Esercizi preliminari ed circuiti in regime stazionario

7 - Esercizi sui circuiti elettrici
Esercizi preparatori
P1 - La tensione e la corrente ai terminali del bipolo di figura sono nulle per
t < 0, mentre valgono
v(t) = 8 e-500t , i(t) =15 t e-500t , per t ≥ 0 .
i(t)
+
v(t)
Bipolo generico
−
Calcolare la potenza e l’energia elettrica assorbite dal bipolo.
Risposta:
p(t) = v(t) i(t) = 120 t e-1000t ,
t
U(0, t) =
p(τ) dτ =
0
3
1 - (1 + 1000t) e-1000t .
25000
Alla fine di questo volume di esercizi si è riportato una tavola di integrali, utile
per risolvere non soltanto gli integrali qui proposti, ma anche quelli che si
incontreranno nella vita professionale.
P2 - Un filo è percorso da una corrente che vale
i(t) =
12 sen(2πt)
t>0,
0
t<0.
Se questa corrente fluisce attraverso un bipolo definito dalla relazione, avendo
fatto la convenzione dell’utilizzatore,
8 - Esercizi sui circuiti elettrici
t
v(t) = 4
i(τ) dτ ,
0
si valuti la potenza istantanea assorbita dall’elemento.
Risposta:
p(t) = 288 1 - cos(2πt) sen(2πt) , per t ≥ 0 .
π
P3 - Si consideri un bipolo sul quale è stata fatta la convenzione dell’utilizzatore.
La tensione e la corrente siano nulle prima dell’istante t = 0, mentre
v(t) = 8 e-t , i(t) = 20 e-t per t > 0 .
Trovare l’energia assorbita dall’elemento nel primo secondo di operazione.
Risposta:
U(0, 1) = 80 1 - 1 ≅ 69.17 .
e2
P4 - Una batteria sta fornendo energia allo starter di un’automobile. Se la
corrente che la attraversa vale, per t ≥ 0, i(t) = 10 e-t e la tensione sullo starter è
v(t) = 12 e-t (convenzione del generatore), determinare la potenza istantanea
erogata p(t) e l’energia U(0, t) erogata dalla batteria a partire dall’istante iniziale 0
e fino al generico istante t.
Risposta:
p(t) = 120 e-2t , U(0, t) = 60 1 - e-2t .
P5 - Si consideri un bipolo generico come quello dell’esercizio P1. Supponendo
che la tensione e la corrente siano quelle mostrate nella figura che segue,
determinare quanto vale l’energia assorbita dal generico bipolo nell’intervallo
0 ≤ t ≤ 25.
9 - Esercizi sui circuiti elettrici
i(t)
50
v(t)
30
0
10
20
t
0
10
20
t
Risposta: U(0, 25) = 10.138 kJ, laddove il trattino sopra un numero indica la
periodicità della cifra segnata. In tal senso, 1/3 = 0.3333
= 0.3.
P6 - Un bipolo, sul quale è stata fatta la convenzione dell’utilizzatore, per istanti
positivi di tempo è attraversato dalla corrente i(t) = 2 sen(t - π) quando è
sottoposto alla tensione v(t) = 2 sen(t). Possiamo concludere che si tratta di un
bipolo passivo?
Risposta: l’energia assorbita dal bipolo è pari a
Uel-ass(0, t) = - 2t + sen(2t) ,
e, pertanto, si può essere certi che si tratta di un bipolo attivo, dato che essa è
negativa.
P7 - La sezione di una rotaia di acciaio è uguale ad S. Quale resistenza avrà un
tratto di lunghezza L?
Dati: ρacciaio = 0.18 µΩm, S = 45 cm 2, L = 15 km.
Risposta: R = 0.6.
P8 - Una lampada elettrica, costituita da un filamento di tungsteno (coefficiente di
temperatura α), viene collegata ad un generatore di tensione continua V0,
dissipando una potenza P quando la temperatura del filamento è T. Qual è il
valore della resistenza del filamento ad una temperatura T 0 < T?
10 - Esercizi sui circuiti elettrici
Dati: α(T) = 4.5 10-3, V0 = 220, P = 100, T = 3000, T 0 = 1000.
Risposta: R(T 0) = 48.4.
P9 - Una stufa elettrica è alimentata da un generatore a 120 volt ed è percorsa da
una corrente di 3 ampere. Si determini, in watt-ora, l’energia elettrica trasformata
in calore in mezzora.
Risposta: U = P ∆t = 180 Wh.
P10 - Un filo conduttore è percorso da una corrente continua di 2.5 A. Si calcoli
la carica che attraversa una qualsiasi sezione del filo in un’ora.
Risposta: q = I ∆t = 9 kC.
P11 - Ai capi di una lampadina, schematizzata come un resistore, è applicata una
tensione di 230 volt. Sapendo che la potenza della lampadina è 50 watt,
determinare la resistenza della lampadina.
Risposta: R = 1.058 kΩ.
P12 - Calcolare la resistività di un filo conduttore lungo 5 m, di sezione pari a
0.2 mm2, percorso da una corrente di 1 A e sottoposto ad una tensione di 1.5 V.
Risposta: ρ = 0.062 Ωmm2/m.
P13 - Una stufa elettrica porta le seguenti indicazioni:
1000 watt, 230 volt.
Determinare:
a) l’intensità della corrente che la attraversa;
b) la sua resistenza;
c) la quantità di calore che libera in un’ora.
Risposte: a) I ≅ 4.35; b) R = 52.9; c) Q ≅ 860 kcal.
11 - Esercizi sui circuiti elettrici
P14 - Prima di iniziare lo studio delle reti elettriche, è importante mettere alla
prova la perizia nella soluzione dei sistemi di equazioni lineari.
2 x 1 + x2 = 37
x1 = 11 , x2 = 15 ,
x1 - 2 x2 = - 19
x1 + 2 x2 + 5 x3 = - 9
x1 - x2 + 3 x3 = 2
x1 = 2 , x2 = - 3 , x3 = - 1 ,
3 x 1 - 6 x2 - x3 = 25
2 x 1 + x2 - 5 x3 + x4 = 8
x1 - 3 x2 - 6 x4 = 9
x1 = 3 , x2 = - 4 , x3 = - 1 , x4 = 1 ,
2 x 2 - x3 + 2 x4 = - 5
x1 + 4 x2 - 7 x3 + 6 x4 = 0
2 x 1 + x2 - 4 x3 + x4 + x5 = 1
x1 - 2 x2 - x3 + 7 x4 - x5 = 4
x1 + 2 x2 - x3 + 2 x4 - 3 x5 = 1
x1 + 4 x2 - 14 x3 + 6 x4 + 2 x5 = - 1
x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = 1 .
12 - Esercizi sui circuiti elettrici
Esercizi sul regime stazionario
S1 - Calcolare la resistenza equivalente vista dai morsetti AB.
R1
R2
B
R3
A
Dati: R1 = 5, R2 = 5, R3 = 30.
Risposta: la resistenza equivalente RAB vale
RAB = 7.5
S2 - Per la rete mostrata in figura, calcolare la resistenza equivalente vista dai
morsetti AB.
R1
R3
R5
A
R2
R4
R6
B
Dati: Rk = R = 2 (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6).
Risposta: RAB = 3.25.
S3 - Determinare il valore della resistenza R in maniera tale che la resistenza
equivalente, vista dai morsetti AB, valga R0.
13 - Esercizi sui circuiti elettrici
R
R
A
R0
R
B
Risposta: R = R 0/ 3.
S4 - Due fili conduttori paralleli AB ed A'B' di lunghezza L, di sezione costante e
costituiti di un materiale omogeneo, formano una linea elettrica (bifilare) di
resistenza complessiva 2R ai cui capi A ed A' sono connessi i poli di un generatore
di forza elettromotrice E (di resistenza interna trascurabile). In un certo istante,
per cause accidentali, un punto C del filo AB viene a trovarsi collegato
elettricamente attraverso una resistenza parassita ρ col punto più vicino C'
dell’altro filo. Misurando allora (in assenza di utenti) la resistenza della linea tra A
ed A', si trova per essa un valore a, mentre invece si trova un valore b qualora si
mettano a contatto diretto gli estremi B e B'. Si determini:
a) la distanza x del punto C dall’estremo A;
b) il valore della resistenza parassita;
c) l’abbassamento della differenza di potenziale che, avvenuto l’incidente, si è
verificato, sempre in assenza di utenti, tra gli estremi B e B';
d) la potenza che in tale evento si è dissipata nel circuito.
A
x
C
B
+
ρ
E
−
A'
x'
C'
Dati: L = 50 km, R = 590, a = 805, b = 780, E = 100.
B'
14 - Esercizi sui circuiti elettrici
Risposte: riportiamo, nell’ordine richiesto, le diverse risposte
a) x = 28.8 km , b) ρ = 125 , c) VCC' = 15.5 , d) P = 12.4 .
S5 - Calcolare la differenza di potenziale tra i punti 3 e 4 del circuito di figura.
1
+
R2
E
−
R1
R3
2
3
R4
4
R5
0
Dati: E = 200 V, R1 = 10 R, R2 = 14 R, R3 = 2 R, R4 = 6 R, R5 = 18 R.
Esercizio S5
*R = 10 Ω
R1
2
0
R2
1
3
R3
1
4
R4
3
0
R5
4
0
VE
1
2
.END
100
140
20
60
180
DC
200
Risposta: la differenza di potenziale richiesta vale
V3 - V4 = - 60 ,
quale che sia il valore R. Nella codifica Spice riportata abbiamo utilizzato un
particolare valore di R, cioè R = 10: provate a cambiarlo e verificare che la
differenza di potenziale non cambia.
15 - Esercizi sui circuiti elettrici
S6 - Per lo schema disegnato in figura, calcolare la resistenza equivalente ‘vista’
dai morsetti 1 e 0.
13
2
1
10
50
4
3
40
8
4
0
7
5
Esercizio S6
*Resistenza equivalente
VE
1
0
1
R12 1
2
13
R23 2
3
50
R24 2
4
10
R34 3
4
40
R35 3
5
4
R45 4
5
8
R50 5
0
7
.END
Risposta: la resistenza richiesta vale
R10 = 33 .
Fate attenzione: le approssimazioni numeriche introdotte da Spice potrebbero
determinare un risultato leggermente diverso da quello atteso. Notate pure la
comodità di indicare la resistenza presente in un lato con due pedici che ricordano
i nodi terminali del lato stesso (R12, ad esempio).
16 - Esercizi sui circuiti elettrici
S7 - Determinare il valore della resistenza equivalente che si misura dai morsetti
1 e 0.
0.5 R
R
R
3
4
R
R
1
R
R
R
2
0
Dati: R = 30.
Esercizio S7
*Resistenza equivalente
VE
1
0
1
R12
1
2
30
R23
2
3
30
R31
3
1
30
R341
3
4
30
R342
3
4
15
R42
4
2
30
R20
2
0
30
R40
4
0
30
.END
Risposta: la resistenza equivalente cercata è pari a
R10 = 32 .
Cosa accade se cambiamo il valore di R, dimezzandolo, ad esempio? Sapreste
trovare la resistenza equivalente in funzione di un generico valore di R? Dovreste
apprezzare il vantaggio di disporre di un tale risultato.
17 - Esercizi sui circuiti elettrici
S8 - Si determini il valore della resistenza equivalente tra i morsetti 1 e 0 del
circuito mostrato in figura.
R
R
1
2
R
R
3
0
R
Esercizio S8
*R = 2 Ω
VE
1
0
R12 1
2
R23 2
3
R13 1
3
R20 2
0
R30 3
0
.END
1
2
2
2
2
2
Risposta: non c’è verso di risolvere l’esercizio proposto usando le regole della
serie e del parallelo. Adoperando le trasformazioni di una stella in un triangolo di
resistori, oppure quelle equivalenti di un triangolo in una stella, troverete che la
resistenza richiesta è pari a
R10 = R .
Se adoperate la codifica riportata, troverete, ovviamente, R10 = 2 .
Ricordate che Spice considera su ogni bipolo, anche sui generatori, la convenzione
dell’utilizzatore: per trovare la resistenza equivalente dovete, pertanto, cambiare il
segno della corrente del generatore indicata dal simulatore. Notate pure il valore
assunto dai potenziali di ciascun nodo.
18 - Esercizi sui circuiti elettrici
S9 - Determinare, per la rete mostrata in figura, le correnti circolanti in ciascun
ramo.
J1
1
I2
R2
R1
J2
3
2
I1
+
I3
E
−
J3
R3
0
Dati: E = 20 , J1 = 10 , J2 = - 20 , R1 = 10 , R2 = 2 , R3 = 3.
Esercizio S9
*Circuito con più generatori
R1
1
3
10
R2
1
2
2
R3
2
0
3
VE
3
0
DC
20
I1
0
1
DC
10
I2
0
2
DC
-20
.END
Risposta: le tre correnti richieste valgono
I1 = 2 , I2 = 12 , I3 = - 8 .
S10 - Trovare le correnti nella rete mostrata in figura e verificare che la potenza
erogata dai due generatori è uguale a quella complessivamente assorbita dai
resistori.
19 - Esercizi sui circuiti elettrici
R1
1
2
I1
+
E
R2
−
J
I2
0
Dati: E = 10, J = 2, R1 = 5, R2 = 20.
Esercizio S10
*Semplice esercizio di rete in continua
R1
1
2
5
R2
2
0
20
VE
1
0
DC
10
IJ
0
2
DC
2
.END
Risposta: le correnti sono pari a
I1 = - 1.2 , I2 = 0.8 .
S11 - Per la rete mostrata in figura, determinare la corrente I che passa
attraverso il generatore di tensione E 1.
R3
0
I2
R1
3
−
R2
J
E2
+
I
I1
1
−
E1
+ 2
I3
20 - Esercizi sui circuiti elettrici
Dati: E 1 = 12, E 2 = 6, J = 5, R1 = 15, R2 = 3, R3 = 6.
Esercizio S11
*Circuito con più generatori
R1
0
1
15
R2
2
0
3
R3
3
0
6
VE1
2
1
DC
12
VE2
2
3
DC
6
IJ
0
1
DC
5
.END
Risposta: la corrente richiesta è pari a
I=5
Come sempre, il simulatore Spice fornisce il valore del potenziale in tutti i nodi
del circuito e, pertanto, è possibile calcolare il valore delle correnti in tutti i rami
del circuito. Controllate pure che, data la presenza di un generatore di corrente,
l’indicazione ‘Total power dissipation’ fornita dal simulatore non fornisce la
potenza complessivamente erogata dai generatori (manca la potenza erogata dal
generatore di corrente). Infine, l’indicazione ‘DC’ presente nei tre generatori
potrebbe essere omessa.
S12 - Calcolare la corrente I che circola attraverso il resistore R5 nella rete
mostrata in figura.
1
+
E1
−
2
I1
3
R1
R2
4
R5
R3
J
R4
+
E2
−
I
0
Dati: E 1 = 20, E 2 = 7, J = α I 1, α = 2/3, R1 = 2, R2 = 4, R3 = 12, R4 = 3, R5 = 6.
21 - Esercizi sui circuiti elettrici
Esercizio S12
*Circuito con generatore controllato
R1
1
2
2
R2
2
0
4
R3
5
0
12
R4
3
0
3
R5
4
3
6
VE1
1
0
DC
20
VE2
4
0
DC
7
VEJ
2
5
DC
0
FJ
3
0
VEJ
0.667
.END
Risposta: la corrente richiesta vale
I = 1.
Fate attenzione alla codifica del generatore controllato ed alla presenza del nuovo
nodo 5.
S13 - Determinare la corrente I che circola attraverso il generatore indipendente
di tensione nella rete mostrata in figura.
J
R1
1
I1
+
R2
−
−
3
+
V2
E
R3
2
I
I2
0
Dati: E = 20, J = 30, R1 = 1, R2 = 2, R3 = 3, JS = α V2, α = 0.25.
JS
22 - Esercizi sui circuiti elettrici
Esercizio S13
*Generatore di corrente controllato
R1
1
2
1
R2
2
0
2
R3
2
3
3
VE
1
0
20
IJ
1
3
30
G1
0
3
2
0
0.25
.END
Risposta: la corrente richiesta assume il valore
I = 10 .
Prestate sempre attenzione alla codifica del generatore controllato.
S14 - Per la rete di figura calcolare le tensioni V1, V2, V3, V4 adoperando le leggi
di Kirchhoff.
1
R1
R2
R3
2
R4
3
J
R5
R6
0
R7
R8
4
Dati: J = 2, R1 = 150,
R7 = R 8 = 20.
Esercizio S14
*Rete in continua
R2 = 100,
R3 = 150,
R4 = 100,
R5 = 25,
R6 = 50,
23 - Esercizi sui circuiti elettrici
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
IJ
.END
2
3
2
3
2
3
4
4
1
1
1
1
4
4
0
0
0
150
100
150
100
25
50
20
20
1
DC
2
Risposta : i potenziali richiesti valgono
V1 = 120 , V2 = 45 , V3 = 70 , V4 = 20
come potete controllare immediatamente adoperando il simulatore Spice. Cosa
indica la ‘Total power dissipation’?
S15 - Determinare la corrente I che interessa il ramo contenente il generatore
indipendente di tensione della rete mostrata in figura.
R4
I4
1
R1
3
I3
I1
+
R3
2
R2
E
−
I
I2
J
R5
I5
0
Dati: E = 50 ,, J = 1 , R1 = 80 , R2 = 50 , R3 = 40 , R4 = 800 , R5 = 200 .
Esercizio S15
*Circuito con due generatori
R1
1
2
80
24 - Esercizi sui circuiti elettrici
R2
R3
R4
R5
VE
IJ
.END
2
2
1
3
1
0
3
3
0
0
0
50
40
800
200
DC
50
3
DC
1
Risposta: la corrente richiesta vale
I = 0.114 .
Usando i risultati forniti dal simulatore Spice, trovate la potenza assorbita dal
resistore R5 e quella erogata dal generatore di corrente. E quanto valgono la
corrente I4 e la potenza assorbita dal resistore R4? Cosa dire poi della potenza
erogata da R2? Verificate, infine, il teorema di conservazione delle potenze
elettriche, prestando, come d’abitudine, attenzione all’indicazione ‘Total power
dissipation’ fornita d Spice.
S16 - Calcolare le correnti della rete mostrata in figura.
2
3
I1
I5
I3
R5
R1
+
E4
R3
−
R2
+ 1
E1
−
5
4
R4
E3
−
I2
+
I4
0
Dati: E 1 = 10 , E 3 = 70 , E 4 = - 20 , R1 = 10 , R2 = 5 , R3 = 2 , R4 = 4 , R5 = 1 .
Esercizio S16
*Circuito con più generatori
R1
1
2
10
25 - Esercizi sui circuiti elettrici
R2
R3
R4
R5
VE1
VE3
VE4
.END
0
3
0
2
2
5
4
3
1
0
3
5
2
4
1
0
5
4
DC
DC
DC
10
70
-20
Risposta: I1 = 4 , I2 = 6 , I3 = 15 , I4 = 5 , I5 = 10 .
S17 - Un amplificatore fornisce un guadagno in tensione tra una tensione di
ingresso VIN ed una tensione di uscita VUS. Determinare il rapporto VUS/VIN,
sapendo che la tensione erogata dal generatore controllato è VS = α V2.
1
R1
IIN 2
+
+
−
V2
−
VIN
3
R2
VS
R3
4
+
+
−
VUS
−
R
IUS
0
Esercizio S17
*α = 100, R1 = 5kΩ, R 2 = 5kΩ, R 3 = 192Ω, R = 8 Ω .
R1
1
2
5K
R2
2
0
5000
R3
3
4
192
R4
4
0
8
VI
1
0
DC
1
ES
3
0
2
0
100
.TF
V(4)
VI
.END
Risposta: il rapporto richiesto vale
26 - Esercizi sui circuiti elettrici
VUS = α R
R2 .
VIN
R + R 3 R1 + R 2
S18 - La figura mostra un circuito che simula il comportamento di un fascio
elettronico in un tubo catodico del televisore. Determinare la conduttanza G in
modo che la tensione V0 sia pari a 24 V.
I1
1
I
−
G1
JS
J
G2
V0
G
I2
+
0
Dati: J = 20 , JS = α I, α = 2, G1 = 1/4 , G2 = 1/3 , V0 = 24 .
Esercizio S18
*Tubo catodico del televisore
R0
0
2
12
R1
1
0
4
R2
1
0
3
VI
2
1
DC
0
IJ
1
0
DC
20
FS
0
1
VI
2
.END
Risposta: risulta che
G = J - I1 - I 2 = 1 .
(1 + α) V 0 12
Attenzione alla codifica del generatore controllato.
S19 - Determinare la corrente I e la potenza assorbita dal resistore R5, per la rete
mostrata in figura.
27 - Esercizi sui circuiti elettrici
1
R1
R4
2
3
J
+
E1
R2
R5
−
I
J
0
R3
5
−
+
E2
4
Dati: E 1 = 60, E 2 = 130, J = 12, R1 = R 5 = 2, R2 = R 3 = 5, R4 = 4.
Esercizio S19
*Ancora più di un generatore
R1
1
2
2
R2
4
3
5
R3
5
0
5
R4
3
2
4
R5
2
5
2
VE1
1
0
DC
60
VE2
4
5
DC
130
IJ
0
3
DC
12
.END
Risposta: i dati richiesti sono pari a
I = 14 , P5 = 392 .
Si può dire che l’indicazione ‘Total power dissipation’, fornita da Spice, consente
di determinare la potenza complessivamente erogata dai generatori indipendenti?
E quanto vale la potenza erogata dal generatore indipendente di corrente? Quale
efficace controllo dei risultati trovati potete, infine, verificare la conservazione
delle potenze elettriche.
S20 - Per la rete di figura, determinare i potenziali di nodo V1 e V2, assumendo
quale riferimento V0 = 0 .
28 - Esercizi sui circuiti elettrici
0
R1
I
R2
1
R4
R3
J
R5
2
Dati: I = 3, J = 16, R1 = 10, R2 = R 3 = 2, R4 = 6, R5 = 12.
Esercizio S20
*Potenziali nodali
R1
1
0
10
R2
1
0
2
R3
1
2
2
R4
2
0
6
R5
2
0
12
I0
1
0
3
IJ
0
2
16
.END
Risposta: i potenziali richiesti valgono
V1 = 10 , V2 = 28 .
Controllate sul file di uscita di Spice l’indicazione ‘Total power dissipation’ (deve
essere nulla). Inoltre, adoperando i potenziali di nodo trovati, determinare le
correnti che circolano nei diversi rami della rete. Infine, dopo aver calcolato le
potenze erogate dai due generatori di corrente, verificare la conservazione delle
potenze elettriche.
S21 - Trovare le correnti in tutti i rami (secondo i versi indicati) applicando il
metodo dei potenziali nodali.
29 - Esercizi sui circuiti elettrici
R1
I1
R2
1
I2
+
R3
2
3
I3
R4
E
−
I
I4
J
R5
I5
0
Dati: E = 50 , J = 0.75, R1 = 800, R2 = 80, R3 = 40, R4 = 50, R5 = 200.
Esercizio S21
*Potenziali nodali
R1
1
3
800
R2
1
2
80
R3
2
3
40
R4
2
0
50
R5
3
0
200
V1
1
0
50
IJ
0
3
0.75
.END
Risposta: i potenziali e le correnti richieste sono pari a
V2 = 34 , V3 = 53.2 ;
I = 0.196 , I1 = - 4 m , I2 = 0.2 ,
I3 = - 0.48 , I4 = 0.68 , I5 = 0.266 .
Ricordatevi di verificare sempre la conservazione delle potenze elettriche.
S22 - Calcolare la potenza assorbita dal generatore controllato e le potenze
erogate dai generatori indipendenti, usando il metodo dei potenziali nodali.
30 - Esercizi sui circuiti elettrici
1
2
I1
I2
R3
R2
+
R1
J
+
VS
I3
3
E
−
−
0
Dati: E = 45, J = 0.45 VS = r I 3, r = 6.25, R1 = 100, R2 = 5, R3 = 25.
Esercizio S22
*Generatore controllato
R1
1
0
100
R2
1
3
5
R3
1
2
25
IJ
0
1
0.45
V1
2
0
45
H1
3
0
V1
-6.25
.END
Risposta: le potenze richieste valgono
PS = - VS I 2 = 11.25 , PJ = V 1 J = 6.75 , PE = E I3 = 54 .
Fate attenzione alla codifica del generatore controllato.
S23 - Calcolare la corrente I4, applicando il metodo dei potenziali nodali.
31 - Esercizi sui circuiti elettrici
E1
5
+
−
R3
1
+
R1
VS
−
E2
+
2
R2
3
0
I4
J
R4
−
R5
4
Dati: E 1 = 16, E 2 = 8, J = 1, VS = α I 4, α = 4, R1 = 2, R2 = 3, R3 = 2, R4 = 6,
R5 = 8.
Esercizio S23
*Ancora un generatore controllato
R1
5
2
2
R2
2
0
3
R3
3
1
2
R4
6
4
6
R5
3
4
8
VE1
5
1
DC
16
VE2
0
3
DC
8
VE4
2
6
DC
0
IJ
4
0
DC
1
HS
1
0
VE4
4
.END
Risposta: la corrente richiesta vale
I4 = 2 .
S24 - Per il circuito di figura, determinare la corrente I1. Individuare, inoltre, le
32 - Esercizi sui circuiti elettrici
porte di controllo dei generatori controllati.
R1
1
+
2
+
VB
−
3
I1
R5
E1
−
R2
R7
8
I4
−
+
4
0
VA
+
R4
7
R6
−
+
E2
IC
R3
V3
−
5
6
Dati: E 1 = 10, E 2 = 6, VA = α I 4, α = 4, VB = β V3, β = 3, IC = γ I 1, γ = 2,
R1 = 7, R2 = 4, R3 = 6, R4 = 1, R5 = 5, R6 = 2, R7 = 3.
Esercizio S24
*Un esercizio complicato
R1
1
2
7
R2
4
3
4
R3
4
5
6
R4
7
8
1
R5
2
0
5
R6
6
0
2
R7
4
0
3
VE1
1
8
DC
VE2
6
7
DC
HA
8
0
VE2
EB
2
3
4
5
FC
5
6
VE1
.END
Risposta: I1 = 0.3264.
10
6
4
3
-2
33 - Esercizi sui circuiti elettrici
S25 - Calcolare le correnti per la rete di figura adoperando il metodo dei
potenziali nodali.
1 I1
I
+
I0
−
+
I2
R1
R0
E
I3 3
2
VS
R2
R4
−
I4 I5
+
VC
−
R5
0
Dati: E = 100, VS = α VC, α = 4, R0 = 80, R1 = 10, R2 = 60, R4 = 20, R5 = 30.
Esercizio S25
*Generatore controllato
R0
1
0
80
R1
1
2
10
R2
2
0
60
R4
3
0
20
R5
3
0
30
V1
1
0
100
E2
2
3
3
0
.END
4
Risposta: le correnti richieste valgono
I = 3.75 , I0 = 1.25 , I1 = 2.5 , I2 = 1.25 ,
I3 = - 1.25 , I4 = 0.75 , I5 = 0.5 .
Verificate la conservazione delle potenze elettriche in una rete in cui è presente un
generatore controllato.
S26 - Calcolare le correnti per la rete di figura, secondo i versi indicati,
adoperando il metodo delle correnti di maglia.
34 - Esercizi sui circuiti elettrici
R6
I4
1
J3
R4
I1
I6
R5
+
R2
J1
+
J2
E3
+ 6
−
E2
5
3
I3
2
I2
E1
I5
R1
−
−
0
R3
4
Dati: E 1 = 460, E 2 = 230, E 3 = 115, R1 = 8, R2 = 4, R3 = 10, R4 = 2, R5 = 6,
R6 = 12.
Risposta: I1 = 20.5, I2 = - 9, I3 = - 11.5, I4 = 15, I5 = 6, I6 = - 5.5.
Il listato Spice
Esercizio S26
*Correnti di maglia
V1
1
5
460
V2
6
0
230
V3
3
4
115
R1
5
0
8
R2
2
6
4
R3
4
0
10
R4
1
2
2
R5
2
3
6
R6
3
1
12
.END
consente di determinare i potenziali
35 - Esercizi sui circuiti elettrici
V1 = 296 , V2 = 266 , V3 = 230 ,
V4 = 115 , V5 = - 164 , V6 = 230 ,
per mezzo dei quali è facile convincersi che la soluzione da noi proposta in
precedenza è corretta.
S27 - Calcolare le correnti per la rete di figura, secondo i versi indicati,
adoperando il metodo delle correnti di maglia.
R1
1
R2
3
I1
2
I3
I2
+
J1
E1
R3
−
0
+
J2
E2
−
I5
I4
5
R5
4
R4
J
Dati: E 1 = 600, E 2 = 400, J = 12, R1 = 10, R2 = 8, R3 = 40, R4 = 14, R5 = 2.
Risposta: le correnti di maglia sono pari a
J1 = 8 , J2 = - 4 .
Di conseguenza, le correnti di lato valgono
I1 = 8 , I2 = - 4 , I3 = - 12 , I4 = 8 , I5 = - 20 .
Per controllare i risultati dell’esercizio possiamo adoperare il simulatore Spice e,
per mezzo del segmento di programma
Esercizio S27
36 - Esercizi sui circuiti elettrici
*Correnti di maglia
V1
1
0
600
V2
2
4
400
I1
0
4
12
R1
1
3
10
R2
2
3
8
R3
3
5
40
R4
4
5
14
R5
5
0
2
.END
otteniamo i seguenti valori dei potenziali nei nodi della rete
V1 = 600 , V2 = 552 , V3 = 520 , V4 = 152 , V5 = 40 .
S28 - Calcolare le correnti per la rete di figura, secondo i versi indicati,
adoperando il metodo delle correnti di maglia.
VS
+
I1
1
J3
R1
I4
−
I
R2
I2
2
3
I3
I5
+
J1
E1
R3
−
4
R4
0
+
J2
E2
−
R5
5
Dati: E 1 = - 10, E 2 = 24, VS = α I 3, α = 7, R1 = 1, R2 = 2, R3 = 3, R4 = 4, R5 = 5.
Esercizio S28
*Correnti di maglia
37 - Esercizi sui circuiti elettrici
HS
VN
V1
V2
R1
R2
R3
R4
R5
.END
1
6
1
2
1
3
3
4
0
2
0
4
5
3
2
6
0
5
VN
DC
DC
DC
1
2
3
4
5
7
0
-10
24
Risposta: J1 = - 4, J2 = - 5, J3 = - 7; I = 7, I1 = 3, I2 = 2, I3 = 1, I4 = 4, I5 = 5.
S29 - Risolvere la rete mostrata in figura utilizzando sia il metodo delle correnti
di maglia, sia quello dei potenziali nodali e discuterne la convenienza. Verificare
la conservazione delle potenze elettriche.
R1
1 I1
2 I2
R2
3 I3
R3
R4
4
+
I6
I4
E2
+
E1
R6
5
6
IS
−
I7
VS
+
−
R7
R5
0 − V +
5
−
7
Dati: E 1 = 16, E 2 = 12, VS = α V5, α = 3, IS = β I 4, β = 2, R1 = 3, R2 = 2, R3 = 6,
R4 = 7, R5 = 5, R6 = 1, R7 = 4.
Controllate l’esercizio adoperando il segmento Spice di seguito riportato.
Esercizio S29
*Circuito con due generatori controllati
R1
1
2
3
R2
2
3
2
38 - Esercizi sui circuiti elettrici
R3
R4
R5
R6
R7
VE1
VE2
VE4
ES
FS
.END
3
4
7
2
7
4
5
0
7
6
1
4
5
8
7
6
7
5
1
4
0
6
8
7
3
DC
DC
DC
7
0
VE4
16
12
0
3
2
Risposta: risulta
I1 = 2.076 , I2 = 2.684 , I3 = - 2.920 ,
I4 = - 2.801 , I6 = - 0.6081 , I7 = - 0.1170 .
S30 - Calcolare la potenza dissipata nella resistenza R6.
−
+
E
1
R1
2
3
R3
R2
J
R4
4
I6
R6
R5
0
5
Dati: J = 5, E = 340, R1 = 8, R2 = 20, R3 = 80, R4 = 5, R5 = 10, R6 = 45.
Domandatevi anzitutto il ruolo del resistore R3.
Esercizio S30
*Potenza sul resistore
39 - Esercizi sui circuiti elettrici
R1
R2
R3
R4
R5
R6
VE
IJ
.END
1
2
2
3
5
4
2
0
2
0
3
4
0
5
3
1
8
20
80
5
10
45
340
5
Risposta: la potenza richiesta è pari a
P = 405 .
S31 - Per la rete mostrata in figura, determinare la corrente I. Verificare, poi, la
conservazione delle potenze elettriche.
2
3
R2
R1
R4
4
−
+
E2
R5
R3
I
1
−
+
E1
0
−
+
E3
Dati: E 1 = E2 = 10, E 3 = 8, R1 = 9, R2 = 10, R3 = 3, R4 = 5, R5 = 2.
Risposta: la corrente richiesta vale
I = 0.634 ,
come potete controllare per mezzo del listato Spice che segue.
Esercizio S31
*Un circuito simpatico
R1
1
2
9
5
40 - Esercizi sui circuiti elettrici
R2
R3
R4
R5
VE1
VE2
VE3
.END
2
4
2
4
3
5
0
0
0
4
5
10
3
5
2
1
3
0
DC
DC
DC
10
10
8
S32 - Trovare l’equivalente di Thévenin rispetto ai terminali 3 e 0.
1
R2
2
3
I2
+
J
R1
αV3
βI2
−
+
V3
R3
−
0
Dati: J = 135 nA, R1 = 100, R2 = 980, R3 = 40 kΩ, α = 5⋅10-5, β = 40.
Esercizio S32
*Applicazione del teorema di Thévenin
R1
1
0
100
R2
1
2
980
R3
3
0
40k
IJ
0
1
DC
135n
VE2 2
4
DC
0
F2
0
3
VE2
40
E3
4
0
3
0
50u
.TF
V(3)
IJ
.END
Risposta: i parametri equivalenti valgono
E 0 = 18.62 mV , R0 = 37.24 kΩ .
41 - Esercizi sui circuiti elettrici
S33 - Adoperando il teorema di Norton e quello di Thévenin, verificare la
condizione di equilibrio
R1 R3 = R 2 R4
per la rete a ponte mostrata in figura. In questa condizione di funzionamento, poi,
verificare la conservazione delle potenze elettriche.
R0
I
R1
+
R2
I1
E
I2
G
−
R3
R4
I4
I3
Lo strumento indicato con ‘G’ è un galvanometro. Potete immaginare che si tratti
di un misuratore di corrente molto sensibile, capace di rilevare correnti molto
piccole, fino a qualche nanoampere.
La rete a ponte mostrata è il famoso ponte di Wheatstone, un circuito molto
adoperato per misurare i valori intermedi di resistenze. Approfondiremo l’uso
delle reti a ponte nel volume dedicato alle Misure Elettriche. Comunque, provate a
simulare con Spice, in condizioni di equilibrio e non, questa rete: in condizioni di
equilibrio la corrente che interessa il galvanometro non è rigorosamente nulla, ma
è certamente diversi ordini di grandezza più piccola di quelle che interessano gli
altri rami.
S34 - Calcolare il più piccolo valore del resistore R che rende la potenza da esso
assorbita pari a 250 .
42 - Esercizi sui circuiti elettrici
1
R1
R2
2
3
I2
R4
+
E
−
R3
4
+
VS
R
−
0
Dati: R1 = 25, R2 = 10, R3 = 100, R4 = 20, E = 200, VS = r I 2, r = 30.
Risolvete con molta cura questo non semplice esercizio.
Esercizio S34
*Ancora un generatore controllato
R1
1
2
25
R2
2
5
10
R3
2
0
100
R4
4
3
20
R0
3
0
2.5
VE
1
0
DC
200
VE2
5
3
DC
0
HS
4
0
VE2
30
.END
Risposta: la resistenza richiesta vale
R = 2.5
Occorre sempre una particolare attenzione nella codifica dei
controllati.
generatori
S35 - Determinare la caratteristica resistiva e conduttiva del doppio bipolo
mostrato in figura.
43 - Esercizi sui circuiti elettrici
R4
I1
R1
R2
+
V1
−
I2
+
V2
−
R3
Dati: R1 = R 2 = R 3 = R 4 = 6.
Risposta: risulta
R11 = R 22 = 10 , Rm = 8 ; G11 = G 22 = 5 , Gm = - 2 .
18
9
S36 - Determinare la rappresentazione in termini di conduttanze per il doppio
bipolo mostrato in figura.
R
I1
+
V1
−
R
R
R
I2
+
V2
−
Dati: R = 1.
Risposta:
G11 = 5 , G22 = 2 , Gm = - 1 .
3
3
3
S37 - Determinare la rappresentazione in termini di conduttanze della rete ‘a
traliccio’ mostrata in figura.
44 - Esercizi sui circuiti elettrici
R1
I1
I2
+
R2
V1
+
R3
V2
−
−
R4
Dati: R1 = R 2 = R 3 = R 4 = R.
Risposta: i parametri richiesti valgono
G11 = G 22 = 1 , Gm = 0 .
R
S38 - Determinare la potenza assorbita dal doppio bipolo.
R
+
J
V1
−
+
R
R
R0
V2
J
−
R
Dati: J = 10, R = 1, R0 = 2.
Risposta: adoperando la rappresentazione in termini di resistenze del doppio
bipolo, non è difficile mostrare che
P = 500 .
3
S39 - Determinare la rappresentazione ibrida del doppio bipolo mostrato in
figura.
45 - Esercizi sui circuiti elettrici
I1
R2
I2
+
V1
+
R1
−
R3
G V1
−
V2
Risposta:
h11 = R1 R2 ,
R1 + R 2
R 1 + G R2
h21 = - 1
,
R1 + R 2
h12 =
R1 ,
R1 + R 2
1
h22 = 1 +
- G R1 .
R3 R1 + R 2 R1 + R 2
Discutete il caso particolare G = 0 A/V.
S40 - Determinare la rappresentazione ibrida ‘h’ che descrive il doppio bipolo.
Discutere il caso particolare r = 0 .
I1
R1
R3
I2
−
+
+
V1
−
R2
r I2
+
V2
−
Risposta:
h11 = R 1 +
h21 =
R2 r - R 3
,
r - R2 - R 3
R2
,
r - R2 - R 3
h12 =
R2
,
R2 + R 3 - r
h22 =
1
.
R2 + R 3 - r
S41 - Calcolare la rappresentazione ibrida ‘g’ che descrive il doppio bipolo.
46 - Esercizi sui circuiti elettrici
R
I1
R1
R2
+
−
+
V3
V1
+
α V3
R3
−
−
I2
V2
+
−
Dati: R1 = 5, R2 = 50, R3 = 25, R = 100, α = 13.
Risposta:
g11 = - 5 , g12 = 25 , g21 = 0.08 , g22 = 0.2 .
S42 - Determinare una rappresentazione in termini di parametri di trasmissione
per il doppio bipolo mostrato in figura (rete a stella).
I1
R1
R2
+
V1
−
I2
+
R3
V2
−
Dati: R1 = R 3 = 1, R2 = 2.
Risposta: risulta
t11 = 2 , t12 = - 5 , t21 = 1 , t22 = - 3 .
Provate a determinare anche l’altra rappresentazione in termini di parametri di
trasmissione.
S43 - Risolvere la rete e verificare che la somma delle potenze erogate dai due
generatori è uguale alla somma delle potenze assorbite da tutti i resistori.
47 - Esercizi sui circuiti elettrici
R1
1
J
4
+
E1
− I
1
0
+ I3
R4
R3
I4
3
E2
R6
R5
−
2
I6
R2
I2
I5
J
5
Dati: E 1 = 28, E 2 = 40, J = - 10, R1 = 4, R2 = R 3 = 2, R4 = 3, R5 = 8, R6 = 1.
Esercizio S43
*Esercizio riepilogativo
R1
1
4
4
R2
5
2
2
R3
0
3
2
R4
3
4
3
R5
3
5
8
R6
5
4
1
VE1
1
0
DC
28
VE2
0
2
DC
40
IJ
5
4
DC
-10
.END
Risposta: I1 = 10, I2 = 13, I3 = 3, I4 = 2, I5 = 1, I6 = - 2.