FISICA (modulo 2) – PROVA SCRITTA 27/01/2014 ESERCIZI E1

FISICA (modulo 2) – PROVA SCRITTA 27/01/2014
ESERCIZI
E1. Un’auto elettrica di massa M = 800 Kg percorre una salita assimilabile ad un
piano inclinato di lunghezza L = 1 Km e altezza h = 80 m a velocità costante in
un tempo ∆t = 1 minuto. L’automobile è alimentata con una batteria da ∆V =
48 V. Trascurando l’attrito e supponendo che l’energia elettrica venga utilizzata
totalmente per far muovere la macchina, si calcoli la corrente erogata dalla batteria.
E2. Due solenoidi coassiali, idealmente infiniti, di raggi r1 = 10 cm e r2 = 20 cm,
entrambi contenenti n = 10 spire per centimetro, sono percorsi dalla medesima
corrente i0 = 3 A, che circola però in verso opposto nei due solenoidi (si veda nella
figura sotto a sinistra una sezione del sistema composto dai due solenoidi).
~ (specificandone modulo, direzione e verso) in
(i) Calcolare il campo magnetico B
tutto lo spazio.
Si consideri ora una spira circolare di raggio r3 = 30 cm e resistenza R = 1 Ω,
coassiale ai due solenoidi (si veda la figura a destra sotto) e si faccia variare la
corrente nei due solenoidi secondo la legge i(t) = i0 + kt, con k = 1 A/s.
(ii) Calcolare la potenza dissipata nella spira per effetto Joule.
QUESITI (Motivare sempre tutte le risposte)
Q1. Quanto vale il modulo del campo elettrostatico all’interno di un conduttore? E
sulla superficie del conduttore? (Discutere anche direzione e verso del campo).
Q2. Nella fase di carica di un circuito RC, con R = 30 Ω e C = 10−4 F, dopo quanto
tempo la corrente diventa la metà di quella iniziale? E nella fase di scarica?
~ generato da un filo
Q3. Come sono fatte le linee del campo di induzione magnetica B
rettilineo infinito immerso nel vuoto e in cui fluisce una corrente stazionaria i ?
Come varia B con la distanza dal filo?
Q4 Enunciare la legge dell’induzione elettromagnetica di Faraday. Circola corrente
indotta in una spira il cui asse forma un angolo θ(t) = ωt con la direzione del
campo magnetico, in una regione di spazio dove il campo è uniforme e costante nel
tempo?
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SOLUZIONI PROVA SCRITTA 27/01/2014
MODULO 1
E1. La variazione di energia potenziale gravitazionale dell’auto a seguito della salita
vale
∆Ep = Mgh,
(1)
per cui la potenza necessaria per fare la salita in un tempo ∆t è data da
W =
∆Ep
Mgh
=
.
∆t
∆t
(2)
Tale potenza è fornita dalla batteria (per ipotesi tutta l’energia elettrica erogata
viene usata per far salire la macchina), per cui
W = i(∆V ).
(3)
Uguagliando i secondi membri delle ultime due equazioni otteniamo
i=
Mgh
= 218 A.
(∆t)(∆V )
(4)
~ è la somma vettoriale
E2. (i) Per il principio di sovrapposizione il campo magnetico B
~1 e B
~ 2 dovuti ai due solenoidi. Il campo magnetico B
~1
dei campi magnetici B
è diretto perpendicolarmente al piano del disegno, con verso uscente, e vale in
modulo B1 = µ0 ni0 per r < r1 , mentre è nullo fuori dal solenoide interno, per
~ 2 è diretto perpendicolarmente al piano del disegno,
r > r1 . Il campo magnetico B
con verso entrante, e vale in modulo B2 = µ0 ni0 per r < r2 , mentre è nullo fuori
~ ha verso entrante e vale in modulo
dal solenoide esterno, per r > r2 . Quindi B
−3
B = B2 = µ0 ni0 = 3.77 × 10 T per r1 < r < r2 , mentre si annulla per r < r1 e
per r > r2 .
~ = B(t)π(r22 − r12 ), con B(t) =
(ii) Il flusso concatenato con la spira vale Φ(B)
µ0 ni(t). La forza elettromotrice indotta vale
fi = −
~
dΦ(B)
di
= −µ0 nπ(r22 − r12 ) = −µ0 nπ(r22 − r12 )k = −1.18 × 10−4 V,
dt
dt
(5)
la potenza dissipata
w=
fi2
= 1.40 × 10−8 W.
R
(6)
Q1. All’interno del conduttore il campo elettrostatico è nullo. Il teorema di Coulomb
afferma che il campo elettrostatico in prossimità della superficie di un corpo conduttore vale
~ = σ n̂,
(7)
E
ǫ0
con σ densità superficiale di carica, ǫ0 costante dielettrica del vuoto (assumiamo il
corpo immerso nel vuoto) e n̂ versore normale alla superficie e con verso uscente
dalla medesima. Si noti che la direzione del campo elettrico è normale alla superficie
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in quanto la presenza di un campo elettrico tangenziale muoverebbe le cariche
sulla superficie del conduttore e non si avrebbe quindi una situazione di equilibrio
elettrostatico. Il verso del campo elettrico è poi uscente o entrante a seconda che
il conduttore sia carico positivamente o negativamente.
Q2. Siccome
t
i(t) = i(0)e− RC ,
(8)
la corrente si dimezza dopo un tempo
t⋆ = −RC ln
1
= RC ln 2 = 2.08 × 10−3 s.
2
(9)
Il ragionamento e il risultato sono identici per la fase di scarica.
~ sono circonferenze giacenti perpendicolarmente al filo, con centro nel
Q3. Le linee di B
filo. Il verso delle linee di campo è quello delle quattro dita della mano destra
quando queste afferrano idealmente il filo, con il pollice che punta nel verso in cui
fluisce la corrente. Il campo ha simmetria cilindrica e quindi il suo modulo dipende
solo dalla distanza d dal filo ed è dato dalla legge di Biot e Savart, che in questo
caso particolare diventa
µ0 i
B=
,
(10)
2πd
con µ0 = 4π × 10−7 N/A2 permeabilità magnetica del vuoto.
Q4. La legge dell’induzione elettromagnetica di Faraday afferma che la forza elettromotrice fi indotta in un circuito chiuso è pari all’opposto della variazione per unità
di tempo del flusso del campo magnetico attraverso l’area racchiusa dal circuito:
~
d Z ~
dΦS (B)
=−
fi = −
B · n̂ dS.
dt
dt S
(11)
Il segno meno sta ad indicare che la corrente prodotta si oppone alla variazione
di flusso che l’ha generata (legge di Lenz), come deve essere al fine di rispettare il
principio di conservazione dell’energia.
Nel caso particolare del quesito circola corrente in quanto il flusso del campo magnetico varia nel tempo variando l’angolo tra l’asse della spira e il campo.
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