Dinamica
STUDIA IL MOTO DEI CORPI IN RELAZIONE ALLE CAUSE CHE
LO PRODUCONO.
DINAMICA DEL PUNTO
MATERIALE
DINAMICA DEI SISTEMI DI
PUNTI MATERIALI
Entrambi i casi prevedono lo studio della STATICA
(condizioni per cui un corpo è in quiete)
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1
CI OCCUPEREMO DI DINAMICA CLASSICA (Galileo e Newton)
VELOCITÀ PICCOLE RISPETTO
ALLA VELOCITÀ DELLA LUCE
DIMENSIONI GRANDI RISPETTO
A QUELLE ATOMICHE
ALTRIMENTI
SI DEVE INTRODURRE LA
RELATIVITÀ
ALTRIMENTI
SI DEVE INTRODURRE LA
MECCANICA QUANTISTICA
OCCORRE RIFORMULARE
SOLO IL SECONDO
PRINCIPIO DELLA DINAMICA
IL CONCETTO DI DINAMICA
CAMBIA COMPLETAMENTE
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2
PRINCIPIO ZERO DELLA DINAMICA
(DI RELATIVITÀ)
SE DUE LABORATORI SI MUOVONO DI MOTO RELATIVO
TRASLATORIO RETTILINEO UNIFORME NON ESISTE UN
ESPERIMENTO (DI MECCANICA) CHE DIA RISULTATI DIVERSI
NELL’UNO E NELL’ALTRO LABORATORIO.
I DUE LABORATORI NON SONO DISTINGUIBILI
Per la validità di questo principio non è necessario che valga il
principio di INVARIANZA, ma deve valere il principio di
COVARIANZA
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3
COVARIANZA E INVARIANZA
COVARIANZA DELLE LEGGI FISICHE
I due membri di una equazione fisica devono essere covarianti
passando da un sistema di riferimento a un altro che si muova
rispetto al primo di moto traslatorio rettilineo ed uniforme.
Non è necessario che la misura delle varie grandezze fisiche sia la
medesima nei due laboratori. È però importante che le relazioni fra
le grandezze fisiche siano le stesse.
INVARIANZA DELLE LEGGI FISICHE
Corrisponde al caso in cui ciascuno dei due membri di un’equazione
fisica resti immutato passando da un sistema all’altro.
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4
DEFINIZIONE STATICA DI FORZA
Una forza può essere misurata tramite un dinamometro
F
20
0
15
5
10
10
5
15
0
20
Un dinamometro a
deformazione è una
molla tarata.
Il suo estremo deve
essere vincolato a un
punto fisso.
La taratura viene
eseguita attraverso
una forza campione.
Utilizzando un filo inestensibile
di massa trascurabile e una
carrucola priva di attrito (caso
ideale), possiamo cambiare la
direzione di una forza senza
variarne il modulo.
F
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5
Se consideriamo il caso in figura possiamo
osservare che, forze applicate nello stesso
20
15
punto e aventi direzioni diverse, sono
10
equivalenti a una forza risultante ricavabile
5
con la regola del parallelogrammo.
0
F1 F 2
LE FORZE SONO GRANDEZZE VETTORIALI
F1
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FT O T
F2
6
SISTEMI DI RIFERIMENTO INERZIALI
Sono i sistemi di riferimento in cui le leggi della dinamica
risultano le più semplici possibili
UN SISTEMA DI RIFERIMENTO INERZIALE È DEFINITO DALLA
CONDIZIONE CHE IN ESSO UN PUNTO MATERIALE SU CUI
NON AGISCE NESSUNA FORZA PERMANE NEL SUO STATO DI
QUIETE O MOTO RETTILINEO UNIFORME
PER IL PRINCIPIO DI RELATIVITÀ
SE UN CERTO SISTEMA DI RIFERIMENTO È INERZIALE, ALLORA
OGNI ALTRO SISTEMA DI RIFERIMENTO CHE SI MUOVA
RISPETTO AL PRIMO DI MOTO TRASLATORIO RETTILINEO
UNIFORME È ANCH’ESSO INERZIALE
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7
PRIMO PRINCIPIO DELLA DINAMICA
(PRINCIPIO D’INERZIA)
IN UN SRI, UN PUNTO MATERIALE LIBERO CHE ABBIA A UN CERTO
ISTANTE UNA VELOCITÀ v, MANTIENE INDEFINITAMENTE IL SUO
STATO DI MOTO RETTILINEO E UNIFORME
Osserviamo che:
• Si basa sul concetto di punto materiale libero
• implica il principio di inerzia, mentre non è vero il contrario
• Introduce il concetto qualitativo di forza
• È strettamente legato al concetto di SRI
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8
FORZA E ACCELERAZIONE
IN UN SISTEMA DI RIFERIMENTO INERZIALE NON SERVE UNA
FORZA PER MANTENERE FERMO UN PUNTO MATERIALE NÉ
PER MANTENERE INVARIATA LA VELOCITÀ
IN UN SISTEMA DI RIFERIMENTO INERZIALE
FORZA = VARIAZIONE DI VELOCITÀ
RELAZIONE FRA LA RISULTANTE F DELLE FORZE APPLICATE A
UN PUNTO E L’ACCELERAZIONE DA ESSO SUBITA
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9
COSTRUIAMO UNA SITUAZIONE SEMPLICE
θ
SI TROVA SPERIMENTALMENTE CHE LA RISULTANTE F DELLE
FORZE AGENTI (CONDIZIONE STATICA) HA MODULO
F = P s in θ
DOVE P È LA FORZA PESO CUI È SOGGETTO IL PUNTO MATERIALE.
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10
ALLORA:
È ragionevole ritenere che tale conclusione possa essere utilizzata
anche nel caso dinamico
Variando l’angolo possiamo ottenere diverse valori di intensità della
forza
Misuriamo l’accelerazione del punto per valori diversi della forza
applicata
IL PUNTO MATERIALE SUBISCE UN’ACCELERAZIONE
PROPORZIONALE AL MODULO DELLA RISULTANTE DELLE
FORZE E CON LA SUA STESSA DIREZIONE
F = m ia
MASSA INERZIALE
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11
MASSA INERZIALE E MASSA GRAVITAZIONALE
DALLA RELAZIONE PRECEDENTE RICAVIAMO LA DEFINIZIONE DI
MASSA INERZIALE
F
mi =
a
RICORDIAMO INVECE LA MASSA GRAVITAZIONALE È LA GRANDEZZA
CHE SI MISURA CON LA BILANCIA (QUALE?)
IL PESO È UNA GRANDEZZA CHE, PER DEFINIZIONE, È
PROPORZIONALE ALLA MASSA SECONDO LA SEGUENTE RELAZIONE
PESO
P = mg
ACCELERAZIONE DI
GRAVITÀ (9,81 m/s2)
MASSA GRAVITAZIONALE
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12
Dalle relazioni precedenti possiamo scrivere che
m
a =
g
mi
m g = m ia
Le due masse sono proporzionali e, per far si che l’accelerazione sia
indipendente dal corpo considerato, il loro rapporto deve essere
una costante universale (evidenza sperimentale)
Dato questo risultato possiamo scrivere che
F = km a
In un sistema inerziale, il prodotto fra l’accelerazione subita da un
corpo puntiforme e la massa gravitazionale di quel corpo è
proporzionale alla risultante delle forze agenti sul corpo.
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13
SECONDO PRINCIPIO DELLA DINAMICA
F = ma
RISULTANTE DELLE FORZE
Fx =
Fy =
Fz =
∑
F x ,i = m a x
∑
F y ,i = m a y
∑
F z ,i = m a z
i
ACCELERAZIONE
DEFINITA RISPETTO
AL SRI
GRANDEZZA
ESTENSIVA
i
i
L’unità di misura è il Newton [N], definito come la forza necessaria a
imprimere un’accelerazione di 1 m s 2 a un corpo di massa1 k g .
Avendo posto k = 1 , massa inerziale e gravitazionale possono
essere equiparate, nonostante siano concettualmente diverse.
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14
TERZO PRINCIPIO DELLA DINAMICA
(PRINCIPIO DI AZIONE E REAZIONE)
AD OGNI AZIONE CORRISPONDE SEMPRE UNA REAZIONE UGUALE
E CONTRARIA. LE MUTUE AZIONI DI DUE CORPI SONO SEMPRE
UGUALI IN MODULO E DIREZIONE ED HANNO VERSO OPPOSTO.
LE FORZE SONO IL RISULTATO DELL’INTERAZIONE CON GLI ALTRI
CORPI E TALE INTERAZIONE È SEMPRE RECIPROCA
NON ESISTE LA FORZA SINGOLA
Vediamo come rappresentare questo principio
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15
Consideriamo un sistema costituito da un blocco A, di massa mA,
trainato da un veicolo C tramite una corda inestensibile B, di massa
mB=0.
F AB
FBC
FBA
FC B
B
A
F AB
C
FC B
Possiamo distinguere due casi:
• STATICO, nel quale non si ha accelerazione (quando si verifica?)
• DINAMICO, nel quale è presente un’accelerazione
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16
CASO STATICO
F AB
FC B
x
F AB + FC B = 0
(F AB
+ FC B
) ⋅ xˆ
= 0
È UNA COPPIA
AZIONE-REAZIONE
F AB − FC B = 0 ⇒ F AB = FC B
CASO DINAMICO
F AB
a
FC B
x
F AB + FC B = m a
(F AB
+ FC B
) ⋅ xˆ
= m a ⋅ xˆ
F AB − FC B = m a
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NON È UNA COPPIA
AZIONE-REAZIONE
?
17
Se il corpo A esercita sul corpo C una forza uguale e opposta, come
può il corpo A essere accelerato?
Dobbiamo osservare che:
Le due forze che intervengono nella terza legge di Newton (azione e
reazione) agiscono su corpi diversi
Nella seconda legge di Newton si considerano tutte e sole le forze
che agiscono sul corpo di massa m
∑
Fi = m a
i
Se consideriamo il veicolo C possiamo dire che le ruote e il suolo,
grazie alla presenza di attrito fra loro, esercitano reciprocamente
una forza (in accordo con il terzo principio) che consente il moto.
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18
È importante comprendere i “confini” del sistema fisico che stiamo
considerando per separarlo da ciò che definiamo ambiente esterno.
Il sistema in questo caso è composto dal corpo A, dalla fune B e dal
veicolo C, quindi il suolo costituisce l’ambiente esterno.
Nel caso dinamico, la forza FCB è da considerare come forza esterna
al sistema, che deriva dall’interazione fra le ruote e il suolo.
Il sistema o coppia AZIONE-REAZIONE deve essere quindi
considerato come la forza esercitata dalla fune fra il veicolo C e il
blocco A.
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19
SISTEMI DI RIFERIMENTO E FORZE
Parlando dei SISTEMI DI RIFERIMENTO INERZIALI abbiamo
affermato che in essi valgono le:
• Trasformazioni di Galileo;
• Leggi della dinamica di Newton.
Abbiamo visto che
r ′ = r − v0t
e inoltre possiamo scrivere che
r ′ = x ′ uˆ x ′ + y ′uˆ y ′ + z ′uˆ z ′
=
(x − v
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0,x
t ) uˆ x +
(y − v
0,y
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t ) uˆ y +
(z − v
0,z
t ) uˆ z
20
Calcoliamo il prodotto scalare con i versori del “sistema mobile”
x′ =
( uˆ x ′ ⋅ uˆ x ) ( x
y′ =
( uˆ
z′ =
( uˆ z ′ ⋅ uˆ x ) ( x
y′
⋅ uˆ x
− v 0 , x t ) + ( uˆ x ′ ⋅ uˆ y
)( y − v
0,y
t ) + ( uˆ x ′ ⋅ uˆ z
)( z
t ) + ( uˆ y ′ ⋅ uˆ y
)( y − v
0,y
t ) + ( uˆ y ′ ⋅ uˆ z
)( z − v
− v 0 , x t ) + ( uˆ z ′ ⋅ uˆ y
)( y − v
0,y
t ) + ( uˆ z ′ ⋅ uˆ z
)( z
)( x − v
0,x
uˆ x ′ ⋅ uˆ x
x′
′
y
=
uˆ y ′ ⋅ uˆ x
z′
uˆ z ′ ⋅ uˆ x
uˆ x ′ ⋅ uˆ y
uˆ y ′ ⋅ uˆ y
uˆ z ′ ⋅ uˆ y
− v0,zt )
0,z
t)
− v0,zt )
uˆ x ′ ⋅ uˆ z x − v 0 , x t
uˆ y ′ ⋅ uˆ z y − v 0 , y t
uˆ z ′ ⋅ uˆ z z − v 0 , z t
[ R ] Matrice di trasformazione
(di quale tipo?)
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21
x − v0,xt
x′
′
y = [R ] y − v 0 , y t
z′
z − v t
0,z
Se gli assi cartesiani dei due sistemi sono paralleli, allora
1
[ R ] = 0
0
e valgono le seguenti relazioni:
0
1
0
0
0
1
x ′ = x − v0,xt
y ′ = y − v0,yt
z′ = z − v t
0,z
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22
La matrice di trasformazione si può applicare anche al calcolo della
velocità e dell’accelerazione:
v x − v0,x
v ′x
′
v y = [R ] v y − v 0 , y
v′
v − v
0,z
z
z
a ′x
′
ay =
a′
z
ax
[R ] a y
a
z
È importante ricordare che queste relazioni sono valide quando il
moto relativo fra i due sistemi di riferimento è rettilineo uniforme
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23
Sappiamo che la massa è un invariante scalare, per cui
m′ = m
Inoltre, poiché la forza è una grandezza vettoriale, allora si trasforma
come un vettore, e abbiamo
F x′
Fx
′
F y = [R ] F y
F ′
F
z
z
In generale abbiamo covarianza del secondo principio di Newton se
applichiamo la trasformazione R, mentre nel caso di due sistemi in
moto rettilineo uniforme fra loro, si ha invarianza (per
trasformazioni di Galileo) del secondo principio della dinamica.
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24
Se consideriamo SISTEMI DI RIFERIMENTO NON INERZIALI le
precedenti affermazioni non sono più vere.
z
z′
O
(0 , 0 , 0 )
P
r
r′
y
x
y ≡ y′
a
x′
O ′ ( xO ′, yO ′, zO ′ )
y′
Se il sistema “mobile” è in moto rispetto a quello “fisso” con
accelerazione a come nella rappresentazione sopra, allora la
velocità di trascinamento non è costante.
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25
Se sul punto materiale P agisce una forza, nel sistema “fisso” esso
obbedisce alla seconda legge di Newton
F = ma
Nel sistema “mobile” dobbiamo scrivere le relazioni viste in
precedenza:
1
′
2
x
=
x
−
x
=
x
−
a
t
O′
x
2
1
2
′
y
=
y
−
y
=
y
−
a
t
O′
y
2
1
2
′
z
=
z
−
z
=
z
−
a
t
O′
z
2
Coordinate dell’origine del sistema “mobile”
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26
Derivando si ottengono
dell’accelerazione
le
espressioni
della
velocità
e
v ′x = v x − v t , x = v x − a t , x t
v ′y = v y − v t , y = v y − a t , y t
v′ = v − v
z
t,z = v z − a t,zt
z
Velocità di trascinamento (non costante)
a ′x = a x − a t , x
a ′y = a y − a t , y
a′ = a − a
z
t,z
z
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Accelerazione
di trascinamento
27
Riscrivendo in forma vettoriale lo spostamento, la velocità e
l’accelerazione, abbiamo che
r′ = r − OO ′
v′ = v − vt
a′ = a − at
Rispetto al caso precedente troviamo che l’accelerazione non è
invariante
a′ ≠ a
Sostituendo l’espressione dell’accelerazione nella seconda legge di
Newton
F = ma = m
(a ′ +
at
)=
m a′ + m at
F − m at = m a ′
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Forza di inerzia
(APPARENTE)
28
Nel caso più generale, di un moto qualunque del sistema “mobile”
rispetto a quello “fisso”, si ha che
F − m at − m ac = m a ′
Accelerazione di
trascinamento
Accelerazione di
Coriolis
In un sistema non inerziale il prodotto fra la massa del punto
materiale e l’accelerazione misurata nel sistema “mobile” (quello
cioè non inerziale) è uguale alla FORZA VERA agente sul punto
sommata alle FORZE APPARENTI.
Non derivano dalle interazioni
fondamentali
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29
QUANTITÀ DI MOTO
Grandezza fisica vettoriale che individua lo stato dinamico del punto
materiale ed è definita come prodotto fra la massa e la velocità del
punto materiale stesso
p = mv
Dimensioni:
Unità di misura:
-1
[ p ] = [ M ][ L ] T
k g ⋅ m ⋅ s -1 = N ⋅ s
Data la definizione di quantità di moto possiamo esprimere la
seconda legge di Newton in una forma più generale
dp
F =
dt
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30
L’azione di una forza produce una variazione nel tempo della
quantità di moto del punto.
Se il punto è approssimazione di un corpo “esteso”, allora oltre alla
variazione della velocità può essere presente anche una variazione
della massa.
TEOREMA DELL’IMPULSO
Si ottiene a partire dall’espressione infinitesima
Fdt = dp
Conoscendo l’espressione della forza e integrando fra due istanti di
tempo
I =
∫
t2
t1
Fdt =
∫
p2
p1
dp = ∆p
IMPULSO DELLA FORZA
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31
Il teorema dell’impulso
seconda legge di Newton.
rappresenta la forma integrale della
Fornisce l’informazione sull’effetto complessivo di una forza
applicata a un punto per un intervallo di tempo finito.
Se conosciamo l’espressione della forza, allora possiamo ottenere la
variazione della quantità di moto.
Analogamente a quanto accade nella cinematica (spostamento in un
certo intervallo di tempo) quando conosciamo la variazione della
quantità di moto, possiamo solamente ottenere informazioni sulla
forza media applicata.
Quando la risultante delle forze applicate a un punto materiale è
nulla, allora si parla di CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI
MOTO.
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32
LAVORO
Il concetto di lavoro si riferisce a una forza (che compie il lavoro) ed
è sempre associato a uno spostamento.
Il lavoro è una grandezza scalare definita dall’integrale di linea della
forza
∫
W =
P2
P1
F ⋅ ds
P1 e P2 rappresentano due posizioni.
Dimensioni:
Unità di misura:
[ W ] = [ M ] L 2
kg ⋅ m
2
T
-2
⋅ s -2 = N ⋅ m = J
JOULE
Si noti che, a differenza del Teorema dell’impulso, ora l’integrazione
avviene nello spazio (forza che dipende dalla posizione).
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33
Consideriamo il caso unidimensionale ed effettuiamo due
distinzioni:
1. FORZA COSTANTE
Consideriamo il sistema descritto nel disegno
∆x
y
F
O
F
x1
x2
x
Date le condizioni, si ha:
F = Fx
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∫
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r2
r1
dr = ∆x
34
Il lavoro diventa
> 0
W = Fx∆ x = 0
< 0
F
θ < π 2
θ = π 2
θ > π 2
(x )
Fx
W
O
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x1
x2
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x
35
2. FORZA VARIABILE
Possiamo prendere come riferimento il disegno precedente, con lo
spostamento da x1 a x2, però in questo caso la forza è variabile e il
lavoro è dato da
W =
∫
x2
x1
F
(x )⋅ dx
Se consideriamo i contributi infinitesimi
> 0
dW = F (x )dx = 0
< 0
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θ < π 2
θ = π 2
θ > π 2
36
Anche in questo caso, il lavoro corrisponde all’area sottesa alla curva
che rappresenta la forza in funzione della posizione
F
(x )
W
O
x1
x2
x
IMPORTANTE!
Il lavoro complessivo delle forze che agiscono su un punto
materiale è uguale al lavoro della forza risultante.
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37
UN CASO PARTICOLARE: LA FORZA ELASTICA
La forza elastica è un esempio di forza che dipende dalla posizione.
La direzione è costante e, se consideriamo la forza agente lungo x,
possiamo scrivere
F = − k x uˆ x
COSTANTE ELASTICA
DELLA MOLLA
DEFORMAZIONE
Calcoliamo il lavoro della forza elastica
W =
∫
l
l0
− k x uˆ x ⋅ d x uˆ x = − k
∫
l
l0
1
xdx =
k ( l 02 − l 2
2
)
Lunghezza a riposo
della molla
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38
ENERGIA CINETICA
Consideriamo l’espressione del lavoro infinitesimo associato a ds
dv
ds
d W = FT d s = m a T d s = m
ds = m
dv = m vdv
dt
dt
Lega il lavoro infinitesimo alla variazione del modulo della velocità.
Possiamo allora scrivere, per un percorso finito
W =
∫
f
i
m vdv
1
1
2
mvf −
m v i2
=
2
2
= E k , f − E k , i = ∆ E k TEOREMA DELLA
ENERGIA CINETICA
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39
QUANTITÀ DI MOTO E ENERGIA CINETICA: OSSERVAZIONI
La quantità di moto è una grandezza vettoriale, l’energia cinetica
è scalare.
Entrambe dipendono da massa e velocità.
La variazione della quantità di moto dipende dal tempo per cui
agisce la forza risultante (Impulso).
La variazione dell’energia cinetica dipende dal modulo dello
spostamento su cui agisce il risultante delle forze (Lavoro).
Teorema dell’Impulso e Teorema dell’Energia cinetica sono principi
integrali (relazione con intervalli finiti)
Il secondo principio della dinamica è di natura differenziale
(relazione tra forza e velocità di variazione della quantità di moto)
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40
FORZE CONSERVATIVE
Si definisce conservativa una forza per la quale il lavoro compiuto
non dipende dal percorso seguito ma solo dalle posizioni iniziale e
finale.
∫
F ⋅ ds =
C1
∫
F ⋅ ds =
C2
∫
B
A
F ⋅ ds
B
C1
Inoltre si ha che
∫
B
A
F ⋅ ds = − ∫
∫
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A
B
F ⋅ ds
F ⋅ ds = 0
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A
C2
DEFINISCE UNA
FORZA CONSERVATIVA
41
ENERGIA POTENZIALE
In base a quanto visto per le forze conservative possiamo affermare
che il lavoro è esprimibile come differenza dei valori che una
funzione assume in A e B. Tale funzione, che dipende dalle
coordinate è detta ENERGIA POTENZIALE.
W
AB
=
∫
B
A
F ⋅ ds = − ∆E
p
A differenza dell’energia cinetica, per l’energia potenziale non esiste
una espressione generale: essa dipende dalla specifica forza
conservativa a cui si riferisce.
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42
Il legame con il lavoro della forza conservativa consente comunque
di definire l’energia potenziale.
SIGNIFICATO FISICO dell’energia potenziale
Se l’energia potenziale
aumenta, il lavoro è negativo
e quindi l’ambiente compie
lavoro sul sistema
Se l’energia potenziale
diminuisce, il lavoro è positivo
e quindi il sistema compie
lavoro sull’ambiente
Non si può ricavare lavoro da una forza conservativa se
il percorso è chiuso.
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43
PROPRIETÀ DELL’ENERGIA POTENZIALE E RELAZIONE CON LA FORZA
È definita a meno di una costante additiva
È una funzione scalare
Esiste solo se il campo è conservativo
Consideriamo l’espressione del lavoro infinitesimo di una forza
conservativa e la esprimiamo sotto forma di componenti
dW = F ⋅ ds = Fxdx + Fydy + Fzdz = − dE
p
Per un percorso chiuso
∫ (F
x
dx + Fydy + Fzdz
)=
0
Tutte le componenti della forza dipendono da x, y e z. Non essendo
dipendenti dal tempo si dice che il campo è stazionario.
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44
La precedente proprietà è verificata se e soltanto se esiste una
funzione E p , tale che
F = −∇ E
p
In altre parole
∂E p
∂E p
∂E p
F = −
;−
;−
∂
x
∂
y
∂
z
La forza è l’opposto del gradiente dell’energia potenziale, quindi:
Il verso della forza è diretto nella direzione di massima
diminuzione dell’energia potenziale;
Il luogo dei punti dello spazio nei quali l’energia potenziale
assume lo stesso valore si chiama superficie equipotenziale;
La forza conservativa associata all’energia potenziale è normale
alla superficie equipotenziale in ogni punto.
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45
… IN GENERALE
Data una funzione di più variabili V = V
(x,
y , z ) , definiamo:
Derivate parziali prime
∂V
∂ x y = z = c o s t.
∂V
∂
y
x = z = c o s t.
∂V
∂ z x = y = c o s t.
Derivate parziali seconde
∂ 2V
2
∂
x
y = z = c o s t.
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∂ 2V
2
∂
y
x = z = c o s t.
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∂ 2V
2
∂
z
x = y = c o s t.
46
Derivate parziali miste
∂ 2V
∂
x
∂
y
y = z = c o s t.
∂ 2V
∂
y
∂
z
x = z = c o s t.
∂ 2V
∂
x
∂
z
x = y = c o s t.
Vale il TEOREMA DI SCHWARTZ
∂ 2V
∂ 2V
=
∂
x
∂
y
∂
y
∂
x
Più in generale
∂ 2V
∂ 2V
=
∂xi∂ x j
∂x j∂ xi
Definiamo il DIFFERENZIALE TOTALE
dV
A.A. 2012-2013
(x,
y, z
)
∂V
∂V
∂V
=
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
Prof. Federico Ferrari
47
Abbiamo che
∫
B
A
dV
(x,
y, z
)=
(B ) − V ( A )
V
Dipende solo dagli estremi
Tornando al precedente integrale di linea possiamo scrivere
W
AB
=
∫
B
A
Fxdx + Fydy + Fzdz
F o r m a d i f f e r e n z a i le li n e a r e
con:
x = x (h )
y = y (h )
z = z (h )
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
48
In base a quanto visto, il lavoro dipende solo dagli estremi quando
∂V
Fx (x, y, z ) =
∂x
∂V
Fy (x, y, z ) =
∂y
∂V
Fz (x, y, z ) =
∂z
con V = V
(x,
y, z
)
La forza conservativa deve corrispondere al differenziale di una
funzione delle coordinate.
La forma differenziale lineare si dice DIFFERENZIALE ESATTO
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
49
Questa condizione non è verificata per una F qualunque, ma devono
sussistere delle condizioni particolari.
Calcoliamo le seguenti derivate parziali:
∂Fx
∂ 2V
=
∂y
∂y∂x
∂Fy
∂x
∂ 2V
=
∂x∂y
Devono essere uguali per il
Teorema di Schwartz
∂Fy
∂Fx
=
;
∂y
∂x
∂Fx
∂Fz
=
;
∂z
∂x
∂Fy
∂z
∂Fz
=
∂y
Condizione necessaria e sufficiente affinché il
campo sia CONSERVATIVO
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
50
PROBLEMA DIRETTO
Calcolo della forza a partire dal potenziale
Fx
∂V
=
∂x
;
Fy
∂V
=
∂y
;
∂V
Fz =
∂z
PROBLEMA INVERSO
Calcolo del potenziale a partire dalla forza
V
(x,
y, z
P (x , y , z )
) = ∫A
(F
x
dx + Fydy + Fzdz )+ V
(xA ,
yA, zA
)
Costante additiva
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
51
DUE ESEMPI NOTEVOLI
Avevamo visto il caso della forza elastica:
E
p
1
=
kx 2
2
dE
F = −
p
dx
uˆ x = − k x uˆ x
Consideriamo anche il caso dell’energia potenziale gravitazionale
E
p
= m gh
A.A. 2012-2013
F = −
dE
Prof. Federico Ferrari
dx
p
uˆ z = − m g uˆ z
52
CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA
Abbiamo visto che:
W
W
AB
= V
AB
=
∑
(B ) − V ( A )
W i = E k ,B − E k ,A
i =1,n
W
AB
= E k ,B − E k ,A = V
E k ,B − V
Definiamo:
A.A. 2012-2013
E
p
(x,
(B ) =
y, z
)=
(B ) − V ( A )
E k ,A − V
−V
Prof. Federico Ferrari
(x,
(A)
y, z
)
53
PER UN SISTEMA CHE SI MUOVE SOTTO L’AZIONE DI SOLE FORZE
CONSERVATIVE, L’ENERGIA MECCANICA SI CONSERVA
E k , fin + E
p , fin
= E k ,in + E
p ,in
La somma di energia cinetica e potenziale nello stato iniziale è
uguale alla somma di queste energie nello stato finale
Ek + E
ENERGIA CINETICA
p
= E m = c o s t.
ENERGIA MECCANICA
ENERGIA POTENZIALE
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
54
QUALCOSA IN PIÙ SULL’ENERGIA POTENZIALE
Quando è presente un campo di forze conservativo possiamo
costruire una funzione
E
p
= E
p
(x,
y, z
)
tale che il lavoro compiuto dalle forze del campo per portare un
punto materiale da un punto A ad un punto B è:
W
AB
= VB − VA = ∆V = −∆E
E
p,A
= E
p ,B
p
+W
= E
p,A
− E
p ,B
AB
Come si definisce operativamente l’energia potenziale?
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
55
DEFINIZIONE OPERATIVA DELL’ENERGIA POTENZIALE
Dobbiamo scegliere un riferimento iniziale, al quale assegniamo il
valore E p , O . Quindi, per un generico punto X
E
p,X
= E
Il punto di riferimento si sceglie
in modo conveniente: di solito
dove la forza si annulla.
E
p,A
= E
E
A.A. 2012-2013
p ,O
p,A
+W
− E
p ,B
+W
p ,O
XO
Lavoro compiuto dalle forze del
campo sul punto materiale
quando esso si muove da O a X.
AO
E
p ,B
= E
p ,O
+W
= W
AO
−W
= W
AO
+ W OB = W
Prof. Federico Ferrari
BO
BO
AB
56
ENERGIA MECCANICA E FORZE NON CONSERVATIVE
Abbiamo visto che nel caso ideale, quando agiscono solo forze
conservative su un punto materiale
∑
W
= ∆Ek = −∑ ∆E
A B ,i
i
da cui
p ,i
i
∑
∆Ek +
∆E
p ,i
= ∆Em = 0
i
Nel caso reale agiscono anche forze non conservative e quindi
W
AB
=
∫
B
A
Rc ⋅ ds +
∫
B
A
R nc ⋅ d s
= W c , AB + W nc , AB
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
57
Quindi la variazione dell’energia meccanica è data da:
∆Em = ∆Ek +
∑
∆E
p ,i
= W nc
i
In presenza di forze non conservative, l’energia meccanica del
sistema non si conserva. Possono sussistere i seguenti casi:
W nc < 0
La forza è dissipativa (o resistente)
∆Em < 0
W nc > 0
fin
< E in
La forza è attiva (o motrice)
∆Em > 0
A.A. 2012-2013
E
Prof. Federico Ferrari
E
fin
> E in
58
LA POTENZA
La potenza P erogata in un certo istante da un campo di forze che
compie lavoro su un punto materiale è il rapporto, in quell’istante,
tra il lavoro e il tempo in cui esso è stato svolto.
∆W
P =
∆t
LAVORO MEDIO
∆W
dW
P = li m
=
∆t→ 0
∆t
dt
LAVORO ISTANTANEO
[W ] =
J
s
UNITÀ DI MISURA
Per un punto materiale:
dW = F ⋅ dr
dW
F ⋅ dr
P =
=
= F ⋅v
dt
dt
La potenza che agisce su un punto materiale in movimento ad un
certo istante è uguale al prodotto scalare fra il risultante delle forze
che agiscono sul punto e la sua velocità.
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
59
EQUILIBRIO DI UN PUNTO MATERIALE E ENERGIA POTENZIALE
La condizione dinamica di equilibrio per un punto materiale si
verifica quando il risultante delle forze agenti su esso è nulla.
Questa condizione è però poco adatta alla descrizione di alcuni casi
di interesse pratico.
R
P = mg
EQUILIBRIO
STABILE
A.A. 2012-2013
R
P = mg
EQUILIBRIO
INSTABILE
Prof. Federico Ferrari
R
P = mg
EQUILIBRIO
INDIFFERENTE
60
Per un punto materiale in un campo di forze conservativo gli stati di
equilibrio si possono individuare in base all’andamento dell’energia
potenziale.
Consideriamo per semplicità un punto materiale che si muove su
una traiettoria definita, in modo da ottenere un sistema con un solo
grado di libertà. Allora abbiamo:
La forza coincide con la
∂E p
pendenza della retta tangente
Fx = −
alla curva e si annulla in M1,
∂
x
E p (x )
M2 e M3, che sono posizioni
di equilibrio.
M2
M1
M3
x
O
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
61
E
p
(x )
Ep
E
Ek
Ep
x
O
Per un punto materiale di energia totale E:
In ogni posizione x, l’energia potenziale corrisponde all’ordinata
della curva;
La differenza rispetto a E coincide con Ek.
Dall’analisi della curva dell’energia potenziale possiamo effettuare
delle considerazioni sul moto.
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
62
E
p
(x )
A
(1)
B
C
D
I
F
G
H
K
(2)
(3)
(4)
x
O
Consideriamo le 4 linee tratteggiate che indicano altrettanti livelli
energetici:
1) Moto non oscillatorio tra A e infinito;
2) Moto oscillatorio tra B e C;
3) Ci sono due possibilità:
• Moto oscillatorio tra D e F;
• Moto oscillatorio tra G e H.
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
63
E
p
(x )
A
(1)
B
C
D
I
F
G
H
K
(2)
(3)
(4)
x
O
Nel caso del livello energetico (3) è impossibile passare da una
regione all’altra (barriera di potenziale).
4) Moto oscillatorio fra I e K.
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
64
MOMENTO MECCANICO DELLA FORZA
Il momento della forza è definito come
M = r ∧ F
[N m ]
Direzione e verso del momento della forza sono definiti con la
regola della mano destra, mentre il modulo è dato da
M = r F s in θ
RAPPRESENTA L’ANALOGO ROTAZIONALE DELLA FORZA
Possiamo rappresentare graficamente i tre vettori coinvolti nel
prodotto vettoriale evidenziando anche la retta di azione e il braccio
della forza.
A.A. 2012-2013
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65
y
y
F
θ
r
r
M
θ F
M
x
x
CASO 1: MOMENTO USCENTE DAL PIANO – CONSIDERIAMO F
E LA COMPONENTE DI r PERPENDICOLARE ALLA DIREZIONE DI
AZIONE DELLA FORZA.
y
y
F
F⊥
M
CASO 2: MOMENTO ENTRANTE NEL PIANO – CONSIDERIAMO F
E LA COMPONENTE DI r PERPENDICOLARE ALLA DIREZIONE DI
AZIONE DELLA FORZA.
θ
r
r
M
x
x
CASO 3: MOMENTO USCENTE DAL PIANO – CONSIDERIAMO r E
LA COMPONENTE DI F PERPENDICOLARE ALLA DIREZIONE DEL
BRACCIO DELLA FORZA.
A.A. 2012-2013
θ F F⊥
CASO 4: MOMENTO ENTRANTE NEL PIANO – CONSIDERIAMO r
E LA COMPONENTE DI F PERPENDICOLARE ALLA DIREZIONE
DEL BRACCIO DELLA FORZA.
Prof. Federico Ferrari
66
MOMENTO DELLA QUANTITÀ DI MOTO
Il momento della quantità di moto, o momento angolare, è dato da
L = r ∧ p
L
Se cambiamo il polo in O ′, allora abbiamo che
LO ′ = LO + O O ′ ∧ p
O
p
r
P
Inoltre, si osservi che il momento angolare dipende solo dalla
componente trasversale della velocità.
RAPPRESENTA L’ANALOGO ROTAZIONALE DELLA QUANTITÀ DI MOTO
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
67
Studiamo la derivata temporale del momento angolare
dL
dr
dv
=
∧ mv + r ∧ m
dt
dt
dt
v
dL
= v ∧ mv + r ∧ ma
dt
=0
=M
dL
= M
dt
N m s
−1
a
TEOREMA DEL
MOMENTO ANGOLARE
In un Sistema di riferimento inerziale, se si sceglie come polo un
punto fisso o che si muove con velocità parallela alla quantità di
moto, il momento della forza risultante agente su un punto
materiale è uguale alla derivata rispetto al tempo del momento
angolare del punto materiale stesso.
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
68
Se il polo non rispetta le condizioni richieste?
z
Consideriamo un punto materiale P che
si muove in un SDRI rispetto al quale ha
una quantità di moto e scegliamo un
punto Q come polo.
Il momento angolare di P rispetto a Q è:
P
rP
rQ
O
LQ = Q P ∧ p = r ∧ p
r
y
x
Deriviamo rispetto al tempo
d LQ
dt
A.A. 2012-2013
dr
dp
=
∧ p + r ∧
dt
dt
Prof. Federico Ferrari
M
Q
69
M
=
Q
d LQ
dt
dr
−
∧ p
dt
Con riferimento al sistema descritto nella figura precedente, si ha:
r = r P − rQ
dr
= v P − vQ
dt
Quindi, il momento rispetto a Q diventa
M
Q
=
=
d LQ
dt
d LQ
dt
− (v P − v Q
)∧
p
+ vQ ∧ p − v P ∧ p
=0
Questo termine si annulla solo se Q è fisso o si muove
parallelamente a P.
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
70
Ritorniamo al Teorema del momento angolare e consideriamo il
caso in cui
dL
= 0
dt
Il risultante delle forze è nullo oppure è parallelo a r.
Inoltre abbiamo che
dL = M dt
Integrando si ha
∫
t
0
M dt = ∆L = L
fin
− L in
Analogamente al teorema dell’impulso, per ottenere una
variazione del momento angolare occorre applicare, per un
certo tempo, il momento di una forza.
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
71
Inoltre, se il momento della forza agisce per un tempo breve il
vettore posizione si può considerare costante, quindi si ha:
∫
t
0
M dt = r ∧
∫
t
0
Fdt = r ∧ I = ∆L
Teorema del
momento dell’impulso
La variazione del momento angolare è uguale al momento
dell’impulso dell’impulso applicato al punto.
Per il lavoro in un moto circolare si ha
W
AB
A.A. 2012-2013
=
∫
B
A
FT d s =
θB
∫θ
FT r d θ =
A
Prof. Federico Ferrari
θB
∫θ
M dθ
A
72
DINAMICA DEI SISTEMI
Dopo aver parlato di cinematica e dinamica del punto materiale, ora
ci occupiamo di sistemi di punti discreti (costituiti da più punti
materiali) e di sistemi continui.
Per un sistema di n punti che interagiscono fra loro e con l’ambiente
si ha che
(E )
(I )
Fi = Fi
Forza agente sullo
i-esimo punto
+ Fi
Risultante delle forze
esterne agenti sullo
i-esimo punto
i = 1, … , n
Risultante delle forze interne
al sistema (n-1 punti) agenti
sullo i-esimo punto
E quindi anche
Fi = Fi
A.A. 2012-2013
(E )
+ Fi
(I )
dpi
=
dt
Prof. Federico Ferrari
i = 1, … , n
73
Queste rappresentano n equazioni differenziali (quante scalari?) e
quindi il problema può essere affrontato con questo metodo al
massimo se n=2. Per n>2 la risoluzione delle equazioni diventa
molto complessa e poco vantaggiosa.
Possiamo riscrivere le relazioni viste in precedenza:
Fi
(E )
M
(E )
i
W
(E )
i
+ Fi
+ M
(I )
(I )
i
dpi
=
dt
II Principio della dinamica
d Li
=
+ vQ ∧ pi
dt
Eq. Momento angolare
( f )−
Th. Energia Cinetica
+ W i ( I ) = E k ,i
E k ,i (i )
La seconda e terza equazione sono ottenibili dalla prima.
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
74
Sommando su tutti i punti ricaviamo le 3 equazioni fondamentali
della dinamica:
F
M
(E )
W
(E )
+ F
+ M
(E )
(I )
+W
(I )
dp
=
dt
II Principio della dinamica
dL
=
+ vQ ∧ p
dt
(I )
= E k , f − E k ,i
Eq. Momento angolare
Th. Energia Cinetica
Notiamo che seconda e terza equazione ora sono indipendenti dalla
prima perché sia per ricavare il momento complessivo, sia per
calcolare il lavoro totale, occorre conoscere i singoli contributi e
sommarli.
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
75
F1
P1
F1 + F 2 = 0
F1
P2
F2
P2
F2
P1
∆r
r1
r2
Il momento del risultante è nullo,
qualsiasi sia il punto di
applicazione di F e qualunque sia
il polo rispetto al quale si calcola
il momento. Però, non è nullo il
momento risultante
M = M
1
+ M
2
= r1 ∧ F 1 + r2 ∧ F 2
Q
F1
= ∆ r ∧ F1
P1
θ
∆r
P2
A.A. 2012-2013
M = ∆ r F1 s i n θ = b F1
b
F2
Prof. Federico Ferrari
76
P1
F2
F1
P2
∆r
Risultante delle forze e momento risultante sono nulli.
W = W1 + W 2 =
∫F
1
⋅ d r1 +
∫F
2
⋅ d r2 = F 1 ⋅ r1 + F 2 ⋅ r2
W = F r1 + F r2 = F ∆ r
Si nota che il lavoro non è nullo.
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
77
In un sistema di riferimento inerziale, la quantità di moto totale e il
momento angolare totale rispetto a un polo fisso di un sistema
libero si conservano.
Non sottoposto a
sollecitazioni esterne
F ( E ) = 0
(E )
= 0
M
Sotto queste condizioni le equazioni della dinamica diventano:
dp
dL
(I )
(I )
F
=
M
=
dt
dt
Dal terzo principio deriva che:
F
(I )
= 0
M
(I )
= 0
Questa relazione ha validità generale.
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
78
CENTRO DI MASSA
È un punto geometrico con proprietà particolari e importanti:
1. Il suo moto è il medesimo di un punto materiale di massa pari a
quella dell’intero sistema e soggetto alle stesse forze;
2. È unico.
m i ri
m i ri
∑
∑
rC M =
=
M
∑ mi
Vettore posizione del CM
Coordinate del Centro di Massa
xCM =
∑ m x
∑ m
i
i
A.A. 2012-2013
i
yCM =
∑ m y
∑ m
i
i
Prof. Federico Ferrari
i
zCM =
∑ m z
∑ m
i
i
i
79
CM PER UN SISTEMA ESTESO
Quando il sistema non è costituito da punti materiali ma è
“continuo”, dobbiamo considerare la densità del materiale che lo
costituisce e il suo volume. Si ha:
1
rC M =
r ρ dV
∫
M
Se la densità è costante
1
rC M =
rdm
∫
M
Anche in questo caso si possono ricavare le coordinate del CM
xCM
1
=
M
A.A. 2012-2013
∫
xdm
yCM
1
=
M
∫
ydm
Prof. Federico Ferrari
zCM
1
=
M
∫
zdm
80
Ricapitolando, per un sistema costituito da n punti, abbiamo che:
M rC M =
n
∑
m i ri
i =1
M vCM =
n
∑
m ivi = p
i =1
M aCM =
n
∑
i =1
dp
m iai =
=
dt
n
∑
Fi ( E )
Teorema del CM
i =1
Se il risultante delle forze esterne è nullo, la quantità di moto si
conserva (generalizza il caso del singolo punto materiale).
Osserviamo che:
• La quantità di moto dipende dal S.d.R. ma non la sua
conservazione;
• La quantità di moto totale può essere variata solo da forze esterne;
• Le forze interne possono influenzare la quantità di moto dei singoli
punti materiali ma non quella totale.
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
81
Riprendiamo l’equazione del momento angolare
M
(E )
+ M
(I )
=
dL
+ vQ ∧ p
dt
vQ = 0
= 0 se vQ
p
rQ = rC M
Per il terzo principio della dinamica e nel caso in cui il polo sia fisso o
coincidente con il CM, si ottengono le seguenti
dp
F
=
dt
dL
(E )
=
M
dt
(E )
A.A. 2012-2013
EQUAZIONI CARDINALI DELLA
DINAMICA DEI SISTEMI
Prof. Federico Ferrari
82
SISTEMA DI RIFERIMENTO DEL CENTRO DI MASSA
Si tratta di un sistema di riferimento generalmente non inerziale
(forze apparenti), per il quale :
l’origine è collocata nel centro di massa
non si hanno rotazioni degli assi rispetto al sistema inerziale.
In base a quanto visto per i moti relativi, se consideriamo il sistema
di riferimento del CM come sistema “mobile”, si ha per posizione e
velocità:
ri = ri ′ + rC M
v i = v i′ + v C M
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
83
Nel sistema di riferimento del centro di massa abbiamo, per
definizione:
rC′ M = 0
v C′ M = 0
a C′ M = 0
E quindi
∑
m i ri ′ = 0
i
∑
m i v i′ = 0
i
∑
m i a i′ = 0
i
Ne consegue che nel sistema di riferimento del CM la quantità di
moto totale è nulla.
Il momento risultante delle forze, calcolato rispetto al CM è:
M ′( E ) =
∑
ri ′ ∧ F i ( E ) +
i
= M ′( E ) −
∑
ri ′ ∧ F i ( I ) −
i
∑
i
m i ri ′ ∧ a C M
∑
ri ′ ∧ m i a C M
i
NESSUN CONTRIBUTO
DELLE FORZE D’INERZIA
=0
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
84
Considerando la validità delle equazioni cardinali anche se il polo
passa per il CM del sistema, possiamo scrivere che:
M
(E )
=
∑
ri ′ ∧ F i ( E ) = M ′ ( E )
i
Quindi, se ricaviamo nel sistema inerziale il momento angolare
rispetto al CM, abbiamo
L =
∑
ri ′ ∧ m i v i
∑
ri ′ ∧ m i v i′ +
i
=
i
′
= L +
∑
ri ′ ∧ m i v C M
i
∑
i
′
m i ri ∧ v C M = L ′
=0
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
85
Il valore del momento angolare, calcolato rispetto al centro di
massa, corrisponde nei due sistemi di riferimento, “fisso” e
“mobile”.
Come conseguenza delle ultime due uguaglianze trovate, possiamo
scrivere la seguente relazione:
M ′( E ) =
dL′
dt
Il teorema del momento angolare è valido anche nel sistema di
riferimento del centro di massa, se il polo coincide con esso. Inoltre,
nel calcolo non si considerano le forze d’inerzia (che possono essere
presenti perché il sistema del CM non è inerziale).
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
86
SISTEMI DI PUNTI E SISTEMI DI RIFERIMENTO:
MOMENTO ANGOLARE
Consideriamo il SRI e assumiamo la sua origine come polo. Allora,
L =
∑
ri ∧ m i v i
i
=
∑ (r ′+
i
rC M
)∧
m i ( v i′ + v C M
)
i
=
∑
i
ri ′ ∧ m i v i′ +
∑
i
ri ′m i ∧ v C M + rC M ∧
∑
m i v i′ + rC M ∧ v C M
i
i
L = ∑ ri′ ∧ mi vi′ + rCM ∧ MvCM = L′ + LCM
1° TEOREMA
DI KöNIG
P
MOMENTO ANGOLARE
DEL SISTEMA
RISPETTO AL CM
A.A. 2012-2013
mi
=0
=0
i
∑
Prof. Federico Ferrari
MOMENTO ANGOLARE
DOVUTO AL MOTO
DEL CM
87
SISTEMI DI PUNTI E SISTEMI DI RIFERIMENTO:
ENERGIA CINETICA
Consideriamo il SRI e scriviamo l’espressione di Ek, tenendo conto
della relazione che lega la velocità del punto nel SRI e nel SRCM:
v i2
1
2
m i ( v C M + v i′ )
2
1
1
=
m i v C2 M +
m i v i′ 2 + m i v i′ ⋅ v C M
2
2
E k ,i =
Sommando sull’indice i troviamo l’energia cinetica totale del sistema
1 2
1
Ek = vCM ∑ mi + ∑ mi vi′2 + vCM ⋅ ∑ mi vi′
2
2
=0
ENERGIA CINETICA DEL
CENTRO DI MASSA
A.A. 2012-2013
ENERGIA CINETICA
RISPETTO AL CENTRO
DI MASSA
Prof. Federico Ferrari
TERMINE NULLO
88
1
2
Ek = MvCM
+ Ek′
2
ENERGIA CINETICA
DEL MOTO DEL CM
2° TEOREMA DI KöNIG
ENERGIA CINETICA INTERNA
Moto attorno al centro di massa
In un sistema di riferimento inerziale qualunque, l’energia cinetica di
un sistema materiale può essere espressa coma somma dell’energia
cinetica che il sistema avrebbe se tutta la sua massa fosse
concentrata nel centro di massa (ENERGIA CINETICA DEL MOTO DEL
CM), più l’energia cinetica che il sistema ha in un sistema di
riferimento con origine nel centro di massa e orientamento fisso
(ENERGIA CINETICA INTERNA).
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
89
SISTEMI DI PUNTI E ENERGIA
Il calcolo del lavoro per un sistema di punti deve tenere conto anche
del contributo delle forze interne, quindi si ha che
W = W
(E )
+W
(I )
F i , j ⋅ d r j + F j , i ⋅ d ri = F i , j ⋅ d
(r
j
− ri
)=
F i , j ⋅ d ri , j
≠0
Il lavoro delle forze interne è legato alla variazione della distanza fra
i punti del sistema: le forze interne possono cambiare la geometria.
Il teorema dell’energia cinetica nel caso di un sistema di punti
materiali diventa:
W
(E )
+W
(I )
= ∆Ek
Inoltre, se agiscono forze conservative l’energia meccanica si
conserva. Essa però può non conservarsi per un sistema di punti,
anche se isolato.
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
90
QUANTITÀ DI MOTO
Grandezza fisica vettoriale caratteristica del moto di traslazione.
Si indica con il simbolo p e ha unità di misura kg m s-1
P = mv
Un corpo fermo ha quantità di moto nulla, mentre uno in
movimento può averla sia positiva sia negativa.
È una proprietà globale di un sistema fisico
La quantità di moto passa da un corpo ad un altro e può quindi
essere scambiata
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
91
La quantità di moto non può essere creata
Un corpo fermo si muove:
• Se riceve della quantità di moto
• Se cede della quantità di moto contraria
La quantità di moto nulla di un sistema costituito da due corpi
deriva dal fatto che viene scambiata quantità di moto uguale e
opposta fra i due corpi
La quantità di moto non si può annichilare
Un corpo in moto si ferma:
• Se cede la sua quantità di moto a un altro
• Se riceve della quantità di moto contraria
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92
La Quantità di Moto di un sistema isolato è costante
p1 + p 2 = 0
Viceversa,
se la quantità di moto totale è costante, il sistema è isolato.
La Quantità di Moto di un sistema non isolato non è costante
p in ≠ p fin
La quantità di moto passa naturalmente (senza interventi esterni)
dal corpo alla velocità maggiore a quello alla velocità minore
La quantità di moto passa artificialmente (con interventi esterni) dal
corpo alla velocità minore a quello alla velocità maggiore
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93
URTI
Interazione nella quale due o più corpi entrano in contatto e che
soddisfa le seguenti caratteristiche:
La forza media esercitata è grande;
L’intervallo di tempo in cui la forza agisce è relativamente breve.
Ne consegue che:
Il moto dei corpi durante l’urto è trascurabile;
Le forze esterne sono trascurabili;
p = p1 + p 2
La quantità di moto si conserva.
F2
F1
m2
m1
∆ p1 =
∆p2 =
∫
t2
t1
∫
t2
t1
F1 d t
F1 , F 2
F2 d t
F 1 + F 2 = 0
(c o p p ia a z io n e -re a z io n e ) ⇒
∆ p 1 + ∆ p 2 = 0
∆ p = ∆ p1 + ∆ p 2 = 0
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94
Abbiamo visto che per i sistemi:
1
2
Ek = MvCM
+ Ek′
2
Poiché negli urti vale l’approssimazione F
∑p
i
= cost.
vCM = cost.
i
(E)
≅ 0 , allora
1
2
MvCM
= cost.
2
In base a ciò che avviene per Ek′ , distinguiamo:
Urto perfettamente elastico Ek′ = cost. ( Ek si conserva);
Urto perfettamente anelastico Ek′ = 0 ;
Urto né perfettamente elastico né perfettamente anelastico ( Ek′
non si conserva e non si annulla).
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95
DESCRIZIONE DEGLI URTI
Sistema del laboratorio
z
O
Sistema del centro di massa
z′
O ′ ≡ CM
y
vT
y′
x′
x
• UN CORPO PUÒ ESSERE IN QUIETE
PRIMA DELL’URTO (BERSAGLIO)
• DOPO UN URTO ELASTICO LE
VELOCITÀ RELATIVE SI INVERTONO
• LA QUANTITÀ DI MOTO TOTALE È
NULLA PRIMA E DOPO L’URTO
m1v1,′ i + m2 v2,′ i = m1v1,′ f + m2 v2,′ f = 0
• DOPO UN URTO ANELASTICO I CORPI
SONO IN QUIETE
• DOPO UN URTO ELASTICO LE
VELOCITÀ SI INVERTONO
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96
URTO PERFETTAMENTE ELASTICO
(in una dimensione)
v1,i
m1
m
v2,i
m1
2
PRIMA DELL’URTO
v1, f
m
v2, f
2
DOPO L’URTO
Dalla conservazione della quantità di moto abbiamo
m1v1,i + m2 v2,i = m1v1, f + m2 v2, f
Dalla conservazione dell’energia cinetica
1
1
1
1
2
2
2
m1v1,i + m2v2,i = m1v1, f + m2 v2,2 f
2
2
2
2
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97
Raccogliendo le masse e semplificando opportunamente si ricavano
le seguenti
A: m1 ( v1,i − v1, f ) = m2 ( v2,i − v2, f
B: m1 ( v1,2i − v1,2 f ) = m2 ( v2,2 i − v2,2 f
)
)
Calcolando il rapporto B/A si trova che
v1,i + v1, f = v2,i + v2, f
da cui
v1,i − v2,i = v1, f − v2, f
La velocità relativa fra i due corpi prima e dopo l’urto è uguale.
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98
Supponendo di conoscere le masse e le velocità iniziali dei due corpi
è possibile trovare i valori delle velocità finali, attraverso le seguenti
relazioni:
v1, f
m1 − m2
2m2
=
v1,i +
v2,i
m1 + m2
m1 + m2
v2, f
2m1
m2 − m1
=
v1,i +
v2,i
m1 + m2
m1 + m2
Possiamo osservare alcuni casi notevoli:
1. m1 = m2
2. v2,i = 0
v1, f = v2,i
v2, f = v1,i
v1, f
LE VELOCITÀ DELLE PARTICELLE SI SCAMBIANO
m1 − m2
=
v1,i
m1 + m2
v2, f
2m1
=
v1,i
m1 + m2
SE POI:
m1 = m2
m2 ≫ m1
m2 ≪ m1
⇒ v1, f = 0 v2, f = v1,i
⇒ v1, f ≅ −v1,i v2, f = 0
⇒ v1, f ≅ v1,i v2, f ≅ 2v1,i
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99
URTO PERFETTAMENTE ANELASTICO
(in una dimensione)
v2,i = 0
v1,i
m1
m1
+
m2
m2
PRIMA DELL’URTO
vf = v
DOPO L’URTO
Dalla conservazione della quantità di moto abbiamo
m1v1 = ( m1 + m2 ) v
Per l’energia cinetica, prima e dopo, abbiamo
1
Ek ,i = m1v12
2
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Ek , f
Prof. Federico Ferrari
1
= ( m1 + m2 ) v 2
2
100
m1
v=
v1
m1 + m2
Inserendola nell’espressione dell’energia cinetica finale si ha:
Ek , f
2
1
1
m
m1
2
= ( m1 + m2 )
v =
Ek ,i
2 1
2
m1 + m2
( m1 + m2 )
∆Ek = Ek , f
A.A. 2012-2013
m2
− Ek ,i =
Ek ,i
m1 + m2
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101
URTO ANELASTICO
(in una dimensione)
Corrisponde al caso più comune, nel quale si ha conservazione della
quantità di moto totale ma non dell’energia cinetica del sistema.
Ciò avviene perché una parte dell’energia viene dissipata durante
l’urto: l’impulso della forza di interazione è maggiore nella fase di
deformazione rispetto alla fase di ritorno.
Definiamo due parametri significativi (rispetto al SR del CM):
p1,′ f
p2,′ f
e=−
=−
p1,′ i
p2,′ i
Ek′ , f − Ek′ ,i
δ=
= e2 − 1
Ek′ ,i
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Coefficiente di restituzione
c
e = 1, δ = 0
COMP. ELASTICO
e = 0, δ = −1
COMP. ANELASTICO
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102
CORPO RIGIDO
Sistema materiale indeformabile: la distanza relativa fra due punti
qualunque del corpo rimane invariata.
L’azione delle forze interne non influenza il moto: potrebbe al limite
mutare la distanza fra i singoli punti materiali, ma questo ci
porterebbe fuori dalla definizione data.
Un corpo rigido libero nello spazio possiede sei DOF (Degrees Of
Freedom). Il suo moto è governato dalle equazioni cardinali
dp
dt
GOVERNA IL MOTO DEL CM
F
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(E )
=
dL
M
=
dt
GOVERNA I MOTI ROTAZIONALI
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(E )
103
Considerando un generico punto P del corpo rigido, possiamo
definirne la velocità come segue:
v P = vQ + ω ∧ Q P
PUNTO QUALUNQUE
DEL CORPO
VELOCITÀ ANGOLARE ISTANTANEA
DEL CORPO ATTORNO ALL’ASSE
PASSANTE PER Q
VETTORE CHE
CONGIUNGE I DUE
PUNTI
Inoltre indichiamo la condizione necessaria e sufficiente affinché un
corpo rigido si trovi in una posizione di equilibrio:
in tale posizione devono essere nulli il risultante F ( E ) e il
momento M ( E ) risultante delle forze esterne applicate al
sistema.
M
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(E )
= 0
F
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(E )
= 0
104
MOMENTO D’INERZIA
Consideriamo un corpo rigido simmetrico che ruota con velocità
angolare ω rispetto a un asse passante per il centro di massa.
ω
dL2
P1
d L1
β
h
r1
α
C
h P2
r2
nˆ C
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Per ogni punto P1 di massa dm, esiste
un simmetrico P2, con la stessa massa.
La velocità tangenziale dello i-esimo
elemento è
S
v i = ω ri s i n α nˆ 1 = ω h i
Calcoliamo il Momento angolare di P1
rispetto al CM:
d L 1 = r1 ∧ d m v 1 = d m h r ω nˆ 1
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105
Calcoliamo il momento angolare di P2
rispetto al CM:
ω
dL2
P1
d L1
d L 2 = r 2 ∧ d m v 2 = d m h r ω nˆ 2
β
h
r1
α
C
h P2
r2
nˆ C
S
Consideriamo la componente del
momento angolare che è parallela
all’asse di rotazione, per cui abbiamo:
d L 2 , = d L1, = d m ω h r c o s β
= d m ω h r s in α
= dmω h2
Le componenti del momento angolare che sono ortogonali all’asse si
annullano, quindi possiamo scrivere la seguente relazione vettoriale
d L1 + d L 2 =
A.A. 2012-2013
(d L
1,
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+ d L2,
) nˆ
C
106
Sommiamo su tutti gli elementi infinitesimi e distinguiamo due casi:
1. Il sistema è costituito da elementi discreti
L =
∑
Li =
i
∑ (∆ m
2
ˆ
h
i i )ω n C = I C ω
i
2. Il sistema è continuo
LTOT =
∫ (h
2
dm
) ω nˆ
C
= ICω
MOMENTO D’INERZIA
IC = ∫ r 2dm
Se la velocità angolare è costante, allora lo è anche il momento
angolare e di conseguenza non è necessario applicare nessun
momento esterno per mantenere il sistema in rotazione. In questo
caso si parla di ASSE LIBERO DI ROTAZIONE o ASSE CENTRALE
D’INERZIA (è asse di simmetria del corpo).
A.A. 2012-2013
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107
Consideriamo il caso precedente se il corpo rigido è asimmetrico.
Per realizzare l’asimmetria consideriamo un punto P0 di massa m0,
come mostrato in figura.
Per ottenere il momento angolare del
ω
nuovo sistema dobbiamo considerare il
momento angolare di P0
L C′ M
P0
LCM
L 0 = r 0 ∧ m 0 v 0 = r 0 m 0 ω h 0 nˆ 0
h0
α
L0
C
nˆ C
r0
Versore ortogonale a r 0
S′
Quindi il momento angolare totale è:
L C′ = L C′ + L 0
= I C nˆ C ω + r 0 m 0 h 0 nˆ 0 ω
= I C nˆ C ω + I 0 nˆ 0 ω = I C′ ω
IC
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I0
108
In generale, il nuovo momento angolare non è parallelo al vettore
velocità angolare e quindi
d L C′
≠ 0
dt
L’asimmetria del sistema produce una variazione della direzione e
del verso del momento angolare.
Ne consegue che:
Deve agire sul sistema un momento esterno non nullo;
nˆ C non è più asse libero di rotazione;
Il punto C non è più il centro di massa del sistema S’
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109
Consideriamo le componenti parallela e normale del momento
angolare rispetto alla velocità angolare. Abbiamo che
L C′ = L C′ , + L C′ , ⊥
L C′ ⋅ nˆ C
Esplicitiamo la componente parallela
L C′ , =
(ICω
nˆ C + r 0 m 0 ω h 0 nˆ 0
) ⋅ nˆ C
= I C ω + ω m 0 h 0 r0 s i n a
nˆ 0 ⋅ nˆ C
=
(I
C
+ m 0 h 02 ) ω = I C′ ω
Momento d’inerzia rispetto
all’asse nˆ C del sistema S’
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110
Il prodotto fra momento d’inerzia e velocità angolare equivale alla
proiezione del momento angolare sull’asse di rotazione.
Considerando la componente perpendicolare alla velocità angolare
abbiamo
L C′ , ⊥ = L C′ ⋅ nˆ ⊥
che identifica un MOTO DI PRECESSIONE (uniforme se la velocità
angolare è costante). Inoltre, se il momento angolare è costante in
modulo
d L C′ , ⊥
d L C′
M =
=
= ω ∧ L C′
dt
dt
In modulo
d L C′
dθ
M =
= L C′ , ⊥
= L C′ , ⊥ ω
dt
dt
A.A. 2012-2013
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111
ALCUNI VALORI DEL MOMENTO D’INERZIA
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112
TEOREMA DI HUYGENS STEINER
Dato un sistema di massa M in un sistema di riferimento inerziale, il
suo momento d’inerzia rispetto ad un qualunque asse fisso, e quello
rispetto ad un asse ad esso parallelo passante per il centro di massa,
stanno nella seguente relazione:
I = ICM + M h 2
MOMENTO D’INERZIA
RISPETTO ALL’ASSE
PASSANTE PER IL PUNTO P
DISTANZA DEGLI ASSI
MASSA DEL SISTEMA
MOMENTO D’INERZIA RISPETTO
A UN ASSE PASSANTE PER IL CM
Conoscendo il momento d’inerzia del corpo rispetto a un asse
passante per il CM possiamo ricavarlo per qualsiasi asse ad esso
parallelo.
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113
ENERGIA CINETICA
L’energia cinetica di un corpo in rotazione è data dalla seguente:
1
Ek =
I zω 2
2
MOMENTO D’INERZIA RISPETTO
ALL’ASSE DI ROTAZIONE DEL CORPO
Utilizziamo il teorema di H.S.
Ek
1
=
2
(I
CM
+ mh
2
)ω
2
VELOCITÀ DEL CENTRO DI MASSA
(MOTO CIRCOLARE DI RAGGIO h)
1
=
ICM ω
2
2
1
+
m h 2ω
2
2
Infine applichiamo il secondo teorema di König
1
1
2
Ek =
ICM ω +
m v C2 M
2
2
A.A. 2012-2013
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114
MOTO ROTOTRASLATORIO
Nel moto di puro rotolamento, a causa della forza di attrito radente,
la velocità del punto C è nulla.
v = ω r
vCM
vCM
CM
+
r
vCM
C
PURO TRASCINAMENTO
CM
r
2 vCM
=
vCM
CM
r
v = ω r
C
PURA ROTAZIONE
C
PURO ROTOLAMENTO
La velocità del punto C è data da
vC = vCM + ω ∧ r
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115
Se il moto è di puro rotolamento v C = 0, quindi
vCM = −ω ∧ r
per cui, velocità angolare e del CM non sono indipendenti. L’energia
cinetica del punto C è data da:
1
1
ICω 2 =
ICM + M r
(
2
2
1
1
2
=
ICM ω +
M v C2 M
2
2
E k ,C =
Il moto di puro rotolamento può avvenire su
vincolo perfetto, oppure in presenza di
attrito volvente.
2
)ω
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vCM
CM
r
A
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2
C D
116
CENNI DI GRAVITAZIONE
La forza di gravità appartiene alle FORZE CENTRALI:
Sono molto importanti in Fisica
Sono sempre dirette verso un centro di forza (nel quale si colloca
l’origine del sistema di coordinate
Sono conservative
Il momento angolare si conserva
Nel 1665 NEWTON ipotizza che siano le stesse leggi a regolare il
moto dei corpi celesti e la caduta dei gravi.
Elabora questa ipotesi a partire da:
Le osservazioni di Tycho Brahe;
I calcoli svolti da Keplero, che aveva enunciato tre leggi.
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
117
LEGGI DI KEPLERO
PRIMA LEGGE DI KEPLERO
I pianeti si muovono su orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno
dei fuochi.
SECONDA LEGGE DI KEPLERO
I pianeti si muovono con velocità areale costante.
TERZA LEGGE DI KEPLERO
I quadrati dei periodi di rivoluzione sono proporzionali ai cubi delle
distanze medie dal Sole (semi-asse maggiore), T 2 = k r 3 .
A.A. 2012-2013
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118
CONSEGUENZE DELLA SECONDA E TERZA LEGGE DI KEPLERO
Se assumiamo che le orbite siano circolari, la seconda legge di
Keplero si esprime come segue (moto circolare uniforme):
dA
1
=
r
dt
2
2
dθ
dt
Per avere un moto circolare uniforme occorre che la forza agente sul
pianeta abbia solo componente centripeta, per cui
F = M
P
a = −M
P
ω 2 r rˆ = − M
2π
T
P
2
r rˆ
Il modulo della forza Terra-Sole vale
F S ,T = F C = M
A.A. 2012-2013
ω r =
2
T
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(4 π
2
T
M
T
r
)
2
119
Dalla terza legge di Keplero si ottiene che
F S ,T =
(4 π
2
K
M
T
r
r3
T
)∝
M T
r2
La forza è proporzionale alla massa della Terra e inversamente
proporzionale al quadrato della distanza.
Quindi, per il principio di azione e reazione
F S ,T = F T
,S
⇒ M
T
K
= M
S
S
K
T
Definendo la costante
4π 2
G =
M TK
S
4π 2
=
M SKT
Si trova che
F = G
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M
T
r
M
S
2
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120
LA LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE
F1 , 2
M 1M
= −G
r1 2, 2
2
rˆ1 , 2
COSTANTE DI
GRAVITAZIONE UNIVERSALE
La forza è attrattiva e la costante di gravitazione universale, che non
dipende né dalla massa né dalla distanza, vale
G = 6 .6 7 ⋅1 0 −11
Nm 2
kg 2
m 3 k g -1 s -2
A.A. 2012-2013
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121
ENERGIA
L’energia potenziale gravitazionale è
E
p
(r )
M 1M
= −G
r1 , 2
2
+ C
SI ASSUME NULLA QUANDO
LA DISTANZA È INFINITA
L’energia potenziale è nulla quando la distanza fra i due corpi è
infinita. Poiché si tratta di un campo di forze conservative, quando la
“massa campione” si avvicina alla sorgente del campo:
Le forze del campo compiono lavoro positivo;
L’energia cinetica aumenta;
L’energia potenziale diminuisce e quindi assume valori negativi.
A.A. 2012-2013
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122
L’energia meccanica può assumere valori negativi, positivi oppure
può annullarsi. Si possono verificare quindi i seguenti casi:
E
E
E
E
Ek
E
r
p
E > 0
Ek E
r
p
p
ORBITA PARABOLICA
Ek = E
E
Ek
r
E
p
E < 0
E = 0
ORBITA IPERBOLICA
Ek > E
E
r0
p
ORBITA ELLITTICA
Ek < E
p
Questi grafici e le relative conclusioni ad essi legate sono da
considerarsi descrizioni approssimative e qualitative del fenomeno.
A.A. 2012-2013
Prof. Federico Ferrari
123
