versione del 20/03/07

Alcune note sulle serie di potenze1
G. Falqui
Contents
1 Preliminari
1
2 Serie di potenze
3
3 Rappresentazione di funzioni mediante serie di potenze
3.1 Esempi notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Formula di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
9
12
4 Derivazione ed integrazione per serie
4.1 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
17
5 Prodotto di serie
21
1
Preliminari
Nel corso di Matematica I (o Istituzioni di Matematica) sono stati illustrati i
concetti di serie numerica ed i criteri per la convergenza di una serie.
Ricordiamo brevemente che il concetto di serie numerica formalizza la nozione
di somma infinita, nel seguente modo: sia data una successione di numeri (reali
o complessi) {an }∞
n=1 . Il simbolo
∞
X
an
(1.1)
n=1
si dice serie numerica (associata alla – o definita dalla) successione {an }∞
n=0 . A
partire dalla (1.1) si considera la successione delle somme parziali, ovvero la
1
Queste sono note non formali delle lezioni relative alle serie di potenze tenute durante
il corso di Matematica II e Complementi di Matematica nell’ a/a 2006/2007. Commenti e
correzioni saranno benvenuti. Per una esposizione più sistematica, si può consultare il libro
di J. Stewart, Calcolo, Vol. I, Apogeo Editori, Milano (2002).
1
successione {sn }∞
n=1 definita da
sn =
n
X
k=1
ak ,
n = 1, 2, . . . , ∞,
(1.2)
e.g., s1 = a1 , s2 = a1 + a2 e cosı̀ via.
Se vale che
lim sn = S, con S finito,
n→∞
P
si dice che la serie ∞
n=1 an è convergente, e S si chiama somma della serie. Se
il limite o non esiste, o, se esiste, è infinito, la serie si dice non convergente.
Esempio 1. Riportiamo qui l’esempio della serie geometrica di ragione r,
con |r| < 1 anche perchè ci
utile in seguito.
Psarà
∞
Consideriamo dunque n=1 r n−1 . La successione delle somme parziali sn ad
essa associata è data da
s1 = 1, s2 = 1 + r, s3 = 1 + r + r 2 , s4 = 1 + r + r 2 + r 3 , . . . ,
Fissiamo n e consideriamo:
sn = 1 + r + r 2 + · · · + r n−1
r sn =
r + r 2 + · · · + r n−1 + r n .
(1.3)
Sottraendo termine a termine,
sn − r sn ≡ (1 − r)sn = 1 − r n ⇒ sn =
1 − rn
.
1−r
Dunque dato che |r| < 1 si ha che la serie geometrica è convergente, e la sua
1
1 − rn
=
.
somma è S = lim
n→∞ 1 − r
1−r P
P
Criterio del confronto. Siano
an e
bn serie a termini non negativi.
Allora:
P
P
1. Se an ≤ bn ∀n e
bn è convergente, allora
an è convergente.
P
P
2. an ≥ bn ∀n e
bn non è convergente, allora
an non è convergente.
P
Definizione. Una serie
an si dice assolutamente
P convergente se la serie dei
valori assoluti (o moduli, nel campo complesso)
|an | è convergente.
Osservazione. Una serie assolutamente convergente è convergente. Non è,
in generale, vero il viceversa.
2
Criterio del rapporto. Questo criterio permette di stabilire (condizionatamente) la convergenza assoluta di una serie calcolando il limite del rapporto
tra due termini successivi. In particolare, il criterio si formula cosı̀
Sia
an+1
lim |
| = L; Allora:
n→∞ an
P
1. Se L < 1 (strettamente),
an è assolutamente convergente e dunque
convergente;
P
2. Se L > 1 (strettamente),
an non è convergente.
3. Se L = 1 il criterio non dice nulla.
Ancora, risulta spesso molto
P utile, per le serie a termini alternati il
Criterio di Leibniz: sia an una serie a termini alternati (cioè di segno alternativamente positivo e negativo, ovvero, in una formula, an = (−1)n bn , con bn >
0). Supponiamo inoltre che la successione
dei numeri positivi bn sia decresente,
P
n
(bn+1 < bn , ∀ n). Allora
la
serie
(−1)
b
n è convergentre, e, inoltre, se S è la
P
n
sua somma (S = n (−1) bn ), e sn denota la sua n-esima somma parziale, si
ha
|S − sn | < bn+1 .
A parole: per una serie a termini alternati che soddisfi le ipotesi di cui sopra,
la somma parziale n-esima stima il valore della somma della serie con un errore
che in modulo è non superiore a primo termine che si “trascura”.
2
Serie di potenze
Le serie di potenze (centrate in x0 , dove x0 è un numero reale o complesso) possono essere pensate come generalizzazioni dei polinomi di Taylor. In generale,
esse sono “definite” da espressioni del tipo
n
X
n=0
bn (x − x0 )n
(2.1)
dove bn sono numeri reali (o complessi).
Esse possono essere viste come serie nelle quali il termine generale an = bn (x −
x0 )n dipende dal “parametro” x attraverso il fattore (x − x0 )n . È chiaro che,
per i valori di x per i quali la serie converge, la serie (o meglio, la somma della
serie) definirà una funzione di x. Il problema primo che ci si pone, data un serie
3
di potenze della forma (2.1), è dunque determinare per quali valori di x essa
converge.
Osservazioni preliminari:
1) La serie (2.1) converge sempre (cioè, indipendentemente dalla scelta dei
coefficienti numerici an ) almeno per x = x0 ; infatti, per x = x0 , la sequenza dei
termini generali si banalizza a
a0 = b0 , 0, 0, 0, 0, · · ·
e dunque per x = x0 non siamo in presenza di una serie, ma di una somma
finita (anzi, di un solo numero non nullo!).
2) x = x0 può essere l’unico punto in cui una serie converge; ad esempio,
X
n!(x − x0 )n
n
non converge per alcun x diverso da x0 .
Se riprendiamo l’esempio della serie geometrica, notiamo che essa è una
serie di potenze; infatti (scrivendo x al posto di r, e rinumerando i termini nella
espressione data più sopra) si ha che la serie geometrica di ragione x si scrive
come
∞
X
xn ,
n=0
ovvero è proprio della forma (2.1), con:
x0 = 0, bn = 1 ∀n.
Il risultato base della teoria delle serie di potenze si può formulare nel
seguente modo:
Teorema: Supponiamo che la serie di potenze
∞
X
n=0
an (x − x0 )n
(2.2)
converga assolutamente per x = x1 6= x0 ; allora converge assolutamente per
−|x1 − x0 | < |x − x0 | < |x1 − x0 |
(2.3)
Osservazione. Il risultato dice che, se x è una variabile reale, se la serie (2.2)
converge assolutamente in un punto x1 diverso da x0 , allora converge in tutto
4
l’intervallo simmetrico di semiapiezza |x1 − x0 |; se x è complesso, allora la serie
converge in tutto il cerchio di raggio r = |x1 − x0 | centrato in x0 .
Dimostrazione. Poniamo per semplicità x0 = 0 e x1 > 0. Dall’ipotesi sappiamo che la serie numerica
∞
X
an (x1 )n , con x1 > 0
n=0
converge assolutamente. Consideriamo la serie (2.2), e riscriviamo il suo termine
generale come
x
an xn = an ( )n xn1 ;
x1
la serie dei moduli si scriverà, analogamente, come
∞
X
n=0
n
|an |(|x|) =
∞
X
x n
|an |( xn1 .
x1
n=0
| {z
}
=r n
La condizione (2.3) si traduce nel caso x0 = 0 nella condizione |x| < |x1 |, ovvero
0 < r < 1. Quindi abbiamo che il termine generale
Pdella nserie dei moduli qui
sopra è maggiorato dal termine generale della serie |an |x1 , che è convergente.
Dunque, il criterio del confronto assicura la convergenza assoluta della serie
(2.2) per |x| < |x1 |.
Il caso delle serie di potenze centrate in x0 6= 0 è del tutto analogo.
P
Osserviamo ora che, se riusciamo a stabilire che la serie data ∞
n=0 an (x −
n
x0 ) converge per x = x2 , con |x2 − x0 | > |x1 − x0 |, allora possiamo concludere
che la serie converge in tutto l’intervallo P
(o cerchio, se siamo sui complessi)
n
|x − x0 | < |x2 − x0 |; di fatto, data la serie ∞
n=0 an (x − x0 ) , si danno tre casi:
1. La serie converge solo in x = x0
2. La serie converge per tutti gli x reali (o complessi)
3. Esiste un numero positivo R tale che la serie converge in |x − x0 | < R e
non converge per |x − x0 | > R.
Il numero R in questione si chiama raggio di convergenza della serie (2.1). Talvolta si compendiano i casi 1 e 2 qui sopra dicendo che nel caso 1, il raggio è
zero, e nel caso 2, il raggio è infinito.
Il problema tipico che ci si pone in questo ambito è il seguente: data una
serie di potenze, si vuole determinare il suo raggio di convergenza; se questo è
5
finito (e non nullo, beninteso), ci si può domandare che cosa succede se x assume
i valori “estremi”, ovvero se |x − x0 | = R.
Esempio 2. Consideriamo la serie
∞
X
2n
n=1
n3
xn .
(2.4)
Vogliamo calcolare per quali valori (reali) di x essa converge. Utilizziamo il
criterio del rapporto. Detto an il termine generale di (2.4) si ha:
n+1
e dunque, semplificando,
2
n+1
an+1 (n+1)
3 x
,
=
2n n
an
x
n3
an+1 = 2 |x| n + 1 n .
an
| n{z }
1 3
) )
=(1+ n
Otteniamo
an+1 = 2 |x| lim (1 + 1 )3 = 2 |x|.
lim n→∞
n→∞
an
n
Quindi, per il criterio del rapporto, la serie converge assolutamente per
1
2 |x| < 1, ⇔ |x| < ,
2
mentre non converge per |x| > 21 . Dunque la serie (2.4) ha raggio di convergenza
R = 21 .
Resta da esaminare il caso x = ± 12 ; sostituendo direttamente nella (2.4)
questi valori di x si ottiene
∞
X
1
1
per x = si ha
,
2
n3
n=1
∞
X
1
(−1)n
per x = − si ha
2
n3
n=1
Entrambe
dei valori reali per i quali
P∞ 2n nqueste serie convergono, per cui l’insieme
1 1
x
converge
è
l’intervallo
chiuso
[−
,
].
n=1 n3
2 2
Esercizio. Si dimostri che la serie
∞
X
( −1 )n n
√3
x
n
+
3
n=0
6
converge in (−3, 3] (ovvero per −3 < x ≤ 3).
Esercizio Sui calcoli per quali valori di x reali la serie
∞
X
n=1
converge.
3
(−1)n
(x + 2)n
n 2n
Rappresentazione di funzioni mediante serie
di potenze
L’idea della rappresentazione di una funzione come serie di potenze si può intuire
riconsiderando la serie geometrica (Esempio 1), con r = x. Quando leggiamo
da sinistra a destra la relazione
∞
X
1 ′′
,
(3.1)
xn =
“ Per |x| < 1
1
−
x
n=0
vogliamo significare che se |x| < 1 la serie in questione converge; al variare di x
nell’intervallo (−1, 1) definisce una funzione f di x a valori reali, e, finalmente,
1
questa funzione non è nient’altro che il reciproco di (1−x), cioè f (x) =
.
(1 − x)
Consideriamo ora il problem di construire il polinomio k-esimo di Taylor
1
associato a f (x) =
centrato in x0 = 02 . Per farlo dobbiamo calcolare
1−x
f (0) e il valore delle derivate di f (x) in x = 0 fino all’ordine k. Ovviamente,
f (0) = 1; poi, per la derivata prima,
f ′ (x) =
Per la derivata seconda,
f ′′ (x) =
−1
1
(−1) =
⇒ f ′ (0) = 1.
2
(1 − x)
(1 − x)2
−2
2
1
d
=
(−1) =
⇒ f ′′ (0) = 2,
2
3
dx (1 − x)
(1 − x)
(1 − x)3
e per la derivata terza,
f ′′′ (x) =
d
−3 · 2
3·2
2
=
(−1) =
⇒ f ′′′ (0) = 1.
3
4
dx (1 − x)
(1 − x)
(1 − x)4
2
Serie (o polinomi) di Taylor centrati in x0 = 0 si dicono solitamente serie (o polinomi) di
Mc Laurin.
7
Non è difficile convincersi (o dimostrare per induzione) che, per la derivata
j-esima vale la formula
j!
dj
dj
1
1 = j!, ∀ j ∈ N.
=
,
e
dunque
dxj (1 − x)
(1 − x)j+1
dxj (1 − x) x=0
Quindi, per ogni k finito, il polinomio di Taylor di ordine k centrato in zero
1
(ovvero il polinomio di Mc Laurin di ordine k) di
è dato da3
1−x
1 + x + x2 + · · · xk .
Allora
leggere la relazione (3.1), da destra a sinistra, come la serie geometPposso
1
n
nell’intervallo |x| < 1, cioè generalizza
rica n x rappresenta la funzione 1−x
la nozione di polinomio di Taylor.
In generale, rappresentare una funzione in serie di potenze nell’intorno di
x = x0 significa esprimerla mediante una somma infinita di termini della forma
an (x − x0 )n , n = 0, 1, . . ..
Talvolta (poche volte) la rappresentazione in serie di potenze di una funzione
può essere trovata con metodi elementari (cioè, “trucchi”). Un esempio è il
seguente:
1
Sia f (x) =
. Per esprimerla in serie di potenze centrate in x0 = 0,
1 + x2
basta notare che
1
1
f (x) =
=
,
2
1+x
1 − (−x2 )
e dunque che, con la sostituzione −x2 = y, abbiamo (nella nuova variabile y)
una funzione della quale conosciamo lo sviluppo in serie di potenze (è la solita
serie geometrica...); quindi lo sviluppo in serie (in y) di f sarà
f (y) =
∞
X
yn
n=0
che è assolutamente convergente per |y| < 1; sostituendo y = −x2 in questa
formula si ha lo sviluppo
∞
∞
X
X
1
2 n
(−1)n x2n .
(−x
)
=
=
1 + x2
n=0
n=0
3
(3.2)
Si ricordi che in generale, il polinomio di Taylor di ordine k di una funzione f (x), centrato
1 ′′
in x = x0 è dato dal polinomio in x Pk (f )(x) = f (x0 ) + f ′ (0)(x − x0 ) + 2!
f (x0 )(x − x0 )2 +
1 (
1 ′′′
3
k
3! f (x0 )(x − x0 ) + · · · + k! f k)(x0 )(x − x0 ) .
8
Esercizio. Calcolare lo sviluppo in serie di potenze nell’intorno di x0 = 0 della
funzione
x2
g(x) =
4 − x2
1
, e 4 − x2 = 4(1 − ( x2 )2 ).
Suggerimenti: a) g(x) = x2 ·
4 − x2
Un metodo algoritmico (ma non sempre il più efficace) per calcolare lo
sviluppo in serie di una funzione f (x) si basa sulla osservazione (riportata anche
più sopra) che lo sviluppo in serie di una funzione P
generalizza la nozione di polin
nomio di Taylor. Dunque, se una serie di potenze ∞
n−0 an (x − x0 ) rappresenta
una funzione f (x) dovrà valere
dk
′′
′′′
f
(x)
k
f (x0 )
f (x0 )
dx
x=x0
′
a0 = f (x0 ), a1 = f (x0 ), a2 =
, a3 =
, . . . , ak =
.
2(!)
3!
k!
Leggendo queste relazioni da destra a sinistra si ha che i coefficienti ak dello
sviluppo in serie di una funzione f (x) nell’intorno di x = x0 sono dati dai valori
che la derivata k-esima di f assume in x = x0 , divisi per k!.
Osservazioni. 1) La serie geometrica è un esempio lampante del fatto che la
1
serie di potenze centrata in 0 di 1−x
rappresenta la funzione solo nell’intervallo
|x| < 1, cioè un intervallo più piccolo dell’insieme di definizione della funzione
di partenza. Come vederemo più sotto, lo stesso accade per f (x) = arctan(x).
2) Il metodo del calcolo delle derivate è algoritmico, ma può essere pesante, in
quanto richiede il calcolo di tutte le derivate della funzione.
3.1
Esempi notevoli
1. La funzione esponenziale.
Cerchiamo lo sviluppo in serie di f (x) = exp x = ex nell’intorno di x0 = 0.
Abbiamo
f (0) = e0 = 1, f ′ (x) = ex ⇒ f ′ (0) = 1,
e, in generale,
dk x dk x
x
e
=
e
⇒
e
=1
dxk
dxk x=0
Dunque la serie di potenze di ex nell’intorno di x = 0 è data da
∞
X
1 n
x
n!
n=0
9
(3.3)
Proposizione. La serie (3.3) converge per ogni x reale e quindi si può scrivere,
senza ulteriori specificazioni,
ex =
∞
X
1 n
x .
n!
n=0
Verifichiamo l’affermazione sulla convergenze della serie in questione. Si ha
n+1
x
an+1 (n+1)!
= n .
x
an
n!
Semplificando,
an+1 = |x| ⇒ lim an+1 = 0, ∀ x ∈ R,
n→∞
an
n+1
an
e dunque il criterio del rapporto ci dice appunto che questa serie converge per
tutti i valori di x reali. Osserviamo inoltre che laP
serie (3.3) converge anche per
zn
x = z complesso. Si può dunque vedere la serie ∞
n=0 n! come una definizione
dell’esponenziale in campo complesso.
2 Le funzioni cos(x) e sin(x).
Consideriamo lo sviluppo in serie di cos(x) sempre nell’intorno di x0 = 0.
Notiamo che:
d
cos x = − sin(x);
dx
d3
cos(x) = sin(x);
dx3
d2
d
cos x =
(− sin(x)) = − cos(x);
2
dx
dx
d4
cos(x) = cos(x).
dx4
Dunque le derivate hanno un andamento “periodico” in n, di periodo 4; infatti,
d0
iterando la formula qui sopra (e chiamando per comodità di notazione dx
0 f (x) ≡
f (x)), si ha:
dn
cos(x) = cos(x), se n = 4k;
dxn
dn
cos(x) = − cos(x), se n = 4k + 2;
dxn
10
dn
cos(x) = − sin(x), se n = 4k + 1;
dxn
dn
cos(x) = sin(x), se n = 4k + 3.
dxn
(3.4)
Per calcolare lo sviluppo in serie di Taylor in un intorno di 0 di cos(x) si devono
calcolare il valore delle derivate di cos(x) in x = 0; dalla formula qui sopra si ha
dn
dxn
dn
cos(x)
= 1, se n = 4k;
x=0
dxn
cos(x) = = −1, se n = 4k + 2;
x=0
dn
cos(x)
= 0, se n = 4k + 1;
x=0
dxn
dn
cos(x) = 0, se n = 4k + 3.
dxn
(3.5)
Dunque, lo sviluppo in serie di Taylor centrato in x0 = 0 di cos(x) è:
∞
X (−1)n
(−1) 2 1 4
1+
x + x +··· =
x2n .
2
4!
(2n)!
n=0
(3.6)
Proposizione. Lo sviluppo in serie qui dato di cos(x) converge per ogni x
reale.
Per verificare questo fatto, è utile fare una premessa di carattere abbastanza
generale. Vogliamo applicare anche qui il criterio del rapporto. Peraltro, cosı̀
come l’abbiamo enunciato, sembra che qui non abbia senso, dato che i coefficienti
a1 , a3 , a5 eccetera (cioè i coefficienti di posto dispari, in una sola frase) sono nulli.
Si può però notare che la serie di potenze qui sopra, scritta nella variabile y = x2
è
∞
X
(−1)n n
y ,
(2n)!
n=0
ovvero, ha tutti i coefficienti an non nulli. Applichiamo dunque il criterio del
rapporto a quest’ultima rappresentazione. Abbiamo
n+1
Semplificando,
y
an+1 (2n+2)!
= n .
y
an
(2n)!
an+1 an+1 |y|
=
= 0, ∀ y ∈ R,
⇒ lim n→∞
an
(2n + 2)(2n + 1)
an
il che verifica l’asserto, dato che, in particolare, vale per y = x2 . Anche qui
osserviamo che questo procedimento può essere visto come la definizione della
funzione cos(z) per z ∈ C, dato che la convergenza della serie è assoluta.
11
Esercizio Verificare che lo sviluppo in serie di Taylor centrato nell’origine di
sin(x) è
∞
X
(−1)n 2n+1
sin(x) =
x
.
(3.7)
(2n + 1)!
n=0
e che questo sviluppo converge per ogni x reale, nonché ogni z complesso.
Esercizio Calcolare lo sviluppo in serie di Mc Laurin di
cosh(x) =
ex + e−x
ex − e−x
, e sinh(x) =
,
2
2
o notando che la derivata di cosh(x) è sinh(x) e viceversa, oppure utilizzando
le proprietà dello sviluppo in serie dell’esponenziale.
3.2
Formula di Eulero
Interpretando le formule (3.3, 3.6, e 3.7) possiamo dare la dimostrazione della
formula di Eulero (che verrà usata nella teoria delle equazioni differenziali lineari
del secondo ordine),
eiθ = cos(θ) + i sin(θ).
(3.8)
L’osservazione di base è la seguente: dalla definizione di funzione esponenziale
come funzione inversa del logaritmo naturale, e dunque, sostanzialmente, dal
fatto che
d x
e = ex ,
(3.9)
dx
abbiamo calcolato lo sviluppo in serie di ex come (3.3). Dal fatto che la serie
converge assolutamente per tutti gli x, possiamo definire l’esponenziale di un
numero complesso z come la somma della serie corrispondente, ovvero, porre
per definizione
∞
X
zn
ez =
, ∀z ∈ C.
n!
n=0
In particolare, per z = iθ puramente immaginario (e dunque θ reale) abbiamo:
iθ
e
=
∞ n n
X
i θ
n=0
12
n!
.
Ora suddividiamo questa serie in due, sommando separatamente i termini di
indice pari e indice dispari4 , ovvero scriviamo
∞ n n
X
i θ
n!
n=0
=
X in θn
X in θn
+
.
n!
n!
n pari
n dispari
Qui osserviamo che la somma su n pari si scrive come somma per n = 2k, k =
0, · · · , ∞, e quella su n dispari come somma per n = 2k + 1, k = 0, · · · , ∞, e
dunque otteniamo
e
iθ
=
∞ 2k 2k
X
i θ
k=0
(2k)!
+
∞ 2 k+1 2 k+1
X
i
θ
k=0
(3.10)
(2k + 1)!
A questo punto bisogna ricordare che

1 con k pari
i2k = (−1)k

i2k =
⇒

i2k+1 (= i · (i2k ) = (−1)k · i.
−1 con k dispari
Utilizzando la prima di queste due formule nella prima serie del membro destro
di (3.10) e la seconda nella seconda serie si ha che (3.10) diviene
ei θ =
∞
X
(−1)k θ2 k
k=0
(2k)!
+i·
∞
X
(−1)k θ2 k+1
k=0
(2k + 1)!
.
Confrontando queste due espressioni rispettivamente con (3.6) ed (3.7) si ottengono proprio le formule di Eulero.
La formula di Newton per (1 + x)α Un’altra funzione della quale è possibile calcolare semplicemente ed esplicitamente lo sviluppo in serie di McLaurin
è la funzione
f (x) = (1 + x)α
p
dove α è un numero reale (e.g., un generico numero razionale, α = , p e q
q
coprimi).
Basta osservare che la formula
d
(1 + x)α = α(1 + x)α−1
dx
4
Questa operazione è lecita perché la serie converge assolutamente.
13
vale per ogni α. Iterando, si ha che, per k = 1, 2, . . .,
dk
(1 + x)α = α · (α − 1) · · · (α − k + 1)(1 + x)α−k
|
{z
}
dxk
k fattori
Se definiamo il simbolo combinatorio generalizzato
k fattori
}|
{
z
α · (α − 1) · · · (α − k + 1)
α
, k≥1
=
k!
k
α
= 1,
0
otteniamo che la serie di McLaurin associata a (1 + x)α è data da
∞ X
dk
α k
x , dato che k (1 + x)α x=0 = α · (α − 1) · · · (α − k + 1) .
|
{z
}
dx
k
k=0
(3.11)
k fattori
Ci dobbiamo ora chiedere per quali valori di x questa serie converge (e dunque
rappresenta effettivamente la funzione data. Applichiamo il criterio del rapporto, supponendo che α non sia un intero positivo – anche perchè, in questo
caso, (1 + x)α è un polinomio.
k+1
α
α
ak+1 k+1
k+1
x =
= |x| α
α
ak
xk
k
k
Quidi dobbiamo calcolare il limite per k → ∞ dell’ultimo rapporto. Abbiamo
k+1 fattori
α
k+1
α
k
e dunque si ha
dato che
z
}|
{
α · (α − 1) · · · (α − k)
k!
=
·
(k + 1)!
α · (α − 1) · · · (α − k + 1)
|
{z
}
k fattori
ak+1 = lim |x| (α − k) = |x|,
lim k→∞
k→∞
ak
k+1
α − k = lim k − α = 1.
lim k→∞ k + 1
k→∞ k + 1
Dunque il raggio di convergenza della serie binomiale (3.11) è 1 e dunque possiamo dire che
∞ X
α k
α
x , per |x| < 1.
(1 + x) =
k
k=0
14
Analogamente si ha che
α k
x , per |x| < 1
(−1)
(1 − x) =
k
k=0
∞
X
α
e, ad esempio,
k
∞ X
α 2k
x , per |x| < 1,
(1 + x ) =
k
k=0
2 α
nonchè varianti di queste formule.
4
Derivazione ed integrazione per serie
La proprietà di una funzione di potere essere rappresentatata in serie di potenze
implica notevoli proprietà della stessa, proprietà che hanno, come vedremo,
interesse in campo “applicativo”5 .
Teorema: Sia f (x) rappresentabile (o sviluppabile) in serie di potenze in un
intorno di x0 , cioè supponiamo che valga
f (x) =
∞
X
n=0
an (x − x0 )n
(4.1)
con la serie che ha raggio di convergenza non nullo (eventualmente, infinito).
Allora f (x) è derivabile, e, nell’intervallo di convergenza della serie qui sopra
vale che f ′ (x) è sviluppabile in serie di potenze, e la sua rappresentazione in
serie è data da
∞
X
f ′ (x) =
nan (x − x0 )n−1
(4.2)
n=1
Dimostrazione. La dimostrazione di questo fatto è una semplice applicazione
del criterio del rapporto. Infatti, detto bn (x − x0 )n il termine generale della serie
(4.2), si ha
bn (x − x0 )n = nan+1 (x − x0 )n .
Dunque
5
bn+1 (x − x0 )n+1 (n + 1)an+2 (x − x0 ) .
bn (x − x− 0)n
nan+1
Cioè, proprietà che permettono di “fare dei conti”.
15
Ma allora
n+1 bn+1 (x − x0 )n+1 = lim an+1 (x − x0 ) ,
lim n→∞
n→∞
bn (x − x− 0)n
an (x − x− 0)n
e dunque la serie della derivata converge dove converge quella della serie di
partenza.
Osservazione. Iterando il ragionamento, si vede che una funzione sviluppabile in serie di Taylor in un intervallo (aperto) I = (x0 − R, x0 + R) ammette
nello stesso intervallo I derivate di ogni ordine; tali derivate sono a loro volta
sviluppabili in serie di potenze, e la loro rappresentazione in serie di potenze si
ottiene per iterazione della formula con la quale la (4.2) si ottiene dalla (4.1).
Ad esempio, lo sviluppo inserie di f ′′ (x) sarà:
′′
f (x) =
∞
X
n=2
(n(n − 1))an (x − x0 )n−2 ,
e cosı̀ via. A questa proprietà notevole si dà il nome di derivazione termine
a termine. In altre parole, questa proprietà generalizza al caso delle serie assolutamente convergenti la proprietà ben nota del fatto che la derivata di una
somma finita di funzioni è la somma delle derivate dei singoli addendi.
Analogamente al teorema di “derivazione termine a termine” vale anche un
teorema di integrazione termine a termine. Esso dice che se per f (x) vale lo
sviluppo (4.1), cioè
∞
X
f (x) =
an (x − x0 )n ,
n=0
allora f (x) è integrabile in ogni compatto contenuto in I, il suo integrale indefinito è a sua volta sviluppabile in serie di potenze in I, e si ha
!
Z
Z X
∞
∞
X
an
n
(x − x0 )n+1
dx = C +
f (x) dx ≡
an (x − x0 )
n
+
1
n=0
n=0
Nota. Il modo più corretto di scrivere la formula di integrazione termine a
termine è, e.g. nel caso x0 = 0, il seguente:
!
Z x X
∞
∞
X
an n+1
n
an (t ) dt =
x .
n
+
1
0
n=0
n=0
Esempio. Lo sviluppo in serie di arctan(x). Osserviamo che le prime
derivate di f (x) = arctan(x) sono:
f ′ (x) =
3 x2 − 1
1
x
′′′
′′
,
f
(x)
=
2
,...
,
f
(x)
=
−2
1 + x2
(1 + x2 )2
(1 + x2 )3
16
e dunque risulta difficile pensare di dare una formula finita per il calcolo della
derivata n-esima, con n generale. Per trovare lo sviluppo in serie di arctan(x)
possiamo però procedere in questo modo. Osserviamo che noi conosciamo lo
sviluppo in serie della derivata di arctan(x) in 0; infatti
∞
X
1
d
arctan(x) =
=
(−1)n x2n , per |x| < 1
dx
1 + x2
n=0
Utilizzando la formula di integrazione termine a termine, e osservato che
Z x
d
arctan(t) dt = arctan(x) − arctan(0) = arctan(x)
dt
0
6
abbiamo che
arctan(x) =
=
Z
x
(
∞
X
0 n=0
∞
X
(−1)n t2n ) dt =
(−1)
n=0
n
Z
x
X
∞
(−1)n 2n+1
t dt =
x
.
n
+
1
n=0
(4.3)
2n
0
Esercizio. Dimostrare che lo sviluppo in serie di potenze log(1 + x) in un
intorno di x = 0 è
∞
X
(−1)n n+1
log(1 + x) =
x
n+1
n=0
d
1
log(1 + x) =
.
dx
1+x
Esercizio. Calocolare lo sviluppo inserie di Mc Laurin di f (x) = arcsin(x).
Suggerimento:
4.1
Applicazioni
.
Esercizio a
Calcolare
cos(x) − 1 + x2 /2
x→0
x2
x2 sin( )
4
lim
6
Scegliendo la determinazione naturale (cioè più semplice) dell’arco tangente, arctan(0) =
0.
17
Soluzione
0
Il limite proposto è una forma indeterminata del tipo [ ].
0
Il denominatore va a zero come x4 ; infatti, abbiamo che il suo sviluppo in
serie è
x2 (sin(x2 /4)) ≃ x2 (x2 /4 − (x/4)3 /3! + · · · ) ≃ x4 /4 + · · ·
Dobbiamo dunque calcolare lo sviluppo di Mc Laurin del numeratore fino al
quarto ordine. Ricordando che cos(x) = 1 − x2 /2! + x4 /4! + · · · otteniamo che
cos(x) − 1 + x/2 = x4 /4! + · · ·
Dunque abbiamo
1
x4 /4! + · · ·
cos(x) − 1 + x2 /2
= .
=
lim
2
4
x→0 x /4 + · · ·
x→0
6
x
x2 sin( )
4
lim
Esercizio b
Si calcoli
lim
x→0
(1 − x)
2/3
− 1 x2
sin (x) − x
.
Soluzione
Anche qui si ha una forma indeterminata del tipo
h0i
,
0
ovvero che sia il numeratore (N) che il denominatore (D) tendono a zero per
x → 0.
Dato che N e D sono sviluppabili in serie di Mc Laurin, possiamo calcolare
il limite proposto attraverso il loro sviluppo in serie.
Gli sviluppi in serie delle funzioni coinvolte sono:
∞
X
x2n+1
x3
x5
sin(x) =
(−1)n
=x−
+
+··· ,
2n + 1!
6
120
n=0
∞ X
2
2/3
1
4
2/3
2/3
(−x)n = 1 − x − x2 − x3 + · · · ,
(1 − x) = (1 + (−x)) =
n
3
9
81
n=0
(4.4)
18
dove con i puntini · · · indichiamo termini di ordine superiore a quelli scritti.
Sostituendo (4.4) nel limite proposto otteniamo che il numeratore N diventa
2
1
2
N = (1 − x − x2 + · · · − 1)x2 = − x3 + · · · ,
3
9
3
ed il numeratore diventa
D =x−
Quindi,
x5
1
x3
+
+ · · · − x = − x3 + · · · .
6
120
6
− 23 x3 + · · ·
− 23 x3
N
=
lim
= lim 1 3 = 4.
lim
x→0 − 1 x3 + · · ·
x→0 − x
x→0 D
6
6
(4.5)
Per risolvere l’esercizio non è peraltro necessario ricordarsi a memoria gli sviluppi
(4.4). Infatti sappiamo che:
sin(0) = 0; sin′ (0) = cos(0) = 1, sin′′ (0) = − sin(0) = 0, sin′′′ (0) = − cos(0) = 1.
Dalla definizione di sviluppo di Mc Laurin (di una funzione sviluppabile in serie
di Mc Laurin....),
∞
X
f (n) (0)
(4.6)
f (x) =
n!
n=0
abbiamo sin(x) = x − 61 x3 + · · · , e dunque vediamo che il primo termine non
nullo dello sviluppo in serie di Mc Laurin del denominatore D = sin(x) − x è il
termine cubico
1
(4.7)
− x3
6
Quindi, per calcolare il limite proposto dobbiamo calcolare lo sviluppo di Mc
Laurin del numeratore fino all’ordine 3. Data la presenza a numeratore del
fattore x2 , dobbiamo in ultima analisi calcolare lo sviluppo al primo ordine di
(1 − x)2/3 − 1. Utilizzando la definizione (4.6) ho
(1 − x)2/3 = 1 +
Dato che, per x > 1,
d
(1 − x)2/3 x=0 x + · · ·
dx
2
2
1
d
),
(1 − x)2/3 = − (1 − x)−1/3 (= − √
3
dx
3
3 1−x
19
2
d
(1 − x)2/3 x=0 = − . Dunque il termine di ordine 3 nello sviluppo
si ha che
dx
3
del numeratore è
2
− x3 .
(4.8)
3
Il limite proposto si può dunque calcolare facendo il limite del rapporto di (4.7)
e (4.8). Tale limite dà (come deve....) 4, ovvero il risultato del calcolo svolto in
(4.5).
Esercizio c
Calcolare
1
con un errore inferiore a
.
100
Z
1
exp(−x2 ) dx
0
Soluzione
L’integrando è la serie esponenziale con argomento x2 . Tale serie converge
assolutamente ed uniformemente per tutti i valori reali dell’argomento, quindi
possimo integrare termine a termine.
Lo sviluppo in serie di Mc Laurin di exp(−x2 ) è
exp(x2 ) =
∞
X
i=0
(−1)n
x2n
= 1 − x2 + x4 /2! − x6 /3! + · · · .
n!
Integrando termine a termine ottengo:
Z 1
∞
1 X
x3 x5
1
2
exp(−x ) dx = (x −
+
+ ···) 0 =
,
(−1)n
3
10
(2n
+
1)n!
0
i=0
(4.9)
dato che il contributo dell’estremo inferiore di integrazione è nullo.
La serie cosı̀ ottenuta è una serie a termini alternati, con il modulo del
1
decrescente e che tende a zero per n → ∞.
termine generale, ovvero
(2n + 1)n!
P
n
Posso quindi utilizzare il teorema di Leibnitz che dice che, se ∞
i=0 (−1) bn è
una serie che soddisfa le ipotesi di cui sopra, essa converge (diciamo a S) ed
inoltre
N
X
|S −
(−1)n bn | ≤ bN +1
i=1
20
ovvero, a parole, che la differenza tra la somma della serie e la sua n-sima somma
parziale è limitata dal modulo del primo termine che si trascura.
Quindi, riconsiderando la equazione (4.9), per risolvere il problema nella
maniera più “economica”, dovrò trovare il più piccolo valore di n per il quale
valga
1
1
≤
(2n + 1)n!
100
ovvero il minimo valore di n per il quale (2n + 1)n! ≥ 100.
Conviene tabulare i primi valori di n e (2n + 1)n! come:
0 1 2 3
4
5 ···
1 3 10 42 216 · · · · · ·
Quindi il valore cercato di n è n = 4 e dunque, a meno di 1/100,
Z 1
3
X
1
2
exp(−x ) dx ≃
(−1)n
(2n + 1)n!
0
i=0
= 1 − 1/3 + 1/10 − 1/42 =
5
210 − 70 + 21 − 5
156
26
=
= .
210
210
35
Prodotto di serie
In questa ultima sezione introduciamo il concetto di prodotto di serie di potenze.
Per comodità di notazione,
le serie saranno
in x0 = 0.
P∞ centrate
P
n
n
a
x
e
g(x)
=
b
x
due
serie
di potenze con raggio
Siano f (x) = ∞
i=0 n
n=0 n
di convergenza, rispettivamente rf ed rg . Allora il prodotto h(x) = f (x) · g(x)
è rappresentabile in serie di potenze in |x| < min(rf , rg ) come
∞
n
X
X
n
cn x , dove cn =
aj bn−j .
(5.1)
h(x) =
n=0
j=0
Questa definizione/risultato di serie di potenze è una diretta generalizzazione
delle note regole di moltiplicazioni di polinomi7 . Infatti, scrivendo per esteso,
si ha:
h(x) = f (x) · g(x) =
(a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · )(b0 + b1 x + b2 x2 + b3 x3 + · · · )
= (a0 b0 ) + (a1 b0 + a0 b1 ) x + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 )x2 +
(a0 b3 + a1 b2 + a2 b1 + a3 b0 ) x3 + · · · ,
7
La dimostrazione della convergenza della serie prodotto è troppo lunga e tecnica per essere
qui riportata.
21
cioè i coefficienti dello sviluppo di h(x) sono proprio dati dalla seconda delle
formule (5.1).
La formula (5.1) può essere utile per calcolare lo sviluppo in serie di potenze
(in particolare, almeno i primi termini) di un prodotto di funzioni – delle quali si
conoscano gli sviluppi in serie di Mc Laurin – , senza dover calcolare le derivate
della funzione prodotto.
Esercizio. Provare che lo sviluppo al settimo ordine di
1
f (x) = sin(2 x)(1 + x2 ) 2
è
13
1007 7
1
x + o x8 .
f (x) = 2 x − x3 − x5 +
3
20
2520
Le formule (5.1) possono essere usate per calcolare
P∞ il reciproco di una serie
di potenze. Ovvero: supponiamo che f (x) = n=0 sia una serie di potenze
(centrata in x0 = 0) con raggio di convergenza R, e sia
f (0) = a0 6= 0.
(5.2)
Allora esiste un intervallo −R′ < x < R′ , con R′ eventualmente più piccolo di
1
R nel quale la funzione g(x) :=
è sviluppabile in serie di potenze, cioè
f (x)
rappresentabile come
∞
X
g(x) =
bn xn , |x| < R′ .
(5.3)
n=0
I coefficienti bn si possono calcolare ricorsivamente attraverso la seconda formula
(5.1), utilizzando la seguente
Proposizione
(“principio”Pdi identità per le serie di potenze): Due serie
P
n
n
f1 (x) = ∞
a
x
ed f2 (x) = ∞
n=0 n
n=0 bn x , assolutamente convergenti in |x| < R
(eventualemnte, R = ∞) coincidono se e solo se vale l’ugualglianza di tutti i
coefficienti, ovvero se e solo se
an = bn ,
n = 0, 1, 2, . . . .
(5.4)
Prima di dimostrare questa proposizione, notiamo che essa rappresenta la naturale estensione al caso delle serie (convergenti) del principio di identità di
polinomi di grado N finito.
La validità della proposizione si può verificare, ad esempio, in questo modo.
Se vale (5.4), allora, evidentemente, f1 (x) coincide con f2 (x). Il viceversa è
lievemente più sottile. Ricordiamo che, per |x| < R le funzioni f1 (x) ed f2 (x),
22
definite come somma delle serie corrispondenti, sono infinitamente derivabili, e
vale che
dn
f (x)x=0 = n!an , n = 0, 1, 2, . . . .
n
dx
dn
dn
f1 (x) = dx
Ora, se f1 (x) = f2 (x) per |x| < R, allora vale che
n f2 (x), sempre
n
dx
per |x| < R e, a fortiori,
dn
dn
f
(x)
f
(x)
=
1
2
x=0
x=0
n
n
dx
dx
|
{z
} |
{z
}
=n!an
il che dimostra l’asserto.
=n!bn
al problema di determinare lo sviluppo del reciproco di f (x) =
P∞Ritorniamo
n
a
x
,
a
=
6
0, cioè di calcolare i coefficienti bn che compaiono nella (5.3).
0
n=0 n
Osserviamo che, per definizione di reciproco,
f (x)g(x) ≡ 1
e possiamo (anche se è un modo un po’ barocco di rappresentarla) pensare alla
costante 1 come alla serie di potenze definita da
1=
∞
X
αn xn ,
n=0
con α0 = 0, αi = 0 se i 6= 0.
(5.5)
Questo di permette di scrivere
1 = f (x)g(x) come (
∞
X
an xn )(
n=0
∞
X
n=0
bn xn ) =
∞
X
αn xn ,
n=0
con gli αn definiti da (5.5). Ricordando la definizione di coefficiente n-esimo
del prodotto di serie di potenze e utilizzando il principio di identità delle serie,
vediamo che i coefficienti cn della serie prodotto devono verificare le equazioni:
c0
c1
c2
c3
=1
=0
=0
=0
..
.
cn = 0
..
.
⇐⇒
a0 b0 = 1
a0 b1 + a1 b0 = 0
a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 = 0
a0 b3 + a1 b2 + a2 b1 + a3 b0 = 0
..
Pn .
j=0 aj bn−j = 0
..
.
23
(5.6)
La seconda colonna (di infinite equazioni) di questa formula deve esser pensata
come un sistema lineare nelle incognite {bj }j=0,...,∞ con coefficienti noti dati dai
coefficienti ai .
Le proprietà di (5.6) che fanno sı̀ che (ricorsivamente) il sistema sia risolubile
sono le seguenti:
1) a0 6= 0
2) la n − esima equazione (con n ≥ 1) si può riscrivere come
a0 bn = −
n
X
j=1
aj bn−j = − (a1 bn−1 + a2 bn−2 + · · · + an b0 )
Infatti, tenuto conto della prima proprietà, si ha:
b0 =
1
;
a0
bn = −
1
((a1 bn−1 + a2 bn−2 + · · · + an b0 ) , n ≥ 1,
a0
dal che si evince che il sistema è ricorsivamente risolubile perchè, dalla seconda
di queste, si vede che, una volta noti i coefficienti {b1 , b2 . . . , bn−1 } è possibile
calcolare esplicitamente il coefficiente bn .
Esercizio. Calcolare lo sviluppo di Mc Laurin all’ottavo ordine di
1
.
cos(x)
Risultato:
1
1
5
61 6
277 8
= 1 + x2 + x4 +
x +
x + O x10
cos(x)
2
24
720
8064
Esercizio. Utilizzando il risultato precedente, – nonchè le formule per il prodotto
delle serie di potenze - calcolare lo sviluppo di Mc Laurin al settimo ordine di
g(x) = tan(x)
Risultato
2
17 7
1
x + O x8
tan(x) = x + x3 + x5 +
3
15
315
Esercizio. Verificare che lo sviluppo di Mc Laurin al settimo ordine di
tanh(x) ≡
è
sinh(x)
cosh(x)
2
17 7
1
x + O x8 .
tanh(x) = x − x3 + x5 −
3
15
315
24