1) - DSEMS

ESERCIZI SULL’EQUILIBRIO ECONOMICO GENERALE
1) Definite precisamente e sinteticamente le seguenti nozioni:
a) efficienza secondo Pareto
b) legge di Walras
2) Un’economia è popolata da due soli individui, A e B, e dispone in dotazioni
fisse di due beni, x e y. In particolare, le dotazioni complessive, x e y , di questi
due beni sono identiche ed entrambe pari a una quantità Z. Costruite la curva
dei contratti di questa economia, sapendo che la funzione di utilità dei due
individui rispetto a questi due beni è anch’essa identica e data da:
U  x , y  A ,B  ln x  ln y
3) Enunciate e discutete le proprietà di efficienza nel consumo, efficienza nella
produzione ed efficienza nell’allocazione, che caratterizzano l’equilibrio
economico generale concorrenziale.
4) Esponete con un esempio, e commentate, la legge di Walras.
5) Si consideri un’economia di puro scambio, con due beni, x e y, e due agenti, A
e B. Entrambi gli agenti sono caratterizzati dalla funzione di utilità
U x, y   log x  2 log y .
L’agente A dispone di una dotazione iniziale x A  9, y A  3 ; l’agente B di una
dotazione xB  12, yB  6 .
a)
b)
Scrivete l’espressione della curva dei contratti
Calcolate il prezzo di equilibrio.
6) Si consideri un’economia walrasiana di puro scambio con due individui, A e B,
le cui funzioni di utilità sono rappresentate da:
U A  xA yA
e
U B  xB y B
e le cui dotazioni iniziali sono rispettivamente x A  100 , y A  300 ; xB  300 ,
y B  100 .
Determinate:
a)
la curva dei contratti
b)
le funzioni di eccesso di domanda individuali
c)
il prezzo di equilibrio generale
d)
le allocazioni di equilibrio
7) Si consideri un’economia walrasiana di puro scambio con due individui, A e B,
le cui funzioni di utilità sono rappresentate da:
U A  ln x A  ln y A
U B  ln xB  ln y B
e
e le cui dotazioni iniziali sono rispettivamente x A  50 ,
y B  50 .
Determinate:
a)
la curva dei contratti;
b)
le funzioni di eccesso di domanda individuali;
c)
il prezzo di equilibrio generale;
d)
le allocazioni di equilibrio.
y A  150 ; xB  150 ,
8) Si consideri un’economia di puro scambio, con due consumatori, A e B, e con
due beni, x e y. Il saggio marginale di sostituzione di A è TMS A  
dy A
yA
,

dx A 2 x A
dy B 3 y B
mentre quello di B è TMS B   B  B . Nell’economia vi è una quantità
dx
x
complessiva del bene x pari a x  90 e del bene y pari a y  40 . Il consumatore
A possiede inizialmente tutto il bene x, mentre il consumatore B possiede
inizialmente tutto il bene y. Determinate l’equilibrio concorrenziale di questa
economia (ossia il prezzo e le allocazioni di equilibrio).
9) Enunciate e commentate i due teoremi fondamentali dell’economia del
benessere.
10)
In un’economia di puro scambio in cui operano due soli agenti, A e B,
sono disponibili due beni, x e y. Le funzioni di utilità dei due agenti sono:

U A  xA yA
1 
e

U B  xB y B
1
Prima che gli scambi abbiano luogo l’agente A detiene l’intero ammontare
disponibile nell’economia del bene x, che ipotizziamo pari a 1; l’agente B
detiene l’intero ammontare del bene y, che ipotizziamo anch’esso pari a 1.
Calcolate il prezzo relativo dei due beni in equilibrio.
11)
In un’economia con due soli beni, x e y, e p y  1 , l’eccesso complessivo
di domanda del bene x sia dato da:
x̂  3 p x2  2 p x  p x3
a) Determinate l’eccesso di domanda del bene y.
b) Definite l’equilibrio e mostrate che il prezzo di equilibrio non è unico.
12)
a)
b)
c)
d)
Rappresentate in una scatola di Edgeworth:
una situazione nella quale la dotazione complessiva dei due beni è
identica;
una situazione in cui la dotazione iniziale dei due individui è
identica per entrambi i beni;
una situazione in cui la dotazione iniziale di un individuo
comprende l’intera dotazione complessiva del bene x;
l’insieme delle allocazioni Pareto-efficienti.
13)
In un’economia popolata da due individui, A e B, la dotazione
complessiva del bene x è pari a 200 e quella del bene y è pari 100. Gli individui
sono caratterizzati da un’identica funzione di utilità:
U x , y   xy
a) Determinate l’equazione della curva dei contratti.
b) Calcolate il prezzo relativo di equilibrio generale se nella situazione iniziale
l’individuo A detiene tutta la dotazione complessiva del bene x e l’individuo B
tutta la dotazione del bene y.
14)
In un’economia di puro scambio, le funzioni di utilità degli individui A e
B sono rispettivamente:
U A  xA y A , U B  2 xB yB
La dotazione complessiva del bene x è di 6 unità, quella del bene y di
altrettante 6 unità. L’allocazione iniziale è la seguente: A xA , yA    2,3 ,
B  xB , yB    4,3
a) Calcolate i tassi marginali di sostituzione dei due individui e stabilite se
l’allocazione iniziale è Pareto-efficiente.
b) Scrivete il vincolo di bilancio dei due individui
c) Calcolate la domanda di x espressa dall’individuo A e dall’individuo B
d) Calcolate il prezzo che garantisce l’equilibrio sul mercato del bene x e
spiegate perché esso deve garantire anche l’equilibrio sul mercato del
bene y.
15)
Due individui, A e B, hanno le stesse preferenze, descritte dalla funzione
di utilità:
Ui  xi , yi   ln xi  ln yi
i  A, B
L’individuo A dispone di una dotazione iniziale di 10 unità di x e di 8 unità di
y, mentre l’individuo B dispone di 5 unità di x 4 unità di y.
(a) Costruite una scatola di Edgeworth che rappresenti la distribuzione delle
risorse tra questi due individui e individuate l’allocazione iniziale.
(b) Scrivete il TMS
(c) Scrivete il vincolo di bilancio di A e quello di B: calcolate la domanda
complessiva espressa da A e B per il bene x; calcolate il prezzo relativo che
eguaglia domanda complessiva e offerta complessiva del bene x
(d) Perché non è necessario calcolare il prezzo che eguaglia domanda e
offerta del bene y?
16)
Considerate un’economia composta da due individui, A e B, e in cui
esistono solo due beni, x e y. Il primo individuo ha una dotazione xA = 1 e yA
= 0, il secondo ha una dotazione xB = 0 e yB = 1. Le preferenze di A sono
descritte dalla funzione di utilità
U A  x 0A.5 y 0A.5
mentre le preferenze di B sono sintetizzate dalla funzione
U B  x B0.8 y B0.2
a)
b)
c)
d)
Scrivete il vincolo di bilancio dei due individui
Calcolate le funzioni di eccesso di domanda per i due beni
Verificate la legge di Walras
Calcolate il prezzo relativo di equilibrio economico generale
17)
Un’economia dispone di una dotazione pari a 1 del bene x e di una
dotazione pari 1 del bene y. Il bene x è detenuto esclusivamente dall’individuo
A, il bene y dall’individuo B. L’individuo A ha preferenze descritte dalla
funzione di utilità:
U A x, y   xy
mentre le preferenze dell’individuo B sono
U B x, y   x  y
a)
Disegnate la statola di Edgeworth di questa economia, individuando il
punto delle dotazioni iniziali.
b)
Calcolate analiticamente l’espressione della curva dei contratti e
disegnatela in modo appropriato.
18)
Due consumatori, A e B, dispongono delle seguenti dotazioni dei beni x
e y:
Consumatore A: xA , y A
Consumatore B: xB , yB
Utilizzando il vincolo di bilancio di questi consumatori, dimostrate la Legge di
Walras.
19)
Offrite una semplice dimostrazione della Legge di Walras
20)
In un sistema economico di puro scambio in cui sono disponibili due soli
beni, il bene x e il bene y, i due agenti A e B sono caratterizzati dalle seguenti
funzioni di utilità:
U A  xA , y A   xA1 4 y A3 4 , U B  xB , yB   xB1 2 yB1 2
L’agente A dispone esclusivamente di 10 unità del bene x, mentre l’agente B
dispone di sole 20 unità del bene y. Determinate il prezzo relativo di equilibrio
che si stabilisce in questa economia e l’allocazione finale dei due beni tra i due
individui.
21)
Considerate un’economia con due soli beni, x e y, e popolata da due soli
individui, A e B, caratterizzati dalle seguenti preferenze:
A: U A  xA , yA   xA  yA
B: U B  xB , yB   ln xB  ln yB
Entrambi gli individui dispongono di una dotazione iniziale di 1 unità di
ciascun bene
a)
Rappresentate in una appropriata scatola di Edgeworth (di cui avrete
precisato le dimensioni) le preferenze di A;
b)
Data la struttura delle preferenze di A, disegnate la curva dei contratti;
c)
Ritenete che in questo sistema, date le dotazioni iniziali, gli agenti
intraprenderanno degli scambi? Giustificate la vostra risposta.
d)
Qual è pertanto il prezzo di equilibrio?
22)
Si determini l’allocazione di equilibrio di un’economia in cui esistono
due soli beni x e y e due soli individui, A e B, le cui preferenze sono
rispettivamente UA (x,y) = x1/2 y1/2 e U B (x,y) = x1/3 y2/3. A dispone inizialmente
di 50 unità di x, mentre B dispone di 300 unità di y. Successivamente si
verifichi che l’allocazione di equilibrio soddisfa il Primo Teorema
Fondamentale dell’Economia del Benessere.
23)
In un’economia di puro scambio, con due individui A e B, e due beni x e
y, le funzioni di utilità dei due individui sono rispettivamente:
U A  xA , y A   xA y A
U B  xB , yB   2 xB yB
Inizialmente A dispone di 2 unità di x e di 3 unità di y; B dispone di 4 unità di x
e di 3 unità di y. Pertanto nell’economia la dotazione complessiva è di 6 unità
di x e di 6 unità di y. (a) Stabilite se l’allocazione iniziale delle risorse è Paretoefficiente. (b) Calcolate il prezzo relativo di equilibrio e l’allocazione finale di
equilibrio.