Controllo di velocità angolare
di un motore in CC
Descrizione generale
Il processo è composto da un motore in corrente continua, un sistema di riduzione, una
dinamo tachimetrica ed un sistema di visualizzazione.
L’ingresso del sistema coincide con la tensione applicata ai morsetti di armatura del
motore in CC, mentre l’uscita da controllare è la velocità angolare dell’asse del motore
opportunamente ridotta da un sistema di ruote dentate che effettuano una riduzione di
50:1. L’uscita viene misurata attraverso una dinamo tachimetrica.
Per motivi di sicurezza, nonostante il motore possa essere alimentato ad una tensione
nominale di ±24 Volt, la massima tensione applicabile è stata limitata a ±5 Volt.
Figura 1: Foto del motore in CC.
g replacements
Modello Matematico
ia
Sarà adesso descritto il modello generale di un motore in continua, con particolare attenzione al modello del motore con comando in armatura, come quello in questione.
Modello di un motore elettrico (con parametri parassiti)
Ra
La
ip
i
ie
Re
va
ve
+
e
Le
Rp
E
=
kΦω
C
=
kΦI
Ia
=
I + Ip
Va
=
E + (Ra + s La ) Ia
Ve
=
(Re + s Le ) Ie
Ip
=
E
Rp
Φ
'
Ke Ie
C
=
Cr + ω(β + s J)
Figura 2: Modello del motore in CC.
Di seguito viene riportata la rappresentazione in schemi a blocchi del sistema in Figura 2
rag replacements
nel caso di comando in armatura.
E’ possibile evidenziare i segnali di interesse:
- Comando=Va (tensione di armatura)
- Disturbo=Cr (coppia resistente)
- Variabile controllata=ω (velocità angolare)
- Flusso=Φ costante
Cr
va
+
−
1
Ra + sLa
ia
i
−
kΦ
−
C
+
1
β + sJ
ip
E
Rp−1
kΦ
Figura 3: Schema a blocchi di un motore con comando in armatura.
ω
Ponendo βc , β + k 2 Φ2 Rp−1 è possibile semplificare il modello di Figura 3 come segue:
Cr
va
+
−
−
ia
1
Ra + sLa
kΦ
1
βc + sJ
+
ω
E
kΦ
Figura 4: Schema a blocchi semplificato di un motore con comando in armatura.
PSfrag 5replacements
In Figura
viene illustrato il modello del motore con un carico applicato.
ia
va
Cω
β
Cr
Figura 5: Modello del motore con carico applicato.
In Tabella 1 sono riportati alcuni parametri fisici relativi al processo in questione.
Tensione nominale
24 V
Induttanza di armatura (La )
2.8 mH
Resistenza di armatura (Ra )
5.5 Ω
Costante di coppia del motore
0.046 N m/A
Velocità nominale
4000 RP M
Tensione di soglia
± 2.3 V
Massima tensione applicabile
±5V
Tabella 1: Parametri fisici del motore in CC.
Determinazione della funzione di trasferimento
Dalla Figura 4 è possibile ricavare la funzione di trasferimento tra la tensione di armatura
e la velocità angolare.
Siano V (s) e Ω(s) rispettivamente la trasformata di Laplace della tensione di armatura e
della velocità angolare dell’asse del motore, risulta
G(s) =
Ω(s)
Km
=
2
V (s)
(Ra + s La )(βc + s J) + Km
(1)
dove Km , KΦ.
La (1) presenta 2 poli, e può essere riscritta come segue:
G(s) =
K
Ω(s)
=
V (s)
(1 + T1 s)(1 + T2 s)
(2)
A causa degli attriti statici presenti sul sistema, risulta che tensioni |V | ≤ 2.3 Volt non
producono alcun effetto sull’uscita.
Inoltre, per ragioni di sicurezza, la tensione di ingresso è limitata tra -5 e 5 Volt.
Considerando la presenza della soglia e della saturazione sull’ingresso, la relazione tra
ingresso ed uscita può essere riscritta come segue:
Ω(s) =
¡
1+
0
1
10
4
¢¡
s 1+
se |V | ∈ [0 , 2.3]
1
2000
s
¢ V (s)
se |V | ∈ [2.3 , 5]
dove i valori numerici sono stati ricavati mediante un processo di identificazione.
E’ opportuno precisare che la tensione di ingresso V è espressa in Volt, mentre la velocità
angolare ω è espressa in giri al minuto (RPM).
Valutazione degli errori a regime stazionario
Errore di inseguimento al gradino
Poiché il sistema è di tipo 0, chiudendo tale sistema in retroazione con un controllore
puramente proporzionale C(s) = Kc (vedi Figura 6), l’errore di inseguimento a regime
sarà finito. Infatti, sia Kg il guadagno di Bode di G(S) e sia Ks l’ampiezza del gradino
replacements
diPSfrag
riferimento,
dal teorema del valore finale l’errore a regime risulterà:
estep (∞) = lim s
s→0
R
E
1
Ks
Ks
=
1 + Kc G(s) s
1 + K c Kg
C(s)
U
G(s)
(3)
Y
Figura 6: Diagramma a blocchi di un sistema in retroazione unitaria.
Esperienza: effettuare un’esperienza pratica valutando l’errore a regime per diversi valori
di Kc (es. Kc = 1, 2, 5, 10, 100) e confrontando i risultati sperimentali con quelli teorici.
Suggerimento: la presenza della soglia sull’ingresso impone che il gradino di riferimento
non sia troppo piccolo al fine di evidenziare correttamente l’errore di inseguimento.
Suggerimento: poiché il segnale in uscita y(t) presenterà delle oscillazioni ad alta frequenza, può essere opportuno renderlo più “dolce” al fine di semplificare le operazioni di analisi. A tal fine, una volta scaricato il file contenente la dinamica completa
dell’esperimento, sarà possibile utilizzare i seguenti comandi Matlab:
% definiamo la forma del filtro passa-basso
lp_filter=tf(1,[0.05 1]);
\% applichiamo il filtro al segnale di uscita
Output_smooth=lsim(lp_filter,rt_Output,rt_Time);
Errore di inseguimento alla rampa
Con il controllore puramente proporzionale realizzato in precedenza verificare che l’errore
di inseguimento alla rampa lineare risulta infinito. A tal fine si consiglia di applicare una
rampa di pendenza opportuna (es. 0.25 RPM/sec).
Kc
. In questo caso l’errore di
s
inseguimento alla rampa lineare (di pendenza Kr ) sarà finito e pari a:
Applicando un polo in 0 nel controllore avremo C(s) =
eramp (∞) = lim s
s→0
1
1+
Kc
s
Kr
Kr
=
Kc Kg
G(s) s2
(4)
Esperienza: effettuare un’esperienza pratica valutando l’errore a regime di inseguimento
della rampa per diversi valori di Kc (es. Kc = 1, 2, 5, 10, 100) e confrontando i risultati
sperimentali con quelli teorici.
Esperienza: verificare che l’errore di inseguimento a regime di un gradino risulta essere
nullo indipendentemente dal valore di Kc .
Valutazione delle specifiche nel transitorio
Valutazione delle specifiche temporali
Sia C(s) =
Kc
e sia Kc fissato arbitrariamente (es. Kc = 0.2).
s
Esperienza: eseguire un esperimento di inseguimento al gradino di ampiezza prescelta
(es. 15) e valutare i seguenti indici di prestazione:
• Tempo di salita (ts )
• Tempo di assestamento al 2% (ta )
• Tempo di assestamento al 5% (ta )
• Sovraelongazione massima percentuale (ŝ/100)
Step Response
1.5
1 + ŝ
n
1
Amplitude
1±ε
PSfrag replacements
0.5
0
0
ts tm
5
10 t
a
15
20
Time (sec)
Figura 7: Parametri caratteristici della risposta a gradino.
25
Valutazione delle specifiche in frequenza
Denotiamo con G(s) = C(s)·G(s) la cascata del controllore con l’impianto. Sarà possibile
valutare la banda passante ed il picco di risonanza del sistema nominale mediante la carta
di Nichols (o equivalentemente mediante il diagramma di Bode dell’anello chiuso).
Esperienza: effettuare una esperienza che verifichi se la banda passante reale coincide
con quella calcolata teoricamente. A tal fine applicare un riferimento sinusoidale con
√
pulsazione pari alla banda passante, e verificare che l’ampiezza dell’uscita sia pari a 1/ 2
volte quella in ingresso.
Esperienza: nel caso che il sistema ad anello chiuso presenti un picco di risonanza,
verificare sperimentalmente la presenza di tale picco applicando in ingresso una sinusoide
con pulsazione pari a quello di picco, e verificare l’eventuale amplificazione dell’ampiezza
del segnale di uscita.
Esercizio di sintesi di un controllore
Data la seguente funzione di trasferimento determinata sperimentalmente
G(s) =
Ω(s)
=
V (s)
¡
0
1+
1
10
se |V | ∈ [0 , 2.3]
4
¢¡
s 1+
1
2000
s
¢
se |V | ∈ [2.3 , 5]
progettare un controllore C(s) per il controllo di velocità del motore in CC, tale che:
• Errore di inseguimento alla rampa di pendenza 0.25 (a regime) er ≤ 0.5
PSfrag replacements
• Tempo di salita ts ≤ 0.25 secondi
• Sovraelongazione massima ŝ ≤ 10%
R
E
C(s)
V
G(s)
Y =Ω
Verificare le specifiche temporali sul transitorio applicando come riferimento un gradino
di ampiezza 15.
Valutare inoltre i seguenti indici di prestazione nel dominio del tempo:
• Tempo di assestamento al 2% (t2%
a )
• Tempo di assestamento al 5% (t5%
a )
Calcolare approssimativamente i seguenti indici di prestazione in frequenza:
• Banda passante (Bw )
• Picco di risonanza (Mr )
Paragonare i risultati ottenuti con quelli determinati analiticamente sulla base del modello
del sistema dato.
