare che il termine che indica la propagazione lungo z dell’onda
elettromagnetica è e−γz e la costante γ deve essere la stessa per entrambi i
mezzi affinché possano essere soddisfatte le condizioni al contorno all’interfaccia per qualsiasi valore di z. In pratica ci deve essere un solo fronte d’onda
equi-fase che si propaga lungo la guida.
Usando la separazione delle variabili, una soluzione che soddisfa l’equazione (3.21) è del tipo:
ψh =
(
A sin kx1 x cos mπy
0≤x≤d
b
mπy
B sin kx2 (a − x) cos b d ≤ x ≤ a
(3.22)
dove A e B sono due costanti da determinare ed il numero d’onda trasverso lungo y è stato già esplicitato per via della uniformità della guida lungo
tale direzione. I numeri d’onda kx1 e kx2 sono, invece, da determinare e sono
legati tra loro mediante la seguente relazione:
mπ 2
mπ 2
− ǫr k02 = kx1 +
− k02
(3.23)
b
b
Tali numeri d’onda possono essere trovati applicando le condizioni al contorno all’interfaccia x = d. In particolare a noi interessano le componenti Ez
e Hy , che possono essere ricavate dalla (3.20):
γ 2 = kx2 +
h −γz
Ez = jωµ0 ∂ψ
e
∂y
2
∂ ψh −γz
Hy = ∂y∂x e
La continuità di questi campi ci permette di scrivere le seguenti equazioni:
A sin kx1 d = B sin kx2 t
Akx1 cos kx1 d = −Bkx2 cos kx2t
e dividendo la prima per la seconda, si arriva alla seguente equazione
trascendentale:
kx1 tan kx2 t = −kx2 tan kx1 d
(3.24)
Il sistema formato dalla (3.23) e dalla (3.24) ci danno un infinità (numerabile) di soluzioni per i numeri d’onda trasversi. I modi sono quindi
identificati da due indici LSEnm . Il potenziale del generico modo nm, dopo
aver eliminato la dipendenza dal coefficiente B, assume la forma:
ψhnm = Anm
(
sin kx1n x cos mπy
0≤x≤d
b
mπy
sin kx1n d
sin kx2n (a − x) cos b
d≤x≤a
sin kx2n t
Da notare che dei due indici solo m si può azzerare dando luogo a modi LSEn0 con sole 3 componenti di campo elettromagnetico Hx , Ey e Hz .
Questo significa che i modi LSEn0 coincidono con i modi T En0 .
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 3. PROPRIETÀ DEI MODI IN GUIDA
123
Modi LSMx
La struttura di figura 3.12 supporta anche i modi LSMnm , che possono essere
ricavati in maniera analoga ai precedenti. Si parte in questo caso da un
potenziale Hertziano elettrico Πe = x̂ψe e−γz , dal quale possiamo ricavare il
campo elettromagnetico con:
E = ∇ × ∇ × Πe = ǫr (x)k02 Πe + ∇∇ · Πe
H = jωǫ0 ǫr (x)∇ × Πe
Il potenziale deve soddisfare l’equazione d’onda:
∇2t ψe + [γ 2 + ǫr (x)k02 ]ψe = 0
la cui soluzione può essere trovata mediante separazione delle variabili.
Applicando la condizione al contorno di annullamento del campo elettrico
tangenziale sulle superfici metalliche, si arriva a:
ψe =
(
A cos kx1 x sin mπy
0≤x≤d
b
B cos kx2 (a − x) sin mπy
d
≤x≤a
b
La continuità del campo magnetico, invece, ci permette di scrivere le
seguenti relazioni:
Akx1 sin kx1 d = −Bkx2 sin kx2 t
A cos kx1 d = ǫr B cos kx2 t
che, dividendole, ci porta a:
ǫr kx1 tan kx1 d = −kx2 tan kx2 t
che è l’equazione di dispersione da risolvere insieme alla (3.23), rimasta
invariata rispetto ai modi LSE.
Anche per i modi LSM si ha una infinità numerabile di soluzione, quindi
anche loro possono essere identificati mediante due indici LSMnm .
L’analisi per la strutture di figura 3.11c e 3.11d possono essere eseguite
con lo stesso metodo, solo che in questo caso i modi LSE e LSM avranno la
componente nulla lungo la direzione y. Analogamente si può applicare anche
la tecnica della risonanza trasversa considerando le linee di trasmissione lungo
la direzione y, associate a guide a piatti paralleli con i conduttori distanti a.
3.6.2
Slab orizzontale
Una analoga procedura può essere utilizzata anche per lo slab dielettrico
posizionato orizzontalmente nella guida d’onda (fig. 3.13).
Anche questa supporta modi LSEy e LSMy , dove la componente trasversa nulla è stata scelta ortogonale alla superficie di separazione tra dielettrico
ed aria.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
124
3.7. DISCONTINUITÀ IN GUIDA D’ONDA
Figura 3.13: Guida d’onda rettangolare con uno slab dielettrico interno
Modi LSEy
Modi LSMy
Se si considerano i modi LSMy il potenziale vettore elettrico che conviene
esprimere nel seguente modo:
π
x e−jβz
Πe = ŷψ(y) sin
a
3.7
Discontinuità in guida d’onda
In questa sezione verranno analizzate alcune discontinuità in guida d’onda
rettangolare di particolare interesse per la realizzazione di dispositivi a microonde. Una discontinuità è formata da un elemento, tipicamente metallico,
inserito all’interno della guida. Tali elementi sono i blocchi fondamentali di
filtri, adattatori ed altro ancora.
La soluzione rigorosa delle equazioni di Maxwell in presenza di tali discontinuità è un compito che può essere proibitivo, vista la complessità della
struttura. In realtà, noi siamo interessati solo a capire qual è l’effetto di una
discontinuità sul modo in propagazione. In altre parole, siamo interessati a
ricavare il circuito equivalente, che potrebbe essere rappresentato mediante
elementi circuitali o direttamente tramite matrice S, da inserire nella linea
di trasmissione che rappresenta il modo in propagazione nella guida.
Come già accennato precedentemente, una discontinuità è praticamente un miscelatore di modi, in quanto eccita i modi superiori e permette lo
scambio di energia tra questi ed il modo fondamentale. Il meccanismo fisico
affinché ciò accada è che in una discontinuità vengono indotte delle correnti che fungono da sorgenti per i modi superiori, permettendo lo scambio di
energia. Da notare che le correnti indotte sulle pareti laterali della guida
durante la normale propagazione non eccitano altri modi, in quanto le correnti associate a modi diversi sono ortogonali tra loro, analogamente ai campi
elettromagnetici.
Per ricavare i circuiti equivalenti delle discontinuità verrà usato un metodo
detto variazionale o stazionario. Invece di introdurlo in termini generali, il
metodo verrà illustrato direttamente con degli esempi di discontinuità.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 3. PROPRIETÀ DEI MODI IN GUIDA
3.7.1
125
Diaframma induttivo
Il diaframma induttivo è una sottile lamina di metallo inserita nella guida
rettangolare come indicato in figura 3.14. Esso può essere simmetrico (fig.
3.14 a sinistra) se viene mantenuto il piano di simmetria al centro della guida
d’onda, oppure asimmetrico (fig. 3.14 a destra) se l’apertura è spostata tutta
su un lato.
d
y
b
z
a
x
Figura 3.14: Diaframma induttivo
Supponiamo che nella guida sia in propagazione il modo fondamentale
T E10 , per il quale il campo elettrico ha una sola componente lungo y:
π
Ey = E0 sin x
a
Dato che il campo Ey sulla lamina si deve azzerare, mentre sull’apertura
deve rimanere diverso da zero, è evidente come il solo modo fondamentale non riesca a soddisfare una tale condizione al contorno (a meno che non
sia identicamente nullo, ma non è questo il caso che ci interessa). Per poter soddisfare una tale condizione al contorno si ha bisogno anche dei modi
superiori.
A questo punto è di fondamentale importanza capire quali modi superiori vengono effettivamente eccitati dalla discontinuità e quali no. Questa
selezione preventiva ci permetterà di semplificare notevolmente la successiva
analisi.
La prima considerazione da fare è che il campo incidente è parallelo allo
spigolo della lamina. In queste condizioni il campo non viene piegato dalla
presenza della discontinuità e mantiene la sua polarizzazione. Vedremo più
avanti il caso di iride capacitiva che invece ha il comportamento opposto.
Questo significa che viene eccitata la componente Ez del campo. Questo fatto
è molto importante, perché ci indica che la discontinuità può essere studiata
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
126
3.7. DISCONTINUITÀ IN GUIDA D’ONDA
considerando solo i modi T E e non i modi T M, che hanno la componente z
del campo elettrico.
Un’altra considerazione riguarda il fatto che il campo dell’onda incidente
non ha variazione lungo la direzione y e la discontinuità è uniforme lungo la
stessa direzione. Questo significa che le correnti indotte non variano lungo
tale direzione, quindi i modi eccitati devono avere tale proprietà. Ciò significa
che i modi eccitati sono i T Em0 .
In altri termini, possiamo vedere la stessa cosa considerando le correnti
indotte sulla lamina (J = n̂ × H). Queste, infatti, sono dirette lungo y e
possono scorrere liberamente dal basso verso l’alto, per via dell’uniformità
della discontinuità lungo tale asse.
Infine, solo nel caso di discontinuità simmetrica (fig. 3.14 a sinistra), dato
che il campo Ey del T E10 ha un muro magnetico nel piano di mezzeria della
guida d’onda, tale condizione al contorno viene mantenuta anche dai modi
eccitati, proprio grazie alla simmetria fisica della struttura. Quindi i modi
hanno il primo indice dispari, ovvero sono dei T E(2n+1),0 .
L’unica componente trasversa di questa sotto-famiglia di modi è la eyn :
eyn =
s
2
nπ
sin
x
a
a
(3.25)
q
dove la costante 2/a nasce dopo aver normalizzato ad 1 la potenza
trasportata dal singolo modo.
In definitiva, il campo può essere espanso con una somma dispari di seni:
Ey (x) =
∞
X
n=1,3,5,...
Vn
s
2
nπ
sin
x
a
a
Come già detto, la guida può essere vista come una infinità di linee di
trasmissione, ognuna associata ad un modo e ammettenza caratteristica pari
a:
Y010 =
β
ωµ0
per il modo soprataglio e
Y0n0 =
γn
jωµ0
n = 3, 5, 7, . . .
per i modi sotto taglio.
Le tensioni modali Vn , possono essere ricavate tramite:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 3. PROPRIETÀ DEI MODI IN GUIDA
Vn =
Z Z
s
Ey (x)en (x)ds =
Z
a+d
2
a−d
2
127
Ey (x)en (x)dy
Z
b
0
dy
(3.26)
ove l’integrazione è stataR ridotta alla sola zona in cui Ey 6= 0. D’ora in
poi trascureremo il termine 0b dy = b, in quanto comune a tutte le tensioni.
L’iride, o la discontinuità in generale, può essere vista come un circuito
con una doppia infinità di porte che interconnette tra loro, legando le tensioni
e le correnti alle varie porte, le linee di trasmissione che rappresentano i modi
(fig. 3.15).
I2
I1
V2
V1
I3
V3
I5
I4
T
V5
V4
I6
V6
Figura 3.15: Schema circuitale di una discontinuità
Inoltre, consideriamo la discontinuità isolata, ovvero le guide a sinistra e
destra possono essere considerate come semi infinite, permettendo di rappresentarle solamente con le loro ammettenze caratteristiche.
Dato che l’iride è infinitamente sottile, essa non accumula energia, avendo
volume nullo. Tuttavia, c’è un accumulo di energia nei tratti di guida immediatamente prima e dopo di essa, ed i responsabili di questo accumulo sono i
modi sotto taglio. In base a queste considerazioni, il circuito che rappresenta
la discontinuità è in pratica un trasformatore ideale con una doppia infinità
di porte (indicato con T in figura 3.15).
Se l’unico modo accessibile è il T E10, sia a sinistra che a destra della
discontinuità, è il circuito si riduce ad un più semplice 2-porte (fig. 3.16).
Da notare che la matrice di scattering o il circuito equivalente che tra poco
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
128
3.7. DISCONTINUITÀ IN GUIDA D’ONDA
andremo a ricavare contiene comunque tutta l’informazione sullo scambio di
energia tra i modi.
I2
I1
V1
T
V2
Figura 3.16: Circuito equivalente due porte dell’iride
Le grandezze Vi e Ii sono le ampiezze dei campi trasversi del modo, Ey
e Hx rispettivamente. La componente Ey è continua sia sul metallo, dove si
annulla, sia sull’apertura, mentre il campo magnetico Hx ha una discontinuità
brusca e subisce una variazione pari alla densità di corrente che si induce sulle
pareti metalliche dell’iride:
Hx− − Hx+ = Jy
Corrispondentemente, nel circuito equivalente le tensioni devono essere
continue (V1 = V2 ), mentre la corrente subisce una variazione (I1 6= I2 ).
Questo indica che il circuito equivalente è composto da un elemento connesso in parallelo sulla linea. Inoltre, l’elemento deve essere necessariamente
reattivo, in quanto non stiamo considerando le perdite.
Abbiamo detto che i modi eccitati dall’iride sono dei T En , 0, dove n può
essere solo dispari nel caso di iride simmetrica, e questi hanno due componenti
di campo magnetico (Hx e Hz ) contro una di campo elettrico (Ey ). Questo
eccesso di campo magnetico comporta un maggiore accumulo di energia in
essi dando luogo ad un comportamento induttivo della discontinuità. In
generale, tuttavia, il valore dell’induttanza L(ω) (fig. 3.17) sarà dipendente
dalla frequenza per via dell’energia accumulata nel campo elettrico.
Se si vuole eliminare la dipendenza dalla frequenza è necessario adottare
un circuito equivalente più sofisticato, come quello di figura 3.17 a destra,
dove sono stati aggiunti degli elementi LC serie, posti sempre in parallelo
alla linea di trasmissione, per tenere in conto la dipendenza dalla frequenza
della risposta dell’iride.
La scelta del circuito dipende anche dall’utilizzo che se ne deve fare.
Tipicamente, nell’analisi o nella progettazione di circuiti a banda stretta,
dell’ordine dell’1% rispetto alla frequenza di centro banda, può essere usato
il semplice elemento induttivo in parallelo, salvo usare circuiti più completi
all’aumentare della banda.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 3. PROPRIETÀ DEI MODI IN GUIDA
V1
I2
I1
I2
I1
129
C1
L
V2
V1
L
L1
V2
Figura 3.17: Circuito equivalente formato da una induttanza parallelo dipendente dalla frequenza (sinistra) e circuito con il parallelo di induttanza e
circuiti risonanti con elementi non dipendenti dalla frequenza (destra)
Volendo calcolare il valore di tale induttanza, si può procedere con il
bilancio energetico, ovvero eguagliando la potenza reattiva immagazzinata
dall’induttore e dai modi T E nell’intorno dell’iride. La prima è pari a:
d 1 2
V2
W =
LIL = jωLIL2 = 1
dt 2
jωL
considerando campi armonici.
Considerando che:
Y0n =
(3.27)
γn
β
=
ωµ0
jωµ0
la stessa quantità può essere stimata per il singolo modo locale:
Wn = Y0n Vn2 =
γn 2
V
jωµ0 n
n = 3, 5, 7 . . .
quindi la potenza totale è:
W =2
∞
X
Y0n Vn2
(3.28)
n=3,5,7,...
dove il fattore 2 deriva dal fatto di considerare immagazzinamento sia a
sinistra che a destra dell’iride.
Eguagliando la (3.27) e la (3.28) si ha:
∞
X
V12
Y0n Vn2
=2
jωL
n=3,5,7,...
quindi il valore dell’induttanza può essere ricavato:
∞
∞
X
X
V2
1
γn Vn2
Y0n n2 = 2
= j2ω
2
L
V1
n=3,5,7,...
n=3,5,7,... µ0 V1
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
130
3.7. DISCONTINUITÀ IN GUIDA D’ONDA
Sostituendo nella precedente espressione le tensioni modali ricavate con
(3.26), si ottiene:

R
∞
X

2
1
γn 
=
L
µ0 n=3,5,7,...  R
a−d
2
a−d
2
a−d
2
a−d
2
2
Ey (x)en (x)dx 
Ey (x)e1 (x)dx


(3.29)
Espressione del tipo della (3.29) sono dette stazionarie, o variazionali
dall’inglese ’variational’.
Teorema 3 Le espressioni variazionali sono insensibili alle piccole variazioni del campo. Ovvero piccole variazione del campo E all’interno dell’integrale producono una variazione dell’espressione di un ordine di grandezza più
piccolo.
Questa importante proprietà ci permette di approssimare il campo sull’apertura e ricavare il valore dell’induttanza con una precisione elevata.
Una prima grossolana approssimazione del campo elettrico sull’apertura
può essere fatta ipotizzando un andamento simile a quello che ha il modo
T E10 all’interno della guida, ovvero sinusoidale. Tale approssimazione, tuttavia, non è molto buona in pratica, per via della presenza dello spigolo
formato dall’iride.
Una valutazione più vicina alla realtà del campo elettrico nell’apertura
può essere fatto mediante il teorema degli spigoli introdotto nella sezione 3.4.
Essendo la lamina infinitamente sottile, essa forma un angolo φ nullo, quindi
l’esponente ν definito dalla (3.19) è:
ν=
1
2
Essendo il campo Ey parallelo√allo spigolo formato dalla lamina, esso
tende a zero con una legge r ν = r. Le componenti di campo magnetico
Hx e Hz presenti nei modi T En0 sono invece
√ ortogonali allo spigolo, quindi
hanno un andamento del tipo r ν−1 = 1/ r. Ciò può anche essere ricavato
sapendo che:
Hz ∝
∂Ey
∂x
In definitiva, possiamo porre:
Ey ≈
v"
u
u
t x−
a−d
2
!# "
a+d
x−
2
!#
(3.30)
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 3. PROPRIETÀ DEI MODI IN GUIDA
131
Questa approssimazione è tanto più buona tanto più l’apertura dell’iride è
piccola. Infatti, se l’apertura è grande il campo potrebbe oscillare all’interno
di questa.
La convergenza della serie è un altro problema da tenere in considerazione.
Infatti, a numeratore della (3.29) compare γn e questo, per n molto grande
può essere semplificato con
γn =
s
2
nπ
a
− k02
nπ
a
−→
quindi, affinché la serie sia convergente, è necessario che l’integrale sia
predominante. Se calcoliamo l’integrale a numeratore della (3.29) per parti:
R
a+d
2
a−d
2
Ey en dx =
a+d
R
R
2
[Ey (x) en (x)dx] a−d
−
2
a+d
2
a−d
2
y (x)
dx
( en (x)dx) dEdx
R
sapendo che il campo modale en è dato dalla (3.25) si ottiene:
R
a+d
2
a−d
2
Ey en dx =
a+d
R
2
+
[Ey (x) en (x)dx] a−d
2
q
2 a
a nπ
R
a+d
2
a−d
2
dEy (x)
cos nπx
dx
a
dx
Il primo termine di quest’ultima espressione si annulla, poiché Ey (x) = 0
sui bordi della metallizzazione, quindi:
Z
a+d
2
a−d
2
Ey en dx =
s
2 a
a nπ
Z
a+d
2
a−d
2
cos
nπx dEy (x)
dx
a
dx
(3.31)
Dato che
dEy (x)
1
≈ rh
i h
i
dx
a+d
x − a−d
x
−
2
2
q
tende all’infinito come 1/ (x), quindi non
questa quantità per x → a±d
2
ci sono problemi di convergenza per l’integrale che compare nella (3.31).
Se si sostituisce la (3.31) nella (3.29) si ha:
2
1
=
L
µ0
∞
X
n=3,5,7,...
q

γn 

a+d
2
a−d
2
a−d
2
a−d
y
2
2 a
a nπ
R
R
cos
2
nπx dEy (x)
dx 
a
dx
E (x)e1 (x)dx


quindi compare un fattore 1/n2 predominante rispetto al fattore n dovuto
alla costante di propagazione γn , garantendo la convergenza della serie.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
132
3.7.2
3.7. DISCONTINUITÀ IN GUIDA D’ONDA
Diaframma capacitivo
Il diaframma capacitivo è in pratica la struttura duale rispetto alla precedente. In questo caso la discontinuità è uniforme lungo la direzione x, ovvero
lungo il lato largo della guida d’onda.
Come primo esempio, prendiamo il caso di iride capacitiva in guida a
piatti paralleli (fig. 3.18), poi estenderemo la trattazione anche al caso in
guida rettangolare.
x
a
d
2a
2d
z
a)
b)
Figura 3.18: Iride capacitiva in guida a piatti paralleli. Caso asimmetrico
(a) e caso simmetrico (b).
In questo caso, l’onda incidente è il modo T EM, composto delle sole
componenti di campo Ex e Hy . Dato che il campo elettrico è ortogonale al
bordo dell’iride, esso viene piegato facendo nascere la componente diretta
lungo z. Dato che sia il campo elettrico che la discontinuità sono uniformi
lungo la direzione y, non vi è alcun meccanismo che faccia nascere la componente Ey . Per quel che riguarda il campo magnetico, notiamo invece che
la componente incidente è parallela al bordo della discontinuità, quindi non
avviene piegamento, quindi Hz = 0.
A seguito di queste considerazioni, la sola famiglia di modi eccitati è la
T M. Inoltre, se l’iride è simmetrica lungo x, come in figura 3.18b, i soli modi
eccitati sono i T M2n , ovvero solo quelli con indice pari. Se, invece, l’iride è
asimmetrica (fig. 3.18a), dovranno essere tenuti in conto tutti i modi della
famiglia. Da notare, come si vede chiaramente anche dalla figura, che si può
passare dal caso asimmetrico a quello simmetrico semplicemente duplicando
la distanza dei piatti e considerando una apertura per a 2d. Questo perché
nel piano di simmetria di fig. (3.18b) si ha un muro elettrico.
Per la nostra analisi supponiamo che tutti i modi superiori eccitati siano
sotto taglio, quindi, tramite questi, avviene un accumulo di energia nell’inMorini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 3. PROPRIETÀ DEI MODI IN GUIDA
133
torno della discontinuità, ma non all’interno di essa, essendo di spessore
nullo.
Parallelamente a quanto già visto nella precedente sezione, oltre al poter
considerare un circuito equivalente formato da un trasformatore ideale con
una doppia infinità di porte (fig. 3.15) dove le linee di trasmissione sono
chiuse sulle rispettive ammettenze caratteristiche, è utile ricavare una rappresentazione circuitale 2-porte, in modo da poterla utilizzare meglio per la
progettazione di dispositivi.
Dato che il campo elettrico è continuo sull’apertura e sulla parete metallica della discontinuità, mentre il campo magnetico subisce un salto pari
all’intensità di corrente indotta sulle superfici metalliche dell’iride
Hy− − Hy+ = Jx
il circuito equivalente da utilizzare deve essere un elemento parallelo. In
particolare, dato che la famiglia di modi T M ha un eccesso di campo elettrico
(ovvero due componenti di campo elettrico contro una di campo magnetico),
ciò significa che la discontinuità avrà un comportamento prevalentemente
capacitivo (fig. 3.19).
V1
C
I2
I1
I2
I1
C1
V2
C
V1
L1
V2
Figura 3.19: Circuito equivalente dell’iride capacitiva.
Il procedimento per ricavare il valore della capacità ricalca quanto già
visto per l’iride induttiva. Il primo passo è ricavare la potenza reattiva
immagazzinata in una capacità di valore C:
d 1
W =
CV 2 = jωCV02
(3.32)
dt 2 0
ove V0 è l’ampiezza del modo fondamentale T EM.
La potenza immagazzinata dal singolo modo superiore sotto taglio è:
Wn = Y0n Vn2 =
jωǫ0 2
V
γn n
dove γn è:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
134
3.7. DISCONTINUITÀ IN GUIDA D’ONDA
γn =
s
nπ
a
2
− k02
La potenza immagazzinata complessiva è:
W =2
∞
X
jωǫ0 2
Vn
n=2,4,6,... γn
(3.33)
dove il fattore 2 è dovuto all’immagazzinamento a sinistra e a destra
dell’iride.
Eguagliando le espressioni (3.32) e (3.33) si ricava il valore della capacità:
C = 2ǫ0

R
2
d
2
∞
d E(x)en (x)dx 
X
j Vn2
j 

 −2
=
2ǫ
0

R d
2
γ
V
γ
2
n
n
0
n=2,4,6,...
n=2,4,6,...
E(x)e0 (x)dx
−d
∞
X
(3.34)
2
dove E(x) è il campo sull’apertura e en sono i campi modali:
en =
s
2
nπ
sin
x
a
a
Nell’espressione (3.34) si nota subito come il γn compaia al denominatore,
quindi, differentemente da quanto avveniva nel caso di iride induttiva, non
si hanno problemi di convergenza della serie.
L’espressione, inoltre, ha una forma variazionale, quindi possiamo ricavare il valore della capacità partendo da una stima del campo elettromagnetico
sull’apertura fornita dal teorema degli spigoli. Dato che il campo Ex è ortogonale allo spigolo metallico, è possibile ipotizzare un andamento del seguente
tipo:
1
Ex ≈ r
x + d2 x − d2
3.7.3
Diaframma capacitivo in guida d’onda rettangolare
Lo studio del diaframma capacitivo in guida rettangolare (fig. 3.20) è leggermente più complicato rispetto al caso in guida a piatti paralleli.
Infatti, supponendo di eccitare la guida con un modo T E10 , la natura
della discontinuità fa nascere anche la componente longitudinale Ez , quindi
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 3. PROPRIETÀ DEI MODI IN GUIDA
135
Figura 3.20: Diaframma capacitivo in guida rettangolare.
eccita anche i modi T M. Tuttavia, data l’uniformità della discontinuità lungo
l’asse x, il campo Ex non viene eccitato. Da queste considerazioni appare
conveniente l’uso dei modi LSEx per descrivere il comportamento dell’iride.
In particolare, data proprio l’uniformità lungo x, la variazione lungo tale asse
rimane la stessa del modo incidente, quindi i modi eccitati sono gli LSEx1n .
3.7.4
Diaframmi spessi
Nella realtà diaframmi infinitamente sottili non esistono e possono solo essere
approssimati. Per ragioni meccaniche, le discontinuità, siano esse di natura
induttiva o capacitiva, normalmente hanno uno spessore finito. Questo significa che il procedimento visto nei paragrafi precedenti non è direttamente
applicabile ma va modificato per tenere conto del nuovo vincolo.
Come punto di partenza per lo studio dei diaframmi spessi, prendiamo
un salto di altezza di una guida a piatti paralleli (fig. 3.21). Supponiamo di eccitare la guida a sinistra del salto con un’onda T EM, unico modo
′
in propagazione sia prima che dopo lo scalino, e supponiamo che a > a.
Consideriamo in un primo momento un salto asimmetrico.
x
a’
a
2a’
2a
z
a)
b)
Figura 3.21: Salto di altezza in guida a piatti paralleli.
Avendo una propagazione T EM, l’ampiezza del campo elettrico trasverso
può essere ricavata direttamente dalla differenza di potenziale tra le armature. Dato che tale differenza rimane invariata a destra e a sinistra dello
scalino, deve necessariamente variare l’ampiezza di e. Infatti, le ampiezze
normalizzate sono:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
136
3.7. DISCONTINUITÀ IN GUIDA D’ONDA
e0 =
′
e0 =
q
1
a sinistra
qa
1
′
a
a destra
La presenza dello spigolo ortogonale alle linee di campo elettrico comporta una rotazione di quest’ultimo, meglio evidenziata dalla figura 3.22.
Come si nota, nasce la componente di campo elettrico diretta lungo l’asse
z, in modo tale da poter soddisfare le condizioni al contorno. La presenza
della componente ez indica che la famiglia di modi da dover considerare per
analizzare la struttura è la T Mn .
Figura 3.22: Andamento qualitativo del campo elettrico in corrispondenza
dello scalino.
Dato che il campo elettrico è continuo sull’apertura ed il campo magnetico
è discontinuo, ci aspettiamo un elemento parallelo da connettere alla linea
di trasmissione che rappresenta il modo. Tale elemento, tuttavia, non è
sufficiente, in quanto si ha una variazione dell’ampiezza di campo elettrico
e campo magnetico trasverso come conseguenza della discontinuità. Infatti,
′
dette V0 e V0 le ampiezze dei campi elettrici prima e dopo lo scalino, nelle
immediate vicinanze della discontinuità si ha:
′
′
V0 e0 = V0 = e0
ovvero:
′
V0
e0
=
′ =
V0
e0
r
√
a
s≤1
′ =
a
(3.35)
′
mentre per le ampiezze del campo magnetico (I0 e I0 ) vale la seguente:
1
I0
≥1
′ = √
I0
s
(3.36)
Le equazioni (3.35) e (3.36) sono chiaramente le
√ equazioni costitutive di
un trasformazione con rapporto di trasformazione s : 1 (fig. 3.23)
Da notare che, avendo modi T EM, l’ammettenza caratteristica delle linee
prima e dopo la discontinuità è la stessa:
Y0 =
s
ǫ0
µ0
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 3. PROPRIETÀ DEI MODI IN GUIDA
137
Figura 3.23: Circuito equivalente con trasformatore.
L’immagazzinamento di energia dei modi superiori è rappresentata dagli
elementi Y . A questo punto è conveniente togliere il trasformatore e arrivare al circuito di figura 3.24. Da notare che, eliminando tale elemento,
l’ammettenza di ingresso del tratto di guida a destra diventa:
′
Y0 =
Y0
s
per via della differente distanza tra i piatti.
Figura 3.24: Circuito equivalente dopo aver rimosso il trasformatore.
Per trovare l’elemento reattivo da mettere in parallelo, notiamo che, essendo eccitati i modi T M, deve essere di natura capacitiva, quindi l’energia
immagazzinata in esso vale:
We = jωCV02
Le energie immagazzinate a sinistra e a destra della discontinuità valgono
rispettivamente:
Wsx =
∞
X
Y0n Vn2
n=1
Wdx =
∞
X
′
Y0n Vn2 =
n=1
∞
X
1
Y0n Vn2
s
n=1
Eguagliando We = Wsx + Wdx si ottiene il valore della capacità:
∞
1 X
Vn2
Y0n
C=
jω n=1
V02
!
∞
1X
Vn2
Y0n
+
s n=1
V02
!
L’andamento del campo elettrico in corrispondenza dell’apertura, necessario per calcolare le tensioni modali Vn , può essere stimato sapendo che uno
spigolo a 90◦ comporta una singolarità del tipo r −1/3 .
Le tensioni modali possono essere trovate mediante la formula:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
138
3.7. DISCONTINUITÀ IN GUIDA D’ONDA
Vn =
Z
a
0
E(x)en (x)dx
dove
en =
s
2
nπ
cos
x
a
a
Il problema dello scalino simmetrico (fig. 3.21b) può essere facilmente
risolto a partire da quanto detto per lo scalino asimmetrico. Infatti, è possibile passare da una struttura all’altra semplicemente considerando lo scalino
simmetrico con una spaziatura tra le armature pari a 2a. Tale configurazione
è quindi del tutto equivalente alla precedente, dato che sul piano di mezzeria
si ha un muro elettrico e:
nπ
nπ
x |n=1,2,3,...= cos
x |n=2,4,6,...
cos
a
2a
Il setto spesso può essere invece considerato come l’insieme di due scalini,
′
distanziati di un tratto di guida di altezza a e lunghezza L (fig. 3.25).
Vediamo ora due due modi diversi per risolvere lo stesso problema dell’analisi
di tale struttura.
a
a’
a
x
2a
2a’
2a
z
a)
b)
Figura 3.25: Iride spessa.
Il primo metodo consiste nel separare i due scalini ed analizzarli singolarmente. In questo caso, tuttavia, nel tratto intermedio tra i due step, può
essere necessario considerare più di un modo accessibile. Ipotizzando di avere
un solo modo in propagazione (il solo T EM) nel tratto tra i due scalini, è
necessario calcolare l’attenuazione che i modi superiori subiscono nel tratto
di guide e fissare una soglia al di sotto della quale il modo viene considerato
estinto. In base a questi dati si selezionano i modi con ampiezza superiore
alla soglia in corrispondenza della seconda discontinuità. E’ evidente come
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 3. PROPRIETÀ DEI MODI IN GUIDA
139
la selezione vada fatta caso per caso, in base allo spessore della discontinuità
e alla soglia.
Il tratto intermedio dovrà quindi essere schematizzato con un insieme di
linee di trasmissione indipendenti, una per ogni modo accessibile. A titolo di
esempio, se a seguito di questa selezione risultano due modi accessibili (modo
T EM e T M1 ), è necessario schematizzare il tratto di guida intermedio con
due linee di trasmissione, ognuna dotata di propria impedenza caratteristica
e propria costante di propagazione. Dato che, normalmente, il T M1 è sotto
taglio, questo si attenuerà con legge esponenziale lungo la linea (fig. 3.26).
Figura 3.26: Circuito equivalente doppio scalino.
E’ opportuno notare come la selezione debba essere fatta anche in base
ai modi che vengono effettivamente eccitati dalle discontinuità. L’esempio
tipico è l’iride spessa simmetrica (fig. 3.25b). In questo caso, infatti, il primo
modo superiore ad essere eccitato è il T M2 .
Un altro modo per analizzare tale struttura consiste nell’utilizzare eccitazioni pari e dispari per ridurre il problema all’analisi di due circuiti ad una
porta. Infatti, l’iride spessa ha un piano di simmetria che può essere utilizzato per affrontare l’analisi, secondo quanto già introdotto nel paragrafo 2.5
in questo libro.
Sfruttando la simmetria possiamo eccitare la struttura con eccitazione
pari (1/2; 1/2), oppure con eccitazione dispari (1/2; −1/2) (fig. ??). Nei
due casi sul piano di simmetria si ha una condizione al contorno di tipo
muro magnetico o muro elettrico rispettivamente. Basterà quindi analizzare
metà struttura con le opportune condizioni al contorno per poi, sfruttando
la linearità, ricombinare le soluzioni per ottenere il comportamento dell’iride
spessa.
Un circuito equivalente conveniente da utilizzare per questo problema è
quello riportato in figura ??.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
140
3.7. DISCONTINUITÀ IN GUIDA D’ONDA
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
Capitolo 4
Reti di adattamento
Uno dei principali problemi nella progettazione di reti a microonde è garantire il massimo trasferimento di potenza verso un carico. Questo si ottiene
adattando un carico, che presenta una propria impedenza di ingresso, alla
linea che lo alimenta, ovviamente nell’ipotesi che il generatore stesso sia già
adattato.
Rete
di
Z0
ZL
adattamento
Figura 4.1: Rete di adattamento
Quello di cui si ha bisogno è una rete due porte interposta tra linea di
alimentazione e carico (fig. 4.1), sintetizzata in modo tale che l’impedenza di
ingresso della cascata di tale rete e del carico sia pari all’impedenza caratteristica della linea. Questo circuito due porte sarà, almeno in linea di principio,
privo di perdite (reattivo) per evitare inutili dissipazioni di potenza.
Se il carico presenta una impedenza con parte reale diversa da zero, allora
è possibile sintetizzare il circuito di adattamento. Esistono diversi circuiti utilizzati nella pratica, sia a costanti concentrate che distribuiti, maggiormente
adatti alle microonde.
141
142
4.1
4.1. ADATTATORE A λ/4
Adattatore a λ/4
l/4
Z0
ZX
ZL
Zin
Figura 4.2: Adattatore a λ/4
Sicuramente uno dei circuiti più semplici è l’adattatore a quarto d’onda. Con riferimento alla figura 4.2, si supponga di voler adattare un carico
ZL puramente reale ad una linea di trasmissione di impedenza Z0 6= ZL .
L’adattamento può essere facilmente realizzato interponendo tra questi un
tratto di linea di lunghezza λ/4 e impedenza caratteristica opportuna. Infatti, l’impedenza di ingresso Zin del tratto di linea chiuso sul carico ZL vale
in generale:
Zin = Zx
ZL cos θ + jZx sin θ
Zx cos θ + jZL sin θ
Se si pone θ = π/2 si ha:
Zx2
ZL
Zin =
(4.1)
Quindi la (4.1) indica in generale come si trasforma l’impedenza ZL vista
attraverso un tratto lungo λ/4 di impedenza caratteristica Zx . Tale relazione
vale per qualunque carico, anche complesso, e più avanti nel libro questa
espressione ricomparirà quando si parlerà di invertitori di impedenza, di cui
il tratto a λ/4 ne è una realizzazione fisica.
Se, infine, si impone Zin = Z0 , si può calcolare il valore dell’impedenza
incognita Zx :
Zx =
q
ZL Z0
(4.2)
Dato che la linea deve essere senza perdite, il valore di Zx deve essere reale
e positivo. Affinché ciò sia vero, è quindi necessario che ZL sia puramente
reale e positiva.
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CAPITOLO 4. RETI DI ADATTAMENTO
143
Le cose si complicano un po’ quando il carico è complesso. Per comprendere meglio il procedimento da usare, conviene lavorare con i coefficienti di
riflessione. La riflessione del carico è pari a:
Γ=
ZL − Z0
= ρejφ
ZL + Z0
Dato che l’adattatore a λ/4 funziona solo con carichi reali, il trucco consiste nel porre tra questo e il carico un tratto di linea di lunghezza opportuna
(Fig. 4.3). In pratica si esegue uno shift del piano di riferimento in modo che
′
Γ risulti puramente reale.
Z0
l/4
l
ZX
Z0
G
ZL
G
Figura 4.3: Adattatore a λ/4 per carichi complessi
Infatti:
′
Γ = e−2jβl ρejφ = ρej(φ−2βl)
′
Affinché Γ sia reale deve essere soddisfatta la relazione φ − 2βl = 0, che
permette di ricavare la lunghezza del tratto di linea da inserire:
l=
φ
2β
(4.3)
A questo punto l’impedenza di ingresso del tratto di linea lungo l chiuso
sul carico ZL può essere calcolato con:
′
1+ρ
1+Γ
ZL = Z0
′ = Z0
1−Γ
1−ρ
′
e l’impedenza caratteristica del tratto di linea lungo λ/4 vale:
Zx =
q
′
Z0 ZL
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
144
4.1.1
4.1. ADATTATORE A λ/4
Risposta in frequenza dell’adattatore a λ/4
E’ opportuno sottolineare come nei circuiti di adattamento di fig. 4.2 e 4.3
non si ha adattamento ad ogni interfaccia, ma si ha invece adattamento
complessivo tra la linea di alimentazione ed il circuito formato dalla rete di
adattamento e il carico. Questo significa che si hanno delle riflessioni ad
ogni interfaccia tra linee di trasmissione di impedenza caratteristica diversa
e tra queste e il carico. Nel circuito nascono quindi onde che rimbalzano
avanti ed indietro nei vari tratti di linea per effetto dei salti di impedenza. A
regime permanente la combinazione di queste onde da luogo ad una situazione
stazionaria tale per cui la somma, in modulo e fase, di tutti i contributi che
viaggiano verso il generatore sia nulla. Quando si ha a che fare con un
comportamento di questo tipo, il buon funzionamento del circuito, in questo
caso l’adattamento, si ha solo ad una frequenza, con un degrado progressivo
allontanandosi da questa.
Per rendersi conto di questo scriviamo l’impedenza di ingresso vista attraverso il circuito di adattamento di figura 4.2:
Zin = Zx
ZL + jZx tan(βl)
Zx + jZL tan(βl)
dove l è la lunghezza fisica del tratto di linea che forma l’adattatore, che
vale λ/4 alla frequenza di progetto f0 .
Se si va a calcolare il coefficiente di riflessione si trova:
Zin − Z0
ZL − Z0
√
=
Zin + Z0
ZL + Z0 + j2 tan βl Z0 ZL
√
dove è stato sostituito Zx = ZL Z0 . Calcolando il modulo del coefficiente
di riflessione si trova:
Γ=
|ZL − Z0 |
|Γ| = q
(ZL + Z0 )2 + 4 tan2 (βl)Z0 ZL
che può essere riscritta come:
1
|Γ| = r
=
(ZL +Z0 )2
Z0 ZL
+4 tan2 (βl)
(ZL −Z0 )2
(ZL −Z0 )2
1
q
1+
4ZL Z0
(ZL −Z0 )2
(1+tan2 (βl))
Tracciando in un grafico questa espressione si può ricavare l’andamento
in frequenza del coefficiente di riflessione. Tuttavia, per capire in maniera
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 4. RETI DI ADATTAMENTO
145
intuitiva cosa succede, poniamoci nelle vicinanze della frequenza di centro
banda f0 . Prima di tutto sostituiamo:
1 + tan2 (βl) =
1
cos2 (βl)
e poi osserviamo che per βl ≃ π/2 si ha:
1
≫1
cos2 (βl)
quindi l’espressione del modulo della riflessione può essere approssimata
con:
|Γ| ≃
v
u
u (Z
t L
− Z 0 )2
| cos(βl)|
4ZL Z0
(4.4)
Quindi al variare della frequenza si ha un andamento del coefficiente di
riflessione del tipo | cos(βl)|, nell’intorno di βl = π/2.
Per avere una misura quantitativa della banda passante dell’adattatore
bisogna prima di tutto fissare il valore di coefficiente di riflessione (o return
loss) che si considera soddisfacente. Fissando il return loss ad un certo valore
è possibile trovare il coefficiente di riflessione corrispondente invertendo la
relazione:
RL = −20 log(|Γ̄|)
e da questo è possibile ricavare il θ̄ = β̄l per valutare la larghezza di
banda.
Dall’analisi della (4.4) si vede, inoltre, che la variazione è tanto più lenta
tanto minore è la differenza tra ZL e Z0 . Questo sta ad indicare che per
carichi fortemente disadattati si riuscirà ad ottenere una banda molto stretta,
viceversa per carichi non troppo diversi dall’impedenza caratteristica della
linea di alimentazione la banda tenderà ad allargarsi.
Esercizio
Progettare un adattatore a λ/4 funzionante alla frequenza di 1 GHz per adattare un carico ZL = 150 + j150 Ω ad una linea di trasmissione di impedenza
caratteristica Z0 = 50 Ω. Considerare la linea di trasmissione TEM riempita
di dielettrico con ǫr = 2.
Soluzione
Per prima cosa si calcoli il coefficiente di riflessione del carico:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
146
4.1. ADATTATORE A λ/4
ΓL =
ZL − Z0
= 0.68 + j0.24 = 0.721ej0.339
ZL + Z0
Essendo il carico, e quindi il coefficiente di riflessione, complesso, dobbiamo interporre un tratto di linea per ottenere un coefficiente di riflessione
reale. Il β della linea di trasmissione può essere trovato tramite:
√
β = ω ǫr ǫ0 µ0 = 29.64 [m−1 ]
quindi, tramite la 4.3, è possibile trovare la lunghezza del tratto di linea
da interporre tra l’adattatore e il carico:
l=
0.339
φ
=
= 5.719 [mm]
2β
2 · 29.64
′
All’ingresso di questo tratto di linea il ΓL sarà pari a 0.721, quindi
l’impedenza di ingresso è:
′
1 + ΓL
Zin = Z0
Ω
′ = 308.4
1 − ΓL
Questo ci permette di trovare l’impedenza caratteristica dell’adattatore,
che vale:
Zx =
q
Zin Z0 = 124.18 Ω
L’ultimo parametro mancante è la lunghezza fisica del tratto di linea che
realizza l’adattatore stesso. Questo può essere calcolato con:
π
≈ 53 [mm]
la =
2β
Può essere interessante andare ad analizzare la risposta in frequenza
dell’adattatore. Il calcolo può essere facilmente implementato al calcolatore semplicemente concatenando le varie matrici ABCD dei singoli elementi
circuitali.
La figura 4.4 raffigura il modulo del coefficiente di riflessione in dB del
circuito formato dalla cascata dell’adattatore chiuso sul carico ZL . Come si
vede l’adattamento si ottiene solo ad una frequenza, quella di progetto per
la quale l’adattatore è effettivamente lungo λ/4, poi le prestazioni degradano
man mano che ci si allontana.
Da un punto di vista ingegneristico normalmente si fissa un certo coefficiente di riflessione massimo che può essere tollerato, ad es. -15 dB, e poi si
valuta la banda nella quale la riflettività è inferiore a questo valore di soglia.
Nel caso in esame la banda per tale valore di Γ va da 0.915 a 1.078 GHz,
quindi si ha una larghezza di banda di 163 MHz, ovvero pari al 16.3%.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 4. RETI DI ADATTAMENTO
147
Figura 4.4: Risposta in frequenza dell’adattatore progettato
4.2
Adattatori multi sezione
Come visto, l’adattatore a λ/4 permette di ottenere adattamento perfetto
solo ad una frequenza e la larghezza di banda dipende molto dal contrasto
che si ha tra le impedenze di carico e della linea di alimentazione. Per ottenere
bande più ampie si può quindi pensare di mettere in cascata più sezioni a
λ/4 ognuna delle quali veda alla propria sinistra ed alla propria destra dei
valori di impedenza intermedi tra Z0 e ZL .
Per progettare questa classe di adattatori si fa uso della teoria delle piccole
riflessioni [33]. Per spiegare meglio come funziona, partiamo da una semplice
adattatore a λ/4 (fig. 4.5). Come accennato in precedenza, in una struttura
cosı̀ fatta si hanno riflessioni ad ogni interfaccia e nella figura sono stati messi
in evidenza i coefficienti di trasmissione e riflessione ad ogni sezione, oltre al
coefficiente di riflessione complessivo Γ. Il carico è stato considerato reale
per semplificare l’analisi.
I vari coefficienti sono:
Γ1 =
Zx − Z0
Zx + Z0
Γ2 = −Γ1
Γ3 =
ZL − Zx
ZL + Zx
T21 = 1 + Γ1
T12 = 1 + Γ2
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
148
4.2. ADATTATORI MULTI SEZIONE
q
T21
G
Z0
G1
ZL
ZX
T12
G2
G3
Figura 4.5: Riflessioni e trasmissione in un adattatore a singola sezione
L’onda elettromagnetica rimbalza avanti e indietro all’interno del tratto
lungo θ e ad ogni interfaccia si ha una riflessione che dipende dal contrasto
delle due impedenze a sinistra e a destra. Complessivamente il coefficiente di
riflessione dell’intera struttura può essere trovato sommando tutti i contributi
che tornano al generatore:
Γ = Γ1 + T12 T21 Γ3 e−2jθ + T12 T21 Γ23 Γ2e−4jθ + . . .
= Γ1 + T12 T21 Γ3 e−2jθ
∞
X
Γn2 Γn3 e−2jnθ
n=0
dove compare una serie geometrica convergente, quindi si ottiene:
Γ = Γ1 +
T12 T21 Γ3 e−2jθ
Γ1 + Γ3 e−2jθ
=
1 − Γ2 Γ3 e−2jθ
1 + Γ1 Γ3 e−2jθ
Se le riflessioni ad ogni interfaccia sono piccole, si può porre |Γ1 Γ3 | ≪ 1,
quindi la formula può essere approssimata con:
Γ ≈ Γ1 + Γ3 e−2jθ
Quindi, per piccole differenze tra Z0 e ZL il coefficiente di riflessione è
dato dalla riflessione alla prima interfaccia più la riflessione alla secondo con
un contributo di fase dovuto alla propagazione dell’onda all’interno del tratto
lungo θ. Se θ = π/2 si ha l’annullamento della riflessione se Γ1 = Γ3 . Questo
è proprio ciò che accade nell’adattatore a λ/4.
Nel caso di adattatore multisezione (fig. 4.6) si ha una situazione analoga,
dove:
i+1 −Zi
Γi = ZZi+1
+Zi
N
ΓN = ZZLL−Z
+ZL
i = 1...N − 1
(4.5)
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 4. RETI DI ADATTAMENTO
G
Z0
149
q
q
q
Z1
Z2
ZN
G0
ZL
GN
G1
Figura 4.6: Trasformatore multisezione
Il coefficiente di riflessione complessivo è dato dalla somma dei coefficienti alle varie interfacce moltiplicati per uno sfasamento indotto dalla
propagazione dell’onda:
Γ = Γ0 + Γ1 e−2jθ + Γ2 e−4jθ + . . . + ΓN −1 e−2(N −2)jθ + ΓN e−2N jθ
(4.6)
Per semplificare ulteriormente la trattazione, ipotizziamo che la distribuzione dei coefficienti di riflessione sia simmetrica, ovvero che Γ0 = ΓN ,
Γ1 = ΓN −1 etc. La (4.6) può essere riscritta come:
Γ = Γ0 + Γ1 e−2jθ + Γ2 e−4jθ + . . . + Γ1 e−2(N −2)jθ + Γ0 e−2N jθ
mettendo in evidenza il termine e−jN θ :
h
i
Γ = e−jN θ Γ0 ejN θ + e−jN θ + Γ1 ej(N −2)θ + e−j(N −2)θ + . . .
(4.7)
Gli esponenziali possono esse sostituiti con dei coseni, trasformando la
(4.7) in
−jN θ
Γ = 2e
1
Γ0 cos(Nθ) + Γ1 cos((N − 2)θ) + . . . + ΓN/2
2
nel caso in cui N sia pari, oppure
h
Γ = 2e−jN θ Γ0 cos(Nθ) + Γ1 cos((N − 2)θ) + . . . + Γ(N −1)/2 cos θ
i
nel caso in cui N dia dispari.
Il progetto di un trasformatore multi sezione si traduce quindi nell’imporre i valori dei vari Γi in modo che il coefficiente di riflessione complessivo
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
150
4.2. ADATTATORI MULTI SEZIONE
assuma un certo andamento in frequenza. E’ possibile scegliere diversi tipi di
andamenti, come ad esempio l’andamento binomiale che permette di rendere
il coefficiente di riflessione massimamente piatto nell’intorno della frequenza
di centro banda, oppure l’andamento di Chebyshev che ottimizza la banda
passante a scapito di una oscillazione (ripple) della risposta.
4.2.1
Progetto di un adattatore multi sezione con risposta di Chebyshev
I polinomi di Chebyshev (appendice C.1) sono molto utilizzati nel progetto di
dispositivi quali adattatori, accoppiatori direzionali, filtri, schiere di antenne,
etc. Imponendo alla risposta un andamento dipendente dai polinomi di Chebyshev permette di avere un compromesso ottimale tra larghezza di banda,
attenuazione fuori banda e oscillazione all’interno della banda passante del
dispositivo. Infatti, per la natura oscillante del polinomio, il coefficiente di
riflessione sarà anch’esso oscillante tra, nel caso specifico degli adattatori,
0 ed un valore ǫ imposto dal progettista in modo da ottenere un valore di
Return Loss prestabilito.
Per prima cosa bisogna stabilire la larghezza di banda che si vuole ottenere. Questo viene fatto fissando il valore di θ̄ (< π/2) e mappandolo nel
punto x = 1, dove x è l’argomento del polinomio di Chebyshev. Inoltre, π − θ̄
viene mappato nel punto x = −1. Questo può essere facilmente soddisfatto
sostituendo cos θ/ cos θ̄ ad x, quindi:
TN
cos θ
cos θ̄
!
= TN (sec θ̄ cos θ)
(4.8)
ovvero:
cos θ
θ̄ < θ < π − θ̄
cos N cos−1 cos
θ̄
θ
altrove
cosh N cosh−1 cos
cos θ̄
(4.9)
questa mappatura permette di avere |TN (sec θ̄ cos θ)| ≤ 1 quando θ̄ < θ <
π − θ̄.
Prima di proseguire è conveniente effettuare alcune trasformazioni che
permettono di utilizzare in maniera più diretta i polinomi. In particolare, osservando le (C.2), si nota come in TN compaiano delle potenze del
cos θ. Queste possono essere eliminate applicando opportune trasformazioni
trigonometriche, ottenendo:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 4. RETI DI ADATTAMENTO
151
T1 (sec θ̄ cos θ) = sec θ̄ cos θ
T2 (sec θ̄ cos θ) = sec2 θ̄(cos 2θ + 1) − 1
T3 (sec θ̄ cos θ) = sec3 θ̄(cos 3θ + 3 cos θ) − 3 sec θ̄ cos θ
T4 (sec θ̄ cos θ) = sec4 θ̄(cos 4θ + 4 cos 2θ + 3) − 4 sec2 θ̄(cos 2θ + 1) + 1
(4.10)
Polinomi di ordine superiore possono essere facilmente ricavati.
Ora si impone che l’andamento del coefficiente di riflessione sia determinato da un polinomio di Chebyshev:
Γ = 2e−jN θ [Γ0 cos(Nθ) + Γ1 cos((N − 2)θ) + . . .]
= Ae−jN θ TN (sec θ̄ cos θ)
Il valore del coefficiente A viene stabilito in base alle specifiche imposte.
In particolare si osserva che, per θ = 0 (ovvero a frequenza nulla):
Γ|θ=0 =
ZL − Z0
= ATN (sec θ̄)
ZL + Z0
(4.11)
A questo punto è possibile usare l’approssimazione [33]:
Γ|θ=0 = ATN (sec θ̄) ≈
1 ZL
ln
2 Z0
(4.12)
quindi
A=
ZL
1
ln
2
Z0
1
TN (sec θ̄)
Il coefficiente di riflessione complessivo diventa quindi:
−jN θ 1
Γ=e
ZL
ln
2
Z0
TN (sec θ̄ cos θ)
TN (sec θ̄)
La TN è una funzione oscillante tra -1 e 1 (in banda passante) e il suo
modulo assume un valore massimo pari a:
1
ZL
|Γ̄| = ln
2
Z0
1
TN (sec θ̄)
(4.13)
Da questa si vede che A = |Γ̄|. Dalla (4.13) si nota l’esistenza di un legame
tra il Γ̄ e θ̄, quindi se si impone uno dei due l’altro sarà automaticamente
determinato. Inoltre, aumentando la banda (θ̄ più piccolo) aumenta anche
il valore di Γ̄, quindi peggiora l’adattamento. La scelta del parametro e del
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
152
4.2. ADATTATORI MULTI SEZIONE
valore da imporre dipende quindi dal problema che si vuole risolvere e dalle
prestazioni che si vogliono ottenere.
Normalmente il parametro fissato è il coefficiente di riflessione massimo
tollerabile, quindi la (4.13) deve essere invertita e si ottiene:
TN (sec θ̄) =
1
ZL
ln
2|Γ̄| Z0
usando la (4.9) si ricava il valore della sec θ̄:
"
1
ZL
1
cosh−1
ln
sec θ̄ = cosh
N
2|Γ̄| Z0
!#
(4.14)
Dalla relazione (4.12) possono poi essere ricavati i valori dei vari Γi da
implementare mediante salti di impedenza. Infine da questi possono essere
ricavati in maniera ricorsiva le impedenze caratteristiche dei vari tratti di
linea usando l’approssimazione:
1 Zi+1
(4.15)
ln
2
Zi
Da notare che il calcolo delle impedenze caratteristiche tramite la (4.15)
è comunque una approssimazione. Tuttavia, rispetto alle (4.5), consente di
ottenere valori autoconsistenti, ovvero alla fine si ottiene ZN +1 = ZL , come
dovrebbe essere [33].
Γi =
Esercizio
Progettare un adattatore multi stadio a tre sezioni con caratteristica di
Chebyshev con i seguenti dati:
- Impedenza caratteristica della linea di alimentazione Z0 = 50Ω
- Impedenza di carico ZL = 150Ω
- Return loss minimo 20 dB
Soluzione
Per un adattatore a tre segmenti si deve considerare:
Γ = 2e−j3θ [Γ0 cos 3θ + Γ1 cos θ] = Ae−j3θ T3 (sec θ̄ cos θ)
dove si è già pressa in considerazione la simmetria dell’adattatore.
Il Return Loss di 20 dB corrisponde ad un coefficiente di riflessione pari
a:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 4. RETI DI ADATTAMENTO
153
Γ̄ = 10−20/20 = 0.1 = A
Questo ci permette di calcolare dalla (4.14):
1 ZL
1
cosh−1
sec θ̄ = cosh
3
2|Γ̄| Z0
!
= 1.334
L’equazione da risolvere è quindi:
2 [Γ0 cos 3θ + Γ1 cos θ] = A sec3 θ̄(cos 3θ + 3 cos θ) − 3A sec θ̄ cos θ
Eguagliando i termini omologhi si ottiene:
- Termine per cos 3θ:
2Γ0 = A sec3 θ̄
Γ0 = Γ3 = 0.118
- Termine per cos θ:
2Γ1 = 3A(sec3 θ̄ − sec θ̄)
Γ1 = Γ2 = 0.156
Da questi valori è semplice ricavare, tramite la (4.15), le impedenze
caratteristiche dei tratti di linea lunghi λ/4.
Z1 = 63.4 Ω
Z2 = 86.6 Ω
Z3 = 118.3 Ω
In figura 4.7 è riportato il coefficiente di riflessione in dB dell’adattatore
progettato.
4.3
Carta di Smith
La carta di Smith [20] (fig. 4.8) è uno strumento grafico che consente di analizzare ciò che succede in una linea di trasmissione e può essere validamente
utilizzato per risolvere problemi che coinvolgono la propagazione in strutture
guidanti. I metodi grafici sono stati sviluppati molti anni fa per semplificare
l’analisi e la sintesi quando non erano disponibili delle risorse di calcolo sufficienti. Al giorno d’oggi i problemi in questione possono essere facilmente
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
154
4.3. CARTA DI SMITH
|S11|
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
[Ghz]
Figura 4.7: Risposta in frequenza dell’adattatore a 3 sezioni
risolti da un PC o da una calcolatrice programmabile, tuttavia, la rappresentazione grafica mantiene ancora dei vantaggi in termini di comprensione
e visualizzazione immediata del problema che si ha di fronte. Oltre a questo,
nella pratica può capitare di incontrare la carta di Smith. Ad esempio, gli
analizzatori vettoriali normalmente forniscono i parametri di scattering dei
dispositivi anche rappresentandoli su di una carta di smith, oppure molto
spesso i produttori di amplificatori e transistors a microonde forniscono i
parametri di scattering dei loro dispositivi direttamente tracciati sopra una
carta di Smith.
Il grafico in figura 4.8 può sembrare in prima istanza molto complicato, in
realtà per comprenderlo è sufficiente sapere che è una rappresentazione polare
del coefficiente di riflessione in tensione Γ. Quindi il piano sul quale la carta
viene tracciata non è altro che il piano complesso nel quale si rappresenta il
coefficiente di riflessione.
Per comodità conviene scrivere la riflettività in modulo e fase Γ = |Γ|ejφ ,
quindi il modulo del coefficiente di riflessione |Γ| può essere misurato come
la distanza dal centro del grafico, mentre la fase si trova misurando l’angolo
formato con l’asse delle ascisse, prendendo per positivo il verso antiorario
(fig. 4.9). Limitiamoci per il momento a considerare carichi con |Γ| ≤ 1,
ovvero passivi.
Per capire come disegnare la carta ed il significato della miriade di curve
presenti in essa, supponiamo di normalizzare l’impedenza di carico rispetto
all’impedenza caratteristica della linea di trasmissione:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 4. RETI DI ADATTAMENTO
155
Figura 4.8: Carta di Smith
ZL
(4.16)
Z0
scriviamo, inoltre, il coefficiente di riflessione come parte reale ed immaginaria:
zL = r + jx =
Γ = u + jv = |Γ|ejφ
L’impedenza di carico normalizzata può essere anche scritta come:
zL =
1 + u + jv
1+Γ
=
= r + jx
1−Γ
1 − u − jv
dalla quale si possono estrarre la parte reale e la parte immaginaria:
r=
1 − u2 − v 2
(1 − u)2 + v 2
x=
2v
(1 − u)2 + v 2
Queste possono essere riscritte nel seguente modo:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
156
4.3. CARTA DI SMITH
G
1
|G|
f
Figura 4.9: Vettore del coefficiente di riflessione sul piano complesso
r
u−
1+r
2
+ v2 =
(u − 1)2 + v −
1
x
1
(1 + r)2
2
=
1
x2
(4.17)
(4.18)
Le equazioni (4.17) e (4.18) rappresentano entrambe delle circonferenze
nel piano complesso uv, parametrizzate la prima con il valore della sola r,
la seconda con il valore della sola x. Sono quindi dei luoghi di punti per
determinati valori di r e x.
Ad esempio, considerando la (4.17), possiamo vedere come per r = 0
questa rappresenti una circonferenza di raggio unitario centrata nell’origine,
mentre all’aumentare di r, si hanno delle circonferenze di raggio decrescente
1/(1 + r) e il loro centro, posizionato in (r/(1 + r), 0), si sposta lungo l’asse
delle ascisse fino a tendere asintoticamente al punto (1, 0).
Se, invece, consideriamo la (4.18), queste sono circonferenze centrate in
(1, 1/x) di raggio 1/|x|.
In figura 4.10 sono riportate alcune curve per alcuni valori di r ed x.
Nella figura 4.8 invece sono rappresentate diverse curve, utili per gli scopi che
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 4. RETI DI ADATTAMENTO
x=1
x=0.5
157
x=2
r=0
r=0.5
x=0
r=1
r=2
Figura 4.10: Versione semplificata della carta di Smith
verranno illustrati in seguito. Per ora sorvoliamo sulle altre scritte presenti
nella carta, dato che verranno spiegate con l’ausilio dei prossimi esempi.
4.3.1
Uso della carta di Smith
Come accennato, la carta di Smith è uno strumento estremamente flessibile
che può essere utilizzato per risolvere diversi problemi, dai più semplici ai
più complessi. Online esistono anche degli esempi che permettono di capire
visivamente cosa succede1 .
Conversione tra coefficiente di riflessione ed impedenza di carico
Il primo utilizzo, ed anche il più semplice, è quello di convertire rapidamente il coefficiente di riflessione nell’impedenza di carico e viceversa. Infatti,
assumendo di conoscere il coefficiente di riflessione di un carico (ad esempio
tramite una misura), basterà individuare la posizione di tale Γ sulla carta ed
individuare quali curve per r costante e x costante passano per quel punto.
Questi valori vanno poi de-normalizzati, ovvero moltiplicati per l’impedenza
1
http://education.tm.agilent.com/index.cgi?CONTENT ID=5
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
158
4.3. CARTA DI SMITH
caratteristica della linea di trasmissione che alimenta il carico, per conoscere
il reale valore dell’impedenza di carico ZL .
Viceversa, conoscendo il valore dell’impedenza di carico ZL , si effettua
prima la normalizzazione (4.16), poi si trovano sulla carta di Smith le curve
corrispondenti ai valori di r e x trovati. L’intersezioni di queste due curve
fornisce il valore complesso del coefficiente di riflessione del carico. La distanza di questo punto dall’origine, opportunamente scalata con il raggio della
circonferenza unitaria, ci fornirà il modulo |Γ|, mentre l’angolo formato con
l’asse delle ascisse ci fornirà la fase φ.
Trasformazione dell’impedenza lungo la linea
Assumiamo di avere una linea senza perdite che alimenta un certo carico
normalizzato zL , sulla carta di Smith sarà possibile individuare la posizione
corrispondente a tale carico e calcolare il coefficiente di riflessione |Γ|ejφ . Se
ora ci spostiamo lungo la linea, quello che accade è che si ha una variazione
della sola fase del coefficiente di riflessione, mentre il modulo, essendo la linea senza perdite, rimarrà costante. Dalla teoria sappiamo che la variazione
della fase φ sarà pari al doppio della lunghezza elettrica della linea percorsa,
che assumiamo essere ad esempio pari a βl, dove β è la costante di propagazione e l è la distanza fisica percorsa. Quindi dopo lo spostamento il nuovo
coefficiente di riflessione sarà:
′
Γ = |Γ|ejφ e−2jβl
Sulla carta di Smith questo si ripercuote in una rotazione del vettore che
individua il Γ. Tale rotazione è in senso antiorario se ci si sposta verso il
carico, mentre sarà in senso orario se ci si sposta verso il generatore. Tali
versi sono determinati dal segno − nella variazione di fase. Tali versi di
rotazione sono comunque indicati nella carta di Smith (fig. 4.8).
Dato che la variazione di fase è doppia rispetto alla lunghezza elettrica
percorsa, per facilitare l’operazione, la carta di Smith riporta una scala esterna in lunghezze d’onda percorse. Quindi, noto lo spostamento fisico l lungo
la linea, si traduce questo in termini di frazioni di lunghezza d’onda λ e si
usa la scala esterna alla carta per ruotare il vettore Γ della quantità voluta.
Osservando la scala, si nota che una rotazione di 180◦ corrisponde ad uno
spostamento di λ/4, mentre una rotazione completa di 360◦corrisponde ad
uno spostamento di λ/2. Questa ultima osservazione non deve stupire, in
quanto le linee di trasmissione sono periodiche di λ/2, ed infatti effettuando
una rotazione di 360◦ sulla carta si ripristinano le condizioni di partenza.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 4. RETI DI ADATTAMENTO
159
Calcolo del rapporto d’onda stazionario
Il calcolo del ROS, rapporto d’onda stazionario o VSWR in inglese, può essere
facilmente fatto mediante la carta di Smith. Infatti, tale quantità è pari a:
|V + | + |V − |
1 + |Γ|
ROS = +
=
−
|V | − |V |
1 − |Γ|
Inoltre, sappiamo che nel punto di massima tensione l’impedenza di ingresso della rete è reale e massima, mentre nel punto di minima tensione
essa è sempre reale ma assume il valore minimo. Questo ci permette di individuare la posizione alla quale si trovano i massimi e i minimi lungo la
linea. Infatti, ruotando il vettore del coefficiente di rotazione sulla carta di
Smith, quando questo incontra il semiasse reale negativo si ha il minimo di
tensione, mentre quando incontra il semiasse reale positivo si ha il massimo
di tensione. Quale delle due attraversamenti si ha per primo dipende dal
carico, comunque osservando la rotazione necessaria è immediato sapere a
quale distanza il massimo o minimo si trova dal carico. Le posizioni degli
altri massimi e minimi saranno alternati e distanziati tra loro di λ/4.
Anche il valore del ROS può essere facilmente trovato, osservando che in
un punto di massimo di tensione deve valere:
ROS =
Zmax
= zmax
Z0
quindi il valore del ROS è pari al valore di r che si trova nell’attraversamento con il semiasse reale positivo.
4.3.2
Carta di smith per le ammettenze
Se si considerano le ammettenze, il coefficiente di riflessione di un carico di
valore YL è dato da:
Γ=
Y0 − YL
= u + jv
Y0 + YL
quindi se si indica:
yL = g + jb =
YL
Y0
(4.19)
il legame tra le quantità g, b e le quantità u, v è formalmente lo stesso
ricavato per le impedenze a parte un segno -. La presenza del segno negativo indica semplicemente una rotazione di 180◦ della carta. Ovvero, per le
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
160
4.4. ADATTAMENTO A SINGOLO STUB
ammettenze può essere usata esattamente la stessa carta delle impedenze,
con le sostituzioni: resistenza→conduttanza, reattanza→suscettanza. Con
queste sostituzioni si scambiano tra loro i punti di corto circuito e circuito
aperto sulla carta.
4.4
Adattamento a singolo stub
L’adattatore a singolo stub (fig. 4.11) è un circuito molto usato alle microonde in quanto è molto semplice da realizzare, in particolar modo in tecnologia
planare. In pratica esso è composto da uno stub, che può essere aperto o
chiuso in corto circuito, e da un tratto di linea che congiunge lo stub al
carico. In generale i tratti di linea che compongono la rete di adattamento possono avere impedenze caratteristiche diverse da quella della linea di
alimentazione. Tuttavia, per semplificare la progettazione e la realizzazione
fisica, normalmente si sceglie di avere tratti di linea tutti con la medesima
impedenza.
d
Z0
Z0
ZL
Yin
Z0
l
Yin
Figura 4.11: Adattatore a singolo stub
Con queste ipotesi i gradi di libertà sono la lunghezza dello stub l e la
distanza di questo dal carico d. La terminazione dello stub (aperto o corto)
può essere utilizzata per rendere lo stub più corto possibile, anche se da un
punto di vista concettuale non cambia niente. Basti pensare, infatti, che
aggiungendo un tratto di lungo λ/4 si ha una inversione dell’impedenza,
quindi si può trasformare un corto circuito in un circuito aperto e viceversa.
Il principio di funzionamento è piuttosto semplice. L’ammettenza di ingresso di uno stub (aperto o chiuso in corto non importa) è una quantità
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 4. RETI DI ADATTAMENTO
161
puramente immaginaria. Se questo stub è connesso in parallelo alla linea di
alimentazione (come nella figura 4.11), allora l’ammettenza di ingresso dello
′
stub si somma alla ammettenza di ingresso Yin della cascata tra il tratto di
linea e il carico:
′
Yin = Ystub + Yin
Affinché il circuito risulti adattato è necessario che Yin = Y0 ovvero:
′
Yin = Y0 − Ystub
ma, essendo Ystub puramente immaginaria e ricordando che l’impedenza
caratteristica Y0 di una linea senza perdite è puramente reale si ha:
′
Yin = Y0 − jBstub
(4.20)
In pratica la formula (4.20) ci dice che, per avere adattamento, l’ammettenza di ingresso della cascata formata dal tratto di linea lungo d e dal carico
deve avere una parte reale pari all’ammettenza caratteristica della linea di
alimentazione. La rimanente parte immaginaria verrà annullata mediante lo
stub.
Quindi il principio con cui si progetta questa rete è il seguente:
1 - Si regola la lunghezza del tratto di linea d in modo tale che l’ammettenza di ingresso della cascata del tratto di linea con il carico abbia parte
reale pari all’ammettenza caratteristica della linea di alimentazione Y0 .
2 - Si regola la lunghezza dello stub l in modo che la sua suscettanza di ingresso sia uguale in modulo ma di segno opposto alla parte immaginaria
′
dell’ammettenza Yin .
Il punto 2 permette l’annullamento della parte immaginaria di Yin e quello
che rimane è la sola parte reale che è pari a Y0
Da notare che questa operazione è sempre possibile, purché il carico sia
passivo.
La progettazione del circuito può avvenire sia tramite l’utilizzo di formule
ricavate appositamente, sia per via grafica, con l’ausilio della carta di Smith.
4.4.1
Formule per la progettazione di un adattatore a
singolo stub
Supponiamo di voler adattare un carico ZL ad una linea dii impedenza caratteristica Z0 . Dal ragionamento fatto sopra, conviene passare alle ammettenze. Quindi l’ammettenza di carico sarà YL = 1/ZL = GL + jBL e
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
162
4.4. ADATTAMENTO A SINGOLO STUB
l’ammettenza caratteristica delle linee sarà Y0 = 1/Z0. L’ammettenza di
ingresso di un tratto di linea lungo d chiuso sul carico YL è pari a:
′
Yin = Y0
YL + jY0 tan(βd)
Y0 + jYL tan(βd)
Sostituendo la YL e dividendo in parte reale e parte immaginaria si ha:
GL Y0 (1 + tan2 (βd))
(Y0 − BL tan(βd))2 + G2L tan2 (βd)
(4.21)
Y0 BL + (Y02 − G2L − BL2 − Y0 BL ) tan(βd)
(Y0 − BL tan(βd))2 + G2L tan2 (βd)
(4.22)
′
Re{Yin } = Y0
′
Im{Yin } = Y0
Imponendo che la prima delle (4.21) debba essere uguale a Y0 si può
ricavare la lunghezza del tratto di linea necessario tramite la relazione:
tan(βd) =
−Y0 BL ±
q
Y02 BL2 − (Y0 GL − G2L − BL2 ) (Y0 GL − Y02 )
(Y0 GL − G2L − BL2 )
(4.23)
dove la scelta tra i segni + e − viene tipicamente fatta prendendo la
distanza d più corta possibile. Trovata la lunghezza del tratto di linea d si
può calcolare la parte immaginaria dell’impedenza di ingresso (4.22). Detta
Bin tale quantità si può trovare la lunghezza dello stub imponendo che questa
sia uguale ma di segno opposto per ottenere l’annullamento:
−Y0 cot(βl) = −Bin stub in corto
Y0 tan(βl) = −Bin
stub aperto
(4.24)
La scelta dello stub in corto oppure aperto può essere fatta seguendo
diversi criteri. Infatti, a seconda della tecnologia utilizzata, può essere più
semplice realizzare l’uno o l’altro. Se ad esempio si realizza in coassiale si
sceglie la configurazione in corto, visto che un cavo coassiale lasciato aperto
si comporterebbe come una piccola antenna. Se, invece, si considera una
realizzazione in microstriscia può essere preferibile uno stub aperto per la
difficoltà di realizzare i via holes. Quando, invece, la tecnologia permette di
realizzare facilmente entrambe le soluzioni la scelta tipicamente viene fatta
prendendo la soluzione più compatta.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 4. RETI DI ADATTAMENTO
4.4.2
163
Progetto di un adattatore a singolo stub mediante carta di Smith
La sintesi di un adattatore a singolo stub può essere facilmente risolta anche
mediante la carta di Smith.
Il principio di progettazione è piuttosto semplice. Il nostro target è il
centro della carta di Smith, che corrisponde ad un carico puramente resistivo
e pari a 1, ovvero pari all’impedenza caratteristica della linea di alimentazione
(si ricorda che i valori sulla carta sono normalizzati). Quindi dobbiamo fare
in modo che (fig. 4.11):
Yin = 1
Lo stub connesso in parallelo modifica solo la parte immaginaria dell’ammettenza di ingresso, quindi la Yin ′ (fig. 4.11) dovrà appartenere alla
circonferenza r = 1 sulla carta di Smith.
Se ora si parte dal carico di valore qualunque (purché passivo), l’aggiunta
del tratto di linea in cascata di lunghezza d comporta semplicemente una
rotazione in senso orario, ovvero verso il generatore, sulla carta di Smith.
Tale rotazione dovrà fermarsi alla prima intersezione con la circonferenza
corrispondente a r = 1. La lunghezza elettrica della linea di interporre può
essere direttamente letta sulla scala esterna della carta stessa.
Esercizio 1
Adattare un carico ZL = 150 + j150 Ω ad una linea di impedenza caratteristica di 50 Ω mediante uno adattatore a singolo stub.
Soluzione mediante formule
La soluzione può essere trovata in maniera semplice utilizzando la (4.23)
e la (4.24). L’ammettenza di carico è pari a:
YL = GL + jBL =
1
= (3.333 − j3.333)10−3
ZL
[S]
Tramite la (4.23) troviamo la distanza dello stub dal carico. La formula
fornisce due valori:
θ+ = 1.358 = 77.79◦
θ− = −1.018
ottenuti rispettivamente con il segno + ed il segno - della radice. In questo
esempio prendiamo il valore positivo, anche se potremmo prendere anche il
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
164
4.4. ADATTAMENTO A SINGOLO STUB
valore negativo aumentato di π. Nel secondo caso però il tratto di linea è più
lungo, quindi non conveniente dal punto di vista realizzativo.
Applicando la (4.24) otteniamo le lunghezze degli stub in corto ed aperto,
che sono rispettivamente:
θs = 0.448 = 25.66◦
′
θo = −1.123 → θo = θo + π = 2.019
Anche in questo caso prendiamo il primo valore, dato che il secondo
comporterebbe uno stub di maggiore lunghezza.
Le lunghezze fisiche dei tratti di linea possono essere trovate in base alla
frequenza alla quale si vuole adattamento e al tipo di linea di trasmissione.
Soluzione mediante carta di Smith
Per prima cosa è necessario normalizzare l’ammettenza di carico:
zL =
yL =
ZL
= 3 + j3 [Ω]
Z0
1
= (1 − j)166.667 · 10−3
3 + j3
[S]
e trovare il punto sulla carta di Smith. Si traccia quindi un arco di
circonferenza, centrata nell’origine, fino a trovare la prima intersezione con
il cerchio corrispondente a r = 1 e si legge il valore dell’ammettenza. Dato
che ci si sta spostando verso il generatore, tale arco dovrà essere tracciato in
senso orario. Il valore di ammettenza di ingresso che ne risulta è:
′
yin =
La parte immaginaria, cambiata di segno, ci fornisce direttamente l’ammettenza di ingresso che deve avere lo stub. Essa vale:
yinstub =
A questo punto si deve trovare la lunghezza dello stub, valore che può
essere ricavato sempre dalla carta di Smith. Essendo lo stub chiuso in corto
o aperto si hanno due possibilità. Nel primo caso si deve partire dal punto
(1; 0) della carta, mentre nel caso di stub aperto di parte dal punto (−1; 0).
Dal punto di partenza si ruota in senso orario (sempre verso il generatore)
fino ad incontrare il valore di suscettanza di ingresso desiderato e l’entità
della rotazione fornisce la lunghezza dello stub. E’ evidente che se lo stub
deve presentare in ingresso una suscettanza positiva conviene partire da un
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 4. RETI DI ADATTAMENTO
165
circuito aperto, mentre se deve presentare in ingresso una suscettanza negativa conviene partire da un corto circuito. Infatti, in questo modo si raggiunge
il punto desiderato con la minore rotazione possibile ed in definitiva con la
minore lunghezza dello stub.
Nel caso in esame quindi...
Esercizio 2
′
Nell’esercizio precedente considerare lo stub aperto di lunghezza elettrica θo
invece dello stub in corto e tracciare la risposta in frequenza dell’adattatore.
Confrontarla con quella già ottenuta.
4.5
Adattatore a doppio stub
Questo adattatore è composto da due stubs, chiusi in corto oppure aperti a
seconda delle esigenze, separati da un tratto di linea di lunghezza d. L’adattatore è quindi inserito direttamente tra la linea di alimentazione ed il carico
(fig. 4.12).
d
Z0
Z0
Z0
ZL
Z0
l2
l1
Figura 4.12: Adattatore a doppio stub
La lunghezza del tratto di linea intermedio viene determinata a priori
e si sfruttano i due gradi di libertà dati dalle lunghezze degli stubs l1 e
l2 . Questo adattatore si preferisce quando è necessaria una messa a punto
da effettuare sul banco di misura dell’adattatore per compensare eventuali
differenze tra il modello teorico e la realizzazione pratica. Infatti, cambiare
la lunghezza di uno stub, specialmente chiuso in corto, può essere molto più
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
166
4.5. ADATTATORE A DOPPIO STUB
semplice meccanicamente che non cambiare la lunghezza di un tratto di linea
in cascata con il carico. La facilità di messa a punto del circuito viene pagata
inserendo due stub di lunghezza arbitraria.
Da notare che in figura 4.12 è rappresentato solo un circuito con stub in
parallelo, che rappresenta la soluzione più comoda, tuttavia questi possono
essere collegati in serie. Inoltre, gli stub possono essere chiusi in corto circuito
o lasciati aperti. Per le due configurazioni valgono le stesse considerazioni
fatte per lo stub singolo.
4.5.1
Progetto di un adattatore a doppio stub con carta di Smith
In questo caso, per comprendere meglio il principio di funzionamento, è opportuno iniziare con la progettazione mediante carta di Smith per poi ricavare
la soluzione analitica.
Come per lo stub singolo ci conviene lavorare con le ammettenze e per
semplicità consideriamo le ammettenze caratteristiche di tutti i tratti di linea
pari a Y0 , in modo da semplificare la trattazione. Come detto la distanza tra
gli stubs viene fissata a priori. Per una questione di comodo, e solo per questo,
fissiamo d = λ/8, riferito alla frequenza di funzionamento. E’ importante
sottolineare come tale valore sia una scelta arbitraria. Con una qualsiasi altra
distanza, il procedimento per la progettazione rimane esattamente lo stesso.
Vedremo tra poco che la scelta di questa lunghezza preclude l’adattamento
di alcuni valori di impedenza di carico.
′
La prima considerazione da fare è che l’ammettenza di ingresso Yin in
figura 4.12 deve assumere un valore pari a:
′
Yin = Y0 + jB
In questo modo la suscettanza B potrà essere facilmente annullata mediante lo stub più lontano dal carico in modo che l’ammettenza di ingresso
complessiva sia pari a Y0 .
Per poter usare la carta di Smith normalizziamo il tutto:
′
yin = 1 + jb
quindi questo valore di ammettenza sulla carta di Smith deve trovarsi
sulla circonferenza corrispondente a g = 1.
Lo spostamento lungo il tratto di linea di lunghezza λ/8 comporta una
trasformazione dell’impedenza di ingresso, che corrisponde semplicemente ad
una rotazione in senso antiorario di 90 gradi sulla carta di Smith. Quindi
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 4. RETI DI ADATTAMENTO
167
è come se la circonferenza g = 1 fosse ruotata in senso antiorario di 90
′′
gradi 4.13, quindi il punto individuato dall’ammettenza di ingresso yin deve
appartenere a questa nuova circonferenza.
Figura 4.13: Funzionamento dell’adattatore a doppio stub
L’effetto dello stub vicino al carico sull’ammettenza è quello di variarne
solo la parte immaginaria:
′′
yin = yL + jbstub1
e sulla carta di Smith questo corrisponde ad uno spostamento lungo una
curva a g costante.
Ricapitolando, i passi da effettuare per la progettazione di una tale adattatore sono:
- Si individua sulla carta di Smith il punto corrispondente all’ammettenza di carico yL ;
- fatto
In base a quanto detto si possono fare le seguenti osservazioni:
- Se il tratto di linea tra i due stub è di lunghezza diversa da λ/8 basta
semplicemente ruotare il cerchio di un angolo corrispondente a tale
lunghezza;
- Non è possibile adattare qualsiasi ammettenza di carico con questo
metodo. Per rendersene conto basta considerare delle ammettenze di
carico con parte reale maggiore di 2 e vedere che non è possibile intersecare la circonferenza ruotata. Il range di ammettenze non adattabili
dipende dalla lunghezza del tratto di linea tra i due stub. Per ovviare
a ciò è possibile inserire un tratto di linea tra il carico e l’adattatore a
doppio stub in modo da trasformare opportunamente l’ammettenza di
ingresso.
4.6
Criterio di Bode-Fano
Durante lo studio dei vari circuiti di adattamento presentati in questo capitolo, abbiamo visto come l’adattamento perfetto, ovvero Γ = 0, si riesce ad
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
168
4.6. CRITERIO DI BODE-FANO
ottenere solo in alcuni punti di frequenza (molto spesso in uno solo), mentre
altrove ci si deve accontentare di un determinato valore di return loss.
Viene da chiedersi se sia veramente possibile ottenere adattamento perfetto su una certa banda di frequenza. La risposta a questa domanda è negativa
ed il motivo ha a che fare con questioni di fisica realizzabilità della rete di
adattamento. Esiste, infatti, il criterio di Bode-Fano [21]-[22], di cui non
daremo la dimostrazione, che fornisce il limite teorico al minimo coefficiente
di riflessione che si può ottenere.
R
Rete
di
adattamento
Rete
di
adattamento
C
R
a)
C
b)
R
Rete
di
adattamento
R
Rete
di
adattamento
L
c)
L
d)
Figura 4.14: Casi del criterio di Bode-Fano
Dato il coefficiente di riflessione Γ(ω) il criterio si enuncia in maniera
differente a seconda della natura del carico che si deve adattare. Di seguito
ci sono i 4 casi che coprono tutte le possibili tipologie di carico passivo da
adattare:
- Carico RC parallelo (fig. 4.14a):
Z
∞
0
ln
1
π
dω <
|Γ(ω)|
RC
- Carico RC serie (fig. 4.14b):
Z
∞
0
1
1
ln
dω < πRC
2
ω
|Γ(ω)|
- Carico RL parallelo (fig. 4.14c):
Z
∞
0
1
1
πL
ln
dω <
2
ω
|Γ(ω)|
R
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CAPITOLO 4. RETI DI ADATTAMENTO
169
- Carico RL serie (fig. 4.14d):
Z
∞
0
ln
πR
1
dω <
|Γ(ω)|
L
In pratica queste relazioni limitano il coefficiente di riflessione minimo
ottenibile |Γm | con una rete di adattamento data una banda passante ed un
certo carico. Un’ultima nota riguarda il fatto che l’adattatore multistadio
con risposta di Chebyshev costituisce la scelta ottima, ovvero quella che più
si avvicina al limite teorico sancito dal criterio.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
170
4.6. CRITERIO DI BODE-FANO
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
Capitolo 5
Accoppiatori direzionali
Gli accoppiatori direzionali sono dei componenti fondamentali per la costruzione di dispositivi a microonde complessi. Un accoppiatore direzionale è un
dispositivo a 4 porte lineare, reciproco e senza perdite, spesso indicato come
in fig. 5.1, con le seguenti proprietà [35]:
1. le porte sono adattate
2. ciascuna porta è accoppiata con altre due, mentre la quarta porta è
isolata.
Figura 5.1: Accoppiatore direzionale
In altri termini, una possibile realizzazione di un accoppiatore direzionale consiste nell’accoppiare elettromagneticamente due linee di trasmissione.
Quando in una linea viaggia un’onda elettromagnetica, ad esempio dalla porta 1 (di ingresso) verso la porta 2 (detta porta diretta) in figura 5.1, nella
seconda linea viene eccitata un’onda. L’accoppiatore è fatto in modo che
venga rilevata potenza in uscita solo alla porta 3, mentre non si ha potenza
171
172
5.1. ACCOPPIATORE DIREZIONALE IDEALE
uscente dalla porta 4. Tali porte, rispettivamente sono chiamate porta accoppiata e porta isolata. In pratica, il dispositivo non fa altro che spillare un
po’ di potenza viaggiante, trasferendola sulla linea accoppiata. Se, invece,
l’onda viaggia dalla porta 2 verso la porta 1, c’è comunque accoppiamento
con la linea secondaria, ma questa volta si rileverà una potenza in uscita alla
porta 4 e non alla porta 3.
Questo comportamento, ovvero la possibilità di discriminare la direzione
di propagazione dell’onda, conferisce l’aggettivo direzionale al dispositivo.
In definitiva, la matrice di scattering di tale componente sarà del tipo:




S=
0 s12 s13 0
s12 0
0 s24
s13 0
0 s34
0 s24 s34 0





(5.1)
L’entità dell’accoppiamento, ovvero della potenza trasferita alla guida
accoppiata, dipende da come è stato progettato l’accoppiatore. Si definisce
coefficiente di accoppiamento C la seguente quantità:
C = 10 log10
1
|s13 |2
= −20 log10 |s13 |
(5.2)
Gli utilizzi pratici di tale dispositivo sono molteplici e vanno dalle misure,
alla realizzazione di circuiti di retroazione, alla divisione di potenza, etc.
5.1
Accoppiatore direzionale ideale
E’ facile mostrare che ogni dispositivo lineare, reciproco e senza perdite che
sia adattato su tutte e quattro le porte debba essere necessariamente un
accoppiatore ideale. Infatti, la sua matrice di scattering S vale:




S=
0
s12
s13
s14
s12
0
s23
s24
s13
s23
0
s34
s14
s24
s34
0





(5.3)
Visto che l’assenza di perdite implica unitarietà di S, SS+ = I, dove I è
la matrice unità, allora devono essere soddisfatte le seguenti equazioni.
|s12 |2 + |s13 |2 + |s14 |2 = 1
|s12 |2 + |s23 |2 + |s24 |2 = 1
(5.4)
(5.5)
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 5. ACCOPPIATORI DIREZIONALI
|s13 |2 + |s23 |2 + |s34 |2
|s14 |2 + |s24 |2 + |s34 |2
s13 s∗23 + s14 s∗24
s12 s∗23 + s14 s∗34
s12 s∗24 + s13 s∗34
=
=
=
=
=
173
1
1
0
0
0
(5.6)
(5.7)
(5.8)
(5.9)
(5.10)
Moltiplicando (5.8) per s12 , (5.9) per s13 e sottraendo una dall’altra, si
ottiene:
(5.11)
s14 (s12 s∗24 − s13 s∗34 ) = 0
le cui soluzioni sono:
s14 = 0
s12 s∗24 = s13 s∗34
(5.12)
(5.13)
Prendiamo la prima.
Dalla (5.8) segue anche che s23 = 0 (altrimenti avremmo s12 = s13 = 0, in
palese contrasto con la (5.4) ). Perdipiù, sottraendo (5.5) da (5.4) e (5.6) da
(5.4), si ottiene |s13 | = |s24 | = α e |s12 | = |s34 | = β. Ora, posto φij = 6 Sij ,
dall’equazione (5.10) si ottiene la relazione che lega le fasi
(φ12 − φ13 ) + (φ34 − φ24 ) = π
(5.14)
Pertanto, la matrice di scattering dell’accoppiatore ideale deve avere la
forma:




S=
0
βejφ12
αejφ13
0
βejφ12
0
0
αejφ24
αejφ13
0
0
βejφ34
0
αejφ24
βejφ34
0





(5.15)
Si noti che se φ12 − φ13 = φ34 − φ24 , come accade nei casi pratici se l’accoppiatore è simmetrico (s13 = s24 e s12 = s34 ),
φ12 − φ13 = π/2
(5.16)
Quindi le uscite alle porte 2 e 3 sono tra loro in quadratura di fase. In tal
caso è facile scegliere dei piani di riferimento tali che la matrice di scattering
dell’accoppiatore assuma la forma:




S=
0
jβ
α
0
jβ
0
0
α
α
0
0
jβ
0
α
jβ
0





Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
(5.17)
174
5.2. L’ACCOPPIATORE REALE
Se noi consideriamo invece la (5.13), notiamo immediatamente che le soluzioni s12 = 0 e s34 = 0, oppure s13 = 0 e s24 = 0 coincidono con quelle
trovate sopra a meno di una permutazione degli indici. Ad esempio, quando
la porta 1 viene eccitata, la porta 2 è isolata mentre la porta 3 e 4 sono
accoppiate.
5.2
L’accoppiatore reale
Naturalmente, è impossibile ottenere sia adattamento perfetto alle quattro
porte che isolamento perfetto della porta disaccoppiata [1, 36], il che significa
che nella matrice (5.1) nessun elemento è in realtà uguale a zero. Quindi,
per caratterizzare un accoppiatore reale, è necessario introdurre il parametro
direttività D,
|s13 |
(5.18)
D = 20 log
|s14 |
che rappresenta il rapporto tra le potenze che fluiscono dalla porta 1 verso
la 3 e la 4 rispettivamente. Nel caso ideale la direttività è infinita. Talora
si preferisce impiegare, in luogo della direttività il cosiddetto isolamento I,
definito come
1
I = 20 log
= C + D.
(5.19)
|s14 |
In aggiunta ai parametri fondamentali dell’accoppiatore , le seguenti quantità
caratterizzano gli accoppiatori direzionali reali:
• Banda (Frequency Range) - La banda di lavoro dell’accoppiatore direzionale. Ad esempio gli accoppiatori direzionali commerciali in guida
d’onda operano nell’intera banda della guida d’onda. Sulla banda di
lavoro sono definiti i parametri:
• Accoppiamento nominale Coupling C . I valori tipici sono 3, 6, 10, 20,
30, 40 dB.
• Deviazione Coupling sensitivity/deviation - La massima deviazione di
C rispetto al valore nominale .
• Direttività Minimum directivity D - Tipicamente compresa tra 30-50
dB.
• Perdite Insertion loss - le perdite di inserzione massime sul ramo principale (ports 1-2).
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 5. ACCOPPIATORI DIREZIONALI
175
• Primary arm VSWR - Il VSWR sul ramo principale.
• Secondary arm VSWR - Il VSWR sul ramo secondario.
• Power handling capability (cw)/(peak) - La potenza continua o di picco
massima che può essere sopportata dall’accoppiatore.
• Connectors - Indica il tipo di connettori o flange di interfaccia dell’accoppiatore.
5.3
Accoppiamento distribuito
Se si prendono due linee TEM e si avvicinano, tra loro nasce un accoppiamento, o cross-talk, che permette il passaggio dell’energia elettromagnetica
da una linea all’altra. Intuitivamente, tanto più si avvicinano le linee, tanto
maggiore sarà lo scambio energetico tra queste. Questo metodo può essere utilizzato per diverse tecnologie, ovvero per accoppiatori in coassiale,
in stripline ed anche in microstriscia, anche se in queste ultime si ha una
propagazione quasi-TEM.
Figura 5.2: Linee accoppiate
Si considerino, ad esempio, due linee in stripline come mostrato in figure
5.2. Si supponga che le linee di alimentazione abbiano una impedenza caratteristica Z0 e si normalizzi rispetto a questa (quindi d’ora in poi Z0 = 1).
Si supponga, inoltre, che sia presente un piano di simmetria, indicato con A
in figura 5.2 e che l’accoppiamento avvenga, per semplicità, solo nei tratti
rettilinei delle stripline e non nei tratti che alimentano il sistema. I piani di
riferimento per le fasi dei parametri di scattering sono presi in corrispondenza
della fine dei tratti di alimentazione e l’inizio dei tratti di linee accoppiate.
Grazie al piano di simmetria e alla linearità del circuito è possibile applicare la sovrapposizione degli effetti, scindendo il problema in due sotto
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
176
5.3. ACCOPPIAMENTO DISTRIBUITO
problemi più semplici. In pratica, invece di alimentare la porta 1 con un
segnale ad esempio di ampiezza unitaria, si alimentano le porte 1 e 3 con
segnali di ampiezza (+1/2, +1/2) e (+1/2, −1/2) (Fig. 5.3), definite rispettivamente eccitazione pari ed eccitazione dispari [23]. La combinazione delle
risposte ottenute ci restituisce la risposta del problema originario.
Figura 5.3: Eccitazioni pari e dispari
La sovrapposizione degli effetti è sempre applicabile ai circuiti lineari, ma
la presenza del piano di simmetria e la scelta oculata delle eccitazioni rende il
metodo particolarmente potente. Infatti, per le due eccitazioni si realizzano
le seguenti condizioni:
- Eccitazione pari : Le linee di campo elettrico si dispongono parallele al
piano di simmetria, mentre quelle di campo magnetico sono ortogonali.
Tale configurazione corrisponde alla presenza di un muro magnetico.
- Eccitazione dispari : Le linee di campo elettrico si dispongono ortogonali al piano di simmetria, mentre quelle di campo magnetico sono
parallele. Tale configurazione corrisponde alla presenza di un muro
elettrico.
Figura 5.4: Linee di campo elettrico nei casi pari (a sinistra) e dispari (a
destra)
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 5. ACCOPPIATORI DIREZIONALI
177
La figura 5.4 mostra qualitativamente la disposizione delle linee di forza
del campo elettrico nei casi pari e dispari. La distorsione che il campo subisce
rispetto alla linea imperturbata è tanto maggiore tanto più si avvicinano le
linee. La presenza del muro magnetico od elettrico permette di analizzare
solo metà struttura, riducendo quindi la complessità del problema (fig. 5.5).
Figura 5.5: Strutture effettivamente analizzate nei casi pari e dispari
Inoltre, le linee di forza del campo elettrico verranno modificate dalle
nuove condizioni al contorno rispetto alla stripline imperturbata (si veda per
confronto la figura 1.4). L’effetto sulla capacità distribuita dato dal muro elettrico e magnetico è differente, infatti il muro elettrico aumenta la C,
mentre il muro magnetico la diminuisce. L’induttanza per unità di lunghezza, invece, non viene apprezzabilmente alterata. Quindi, definite Z0p e Z0d le
impedenze caratteristiche delle linee nei casi dispari e pari rispettivamente,
per effetto delle nuove condizioni al contorno si avrà che Z0d < Z0 < Z0p .
Intuitivamente si capisce, inoltre, che minore è la distanza tra le linee, maggiore sarà lo scostamento delle impedenze rispetto al caso imperturbato, dato
che la distorsione dei campo elettromagnetico è più pronunciata.
Applicando quindi le eccitazioni pari e dispari è possibile trovare i segnali
riflessi e trasmessi nei due casi, come mostrato dalla figura 5.6. Le grandezze
Γp e Tp sono i coefficienti di riflessione e trasmissione nel caso pari, mentre
Γd e Td sono i coefficienti di riflessione e trasmissione nel caso dispari.
Facendo la sovrapposizione degli effetti è possibile trovare i segnali uscenti alle quattro porte quando alla porta 1 è applicata un’onda di ampiezza
unitaria (5.7).
Da notare che, essendo unitaria l’ampiezza del segnale entrante alla porta
1, le uscite forniscono direttamente i quattro parametri di scattering che
descrivono completamente il circuito:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
178
5.3. ACCOPPIAMENTO DISTRIBUITO
Figura 5.6: Applicazione delle eccitazioni pari/dispari e calcolo dei segnali
riflessi e trasmessi
Figura 5.7: Combinazione delle risposte pari/dispari
s11
s21
s31
s41
=
=
=
=
Γp +Γd
2
Tp +Td
2
Γp −Γd
2
Tp −Td
2
(5.20)
Dai parametri (5.20) è possibile ricostruire la matrice S dell’accoppiatore
direzionale:




S=
s11
s21
s31
s41
s21
s11
s41
s31
s31
s41
s11
s21
s41
s31
s21
s11





Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 5. ACCOPPIATORI DIREZIONALI
179
I coefficienti di riflessione Γp,d e Tp,d possono essere trovati usando i circuiti
in fig. 5.8. Questi non sono altro che la rappresentazione circuitale delle
strutture viste in fig. 5.6.
Figura 5.8: Circuiti equivalenti nei casi pari e dispari
Come si vede, i circuiti sono molto semplici, essendo costituiti solo da
una linea di trasmissione di impedenza caratteristica Z0p,d chiusa su carichi
unitari. Le impedenze sono quindi normalizzate rispetto alla Z0 delle linee
di alimentazione. Da notare che la lunghezza elettrica delle linee rimane
invariata rispetto al caso imperturbato, per l’ipotesi di propagazione TEM.
Le matrice ABCD dei due tratti di linea sono:
ABCDp,d =
"
Ap,d Bp,d
Cp,d Dp,d
#
=
"
cos θ
jZ0p,d sin θ
j
sin θ
cos θ
Z0p,d
#
ed i coefficienti di riflessione e trasmissione possono essere facilmente
derivati da questa:
Γp,d =
Ap,d +Bp,d −Cp,d −Dp,d
Ap,d +Bp,d +Cp,d +Dp,d
Tp,d =
2
Ap,d +Bp,d +Cp,d +Dp,d
quindi si ha:
Γp,d =
e
Tp,d =
j Z0p,d −
1
Z0p,d
2 cos θ + j Z0p,d +
sin θ
1
Z0p,d
sin θ
sin θ
2
2 cos θ + j Z0p,d +
1
Z0p,d
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
(5.21)
(5.22)
180
5.3. ACCOPPIAMENTO DISTRIBUITO
Se ora si impone l’adattamento alle quattro porte dell’accoppiatore (s11 =
0), si deve imporre che:
Γp + Γd
= 0 ⇒ Γp = −Γd
2
La condizione (5.23) è soddisfatta se:
(5.23)
1 - Z0p = Z0d = Z0 = 1. Questo è il caso banale, che corrisponde a considerare le linee molto lontane tra loro, senza che ci sia accoppiamento
tra queste.
2 - è verificata la condizione:
Z0p = 1/Z0d
(5.24)
che è la condizione che ci interessa.
Da notare che la (5.24) è una condizione sulle sole impedenze caratteristiche. Ovvero, se queste rimangono costanti o variano molto lentamente con
la frequenza, è possibile avere adattamento su una banda molto larga.
Conseguenza della (5.24) è anche:
Tp = Td
che comporta l’annullamento del parametro s41 . In definitiva, i parametri
di scattering del quattro porte diventano:
s11 = 0
s21 = Tp =
s31 = Γp =
s41 = 0
2
2 cos θ+j Z0p + Z1
j Z0p − Z1
0p
0p
sin θ
sin θ
2 cos θ+j Z0p + Z1
0p
sin θ
Questo risultato conferma quanto detto all’inizio di questo capitolo sugli accoppiatori direzionali ideali. Anche la condizione sul parametro s41
è una condizione sulle sole impedenze caratteristiche, dando luogo ad una
caratteristica a larga banda.
Facendo riferimento alla fig. 5.2, se si applica in ingresso un segnale alla
porta 1, la porta 2 viene detta porta diretta, la porta 3 è la porta accoppiata,
infine la porta 4 è la porta isolata. Il fatto che la porta accoppiata si trovi
dallo stesso lato della porta di ingresso, dipende dal meccanismo di accoppiamento tra le linee. In questo caso di parla di accoppiamento in contro-flusso.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 5. ACCOPPIATORI DIREZIONALI
181
Vedremo più avanti che nel caso di guide d’onda non sarà più cosı̀ e la porta
accoppiata sarà posta dal lato opposto rispetto all’ingresso.
Un’altra osservazione importante da fare riguarda il rapporto tra le uscite
non nulle. Questo è:
!
1
1
s31
Z0p −
sin θ
=j
s21
2
Z0p
come si vede, tale rapporto è puramente immaginario, evidenziando il fatto che le uscite sono in quadratura di fase. Questo comportamento non deve
sorprendere, in quanto dipende dal doppio piano di simmetria del circuito,
come già ampiamente dimostrato nei paragrafi 2.4.2 e 5.1.
Rimane ora da ricavare i valori che devono assumere Z0p e θ per ottenere le prestazioni desiderate. Dato che adattamento e isolamento sono già
stati ottenuti mediante il ragionamento appena fatto, l’unico parametro che
rimane da imporre è il coefficiente di accoppiamento C definito in (5.2). Per
capire meglio la dipendenza di C dai parametri incogniti, è utile una rappresentazione grafica. Se, infatti, si fissa un valore di Z0p > 1 e si grafica il
coefficiente di accoppiamento C in funzione di θ si ottiene un grafico come
quello di fig. 5.9.
Figura 5.9: Coefficiente di accoppiamento C in funzione di θ
Come si vede, l’andamento è periodico con dei picchi per valori di θ =
(2n − 1)π/2 con n = 1, 2, . . .. Questo ci dice che l’accoppiatore non potrà
avere una banda infinita, ma sarà limitato dalla caratteristica periodica tipica
delle linee di trasmissione.
Tali lunghezze consentono quindi la massimizzazione dell’accoppiamento e
la minimizzazione della sua sensibilità rispetto alle variazioni della lunghezza
elettrica, in quanto in questi punti la derivata di C si annulla. Tra tutti
i possibili valori, sicuramente la scelta più opportuna è θ = π/2 (o λ/4 di
lunghezza fisica), per ridurre al minimo le dimensioni dell’accoppiatore e
massimizzarne la banda.
Trovata la lunghezza elettrica dei tratti di linea, il valore Z0p verrà quindi fissato in base all’accoppiamento desiderato. Infatti, per θ = π/2, il
parametro s31 diventa puramente reale e vale:
s31 =
Z0p −
Z0p +
1
Z0p
1
Z0p
=
2
Z0p
−1
2
Z0p + 1
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
182
5.3. ACCOPPIAMENTO DISTRIBUITO
quindi:
q
31
Z0p = 1+s
1−s31
Z0d = 1/Z0p
(5.25)
dove è stato considerato il solo valore positivo, dato che è l’unico fisicamente possibile.
A questo punto si hanno a disposizione i valori che devono assumere
le impedenze caratteristiche pari e dispari. Il passo successivo consiste nel
ricavare le dimensioni fisiche, ovvero la distanza tra le linee e la larghezza
delle piste stesse. In questo processo devono essere usate delle formule o dei
grafici dipendenti dalla tecnologia adottata (stripline, microstriscia, etc). Ad
esempio, nel caso della stripline si possono usare le formule fornite in [25].
ESERCIZIO
Progettare un accoppiatore in stripline con le seguenti caratteristiche:
- Costruzione in stripline con substrato di FR4 (ǫr = 4.4) e spessore
3.2mm complessivi
- Coefficiente di accoppiamento C = 10dB
- Frequenza di centro banda 1.8 GHz
- Impedenza caratteristica delle linee di alimentazione 50 Ω
5.3.1
Accoppiamento distribuito broad-side
Le linee accoppiate secondo la figura 5.2 vengono dette linee accoppiate
narrow-side (o edge-coupled), dato che le linee vengono avvicinate sul loro lato stretto. Questa topologia consente di ottenere degli accoppiamenti
relativamente bassi, ma è facilmente realizzabile perché puramente planare,
sia che si consideri la stripline che la microstriscia. Se si desidera realizzare un
accoppiatore da 3 dB o 6 dB, la soluzione proposta non è più buona, avendo
la necessità di avvicinare molto le linee, creando problemi nella realizzazione
meccanica del dispositivo.
Una possibile soluzione è quella di avvicinare le linee sul loro lato largo (o
broad-side) (fig. 5.10). In questa configurazione, l’accoppiamento tra le due
linee è sicuramente maggiore, essendo maggiore la mutua capacità tra esse.
La soluzione proposta ha, tuttavia, una controindicazione che riguarda
la realizzazione fisica del dispositivo. Infatti, il dispositivo non è più puramente planare, ma si sviluppa su più piani. Il problema può essere risolto
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 5. ACCOPPIATORI DIREZIONALI
183
Figura 5.10: Linee accoppiate broad-side
realizzando l’accoppiatore come componente a sé stante da inserire poi nel
circuito finale.
La progettazione segue esattamente il procedimento visto, l’unica differenza consiste nell’utilizzare delle formule diverse per legare le impedenze
pari/dispari alle dimensioni delle piste e alla loro distanza [26].
5.4
Branch-line coupler o ibrido a 90◦
L’accoppiatore Branch-line (fig. 5.11) è un dispositivo molto usato in tecnologia planare, essendo relativamente semplice da realizzare. Esso usa un
meccanismo di accoppiamento in prima approssimazione concentrato, dato
che avviene solo in corrispondenza delle giunzioni tra le linee.
Figura 5.11: Accoppiatore Branch-line
La lunghezza elettrica θ dei tratti di linea è la stessa ed è pari a π/2,
mentre le impedenze caratteristiche (o le ammettenze che in questo caso
sono più comode da usare) sono diverse, pur se scelte in modo da mantenere
la doppia simmetria del sistema. Da un punto di vista qualitativo, se si eccita
la porta 1 è possibile ottenere l’annullamento dell’uscita alla porta 2 oppure
alla porta 4. In fig. 5.12 sono evidenziati i percorsi seguiti dalle onde che si
propagano nel dispositivo. Sia nel caso in cui si considera l’uscita alla porta
2 (fig. 5.12b) che l’uscita alla porta 4, il segnale uscente è la combinazione di
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
184
5.4. BRANCH-LINE COUPLER O IBRIDO A 90◦
due segnali che percorrono due tratti di linea la cui differenza di lunghezza
elettrica è pari a π, quindi si sommano in controfase. Quale delle due porte sia
quella isolata dipende unicamente dai valori delle ammettenze caratteristiche
dei tratti di linea.
Il discorso fatto è molto qualitativo, però ci aiuta a capire una proprietà
molto importante. L’isolamento di una porta si ha solo ad una data frequenza, ovvero alla frequenza alla quale i tratti di linea sono lunghi π/2.
Allontanandosi dalla frequenza di centro banda l’isolamento diminuisce e,
per quanto detto sui circuiti quattro porte, peggiorerà anche l’adattamento
alla porta d’ingresso.
Figura 5.12: Percorsi dei segnali nel branch-line
L’analisi del dispositivo può essere quindi sviluppata usando le eccitazioni
pari e dispari come visto nell’accoppiatore distribuito, sfruttando il piano di
simmetria indicato con A in fig. 5.11. Come già visto in precedenza, nel caso
di eccitazione pari (+1/2; +1/2) il piano di simmetria è un muro magnetico,
mentre nel caso di eccitazioni dispari (+1/2; −1/2) il piano di simmetria è
una muro elettrico.
I circuiti equivalenti nei due casi sono riportati in fig. 5.13. La distanza
dei tratti di linea paralleli ci consente di trascurare il cross-talk, lasciando
invariate le ammettenze caratteristiche dei tratti di linea e semplificando
notevolmente l’analisi.
Nel caso pari, si ha una cascata di uno stub aperto, un tratto di linea
ed un altro stub aperto. La matrice ABCD totale, con la normalizzazione
y0 = 1 è:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 5. ACCOPPIATORI DIREZIONALI
185
Figura 5.13: Circuiti equivalenti nei casi pari e dispari
"
1
0
θ
jYb tan 2 1
#"
cos θ
jYa sin θ
j
Ya
sin θ
cos θ
#"
1
0
θ
jYb tan 2 1
#
che si riduce a:
"
1 0
jYb 1
#"
j
Ya
0
jYa
0
#"
1 0
jYb 1
#

− YYab
=
Y2
jYa − j Yba
j
Ya
− YYab


Da queste è possibile ricavare i coefficienti di riflessione e trasmissione:
Γp =
Tp =
j (1−Ya2 +Yb2 )
−2Yb +j (1+Ya2 −Yb2 )
2Ya
−2Yb +j (1+Ya2 −Yb2 )
Nel caso dispari, si ha la cascata di uno stub in corto, un tratto di linea
e di nuovo uno stub in corto:
"
1
0
−jYb cot 2θ 1
#"
cos θ
jYa sin θ
j
Ya
sin θ
cos θ
#"
1
0
−jYb cot 2θ 1
#
che si riduce a:
"
1
0
−jYb 1
#"
0
jYa
j
Ya
0
#"
1
0
−jYb 1
#

=
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
Yb
Ya
Y2
jYa − j Yba
j
Ya
Yb
Ya


186
5.4. BRANCH-LINE COUPLER O IBRIDO A 90◦
Da queste è possibile ricavare i coefficienti di riflessione e trasmissione:
Γd =
Td =
j (1−Ya2 +Yb2 )
2Yb +j (1+Ya2 −Yb2 )
2Ya
2Yb +j (1+Ya2 −Yb2 )
I coefficienti di scattering della matrice completa possono essere quindi
trovati con:
s11
s21
s31
s41
=
=
=
=
Γp +Γd
2
Tp +Td
2
Tp −Td
2
Γp −Γd
2
L’adattamento in ingresso (s11 = 0) è possibile ottenerlo in due modi
diversi:
1 - se si pone Γp = −Γd 6= 0 è facile dimostrare che anche Tp = −Td ,
ottenendo isolamento alla porta 2;
2 - se si pongono singolarmente Γp = Γd = 0 si ottiene s41 = 0, quindi la
porta isolata è la 4.
Normalmente, la configurazione usata per questo accoppiatore è la seconda, la quale garantisce che le porte con uscita diversa da zero siano posizionate sul lato opposto rispetto all’ingresso. Imponendo quindi Γp = Γd = 0,
si ottiene:
1 − Ya2 + Yb2 = 0
(5.26)
Con la condizione 5.26 si ottiene:
Ya
s21 = −j 1+Y
2
b
Ya Yb
s31 = − 1+Y 2
(5.27)
b
Il rapporto tra le due ammettenze caratteristiche può essere poi determinato a partire dal coefficiente di accoppiamento che si vuole sintetizzare.
Un caso molto interessante si ha quando:
√
Ya = 2
(5.28)
Yb = 1
Con le condizioni (5.28), le (5.27) diventano:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 5. ACCOPPIATORI DIREZIONALI
187
s21 = −j √12
s31 = − √12
La matrice di scattering complessiva varrà:

1 

S = −√ 
2
0
j
1
0
j
0
0
1
1
0
0
j
0
1
j
0





Nella pratica, la configurazione più usata per il branch-line è proprio quest’ultima che consente di avere un divisore di potenza per 2 (o divisore a 3
dB), con uscite sfasate tra loro di 90◦ (da cui il nome ibrido a 90◦ ). Si fa notare come la realizzazione di un divisore di potenza per 2 tramite linee accoppiate comporterebbe, invece, grossi problemi realizzativi, in quanto le linee
dovrebbero essere molto vicine tra loro per via dell’elevato accoppiamento.
Per quel che riguarda il funzionamento in frequenza dell’ibrido a 90◦ , si
fa notare che per ottenere il funzionamento nominale i tratti di linea devono
essere lunghi λ/4, e ciò si ha ad una sola frequenza. E’ pur vero che il decadimento delle prestazioni non è repentino ma graduale, tuttavia questo limita
notevolmente la banda passante entro la quale adattamento ed isolamento
sono su livelli accettabili.
5.5
Rat-race coupler o ibrido a 180◦
L’ibrido a 180◦ è un altro accoppiatore direzionale facile da realizzare in tecnologia planare (fig. 5.14). Possiede alcune proprietà interessanti, e consente
di dividere il segnale in 2 (divisore a 3 dB) con o senza sfasamento delle
uscite, consente inoltre di effettuare la somma o la sottrazione di segnali.
Nella configurazione standard, i parametri valgono:
θ = π2
Ya = √12 Y0
Come si vede dalla figura 5.14, esiste un solo piano di simmetria del circuito. Effettuando le semplificazioni introdotte nel paragrafo 2.4.1 sfruttando
la reciprocità e il piano di simmetria, la matrice di scattering può essere
semplificata nel seguente modo:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
5.5. RAT-RACE COUPLER O IBRIDO A 180◦
188
Figura 5.14: Rat-race coupler




S=
s11
s12
s13
s14
s12
s11
s14
s13
s13
s14
s44
s34
s14
s13
s34
s44





(5.29)
Dato che i parametri di scattering da determinare sono sei, è necessario
applicare due volta l’analisi pari/dispari, la prima volta considerando come
ingresso la porta 1, la seconda considerando la porta 2. Per semplificare
l’analisi, si normalizzi il tutto rispetto alla ammettenza caratteristica delle
linee di ingresso, quindi Y0 = 1.
Considerando la porta 1 come ingresso, i circuiti che derivano dall’applicazione delle condizioni al contorno di muro magnetico e muro elettrico sono
mostrati in fig. 5.15.
Trascurando il cross-talk tra le linee, la matrice ABCD del caso pari sarà
la cascata dello stub aperto lungo π/4, del tratto di linea e dello stub aperto
lungo 3π/4, quindi:
"
1 0
jYa 1
#"
0
jYa
j
Ya
0
#"
1
0
−jYa 1
#
=
"
j
1
Ya
2jYa −1
#
Quindi i coefficienti di riflessione e trasmissione sono:
2
a)
Γp = −j 2Ya +j(1−2Y
1+2Ya2
2Ya
Tp = −j 1+2Y
2
a
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 5. ACCOPPIATORI DIREZIONALI
189
Figura 5.15: Circuiti usati nel caso pari (in alto) e nel caso dispari (in basso)
Analogamente nel caso dispari si ricava:
2
a)
Γd = j 2Ya −j(1−2Y
1+2Ya2
2Ya
Td = −j 1+2Y
2
a
I parametri di scattering del circuito completo, considerata la numerazione delle porte in fig. 5.14, sono:
s11
s12
s13
s14
=
=
=
=
Γp +Γd
2
Γp −Γd
2
Tp +Td
2
Tp −Td
2
√
Sostituendo Ya = 1/ 2, si vede immediatamente che Γp = −Γd , ovvero la
porta di ingresso risulta adattata. Inoltre, la porta 4 risulta isolata, essendo
Tp = Td . I parametri sono:
s11
s12
s13
s14
=0
= −j √12
= −j √12
=0
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
5.5. RAT-RACE COUPLER O IBRIDO A 180◦
190
Se si considera la porta 4 come porta di ingresso, i circuiti equivalenti da
analizzare sono riportati in fig. 5.16.
Figura 5.16: Circuiti usati nel caso pari (in alto) e nel caso dispari (in basso)
Nel caso pari la matrice ABCD della cascata dello stub lungo 3π/4, del
tratto di linea e dello stub lungo π/4 è:
"
1
0
−jYa 1
#"
0
jYa
j
Ya
0
#"
1 0
jYa 1
#
=
"
−1
2jYa
j
Ya
1
#
Quindi i coefficienti di riflessione e trasmissione sono:
2
a)
Γp = j 2Ya −j(1−2Y
1+2Ya2
2Ya
Tp = −j 1+2Y
2
a
mentre nel caso dispari i coefficienti sono:
2
a)
Γd = −j 2Ya +j(1−2Y
1+2Ya2
2Ya
Td = −j 1+2Y
2
a
I rimanenti parametri di scattering della matrice (5.29) possono quindi
essere ricavati:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 5. ACCOPPIATORI DIREZIONALI
s44
s34
s24
s14
=
=
=
=
191
Γp +Γd
2
Γp −Γd
2
Tp +Td
2
Tp −Td
2
√
Sostituendo Ya = 1/ 2 si ottiene:
s44
s34
s24
s14
=0
= j √12
= −j √12 = s13
=0
E’ ora possibile ricostruire la matrice di scattering (5.29) completa:

1 
S = −j √ 

2
0
1
1
0
1 1
0
0 0
1
0 0 −1
1 −1 0





(5.30)
Dall’analisi della (5.30) possono essere enunciate le seguenti proprietà:
1. Tutte le porte sono adattate;
2. Se si alimenta la porta 1, le uscite alle porte 2 e 3 sono uguali in modulo
e fase, mentre la porta 4 è isolata. Il dispositivo si comporta quindi
come un divisore di potenza a 3 dB;
3. Se si alimenta la porta 4, le uscite alle porte 2 e 3 sono uguali in
modulo ma di fase opposta, mentre la porta 1 è isolata. Quindi si ha
una divisione a 3 dB però con uscite sfasate di 180◦ ;
4. Se si alimentano le porte 2 e 3 alla porta 1 esce un segnale proporzionale alla somma degli ingressi, mentre alla porta 4 esce un segnale proporzionale alla differenza. Queste porte vengono anche indicate
rispettivamente come porta Σ e porta ∆.
5. L’ultima proprietà può essere sfruttata anche in un altro modo. In
particolare, se si applicano in ingresso alle porte 2 e 3 due segnali
uguali in modulo e fase, allora si avrà una uscita diversa da zero solo
alla porta 1. Se, invece, si applicano alle porte 2 e 3 due segnali uguali
in modulo ma opposti in fase, si avrà una uscita diversa da zero solo
alla porta numero 4.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
5.5. RAT-RACE COUPLER O IBRIDO A 180◦
192
Naturalmente la risposta è la stessa prendendo le porte speculari rispetto
al piano di simmetria.
Un’ultima nota riguarda il comportamento in frequenza. Come per l’ibrido a 90◦ il funzionamento nominale si ha solo alla frequenza per cui la
lunghezza elettrica θ = π/2, ovvero λ/4. Inoltre, essendo presente un tratto
di linea lungo 3λ/4, questo ha una variazione in frequenza più rapida degli
altri, limitando ancora di più la banda utile.
5.5.1
T-Magico
Esiste un equivalente del Rat-race coupler in guida d’onda ed è chiamato
T-Magico (fig. 5.17).
4
3
2
1
Figura 5.17: T-magico in guida d’onda
Esso è composto in sostanza da due giunzione a T (una sul piano H e
l’altra sul piano E) connesse tra di loro. Il piano di simmetria garantisce
che alimentando la porta 1 il segnale uscente alle porte 2 e 3 abbia lo stesso
modulo e fase, mentre alimentando la porta 4 le uscite sono in controfase.
L’isolamento tra le porte 1 e 4 viene ottenuto sfruttando il fatto che il T E10
per la porta 1 eccita principalmente il T E01 sulla porta 4 e viceversa. Se le
guide sono dimensionate opportunamente, tali modi T E01 sono sottotaglio,
garantendo isolamento almeno nella banda di monomodalità.
E’ da notare, tuttavia, che un siffatto dispositivo non è perfettamente
adattato alle varie porte (misurare per credere). Per ottenere trasmissione
completa di potenza è necessario, ad esempio, aggiungere degli adattatori almeno alle porte 1 e 4, questi saranno anche i responsabili del comportamento
in frequenza del T-magico.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 5. ACCOPPIATORI DIREZIONALI
5.6
193
Accoppiatori direzionali in guida d’onda
Gli accoppiatori direzionali possono essere realizzati anche in guida d’onda,
avvicinando tra loro le guide e praticando delle aperture sulla parete in comune. Esistono diverse realizzazioni pratiche, comprendendo la possibilità di
fare un’unica apertura o una schiera di piccoli fori. Inoltre, l’accoppiamento
può avvenire avvicinando le guide sia sul lato stretto che sul lato largo, con
meccanismi e prestazioni leggermente diversi.
Se si avvicinano due guide sul lato largo, è possibile ottenere un comportamento direttivo anche praticando una sola apertura tra queste. L’accoppiamento può infatti essere reso fortemente direttivo sagomando la regione
di accoppiamento in modo che nella guida secondaria vengano prodotte in
una direzione due onde uguali in modulo ma opposte in fase.
Il punto di partenza per capire tale filosofia è la doppia apertura inventata
da Saad e Riblet [37], fig. 5.18, che rappresenta un chiaro esempio di tale
meccanismo.
x
z
Figura 5.18: Meccanismo di accoppiamento mediante due sottili aperture
Infatti la sottile apertura trasversale rispetto all’asse della guida genera
nella guida secondaria due onde uguali in modulo e sfasate di 180◦ che si
propagano in direzioni opposte. D’altra parte, la sottile apertura longitudinale produce due onde uguali (in modulo e fase) che si propagano nel ramo
secondario in direzioni opposte. E’ allora possibile dimensionare e posizionare le due slots in modo tale che le due onde eccitate separatamente abbiano
uguale ampiezza. In tal caso le due onde si sommeranno in una direzione e si
cancelleranno nella direzione opposta. E’ importante notare che la larghezza
di banda di un siffatto accoppiatore è relativamente larga, non dipendendo
da fenomeni di risonanza. Lo stesso meccanismo vale quando le due slots
si fondono in un’unica apertura a sezione ellittica. Anche qui, variando eccentricità e posizione è possibile cancellare l’accoppiamento in una direzione
[38, 39], al punto che anche con slot circolari posizionate opportunamente si
riesce ad ottenere cancellazione dell’onda.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
194
5.6. ACCOPPIATORI DIREZIONALI IN GUIDA D’ONDA
E’ importante sottolineare come questo meccanismo funzioni solo quando
le guide sono avvicinate sul lato largo e non sul lato stretto. In quest’ultimo
caso, infatti, le onde eccitate nella guida accoppiata saranno sempre diverse
da zero.
Un ulteriore miglioramento lo si raggiunge impiegando una schiera di
aperture, spaziate in modo opportuno. Consideriamo due tratti di guida
rettangolare accoppiate attraverso due aperture ricavate dalla parete larga
comune, come mostrato in fig. 5.19.
4
Dk
Dk
Ck
Ck
3
d
1
2
Figura 5.19: Interferenza distruttiva tra due aperture
Vogliamo posizionarle in modo tale che la porta 3 risulti accoppiata mentre la porta 4 rimanga isolata, quando l’eccitazione è alla porta 1. Viceversa,
quando la porta 2 è eccitata, soltanto la porta 4 deve essere accoppiata. Se
Ck e Dk rappresentano la frazione del segnale accoppiato da ciascuna apertura rispettivamente con le porte 3 e 4, quando un’onda viaggia dalla porta 1
alla 2, allora l’ampiezza dell’onda complessivamente accoppiata con la porta
3 è data da:
A3 ≈ |(C1 + C2 )|
(5.31)
ovvero le onde alla porta 3 si sommano sempre in fase, indipendentemente
dalla distanza d. Alla porta 4 abbiamo invece:
A4 ≈ |(D1 + D2 e−j2βd )|
(5.32)
Dunque, nell’ipotesi che D1 ≈ D2 , C1 ≈ C2 , e 2βd = π, e cioè che le
aperture siano uguali e spaziate di λg /4, allora risulta A4 = 0. Quindi, la
struttura mostra di possedere, almeno a una frequenza, le caratteristiche che
stiamo cercando.
Il meccanismo di cancellazione dell’onda fa uso della tecnica chiamata
interferenza distruttiva, ovvero si fa in modo che due onde abbiano la stessa
ampiezza e si sommino in contro fase per ottenere l’annullamento. Ovviamente tale meccanismo funziona ad una frequenza e garantisce una larghezza
di banda molto più ridotta rispetto alle aperture direttive viste sopra. Nella
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 5. ACCOPPIATORI DIREZIONALI
195
progettazione di accoppiatori con guide avvicinate sul lato largo si sfrutta sia
la direttività intrinseca delle aperture sia l’interferenza distruttiva, permettendo il raggiungimento di prestazioni sicuramente più elevate rispetto agli
accoppiatori con guide unite sul lato stretto.
E’ evidente che il progetto di un accoppiatore che abbia elevato isolamento
sull’intera banda della guida d’onda è sicuramente molto più complicato e
richiede l’impiego di una schiera di aperture, come schematicamente illustrato
in fig. 5.20.
d
Figura 5.20: Accoppiatore direzionale realizzato mediante schiera di aperture
Nell’ipotesi in cui la potenza accoppiata da ciascuna apertura alla guida
secondaria sia piccola, assumendo che Cn e Dn siano i coefficienti di accoppiamento diretto e inverso dell’n-esima apertura e che inoltre le aperture
siano equi spaziate (d). Allora l’accoppiamento alla porta 3, B3 , calcolato in
corrispondenza dell’ultima apertura, vale:
B3 = Ae−jβN d
N
X
Cn
(5.33)
n=0
L’accoppiamento totale alla porta 4, B4 , calcolato in corrispondenza della
prima apertura, vale invece:
B4 = A
N
X
Dn e−j2βnd
(5.34)
n=0
Cosı̀ accoppiamento e direttività sono dati dalle formule [1]:
D = −C − 20 log |
N
X
n=0
N
X
Cn |
(5.35)
Dn e−j2βnd |
(5.36)
C = −20 log |
n=0
Bethe [40] ha mostrato che l’accoppiamento diretto e inverso fra due guide
d’onda attraverso un’apertura circolare di raggio rn , normalizzato rispetto al
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
196
5.6. ACCOPPIATORI DIREZIONALI IN GUIDA D’ONDA
lato maggiore della guida d’onda a, valgono rispettivamente: Cn = Tf rn3 e
Dn = Tb rn3 . I parametri Tf e Tb dipendono dagli altri parametri del problema:
Tf = Tf (a, b, d, th, f )
Tb = Tb (a, b, d, th, f )
dove a e b sono le dimensioni trasverse delle guide d’onda, d è il disassamento delle aperture, th è lo spessore della parete metallica di separazione
e f è la frequenza. La dipendenza da quest’ultima è comunque molto lenta.
Quando la parete che separa le due guide ha spessore nullo i coefficienti Tf e
Tb assumono una forma chiusa. In tal caso riscriviamo C e D come:
N
X
rn3 |
(5.37)
D = −C − 20 log | Tb | −20 log | F |
(5.38)
C = −20 log | Tf | −20 log |
n=0
3 −j2βN d
dove si è fatto uso del fattore di schiera F , definito come F = N
.
n=0 rn e
I raggi rn sono scelti in modo tale da ottenere C e D sulla banda prescritta,
analogamente a quanto accade per i trasformatori di impedenza e i filtri.
Come già visto per gli adattatori, una caratteristica di tipo Chebychev spesso
rappresenta il miglior compromesso tra prestazioni e numero di aperture.
Queste ultime sono scelte in modo da uguagliare i coefficienti del fattore di
schiera a quelli di un polinomio di Chebychev di ordine N, TN .
P
| F |=|
N
X
n=0
rn3 e−j2nθ |= K | TN (sec θm cos θ) | dove θ = βd
(5.39)
La frequenza di centro banda vale θ = π/2 e corrisponde a d = λg /4, θm è
il valore di βd agli estremi della banda. La costante positiva K è scelta per
garantire l’accoppiamento desiderato alla frequenza di centro banda:
C = −20 log K|Tf ||TN (sec θm )|
Quando θ = 0, F =|
dalla formula:
PN
3
n=0 rn
"
(5.40)
|=| TN (sec θm ) |. Pertanto, la direttività è data
#
T (sec θ ) Tf
π
N
m
D = 20 log
θ 6=
+ log Tb
TN (sec θm cos θ)
2
Tf
π
D = 20 log
+ log |TN (sec θm )| θ =
Tb
2
(5.41)
(5.42)
Si noti che, sebbene Tf /Tb dipenda dalla frequenza e dunque la caratteristica sia in principio diversa da quella di Chebichev, nondimeno tale deviazione è molto contenuta, proprio per via della lenta variazione di tale
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 5. ACCOPPIATORI DIREZIONALI
197
rapporto con la frequenza. Pertanto, nel caso di banda larga, tale contributo
è trascurabile nella banda dove βd = θm . Corrispondentemente,
D = Dm = 20 log |TN (sec θm )|
(5.43)
Conseguentemente, una volta fissate le specifiche dell’accoppiatore in termini
della frequenza di centro banda f0 , di larghezza di banda ∆f , accoppiamento
e direttività, la distanza d di separazione fra due discontinuità vale:
π
d=
(5.44)
2β(f0)
E’ immediato calcolare cos θm ≈ dβ(f0 ± ∆f ) e, dalla (5.43), il grado N del
polinomio di Chebychev che consente di ottenere le specifiche sulla direttività.
Si noti che a causa della non linearità di β(f ), cos θm è calcolabile soltanto
approssimativamente.
La costante K si ottiene dall’equazione (5.40)
K = 10−C/20 |Tf ||TN (sec θm )|
(5.45)
Una volta calcolati i coefficienti Tf , o attraverso un’analisi elettromagnetica o
per mezzo delle formule di Bethe, si deve soltanto uguagliare i coefficienti del
fattore di schiera a quelli di TN e calcolare i raggi delle aperture. Il progetto richiede un’ulteriore ottimizzazione basata su un’analisi elettromagnetica
rigorosa dell’intera struttura [41].
5.7
Misura riflettometrica
Il metodo riflettometrico consente di misurare il coefficiente di riflessione di
un carico. Il metodo fa uso di un accoppiatore direzionale, usato come fulcro
del sistema. In figura 5.21 è rappresentato schematicamente il setup del
banco di misura.
Il generatore, supposto perfettamente adattato, è connesso alla porta 2
dell’accoppiatore direzionale, il carico alla porta 1 e alla porta 3 è connesso
uno strumento che consente di misurare il segnale uscente. Se a questa porta
è connesso un dispositivo in grado di misurare solo il modulo del segnale
uscente, allora si otterranno solamente misure del modulo del coefficiente
di riflessione. Per la natura direttiva dell’accoppiatore, idealmente non c’è
accoppiamento diretto tra la porta 2 e la porta 3, quindi il segnale misurato
sarà solamente quello riflesso dal carico. Vediamo ora cosa succede nel caso
il cui l’accoppiatore direzionale venga considerato ideale.
Se l’accoppiatore direzionale è ideale, la sua matrice di scattering è del
tipo:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
198
5.7. MISURA RIFLETTOMETRICA
Strumento
3
G
2
1
D.U.T.
Figura 5.21: Misura riflettometrica


0 s12 s13

0 
S =  s12 0

s13 0
0
(5.46)
Per effettuare la misura del coefficiente di riflessione del carico è necessario
fare il rapporto tra il segnale riflesso da quello e il segnale che lo alimenta.
Supponiamo di misurare il segnale che alimenta il carico mediante il setup in
figura 5.22.
Strumento
3
G
1
2
D.U.T.
Figura 5.22: Misura del segnale incidente
Ebbene, il segnale misurato alla porta 3 è:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 5. ACCOPPIATORI DIREZIONALI
b3i = a1i s13
199
(5.47)
Ritornando al circuito di fig. 5.21, si misura il segnale riflesso, che vale:
b3 = a2 s12 s13 Γ
(5.48)
Dato che il generatore è sempre lo stesso si può porre a2 = a1i , quindi
facendo il rapporto delle quantità (5.48) e (5.47) si ottiene:
b3
= s12 Γ
b3i
ovvero un qualcosa di proporzionale al coefficiente di riflessione, dipendente dal coefficiente di accoppiamento del nostro accoppiatore, che risulta
sconosciuto. E’ chiaro che questo è il modo errato di agire. Un metodo molto
più efficace è proprio il metodo riflettometrico che utilizza lo stesso setup di
figura 5.21 per misurare anche il segnale incidente.
Per fare ciò è sufficiente sostituire al carico incognito un corto circuito,
che come sappiamo ha un coefficiente di riflessione pari a −1. In questo caso,
il segnale uscente dalla porta 3 è:
b3s = a2 s12 s13 (−1)
(5.49)
Quindi il coefficiente di riflessione del carico può essere facilmente ricavato, con segno invertito, facendo il rapporto tra le quantità (5.48) e
(5.49)
b3
= −Γ
b3s
(5.50)
Il metodo riflettometrico si basa proprio sul principio di lasciare invariato
il circuito con cui si fa la misura (generatore e accoppiatore direzionale) per
poter fare il rapporto del segnale misurato con il carico incognito e con un
carico con coefficiente di riflessione noto. Ovviamente, il corto circuito è
molto semplice da realizzare in guida o in coassiale, quindi conveniente da
utilizzare.
Da notare che questa procedura deve essere fatta frequenza per frequenza, dato che la risposta dell’accoppiatore, come di qualsiasi dispositivo a
microonde, varia con essa.
Nel caso in cui l’accoppiatore sia reale, ovvero con direttività finita e porte
non perfettamente adattate, la matrice di scattering vale:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
200
5.7. MISURA RIFLETTOMETRICA


s11 s12 s13


S =  s12 s22 s23 
s13 s23 s33
(5.51)
Pertanto il segnale misurato all’uscita del divisore vale:
b3
Γs12 s13
|Γ = (s23 +
)
(5.52)
a2
1 − Γs11
Essendo ancora Γ la riflettività incognita. Risolvendo rispetto a Γ, abbiamo:
Γ=
b3 a2 Γ
− s23
( ab32 |Γ − s23 )s11 + s12 s13
(5.53)
Dunque, per determinare Γ è necessario conoscere s23 , il prodotto s12 s13
e s11 . Per far ciò si devono eseguire 3 misure su altrettanti carichi noti.
In pratica abbiamo bisogno di fare una calibrazione del nostro strumento,
in maniera del tutto analoga a quanto presentato nel paragrafo 2.4.3. Vedere
l’analizzatore di reti come un accoppiatore direzionale è una modellizzazione
alternativa, ma alla fine del tutto equivalente, a quella del semplice due porte
presentata precedentemente.
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
Capitolo 6
Dispositivi passivi a microonde
In questo capitolo analizzeremo alcuni dispositivi passivi a microonde particolarmente importanti e frequentemente usati all’interno di sistemi più
complessi.
6.1
Divisori di potenza
Una classe di dispositivi a microonde molto importante è formata dai divisori
di potenza. Come dice il nome, essi sono responsabili di dividere la potenza in
ingresso e convogliarla verso due o più uscite. Se la potenza uscente alle varie
porte è la stessa il divisore viene detto bilanciato, altrimenti viene definito
sbilanciato. In pratica, gli accoppiatori direzionali, come abbiamo visto, sono
essi stessi dei divisori di potenza. Tuttavia ne esistono anche di altri tipi, che
possono essere utilizzati a seconda delle necessità del progettista.
Esempi molto semplici di divisori di potenza possono essere le giunzioni
a T in guida d’onda (fig. 6.1). Essi garantiscono che, alimentando la porta
1, la potenza uscente alle porte 2 e 3 sia la stessa. I segnali uscenti dalla
giunzione sul piano H sono in fase, mentre i segnali uscenti dalla giunzione
sul piano E sono in controfase.
Tali giunzioni, pur essendo bilanciate come uscite, non garantiscono affatto l’adattamento alla porta d’ingresso.
6.1.1
Divisore di Wilkinson
In un divisore con un ingresso e due uscite ciò che interessa veramente è
innanzitutto l’adattamento a tutte le porte e la trasmissione completa dall’ingresso verso le due uscite. Inoltre, interessa che le due porte di uscita siano
isolate tra loro, garantendo che il segnale eventualmente riflesso da un carico
201
202
6.1. DIVISORI DI POTENZA
Figura 6.1: Divisori a T in guida d’onda sul piano H (a sinistra) e sul piano
E (a destra)
non vada a finire nell’altra porta di uscita. Queste proprietà non possono
essere ottenute con un circuito tre porte reciproco, simmetrico e anche privo
di perdite. Per poter soddisfare le specifiche è necessario rilassare almeno
una di queste specifiche.
Il divisore di Wilkinson [24] è stato congegnato proprio avendo a mente
queste proprietà. Esso è un componente molto usato in microstriscia, data
la relativa facilità di realizzazione, ed è composto da una giunzione ad Y e
da una resistenza che connette le due porte di uscita (fig. 6.2). In generale
può essere un divisore ad N vie, anche sbilanciato, tuttavia in questa sede ci
occuperemo del caso più semplice, ovvero del divisore a 3 dB, rimandando il
lettore all’articolo originale per approfondimenti.
2
3
Z0
Z0
r
l/4
Z
Z
l/4
Z0
1
Figura 6.2: Divisore di potenza di Wilkinson (vista dall’alto)
Nel divisore a 3 dB la linea di ingresso di impedenza caratteristica Z0
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 6. DISPOSITIVI PASSIVI A MICROONDE
203
si divide in due linee di impedenza caratteristica Z e lunghezza λ/4. Dopo
questi tratti c’è una resistenza di valore r a cavallo delle due linee e una
transizione brusca verso le linee di uscita di nuovo di impedenza caratteristica
Z0 . Per semplificare l’analisi si supponga che la resistenza sia concentrata,
quindi di lunghezza nulla. Si supponga, inoltre, di normalizzare tutti i valori
di impedenza rispetto alla Z0 delle linee di alimentazione.
1
l/4
Z
Va
1
r
Vb 1
Z
l/4
1
l/4
Z
1
1
Z
l/4
Figura 6.3: Circuito equivalente con alimentazione applicata alla porta 1
Se si suppone di alimentare la porta 1, dato il piano di simmetria, i
potenziali Va e Vb in figura 6.3 sono uguali e di fatto non si ha alcuna corrente
che scorre nella resistenza r. Tale resistenza può quindi essere rimossa senza
influenzare il comportamento del circuito (fig. 6.3 in basso). L’impedenza di
ingresso sarà data quindi dal parallelo delle cascate dei tratti a λ/4 con la
resistenza di terminazione unitaria, quindi:
Zin = Z 2 //Z 2 =
Z 2Z 2
Z2
=
Z2 + Z2
2
Affinché tale valore siano unitario, garantendo quindi l’adattamento in
ingresso (s11 = 0), è necessario che sia:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
204
6.1. DIVISORI DI POTENZA
Z=
√
2
Essendo poi il circuito simmetrico e senza perdite, si può dimostrare che
i coefficienti di trasmissione verso le porte 2 e 3 sono:
−j
s21 = s31 = s12 = s13 = √
2
Per analizzare il comportamento del circuito quando è alimentata la porta
2 o 3 conviene sfruttare la simmetria ed effettuare un’analisi pari/dispari.
Prima di tutto conviene ridisegnare il circuito come in figura 6.4, in modo
da mettere meglio in evidenza quale saranno i circuiti da analizzare.
1
l/4
Z
2
r/2
2
Z
r/2
1
l/4
Figura 6.4: Divisore di potenza di Wilkinson
Applicando le eccitazioni pari e dispari in corrispondenza del piano di
simmetria si sostituisce un muro magnetico od un muro elettrico rispettivamente, quindi dal punto di vista circuitale si inseriscono dei circuiti aperti
o dei corto circuiti in tutte le connessioni che attraversano il piano stesso
(fig. 6.5).
Nel caso pari (fig. 6.5 in alto) la resistenza di valore r/2 può essere rimossa
in quanto non vi scorre corrente e l’impedenza di ingresso è:
Zinp =
Z2
=1
2
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 6. DISPOSITIVI PASSIVI A MICROONDE
205
1
l/4
Z
2
r/2
Muro magnetico
l/4
1
Z
2
r/2
Muro elettrico
Figura 6.5: Circuiti pari e dispari
quindi:
Γp =
Zinp − 1
=0
Zinp + 1
(6.1)
Nel caso dispari (fig. 6.5 in basso) la linea di trasmissione lunga λ/4 è chiusa in corto, quindi al suo ingresso si vede un circuito aperto, permettendone
la rimozione. Ciò che rimane è solo:
Zind = r/2
quindi:
Zind − 1
r/2 − 1
=
(6.2)
Zind + 1
r/2 + 1
I coefficienti di riflessione e trasmissione del circuito intero possono essere
ricavati tramite i coefficienti di riflessione pari e dispari (6.1) e (6.2):
Γd =
s22 = s33 =
s23 = s32 =
Γp +Γd
2
Γp −Γd
2
=
=
Γd
2
Γd
2
(6.3)
Per annullare i coefficienti di riflessione e di trasmissione in (6.3) deve
avvenire che Γd = 0, quindi:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
206
6.1. DIVISORI DI POTENZA
r=2
In definitiva, la matrice di scattering del circuito è:
√ 
√

0√ −j/ 2 −j/ 2

S=
0
0
 −j/ 2

√
−j/ 2
0
0
E’ interessante vedere il bilanciamento della potenza per questo tre porte.
Se si alimenta la porta 1, si ha:
|s11 |2 + |s21 |2 + |s31 |2 = |s21 |2 + |s31 |2 = 1
quindi tutta la potenza che entra viene trasmessa alle porte di uscita. Se,
invece, si alimenta la porta 2 (o equivalentemente la 3) si ha:
|s12 |2 + |s22 |2 + |s32 |2 = |s12 |2 = 1/2
evidenziando il fatto che solo metà della potenza entrante fuoriesce dal
dispositivo verso la porta 1. Il resto viene dissipato dalla resistenza r.
In conclusione, da quanto ricavato in questo capitolo, il divisore di Wilkinson, il Branch-line e il Rat-race consentono di di realizzare divisori a 3
dB in microstriscia. Tutti garantiscono l’adattamento delle varie porte, almeno alla frequenza di centro banda, e tutti garantiscono l’isolamento tra le
porte di uscita. La scelta di un circuito o di un altro dipende quindi solo
dallo sfasamento che si vuole avere tra le uscite, zero gradi, 90◦ oppure 180◦
rispettivamente.
ESERCIZI
1) Analizzare il circuito di fig. 6.6 e confrontarlo con il divisore di Wilkinson.
E’ adattato? Garantisce trasmissione completa considerando la porta 1 come
ingresso? Le porte di uscita sono isolate?
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
CAPITOLO 6. DISPOSITIVI PASSIVI A MICROONDE
1
1/3
1/3
1
1/3
1
Figura 6.6: Divisore resistivo
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
207
208
6.1. DIVISORI DI POTENZA
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
Appendice A
Relazioni vettoriali
209
210
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
Appendice B
Dimensioni standard delle
guide d’onda
Per permettere l’interoperabilità tra apparati di produttori diversi, le dimensioni trasverse delle guide d’onda sono state standardizzate.
B.1
Guide d’onda rettangolari
Lo standard EIA definisce la dimensioni trasversa delle guide d’onda rettangolari attraverso la nomenclatura WR-XX, dove il numero XX indica la
dimensione del lato largo in centesimi di pollice. La frequenza di taglio del
T E10 si riferisce a guide vuote o in aria, mentre l’intervallo di frequenza è
quello normalmente usato, tenuto conto del margine verso le frequenza di
taglio del T E10 e del T E20 .
211
212
B.1. GUIDE D’ONDA RETTANGOLARI
EIA
Dimensioni
Intervallo
WR-XX
(mm)
di frequenza
WR-650 165.1 x 82.55
1.12-1.70
WR-430 109.22 x 54.61
1.70-2.60
WR-284 72.14 x 34.04
2.60-3.95
WR-137 34.85 x 15.80
5.85-8.20
WR-112 28.45 x 12.62
6.58-10.0
WR-90 22.86 x 10.16
8.20-12.4
WR-75 19.05 x 9.525
9.84-15.0
WR-62
15.80 x 7.90
12.4-18.0
WR-51
12.95 x 6.48
14.5-22.0
WR-42
10.67 x 4.32
18.0-26.5
WR-28 7.112 x 3.559
26.5-40.0
WR-22
5.69 x 2.845
33.0-50.1
WR-15
3.759 x 1.88
50.0-75.0
WR-12 3.099 x 1.549
60.5-92.0
WR-10
2.54 x 1.27
75.0-110.0
Frequenza di
taglio T E10
0.908
1.372
2.078
4.301
5.269
6.557
7.874
9.486
11.58
14.047
21.081
26.34
39.863
48.37
59.010
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
Appendice C
Funzioni speciali
C.1
Polinomi di Chebyshev
I polinomi di Chebyshev sono utilizzati in molte applicazioni a microonde.
In particolare, come illustrato nei capitoli di questo libro, vengono sfruttati per realizzare risposte in frequenza equiripple, ovvero tali da avere delle
oscillazioni all’interno di un certo intervallo predeterminato.
I polinomi di Chebyshev sono definiti nel seguente modo:
Tn (x) = cos(n cos−1 x)
|x| ≤ 1
Tn (x) = cosh(n cosh−1 x) |x| > 1
(C.1)
Sul fatto che le (C.1) siano effettivamente dei polinomi, basta scriverne
alcuni in forma esplicita:
T0 (x) = 1
T1 (x) = x
T2 (x) = 2x2 − 1
T3 (x) = 4x3 − 3x
T4 (x) = 8x4 − 8x2 + 1
..
.
(C.2)
Tn (x) = 2xTn−1 (x) − Tn−2 (x)
dove l’ultima relazione consente di ricavare in maniera ricorsiva i polinomi
di ordine superiore.
Dall’esame delle (C.1) si vede che tali funzioni oscillano tra -1 a 1 per x che
si mantiene nell’intervallo [−1; 1], mentre divergono per x → ∞ (fig. C.1).
In particolare i polinomi di ordine dispari tendono a −∞ per x → −∞ e
tendono a +∞ per x → +∞. I polinomi di ordine pari tendono, invece, a
+∞ sia per x → −∞ che per x → +∞.
213
214
C.2. FUNZIONI DI BESSEL
5
T2
T4
4
3
2
1
0
-2
-1.5
-1
-0.5
-1
0
0.5
1
1.5
2
-2
T1
-3
T3
-4
-5
Figura C.1: Andamento dei polinomi di Chebyshev fino al grado 4
C.2
Funzioni di Bessel
L’equazione differenziale che descrive la propagazione in un messo a simmetria cilindrica è una equazione di Bessel [51]:
1 d df
n2
r + k2 − 2 f = 0
r dr dr
r
!
(C.3)
Quando k 2 è reale e positivo, l’equazione ammette due soluzioni indipendenti chiamati funzioni di Bessel di primo e di secondo tipo, rispettivamente
Jn (kr) e Yn (kr). Spesso ci si riferisce alle seconde anche come funzioni di
Neumann.
Jn (kr) =
Yn (kr) =
∞
X
(−1)m (kr/2)n+2m
m!(n + m)!
m=0
cos(nπ)Jn (kr) − J−n (kr)
sin(nπ)
dove n è l’ordine dell’equazione.
Valgono inoltre le seguenti relazioni:
J−n = (−1)n Jn
Y−n = (−1)n Yn
Gli andamenti per le funzioni con indice da 0 a 3 sono riportate nelle
figure C.2 e C.3.
Per valori grandi di kr entrambe le funzioni possono essere approssimate
mediante delle sinusoidi che si attenuano gradualmente:
Morini, Venanzoni, Rozzi, Farina - Microonde v.55
APPENDICE C. FUNZIONI SPECIALI
215
1
J0
0.8
J1
0.6
J2
J3
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
-0.2
-0.4
-0.6
Figura C.2: Andamento delle funzioni di Bessel di prima specie fino all’ordine
3
lim Jn (kr) =
r→∞
s
s
2
π nπ
cos kr − −
πkr
4
2
2
π nπ
lim Yn (kr) =
sin kr − −
r→∞
πkr
4
2
La combinazione di queste funzioni danno le funzioni di Hankel di prima
e di seconda specie, che possono essere usate per descrivere la propagazione
di fronti d’onda cilindrici:
Hn1 (kr) = Jn (kr) + jYn (kr)
Hn2 (kr) = Jn (kr) − jYn (kr)
Esiste una importante relazione, valida per tutte le funzioni introdotte
(Jn , Yn e entrambe le Hn ), che consente di ricavare da un lato le funzioni di
ordine superiore a partire da quelle di ordine inferiore e dall’altro le derivate
delle funzioni:
′
xFn (x) = nFn (x) − xFn+1 (x) = −nFn (x) + xFn−1 (x)
dove Fn è una delle funzioni.
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C.2. FUNZIONI DI BESSEL
Figura C.3: Andamento delle funzioni di Bessel di seconda specie fino
all’ordine 3
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