Elettronica I – Circuiti nel dominio del tempo

Elettronica I – Circuiti nel dominio
del tempo
Valentino Liberali
Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione
Università di Milano, 26013 Crema
e-mail: [email protected]
http://www.dti.unimi.it/˜liberali
Elettronica I – Circuiti nel dominio del tempo – p. 1
Programma – parte 3
3. Analisi di circuiti nel dominio del tempo.
(a) Segnali analogici e segnali digitali.
(b) Segnali continui e segnali campionati.
(c) Segnali periodici; periodo e frequenza.
(d) Condensatore.
(e) Induttore.
(f) Energia immagazzinata.
(g) Potenza istantanea e potenza media.
(h) Analisi nel dominio del tempo.
Elettronica I – Circuiti nel dominio del tempo – p. 2
1
Segnali nel dominio del tempo
Una grandezza elettrica che varia nel tempo secondo una
legge determinata costituisce un segnale.
I segnali possono essere di tensione oppure di corrente, a
seconda che la grandezza elettrica che ci interessa sia una
tensione o una corrente.
Per esprimere in modo esplicito la dipendenza dal tempo,
scriviamo:
v(t) per un segnale di tensione
i(t) per un segnale di corrente
Talvolta la dipendenza dal tempo viene sottintesa; il
carattere minuscolo indica comunque che si tratta di una
grandezza variabile nel tempo.
Elettronica I – Circuiti nel dominio del tempo – p. 3
Convenzioni tipografiche
tipo di carattere
significato
esempio
Maiuscolo,
Valore in continua
pedice Maiuscolo
(punto di lavoro)
VB , IC
minuscolo,
Valore istantaneo
pedice Maiuscolo
(funzione del tempo)
vB , iC
minuscolo,
Segnale
pedice minuscolo (valore istantaneo – continua)
vb , ic
v
VB
vb(t)
vB(t)
0
t
vB (t) = VB + vb (t)
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2
Segnali analogici e segnali digitali
Un segnale è analogico quando il suo contenuto di
informazione varia con continuità, potendo assumere
un’infinità di valori possibili (entro un certo intervallo).
Un segnale è digitale quando il suo contenuto di
informazione varia in modo discreto (cioè a passi), potendo
assumere soltanto un numero finito di valori possibili.
Il segnale digitale più semplice è il segnale binario, che
può assumerre solo i valori 0 (zero) e 1 (uno), che in
genere corrispondono ai valori “bassi” e “alti” di una
grandezza fisica variabile con continuità.
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Segnali continui e segnali campionati
Un segnale è continuo nel tempo quando il suo valore può
cambiare in qualsiasi istante.
Un segnale è campionato quando il suo valore cambia
solo in istanti prestabiliti, in sincronia con un segnale di
temporizzazione (“clock”), e il valore viene mantenuto
costante fino al successivo evento di temporizzazione.
v
segnale continuo
segnale campionato
0
Ts
t
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3
Segnali periodici
Un segnale è periodico quando si ripete identicamente
dopo un intervallo di tempo T , detto periodo:
x(t + T ) = x(t), ∀t
L’inverso del periodo è la frequenza:
1
T
f=
Dimensionalmente, la frequenza è l’inverso di un tempo e si
misura in hertz (Hz).
Per un moto rotatorio, la frequenza f è legata alla velocità
angolare ω dalla relazione: ω = 2π f . La velocità angolare si
misura in radianti al secondo (rad/s). Poiché l’angolo giro è
pari a 2π rad, risulta: 1 Hz = 1 giro/s = 2π rad/s.
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Esempi di segnali periodici (1/3)
Sinusoide:
v
VA
VA
2VA
0
t
T
Analiticamente può essere espressa come:
v(t) = VA sin 2π f t
con f =
1
T
Il valore di picco dell’ampiezza è VA ; il valore picco-picco,
cioè la differenza tra il massimo e il minimo, è 2VA .
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4
Esempi di segnali periodici (2/3)
Onda quadra:
v
VA
0
T
t
Un esempio di onda quadra è costituito dal segnale di clock
di un sistema digitale sincrono.
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Esempi di segnali periodici (3/3)
Onda trapezoidale:
v
VA
0
tr
tf
T
t
Nella realtà l’onda quadra ideale non esiste;
un’approssimazione più adeguata del segnale di clock di un
sistema digitale sincrono è costituito dall’onda trapezoidale,
avente tempi di salita (tr , “rise time” ) e di discesa (t f , “fall
time” ) diversi da zero.
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Valor medio e valore efficace
Il valor medio Vm di un segnale periodico è:
1
Vm =
T
Z
T
v(t) dt
0
Il valore efficace o valore quadratico medio o valore rms
(“root-mean-square”) Vrms di un segnale periodico è:
s
Z
1 T
Vrms =
(v(t))2 dt
T 0
Il valore efficace ha questo nome perchè, se viene applicata
una continua con questo valore ai capi di una resistenza, si
produce IN MEDIA la stessa dissipazione di potenza del
segnale variabile v(t) applicato alla stessa resistenza.
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Esercizi
1. Calcolare il valore efficace di un segnale di tensione
sinusoidale avente valore di picco VA .
Soluzione: Applicando la definizione, si ha:
s
s
!2
Z T
Z T
2πt
1
1
dt =
(v(t))2 dt =
VA sin
Vrms =
T 0
T 0
T
s
s
!
Z T
Z
4πt
1 1
1
1 T1
2
dt = VA
=
− cos
dt =
V
T 0 A 2 2
T
T 0 2
r
1 T VA
= VA
= √
T2
2
2. Calcolare il valore di picco della tensione della rete
elettrica, che ha un valore efficace Vrms = 230 V.
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6
Leggi per grandezze variabili nel tempo
R
+
-
i(t)
v(t)
La legge di Ohm per grandezze variabili nel tempo è:
v(t) = Ri(t)
La corrente è legata alla carica elettrica dalla relazione:
i(t) =
dq(t)
dt
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Energia interna di un bipolo
Esistono elementi circuitali il cui comportamento non
dipende solo dal valore istantaneo delle grandezze
elettriche, ma anche dai valori assunti in precedenza.
Questi elementi circuitali hanno “memoria”, cioè
mantengono al loro interno un’informazione legata al loro
funzionamento passato.
L’informazione è fisicamente immagazzinata sotto forma di
energia variabile nel tempo w(t).
L’energia assorbita da un bipolo all’istante t è:
Z t
w(t) =
p(t) dt =
−∞
Z t
=
p(t) dt + w(0)
0
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7
Potenza istantanea
L’espressione della potenza dissipata da un bipolo qualsiasi
è data dal prodotto della tensione per la corrente.
Esplicitando la dipendenza dal tempo:
p(t) = v(t)i(t)
Quando la potenza varia nel tempo, si parla di potenza
istantanea.
La potenza istantanea p(t) può essere positiva o negativa:
è positiva quando aumenta l’energia immagazzinata
nel bipolo,
è negativa quando l’energia immagazzinata
diminuisce.
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Condensatore (1/5)
i(t)
+
v(t)
C
Il condensatore (in inglese: “capacitor”) è costituito da due
superfici metalliche parallele separate da un isolante. La
carica immagazzinata è proporzionale alla tensione
applicata: q(t) = Cv(t)
La costante C è la capacità del condensatore, che si misura
in farad (F): 1 F = 1 C / 1 V
Il farad è un’unità di misura molto grande; di solito si usano i
suoi sottomultipli: µF, nF, pF e fF.
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Condensatore (2/5)
i(t)
+
v(t)
C
Dalle due equazioni q(t) = Cv(t) e i(t) =
i(t) = C
dq(t)
dt
si ottiene:
dv(t)
dt
La corrente è proporzionale alla derivata della tensione.
Se la tensione è costante, la derivata è nulla e non passa
corrente −→ per la continua il condensatore si comporta
come un circuito aperto.
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Condensatore (3/5)
Invertendo l’equazione:
i(t) = C
dv(t)
dt
si ricava:
1
v(t) =
C
Z
t
i(t)dt + v(0)
0
La tensione è proporzionale all’integrale della corrente.
La tensione v(0) (che matematicamente rappresenta la
costante di integrazione) è la condizione iniziale:
v(0) = v(t = 0)
In SPICE la condizione iniziale è specificata con il
parametro IC (“initial condition”).
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Condensatore (4/5)
L’energia immagazzinata in un condensatore è:
1
w(t) = C(v(t))2
2
Per semplicità, sottintendendo t, possiamo scrivere:
1
w = Cv2
2
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Condensatore (5/5)
Si vede facilmente che derivando l’energia si ottiene la
potenza istantanea:
p(t) =
dw(t)
dv(t)
= Cv(t)
dt
dt
L’energia aumenta (e quindi la potenza viene assorbita)
quando il valore assoluto della tensione ai capi del
condensatore aumenta; l’energia diminuisce (e quindi la
potenza viene erogata) quando il valore assoluto della
tensione ai capi del condensatore diminuisce.
Elettronica I – Circuiti nel dominio del tempo – p. 20
10
Esercizio
Un generatore di tensione sinusoidale di ampiezza VA = 1 V
e frequenza f = 1 kHz è collegato ad un condensatore di
capacità C = 1 nF. Calcolare l’intensità della corrente nel
condensatore.
Soluzione: L’espressione della tensione del generatore è:
v(t) = VA sin 2π f t
La stessa tensione è applicata ai capi del consensatore. La
corrente è data da:
i(t) = C
dv(t)
= 2π f CVA cos 2π f t
dt
La corrente ha un andamento cosinusoidale, con ampiezza
IA = 2π f CVA = 6.28 µA e frequenza f = 1 kHz.
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Induttanza (1/6)
i(t)
+
v(t)
L
L’induttore (in inglese: “inductor”) è solitamente costituito da
un filo avvolto a spirale (solenoide). All’interno
dell’avvolgimento, si ha un flusso magnetico Φ
proporzionale alla corrente nel filo: Φ(t) = Li(t)
Il flusso magnetico Φ si misura in weber (Wb):
m2 ·kg
1 Wb = 1 A·s2 .
La costante L è l’induttanza dell’induttore, che si misura in
henry (H): 1 H = 1 Wb / 1 A
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Induttanza (2/6)
i(t)
+
v(t)
L
Una variazione nel tempo del flusso magnetico produce
una differenza di potenziale ai capi dell’induttore (legge di
Faraday-Henry): v(t) = dΦ(t)
dt
Combinando le due equazioni: Φ(t) = Li(t) e v(t) =
si ottiene:
di(t)
v(t) = L
dt
dΦ(t)
dt
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Induttanza (3/6)
i(t)
+
v(t)
L
di(t)
dt
La tensione è proporzionale alla derivata della corrente.
v(t) = L
Se la corrente è costante, la derivata è nulla e non c’è
tensione ai capi del bipolo
−→ per la continua l’induttore si comporta come un
cortocircuito.
Elettronica I – Circuiti nel dominio del tempo – p. 24
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Induttanza (4/6)
Invertendo l’equazione:
v(t) = L
di(t)
dt
si ricava:
1
i(t) =
L
Z
t
v(t)dt + i(0)
0
La corrente è proporzionale all’integrale della tensione.
La corrente i(0) (che matematicamente rappresenta la
costante di integrazione) è la condizione iniziale:
i(0) = i(t = 0)
In SPICE la condizione iniziale è specificata con il
parametro IC (“initial condition”) anche per l’induttanza.
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Induttanza (5/6)
L’energia immagazzinata in un induttore è:
1
w(t) = L(i(t))2
2
Per semplicità, sottintendendo t, possiamo scrivere:
1
w = Li2
2
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Induttanza (6/6)
Derivando l’energia, si ottiene la potenza istantanea:
p(t) =
dw(t)
di(t)
= Li(t)
dt
dt
L’energia aumenta (e quindi la potenza viene assorbita)
quando il valore assoluto della corrente nell’induttanza
aumenta; l’energia diminuisce (e quindi la potenza viene
erogata) quando il valore assoluto della corrente
nell’induttanza diminuisce.
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