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SIMONE
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80123 Napoli
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È vietata la riproduzione anche parziale e con
qualsiasi mezzo senza l’autorizzazione
scritta dell’editore.
gennaio 2016
526/10 • Matematica e Fisica per il Concorso a Cattedra 2016
Questo volume è stato stampato presso:
«SA.GRAF s.r.l.»
Via Einstein, n. 16 - Arzano (NA)
Andiamo in stampa all’indomani della diffusione della bozza di Allegato al Bando del 18 gennaio 2016: questo manuale è conforme, quindi, ai contenuti dei programmi così come enunciati in questo allegato.
Qualora in sede di pubblicazione del bando in G.U. dovessero essere inseriti ulteriori argomenti (cosa alquanto remota) se ne darà conto in apposite espansioni online, disponibili nell’area
riservata, accessibile tramite il Qrcode.
Il testo è a cura di Andrea Ciotola, Giovanni Ciotola e Giuseppe Milano
I capitoli da 1 a 8 della Parte II sono a cura di Rossella Micillo
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La pubblicazione di questo volume, pur curato con scrupolosa attenzione dagli Autori e dalla redazione, non comporta alcuna assunzione di responsabilità da parte degli stessi e della Casa editrice per
eventuali errori, incongruenze o difformità dai contenuti delle prove effettivamente somministrate
in sede di concorso.
Premessa
Nel nuovo e tanto atteso concorso a cattedra 2016, i candidati, come è noto, dovranno cimentarsi con una prova scritta particolarmente articolata, finalizzata a testarne le competenze disciplinari oltre che didattiche, pedagogiche e digitali. Ciò avverrà con una tipologia
di verifiche alquanto nuova, ovvero con la somministrazione di 8 quesiti a risposta aperta, di cui 2 in lingua straniera.
Il candidato affronterà pertanto una batteria di quesiti nella quale, in 150 minuti, dovrà fornire le risposte adeguate a dimostrare non solo le proprie competenze scientifiche e professionali, ma anche un’appropriata capacità di sintesi.
La prova orale, poi, consisterà in una lezione simulata, della durata di 35 minuti, e in un
colloquio immediatamente successivo, nel corso del quale saranno approfonditi i contenuti, nonché le scelte metodologiche e didattiche della lezione stessa.
Le prove di questo concorso si annunciano, quindi, particolarmente impegnative anche per
il poco tempo che i candidati avranno a disposizione per prepararsi.
Per venire incontro alle esigenze degli aspiranti docenti abbiamo, perciò, realizzato questo
volume, indirizzato alle classi di concorso A20 – Fisica (ex A038), A26 – Matematica (ex
A047) e A27 – Matematica e Fisica (ex A049), che, lungi dall’essere il solito manuale teorico, utile per il ripasso delle nozioni fondamentali, si presenta come un’autentica e completa «palestra d’esame», fornendo al concorsista tutti gli strumenti necessari per un risultato d’eccellenza.
Il testo è strutturato come segue:
— Parte I - Fondamenti delle discipline di insegnamento, che ripercorre per punti e snodi essenziali l’intero programma d’esame così come specificato nel bando di concorso,
ma in un numero comunque contenuto di pagine, in modo da permetterne lo studio nei
ristretti tempi del concorso;
— Parte II - Competenze e strumenti pedagogico-didattici delle discipline di riferimento ed elementi della psicologia dello sviluppo e dell’educazione, con particolare attenzione ai Bisogni educativi speciali e alle metodologie didattiche per l’insegnamento
della Matematica e della Fisica;
— Parte III - La prova scritta, ovvero un’ampia sezione in cui sono proposti vari quesiti
a risposta aperta, con soluzioni adeguatamente svolte, per consentire al candidato di
cimentarsi con tale prova. Si segnala che alcuni esempi di quesiti a risposta aperta in
lingua inglese, di contenuto disciplinare, sono disponibili come Espansione Web;
— Parte IV - La lezione simulata, ossia un ricco approfondimento su come impostare, appunto, una lezione simulata in vista della prova orale, con utili spunti pratici e 2 lezioni
svolte.
Il lavoro si completa con numerose Espansioni Web, accessibili tramite il QR Code in calce al
volume, tra cui approfondimenti, una serie di quesiti in lingua inglese, le Indicazioni nazionali
e le Linee guida relative alle discipline oggetto d’insegnamento delle classi A20, A26 e A27.
Ricordiamo infine ai candidati che, oltre alle competenze disciplinari proprie di ciascuna
classe di concorso, le prove si svolgeranno anche sulle cosiddette Avvertenze generali. A
tale delicata parte del programma d’esame (comprendente argomenti di didattica, psicologia dell’età evolutiva, normativa scolastica etc.) questa Casa Editrice ha dedicato un apposito volume dal titolo Avvertenze generali per il concorso a cattedra 2016 (codice 526/B).
Indice Generale
Parte I
fondamenti delle discipline di insegnamento
Capitolo 1: I momenti principali dello sviluppo del pensiero matematico
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Introduzione................................................................................................................................................ Pag.
Dalle origini................................................................................................................................................. »
La trigonometria: da ombra retta a cateto..................................................................................... »
Achille e la tartaruga................................................................................................................................ »
Le cifre arabe, ovvero le cifre indiane.............................................................................................. »
Lo zero e i numeri negativi.................................................................................................................... »
I numeri razionali e il teorema di Pitagora.................................................................................... »
I numeri reali: la continuità.................................................................................................................. »
3,141592653589793… ovvero l’irrealizzabile quadratura del cerchio............................ »
2,71828182845... oppure 10?.............................................................................................................. »
Il quadrato negativo................................................................................................................................. »
Fermat: da congettura a teorema....................................................................................................... »
Un’infinità di infiniti................................................................................................................................. »
Il binomio di Newton, ovvero di Pascal........................................................................................... »
Il teorema di L’Hôpital, ovvero di Bernoulli................................................................................... »
Archimede e il segmento parabolico................................................................................................ »
Capitolo 2: Il linguaggio della teoria degli insiemi ed elementi di combinatoria
1. Gli insiemi..................................................................................................................................................... 2. Le operazioni sugli insiemi................................................................................................................... 2.1 Unione...................................................................................................................................................
2.2 Intersezione.......................................................................................................................................
2.3 Differenza............................................................................................................................................
3. Il prodotto cartesiano.............................................................................................................................. 4. Le relazioni.................................................................................................................................................. 4.1 Relazione di equivalenza..............................................................................................................
4.2 Relazione d’ordine...........................................................................................................................
5. Le strutture d’ordine............................................................................................................................... 6. Le funzioni o applicazioni...................................................................................................................... 7. Cardinalità di un insieme, insiemi finiti e insiemi infiniti....................................................... 8. Confronto tra insiemi infiniti, potenza di insiemi....................................................................... 9. Elementi di calcolo combinatorio...................................................................................................... 9.1 Disposizioni........................................................................................................................................
9.2 Permutazioni.....................................................................................................................................
9.3 Combinazioni semplici..................................................................................................................
9.4 Formula del binomio di Newton................................................................................................
9.5 Regole per lo sviluppo della potenza di un binomio........................................................
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Indice Generale
Libro I
matematica
857
Capitolo 3: Elementi di logica matematica
1.
2.
3.
4.
5.
Indice Generale
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
858
La logica........................................................................................................................................................ Pag.
La dimostrazione....................................................................................................................................... »
Nozioni di logica matematica............................................................................................................... »
Le proposizioni.......................................................................................................................................... »
I connettivi................................................................................................................................................... »
5.1 Congiunzione..................................................................................................................................... »
5.2 Alternazione....................................................................................................................................... »
5.3 Implicazione....................................................................................................................................... »
5.4 Coimplicazione.................................................................................................................................. »
5.5 Negazione............................................................................................................................................ »
Dimostrazione, teorema, lemma e corollario................................................................................ »
La proprietà transitiva della deduzione.......................................................................................... »
La teoria assiomatica o ipotetico-deduttiva (i postulati)......................................................... »
I postulati fondamentali della logica................................................................................................ »
Il metodo di riduzione all’assurdo..................................................................................................... »
Le implicazioni derivate......................................................................................................................... »
Il teorema inverso o reciproco............................................................................................................ »
Le proposizioni equivalenti.................................................................................................................. »
La prima legge delle inverse................................................................................................................. »
La seconda legge delle inverse............................................................................................................ »
Concetti primitivi e definizioni........................................................................................................... »
Il concetto di astrazione......................................................................................................................... »
Il principio di induzione......................................................................................................................... »
Capitolo 4: La geometria euclidea del piano e dello spazio
Sezione Prima: La geometria euclidea del piano
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1. Gli enti fondamentali della geometria del piano......................................................................... 1.1 Rette e loro porzioni.......................................................................................................................
1.2 Angoli....................................................................................................................................................
2. La circonferenza e il cerchio................................................................................................................. 3. I poligoni....................................................................................................................................................... 4. I triangoli...................................................................................................................................................... 5. Alcuni quadrilateri.................................................................................................................................... 5.1 Parallelogramma..............................................................................................................................
5.2 Trapezio...............................................................................................................................................
5.3 Quadrilateri inscrivibili e circoscrivibili, poligoni regolari............................................
6. Il concetto di area...................................................................................................................................... 7. La similitudine............................................................................................................................................ »
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8. Punti, rette e piani nello spazio........................................................................................................... 9. I poliedri........................................................................................................................................................ 9.1 Alcuni poliedri...................................................................................................................................
9.2 Poliedri regolari................................................................................................................................
10. I solidi di rotazione................................................................................................................................... 11. Il concetto di volume............................................................................................................................... »
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Sezione Seconda: La geometria euclidea dello spazio
Capitolo 5: I sistemi numerici N, Z, Q, R, C e le strutture algebriche fondamentali
Capitolo 6: Il linguaggio dell’algebra lineare e il calcolo vettoriale
1. Le matrici...................................................................................................................................................... 2. Matrici particolari..................................................................................................................................... 3. Le operazioni sulle matrici.................................................................................................................... 3.1 Somma di due matrici....................................................................................................................
3.2 Differenza di due matrici..............................................................................................................
3.3 Prodotto di due matrici.................................................................................................................
3.4 Prodotto di una matrice per uno scalare...............................................................................
4. I determinanti............................................................................................................................................. 5. Le proprietà dei determinanti............................................................................................................. 6. L’inversa di una matrice......................................................................................................................... 7. I sistemi di equazioni............................................................................................................................... 8. La regola di Cramer.................................................................................................................................. 9. Il metodo di eliminazione di Gauss................................................................................................... 10. Il teorema di Rouché-Capelli................................................................................................................ 11. I sistemi omogenei.................................................................................................................................... 12. Gli spazi vettoriali..................................................................................................................................... 13. La combinazione lineare nello spazio vettoriale......................................................................... 14. Le basi............................................................................................................................................................ 15. I vettori.......................................................................................................................................................... 16. Le coordinate cartesiane di vettori.................................................................................................... 17. Le operazioni sui vettori........................................................................................................................ 17.1 Somma di due vettori..................................................................................................................
17.2 Differenza di due vettori............................................................................................................
17.3 Prodotto scalare............................................................................................................................
17.4 Prodotto vettoriale di due vettori..........................................................................................
17.5 Prodotto di un vettore per uno scalare...............................................................................
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Capitolo 7: Il Metodo delle coordinate per la descrizione di luoghi geo­
metrici
La geometria analitica............................................................................................................................. Le coordinate sulla retta........................................................................................................................ Le coordinate cartesiane nel piano................................................................................................... La distanza di due punti......................................................................................................................... Le coordinate del punto medio di un segmento.......................................................................... La traslazione d’assi................................................................................................................................. Indice Generale
1. Estensione del concetto di numero: Dai naturali ai complessi.............................................. Pag. 100
1.1 Numeri naturali................................................................................................................................ » 100
1.2 Numeri relativi.................................................................................................................................. » 100
1.3 Numeri razionali.............................................................................................................................. » 101
1.4 Numeri reali....................................................................................................................................... » 101
1.5 Numeri complessi............................................................................................................................ » 102
2. Numeri algebrici e numeri trascendenti......................................................................................... » 103
3. Le strutture algebriche........................................................................................................................... » 103
4. Le proprietà delle strutture algebriche........................................................................................... » 104
5. Struttura abeliana e struttura regolare........................................................................................... » 104
6. Semigruppi e gruppi................................................................................................................................ » 105
7. L’anello........................................................................................................................................................... » 105
8. Il campo......................................................................................................................................................... » 105
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
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14.
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16.
Indice Generale
17.
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18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
La rappresentazione grafica di funzioni.......................................................................................... Pag. 125
L’equazione generale o implicita della retta.................................................................................. » 127
Le rette rispetto all’origine degli assi cartesiani.......................................................................... » 128
L’equazione della retta passante per un punto assegnato o per due punti assegnati........ » 129
Rette parallele e rette perpendicolari.............................................................................................. » 129
La distanza di un punto da una retta................................................................................................ » 131
Le coniche..................................................................................................................................................... » 132
La circonferenza........................................................................................................................................ » 132
14.1 Mutua posizione di una circonferenza e di una retta.................................................... » 133
14.2 Mutua posizione di due circonferenze................................................................................. » 134
14.3 Tangenti ad una circonferenza................................................................................................ » 134
L’ellisse........................................................................................................................................................... » 135
15.1 Eccentricità dell’ellisse............................................................................................................... » 136
15.2 Tangenti ad un’ellisse.................................................................................................................. » 136
L’iperbole...................................................................................................................................................... » 137
16.1 Iperbole equilatera....................................................................................................................... » 138
16.2 Tangenti ad un’iperbole............................................................................................................. » 140
La parabola.................................................................................................................................................. » 140
17.1 Equazione della parabola simmetrica rispetto all’asse delle y................................. » 141
17.2 Equazione della parabola simmetrica rispetto all’asse delle x................................. » 141
17.3 Parabola e funzione di secondo grado................................................................................. » 142
17.4 Mutua posizione di una retta e di una parabola.............................................................. » 143
17.5 Tangenti ad una parabola.......................................................................................................... » 144
L’equazione parametrica e cartesiana di un piano..................................................................... » 144
L’equazione cartesiana di un piano passante per tre punti (non allineati)...................... » 145
Tre vettori complanari............................................................................................................................ » 146
Quattro punti complanari...................................................................................................................... » 146
Piani e vettori paralleli........................................................................................................................... » 146
Le rette nello spazio euclideo: equazioni parametriche di una retta................................. » 147
La direzione di una retta espressa in forma cartesiana............................................................ » 147
I fasci di rette nel piano euclideo........................................................................................................ » 147
I fasci di piani nello spazio euclideo................................................................................................. » 148
La distanza fra due punti nello spazio............................................................................................. » 149
Il punto medio di un segmento nello spazio.................................................................................. » 149
Le superfici nello spazio......................................................................................................................... » 149
29.1 Equazione della sfera.................................................................................................................. » 150
29.2 Equazione di una superficie cilindrica che ha per asse l’asse z................................ » 150
29.3 Equazione segmentaria del piano......................................................................................... » 150
29.4 Equazione canonica di un ellissoide..................................................................................... » 151
29.5 Equazione canonica di un iperboloide a una falda e a due falde.............................. » 152
29.6 Paraboloide ellittico..................................................................................................................... » 152
29.7 Paraboloide iperbolico (o a sella).......................................................................................... » 153
Capitolo 8: Gli algoritmi
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Nozioni di base........................................................................................................................................... La traduzione di un algoritmo in linguaggio di programmazione....................................... Le strutture elementari per la descrizione degli algoritmi..................................................... La rappresentazione grafica degli algoritmi.................................................................................. Il controllo della correttezza................................................................................................................ La complessità degli algoritmi............................................................................................................ Cenni sulla computabilità e sulla tesi di Church.......................................................................... »
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1.
2.
3.
4.
5.
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8.
9.
La circonferenza trigonometrica........................................................................................................ Pag. 159
La relazione fondamentale.................................................................................................................... » 160
Le relazioni fra le funzioni trigonometriche................................................................................. » 160
Le formule di addizione, sottrazione e duplicazione................................................................. » 160
Le relazioni trigonometriche applicate ai triangoli rettangoli.............................................. » 161
Le funzioni goniometriche.................................................................................................................... » 161
La funzione y = sen(x) e la sua inversa y = arcsen(x)................................................................. » 161
La funzione y = cos(x) e la sua inversa y = arccos(x)................................................................. » 162
La funzione y = tg(x) e la sua inversa y = arctg(x)....................................................................... » 163
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Le funzioni.................................................................................................................................................... Intervallo e intorno.................................................................................................................................. Il campo di esistenza di una funzione.............................................................................................. Le funzioni limitate.................................................................................................................................. Le funzioni crescenti e quelle decrescenti..................................................................................... Le funzioni composte e quelle inverse............................................................................................. Le funzioni elementari............................................................................................................................ 7.1 Funzione potenza.............................................................................................................................
7.2 Funzione radice................................................................................................................................
7.3 Funzione esponenziale di base a...............................................................................................
7.4 Funzione logaritmo in base a......................................................................................................
7.5 Funzione valore assoluto..............................................................................................................
I limiti di funzioni...................................................................................................................................... I limiti destro e sinistro.......................................................................................................................... Funzioni, limiti e infinito........................................................................................................................ I teoremi sui limiti di funzioni............................................................................................................. Le operazioni sui limiti di funzioni.................................................................................................... Il confronto di infinitesimi e di infiniti............................................................................................. Le funzioni continue................................................................................................................................ Le funzioni discontinue.......................................................................................................................... I teoremi sulle funzioni continue....................................................................................................... »
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1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
La derivata.................................................................................................................................................... Le derivate destra e sinistra................................................................................................................. Il significato geometrico della derivata........................................................................................... Il differenziale............................................................................................................................................. Le regole di derivazione......................................................................................................................... Le derivate di funzioni composte e di funzioni inverse............................................................ Le derivate di ordine superiore.......................................................................................................... I teoremi sulle derivate........................................................................................................................... Il teorema di L’Hôpital............................................................................................................................. Le relazioni tra derivate e funzioni crescenti e decrescenti................................................... Massimi e minimi...................................................................................................................................... Le concavità di una curva...................................................................................................................... Gli asintoti.................................................................................................................................................... Lo studio del grafico di una funzione............................................................................................... »
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Capitolo 10: Le funzioni reali di una variabile reale
Capitolo 11: Il calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale
Indice Generale
Capitolo 9: Elementi di trigonometria e funzioni trigonometriche
861
Capitolo 12: Calcolo integrale per funzioni di una variabile reale ed Elementi di teoria della misura
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
L’integrale indefinito................................................................................................................................ Pag. 187
L’integrazione per sostituzione........................................................................................................... » 188
L’integrazione per decomposizione.................................................................................................. » 189
L’integrazione per parti.......................................................................................................................... » 190
L’integrale definito.................................................................................................................................... » 191
Le proprietà dell’integrale definito................................................................................................... » 192
La relazione tra integrale indefinito e integrale definito......................................................... » 193
Le aree di superfici................................................................................................................................... » 194
I volumi dei solidi di rotazione............................................................................................................ » 196
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Insiemi e limiti............................................................................................................................................ Le successioni............................................................................................................................................. I limitI di successioni............................................................................................................................... I teoremi sui limiti di successioni....................................................................................................... Le serie numeriche................................................................................................................................... Le serie geometriche............................................................................................................................... Le serie di funzioni................................................................................................................................... Le serie di potenze.................................................................................................................................... La serie di Fourier..................................................................................................................................... Le equazioni differenziali...................................................................................................................... Tipi di equazioni differenziali.............................................................................................................. 11.1 Equazioni differenziali a variabili separate.......................................................................
11.2 Equazioni differenziali lineari del primo ordine.............................................................
11.3 Equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti co
stanti...................................................................................................................................................
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1. Introduzione................................................................................................................................................ 2. Gli errori........................................................................................................................................................ 2.1 Tipi di errori.......................................................................................................................................
2.2 Propagazione degli errori.............................................................................................................
3. L’interpolazione......................................................................................................................................... 3.1 Formula di interpolazione di Lagrange..................................................................................
3.2 Formula di interpolazione di Newton.....................................................................................
4. La risoluzione approssimata di equazioni..................................................................................... 4.1 Metodo di bisezione........................................................................................................................
4.2 Metodo delle iterate successive.................................................................................................
4.3 Metodo di Newton...........................................................................................................................
5. L’integrazione numerica......................................................................................................................... 5.1 Metodo dei rettangoli.....................................................................................................................
5.2 Metodo dei trapezi..........................................................................................................................
5.3 Metodo di Simpson..........................................................................................................................
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1. Indagine statistica e tabelle.................................................................................................................. 2. Le distribuzioni statistiche semplici................................................................................................. 2.1 Variabili statistiche..........................................................................................................................
2.2 Mutabili statistiche..........................................................................................................................
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219
220
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222
Indice Generale
Capitolo 13: Successioni, serie numeriche ed Equazioni differenziali
862
Capitolo 14: I processi di approssimazione e di stima degli errori
Capitolo 15: Elementi di statistica descrittiva
»
206
Capitolo 16: Elementi di statistica inferenziale e di calcolo delle probabilità
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Schemi di campionamento.................................................................................................................... Eventi aleatori............................................................................................................................................ Probabilità.................................................................................................................................................... Probabilità composte, condizionate e totali.................................................................................. Teorema di Bayes...................................................................................................................................... Variabili aleatorie o casuali................................................................................................................... Distribuzione casuale binomiale........................................................................................................ Distribuzione ipergeometrica.............................................................................................................. Distribuzione di Poisson........................................................................................................................ Distribuzione casuale normale o di Gauss..................................................................................... Distribuzione di Student........................................................................................................................ Distribuzione c2......................................................................................................................................... Distribuzione F di Fisher-Snedecor................................................................................................... Teorema del limite centrale e legge dei grandi numeri............................................................ Stima dei parametri................................................................................................................................. 15.1 Stima puntuale e stima per intervallo..................................................................................
15.2 Cenni sui metodi di stima..........................................................................................................
16. Adeguatezza di un modello di regressione.................................................................................... »
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269
Indice Generale
3. Le rappresentazioni grafiche............................................................................................................... Pag,. 223
4. Gli indici statistici per variabili quantitative................................................................................. » 227
5. Indici di posizione..................................................................................................................................... » 227
5.1 Media aritmetica........................................................................................................................... » 227
5.2 Media quadratica.......................................................................................................................... » 229
5.3 Media armonica............................................................................................................................. » 230
5.4 Media geometrica......................................................................................................................... » 231
5.5 Relazioni tra le medie................................................................................................................. » 233
5.6 Cenni sulla media di somme di potenze.............................................................................. » 233
5.7 Moda................................................................................................................................................... » 233
5.8 Mediana............................................................................................................................................. » 235
5.9 Percentili........................................................................................................................................... » 237
6. Indici di variabilità................................................................................................................................... » 237
6.1 Campo di variazione.................................................................................................................... » 237
6.2 Differenza interquartilica.......................................................................................................... » 237
6.3 Scostamento semplice medio dalla media aritmetica................................................... » 237
6.4 Scostamento semplice medio della mediana.................................................................... » 238
6.5 Scarto quadratico medio............................................................................................................ » 238
6.6 Devianza e varianza..................................................................................................................... » 239
6.7 Differenze medie........................................................................................................................... » 241
6.8 Indici rapportati al massimo della variabilità.................................................................. » 241
6.9 Indici di concentrazione............................................................................................................ » 242
6.10 Momenti............................................................................................................................................ » 245
7. Indici di forma............................................................................................................................................ » 246
7.1 Indici di asimmetria..................................................................................................................... » 246
7.2 Indice di Curtosi............................................................................................................................ » 247
8. I rapporti statistici.................................................................................................................................... » 248
9. Distribuzioni statistiche doppie......................................................................................................... » 250
10. Connessione e concordanza-discordanza...................................................................................... » 251
11. Regressione................................................................................................................................................. » 251
11.1 Regressione lineare semplice.................................................................................................. » 251
11.2 Regressione lineare multipla................................................................................................... » 253
863
Capitolo 17: Esami, problemi e concetti di interesse interdisciplinare
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
I numeri primi e la crittografia............................................................................................................ Pag. 271
Sistema decimale – Sistema binario.................................................................................................. » 272
Operazioni nel sistema binario........................................................................................................... » 273
Operatori booleani.................................................................................................................................... » 273
I contributi di Hilbert, Turing e Godel.............................................................................................. » 274
Il calcolatore elettronico........................................................................................................................ » 274
Un modello teorico della Geometria del biliardo........................................................................ » 276
Trasformazioni........................................................................................................................................... » 281
Funzioni di due variabili e loro applicazioni................................................................................. » 283
Retta di bilancio......................................................................................................................................... » 285
Tasso di cambio nominale..................................................................................................................... » 287
Ottimizzazione vincolata....................................................................................................................... » 287
12.1 Nozioni generali............................................................................................................................ » 287
12.2 Programmazione lineare........................................................................................................... » 287
12.3 Il duale............................................................................................................................................... » 287
Interesse composto annuo.................................................................................................................... » 289
Spazio percorso da un punto............................................................................................................... » 290
Lavoro di una forza................................................................................................................................... » 290
Equazione oraria del moto rettilineo uniforme........................................................................... » 291
Equazioni differenziali e funzione armonica................................................................................. » 292
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Derive............................................................................................................................................................. Schermo di Derive..................................................................................................................................... Alcune funzioni di Derive...................................................................................................................... Cabri................................................................................................................................................................ Avvio di Cabri.............................................................................................................................................. Elenco di siti web da cui trarre materiale inerente i principali software utilizzati in
matematica [Espansione Web]
Indice Generale
Capitolo 18: I principali software per imparare e sperimentare la matematica
864
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294
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298
1. Grandezze fondamentali e grandezze derivate............................................................................ 2. Sistema internazionale (S.I.)................................................................................................................ 2.1 Grandezze fondamentali...............................................................................................................
2.2 Grandezze derivate.........................................................................................................................
2.3 Prefissi moltiplicativi.....................................................................................................................
2.4 Regole di scrittura...........................................................................................................................
3. Sistema C.G.S............................................................................................................................................... »
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1.
2.
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311
Libro II
FISICA
Capitolo 1: Sistemi di unità di misura
Capitolo 2: Vettori
Vettori e scalari.......................................................................................................................................... Versori............................................................................................................................................................ Vettore opposto.......................................................................................................................................... Somma di vettori....................................................................................................................................... 4.1 Metodo geometrico.........................................................................................................................
4.2 Metodo analitico...............................................................................................................................
4.3 Proprietà della somma..................................................................................................................
Capitolo 3: Forze
1. Composizione di forze concorrenti................................................................................................... 2. Momento di una forza............................................................................................................................. 2.1 Proprietà del momento di una forza.......................................................................................


2.2 Momento di una forza in funzione delle componenti di r e F .................................
2.3 Momento di più forze concorrenti............................................................................................
3. Forze applicate ad un corpo rigido.................................................................................................... 3.1 Coppia di forze..................................................................................................................................
4. Composizione di forze parallele - Centro delle forze parallele............................................. 4.1 Baricentro di un corpo...................................................................................................................
4.2 Equilibrio di un corpo....................................................................................................................
4.3 Equilibrio stabile, instabile e indifferente.............................................................................
5. Le leve............................................................................................................................................................ 5.1 Leva di primo genere: Forza resistente ‑ Fulcro-Forza Motrice...................................
5.2 Leva di secondo genere: Fulcro-Forza resistente ‑Forza Motrice...............................
5.3 Leva di terzo genere: Fulcro-Forza Motrice ‑Forza Resistente.....................................
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1. Termini della cinematica........................................................................................................................ 2. Moto rettilineo uniforme....................................................................................................................... 2.1 Accelerazione media e accelerazione istantanea...............................................................
2.2 Velocità media e velocità istantanea........................................................................................
2.3 Spazio percorso................................................................................................................................
3. Moto rettilineo uniformemente accelerato.................................................................................... 3.1 Accelerazione media e accelerazione istantanea...............................................................
3.2 Velocità media e velocità istantanea........................................................................................
3.3 Spazio percorso................................................................................................................................
4. Moto rettilineo non uniforme (caso generale)............................................................................. 4.1 Accelerazione.....................................................................................................................................
4.2 Velocità.................................................................................................................................................
4.3 Spazio percorso................................................................................................................................
5. Caduta dei gravi......................................................................................................................................... 6. Moto curvilineo.......................................................................................................................................... 6.1 Velocità.................................................................................................................................................
6.2 Vettore spostamento e velocità in funzione delle componenti......................................
6.3 Moto curvilineo ‑ Accelerazione................................................................................................
6.4 Vettore accelerazione in funzione delle componenti.......................................................
6.5 Moto piano con accelerazione costante (moto uniformemente accelerato)..........
6.6 Moto di un proiettile.......................................................................................................................

6.7 Studio delle componenti di v0 . .................................................................................................

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342
Capitolo 4: Cinematica
Indice Generale
5. Differenza di vettori................................................................................................................................. Pag. 311
5.1 Metodo geometrico......................................................................................................................... » 312
5.2 Metodo analitico............................................................................................................................... » 312
5.3 Proprietà della differenza............................................................................................................. » 313
6. Scomposizione di un vettore................................................................................................................ » 313
7. Somma di più vettori............................................................................................................................... » 314
8. Prodotto scalare o prodotto interno................................................................................................. » 314
8.1 Proprietà del prodotto scalare................................................................................................... » 315
8.2 Prodotto scalare di due vettori in funzione delle loro componenti........................... » 315
9. Prodotto vettoriale o prodotto esterno........................................................................................... » 316
9.1 Proprietà del prodotto vettoriale.............................................................................................. » 317
9.2 Prodotto vettoriale di due vettori in funzione delle loro componenti...................... » 317
865
7. Moto circolare uniforme........................................................................................................................ Pag. 344
7.1 Velocità tangenziale e velocità angolare................................................................................ » 345
8. Moto circolare uniformemente accelerato..................................................................................... » 346
Capitolo 5: Moto relativo
1.
2.
3.
4.
Composizione degli spostamenti....................................................................................................... Composizione delle velocità................................................................................................................. Composizione delle accelerazioni...................................................................................................... Trasformazioni di Galileo...................................................................................................................... 4.1 Il problema della velocità della luce........................................................................................
5. Trasformazioni di Lorentz..................................................................................................................... 5.1 Conseguenze delle trasformazioni di Lorentz.....................................................................
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1. Primo principio della dinamica (principio d'inerzia)............................................................... 2. Secondo principio della dinamica (legge di Newton)............................................................... 2.1 La massa inerziale...........................................................................................................................


2.2 L’equazione di Newton: F = ma . ..............................................................................................
2.3 Il peso di un corpo...........................................................................................................................
2.4 Chilogrammo massa e chilogrammo peso............................................................................
3. Terzo principio della dinamica............................................................................................................ 4. Moto di un corpo su un piano inclinato........................................................................................... 5. L’attrito.......................................................................................................................................................... 6. La forza centripeta e la forza centrifuga......................................................................................... »
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1. Proprietà generali..................................................................................................................................... 2. Equazione oraria del moto armonico semplice........................................................................... 2.1 Equazione della velocità nel moto armonico semplice...................................................
2.2 Equazione dell’accelerazione nel moto armonico semplice..........................................
3. Moto di un corpo soggetto a una forza elastica. Legge di Hooke.......................................... 4. Dinamica del moto armonico semplice. Considerazioni matematiche.............................. 5. Lavoro della forza elastica.................................................................................................................... 6. Energia potenziale elastica................................................................................................................... »
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1. Il lavoro.......................................................................................................................................................... 1.1 Lavoro positivo e lavoro negativo.............................................................................................
1.2 Lavoro di una forza variabile......................................................................................................
2. Energia cinetica e teorema dell'energia cinetica......................................................................... 3. La potenza.................................................................................................................................................... 3.1 Il kilowattora......................................................................................................................................
4. Forze non conservative e conservative........................................................................................... 5. Energia potenziale gravitazionale..................................................................................................... »
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1. Quantità di moto e impulso di una forza......................................................................................... 1.1 Quantità di moto e secondo principio della dinamica.....................................................
1.2 Impulso di una forza.......................................................................................................................
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Indice Generale
Capitolo 6: Dinamica
866
Capitolo 7: Moto oscillatorio e molle
Capitolo 8: Lavoro ed energia
Capitolo 9: Impulso e quantità di moto
Capitolo 10: Dinamica di un corpo rigido
1. Momento angolare di un corpo rigido............................................................................................. 1.1 Momento d’inerzia..........................................................................................................................
1.2 Calcolo del momento di inerzia.................................................................................................
1.3 Teorema di Steiner..........................................................................................................................
2. Dinamica rotazionale di un corpo rigido........................................................................................ 2.1 Energia cinetica rotazionale........................................................................................................
2.2 Lavoro e potenza rotazionale.....................................................................................................
3. Moto rototraslatorio di un corpo rigido.......................................................................................... 4. Conservazione del momento angolare............................................................................................ »
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1. Un po’ di storia........................................................................................................................................... 2. Le leggi di Keplero.................................................................................................................................... 2.1 Prima legge di Keplero..................................................................................................................
2.2 Seconda legge di Keplero..............................................................................................................
2.3 Terza legge di Keplero....................................................................................................................
3. Da Keplero a Newton............................................................................................................................... 3.1 Generalizzazione della legge di gravitazione universale................................................
4. Cavendish e la costante G...................................................................................................................... 4.1 Il pendolo di torsione.....................................................................................................................
4.2 L’esperimento di Cavendish.........................................................................................................
5. Massa inerziale e massa gravitazionale.......................................................................................... 6. Il campo gravitazionale.......................................................................................................................... 6.1 Variazioni di accelerazioni dovute alla distanza dal centro della Terra...................
7. Lavoro e energia potenziale gravitazionale.................................................................................. 7.1 Lavoro della forza gravitazionale..............................................................................................
7.2 Energia potenziale gravitazionale............................................................................................
7.3 Conservazione dell’energia meccanica...................................................................................
8. Lancio di un satellite terrestre............................................................................................................ »
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1. Densità e pressione.................................................................................................................................. 1.1 La densità............................................................................................................................................
1.2 La pressione.......................................................................................................................................
2. Trasmissione delle forze nei fluidi ‑ Principio di Pascal.......................................................... 3. Variazione di pressione in un fluido a riposo. Legge di Stevino........................................... 3.1 La pressione idrostatica................................................................................................................
3.2 Conseguenza della legge di Stevino.........................................................................................
4. Il Principio di Archimede....................................................................................................................... »
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Capitolo 11: Gravitazione universale
Capitolo 12: Statica dei fluidi
Indice Generale
1.3 Conservazione della quantità di moto.................................................................................... Pag. 375
1.4 Forze esterne e forze interne in un sistema......................................................................... » 375
2. Quantità di moto di un sistema di particelle................................................................................. » 375
2.1 Centro di massa di un sistema.................................................................................................... » 376
3. Momento angolare.................................................................................................................................... » 377
4. Urti................................................................................................................................................................... » 378
4.1 Urti elastici.......................................................................................................................................... » 378
4.2 Urti anelastici.................................................................................................................................... » 379
867
Capitolo 13: Dinamica dei fluidi
1. Fluidi stazionari e non stazionari...................................................................................................... Pag. 411
2. Equazione di continuità......................................................................................................................... » 412
3. Equazione di Bernoulli........................................................................................................................... » 412
3.1 Teorema di Torricelli...................................................................................................................... » 414
Indice Generale
Capitolo 14: Le onde e la loro propagazione
868
1. Le onde e il moto ondulatorio.............................................................................................................. 2. Onde trasversali e longitudinali.......................................................................................................... 3. Grandezze che caratterizzano un’onda........................................................................................... 3.1 Creste, gole, ampiezza e lunghezza d’onda...........................................................................
3.2 Frequenza, periodo e velocità.....................................................................................................
3.3 Energia trasportata e ampiezza.................................................................................................
3.4 L’equazione d’onda..........................................................................................................................
4. Riflessione, rifrazione e diffrazione delle onde............................................................................ 4.1 La riflessione delle onde...............................................................................................................
4.2 La rifrazione delle onde................................................................................................................
4.3 La diffrazione delle onde..............................................................................................................
5. Il principio di Huygens........................................................................................................................... 6. Principio di sovrapposizione............................................................................................................... 7. L’interferenza.............................................................................................................................................. 8. Onde stazionarie........................................................................................................................................ »
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1. Le onde sonore........................................................................................................................................... 1.1 Il suono è un’onda elastica...........................................................................................................
1.2 Il suono è un’onda longitudinale...............................................................................................
1.3 Il suono è un’onda di pressione.................................................................................................
2. La velocità di propagazione delle onde sonore............................................................................ 3. Le proprietà del suono............................................................................................................................ 4. L’interferenza.............................................................................................................................................. 5. I battimenti.................................................................................................................................................. 6. L’effetto Doppler........................................................................................................................................ 7. Gli effetti supersonici.............................................................................................................................. »
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1. La luce è un’onda elettromagnetica.................................................................................................. 2. La percezione dei colori......................................................................................................................... 2.1 La riflessione, l’assorbimento e la trasmissione della luce............................................
2.2 L’addizione dei colori.....................................................................................................................
2.3 La sottrazione dei colori...............................................................................................................
2.4 I pigmenti............................................................................................................................................
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1. Corpi luminosi e corpi illuminati....................................................................................................... 1.1 La linea visiva....................................................................................................................................
1.2 La legge della riflessione...............................................................................................................
2. Specchi piani............................................................................................................................................... 3. Specchi concavi.......................................................................................................................................... 3.1 La formazione di un’immagine in uno specchio concavo...............................................
3.2 Le regole di riflessione per uno specchio concavo............................................................
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Capitolo 15: Il suono
Capitolo 16: La luce e i colori
Capitolo 17: La luce e la riflessione
Capitolo 18: La luce e la rifrazione
1. Il fenomeno della rifrazione................................................................................................................. 1.1 Le cause della rifrazione...............................................................................................................
1.2 Effetti ottici dovuti alla rifrazione.............................................................................................
1.3 I materiali e la rifrazione: la densità ottica e l’indice di rifrazione.............................
1.4 La direzione della rifrazione.......................................................................................................
2. La legge di Snell......................................................................................................................................... 3. La riflessione totale.................................................................................................................................. 3.1 L’angolo limite...................................................................................................................................
3.2 La legge di Snell e le lunghezze d’onda...................................................................................
4. Le lenti........................................................................................................................................................... 4.1 Lenti convergenti e lenti divergenti.........................................................................................
4.2 La rifrazione delle lenti.................................................................................................................
4.3 Rifrazione da una lente convergente.......................................................................................
4.4 Rifrazione da una lente divergente..........................................................................................
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1. L’interferenza............................................................................................................................................. 1.1 Onde coerenti....................................................................................................................................
2. Metodi di osservazione dell’interferenza della luce.................................................................. 3. La diffrazione.............................................................................................................................................. 3.1 Diffrazione da una singola fenditura (Diffrazione di Fraunhofer)..............................
3.2 Reticolo di diffrazione....................................................................................................................
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1.
2.
3.
4.
5.
6.
Il calore e la temperatura...................................................................................................................... Il termometro.............................................................................................................................................. I termometri e le sostanze termometriche.................................................................................... Gli effetti della temperatura sul volume dei gas.......................................................................... Gli effetti della temperatura sul volume e sulla pressione di un liquido.......................... Gli effetti della temperatura sul volume e sulla pressione di un solido............................ 6.1 Dilatazione lineare..........................................................................................................................
6.2 Dilatazione superficiale.................................................................................................................
6.3 Dilatazione cubica...........................................................................................................................
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Calore, temperatura e equilibrio termico....................................................................................... Capacità termica e calore specifico di un corpo.......................................................................... Energia, calore e lavoro.......................................................................................................................... Propagazione del calore......................................................................................................................... 4.1 La conduzione...................................................................................................................................
4.2 La convezione....................................................................................................................................
4.3 L’irraggiamento.................................................................................................................................
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Capitolo 19: La luce: interferenza e diffrazione
Capitolo 20: La temperatura e la dilatazione termica
Capitolo 21: Il calore
1.
2.
3.
4.
Indice Generale
3.3 Come ricavare l’immagine riflessa da uno specchio concavo....................................... Pag. 441
3.4 Posizione e dimensioni dell’immagine di un oggetto....................................................... » 443
4. Specchi convessi........................................................................................................................................ » 444
4.1 La formazione dell’immagine in uno specchio convesso................................................ » 444
4.2 Le regole di riflessione per uno specchio convesso.......................................................... » 444
4.3 Come ricavare l’immagine riflessa da uno specchio convesso..................................... » 445
4.4 Posizione e dimensioni dell’immagine di un oggetto....................................................... » 446
869
5. Calore e cambiamenti di stato............................................................................................................. Pag. 475
5.1 Fusione e solidificazione............................................................................................................... » 476
5.2 Condensazione e vaporizzazione.............................................................................................. » 476
6. Il calore latente.......................................................................................................................................... » 477
Capitolo 22: I gas perfetti
1.
2.
3.
4.
Atomo, molecola e mole......................................................................................................................... Proprietà dei gas perfetti....................................................................................................................... Variabili termodinamiche...................................................................................................................... Trasformazioni termodinamiche e le leggi dei gas perfetti.................................................... 4.1 Trasformazione isobara e la prima legge di Guy-Lussac.................................................
4.2 Trasformazioni isocore e la seconda legge di Guy-Lussac.............................................
4.3 Trasformazioni isoterme e legge di Boyle.............................................................................
5. Equazione di stato dei gas perfetti.................................................................................................... »
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1. Il calore, il lavoro e l’energia................................................................................................................. 2. Energia interna di un sistema termodinamico............................................................................. 3. Trasformazione termodinamica, trasformazione inversa e ciclo termico di un sistema..... 3.1 Trasformazione termodinamica................................................................................................
3.2 Trasformazione inversa................................................................................................................
3.3 Ciclo termico......................................................................................................................................
4. Il lavoro in una trasformazione termodinamica.......................................................................... 4.1 Lavoro di una trasformazione isobara....................................................................................
4.2 Lavoro di una trasformazione isocora....................................................................................
5. Primo principio della termodinamica.............................................................................................. 6. Energia interna di un gas perfetto..................................................................................................... 6.1 Trasformazione ciclica...................................................................................................................
6.2 Trasformazione isocora.................................................................................................................
6.3 Trasformazione adiabatica..........................................................................................................
6.4 Processo di ebollizione..................................................................................................................
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1. Il secondo principio della termodinamica..................................................................................... 1.1 Enunciato di Kelvin-Planck..........................................................................................................
1.2 Enunciato di Clausius.....................................................................................................................
1.3 Rendimento di una macchina termica....................................................................................
2. Il teorema di Carnot................................................................................................................................. 2.1 Il ciclo di Carnot................................................................................................................................
2.2 Efficienza di una macchina termica.........................................................................................
3. L’entropia...................................................................................................................................................... 3.1 Entropia dell’Universo...................................................................................................................
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Indice Generale
Capitolo 23: Il primo principio della termodinamica
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Capitolo 24: Il secondo principio della termodinamica
Capitolo 25: La carica elettrica e i campi elettrici
La struttura atomica................................................................................................................................ La quantità di carica................................................................................................................................. Conduttori, isolanti e dielettrici.......................................................................................................... La legge di Coulomb................................................................................................................................. Confronto tra forza elettrica e forza gravitazionale................................................................... Forze elettriche in un sistema di cariche........................................................................................ Capitolo 26: Il potenziale elettrico
1. Il potenziale elettrico............................................................................................................................... 2. La differenza di potenziale.................................................................................................................... 2.1 Lavoro motore e lavoro resistente............................................................................................
2.2 L’elettronvolt......................................................................................................................................
3. Calcolo del potenziale elettrico........................................................................................................... 4. Capacità di un conduttore..................................................................................................................... 4.1 Capacità di un conduttore sferico.............................................................................................
4.2 Capacità di un conduttore carico in presenza di conduttore neutro.........................
5. I condensatori............................................................................................................................................. 5.1 Capacità di un condensatore sferico........................................................................................
5.2 Capacità di un condensatore piano..........................................................................................
6. Condensatori in parallelo e condensatori in serie...................................................................... 6.1 Condensatori in parallelo.............................................................................................................
6.2 Condensatori in serie.....................................................................................................................
7. Energia immagazzinata in un condensatore................................................................................. »
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1. La corrente elettrica................................................................................................................................. 1.1 Intensità di corrente elettrica.....................................................................................................
2. I generatori di forza elettromotrice.................................................................................................. 3. La caduta di tensione............................................................................................................................... 4. La resistenza elettrica e le leggi di Ohm.......................................................................................... 5. Resistività e campo elettrico................................................................................................................ 6. I circuiti elettrici........................................................................................................................................ 7. Un’applicazione della legge di Ohm.................................................................................................. 8. Generatori ideali e generatori reali................................................................................................... 9. Metodi di risoluzione dei circuiti elettrici...................................................................................... 9.1 Risoluzione mediante i principi di Kirchhoff.......................................................................
9.2 Risoluzione mediante il metodo di Maxwell........................................................................
10. Resistenze in serie e in parallelo........................................................................................................ 10.1 Collegamento in serie..................................................................................................................
10.2 Collegamento in parallelo.........................................................................................................
11. Partitori di tensione e di corrente...................................................................................................... 11.1 Partitore di tensione....................................................................................................................
11.2 Partitore di corrente....................................................................................................................
12. Lavoro e potenza elettrica..................................................................................................................... »
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Capitolo 27: La corrente elettrica
Indice Generale
7. Il campo elettrico...................................................................................................................................... Pag. 508
7.1 Campo elettrico di una carica puntiforme............................................................................ » 510
7.2 Linee di forza..................................................................................................................................... » 511
7.3 Campi elettrici generati da più cariche.................................................................................. » 512
8. Il flusso del campo elettrico................................................................................................................. » 513
9. Il teorema di Gauss................................................................................................................................... » 514
9.1 Flusso positivo e flusso negativo............................................................................................... » 514
9.2 Come scegliere la superficie gaussiana.................................................................................. » 515
10. Il teorema di Gauss e la legge di Coulomb...................................................................................... » 516
11. Utilizzi del teorema di Gauss................................................................................................................ » 517
11.1 Campo generato da una distribuzione sferica di cariche............................................ » 517
11.2 Gabbia di Faraday......................................................................................................................... » 518
11.3 Campo generato da una superficie piana di cariche...................................................... » 518
11.4 Campo generato da una doppia lastra carica. Condensatore..................................... » 519
871
Capitolo 28: Il campo magnetico
1. Il campo magnetico.................................................................................................................................. Pag. 551
2. Forza di Lorentz......................................................................................................................................... » 552
2.1 Campo magnetico perpendicolare alla velocità della particella.................................. » 553
2.2 Campo magnetico parallelo alla velocità della particella............................................... » 553
3. Moto di una particella con velocità perpendicolare alla direzione del campo............... » 554
3.1 Moto di una particella con velocità obliqua rispetto al campo magnetico.............. » 555
3.2 Particella in moto in un campo elettromagnetico............................................................. » 556
4. L’effetto Hall................................................................................................................................................. » 556
5. La legge di Laplace.................................................................................................................................... » 557
5.1 Spira percorsa da corrente immersa in un campo magnetico...................................... » 558
5.2 Momento di dipolo magnetico................................................................................................... » 560
5.3 Momento di un magnete permanente..................................................................................... » 561
5.4 Il motore elettrico............................................................................................................................ » 562
Indice Generale
Capitolo 29: Correnti elettriche e campi magnetici. L’elettromagnetismo
872
1. Correnti e campi magnetici................................................................................................................... 2. Campo magnetico generato da un filo percorso da corrente................................................. 2.1 Intensità del campo magnetico prodotto da un filo percorso da corrente.............
2.2 Forze tra due fili percorsi da corrente....................................................................................
3. Campo magnetico generato da due fili paralleli percorsi da corrente............................... 4. La legge di Biot-Savart............................................................................................................................ 4.1 Filo rettilineo percorso da corrente.........................................................................................
4.2 Arco........................................................................................................................................................
4.3 Campo magnetico nel punto centrale di un cerchio percorso da corrente.............
5. La legge di Ampere................................................................................................................................... 6. Applicazioni della legge di Ampere................................................................................................... 6.1 Campo magnetico in un conduttore cilindrico percorso da corrente.......................
6.2 Campo magnetico su un piano infinito...................................................................................
6.3 Campo magnetico in un solenoide...........................................................................................
6.4 Campo magnetico in un toroide................................................................................................

7. Proprietà magnetiche della materia: il campo magnetico H . .............................................. 8. Teoria microscopica del magnetismo............................................................................................... 8.1 Ciclo di isteresi e punto di Curie................................................................................................
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1. L’induzione elettromagnetica.............................................................................................................. 1.1 Legge di Faraday-Neumann.........................................................................................................
2. La legge di Lenz.......................................................................................................................................... 3. Generatori di corrente alternata......................................................................................................... 3.1 Forza elettromotrice indotta da un generatore..................................................................
4. Mutua induzione........................................................................................................................................ 4.1 I trasformatori...................................................................................................................................
5. Autoinduzione............................................................................................................................................ 5.1 L’induttanza........................................................................................................................................
5.2 Calcolo dell’induttanza in un solenoide.................................................................................
6. Circuiti RL..................................................................................................................................................... »
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1. Radiazione del corpo nero e ipotesi di Planck.............................................................................. 2. L’effetto fotoelettrico............................................................................................................................... »
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Capitolo 30: Induzione elettromagnetica ed elettromagnetismo
Capitolo 31: Quanti, materia, radiazione
3.
4.
5.
6.
7.
8.
I raggi X.......................................................................................................................................................... Pag. 599
Effetto Compton......................................................................................................................................... » 600
La lunghezza d’onda di De Broglie..................................................................................................... » 601
Il principio di indeterminazione di Heisenbergche.................................................................... » 601
L’equazione di Schrödinger................................................................................................................... » 602
I modelli atomici........................................................................................................................................ » 602
8.1 La teoria atomica di Dalton......................................................................................................... » 602
8.2 Il modello atomico di Thomson................................................................................................. » 603
8.3 Il modello atomico di Rutherford.............................................................................................. » 603
8.4 Il modello atomico di Bohr.......................................................................................................... » 604
9. La teoria moderna.................................................................................................................................... » 605
1. Composizione dei nuclei atomici........................................................................................................ 1.1 Numero atomico...............................................................................................................................
1.2 Numero di massa.............................................................................................................................
2. Isotopi............................................................................................................................................................ 2.1 Isotopi dell’Idrogeno......................................................................................................................
2.2 Fissione e fusione nucleare.........................................................................................................
2.3 Classificazione delle particelle e interazioni fondamentali...........................................
3. Il modello standard.................................................................................................................................. 3.1 Le interazioni fondamentali........................................................................................................
3.2 L’antimateria......................................................................................................................................
3.3 Il decadimento radioattivo...........................................................................................................
Capitolo 33: La fisica delle stelle e dell’universo [Espansione Web]
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Indice Generale
Capitolo 32: La fisica del nucleo e delle particelle
Parte II
Competenze e strumenti pedagogico-didattici
Indicazioni nazionali e Linee guida per le discipline relative alle classi di concorso A20, A26 e A27 [Espansione Web]
Capitolo 1: Sviluppo cognitivo, affettivo e sociale
1. Concetto e storia della psicologia dello sviluppo........................................................................ 1.1 Definizioni di base...........................................................................................................................
1.2 Modelli teorici e clinici..................................................................................................................
2. Piaget e lo sviluppo mentale del bambino..................................................................................... 3. Istruzione e cultura dell’educazione per Bruner......................................................................... 4. Maturazione biologica e apprendimento........................................................................................ 5. Lo sviluppo psicologico in età scolare.............................................................................................. 6. Ambiente e sviluppo secondo Vygotskij.......................................................................................... 7. Le teorie psicoanalitiche dello sviluppo.......................................................................................... 7.1 L’approccio psicoanalitico di Freud.........................................................................................
7.2 Anna Freud.........................................................................................................................................
7.3 Lo sviluppo psico-sociale di Erikson.......................................................................................
7.4 Melanie Klein.....................................................................................................................................
7.5 Winnicott: dalla psicoanalisi infantile al concetto di sé..................................................
7.6 Heinz Kohut........................................................................................................................................
8. La teoria dell’attaccamento di Bowlby............................................................................................. 9. Età evolutiva e apprendimento........................................................................................................... 10. Pedagogia della preadolescenza e dell’adolescenza.................................................................. 873
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Capitolo 2: Agenzie educative e formazione
1. Insegnamento e società.......................................................................................................................... Pag. 640
1.1 Il ruolo della famiglia..................................................................................................................... » 641
1.2 Il ruolo della scuola......................................................................................................................... » 641
1.3 Il ruolo della città e del territorio............................................................................................. » 641
1.4 Le ricadute sulla formazione...................................................................................................... » 642
2. Il contesto ambientale............................................................................................................................. » 642
3. Le professioni educative........................................................................................................................ » 643
4. La professionalità docente.................................................................................................................... » 644
5. La comunicazione intersoggettiva (docente-allievo)................................................................ » 646
Indice Generale
Capitolo 3: Bisogni Educativi Speciali e scuola dell’inclusione
874
1. I Bisogni Educativi Speciali................................................................................................................... 1.1 Strategie di intervento...................................................................................................................
1.2 Il Piano Didattico Personalizzato..............................................................................................
1.3 Gruppi di lavoro e inclusività......................................................................................................
2. I disturbi specifici di apprendimento (DSA).................................................................................. 2.1 La dislessia..........................................................................................................................................
2.2 La disgrafia e la disortografia.....................................................................................................
2.3 La discalculia......................................................................................................................................
2.4 La normativa per il diritto allo studio degli alunni con DSA.........................................
2.5 Strumenti compensativi e misure dispensative..................................................................
2.6 Le competenze del referente d’istituto e del docente .....................................................
2.7 Approcci didattici e metodologici.............................................................................................
3. Lo svantaggio socio-economico, linguistico e culturale........................................................... 4. Il disturbo da deficit dell’attenzione/iperattività (DDAI o ADHD)...................................... 4.1 Strategie didattiche e metodologiche......................................................................................
4.2 Misure dispensative. Strumenti compensativi....................................................................
5. Strumenti operativi.................................................................................................................................. 5.1 Come compilare un PDP...............................................................................................................
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Capitolo 4: Progettazione e strategie per la didattica
La cultura della programmazione...................................................................................................... La pianificazione di un curricolo........................................................................................................ Programmazione d’istituto................................................................................................................... Programmazione educativa.................................................................................................................. Programmazione didattica.................................................................................................................... La didattica disciplinare......................................................................................................................... La programmazione curricolare......................................................................................................... Conoscenza e accoglienza...................................................................................................................... 8.1 Introduzione......................................................................................................................................
8.2 Strategie didattiche.........................................................................................................................
9. Modalità di apprendimento.................................................................................................................. 9.1 Profili generali...................................................................................................................................
9.2 Cosa ci si aspetta dal docente?...................................................................................................
10. Mappe mentali e mappe concettuali................................................................................................. 10.1 Brain-storming...............................................................................................................................
10.2 Mappe mentali...............................................................................................................................
10.3 Mappe concettuali........................................................................................................................
11. Il “pensiero laterale” e il “pensiero verticale”............................................................................... 11.1 Introduzione...................................................................................................................................
11.2 Tecniche metacognitive..............................................................................................................
Capitolo 5: Gruppi e apprendimento cooperativo
1. Insegnare e apprendere in team......................................................................................................... 2. La scuola come organizzazione........................................................................................................... 2.1 Il leader e il team..............................................................................................................................
2.2 Dal gruppo di individui al team.................................................................................................
3. Problem solving e Problem setting...................................................................................................... 4. Le codocenze............................................................................................................................................... »
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1.
2.
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5.
Concetto........................................................................................................................................................ Valutazione di sistema e valutazione delle scuole...................................................................... La valutazione dei docenti..................................................................................................................... Perché valutare nella scuola?............................................................................................................... Le fasi della valutazione dello studente.......................................................................................... 5.1 La valutazione formativa..............................................................................................................
5.2 La valutazione sommativa............................................................................................................
5.3 Dalla valutazione alla misurazione..........................................................................................
5.4 Verifiche...............................................................................................................................................
6. L’era delle competenze........................................................................................................................... 6.1 Le competenze chiave e le competenze di cittadinanza..................................................
6.2 La certificazione delle competenze..........................................................................................
6.3 Quando deve essere fatta la certificazione...........................................................................
6.4 Come deve essere fatta la certificazione................................................................................
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1. Cittadinanza europea e conoscenza delle lingue......................................................................... 2. Il Content and Language Integrated Learning (CLIL)................................................................ 2.1 Modalità operative dell’insegnamento della DNL in lingua straniera.......................
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Capitolo 6: La valutazione
Capitolo 7: Il CLIL: una lingua veicolare per l’apprendimento
Indice Generale
12. Lavori di gruppo........................................................................................................................................ Pag. 687
12.1 Concetto............................................................................................................................................ » 687
12.2 Cooperative learning.................................................................................................................... » 687
12.3 Discussione a piramide.............................................................................................................. » 688
13. Lettura e decodificazione di testi....................................................................................................... » 688
13.1 Tecniche............................................................................................................................................ » 688
13.2 Feedback........................................................................................................................................... » 689
14. Didattica laboratoriale, problem solving e lavoro per progetti.............................................. » 689
14.1 Didattica laboratoriale................................................................................................................ » 689
14.2 Il docente nella didattica laboratoriale............................................................................... » 690
14.3 La didattica per problemi.......................................................................................................... » 691
14.4 Lavoro per progetti (project work)........................................................................................ » 692
15. La pedagogia differenziata.................................................................................................................... » 693
16. Apprendimento personalizzato e apprendimento individualizzato................................... » 694
17. La teoria delle intelligenze multiple e l’educazione................................................................... » 695
17.1 Introduzione................................................................................................................................... » 695
17.2 Spunti operativi per insegnare “intelligentemente”...................................................... » 697
17.3 Attività didattiche per sollecitare le intelligenze multiple.......................................... » 698
18. Imparare ad imparare............................................................................................................................. » 698
18.1 La programmazione neuro-linguistica................................................................................ » 699
18.2 Approccio multisensoriale e pedagogia differenziata.................................................. » 699
875
Capitolo 8: La Scuola digitale
Indice Generale
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
876
Comunicazione e società........................................................................................................................ Pag. 727
La diffusione delle tecnologie informatiche nella scuola......................................................... » 727
La didattica multimediale...................................................................................................................... » 728
Lo sviluppo professionale del personale scolastico................................................................... » 730
Le strategie di documentazione.......................................................................................................... » 732
La reticolarità della comunicazione multimediale..................................................................... » 732
I servizi per gli utenti.............................................................................................................................. » 733
La diffusione della LIM in Italia........................................................................................................... » 734
La comunicazione efficace con gli strumenti digitali e le ICT................................................ » 735
In classe con la LIM: proposte di attività didattiche.................................................................. » 738
10.1 LIM e quiz interattivi................................................................................................................... » 738
10.2 LIM e mappe concettuali........................................................................................................... » 739
10.3 LIM e Learning object.................................................................................................................. » 740
10.4 LIM e video digitali....................................................................................................................... » 741
10.5 LIM e WEB 2.0................................................................................................................................ » 741
10.6 Il blog con la LIM........................................................................................................................... » 742
10.7 Il podcast in classe con la LIM.................................................................................................. » 742
10.8 La wiki-didattica............................................................................................................................ » 743
10.9 LIM e webquest............................................................................................................................... » 744
11. Una lezione in classe con la lim......................................................................................................... » 745
11.1 Premessa.......................................................................................................................................... » 745
11.2 Operazioni preliminari a una lezione con la LIM............................................................ » 746
11.3 Una semplice lezione con la LIM............................................................................................ » 746
11.4 Una lezione con la LIM con l’uso di strumenti avanzati............................................... » 747
Capitolo 9: Insegnare la matematica
1.
2.
3.
4.
5.
6.
La didattica della matematica.............................................................................................................. Il contratto didattico................................................................................................................................ La teoria delle situazioni........................................................................................................................ Le misconcezioni....................................................................................................................................... L’apprendimento della matematica................................................................................................... Le indicazioni nazionali.......................................................................................................................... »
»
»
»
»
»
749
750
750
751
752
752
1.
2.
3.
4.
5.
Il coinvolgimento degli alunni............................................................................................................. Il metodo tradizionale: la lezione frontale..................................................................................... Il metodo operativo: il laboratorio.................................................................................................... Linguaggio comune e linguaggio scientifico.................................................................................. Le indicazioni nazionali.......................................................................................................................... »
»
»
»
»
759
760
760
761
761
»
766
Capitolo 10: Insegnare la fisica
Parte III
la prova scritta
Esempi di quesiti disciplinari in lingua straniera (inglese)
[Espansione Web]
Test 1: Matematica............................................................................................................................................. Test 2: Fisica.......................................................................................................................................................... »
785
Parte IV
La lezione simulata
Capitolo 1: La lezione simulata come prova di concorso
Capitolo 2: La lezione in classe
1.
2.
3.
4.
Come si imposta una lezione................................................................................................................ Le competenze relazionali del docente........................................................................................... La comunicazione didattica.................................................................................................................. I vari tipi di lezione: frontale, dialogata, partecipata................................................................. »
»
»
»
805
805
807
809
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Prova orale del nuovo concorso.......................................................................................................... Come impostare una lezione simulata............................................................................................. Gli obiettivi educativi e didattici......................................................................................................... I momenti fondamentali della programmazione didattica..................................................... La verifica degli apprendimenti.......................................................................................................... Un modello di lezione simulata........................................................................................................... »
»
»
»
»
»
813
814
814
816
817
818
Capitolo 5: Modello di lezione simulata di fisica.......................................................... »
839
Capitolo 3: Come organizzare una lezione simulata
Capitolo 4: Modello di lezione simulata di matematica.......................................... »
821
Indice Generale
1. La prova orale nel concorso a cattedre 2012................................................................................ Pag. 800
2. Che cosa è una lezione simulata......................................................................................................... » 800
3. I criteri di valutazione della lezione simulata............................................................................... » 801
877
Capitolo
10
Le funzioni reali
di una variabile reale
1. Le funzioni
quando, assegnato a x un valore qualsiasi, ed effettuando su di esso le operazioni indicate dalla legge di corrispondenza f, si ottiene un unico e finito valore per la y.
La legge f può essere di natura qualsiasi e, inoltre, si dice che la y è funzione analitica della x, in quanto le due variabili sono legate da una interdipendenza espressa da operazioni analitiche.
Le funzioni analitiche si distinguono in:
— algebriche, se il legame che intercede tra le due variabili è di natura algebrica ed è rappresentato da un polinomio.
A loro volta le funzioni algebriche si distinguono in razionali e irrazionali, a seconda che
le operazioni che si effettuano sulla variabile indipendente non prevedano o prevedano
l’elevazione a potenza con esponente frazionario;
— trascendenti, come le funzioni logaritmiche, esponenziali e trigonometriche.
Tali funzioni sono dette anche funzioni elementari e, in quanto tali, si distinguono dalle funzioni composte, le quali presuppongono un complesso di operazioni che legano le due variabili.
2. Intervallo e intorno
Dati due numeri qualsiasi a e b, con a < b, l’insieme di tutti i numeri reali compresi tra a e
b si dice:
— intervallo chiuso, se a e b sono inclusi, e spesso lo si indica in questo modo:
[a, b]
In tale caso a e b si dicono, rispettivamente, minimo e massimo dell’intervallo;
— intervallo aperto, se a e b sono esclusi, e spesso lo si indica in questo modo:
]a, b[
In tale caso a e b si dicono, rispettivamente, estremo sinistro e estremo destro dell’intervallo.
Dato un numero reale x, si dice intorno completo di x un intervallo ]a, b[ che contiene x.
In particolare:
— l’intorno sinistro di x è l’intervallo ]a, x[ in cui x è l’estremo destro;
— l’intorno destro di x è l’intervallo ]x, b[ in cui x è l’estremo sinistro.
Capitolo 10
Le funzioni reali di una variabile reale
Il concetto di funzione, secondo la definizione data da Dirichlet, è il seguente: si dice che una
variabile dipendente y è funzione di una variabile indipendente x, secondo la legge f, e si scrive:
y = f (x)
165
3. Il campo di esistenza di una funzione
Parte I: Fondamenti delle discipline di insegnamento
Libro I: Matematica
Siano A e B due insiemi di numeri reali ed y = f (x) una funzione di A in B. L’insieme A dei valori x,
per i quali esiste il corrispondente valore della y, si dice insieme (o campo) di esistenza, o insieme
(o campo) di definizione, o anche dominio della funzione. Non è detto, però, che ogni elemento di
B debba essere immagine di un elemento di A, cioè vi possono essere elementi di B che non sono
immagine di alcun elemento di A. Ne segue che, in generale, l’insieme delle immagini sarà un sottoinsieme proprio di B, che si chiama immagine di A in B mediante la f o anche codominio della f.
Il campo di esistenza di una funzione analitica dipende dalle operazioni che si devono eseguire sulla variabile indipendente x per ottenere la variabile dipendente y; ovviamente tali
operazioni devono essere sempre possibili nel campo dei numeri reali.
166
In generale, il campo di esistenza di una:
— funzione razionale intera del tipo:
y = anxn + an-1xn-1+ … + a0
è tutto il campo R dei numeri reali;
— funzione razionale fratta del tipo:
y=
f^ x h
g^ x h
è il campo R dei numeri reali, da cui si devono escludere i valori che annullano il denominatore g(x) per i quali la divisione perderebbe significato.
Esempio 1
Determinare il campo di esistenza della funzione:
y = cos5x – cos2x
Si tratta di una funzione trigonometrica avente per argomento un numero reale qualsiasi, pertanto il campo di
esistenza è ]–∞, ∞[.
Esempio 2
Determinare il campo di esistenza della funzione:
y = log 3x + 6
x –1
Si tratta di una funzione logaritmica, per cui l’argomento deve essere maggiore di 0, ossia deve essere:
3x + 6 > 0 & ( 3x + 6 > 0 & x > –2
x –1
x –1 > 0 & x > 1
oppure
(
3x + 6 < 0 & x < –2
x –1 < 0 & x < 1
Pertanto, il campo di esistenza della funzione considerata è ]–∞, –2[∪]1, +∞[.
4. Le funzioni limitate
Una funzione y = f (x), definita in un dato intervallo [a, b], si dice ivi limitata se, per ogni valore di x appartenente al suddetto intervallo, esiste un numero P positivo tale che:
⎟f (x)⎢ ≤ P
La funzione è:
— limitata superiormente se, nell’intervallo [a, b], esiste un punto in cui la funzione assume valore M che è non minore dei valori assunti negli altri punti;
— limitata inferiormente se, nell’intervallo [a, b], esiste un punto in cui la funzione assume
valore m che è non maggiore dei valori assunti negli altri punti.
5. Le funzioni crescenti e quelle decrescenti
Sia data una funzione y = f (x) e si considerino due punti qualsiasi x1 e x2 di un dato intervallo [a, b]. La funzione si dice:
— non decrescente se x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2);
— costante se x1 < x2 ⇒ f (x1) = f (x2);
— non crescente se x1 < x1 ⇒ f (x1) ≥ f (x2);
— strettamente crescente se x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2);
— strettamente decrescente se x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2).
Si dicono monotone le funzioni crescenti, decrescenti, non decrescenti o non crescenti, ossia le funzioni che variano sempre in uno stesso verso.
Sia data la funzione:
y = f (z)
dove z non è variabile indipendente, ma a sua volta funzione (z = g(x)) della variabile indipendente x. In tal caso, si ha che la funzione:
y = f [g(x)]
si dice funzione composta di f e di g.
Inoltre, data la funzione:
y = f (x)
si dice che f è invertibile in un intervallo [a, b] chiuso se, ad ogni valore della x in [a, b], corrisponde uno e un solo valore di y in [aʹ, bʹ], dove aʹ e bʹ sono il minimo e il massimo della
funzione nell’intervallo [a, b], e viceversa ad ogni valore di y in [aʹ, bʹ] corrisponde uno e un
solo valore di x in [a, b]. La funzione è, pertanto, invertibile nell’intervallo [a, b] se è continua in [a, b] ed è sempre crescente o sempre decrescente in detto intervallo. La funzione inversa si indica in questo modo:
x = g(y) = g[f (x)]
7. Le funzioni elementari
La funzione costante [f (x) = k ∀x ∈ ℜ dove k ∈ ℜ], la funzione lineare [f (x) = ax + b ∀x ∈ ℜ
dove a, b ∈ ℜ], le funzioni circolari [f (x) = sen(x), f (x) = cos(x) ∀x ∈ ℜ; f (x) = tg(x) ∀x ∈ ℜ–
⎨p/2 +kp, con k ∈ Z⎬] sono funzioni elementari.
7.1 Funzione potenza
La funzione potenza di esponente intero non negativo n è definita in tutto ℜ.
f (x) = xn x ∈ ℜ ed n ∈ N
— se n è pari, la funzione è pari, cioè è simmetrica rispetto all’asse y. In altre parole,
f (–x) = f (x) ∀x ∈ ℜ;
— se n è dispari, la funzione è dispari, cioè è simmetrica rispetto all’origine. In altre parole, f (–x) = –f (x) ∀x ∈ ℜ.
Capitolo 10
Le funzioni reali di una variabile reale
6. Le funzioni composte e quelle inverse
167
y
y
x
x
Parte I: Fondamenti delle discipline di insegnamento
Libro I: Matematica
168
n pari: f (x) = f (–x)
f è decrescente fra ]–∞, 0]
f è crescente fra [0, +∞[
n dispari: f (x) = –f (–x)
f è crescente fra ]–∞, +∞[
La funzione potenza di esponente intero negativo n è definita in tutto ℜ escluso x = 0.
f (x) = xn x ∈ ℜ-⎨0⎬ ed n ∈ Z – N
Bisogna tener presente che dire «n negativo», equivale a considerare la funzione:
f (x) =1/xn x ∈ ℜ-⎨0⎬ ed n ∈ N
— se n è pari, la funzione è pari, quindi simmetrica rispetto all’asse y;
— se n è dispari, la funzione è dispari, quindi simmetrica rispetto all’origine.
y
y
x
x
n pari: f (x) = f (–x)
f è crescente fra ]–∞, 0]
f è decrescente fra [0, +∞[
7.2Funzione radice
n dispari: f (x) = –f (–x)
f è decrescente in ℜ-⎨0⎬
La funzione radice ennesima è la funzione potenza di esponente 1/n.
1
f (x) = x n oppure f (x) = n x
— se n è pari, la funzione è definita solo in [0, +∞[;
— se n è dispari, la funzione è dispari ed è definita in tutto ℜ.
y
y
x
x
n pari: f è crescente
fra [0, +∞[
n dispari: f (x) = –f (–x)
f è crescente fra ]–∞, +∞[
y = xn
1
La funzione radice ennesima f (x) = x n con n pari è l’inversa della restrizione nel campo [0, +∞[ della funzione
potenza con esponente n pari.
1
La funzione radice ennesima f (x) = x n con n dispari è l’inversa della funzione potenza con esponente
n dispari.
La funzione potenza ennesima e la funzione radice
ennesima sono simmetriche rispetto alla bisettrice
del I e del III quadrante.
Il punto d’intersezione è P = (1, 1).
y
y=
α>1
b) Se a < 0, il dominio X = ]0, +∞[e il codominio Y = ]0, +∞[,
la funzione è strettamente decrescente ed è dotata di
estremo inferiore (eʹ= inf xa = 0). L’estremo superiore è,
invece, infinito (eʺ= sup xa = ∞).
y
α=1
0<α>1
Capitolo 10
Le funzioni reali di una variabile reale
Si distinguono due situazioni.
a) Se a > 0, il dominio X = [0, +∞[ e il codominio
Y = [0, +∞[, la funzione è strettamente crescente.
In particolare si distinguono i casi in cui:
— 0 < a < 1
— a = 1
— a > 1
La funzione f (x) = xa è dotata di minimo m = 0;
inoltre, ∀a > 0, f(1) = 1.
1
xn
x
Si analizzi ora la funzione potenza avente come esponente un numero reale a:
f (x) = xa
y=x
x
y
α<0
x
7.3 Funzione esponenziale di base a
La funzione esponenziale di base un numero reale positivo a:
f (x) = ax x ∈ ℜ
y
Si distinguono tre casi:
a) se a > 1
— la funzione è strettamente crescente
— sup ax = +∞
— inf ax = 0
b) se a = 1
— la funzione si riduce ad una funzione costante:
f (x) = a
y = ax
a>1
x
y
y = 1x
a=1
x
169
c) se 0 < a < 1
— la funzione è strettamente decrescente
— sup ax = +∞
— inf ax = 0
y
y = ax
0<a<1
x
Parte I: Fondamenti delle discipline di insegnamento
Libro I: Matematica
7.4Funzione logaritmo in base a
170
dominio
codominio
X = ]0, +∞[;
Y = ]–∞, +∞[.
f (x) = loga x;
y
a>1
Si distinguono due casi:
a) se a > 1
— la funzione è strettamente crescente;
b) se 0 < a < 1
— la funzione è strettamente decrescente.
x
0<a<1
La funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale.
7.5Funzione valore assoluto
dominio
codominio
y
y = |x|
y = |x|
X = ℜ;
Y = [0, +∞[.
⎧⎪ y = x per x ≥ 0
y= x ⇒⎨
⎩⎪ y = –x per x < 0
Si noti che:
— f è strettamente crescente per x ≥ 0;
— f è strettamente decrescente per x < 0;
— f è pari.
x
8. I limiti di funzionI
Il punto limite o di accumulazione x0 del campo d’esistenza di una funzione è quel punto tale
che, in ogni suo intorno, per quanto piccolo, cadono sempre infiniti punti del campo di esistenza; tale punto può anche non appartenere al campo di esistenza considerato.
Si dice che l è il limite della funzione y = f (x) per x tendente ad x0 e si scrive:
lim
f^ x h = l
x"x
0
In tal caso si dice anche che y = f (x) si avvicina a l mentre x si avvicina a x0.
Una funzione y = f (x), per x tendente a x0, si dice:
— convergente, se ha per limite un valore finito l;
— divergente, se ha per limite l’infinito positivo o negativo;
— indeterminata, se non ha limite.
Il criterio generale di convergenza di Cauchy afferma che: condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione y = f (x) ammetta limite finito per x tendente ad x0 è che per ogni numero positivo ε, piccolo a piacere, si possa trovare un intorno di x0 tale che per due suoi punti x1 e x2 distinti da x0, si abbia:
⎟f (x1) – f (x2) < ε⎢
9. I limiti destro e sinistro
Spesso occorre precisare il modo di tendere della x al valore x0: infatti la x può tendere a tale
valore sia da sinistra che da destra.
Si dice che l è il limite sinistro (destro) della funzione y = f (x) per x tendente da sinistra (destra) ad un valore x0, e si scrive, rispettivamente:
lim f (x) = l e lim f (x) = l
x → x 0-
x → x 0+
se, scelto un numero positivo e, si può determinare, nel campo di esistenza della funzione,
rispettivamente, un intorno:
(x0 – δ, x0) e (x0, x0 + δ)
tale che per ogni x appartenente a questo intorno, diverso da x0, si abbia:
⎟f (x) – l⎢ < ε
Per un dato intorno, il limite destro può essere diverso dal limite sinistro e, inoltre, può anche esistere uno solo dei due limiti.
Si può dimostrare che se i limiti destro, l1, e sinistro, l2, esistono e sono uguali, cioè:
l1 = l2 = l
allora l è il limite della funzione in esame (per x → x0). Viceversa, se una funzione ha per limite l, per x → x0, allora i limiti destro e sinistro esistono e sono uguali.
10. Funzioni, limiti e infinito
Talvolta, al tendere di x ad x0, la funzione y = f (x) aumenta o diminuisce illimitatamente. In
tal caso si dice che la funzione ha per limite l’infinito (positivo o negativo), per x tendente
ad x0, e si scrive:
lim
f^ x h = 3
x"x
0
(1) Si chiama intorno completo di un numero reale (o di un punto) c un qualsiasi intervallo aperto che contenga c.
Se si designa con d il raggio dell’intorno, allora tale intorno si indica con (c – d; c + d). Esso risulta essere l’insieme
degli x ∈ ℜ tali che: |x – c| < d, con d > 0.
Capitolo 10
Le funzioni reali di una variabile reale
quando in corrispondenza di un numero positivo e, fissato a piacere, è possibile determinare un intorno completo di x0 (1), tale che, per ogni x di tale intorno, escluso eventualmente
x0, risulti soddisfatta la disequazione:
⎟f (x) – l⎢ < ε
171
se, scelto un numero positivo P, comunque grande, si può determinare, nel campo di esistenza della
funzione, un intorno di x0 tale che per ogni x appartenente a tale intorno, diverso da x0, si abbia:
⎟f (x)⎢ > P
Al tendere di x stesso all’infinito, la funzione y = f (x) può avere per limite un numero finito l
o può avere per limite l’infinito.
Si dice che la funzione ha per limite l per x tendente all’infinito, e si scrive:
Parte I: Fondamenti delle discipline di insegnamento
Libro I: Matematica
lim
f^ x h = l
x"3
172
se, scelto un numero positivo ε, si può determinare un numero positivo P tale che per ogni x
verificante la condizione:
⎟x⎢ > P
si abbia:
⎟f (x) – l⎢ < ε
Specificamente, se quest’ultima relazione è verificata solo per x < –P o solo per x > P, si afferma che esistono, rispettivamente, i seguenti limiti:
lim f (x) = l e lim f (x) = l
x → -∞
x → +∞
Al tendere di x all’infinito, la funzione può avere per limite l’infinito; a questo punto, scelto
un numero positivo P, comunque grande, si può determinare un numero positivo N tale che:
— se per x > N si ha che f (x) < –P, oppure f (x) > P, allora si dice che esistono, rispettivamente, i seguenti limiti:
lim f (x) = -∞ e lim f (x) = +∞
x → +∞
x → +∞
— se per x < –N si ha che f (x) < –P, oppure f (x) > P, allora si dice che esistono, rispettivamente, i seguenti limiti:
lim f (x) = -∞ e lim f (x) = +∞
x → -∞
x → -∞
11.I teoremi sui limiti di funzioni
Teorema sull’unicità del limite • Se esiste il limite della funzione y = f (x), per x tendente ad x0 , tale limite è unico.
Il teorema si dimostra per assurdo. Si supponga che, per x → x0, la funzione ammetta due
limiti finiti l1 ed l2, e sia l1 < l2. Allora, per definizione di limite, per ogni e > 0, scelto ad arbitrio, devono esistere due intorni di x0 (chiamiamoli H1 e H2), per ogni x dei quali, escluso al
più x0, si abbia rispettivamente:
l – e < f (x) < l + e ∀x ∈ H1(x ≠ x0) e m – e < f (x) < m + e ∀x ∈ H2(x ≠ x0)
Nell’intorno H = H1 ∩ H2, le relazioni soprascritte devono valere simultaneamente. Per e abbastanza piccolo perché risulti l + e < m – e, dovrebbe risultare:
f (x) < l + e < m – e < f (x)
il che è assurdo. Ciò prova l’unicità del limite.
Teorema del confronto • Se f (x), g(x) e z(x) sono tre funzioni definite nello stesso intervallo, eccettuato al più un punto x0 di questo, e se per ogni x risulta: f (x) ≤ g(x) ≤ z(x), e se, inoltre, è: lim f (x) = lim z(x) = l , si conclude che lim g(x) = l .
x → x0
x → x0
Per definizione di limite, si ha:
ovvero:
cioè:
⎟f (x) – l⎢ < ε e ⎟z(x) – l⎢< ε
l – ε < f (x) < l + ε e l – ε < z(x) < l + ε
l – ε < f (x) ≤ z (x) < l + ε
Siccome, per definizione, si ha:
deve essere anche:
f (x) ≤ g(x) ≤ z(x)
l – ε < f (x) ≤ g(x) ≤ z(x) < l + ε
ossia:
l – ε < g(x) < l + ε
e quindi:
⎟g(x) – l⎢ < ε
12. Le operazioni sui limiti di funzioni
Siano date due funzioni f (x) e g(x), definite in un intervallo comune e tali che:
lim
f^ x h = l 1
x"x
0
e
Si considerino, adesso, le seguenti operazioni.
lim
g^ x h = l 2
x"x
0
Addizione • Il limite di una somma di funzioni convergenti è uguale alla somma dei limiti
delle singole funzioni, cioè:
lim
f ^ x h + lim
g^ x h = l 1 + l 2
6 f ^ x h + g^ x h@ = lim
x"x
x"x
x"x
0
0
0
Sottrazione • Il limite della differenza di funzioni convergenti è uguale alla differenza dei
limiti delle singole funzioni, ovvero:
lim
f ^ x h – lim
g^ x h = l 1 – l 2
6 f ^ x h – g^ x h@ = lim
x"x
x"x
x"x
0
0
0
Moltiplicazione • Il limite del prodotto di funzioni convergenti è uguale al prodotto dei limiti delle singole funzioni, vale a dire:
lim
f ^ x h $ lim
g^ x h = l 1 $ l 2
6 f ^ x h $ g^ x h@ = lim
x"x
x"x
x"x
0
0
0
Tale limite può essere:
— ∞, se una delle funzioni ha per limite ∞ e il modulo dell’altra funzione, in un dato intorno di x0, è maggiore di una quantità positiva fissa, o comunque se il limite di quest’altra
funzione non è nullo;
— zero, se una delle due funzioni ha per limite zero e l’altra un limite diverso da zero.
Capitolo 10
Le funzioni reali di una variabile reale
x → x0
173
In particolare, il limite del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per il limite della funzione, ossia:
lim
k $ f ^ x h = k $ lim
f^ x h = k $ l 1
x"x
x"x
0
0
Divisione • Il limite del rapporto di funzioni convergenti è uguale al rapporto dei limiti dei termini, sempre che il limite del denominatore sia diverso da zero. Traducendo in formule, si ha:
Parte I: Fondamenti delle discipline di insegnamento
Libro I: Matematica
lim
x " x0
174
lim
f^ x h
l
f^ x h
x " x0
=
= 1
l2
g^ x h
g^ x h
lim
x " x0
Reciproco • Il limite del reciproco di una funzione è uguale al reciproco del limite (finito e
non nullo) della funzione data. Traducendo in formule, si ha:
1 =
1
lim
= 1
x " x f^ xh
l1
lim
f
x
^
h
x"x
0
0
Tale limite è:
— ±∞, se la funzione tende a zero per valori positivi o negativi, rispettivamente;
— zero, se il limite della funzione f (x) è l’infinito.
Potenza • Il limite della potenza di una funzione è uguale alla potenza del limite della funzione. Traducendo in formule, si ha:
lim
f ^ x hAn
6 f ^ x h@n = 7lim
x"x
x"x
0
0
Tali operazioni non possono essere effettuate indistintamente, in quanto talvolta possono
dare luogo ad una delle seguenti forme indeterminate: ∞ –∞, 0 · ∞, 0 , 3 , 00, 1∞, ∞0.
0 3
13.Il confronto di infinitesimi e di infiniti
Secondo il limite cui tendono, le funzioni si chiamano:
— infinitesimi per x → x0 (o per x → ∞) quando risulta: lim f (x) = 0 oppure lim f (x) = 0;
x → x0
x→ ∞
— infiniti per x → x0 (o per x → ∞) quando risulta: lim f (x) = ∞ oppure lim f (x) = ∞.
x → x0
x→ ∞
Può accadere che, calcolando il limite del rapporto di due funzioni f (x) e g(x), ci si trovi di
fronte al caso in cui entrambe abbiano per limite l’infinito o per limite lo zero, ossia si presenti una delle seguenti forme indeterminate:
0
0
oppure
3
3
In tali situazioni, nulla si può dire sul valore del limite del rapporto, tuttavia, applicando diversi artifici o il teorema di L’Hôpital (che vedremo nel capitolo seguente), è possibile calcolare il limite del rapporto in questione.
Si consideri la forma indeterminata 0 . A seconda che il limite del rapporto sia uguale a zero,
0
a infinito o a una quantità fissa diversa da zero, si dice, rispettivamente, che l’infinitesimo
del numeratore è di ordine superiore, inferiore o dello stesso ordine dell’infinitesimo del numeratore; ciò per sottolineare il fatto che f (x) è più, meno o ugualmente veloce di g(x) nel
tendere a zero.
Si consideri, ora, la forma indeterminata 3 . A seconda che il limite del rapporto sia ugua3
le a infinito, a zero o a una quantità fissa diversa da zero, si dice, rispettivamente, che l’infinito del numeratore è di ordine superiore, inferiore o dello stesso ordine dell’infinito del numeratore; ciò per sottolineare il fatto che f (x) è più, meno o ugualmente veloce di g(x) nel
tendere a infinito.
14. Le funzioni continue
Una funzione y = f (x), definita in un intervallo [a, b], si dice continua in un punto x0 di detto
intervallo se il valore f (x0) che assume in x0 è il limite a cui tende la funzione per x → x0. Traducendo in formula, si ha:
lim
f^ x h = f^ x 0 h
x"x
Se detta condizione è verificata solo in un intorno sinistro (x0 – δ, x0) o solo in un intorno
destro (x0, x0 + δ) di x0, si dice che la funzione è continua in x0 solo a sinistra o solo a destra.
Inoltre, si dice che una funzione è continua in un intervallo quando è continua in ogni punto dell’intervallo.
Considerando la figura, si dice che la funzione y = f (x), definita nell’intervallo [a, b], è continua in x0 quando ad ogni piccola variazione di x dal valore x0 corrisponde una piccola va—
riazione ED di f (x) da f (x0).
y
C
A
a
x0
D
B
E
x
b
x
Capitolo 10
Le funzioni reali di una variabile reale
0
175
15. Le funzioni discontinue
Una funzione y = f (x), definita in un intervallo (a, b), si dice discontinua in un punto di detto intervallo se il valore f (x0) che assume in x0 è diverso dal limite a cui tende la funzione per
x → x0. Traducendo in formula si ha:
lim
f ^ x h ! f ^ x 0h
x"x
0
In tal caso, si dice che la funzione presenta in x0 un punto di discontinuità o punto singolare.
I punti di discontinuità si classificano in tre specie.
I.Punti di discontinuità di prima specie
Si dice che nel punto x0 la funzione y = f (x) ha una discontinuità di prima specie se in tale
punto esistono finiti il limite destro e quello sinistro, ed essi sono diversi tra loro; la differenza tra i due limiti si dice salto della funzione.
II.Punti di discontinuità di seconda specie
Si dice che nel punto x0 la funzione y = f (x) ha una discontinuità di seconda specie se in tale
punto uno almeno dei due limiti destro e sinistro non esiste, oppure uno almeno dei due limiti destro e sinistro è l’infinito.
III.Punti di discontinuità eliminabile o di terza specie
Si dice che nel punto x0 la funzione y = f (x) ha una discontinuità di terza specie se in tale punto esiste ed è finito il limite della funzione per x → x0, ma è diverso dal valore f (x0) che può
anche non esistere.
In questo caso, si dice che la discontinuità è eliminabile, in quanto si assume come valore
f^ x h.
della funzione in x0 il valore del limite per x → x0; si pone, cioè: f ^ x 0 h = lim
x"x
senx
L’esempio classico di discontinuità di terza specie è dato dalla funzione y = x ; il valore
della funzione, nel punto x = 0, non esiste, in quanto assume il valore indeterminato 0 . In
0
tale punto, però, esiste finito il limite, che è pari ad 1. La funzione, pertanto, è prolungabile
per continuità in 0, punto in cui assume valore 1.
Parte I: Fondamenti delle discipline di insegnamento
Libro I: Matematica
0
176
Nelle figure seguenti sono indicati due diversi tipi di funzioni che presentano, rispettivamente, discontinuità di prima e di seconda specie.
y
-3 -2 -1
0
y
y=[x]
1
2
3
y=
1
x
0
1 2 3 4
La prima è la funzione y = [x], definita dalla legge:
y=
{
x, se x è un numero intero
all’intero precedente la x, se x non è intero
La funzione ha discontinuità di prima specie in tutti i punti aventi per ascissa un numero intero, in cui il salto è uguale a 1.
La seconda è la funzione y = 1 , che presenta una discontinuità di seconda specie nel punto
x
avente per ascissa 0, infatti:
1 = –3
lim
x"0 x
–
e
lim 1 =+3
x"0 x
+
16.I teoremi sulle funzioni continue
I. Teorema • La somma, la differenza e il prodotto di più funzioni continue in un punto x0
sono funzioni continue.
II. Teorema delle Funzioni Elementari • Tutte le funzioni elementari, e cioè le funzioni
razionali e irrazionali, goniometriche, esponenziali e logaritmiche, sono continue in tutti i punti del campo di esistenza in cui sono definite.
III.Teorema della Permanenza del Segno • Se una funzione f (x) è continua in x0 ed è f (x0) ≠
0, in un intorno convenientemente piccolo di x0 la funzione conserva il segno di f (x0).
IV.Teorema di Weierstrass • Se una funzione f(x) è continua in un intervallo [a, b], estremi inclusi, ammette in esso un massimo e un minimo.
V. Teorema dell’Esistenza degli Zeri • Se una funzione f (x) è continua in un intervallo
[a, b], estremi inclusi, e negli estremi a e b assume valori di segno opposto, esiste almeno
un punto interno ad [a, b] in cui la funzione si annulla.
Ci limitiamo a citare, ora, la seguente, importante proprietà.
Proprietà • Se una funzione f (x) è continua in un intervallo [a, b], estremi inclusi, è in esso
limitata.
Capitolo 10
Le funzioni reali di una variabile reale
VI.Teorema di Bolzano • Se una funzione f (x) è continua in un intervallo [a, b], estremi inclusi, assume in esso ogni valore compreso tra il suo massimo e il suo minimo.
177
Capitolo
7
Moto oscillatorio e molle
1. Proprietà generali
Dal punto di vista della cinematica possiamo definire il moto armonico come il moto della proiezione di un punto che percorre una circonferenza.
P4
y
P6
Parte I: Fondamenti delle discipline di insegnamento
Libro II: Fisica
P
360
0
Q
C P3
P2
P7
B
P1
P8 Q8 Q7 Q6 Q5 Q4 Q3 Q2 Q1
Q9 Q10 Q11 Q12 Q13 Q14 Q15 A
φ
A
P5
B
x
P9
P0 ≡ P16
Q0 ≡Q16
x
P15
P10
P11
P12 P13
P14
D
(Fig. 1)
(Fig. 2)
In figura 1 è mostrato il punto Q, proiezione sull’asse delle x del punto P.
In figura 2 è mostrato come, mentre il punto P descrive la circonferenza, il punto Q oscilla tra i punti A e B.
Si definisce:
— Centro di oscillazione: il centro della circonferenza.
— Ampiezza: la massima distanza del punto Q dal centro di oscillazione.
— Oscillazione completa: il moto da A a B e ritorno in A.
— Elongazione: la distanza di Q dal centro di oscillazione in un generico istante t.
— Periodo: il più piccolo intervallo di tempo dopo il quale il moto assume le stesse caratteristiche. In figura 2 si mostra che, mentre P percorre l’intera circonferenza, il punto Q
descrive un’oscillazione completa.
— Pulsazione: è la velocità angolare del moto circolare uniforme.
2. Equazione oraria del moto armonico semplice
In figura 2 sono stati tracciati sulla circonferenza dei punti a intervalli regolari con le relative elongazioni sull’asse x.
In figura 3 sono state riportate le stesse elongazioni con i relativi istanti t.
x Q0
Q1Q
Q
Q14Q15 16
Q13
2
Q3
R
Q4
Q12
t
φ
Q5
Q11
Q6Q Q Q Q10
7 8 9
(Fig. 3)
(Fig. 4)
l
Per trovare l’equazione oraria del moto dobbiamo riprendere la definizione della misura
in radianti di un angolo.
Consideriamo la figura 4. Indichiamo con l la lunghezza dell’arco di circonferenza corrispondente all’angolo al centro φ.
l
La misura in radianti dell’angolo φ è il numero reale t = R dove l è la lunghezza dell’arco della circonferenza e R il raggio della circonferenza. Tale misura non dipende dal raggio della
circonferenza. Dopo un giro completo, l = 2π e quindi la misura in radianti corrispondente
2rR = 2r
èt=
(ϕ = 360°) mentre mezzo giro (ϕ = 180°) corrisponde a π radianti.
R
Le misure degli angoli vengono fatte in radianti proprio per rendere le grandezze indipendenti dai raggi delle circonferenze considerate.
Dalla figura 1 all’istante t, l’angolo al centro φ sarà uguale a φ = ωt.
Consideriamo il triangolo rettangolo OPQ. All’istante t:
OQ = OP cosφ = Rcoswt
x(t) = Rcos(ωt + φ0)
che è la legge oraria del moto armonico semplice. Nella (2.1):
— ωt + φ0 è la fase dell’oscillazione;
— φ0 è la fase iniziale dell’oscillazione o la costante di fase.
P(t)
(2.1)
ω
P0
φ = ωt + φ0
φ0
Capitolo 7
Moto oscillatorio e molle
Quindi x(t) = Rcosωt.
Se il punto P all’istante iniziale si fosse trovato in P0 (Fig. 5) corrispondente ad un angolo φ0,
nell’istante t esso si sarebbe trovato nel punto P (t) corrispondente ad un angolo al centro
φ(t) = ωt + φ0 e in questo caso sarebbe stato:
A
361
In figura 6 sono mostrati i grafici relativi alle equazioni orarie:
(Fig. 5)
x1(t) = R cos(ωt – φ0); x2(t) = R cosωt; x3(t) = R cos(ωt + φ0).
x(t) = Rcosωt
x(t) = Rcos(ωt – φ0)
x(t) = Rcos(ωt + φ0)
(Fig. 6)
2.1Equazione della velocità nel moto armonico semplice
Parte I: Fondamenti delle discipline di insegnamento
Libro II: Fisica
In figura 7 sono stati tracciati i vettori tangenti alla traiettoria della particella che si sta muovendo di moto armonico semplice.
362
P in A
v=0
v <0
Siccome la velocità della particella è data dalla pendenza
del vettore tangente, da tale figura si nota che la velocità è:
— nulla agli estremi di oscillazione quando il punto P si
trova in A e in B;
— massima nel centro di oscillazione quando P si trova in
C e in D;
— negativa tra A e B;
— positiva tra B e A.
v = max
v <0
P in 0
0
P in 0
P in A
v=0
v >0
v = max
v >0
P in B
(Fig. 7)
Per ottenere il valore della velocità del moto armonico è sufficiente calcolare la proiezione
sul diametro del vettore velocità nel moto circolare uniforme.
L
P in A
→
ωt
vx
ωt
M
v
P
+R
0
t
–R
ωt
B
x(t) = – Rcosωt
Q
A x
+ωR
2π/ω
π/2ω
π/ω 3π/2ω
0
–ωR
v(t) = – Rsenωt
(Fig. 8)
(Fig. 9)
Dal triangolo PLM (Fig. 8) si ha vx(t) = –vsenωt, ma, essendo v = ωR si ha:
vx(t) = –ωRsenωt
Essendo la velocità la derivata rispetto al tempo della posizione:
Dalla relazione cosb a +
v x^ t h =
dx^ t h d
= ^ Rcos~t h = R~sen~t
dt
dt
r l = –sena
la (2.3) diventa:
2
v x^ t h = R~cosb ~t + r l
2
(2.2)
(2.3)
In figura 9 sono mostrati i grafici dell’equazione oraria e delle velocità del moto armonico semplice.
Come si vede la velocità risulta in anticipo di r rispetto alla posizione.
2
2.2 Equazione dell’accelerazione nel moto armonico semplice
In figura 10 sono stati tracciati i vettori tangenti alla velocità della particella che si sta muovendo di moto armonico semplice.
a=0
Siccome l’accelerazione della particella è data dalla pendenza del vettore tangente alla velocità, da tale figura si
nota che essa è:
— massima, in valore assoluto, agli estremi di oscillazione
quando il punto P si trova in A e in B;
— nulla nel centro di oscillazione quando P si trova in C e
in D;
— è negativa tra A e 0 e da 0 a A ove l’elongazione è positiva;
— è positiva tra 0 e B e B e 0 ove l’elongazione è negativa.
a<0
a>0
0 a<0
a=0
B 0
A B 0
AB 0
AB 0
A B 0
A
(Fig. 10)
Per ottenere il valore dell’accelerazione del moto armonico è sufficiente calcolare la proiezione sul diametro del vettore accelerazione nel moto circolare uniforme (Fig. 11).
Quindi ax(t) = –cosωt, ma a = ω2R e quindi:
ax(t) = –ω2Rcosωt
L
(2.4)
O
ax
M
Q
A
(Fig. 11)
(2.6)
Dalla relazione cos(α + π) = –cosα la (2.4) diventa:
ωt
ωt
Essendo l’accelerazione la derivata rispetto al tempo della velocità:
dv^ t h d
–R~sen~t h = –~2 Rcos~t a x^ t h =
(2.5)
dt dt ^
Ma x(t) = Rcosωt e quindi:
ax(t) = –ω2x(t)
P
ac
ax(t) = Rω2cos(ωt + π)
In figura 12 sono mostrati i grafici dell’equazione oraria dell’accelerazione, della velocità e
della posizione nel moto armonico.
x
R
t
–R
ωR
vx
t
ax – ωR
ω2R
–ω2R
t
0
A
A
B
0
(Fig. 12)
Capitolo 7
Moto oscillatorio e molle
Dalla figura 11 si nota che l’angolo PLM è simile all’angolo POQ.
363
Come si vede, la velocità risulta in anticipo di r rispetto alla posizione e l’accelerazione ri2
sulta in anticipo di r rispetto alla velocità.
2
Parte I: Fondamenti delle discipline di insegnamento
Libro II: Fisica
3. Moto di un corpo soggetto a una forza elastica. Legge di Hooke
364
Supponiamo di avere un corpo appoggiato su un piano privo
di attrito e fissato ad una molla di costante elastica k. In questa situazione le uniche forze che agiscono sul corpo sono la
forza peso e la reazione vincolare del piano le quali si equilibrano a vicenda (Fig. 13.a).
Se spostiamo il corpo dalla posizione di equilibrio di una distanza x0, sul corpo agisce una forza di richiamo F.
In laboratorio si può dimostrare che esiste una relazione lineare tra lo spostamento x0 della molla, la sua costante elastica k e la forza di richiamo F con cui essa cerca di tornare
nella posizione di equilibrio:
F = –kx0
(3.1)
→
N
(a)
→
P
x0
(b)
A
x0
(c )
A'
(Figg. 13.a, 13.b, 13.c)
Tale legge è nota come legge di Hooke.
Il segno – indica che tale forza è diretta sempre in verso opposto allo spostamento.
Sotto l’azione di questa forza il corpo inizierà ad oscillare dal punto A al punto Aʹ e viceversa.
Dalla (3.1) e per il secondo principio della dinamica per cui F = ma segue che:
(3.2)
a = – k x
m
k
Ponendo ~2 = – , la (3.2) diventa a = –ω2x, che è formalmente analoga alla (2.6) che dem
scrive la relazione fra spostamento e accelerazione nel moto armonico semplice.
Si può perciò concludere che un punto materiale di massa m soggetto ad una forza elastica
di costante k si muove di moto armonico con pulsazione:
~=
k
m
La costante elastica k è una proprietà caratteristica della molla che dipende dal materiale di cui è costituita, dalla forma e dalle dimensioni. La legge di Hooke vale solo per piccole deformazioni, cioè per deformazioni che non portano la molla a superare i cosiddetti limiti di elasticità, oltre i quali non vale più la semplice legge lineare tra forza e deformazione e la molla, in genere, non recupera più le proprietà iniziali (deformazione plastica). Aumentando ulteriormente la forza esercitata su una molla si può giungere alla sua rottura
(limiti di rottura).
Vista la semplicità della legge di Hooke, le molle servono a costruire i dinamometri che, a
loro volta, possono essere usati come strumenti per misurare le forze. Solo se una molla
obbedisce alla legge di Hooke può essere usata per misurare intensità di forza, in quanto
le deformazioni sono direttamente proporzionali alla forza applicata. In particolare, noto il
valore di k della molla, sarà possibile misurare la forza incognita moltiplicando il valore di
k per l’allungamento x prodotto dalla forza stessa.
4. Dinamica del moto armonico semplice. Considerazioni matematiche
Consideriamo il sistema di figura 13 in cui un corpo di massa m si muove lungo l’asse delle x sotto l’azione della molla ideale di costante elastica k e in assenza di forze dissipative.
Dalla seconda legge di Newton:
ma = –kx
(4.1)
Ricordando che l’accelerazione è la derivata seconda della posizione rispetto al tempo, possiamo scrivere la (4.1) come:
2
(4.2)
m d x2 = –kx
dt
La soluzione più generale della (4.2) è:
x(t) = Acos(ωt + φ0)
(4.3)
in cui A e φ0 sono due costanti che dipendono dalle condizioni iniziali del moto (la loro origine sta nel fatto che per risolvere la derivata seconda dobbiamo integrare due volte) e rappresentano rispettivamente l’ampiezza massima del moto oscillatorio e la fase iniziale, mentre ω è la pulsazione ed è legata alle caratteristiche del moto dalla relazione:
k
m
Ricordando la relazione tra il periodo e la pulsazione dell’oscillazione:
T = 2r = 2r
~
m
k
analizziamo come il periodo, l’ampiezza e la fase influenzino il moto armonico.
In figura 14 sono mostrati due moti oscillatori che si differenziano per fase (Fig. 14.a), ampiezza (Fig. 14.b) e periodo (Fig. 14.c).
x2(t)
A1=A2
T1=T2
φ 1 ≠ φ2
x1(t)
x2(t)
A1≠A2
T1=T2
φ1 = φ2
x1(t)
A2
A1
(a)
365
(b)
A1=A2
T1= 1T2
2
x1(t)
x2(t)
Capitolo 7
Moto oscillatorio e molle
~=
φ1 = φ2 (c)
(Figg. 14.a, 14.b, 14.c)
Vediamo quindi come A e φ0 dipendono dalle condizioni iniziali del problema e cioè dalla
posizione iniziale della particella e dalla sua velocità iniziale.
Supponiamo che una particella si muova di moto armonico semplice secondo la (4.3) e che
la particella all’istante iniziale abbia elongazione x0 e velocità v0.
Nel paragrafo 2.1 abbiamo ricavato la velocità nel moto armonico semplice:
v(t) = –Aωsen(ωt + φ0)
(4.4)
All’istante iniziale la (4.3) e la (4.4) diventano:
x0 = Acosφ0
v0 = – Aωsenφ0
(4.5.a)
(4.5.b)
Dividendo membro a membro la (4.5.b) per la (4.5.a):
Parte I: Fondamenti delle discipline di insegnamento
Libro II: Fisica
si ottiene che:
v 0 A~senz0
–
x0
Acosz0
v0
m
~x 0
z0 = arctg c –
Dalla (4.5.a) e la (4.5.b) si ottiene inoltre che:
x02 = A2cos2φ0
Sommando membro a membro:
Da cui segue:
v 20
= A 2sen 2 z0
~2
A 2 = x 20 +
A=
v 20
~2
v 20
~2
x 20 +
In figura 15 è mostrata la variazione della velocità, dell’accelerazione e della forza di richiamo della molla in funzione dell’elongazione della molla.
0
A
–A
366
x=0
v = –Aω
F=0
a=0
2
x = –A
v = –Aω
F = –kx
a = Aω
2
x=A
v=0
F = –kx
a = –Aω
2
2
x = –A
v = Aω
F = –kx
a=0
2
x=A
v = –Aω
F = –kx
a = –Aω
2
2
(Fig. 15)
5. Lavoro della forza elastica
Calcoliamo ora il lavoro fatto dalla forza elastica:
F = –kx
quando la molla viene deformata dalla sua posizione di equilibrio.
(5.1)
In figura 16 è mostrato come varia la forza di richiamo della molla in funzione dello spostamento.
F = –kx
x = 0 x0
F=0
F negativo (a)
x positivo
x
F nullo
x0 nullo
(b)
x0 = 0
F positivo (c )
x0 negativo
F = –kx0
x= 0
x0
Essendo tale spostamento sempre di segno opposto rispetto alla forza, il lavoro, che è dato dal
prodotto tra forza e spostamento, sarà sempre negativo. Per calcolare il lavoro compiuto dalla
forza di richiamo quando il corpo viene spostato dalla posizione di equilibrio (x = 0) in x = x0 dobbiamo calcolare l’area sottesa dalla retta F(x) = –kx tra l’origine degli assi e il punto x0.
Consideriamo il triangolo ABO in figura 17.
F
Esso ha base OA = x0 e altezza AB = kx0, da cui:
F (x) = –kx
Area ABO = 1 OA $ BO = 1 kx 20
2
2
–x0 O
Quindi, ricordando il segno negativo:
L el = – 1 kx 20
2
L el =
y
0
–kxdx = –k
x0
A
–kx0
x
B
Il lavoro tra i punti 0 e x è dato dall’integrale definito della funzione F:
x0
x0
x0
y
0
xdx = –k x
2
2
x0
0
(Fig. 17)
= – 1 kx 20
2
In generale, il lavoro compiuto dalla forza elastica quando un corpo viene spostato da una
posizione x1 alla posizione x2 è dato da:
L el = – 1 k^ x 22 – x 21 h
2
Il lavoro compiuto dalla forza applicata è uguale ed opposto al lavoro fatto dalla forza elastica in quanto la forza applicata è opposta alla forza elastica:
L = –L el = 1 k^ x 22 – x 21 h
2
Capitolo 7
Moto oscillatorio e molle
(Fig. 16)
367
Parte I: Fondamenti delle discipline di insegnamento
Libro II: Fisica
6. Energia potenziale elastica
368
Nel capitolo su lavoro e energia si suddivideranno le forze in conservative e non conservative.
Il lavoro di una forza conservativa dipende esclusivamente dalla posizione occupata dal
corpo e non dal tragitto percorso. Abbiamo visto che il lavoro di una forza elastica dipende
soltanto dalla posizione iniziale e finale occupata dal corpo. Quindi la forza elastica è una
forza conservativa.
Avendo già calcolato il lavoro fatto per estendere una molla dalla sua posizione di equilibrio a x0, possiamo introdurre, così come è stato fatto per la forza peso, un’energia potenziale elastica che è l’energia che la molla possiede per il semplice fatto di essere stata allungata o compressa.
L’energia potenziale elastica è un’energia che la molla ha in potenza e che si trasforma in lavoro o in un’altra forma di energia soltanto quando si annulla la forza esterna che ha compresso o allungato la molla.
Infatti, così come un corpo lasciato cadere da un’altezza h raggiungerà il suolo terrestre diminuendo la sua energia potenziale e aumentando la sua energia cinetica, così una molla
che viene lasciata libera dopo essere stata compressa raggiungerà la sua posizione di equilibrio diminuendo la sua energia potenziale elastica e aumentando la sua energia cinetica.
Possiamo quindi definire un’energia potenziale elastica come:
U el = 1 kx 20
2
Per il principio di conservazione dell’energia cinetica (che è sempre valido sia per forze conservative che non conservative):
∆L = ∆Ec = Ecf – Eci
(6.1)
Nel caso della forza elastica abbiamo visto che:
TL = – 1 k_ x 2f – x 2i i = U i – U f 2
da cui segue che:
(6.2)
Ecf + Uf = Eci + Ui
E cioè anche nel caso della forza elastica si conserva l’energia meccanica data dalla somma:
E = E cf + U f = 1 kx 2 + 1 mv 2
2
2
Quando la molla è compressa oppure allungata aumenta l’energia potenziale (con x) e diminuisce l’energia cinetica, ovvero la velocità del corpo, fino al limite di massima compressione o dilatazione in cui:
E= 0
U = Umax e Ec = 0
(a)
v = 1/2 kx02
La molla compie lavoro resistente (Figg. 18.a e 18.c).
Quando la molla torna verso la sua posizione di riposo l’energia potenziale si trasforma in energia cinetica:
U diminuisce e T aumenta finché nella posizione x = 0 si
ha U = 0 e Ec = Ecmax.
La molla compie lavoro (Fig. 18.b).
In tale posizione la velocità è massima.
Il lavoro totale compiuto durante un’oscillazione è nullo.
x0
E = 1/2 mv 2
0
E = 0 v = 1/2 kx02
(b)
v=0
(c )
– x0
(Figg. 18.a, 18.b, 18.c)
10) Si mostri che per ogni polinomio P(x) di grado dispari e per ogni numero reale k
esiste almeno una soluzione reale x dell’equazione P(x) = k. Si disegni poi il grafico
qualitativo della funzione f (x) = 4x5 – 5x, definita sull’insieme dei numeri reali R,
e si stabilisca il numero degli elementi dell’insieme {x ŒR | f (x) = k}, in dipendenza
dal valore di k ŒR. Utilizzando le proprietà delle funzioni continue e delle funzioni derivabili si diano motivazioni rigorose per le affermazioni che vengono fatte.
Una funzione si dice polinomiale se è del seguente tipo:
y = P(x),
con P(x) polinomio nella variabile x. Per intenderci una funzione reale di variabile reale è polinomiale se si presenta della forma:
f (x) = anxn + an–1xn–1 + … + a2x2 + a1x + a0,
con a0, a1, a2, …, an numeri reali e an diverso da zero. Inoltre, il numero naturale n si dice grado
della funzione polinomiale e coincide con il grado del polinomio P(x).
I più noti esempi di funzioni polinomiali sono:
—funzione polinomiale di grado zero:
il cui grafico è una retta parallela all’asse x;
y = a,
—funzione polinomiale di grado uno, la quale si presenta nella forma:
Parte III
La prova scritta
782
y = ax + b con a ≠ 0
ed il cui grafico è quello di una generica retta;
—funzione polinomiale di grado due, la cui forma generica è:
y = ax2 + bx + c con a ≠ 0,
che rappresenta una parabola con asse parallelo all’asse y.
Studiare una funzione polinomiale è semplicissimo. Essa:
—ha come dominio tutto R;
—è continua e derivabile su tutto l’asse reale;
—per quanto riguarda le intersezioni con gli assi, se a0 ≠ 0 il punto di coordinate (0, a0) sarà un
punto di intersezione con l’asse y, mentre per trovare le intersezioni con l’asse x basta trovare gli zeri del polinomio che la definisce. Tali intersezioni saranno al massimo n (tante quante il grado del polinomio);
—per quanto riguarda i limiti agli estremi del dominio, abbiamo:
se an > 0
se an < 0
⎧⎪ +∞ se n pari
lim ⎡⎣an x n + an-1 x n-1 ++ a2 x 2 + a1 x + a0 ⎤⎦ = ⎨
x → ±∞
⎩⎪ ±∞ se n dispari

⎧⎪ -∞ se n pari
lim ⎡⎣an x n + an-1 x n-1 ++ a2 x 2 + a1 x + a0 ⎤⎦ = ⎨
x → ±∞
⎪⎩ ∞ se n dispari

In virtù di quanto detto, possiamo concludere che il grafico di una funzione polinomiale è una linea
continua, senza interruzioni che attraversa il piano. Nel caso in cui P(x) sia di grado dispari, assu-
merà tutti i valori compresi tra −∞ e +∞ e, quindi, una generica retta parallela all’asse delle x (ossia
di equazione y = k, con k ∈ R) incontrerà sicuramente almeno in un punto il suo grafico.
Verifichiamo graficamente tale affermazione sfruttando una funzione polinomiale molto semplice, y = x3.
Studiamo ora il grafico della funzione f (x) = 4x5 – 5x.
Il dominio della funzione è costituito da tutto l’insieme dei numeri reali. Per x = 0 si ha y = 0, mentre le ascisse dei punti d’intersezione della curva con l’asse x sono date dalle radici dell’equazione: 4x5 – 5x = 0. Risolvendo questa equazione, si trova:
x=±
4
5
2
= ±1.0573.
La funzione può anche essere riscritta nella seguente maniera:
(
)(
)
f ( x ) = x ( 4x 4 - 5) = x 2x 2 - 5 2x 2 + 5 ,
da cui si deduce che essa è maggiore di zero per x >
4
5
2
e per -
4
5
2
< x < 0.
La funzione non ha asintoti ed è, inoltre, dispari (ossia simmetrica rispetto all’origine 0 delle coordinate) in quanto:
f (–x) = –f (x).
Vediamo il suo comportamento all’infinito. Si ha:
lim f ( x ) = ±∞
x → ±∞
Per determinarne l’andamento ed i punti di massimo e minimo relativi, calcoliamo la sua derivata prima e seconda:
La derivata prima si annulla per x = ±
1
yʹ = 20x4 – 5;
yʺ = 80x3.
e si vede facilmente che:
2
1
1
per x >
la funzione è crescente, risultando yʹ > 0;
e per x < 2
2
per -
1
2
<x<
1
2
la funzione è decrescente, risultando yʹ < 0.
Test 1
Matematica
x = 0;
783
Per x > 0 la funzione rivolge la concavità verso l’alto perché risulta: yʺ > 0. Per x < 0 la funzione
rivolge la concavità verso il basso perché risulta: yʺ < 0.
Inoltre, per x = 0 si ha yʺ = 0 e, come si può vedere facilmente, la prima derivata diversa da zero (in
x = 0) è di ordine dispari (y(5) = 480); quindi, il punto di coordinate (0, 0) è di flesso per la funzione.
I punti di massimo e minimo relativi della funzione si ottengono in corrispondenza di x = ±
massimo relativo: x = minimo relativo: x =
1
1
2
2
→ y = 2 2;
1
2
.
→ y = -2 2.
Il grafico della funzione è, pertanto, quello rappresentato nella figura sottostante.
2√2
4
Parte III
La prova scritta
–√5/√2
784
1/√2
–1/√2 0
4
√5/√2
–2√2
Il numero degli elementi dell’insieme {x ∈ R | f (x) = k ∈ R} è deducibile agevolmente se disegniamo il fascio di rette di equazione y = k con k ∈ R (tali rette sono parallele all’asse x e sono rappresentate con un tratteggio azzurro sul grafico precedente). Si nota subito che tale numero (ossia
il numero di intersezioni tra la funzione f (x) e il fascio di rette parallele) è pari a:
—3 per −2√2 < k < 2√2;
—2 per k = ± 2√2;
—1 per k > 2√2 e k < –2√2.
5) Sfruttando il principio di conservazione dell’energia meccanica, determinare
l’altezza massima raggiunta da un proiettile lanciato con una velocità di modulo v e con un angolo di proiezione α rispetto alla direzione orizzontale del suolo.
Il moto in questione è parabolico ed alcune sue caratteristiche, tra cui la quota massima raggiunta dal proiettile durante il suo volo, possono essere determinate utilizzando il principio di conservazione dell’energia. In corrispondenza del punto di quota massima, la componente vy della
velocità del corpo è nulla e, pertanto, la sua velocità si identifica con la componente vx della velocità che il corpo possedeva all’istante del suo lancio.
→
v
B
v→v
A
v→x
Assunto come livello di riferimento per le energie potenziali gravitazionali la linea orizzontale
passante per il punto di lancio, applicando il principio di conservazione dell’energia per i punti A e B, si ha:
2
1 2 1 2(
mv = mv cosa ) + mghmax
2
2
dalla quale si ricava la quota massima raggiunta dal corpo:
hmax = v 2
2
2
1- ( cosa ) v 2 ( sena )
=
2g
2g
Il principio di conservazione dell’energia consente anche di trovare il modulo della velocità del
corpo per un qualunque punto della traiettoria di cui sia nota la quota. Infatti, per un qualunque
punto C per il quale ℎc ≤ ℎmax si ha:
ovvero:
1 2 1 2
mv = mv c + mghc
2
2
v c = v 2 - 2ghc
6) Si enunci il principio galileiano di composizione dei movimenti di un corpo e lo
si utilizzi per determinare la traiettoria e l’andamento della velocità nel tempo,
di un corpo animato contemporaneamente dai due moti seguenti:
1) un moto uniformemente accelerato secondo la direzione orizzontale e caratterizzato dall’accelerazione A1 e dalla velocità iniziale V1x;
Test 2
Fisica
Ovvero, essendo vx = v cosα:
1 2 1 2
mv = mv x + mghmax
2
2
789
Capitolo
4
Modello di lezione simulata
di matematica
Gli indici di posizione centrale
e gli indici di variabilità
Supponiamo di rivolgerci ad una classe di 25 alunni, di cui uno appartenente all’area BES
(in particolare un alunno con un Disturbo specifico di apprendimento, DSA, in quanto affetto da discalculia).
Durata: 3 ore
1. Verifica dei prerequisiti e introduzione dell’argomento (½h)
2. Lezione frontale (2h)
3. Riepilogo e verifica degli obiettivi (½h)
Obiettivi formativi
Conoscenze
Gli indici di posizione centrale e gli indici di variabilità.
Competenze/Abilità
Trarre dalle tabelle statistiche una serie di dati sintetici che permettano di ottenere le informazioni essenziali relative ad una determinata variabile statistica.
Prerequisiti
Cosa si deve già sapere
•
•
•
•
•
•
•
•
I concetti di unità statistica e di popolazione statistica
Quali sono i caratteri della popolazione (qualitativi e quantitativi, discreti e continui)
Che cosa sono le modalità di un carattere
Come si calcolano le frequenze assolute e relative
Come si costruisce una tabella statistica di frequenza sulla base di dati statistici raccolti
Che cos’è una variabile statistica
Che cosa sono le classi di frequenze
Quali sono le modalità di rappresentazione grafica dei dati statistici (ortogrammi, istogrammi, aerogrammi, diagrammi cartesiani e ideogrammi)
Capitolo 4
Modello di lezione simulata di matematica
Destinatari: I biennio Istituti tecnici – Settore economico
821
Obiettivi specifici di apprendimento (OSA)
Cosa saprà l’alunno
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
La media aritmetica semplice e ponderata
La media aritmetica di una sequenza di numeri
La media aritmetica di una distribuzione in classi di frequenza
La moda di un insieme di numeri e di una distribuzione con valori discreti
La mediana
Il campo di variazione
Lo scarto semplice medio
Lo scarto quadratico medio di una sequenza di numeri e di una distribuzione di frequenze
Gli indici relativi di variabilità
La distribuzione di Gauss
Le relazioni tra media e scarto quadratico medio nella distribuzione di Gauss
•
•
•
•
•
•
Calcolare la media aritmetica semplice e ponderata
Capire la differenza tra indici di posizione centrale e indici di variabilità
Calcolare la media aritmetica semplice e quella ponderata
Sapere in quali casi è opportuno calcolare la moda piuttosto che la media di un insieme
di dati
Calcolare la mediana di una distribuzione di frequenza
Calcolare lo scarto semplice medio e lo scarto quadratico medio di una distribuzione statistica
Distinguere gli indici assoluti di variabilità da quelli relativi
Conoscere le caratteristiche di una distribuzione di tipo gaussiano
•
•
•
•
•
•
Lezione frontale in aula con l’ausilio di dati raccolti dai giornali o dal web
Lavori di gruppo (cooperative learning)
Problem solving
Mappe concettuali
Parole chiave
Didattica personalizzata x BES
•
•
•
•
•
Libro di testo
LIM
PC
Articoli di giornale
Supporti audiovisivi
Parte IV
La lezione simulata
Cosa saprà fare l’alunno
822
•
•
Metodi
Sussidi didattici
I contenuti della lezione
• La media aritmetica (semplice e ponderata)
• La moda
• La mediana
•
•
•
•
Il campo di variazione
Lo scarto semplice medio e lo scarto quadratico medio
Gli indici relativi di variabilità
La distribuzione di Gauss
Le fasi della lezione
Fase introduttiva: verifica dei requisiti e introduzione dell’argomento (½h)
In questa fase il docente, dopo aver verificato la sussistenza dei prerequisiti necessari, introduce i concetti di indici di posizione e di indici di variabilità avvalendosi di una mappa
concettuale:
Indici di posizione centrale
Moda
Semplice
Ponderata
Mediana
Assoluti
Indici di variabilità
Relativi
Campo di variazione
Scarto semplice medio
Scarto quadratico medio
Scarto semplice medio relativo
Scarto quadratico medio relativo
Nucleo della lezione: lezione frontale (2h)
In questa fase il docente, utilizzando la LIM, espone i contenuti della lezione in modo coerente e sequenziale.
Gli argomenti oggetto della lezione si prestano ad essere spiegati con l’ausilio di esempi concreti e di dati tratti, ad esempio, da articoli di giornale o da siti web.
Il punto di partenza ideale consiste nel chiedere alla classe di calcolare la media aritmetica di una serie di valori utilizzando l’esempio concreto più vicino alla vita di ogni studente:
i voti conseguiti nelle varie materie. Proponendo la pagella di uno studente immaginario,
chiederemo alla classe di calcolare il voto medio partendo dal ragionamento e giungendo a
definire la relativa formula. Gli alunni possono lavorare singolarmente oppure possono essere divisi in piccoli gruppi (cooperative learning).
Il passo successivo sta nel complicare leggermente le cose, al fine di introdurre il concetto
di media aritmetica ponderata. In questo caso si può utilizzare un esempio simile al prece-
Capitolo 4
Modello di lezione simulata di matematica
Media aritmetica
823
Parte IV
La lezione simulata
824
dente, avendo però cura di presentare ai ragazzi una sequenza in cui gli stessi voti si presentano più volte (ad esempio, il sei si presenta in quattro materie, il sette in due e così via),
introducendo così i concetti di peso e di ponderazione. Anche stavolta la formula scaturirà
dal ragionamento. Al fine di far acquisire agli studenti la necessaria elasticità mentale, è tuttavia consigliabile proporre loro anche esempi diversi: un’alternativa consiste nel chiedere ad ogni studente di comunicare il proprio peso in Kg allo scopo di calcolare il peso medio della classe.
Il medesimo procedimento può essere utilizzato per spiegare i concetti di moda e di mediana. Nel caso della moda è opportuno presentare una sequenza di numeri in cui un solo numero si presenta più volte degli altri, in modo da evidenziare il concetto di valore modale (o
di classe modale se i dati sono raggruppati in classi di uguale ampiezza).
Nel caso della mediana è utile proporre alla classe due sequenze di valori, la prima formata da un numero pari e la seconda da un numero dispari di valori; nel primo caso sarà facile
individuare il valore mediano, mentre nel secondo caso, data l’esistenza di due valori centrali, gli studenti dovranno calcolarne la media aritmetica, utilizzando in un contesto diverso la formula assimilata in precedenza.
Nella seconda parte della lezione occorre introdurre il concetto di indice di variabilità, spiegando subito la differenza tra tali indici e quelli studiati in precedenza. Il modo più efficace per marcare tale differenza è quello di presentare alla classe le pagelle di due studenti
immaginari, costruite in modo tale che i voti nelle singole materie siano molto diversi ma il
voto medio dei due studenti sia identico; così facendo, agli studenti sarà subito chiaro che
gli indici di variabilità forniscono informazioni diverse, e altrettanto importanti, rispetto
alla media, alla moda e alla mediana.
Chiarito tale punto, occorre ora utilizzare il suddetto esempio (o altri alternativi) per calcolare il campo di variazione, lo scarto semplice medio e lo scarto quadratico medio.
Nel caso del campo di variazione è importante sottolinearne i limiti informativi, evidenziando
come tale indice sia in realtà influenzato da due soli valori, i valori estremi, e pertanto sia spesso poco rappresentativo dell’effettivo grado di variabilità della sequenza di numeri proposta.
Negli altri due casi (scarto medio semplice e quadratico) occorre spiegare subito che si tratta
di indici che misurano di quanto i valori della sequenza di numeri si discostano dalla media.
Risulta essenziale proporre alla classe un numero maggiore di esempi concreti, in modo da
consentire agli studenti di acquisire la necessaria dimestichezza con formule leggermente
più complesse rispetto a quelle utilizzate sinora.
Infatti, soprattutto nel caso dello scarto quadratico medio, lo studente deve affrontare con
naturalezza valori al quadrato, radici quadrate, sommatorie e frazioni.
Per semplificare le cose, risulta senz’altro utile proporre agli studenti di creare una tabella composta da cinque colonne; nella prima colonna si riportano i dati raccolti (i voti nelle
singole materie o il peso di ciascuno studente), nella seconda la frequenza (cioè il numero
di volte in cui un dato valore si ripete), nella terza lo scarto tra i dati e il valore medio, nella
quarta il quadrato di tale scarto, nella quinta il quadrato dello scarto moltiplicato per la frequenza. Sommando a questo punto i valori riportati nelle ultime quattro colonne si otterranno i valori da utilizzare nella formula dello scarto quadratico medio.
Una volta chiariti tali concetti, sarà semplice calcolare lo scarto semplice medio relativo e
lo scarto quadratico medio relativo, suddividendo tali indici per la media aritmetica dei valori raccolti.
Per completare la lezione occorre infine introdurre il concetto di distribuzione di Gauss, la
cui rappresentazione grafica assume il nome di curva di Gauss o di curva normale. Anche stavolta il modo migliore per spiegare tali concetti è quello di ricorrere ad un esempio concreto, magari costruendo una tabella a due colonne in cui la prima colonna riporta i dati raccolti (scelti opportunamente in modo da rappresentare una distribuzione gaussiana) e la
seconda le rispettive frequenze; a questo punto si può chiedere alla classe di disegnare un
sistema di assi cartesiani e di porre sull’asse delle ascisse i dati raccolti e su quello delle ordinate le rispettive frequenze. Riportando nel piano cartesiano i dati contenuti nella tabella si otterrà una curva di Gauss con la sua tipica forma a campana.
Parole chiave: media, ponderazione, moda, classe modale, mediana, campo di variazione,
scarto semplice medio, valore assoluto, scarto quadratico medio, deviazione standard, indici relativi di variabilità, distribuzione di Gauss, punti di flesso.
sviluppo della lezione
1. Gli indici di posizione centrale
1.1 La media aritmetica
La media aritmetica, detta, semplicemente, media, è l’indice statistico più utilizzato per descrivere con
un solo valore un insieme di dati numerici.
La media aritmetica di una sequenza di numeri
Sicuramente sai che, se vuoi sintetizzare con un solo voto il tuo rendimento scolastico in tutte le materie, puoi considerare il voto che ottieni sommando tutti i voti e dividendo per il numero di materie. Il numero così ottenuto rappresenta il valore medio dei tuoi voti.
Il procedimento appena descritto può essere generalizzato a una intera popolazione statistica.
La media aritmetica di un insieme di osservazioni su un carattere è quel valore M che, sostituito ai valori, ne lascia inalterata la somma.
La media aritmetica dell’insieme x1, x2, …, xn di n numeri si calcola dividendo la somma di tutti i numeri per n; in simboli:
M=
x1 + x2 +…+ x n
.
n
Facciamo un esempio
1. Calcoliamo la media aritmetica fra i numeri 4 e 6:
M=
4+6
= 5.
2
Se sostituiamo tale valore a 4 e a 6, in base alla definizione, risulta:
M + M = 4 + 6 ⇒ 2 ⋅ 5 = 4 + 6 ⇒ 10 = 10.
La media aritmetica, sostituita ai singoli valori, ne lascia inalterata la somma.
2. Calcoliamo la media aritmetica dei seguenti numeri:
5, 3, 6, 6, 8, 3, 4, 7, 9, 17, 3, 4, 3.
I numeri dati sono 13, per cui, per calcolare la media aritmetica, dividiamo la somma dei numeri per 13:
M=
5 + 3 + 6 + 6 + 8 + 3 + 4 + 7 + 9 + 17 + 3 + 4 + 3 78
=
= 6.
13
13
Sul valore della media aritmetica ha influito il valore estremo eccezionale 17.
Capitolo 4
Modello di lezione simulata di matematica
Dato un insieme di dati numerici o, in generale, una distribuzione statistica, si rende spesso utile sintetizzare le osservazioni sui dati mediante numeri, detti indici di posizione centrale, conosciuti come valori medi, che esprimono la posizione o tendenza centrale del fenomeno esaminato.
Gli indici di posizione centrale più comuni sono la media aritmetica, la moda e la mediana.
825
Per semplificare la notazione si usa il simbolo di sommatoria:
n
M=
∑x
i
i =1
n
,
per indicare che la somma di tutte le xi va estesa a tutti i valori delle xi, per i che va da 1 a n.
Facciamo anche qui un esempio
I seguenti valori sono i prezzi in euro degli affitti mensili di un campione di 10 monolocali rilevati al centro di una grande città italiana e di un campione di 10 monolocali nella periferia della stessa città.
Centro
400
350
375
400
600
550
700
800
450
500
Periferia
300
200
250
300
150
175
225
100
150
200
Calcoliamo la media degli affitti per valutare le differenze di prezzo:
M (centro) =
400 + 350 + 375 + 400 + 600 + 550 + 700 + 800 + 450 + 500
= 512,5.
10
Parte IV
La lezione simulata
M (periferia) =
826
300 + 200 + 250 + 300 + 150 + 175 + 225 + 100 + 150 + 200
= 200,5.
10
Com’era prevedibile, siccome M (centro) > M (periferia), possiamo dedurre che il canone di affitto in centro è mediamente più alto di quello in periferia.
La media aritmetica ponderata
In caso di valori ripetuti più volte, il calcolo della media aritmetica può essere semplificato ricorrendo alla
moltiplicazione.
Se, ad esempio, fra le osservazioni statistiche il numero 150 è presente con frequenza 4 (ossia 4 volte),
invece di scrivere 150 + 150 + 150 + 150, scriveremo 150 · 4.
Riassumiamo in una tabella i valori delle k osservazioni x1, x2, …, xk, con le rispettive frequenze assolute indicate con n1, n2, …, nk con n1 + n2 … + … nk = n:
xi
ni
x1
n1
x2
n2
x3
n3
…
…
xk
nk
Tabella 1 – Tabella delle osservazioni con le rispettive frequenze.
Le frequenze rappresentano i pesi che hanno i valori nella distribuzione, e quindi nel calcolo della media
aritmetica.
La media aritmetica dell’insieme di una distribuzione delle k modalità di un carattere, x1, x2, …, xk, che si
presentano con rispettivi pesi n1, n2, …, nk, si calcola dividendo la somma dei prodotti dei numeri per i
loro pesi per la somma dei pesi:
M=
x1 ⋅ n1 + x2 ⋅ n2 +…x k ⋅ nk
,
n1 + n2 +…+ nk
ed è denominata come media aritmetica ponderata, o media aritmetica pesata.
La media aritmetica vista in precedenza, detta anche media aritmetica semplice, può essere considerata
come un caso particolare di media ponderata con pesi tutti uguali a 1.
Essendo n = n1 + n2 + … + nk il numero totale di unità statistiche, la formula della media aritmetica ponderata può essere scritta anche nel modo seguente:
M=
x1 ⋅ n1 + x2 ⋅ n2 +…x k ⋅ nk
,
n
Con formula sintetica, la media aritmetica ponderata è:
k
∑ x ⋅n
i
M=
i =1
n
i
.
Consideriamo la popolazione statistica costituita da 30 alunni (n = 30) e prendiamo in esame il carattere quantitativo “peso degli alunni” in kg arrotondato eventualmente per difetto o per eccesso al valore più vicino.
Rileviamo il peso degli alunni e riportiamo i valori ottenuti:
60 57 59 60 56 56 57 57 54 58 54 58 57 53 55
56 55 57 59 61 60 55 57 58 56 56 58 54 58 59
Contiamo il numero di volte in cui ciascun peso si presenta e riportiamo su una nuova tabella i pesi in ordine crescente e le rispettive frequenze assolute:
Peso in Kg
Frequenze assolute
53
54
55
56
57
58
59
60
61
1
3
3
5
6
5
3
3
1
Tabella 2
Essendo:
n = n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 + n7 + n8 + n9 = 1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 4 + 3 + 3 + 1 = 30,
applichiamo la formula della media aritmetica ponderata e otteniamo:
M=
53⋅1 + 54 ⋅3 + 55⋅3 + 56⋅5 + 57⋅6 + 58 ⋅5 + 59⋅3 + 60 ⋅3 + 61⋅1 1710
=
= 57.
30
30
Possiamo concludere che il peso medio degli alunni è 57 kg.
A questo punto potremmo provare a fare con la classe una verifica in itinere.
Calcolare la media aritmetica dei seguenti insiemi di numeri:
1. 2 5 1 8 10 15 12
2. 2 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 8 8 8 8 8
Capitolo 4
Modello di lezione simulata di matematica
Applichiamo quanto detto a un caso pratico
827
La media aritmetica di una distribuzione in classi di frequenze
Nel caso in cui la distribuzione sia suddivisa in classi di frequenze, possiamo assumere come valore di ciascuna classe il valore centrale di classe e come peso la rispettiva frequenza.
Facciamo un esempio
Sono state analizzate 1000 valvole prodotte da una fabbrica e si sono registrati i tempi di durata in ore.
I risultati sono riportati nella seguente tabella:
Tempi in ore
0 - 100
100 - 200
200 - 300
300 - 400
400 - 500
Frequenze assolute
50
250
425
265
10
Tabella 3
Il tempo è raggruppato in “classi di frequenze”. Dalla lettura della tabella risulta che, per 50 valvole, la
durata è minore di 100 ore; per 250 valvole, la durata è compresa fra 100 e 200 ore e così via. Per il calcolo della media dobbiamo considerare il valore centrale di ogni classe, ottenuto dalla semisommna degli estremi di classe:
Valore centrale
50
150
250
350
450
Frequenze assolute
50
250
425
265
10
Tabella 4
Parte IV
La lezione simulata
Calcoliamo la media ponderata:
828
M=
50 ⋅50 + 150 ⋅250 + 250 ⋅ 425 + 350 ⋅265 + 450 ⋅10 243.500
=
= 243,5,
1000
1000
che, espressa in termini temporali, è uguale a 243 ore e 30 minuti.
1.2 La moda
La moda, o valore modale, di un insieme di osservazioni su un carattere è quel valore Mo a cui corrisponde la massima frequenza.
La moda è detta anche norma, o valore normale, quasi a indicare il comportamento più diffuso osservato nella popolazione statistica.
Alla moda conviene ricorrere quando i dati estremi presentano valori eccezionali tali da incidere notevolmente sugli altri indici di posizione ma non sulla moda.
Per un insieme di numeri il calcolo della moda è semplice, in quanto si assume come moda il numero che
si presenta il maggior numero di volte.
Ancora un esempio
Calcoliamo la moda dei seguenti numeri:
5 3 6 6 8 3 4 7 9 17 3 4 3.
Il numero 3 si presenta 4 volte, per cui si può affermare che, per tale insieme, la moda è:
Mo = 3.
La moda non ha risentito, nel calcolo, del valore estremo eccezionale 17.
Per una distribuzione con valori discreti, la ricerca della moda non richiede alcun calcolo, basta prendere il valore al quale corrisponde la massima frequenza. Ad esempio:
1. La moda della distribuzione riportata in tabella 2 è Mo = 57 kg, perché la frequenza corrispondente,
che è 6, è maggiore di tutte le altre.
2. Un’inchiesta sui generi musicali preferiti dai giovani, fatta in una scuola superiore di 1200 alunni, ha
dato i seguenti risultati:
Genere
Pop
Classica
Leggera
House
Rock
Dance
Latina
Frequenze assolute
255
65
135
225
62
263
195
Tabella 5
Nel caso di distribuzioni in cui ogni valore è presente una sola volta, si dice che non esiste la moda e che
la distribuzione è zeromodale. Se, ad esempio, nei quattro compiti di matematica del primo quadrimestre
i voti sono stati 4, 6, 5, 7, si dice che la distribuzione è senza moda.
Nel caso, invece, che due o più frequenze massime di una stessa distribuzione siano uguali tra loro, diciamo che la distribuzione è plurimodale.
Se i dati sono raggruppati in classi di uguale ampiezza, si considera la classe alla quale corrisponde la
massima frequenza, detta classe modale, e il valore centrale è la moda.
Esemplifichiamo
La classe modale della distribuzione riportata nella tabella che abbiamo visto (tabella 3) prima è 200 300, perché corrisponde alla massima frequenza, che è 425; la moda è quindi:
Mo
200 + 300
= 250.
2
1.3 La mediana
La mediana di una distribuzione statistica, in cui i valori o le classi sono ordinati in senso non decrescente, è quel valore Me che divide la distribuzione in due parti ugualmente numerose.
In pratica, la mediana è il valore non inferiore a metà dei valori e non superiore all’altra metà.
La mediana di una sequenza ordinata di numeri
Per calcolare la mediana bisogna disporre in ordine crescente i numeri.
829
Data la sequenza ordinata di n numeri x1, x2, …, xn, la mediana è:
– il valore centrale, se n è dispari;
– la media aritmetica dei due valori centrali, se n è pari.
Facciamo ancora degli esempi
1. Calcoliamo la mediana dei seguenti numeri:
5 3 6 6 8 3 4 7 9 12 3 4 3.
Per calcolare la mediana dobbiamo ottenere la sequenza ordinata dei numeri:
Poiché il numero di osservazioni è n = 13 dispari, la mediana è il valore centrale:
3 3 3 3 4 4 5 6 6 7 8 9 17.
Me = 5.
Capitolo 4
Modello di lezione simulata di matematica
Possiamo affermare che il genere più ascoltato dagli alunni dell’istituto è il genere Dance perché ha la frequenza maggiore. Per il carattere qualitativo genere musicale preferito, si può affermare, pertanto, che la
moda è la musica Dance.
Nel calcolo della mediana non ha influito il valore estremo eccezionale 17.
2. Di seguito sono riportati i clienti presenti in un albergo nel periodo da gennaio a settembre:
Mese
Gennaio
Febbraio
Marzo
Aprile
Maggio
Giugno
Luglio
Agosto
Settembre
Clienti
322
295
324
287
293
352
301
354
258
Per calcolare la mediana dobbiamo disporre i valori in ordine crescente:
Posizione
Mese
Clienti
1
2
3
Settembre Aprile
258
287
4
Maggio
5
6
7
Febbraio Luglio Gennaio Marzo
293
295
301
322
324
8
9
Giugno
Agosto
352
354
Poiché le osservazioni sono 9, quindi dispari, il valore centrale, cioè il quinto, è quello in corrispondenza del mese di luglio, quindi Me = 301.
La mediana di una distribuzione di frequenze
Consideriamo la distribuzione dei pesi in kg dei 30 alunni riportata nella tabella 2. Per calcolare la mediana, possiamo applicare il procedimento precedente, cioè scriviamo i 30 valori in ordine crescente, ciascuno un numero di volte uguale alla sua frequenza:
53 54 54 54 55 55 55 56 56 56 56 56 57 57 57
57 57 57 58 58 58 58 58 59 59 59 60 60 60 61.
Poiché le osservazioni sono 30, quindi in numero pari, dobbiamo calcolare la media aritmetica fra i valori che occupano il 15o e il 16o posto:
Me
57 + 57
= 57.
2
Se i due valori centrali sono uguali, come in questo caso, è del tutto inutile calcolare la media fra loro.
Parte IV
La lezione simulata
2. Gli indici di variabilità
Consideriamo le due sequenze numeriche che esprimono i voti riportati nella scheda di valutazione da due
alunni (Giovanni e Mario) della stessa classe.
Materie
830
Giovanni
Mario
Italiano
2
5
Storia
3
7
Geografia
8
4
Matematica
2
8
Fisica
7
7
Chimica
9
5
Filosofia
4
6
Scienze
8
6
Inglese
9
7
Educazione fisica
8
5
Totale
60
60
Media
6
6
Sia Giovanni che Mario hanno la media del 6; ma si deduce, a colpo d’occhio, che il rendimento di Giovanni è più irregolare di quello di Mario perché ha voti molto alti e molto bassi.
Per misurare la variabilità dei dati di una sequenza o, in generale, di una distruzione statistica, si elaborano degli indici statistici noti come indici di variabilità o indici di dispersione.
Gli indici di variabilità più comuni sono il campo di variazione, lo scarto semplice medio, lo scarto quadratico medio.
2.1 Il campo di variazione
Il campo di variazione, o range, di una sequenza di numeri è dato dalla differenza fra il valore massimo
e il valore minimo della distribuzione.
Data la sequenza di numeri in ordine crescente x1, x2, …, xn, cioè con x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xn, il campo di variazione è:
R = xn – x1.
R è l’iniziale di Range
Il campo di variazione è un indice poco accurato perché tiene conto soltanto di due valori della distribuzione, e da solo non è indicativo della variabilità della distribuzione.
Riprendiamo l’esempio di prima
Il campo di variazione delle sequenze dei voti di Giovanni è:
r (Giovanni) = 9 – 2 = 7.
Il campo di variazione delle sequenze dei voti di Mario è:
r (Mario) = 8 – 4 = 4.
Il valore dell’indice è più alto per Giovanni, come abbiamo visto anche dalla semplice lettura delle sequenze.
è un indice che misura di quanto i valori della distribuzione si discostano dalla media.
Lo scarto semplice medio di un insieme di osservazioni su un carattere è dato dalla media aritmetica di
tutte le differenze, prese in valore assoluto, fra le osservazioni e la media aritmetica di tali osservazioni.
La formula dello scarto semplice medio in forma sintetica è:
n
∑ x -M
i
S=
i =1
n
.
Lo scarto semplice medio per una sequenza di numeri x1, x2, …, xn di media M è:
S=
x1 - M + x2 - M +…+ x n - M
n
.
Il valore assoluto è necessario perché le differenze dei valori dalla media, senza il valore assoluto, sono sia
positive che negative e tali differenze si annullano; quindi, senza valore assoluto S risulterebbe sempre nullo.
831
Esempio:
Calcoliamo lo scarto semplice medio delle sequenze dei voti di Giovanni e di Mario:
S (Giovanni)
=
2-6 + 3-6 + 8-6 + 2-6 + 7-6 + 9-6 + 4 -6 + 8-6 + 9-6 + 8-6
=
10
=
4 + 3 + 2 + 4 + 1 + 3 + 2 + 2 + 3 + 2 26
=
= 2,6.
10
10
Calcoliamo lo scarto semplice medio delle sequenze dei voti di Mario:
S (Mario)
Capitolo 4
Modello di lezione simulata di matematica
2.2 Lo scarto semplice medio
=
5-6 + 7-6 + 4 -6 + 8-6 + 7-6 + 5-6 + 6-6 + 6-6 + 7-6 + 5-6
=
10
= 1+1+2+2+1+1+ 0+ 0+1+1 =
10
= 1.
10
Per la sequenza dei voti di Giovanni, l’indice risulta maggiore di quello di Mario, a conferma della maggiore variabilità dei voti che si osserva dalla lettura dei dati.
La formula precedente va adeguata nel caso di frequenze assolute o relative tenendo conto delle rispettive frequenze dei valori.
2.3 Lo scarto quadratico medio
Per calcolare lo scarto quadratico medio, invece di considerare le differenze in valore assoluto tra i valori
e la media aritmetica, come per lo scarto semplice medio, si considerano i quadrati di tali differenze, proprio perché tali quadrati sono tutti positivi.
Lo scarto quadratico medio, o deviazione standard, di una distribuzione statistica è dato dalla radice quadrata della media aritmetica (semplice o ponderata) dei quadrati di tutte le differenze fra i valori della distribuzione e la media aritmetica della distribuzione.
Lo scarto quadratico medio è l’indice di variabilità più diffuso, si usa molto spesso perché risente di minime variazioni dei valori rispetto alla media. Inoltre, si presta ad elaborazioni matematiche più complesse.
Lo scarto quadratico medio di una sequenza di numeri
Lo scarto quadratico medio della sequenza di numeri x1, x2, …, xn di media M è:
(x
σ=
2
1
2
2
- M ) + ( x2 - M ) +…+ ( x n - M )
n
.
La formula dello scarto quadratico medio in forma compatta è:
n
σ=
∑(x
- M)
i
2
.
i =1
n
Le differenze al quadrato tra i singoli numeri e la media sono, ovviamente, tutte positive.
Parte IV
La lezione simulata
Continuiamo con l’esempio
Calcoliamo lo scarto quadratico medio delle sequenze dei voti di Giovanni e di Mario:
σ (Giovanni) =
=
(2 - 6)2 + (3 - 6)2 + (8 - 6)2 + (2 - 6)2 + (7 - 6)2 + (9 - 6)2 + ( 4 - 6)2 + (8 - 6)2 + (9 - 6)2 + (8 - 6)2
10
=
16 + 9 + 4 + 16 + 1 + 9 + 4 + 4 + 9 + 4
76
=
= 7,6 ≅ 2,756…
10
10
832
σ (Mario) =
=
(5 - 6)2 + (7 - 6)2 + ( 4 - 6)2 + (8 - 6)2 + (7 - 6)2 + (5 - 6)2 + (6 - 6)2 + (6 - 6)2 + (7 - 6)2 + (5 - 6)2
10
=
1+1+ 4 + 4 +1+1+ 0+ 0+1+1
14
=
= 1,4 ≅ 1,183…
10
10
Anche lo scarto quadratico medio della distribuzione dei voti di Giovanni, così come gli altri indici calcolati, risulta maggiore di quello di Mario.
Lo scarto quadratico medio di una distribuzione di frequenze
Lo scarto quadratico medio di una distribuzione di frequenze assolute x1, x2, …, xn e di media M è:
σ=
(x
2
1
2
2
- M ) n1 + ( x2 - M ) n2 +…+ ( x k - M ) nk
n
dove n = n1 + n2 + … + nk è il numero totale di unità statistiche.
,
Con formula sintetica, lo scarto quadratico medio è:
k
σ=
∑(x
2
- M ) ⋅ nk
i
.
i =1
n
Nel caso di distribuzioni in classi di frequenze, per il calcolo dello scarto quadratico medio si usa come modalità di ciascuna classe il valore centrale di classe.
Esemplifichiamo
Consideriamo la distribuzione dei pesi dei 30 alunni riportata nella tabella 2. Calcoliamo lo scarto quadratico medio.
Di tale distribuzione conosciamo la media aritmetica M = 57.
Le successive colonne indicano i calcoli da eseguire, per calcolare lo scarto quadratico medio della distribuzione.
Si faccia attenzione. La somma degli scarti delle singole osservazioni dalla media è sempre 0.
xi
ni
xi – M
(xi – M )2
(xi – M)2 · ni
53
1
–4
16
6
54
3
–3
9
27
55
3
–2
4
12
56
5
–1
1
5
57
6
0
0
0
58
5
1
1
5
59
3
2
4
12
60
3
3
9
27
61
1
4
16
16
Totale
30
0
60
120
Tabella 6
Nel nostro esempio k = 9, corrisponde al numero dei valori diversi fra loro e n = 30 numero delle unità statistiche prese in considerazione:
9
σ=
∑(x
2
i
- M ) ⋅ ni
i =1
n
=
120
30
=
4 = 2Kg .
2.4 Indici relativi di variabilità
Gli indici che abbiamo calcolato non sono rapportati al valore medio della distribuzione statistica, per
questo motivo sono detti indici assoluti. Essi non consentono di confrontare fra loro distribuzioni di natura diversa aventi medie diverse.
Al fine di un confronto tra distribuzioni si introducono gli indici relativi che si ottengono dividendo per
la media gli indici assoluti.
Capitolo 4
Modello di lezione simulata di matematica
Il calcolo dello scarto quadratico medio si esegue agevolmente se si predispongono i dati in una tabella,
con i pesi xi degli alunni e le rispettive frequenze ni.
833
Sia data una distribuzione statistica di media aritmetica M, si ha:
Scarto semplice medio relativo Sr =
S
M
Scarto quadratico medio relativo σ r =
σ
M
Moltiplicando per 100 gli indici di dispersione relativi si ottengono gli indici espressi in percentuale.
Scarto semplice medio percentuale S p =
S
⋅100
M
Scarto quadratico medio percentuale σ p =
σ
⋅100
M
Riprendiamo il nostro esempio
Relativamente alla distribuzione riportata nella tabella 8, valutiamo se c’è dispersione fra i pesi dei 30 alunni.
Di tale distribuzione abbiamo calcolato:
M = 57 kg; σ = 2 kg
Calcoliamo lo scarto quadratico medio percentuale:
σp =
σ
2
⋅100 = ⋅100 = 0,03508772… ≅ 3,51%
M
57
Parte IV
La lezione simulata
Si deduce subito che, in percentuale, non c’è una elevata variabilità fra i pesi.
Possiamo interpretare l’indice percentuale affermando che c’è una dispersione rispetto alla media di 3,5 kg ogni 100 kg.
Ancora una volta potremmo far eseguire una verifica in itinere.
La seguente tabella evidenzia i consumi bimestrali, suddivisi per classi, con le rispettive frequenze relative, di gas metano, delle famiglie italiane.
Consumo in m3
10 - 20 20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60
Numero di famiglie
8
834
10
20
34
28
Tabella 7
Calcola lo scarto quadratico medio percentuale.
3. La distribuzione di Gauss
La distribuzione di Gauss è la distribuzione più importante della statistica teorica e applicata; la sua rappresentazione grafica prende il nome di “Gaussiana” o “curva di Gauss” o “curva normale”.
In un sistema di riferimento cartesiano in cui sull’asse delle ascisse sono riportati i valori della distribuzione statistica e sull’asse delle ordinate le rispettive frequenze, il poligono di frequenza assume la forma cosiddetta a campana.
Frequenze
Per questa distribuzione la media aritmetica, la moda e la
mediana coincidono con M perché:
M-σ M M+σ
Fig. 1 - Curva di Gauss
Valori
• l’ordinata di valore massimo (che corrisponde alla frequenza massima) si ottiene in corrispondenza del valore di ascissa x = M che, oltre a essere media aritmetica, è quindi anche moda;
• il grafico è simmetrico rispetto alla media aritmetica;
infatti, il valore di ascissa x = M divide la distribuzione in due parti di area esattamente uguali, ed è, di
conseguenza, anche mediana.
Vi sono, inoltre, due punti della curva di ascissa x = M – s e x = M + s chiamati punti di flesso (o punto di inflessione) perché in tali punti la curva cambia concavità.
Esistono molte distribuzioni statistiche che hanno un andamento simile alla curva di Gauss.
Il grafico della curva di Gauss è perfettamente determinato quando se ne conoscono la media e lo scarto quadratico medio. Da ciò segue che se sappiamo che una distribuzione statistica segue una legge di distribuzione
di tipo gaussiano, essa è perfettamente determinata se si conoscono la sua media e il suo scarto quadratico medio e, pertanto, l’istogramma delle frequenze può essere sostituito con il grafico della corrispondente gaussiana.
Facciamo un esempio
Classi di statura
Frequenze assolute
Classi di statura
Frequenze assolute
140 - 145
145 - 150
150 - 155
155 - 160
160 - 165
165 - 170
30
90
120
150
210
300
170 - 175
175 - 180
180 - 185
185 - 190
190 - 195
195 - 200
400
300
150
110
100
40
Tabella 8
Il poligono di frequenza che più si adatta all’istogramma ha un andamento “a campana”, simile alla curva gaussiana.
Dal confronto dei due grafici si può constatare che il valore massimo coincide, approssimativamente, con
la frequenza massima (400) dell’istogramma.
450
Frequenze
400
350
300
250
200
150
100
50
0 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200
835
Classi
Fig. 2 - Istogramma della distribuzione
Il significato di M e di s nelle distribuzioni di tipo gaussiano
Per una distribuzione statistica di tipo gaussiano, quali che siano la media M e lo scarto quadratico medio s, valgono le seguenti relazioni:
• Numero di unità statistiche comprese fra (M – s) e (M + s) è circa il 68,27%
• Numero di unità statistiche comprese fra (M – 2s) e (M + 2s) è circa il 95,45%
• Numero di unità statistiche comprese fra (M – 3s) e (M + 3s) è circa il 99,73%
f
M− 3σ
M− 2σ
M− σ
M
68,27%
95,45%
99,73%
M+ σ
M+ 2σ
M+ 3σ
x
Capitolo 4
Modello di lezione simulata di matematica
È stata registrata l’altezza (in cm) di 2000 alunni di una scuola superiore e i dati rilevati sono stati suddivisi in classi di ampiezza 5 cm.
M-σ M M+σ
x
Verifica (½h)
Al termine della lezione è importante effettuare una prima verifica del grado di apprendimento degli studenti, sottoponendo loro una serie di esercizi di varia difficoltà. Ad esempio:
1. Uno studente universitario ha ottenuto ai primi sei esami i seguenti voti: 21, x, 27, 29, 30, 27.
a Sapendo che la media dei suoi voti è 27 trova quale voto ha ottenuto al secondo esame.
b Quale voto minimo deve ottenere al settimo esame affinché la media non scenda al
di sotto del 26?
2. Data la successione: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18.
a Calcola la media aritmetica della successione.
b Calcola la media aritmetica dei primi tre termini, quella dei tre termini centrali e quella degli ultimi tre termini.
c Calcola la media aritmetica dei tre valori ottenuti dalle tre medie precedenti.
d Confronta il risultato ottenuto al punto a) con quello ottenuto al punto c). Sono uguali?
Parte IV
La lezione simulata
3. Lo stipendio medio mensile pagato a tutti gli impiegati di una società è di 2300 @. Gli stipendi medi mensili pagati agli impiegati che lavorano da più di 2 anni e ai nuovi assunti della società sono, rispettivamente, di 2400 @ e di 2100 @. Sapendo che gli impiegati
che lavorano da più di due anni sono 84, qual è il numero di nuovi assunti della società?
836
4. La direzione di un’azienda esegue una rilevazione sul numero di dipendenti in malattia
nei giorni dal lunedì al venerdì relativi a un gruppo di 5 settimane:
a Calcola la media delle assenze di ogni settimana e di quella totale delle cinque settimane.
b Calcola la media delle assenze e lo scarto quadratico medio dei giorni lunedì e venerdì insieme.
c Calcola la media delle assenze e lo scarto quadratico medio dei giorni martedì, mercoledì e giovedì insieme.
Prima settimana
Dipendenti malati
Seconda settimana
Dipendenti malati
Terza settimana
Dipendenti malati
Quarta settimana
Dipendenti malati
Quinta settimana
Dipendenti malati
Lunedì
Martedì
Mercoledì
Giovedì
Venerdì
Lunedì
Martedì
Mercoledì
Giovedì
Venerdì
Lunedì
Martedì
Mercoledì
Giovedì
Venerdì
Lunedì
Martedì
Mercoledì
Giovedì
Venerdì
Lunedì
Martedì
Mercoledì
Giovedì
Venerdì
81
73
90
75
98
89
64
35
68
74
55
37
57
42
69
59
58
65
71
49
86
77
91
62
67
5. In una classe di alunni, non molto bravi in matematica, la media dei voti del primo compito in classe è stata 3 con uno scarto quadratico medio di 0,25 voto. Il professore decide, per incoraggiare i ragazzi, di aumentare tutti i voti di due punti.
a Quale sarà la media dei nuovi voti?
b Se il professore decidesse di raddoppiare tutti i voti, quale sarebbe la media dei nuovi voti?
6. Una ditta fabbrica dischi metallici del diametro medio di 8 cm con uno scarto quadratico medio di 0,05 cm. Ipotizzando che le misure dei diametri abbiano distribuzione di
tipo gaussiano calcola:
a Entro quali limiti di diametro è contenuto il 99,73% della produzione.
b Entro quali limiti è contenuto 95,45% della produzione.
c Entro quali limiti è contenuto 68,27% della produzione.
7.La tabella seguente riporta la durata in ore di 200 apparecchiature meccaniche:
Durata
0-100 100-200 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700 700-800 800-900 > 900
Frequenza
?
48
30
18
10
5
4
3
2
0
• Trova il dato mancante.
• Calcola la durata media delle apparecchiature.
• Calcola lo scarto quadratico medio.
8.Uno studente ha superato tutti gli esami del corso di laurea triennale ottenendo i 60 crediti previsti per il primo anno. I voti nelle 10 materie previste nel piano di studio con i
rispettivi crediti sono riportati nella seguente tabella:
Voto
18
N. Crediti
4
20
5
27
9
30
24
3
24
6
3
25
9
28
5
30
21
9
7
Calcola la media aritmetica dei voti e lo scarto quadratico medio.
9.La seguente tabella registra i voti di 14 alunni riportati nelle materie di studio.
Italiano Storia Latino Matematica Fisica Chimica Scienze Filosofia Inglese Media
Giovanni
Elena
Antonia
Andrea
Lucia
Alessio
Giovanna
Maria
Enzo
Mara
Giorgio
Matteo
Sara
Alfonso
Media
9
6
8
8
9
10
6
8
8
7
7
8
8
10
6
10
6
6
8
8
8
10
7
10
9
8
8
9
5
3
6
6
5
6
3
6
4
5
5
6
5
6
5
5
4
7
7
5
6
7
4
6
7
5
4
5
7
8
6
8
6
7
5
6
5
6
6
8
7
8
2
4
5
4
2
5
3
5
2
4
5
2
5
2
9
8
7
9
9
9
9
7
6
7
6
9
8
6
3
3
4
5
3
6
4
5
4
4
3
5
3
3
4
5
5
3
4
3
4
3
4
4
3
5
4
4
Capitolo 4
Modello di lezione simulata di matematica
Suggerimento: Considera come estremo dell’ultima classe il valore 1000.
837
•
•
•
•
Inserisci nelle celle i dati mancanti.
Trova l’alunno che ha la media più alta e l’alunno che ha la media più bassa.
Trova la materia con i voti più bassi e quella con i voti più alti.
Trova la media generale della classe.
Se gli obiettivi non sono stati raggiunti:
1. Individuare il tipo di difficoltà incontrata e le possibili cause
2. Utilizzare metodi didattici differenti in funzione delle difficoltà incontrate
Adattamento didattico in caso di presenza di alunni con DSA (discalculia)
Parte IV
La lezione simulata
• Inquadramento del problema
838
Nella classe è presente un alunno con un Disturbo specifico di apprendimento (DSA) in
quanto affetto da discalculia.
La normativa fondamentale di riferimento è rappresentata dalla L. 170/2010 (Nuove norme in materia di disturbi specifici di apprendimento in ambito scolastico), dalle sue disposizioni attuative contenute nel D.M. 5669/2011, in particolare dalle Linee guida allegate,
e dalla Direttiva ministeriale del 27 dicembre 2012 (Strumenti d’intervento per alunni
con bisogni educativi speciali e organizzazione territoriale per l’inclusione scolastica), che
inquadra i DSA nell’ambito dei Bisogni educativi speciali (BES).
In base all’art. 1 della L. 170/2010, si intende per discalculia un disturbo specifico che si
manifesta con una difficoltà negli automatismi del calcolo e nell’elaborazione dei numeri.
• Adattamento didattico: misure compensative e dispensative
Coerentemente con il Piano didattico personalizzato (PDP), l’approccio didattico va calibrato in funzione delle specifiche esigenze dell’alunno con DSA, attraverso l’uso di strumenti compensativi e dispensativi che permettano di ridurgli il carico di lavoro. Ad esempio:
— all’alunno affetto da discalculia si può concedere la possibilità di utilizzare la calcolatrice anche per effettuare calcoli relativamente semplici;
— per l’attività di verifica è fondamentale sottoporre all’alunno affetto da discalculia test
personalizzati che consentano di valutarne l’apprendimento senza considerare, ad esempio, i tempi di risposta. È anche possibile ridurre il numero di item.
Al di là delle misure compensative e dispensative, è però fondamentale che il docente analizzi con grande attenzione gli errori di calcolo dell’alunno al fine di comprendere i processi cognitivi che sottendono all’errore stesso.
Parte
Capitolo
5
IV
La lezione simulata
Modello di lezione simulata
di fisica
L’energia
Destinatari: I biennio Licei scientifici
Supponiamo di rivolgerci ad una classe di 25 alunni, di cui uno appartenente all’area BES (in
particolare un alunno con un Disturbo specifico di apprendimento, DSA, in quanto dislessico).
1.
2.
3.
4.
Verifica dei prerequisiti e introduzione dell’argomento (½h)
Lezione frontale (1h)
Analisi di casi e discussione in classe (2h)
Riepilogo e verifica degli obiettivi (½h)
Obiettivi formativi
Conoscenze
Sapere che cos’è e come si misura l’energia e distinguere le diverse forme di energia.
Competenze/Abilità
Utilizzare in modo appropriato le formule relative al lavoro, all’energia e alla potenza.
Prerequisiti
Cosa si deve già sapere
• Il concetto di forza risultante
• Il Sistema Internazionale di Unità di Misura
Obiettivi specifici di apprendimento (OSA)
Cosa saprà l’alunno
•
•
•
•
•
Che cos’è l’energia
Come si misura l’energia
Quali sono le diverse forme di energia
Come viene prodotta e sfruttata l’energia
Quali sono le principali fonti energetiche rinnovabili
Cosa saprà fare l’alunno
• Misurare il lavoro
• Misurare l’energia
• Distinguere le diverse forme di energia
Capitolo 5
Modello di lezione simulata di fisica
Durata: 4 ore
839
Metodi
•
•
•
•
•
Lezione frontale
Studio di casi
Cooperative learning
Mappe concettuali
Didattica personalizzata x BES
•
•
•
•
Libro di testo
Lettura di articoli da giornali o da riviste specializzate
Lavagna tradizionale
LIM o laboratorio informatico
Sussidi didattici
Parte IV
La lezione simulata
I contenuti della lezione
840
• Introduzione ai concetti di lavoro, di potenza e di energia
• In che modo si misura l’energia
• Quali sono le diverse forme di energia (cinetica, potenziale, elastica, termica, chimica,
nucleare)
• Come si produce l’energia elettrica (la turbina e l’alternatore). Introduzione ai concetti
di differenza di potenziale e di tensione
• Come funzionano le centrali di produzione dell’energia: idroelettriche, termoelettriche,
a turbogas, nucleari
• Quali sono le forme di energia rinnovabile più utilizzate (idraulica, geotermica, solare,
eolica, gravitazionale, delle biomasse)
Le fasi della lezione
Fase introduttiva: verifica dei requisiti e introduzione dell’argomento (½h)
In questa fase il docente, dopo aver verificato la sussistenza dei prerequisiti necessari, introduce il concetto di energia ricorrendo ad alcuni esempi tratti dalla vita quotidiana e di
facile comprensione per tutti gli alunni.
Il concetto di energia è piuttosto «sfuggente», in quanto essa si manifesta nella nostra vita quotidiana nelle forme più diverse:
— il sole ci riscalda con la sua energia;
— di notte le luci dei lampioni si accendono grazie all’energia elettrica;
— le calcolatrici funzionano a pile o a energia solare;
— gli elettrodomestici funzionano grazie all’energia elettrica;
— le automobili si muovono grazie all’energia fornita dal carburante;
— noi stessi mangiamo per poter avere l’energia per affrontare la giornata.
Ma che cos’è allora questa energia di cui parliamo? Quali sono le caratteristiche che accomunano tutti i tipi di energia?
Prima di entrare nel vivo della lezione può essere utile proporre agli studenti le seguenti
mappe concettuali:
Energia
Cinetica
Potenziale
Elastica
Termica
Chimica
Nucleare
Centrali idroelettriche
Centrali termoelettriche
Centrali a turbogas
Centrali nucleari
Fonti energetiche
Energia
idraulica
Non rinnovabili
Combustibili
fossili
Materiale
radioattivo
Energia
geotermica
Energia
eolica
Rinnovabili
Energia
gravitazionale
Energia
solare
Biomasse
Nucleo della lezione: lezione frontale (1h)
In questa fase il docente espone i contenuti della lezione in modo coerente e sequenziale, ricorrendo a numerosi esempi concreti e favorendo il coinvolgimento degli alunni.
sviluppo della lezione
1. Che cos’è l’energia
È innanzitutto necessario definire un denominatore comune tra tutte le forme di energia esistenti. Questo
denominatore comune è il lavoro: l’energia è la capacità di un corpo o di un sistema di produrre lavoro.
Il lavoro, a sua volta, è il prodotto di una forza applicata per lo spostamento causato dalla forza.
Capitolo 5
Modello di lezione simulata di fisica
Centrali elettriche
841
Supponiamo di dover spostare una cassa da un punto A a un punto B:
Parte IV
La lezione simulata
Per spingere la cassa noi applichiamo una forza F:
842
Il lavoro che facciamo per spostare la cassa dal punto A al punto B è pari a:
L=F×s
dove con s si indica lo spostamento da A a B.
Siamo stati in grado di spostare la cassa dal punto A al punto B e quindi avevamo l’energia per spostare
la cassa. Questa energia viene trasferita alla cassa in quanto, a sua volta, può anch’essa produrre lavoro.
Se, ad esempio, andasse a impattare su un’altra cassa su una superficie priva di attrito, la sposterebbe.
Dunque: quando facciamo del lavoro su un oggetto esso acquista energia; quando un oggetto compie un lavoro esso perde energia.
L’energia quindi non è un’entità statica, ma dinamica, e si trasferisce da un corpo all’altro in diversi modi.
Un’altra grandezza utilizzata quando si parla di energia è la potenza, che è la quantità di lavoro che un
corpo, una macchina o un sistema produce nell’unità di tempo. Essa indica quindi la velocità con cui
viene fatto un lavoro.
2. Come si misura l’energia
Nel Sistema Internazionale l’energia si misura in Joule. 1 Joule è all’incirca l’energia necessaria per sollevare di 1 metro un corpo che pesa un ettogrammo.
I suoi multipli sono il Kilojoule (1KJ = 1.000 J) e il Megajoule (1MJ = 1.000.000 J).
La potenza si misura in Watt (simbolo W). 1 Watt è il lavoro compiuto da 1 Joule in 1 secondo. Spesso si utilizzano anche i Kilowatt, con simbolo KW (1 KW è il lavoro compiuto da 1.000 J in 1 secondo) e i Kilowattora, con simbolo KWh (1 KWh è il lavoro compiuto da 1 J in 1 ora e corrisponde a 3.600 KJ e a 3.600.000 J).
In alcuni casi per misurare l’energia si utilizza la Kilocaloria o il tep. La Kilocaloria rappresenta la quantità di energia necessaria per aumentare di 1 grado centigrado la temperatura di 1 litro d’acqua (1 Kilocaloria = 4.196 Joule).
Il tep (tonnellate equivalenti di petrolio) rappresenta il calore sviluppato bruciando 1 tonnellata di petrolio ( 1 tep = 42 miliardi di Joule).
L’energia posseduta da un corpo assume nomi diversi a seconda delle condizioni in cui il corpo si trova.
Ad esempio:
— se il corpo è in movimento possiede energia cinetica;
— se il corpo è situato ad una certa altezza possiede energia potenziale;
— se è compresso o allungato possiede energia elastica;
— se è riscaldato possiede energia termica;
— se subisce una reazione chimica possiede energia chimica.
L’energia cinetica è l’energia posseduta dai corpi in movimento. Un corpo che possiede energia cinetica
è in grado di produrre lavoro, ad esempio è in grado di spostare un altro oggetto.
L’energia potenziale è l’energia posseduta da un corpo per il semplice fatto di trovarsi ad una certa altezza dal suolo. Un corpo, per trovarsi ad una certa altezza, deve essere stato sollevato dal suolo. Ciò vuol
dire che, ad esempio, una persona ha compiuto del lavoro per sollevare il corpo e quest’ultimo ha acquistato l’energia che la persona ha speso per sollevarlo. Questa energia rimane immagazzinata nel corpo fino
a quando non viene fatto cadere. È quindi un’energia che il corpo possiede «in potenza» ed è in attesa di
essere utilizzata: ecco perché si chiama «energia potenziale». Cadendo, il corpo:
— aumenta la sua velocità e quindi la sua energia cinetica;
— diminuisce la sua altezza dal suolo e quindi la sua energia potenziale;
— può compiere del lavoro.
Veniamo ora all’energia elastica. Supponiamo di comprimere una molla di un tratto XA:
Capitolo 5
Modello di lezione simulata di fisica
3. Le diverse forme di energia
843
Per comprimere la molla abbiamo dovuto esercitare una forza su di essa, facendole immagazzinare energia. Ha dunque un’energia potenziale detta energia potenziale elastica pari a:
E = kXA
dove k è una costante, detta costante elastica della molla e dipende esclusivamente dalla molla utilizzata. Se rilasciamo la molla essa tenderà a tornare nella propria posizione di equilibrio acquistando velocità (quindi energia cinetica) e diminuendo la propria energia potenziale.
Veniamo all’energia termica. L’energia totale di un corpo in assenza di attrito si conserva. Ma cosa succede
se un corpo si muove in presenza di attrito? Supponiamo di far rotolare una pallina su una pista concava.
Se la pista fosse priva di attrito la pallina continuerebbe ad oscillare
all’infinito, mentre in condizioni normali essa dopo un po’ si ferma. Ciò
non vuol dire che l’energia non si è conservata; infatti, se misurassimo
la temperatura della pista, noteremmo che questa si è riscaldata. In questo caso l’energia della pallina si è trasformata in calore. Ancora, se
facessimo schiantare un’automobilina radiocomandata contro un muro
essa si fermerebbe, ma se andassimo a misurare la temperatura al punto
di impatto prima e dopo lo scontro vedremmo che essa è aumentata. In
questo caso l’energia cinetica della macchinina si è trasformata in calore
e quindi possiamo considerare quest’ultimo come un’altra forma di energia: l’energia termica. Quando si riscalda un corpo, gli si fornisce energia e il corpo aumenta la sua temperatura; quando si raffredda un corpo,
gli si sottrae energia termica e il corpo diminuisce la sua temperatura.
L’energia chimica è la capacità che alcune sostanze hanno di combinarsi con altre, sviluppando energia
sotto forma di luce, calore ed elettricità. Ad esempio, durante la combustione si sviluppa energia chimica.
La combustione è infatti una reazione chimica tra una sostanza detta combustibile e l’ossigeno dell’aria.
Durante la combustione viene emessa energia sotto forma di calore e di luce. Anche all’interno del nostro
corpo viene prodotta energia chimica: infatti, l’energia degli alimenti di cui ci nutriamo viene trasformata
dal nostro metabolismo nell’energia chimica necessaria a far funzionare i nostri muscoli.
Parte IV
La lezione simulata
Esaminiamo infine l’energia nucleare. Le reazioni che avvengono all’interno dell’atomo permettono di ottenere grandi quantità di energia. Queste reazioni possono essere di 2 tipi:
844
— fissione nucleare, in cui il nucleo atomico di un elemento pesante si suddivide in due parti ottenendo degli elementi più leggeri;
— fusione nucleare, in cui due atomi leggeri si uniscono per formare un atomo più pesante.
4. L’energia elettrica
Per poter produrre energia elettrica dobbiamo avere a disposizione una turbina collegata ad un alternatore.
Le turbine sono macchine che, quando vengono messe in rotazione, trasferiscono la loro energia di movimento all’alternatore. Quest’ultimo, a sua volta, trasforma l’energia meccanica di rotazione in energia elettrica. Possiamo infatti immaginare l’alternatore come una spira che ruota in un campo magnetico: mentre
la spira ruota si genera al suo interno una corrente elettrica; in questo modo l’energia meccanica dell’alternatore viene trasformata in energia elettrica.
Ma ovviamente non basta avere una turbina collegata ad un alternatore per generare energia elettrica: bisogna anche trovare il modo di far ruotare questo sistema. Ad esempio è possibile utilizzare l’energia idraulica o il vapore. Le turbine idrauliche vengono utilizzate nelle centrali idroelettriche. Di seguito è riportato lo schema di un sistema turbina-alternatore mosso dall’energia idraulica (turbina Kaplan):
Abbiamo visto come sia possibile generare energia elettrica. Si pone ora il problema di come «trasportare» questa energia per renderla fruibile agli utilizzatori finali.
Per capire questo concetto possiamo fare un’analogia con un fiume: la corrente di un fiume, per potersi
spostare, deve passare da un punto ad altezza maggiore (quindi con un’energia potenziale maggiore) a un
punto ad altezza minore (e cioè con un’energia potenziale minore).
Analogamente, la corrente elettrica, per poter fluire all’interno di un conduttore deve passare da un punto a potenziale maggiore verso uno a potenziale minore.
In entrambi i casi, per avere un passaggio di corrente tra due punti, tra di essi ci deve essere una certa
differenza di potenziale che, in termini elettrici, si chiama tensione.
Mentre l’alternatore ruota nel campo magnetico si verifica che:
— al suo interno scorre una corrente I;
— fra i suoi estremi si genera una tensione V.
Il prodotto fra la tensione V e la corrente I definisce la potenza (P) della centrale:
Capitolo 5
Modello di lezione simulata di fisica
P=V×I
La tensione che si genera ai capi di un alternatore è di circa 15.000 volt. Mediante un trasformatore elevatore, cioè un dispositivo che fa aumentare il livello di tensione, essa viene elevata fino a 380.000 volt
e dal trasformatore viene portata tramite cavi elettrici ed elettrodotti al punto di partenza della centrale. Dalla centrale partono le linee di trasporto (gli elettrodotti) che giungono alle stazioni di smistamento delle città dopo aver percorso anche centinaia di chilometri.
845
Gli elettrodotti sono costituiti da grandi tralicci che hanno il compito di sostenere i cavi in cui scorre la
corrente e di mantenerli a una distanza di circa 10 metri da terra. I cavi sono sorretti da particolari piatti di vetro o porcellana (detti isolatori) che hanno la funzione di isolare elettricamente i cavi dalla struttura metallica del traliccio.
Dalle stazioni di smistamento la tensione elettrica viene abbassata mediante dei trasformatori riduttori
(dispositivi che servono a ridurre la tensione) fino a 15.000 volt e poi la corrente è trasportata tramite altri elettrodotti alle cabine di distribuzione dove la tensione viene ulteriormente ridotta fino ad arrivare a
380 e 220 volt per essere utilizzata rispettivamente nelle fabbriche e nelle case.
5. Le centrali idroelettriche
La centrale idroelettrica è un colossale dispositivo che trasforma l’energia potenziale posseduta da una
massa d’acqua, in virtù della sua posizione, in energia elettrica.
Lo schema di funzionamento della centrale idroelettrica può essere così riassunto:
Parte IV
La lezione simulata
1) una diga intercetta un corso d’acqua naturale o artificiale convogliando l’acqua in un bacino dove viene mantenuta a livello costante;
2) tramite delle condotte l’acqua arriva alla centrale idroelettrica;
3) la centrale è un edificio diviso in due livelli. Al piano inferiore ci sono le turbine e al piano superiore c’è la sala degli alternatori. Il getto d’acqua investe le pale della turbina la quale inizia a ruotare
con forza, trascinando nel movimento l’alternatore ad essa collegato. In questo modo si genera energia elettrica.
846
6. Le centrali termoelettriche
Una centrale termoelettrica utilizza il vapore derivato dalla combustione del carbone e di alcuni derivati
del petrolio per produrre energia elettrica. Essa è costituita da una caldaia con un bruciatore, da una turbina a vapore e da un alternatore:
1)
2)
3)
4)
5)
il combustibile viene fatto bruciare nel bruciatore;
il calore ottenuto viene trasferito all’acqua contenuta nella caldaia;
l’acqua della caldaia, surriscaldandosi per l’elevata temperatura, si trasforma in vapore acqueo;
questo vapore mette in funzione la turbina producendo energia meccanica;
l’energia meccanica viene trasformata dall’alternatore in energia elettrica;
7. Le centrali a turbogas
Le centrali a turbogas sono costituite da un compressore, una camera di combustione, una turbina, un alternatore:
1) l’aria dell’atmosfera viene aspirata nel compressore e compressa per essere inviata alla camera di combustione;
2) in questa camera viene fatto bruciare del combustibile fossile, e dalla combustione si genera una miscela di gas che aziona le pale di una turbina;
3) l’energia meccanica della turbina viene trasformata in energia elettrica dall’alternatore.
Capitolo 5
Modello di lezione simulata di fisica
6) il vapore, dopo essere stato utilizzato, viene inviato a un condensatore che lo ritrasforma in acqua che,
attraverso una pompa, viene nuovamente immessa nella caldaia per essere riutilizzata.
847
8. Le centrali nucleari
Una centrale nucleare sfrutta l’energia termica della fissione degli atomi
per produrre vapore con il quale azionare la turbina a vapore.
Una centrale nucleare è formata da:
Parte IV
La lezione simulata
•
•
•
•
•
848
un reattore in cui avviene la fissione;
uno scambiatore di calore;
una turbina a vapore;
un alternatore;
un condensatore.
La fissione, cioè la rottura degli atomi del combustibile (in genere uranio-235) è generata da neutroni che
colpiscono il nucleo. Ogni rottura del nucleo produce calore e altri neutroni, i quali a loro volta colpiscono altri nuclei innescando una “reazione a catena”.
Affinché questa reazione a catena prosegua senza intoppi sono necessarie alcune condizioni:
• occorre che un’enorme quantità di nuclei si fissino contemporaneamente;
• occorre innescare la reazione a catena che deve mantenere la combustione per produrre energia con
continuità;
• occorre poter controllare la reazione nucleare.
Perché ciò avvenga, la struttura di un reattore nucleare, nel quale avviene la reazione nucleare, deve avere:
• un fornello, detto nocciolo, in cui sviluppare la reazione a catena;
• un liquido moderatore che rallenti i neutroni emessi durante la reazione. Infatti se i neutroni sono
troppo veloci la probabilità che colpiscano i nuclei atomici provocandone la fissione sarebbe troppo
bassa (ciò fu scoperto da Fermi nel 1934);
• un sistema di controllo della reazione, costituito da un insieme di “barre di controllo” di cadmio o
boro, le quali servono ad assorbire i neutroni rallentando o facendo spegnere la reazione;
• un efficientissimo sistema di estrazione di calore dal nocciolo e di raffreddamento. Il processo di fissione richiede costantemente un flusso refrigerante per controllare il calore emesso dalla reazione e
consente di trasformare il calore in vapore acqueo che servirà a far muovere la turbina meccanica per
produrre energia elettrica;
• una schermatura per assorbire le radiazioni prodotte dal processo di fissione.
Capitolo 5
Modello di lezione simulata di fisica
L’interno del nocciolo è mostrato nella figura seguente.
849
Come si può vedere dall’immagine, nel nocciolo si trovano centinaia di barre di combustibile (uranio arricchito) alternate con barre moderatrici (berillio o grafite, ma spesso il moderatore è l’acqua) e di controllo le quali possono scorrere verticalmente per assorbire più o meno neutroni controllando così la reazione.
In questo nocciolo avviene la reazione nucleare a catena controllata.
Parte IV
La lezione simulata
Vediamo ora come il nocciolo del reattore è collegato al resto della centrale.
850
Dal nocciolo esce del vapore acqueo ad alte temperatura e pressione e in E entra nello scambiatore (o caldaia), nel quale cede gran parte della sua energia termica all’acqua ivi presente.
L’acqua presente in caldaia diventa a sua voltavapore ad alte pressioni e temperature ed è canalizzata verso turbine gigantesche collegate ad enormi alternatori.
In questo modo l’energia termica prodotta durante il processo di fissione viene trasformata in energia elettrica.
Il vapore che ha fatto girare le turbine, una volta fuoriuscito da queste, si dirige verso un sistema di condensazione nel quale viene raffreddato per essere inviato nuovamente nello scambiatore o caldaia.
9. Le fonti rinnovabili
Le fonti di energia possono essere esauribili o rinnovabili.
Le risorse esauribili sono quelle che si esauriscono con il passare del tempo senza rinnovarsi in tempo
utile. Esse vengono estratte dalla Terra e, benché presenti in quantità enormi, sono destinate ad esaurirsi in tempi più o meno brevi. Di questo gruppo fanno parte i combustibili fossili (carbone, petrolio, gas
naturale) e il materiale radioattivo (uranio).
Le risorse rinnovabili o inesauribili sono così chiamate perché derivano in modo diretto o indiretto da
fonti inesauribili di energia (come il Sole) o da fenomeni che si verificano costantemente (come il vento
o le maree). Queste fonti sono anche dette alternative o integrative, in quanto possono rappresentare una
fonte di energia alternativa praticamente gratuita, ma per gli alti costi di trasformazione e i rendimenti
piuttosto bassi devono essere integrate con le risorse energetiche esauribili tradizionali.
I tipi di energia rinnovabile attualmente più utilizzati sono 6:
l’energia idraulica derivante dall’acqua;
l’energia geotermica derivante dal calore terrestre;
l’energia solare derivante dal sole;
l’energia eolica derivante dal vento;
l’energia gravitazionale derivante dalle maree;
l’energia delle biomasse.
Fin dai tempi antichi l’uomo ha capito che poteva sfruttare l’energia cinetica dell’acqua per azionare le
macchine. Il motore più antico che si conosca, e che utilizza proprio la forza dell’acqua, è la ruota idraulica, inventata attorno al III secolo a.C. dai Greci e utilizzata fino al XIX secolo.
Questo tipo di mulino era ad asse verticale: l’acqua colpiva l’albero verticale che a sua volta faceva ruotare la macina mobile sulla sua sommità.
La ruota idraulica venne usata per moltissimi secoli, tuttavia all’inizio del 1800 le macchine che si basavano su questo principio erano diventate ormai insufficienti per colmare la richiesta di energia.
Fu così che nacque la turbina, molto più veloce.
Le prime turbine idrauliche vennero utilizzate per azionare i macchinari delle fabbriche in Europa e negli
Stati Uniti e subirono continui perfezionamenti durante tutto il XIX secolo.
La grande richiesta di energia elettrica che si verificò sempre nel XIX secolo spinse gli ingegneri a studiare la possibilità di utilizzare le turbine per produrre energia elettrica. Nacquero così i primi turboalternatori, grazie ai quali si poteva generare energia elettrica dall’energia idrica.
A partire dal 1973, anno della crisi energetica arabo-israeliana, sonostate avviate delle ricerche per riuscire a sfruttare l’energia del mare e, in particolare, l’energia delle onde e delle maree.
La forza delle onde deriva in modo indiretto dall’energia solare, la quale genera i venti e quindi il moto
ondoso. Uno schema per comprendere la possibilità di sfruttamento delle onde per generare energia può
essere visto nella figura eguente.
Capitolo 5
Modello di lezione simulata di fisica
•
•
•
•
•
•
851
Le maree sono invece dei movimenti periodici della superficie del mare, la quale passa da un livello più
alto (alta marea) a uno più basso (bassa marea). Il fenomeno delle maree è dovuto al fatto che l’acqua del
mare risente dell’attrazione che i corpi celesti esercitano sulla Terra.
Fin dall’antichità si è cercato di sfruttare l’energia delle maree con la costruzione di «mulini di mare».
L’acqua veniva racchiusa durante il flusso in un piccolo bacino che veniva poi chiuso con una paratia. Al
momento del deflusso l’acqua veniva convogliata attraverso un canale verso una ruota che faceva muovere una macina.
Parte IV
La lezione simulata
Attualmente, la più importante centrale che sfrutta il fenomeno delle maree si trova in Francia. Il suo schema di funzionamento è riportato nella figura seguente.
852
Veniamo ora all’energia geotermica.
Il termine “geotermia” deriva dal greco e significa letteralmente «calore della Terra».
L’energia geotermica è infatti generata dal flusso di calore che scorre attraverso le rocce dall’interno della Terra verso la superficie.
Sotto la crosta terrestre si possono trovare dei veri e propri sistemi geotermici, cioè delle zone in cui il
calore terrestre si è concentrato sotto varie forme. Ad esempio può essere una zona in cui sono presenti delle rocce molto calde, oppure dei bacini di vapore, di magma o di acqua bollente. Peccato che questi
sistemi geotermici si trovino quasi sempre a profondità troppo elevate per essere sfruttati industrialmente. Per una effettiva possibilità di estrazione e di utilizzazione pratica è quindi necessario individuare le
zone in cui il calore si è concentrato in spazi ristretti e a profondità economicamente accessibili. In questi casi si parla di «serbatoi geotermici» o di «giacimenti geotermici» e generalmente sono rappresentati da sistemi geotermici idrotermali.
Il Sole è la stella a noi più vicina e senza di essa la vita sul nostro pianeta non esisterebbe.
L’energia solare è infatti l’energia primaria da cui dipendono tutte le altre forme di energia: le piante utilizzano il sole per sopravvivere con la fotosintesi clorofilliana; gli animali mangiano le piante e poi l’uomo mangia sia le piante che gli animali per sopravvivere.
Dalla decomposizione delle piante derivano i combustibili che sono a loro volta fonte di energia, quindi i
combustibili che oggi utilizziamo hanno immagazzinato l’energia solare di milioni di anni fa.
Ma l’energia del Sole può anche essere sfruttata direttamente: più avanti parleremo dei pannelli solari e
dei pannelli fotovoltaici, che sfruttano il calore del sole per produrre energia.
L’uomo ha imparato molto presto a sfruttare l’energia del vento per navigare, poi per far muovere le pale dei
mulini a vento e, ai giorni nostri, per far muovere le pale degli aerogeneratori (dei quali si parlerà più avanti).
La differenza fra queste tre applicazioni è sostanziale:
• nella navigazione l’energia del vento viene utilizzata direttamente grazie alla spinta che essa imprime
alle vele;
• nei mulini l’energia del vento viene invece trasformata in energia meccanica;
• negli aerogeneratori l’energia del vento viene trasformata in energia elettrica.
L’energia eolica è una forma di energia non facile da sfruttare. Il vento ha di solito una bassa potenza e
un’intensità irregolare, può essere del tutto assente o può variare di direzione da un momento all’altro.
Quindi non può essere utilizzata in quelle lavorazioni che devono avere un andamento continuo e non intermittente.
Con il profilarsi della crisi energetica comunque l’interesse per questa energia pulita e rinnovabile ha avuto un notevole risveglio.
Possiamo classificare come biomassa una grande quantità di materiale di natura estremamente eterogenea.
Le più importanti tipologie di biomassa sono i residui forestali, gli scarti dell’industria di trasformazione
del legno (trucioli, segatura ecc.), gli scarti delle aziende zootecniche e i rifiuti solidi urbani.
I principali vantaggi delle biomasse sono: abbondanza, facilità di estrazione energetica, economicità. Ancora, le biomasse non contribuiscono all’effetto serra, né alla produzione di piogge acide, in quanto hanno basso tenore di zolfo. Sono rinnovabili e alla fine del loro ciclo possono essere ancora riutilizzate come
fertilizzante.
All’avanguardia, nello sfruttamento delle biomasse come fonte energetica, sono i Paesi del centro-nord Europa, che hanno installato grossi impianti di riscaldamento alimentati a biomasse.
Nel quadro europeo dell’utilizzo energetico delle biomasse, l’Italia si pone in una condizione di scarso sviluppo, nonostante l’elevato potenziale di cui dispone.
La biomassa rappresenta la più consistente tra le forme di energia rinnovabile; peccato che presenti una
notevole difficoltà di impiego in quanto, a seconda dei materiali da cui si vuole ottenere energia, molto
diversi sono sia le tecnologie da usare sia i prodotti ottenuti.
•
•
•
•
il biogas;
l’etanolo;
il metanolo;
il biodiesel.
Analisi di casi (2h)
Gli alunni, suddivisi in piccoli gruppi di lavoro (cooperative learning), dopo aver letto e analizzato criticamente il seguente brano, avvalendosi del laboratorio informatico sono chiamati
dal docente a svolgere una breve ricerca sulle fonti di energia rinnovabile esistenti in Italia.
Chernobyl: il disastro del 26 aprile 1986
La centrale nucleare di Chernobyl era costituita da quattro reattori moderati a grafite e refrigerati ad acqua. La caratteristica principale del reattore era di possedere una grande instabilità a bassa potenza. In pratica ad alte potenze le reazioni a catena erano più controllabili, mentre a basse potenze il reattore diventava molto più instabile e le reazioni a catena diventavano difficilmente controllabili.
Il giorno del disastro nel reattore si stavano facendo delle prove tecniche per valutare il comportamento del sistema di sicurezza in condizioni critiche. Si erano esclusi i sistemi di raffreddamento di emergenza del nocciolo e di spegnimento automatico e si era portato il reattore a funzionare ad una potenza molto inferiore di quella abituale (200 Mw rispetto al
limite di 700 Mw) creando una situazione di forte instabilità.
All’1.23 del 26 aprile il reattore sviluppò in 4 secondi una potenza termica pari a 100 volte il valore nominale. La temperatura all’interno del reattore si alzò quindi notevolmente e
l’acqua di raffreddamento iniziò a bollire e a reagire con la grafite.
Ciò causò una tremenda esplosione che distrusse il nocciolo del reattore e scoperchiò l’edificio di contenimento. La grafite si incendiò generando un’enorme nuvola di fumo che fece
sollevare in aria tonnellate di materiale radioattivo il quale, spinto dalle correnti d’aria, venne trasportato in tutta Europa. Il 15% ricadde sulla centrale, il 50% nella cosiddetta “Zona
Rossa” che si estende per circa 3.000 km2 in un raggio di circa 50 km dalla centrale.
In quest’area ci sono delle zone in cui il livello di radioattività è 100 volte maggiore di quello di guardia. In Italia le conseguenze dell’esplosione furono fortunatamente trascurabili. La
dose di radioattività assorbita dagli italiani è stata pari a quella dovuta a un’ecografia, ma in
concentrazione molto minore, essendo stata diluita in una settimana di tempo.
Capitolo 5
Modello di lezione simulata di fisica
I prodotti più conosciuti che si possono ottenere dalle biomasse sono:
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Verifica (½h)
In questa fase il docente procede ad un riepilogo dei contenuti della lezione e alla verifica
del raggiungimento degli obiettivi, attraverso la somministrazione di test di verifica.
Indica con una X se le seguenti affermazioni sono vere o false:
1) L’unità di misura della potenza è il Newton
2) Nella fissione nucleare il nucleo di un elemento pesante si suddivide ottenendo
elementi più leggeri
3) L’energia potenziale dipende dalla velocità del corpo
4) L’energia totale di un corpo in assenza di attrito si conserva
5) La costante elastica della molla è di 1,5
6) L’unità di misura dell’energia è il Joule
7) L’energia geotermica è generata dal calore che scorre attraverso le rocce all’in
terno della Terra
8) I combustibili fossili sono fonti energetiche inesauribili
9) Il vento è una fonte energetica
10) Gli alternatori trasformano la loro energia meccanica di rotazione in energia
elettrica
Parte IV
La lezione simulata
Rispondi brevemente alle seguenti domande:
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V F
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
V F
V F
V F
V F
1) Quali dispositivi deve possedere una centrale per produrre energia elettrica?
2) Descrivi il funzionamento di una centrale termoelettrica
3) Quali sono le fonti energetiche esauribili o non rinnovabili?
4) Quali sono le fonti energetiche rinnovabili?
5) Cosa sono le biomasse?
6) Cosa è l’energia?
7) Cosa è il lavoro?
8) Cosa si intende per energia potenziale di un corpo?
9) Come si misurano energia e potenza?
10) Che relazione c’è tra l’energia termica e la temperatura di un corpo?
Se gli obiettivi non sono stati raggiunti:
1. Individuare il tipo di difficoltà incontrata e le possibili cause
2. Utilizzare metodi didattici differenti in funzione delle difficoltà incontrate
Adattamento didattico in caso di presenza di alunni con DSA (dislessia)
• Inquadramento del problema
Nella classe è presente un alunno con un Disturbo specifico di apprendimento (DSA) in
quanto dislessico.
La normativa fondamentale di riferimento è rappresentata dalla L. 170/2010 (Nuove norme in materia di disturbi specifici di apprendimento in ambito scolastico), dalle sue disposizioni attuative contenute nel D.M. 5669/2011, in particolare dalla Linee guida allegate,
e dalla Direttiva ministeriale del 27 dicembre 2012 (Strumenti d’intervento per alunni
con bisogni educativi speciali e organizzazione territoriale per l’inclusione scolastica), che
inquadra i DSA nell’ambito dei Bisogni educativi speciali (BES).
In base all’art. 1 della L. 170/2010, si intende per dislessia un disturbo specifico che si manifesta con una difficoltà nell’imparare a leggere, in particolare nelle decifrazione dei segni
linguistici, ovvero nella correttezza e nella rapidità della lettura.
Coerentemente con il Piano didattico personalizzato (PDP), l’approccio didattico va personalizzato in funzione delle specifiche esigenze dell’alunno con DSA, attraverso l’uso di strumenti compensativi (registratore, sintesi vocale dei contenuti del libro, utilizzo del PC e di
mappe concettuali) e dispensativi. Ad esempio:
— all’alunno dislessico si può concedere la possibilità di registrare la lezione, trasformando la lettura in ascolto;
— la lettura del brano può essere effettuata ad alta voce da un altro alunno, dispensando
da tale onere l’alunno dislessico;
— per l’attività di verifica è opportuno concedere all’alunno dislessico un tempo maggiore
(il 30% in più), per consentirgli di rileggere i test e le domande, le quali potranno anche
essere riformulate in forma semplificata, pur mantenendo lo stesso contenuto. È anche
possibile ridurre il numero di item.
Capitolo 5
Modello di lezione simulata di fisica
• Adattamento didattico: misure compensative e dispensative
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