Introduzione al corso di Elettrotecnica

Introduzione all’Elettrotecnica
e
RETI IN REGIME STAZIONARIO
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai
Tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici
A. A. 2001/ 2002 e 2002/2003
Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
(ultimo aggiornamento 03/10/2008)
Introduzione al corso di Elettrotecnica
Temi principali dell’elettrotecnica
Teoria dei campi
Teoria dei circuiti
Approccio circuitale
Equazioni di Maxwell
Proprietà generali dei circuiti e dei componenti
Reti in regime stazionario
Generalità sulle correnti elettriche: principio di conservazione della carica.
Corrente elettrica nel mezzo.
Elementi di rete: n-poli, bi-poli e caratteristica.
Bipoli: inerte, passivo, attivo, lineare, non-lineare
Bipoli fondamentali: resistore. Legge di Joule.
Resistività e conducibilità: variazione della resistività con la temperatura.
Legge di Ohm
Bipolo corto circuito
Bipolo circuito aperto
Condensatore e induttore
Generatori ideali indipendenti di tensione e di corrente
Assurdi fisici: bipolo su base corrente, bipolo su base tensione
Generatori collegati in serie e in parallelo
Generatori dipendenti di tensione e di corrente
Convenzione di segno dei bipoli
Generatore reali indipendenti di tensione
Generatore reali indipendenti di corrente
Generatore reale di tensione: caratteristica di funzionamento e punto di
funzionamento, rendimento, condizioni di massimo trasferimento di potenza.
Circuiti con correnti deboli e circuiti con correnti forti
Esempi di circuiti con correnti deboli
Esempi di circuiti con correnti forti
pag. 2
pag. 5
pag. 6
pag. 10
pag. 13
pag. 21
pag.
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41
45
46
46
Teoremi
Nozioni topologiche del grafo associato ad una rete elettrica
Principi di Kirchhhoff
Principio di sovrapposizione degli effetti
Bipoli equivalenti
Resistenza equivalente a più resistori collegati in serie e in parallelo
Partitore di tensione e di corrente
Resistori collegati a stella e a triangolo
Teorema di Thevenin
Teorema di Norton
Dualità delle reti lineari
Teorema di Millmann
Metodi delle correnti di maglia
Metodi dei potenziali di nodo
pag.
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45
48
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67
68
72
75
Doppi bipoli
Doppi bipoli
Matrice resistenza descrittiva del doppio bipolo: R
Matrice conduttanza descrittiva del doppio bipolo: G
Matrice di trasmissione descrittiva del doppio bipolo: T
pag.
pag.
pag.
pag.
79
80
85
90
pag. 1
pag. 4
pag. 10
pag. 12
pag. 15
pag. 17
pag. 21
pag. 25
pag. 26
pag. 27
pag. 28
pag. 29
pag. 32
pag. 33
pag. 36
pag. 39
pag. 40
1
Matrice di trasmissione inversa descrittiva del doppio bipolo: T-1
Potenza assorbita da un doppio bipolo resistivo
Rete bi-porta attiva
pag. 91
pag. 92
pag. 94
2
Introduzione al corso di
ELETTROTECNICA
per i Corsi di Laurea
Ingegneria Meccanica, Chimica e Biomedica
L’Elettrotecnica studia le applicazioni tecniche
inerenti la produzione, la distribuzione e l'utilizzazione
dell'energia elettrica. Il campo di studio dell’elettricità è
molto vasto e si enormemente dilatato negli anni.
Le discipline e i campi di applicazione fondamentali
dell’ingegneria elettrica ed elettronica sono:
• Analisi di reti
• Campi elettromagnetici
• Fisica dei semiconduttori
• Elettrodinamica o studio delle Macchine Elettriche
• Sistemi elettrici per l’energia
• Elettronica analogica
• Elettronica digitale
• Informatica
• Comunicazione elettriche
• Elettro-ottica
• Misure elettriche
• Automatica
3
Lo studio della elettrotecnica e in generale dei sistemi
elettrici é condotto attraverso modelli complessi applicando
la teoria dei campi i cui temi principali sono:
Elettrostatica: campi dovuti a cariche fisse e costanti nel
tempo.
Campi di corrente: campi dovuti a cariche in movimento.
Campi magnetici: campi dovuti alle
magnetiche della materia ed ai campi indotti.
proprietà
Elettromagnetismo: fenomeni dovuti alle interazioni tra
campo di corrente e campo magnetico
Elettrodinamica: studio
macchine elettriche.
del
funzionamento
delle
Le applicazioni particolari sono innumerevoli:
illuminotecnica,
elettroterapia,
elettroacustica,
elettronica (circuiti con correnti deboli di bassa
potenza), etc. etc.
4
La teoria elettromagnetica è indispensabile per
comprendere i principi degli:
•Atom smashers or particle accelerators (subatomic
particles),
•Oscilloscopi a raggi catodici,
•Radar,
•Comunicazione satellitare,
•Ricezione televisiva,
•Telerilevamento,
•Radio astronomia,
•Dispositivi a microonde,
•Comunicazione con fibre ottiche,
•Transitori nelle linee di trasmissione,
•Problemi di compatibilità elettromagnetica,
•Sistemi di atterraggio strumentale per la guida del pilota in
casi di visibilità limitata,
•Conversione della energia elettromeccanica e così via.
In certe condizioni, i campi elettromagnetici tempo
dipendenti, producono onde che si irradiano dalla sorgente,
consentendo un trasferimento di energia dalla regione di
spazio in cui si verifica la variazione iniziale di un campo
elettrico o magnetico.
La variazione originaria di uno dei due campi che si
riproducono vicendevolmente, si estende così a tutto lo
spazio.
I concetti di campi e onde sono essenziali nella spiegazione
di azioni a distanza.
5
La teoria dei campi utilizza:
• parametri distribuiti: dp definibili per ogni elemento
infinitesimo della struttura fisica in esame e
• grandezze puntuali o locali: G=(x,y,z,t) che, nella
regione spaziale nella quale sono definite, variano da
punto a punto ( coordinate x,y,z) e in ciascun punto
variano nel tempo t.
Si ricorda che, considerata una regione spaziale di
volume V, una grandezza definibile in questo volume è una
grandezza di campo se può essere definita in ogni punto
del volume V in funzione della sua posizione (x,y,z) e del
tempo t.
Un’analisi puntuale per lo studio dell'elettrotecnica
presuppone l'impostazione di problemi in termini di
grandezza di campo.
Tale teoria porta alla definizione di sistemi di
equazioni integro-differenziali, di non facile risoluzione per
strutture semplici con proprietà di simmetria e talvolta non
risolvibili analiticamente per strutture di forma qualsiasi.
6
Oggi, grazie alla divulgazione dei computer potenti, in
grado di eseguire calcoli con una grossa mole di dati, si
possono utilizzare i metodi numerici:
¾ metodo agli elementi finiti e
¾ metodo alle differenze finite,
che forniscono soluzioni approssimate accettabili con
notevole risparmio di tempo.
Molti sistemi elettrici possono essere risolti mediante la
teoria dei circuiti o teoria circuitale utilizzando:
• parametri concentrati
• grandezze globali e
La teoria circuitale, che presenta molti campi di
applicazione, porta alla definizione dei sistemi di equazioni
risolutive di tipo algebrico, più semplici da risolvere.
Questo metodo consente di ottenere risultati con
approssimazioni accettabili, se la dimensione maggiore
dell'elemento fisico Dmax in studio, è molto più piccola
della lunghezza d'onda λ corrispondente alla frequenza
massima di funzionamento delle grandezze elettriche in
studio:
Dmax < λ
con
λ = v/f = v * T
v velocità di propagazione dell' onda nel mezzo in studio
f frequenza
T periodo
7
In particolare nel caso del regime sinusoidale si
definisce lunghezza d’onda, la distanza che intercorre
lungo una linea tra due massimi successivi della tensione
o della corrente, in relazione alla frequenza. Si
comprende come le onde si trasmettano con lunghezza
d’onda diverse al variare della frequenza del segnale
trasmesso. Alle alte frequenze corrispondono piccole
lunghezze d’onda e viceversa.
La validità dello studio dei circuiti nell'ipotesi di variabili
concentrate è legata al tempo impiegato dal campo
elettromagnetico per spostarsi da un punto all'altro della
regione d’interesse.
Tale tempo deve essere trascurabile se confrontato con
l'entità delle variazioni temporali delle grandezze elettriche
in studio.
Sulla base di queste considerazioni il concetto di circuito
rappresenta una versione restrittiva o un caso particolare del
concetto di elettromagnetismo.
In generale si può affermare che la teoria circuitale tratta i
sistemi a parametri concentrati e la teoria elettromagnetica
tratta i sistemi a parametri distribuiti.
8
Se fmax è la frequenza massima si definisce il tempo
minimo di variazione della grandezza elettrica:
1
t min =
2 f max
che rappresenta il tempo minimo di variazione della
grandezza elettrica.
L
Indicato con t ≤
il tempo impiegato dal campo
c
elettromagnetico per propagarsi da un punto all’altro del
circuito con:
L = dimensione massima della regione di interesse
c = velocità di propagazione nello spazio libero
c=
1
essendo
µo εo
dovrà essere

−7  H 
µ
=
4π
⋅
10
 o
 m 



F
εo = 8.856 ⋅ 10 − 12  

m 
t << t min
L
1
<<
c
2f max
⇒
e quindi:
2
L
f max << 1
c
9
Per esempio:
∆f
Riproduzione
sonora
Microonde
<20 kHz
1m
L
f max
c
1.3*10-4
>1 GHz
0.10 m
0.66
L
2
Nel primo caso l’ipotesi di “costanti concentrate” è
accettabile perché 1.3*10-4<<1, mentre nel secondo caso
non lo è, perché 0.66 è prossimo all’unità.
La metodologia circuitale è stata sviluppata anche per
circuiti che contengono un elevato numero di elementi
grazie alla larga diffusione di computer sempre più
efficienti e potenti.
I modelli semplificati utilizzano reti elettriche costituite
da un insieme di elementi idealizzati interconnessi fra loro.
Gli elementi ideali noti si ottengono attraverso
un’approssimazione delle proprietà degli oggetti reali.
Un’importante semplificazione consiste nel poter
considerare un elemento concentrato, ossia di dimensioni
fisiche trascurabili e non distribuito come lo è in realtà.
10
Quando questo non è verificato, occorre utilizzare il
concetto di elemento distribuito definendo le sue
caratteristiche per ogni tratto di lunghezza infinitesima dl.
Per studiare le complessità dei fenomeni naturali
dell’elettrotecnica si cerca di utilizzare procedimenti e
modelli che siano nello stesso tempo:
• sufficientemente generali
• semplici
• accurati.
Sulla base di queste finalità, si suddivide il problema
di interesse in subproblemi parziali, che vengono risolti
attraverso un approccio circuitale.
L'approccio circuitale prevede la riduzione della
struttura fisica ad una connessione di elementi idealizzati
di pochi tipi. In tale approccio sono presenti due nozioni
fondamentali:
• la connessione definita tramite un grafico (grafo)
• le relazioni costitutive degli elementi componenti.
11
L’approccio circuitale consente di definire modelli
matematici più semplici, utilizzabili anche in altri campi
della fisica, per determinare nozioni e proprietà attraverso
le analogie esistenti nei diversi sistemi fisici:
• sistema elettrico
• sistema termico
• sistema idraulico
• sistema meccanico.
L’applicazione della teoria circuitale a una struttura
fisica è valida solo se le relazioni differenziali esistenti
tra le grandezze fisiche possono essere sostituiti da
relazioni algebriche.
Quando tale sostituzione comporta approssimazioni
non accettabili, occorre ricorrere all'approccio alternativo
della teoria dei campi.
Tale necessità può riguardare tutte e tre le
dimensioni o una o due dimensioni soltanto e il tempo.
La generalità dell'approccio permette di modellare
anche strutture non fisiche, quali per esempio
l'elaborazione dei segnali, quando si utilizzano i circuiti
digitali.
Tale approccio è particolarmente utile per l'ingegnere
perché consente di riversare le esperienze maturate in un
ambito specifico della sua specializzazione anche in altri
contesti.
12
I circuiti sono costituiti da elementi a parametri
concentrati come le resistenze, le induttanze e le capacità e
le tensioni e le correnti sono le variabili principali del
sistema.
Nei circuiti in corrente continua (cc) le variabili del
sistema sono costanti e sono determinabili con equazioni
algebriche.
Nei circuiti in corrente alternata (ac) le variabili del
sistema sono tempo dipendenti: esse sono quantità scalari e
indipendenti dalle coordinate spaziali e le equazioni
risolutive sono equazioni differenziali ordinarie.
Nel caso di correnti alternate sinusoidali, la gran parte di
queste variabili sono definite utilizzando grandezze
vettoriali o più propriamente fasori. I vettori e la loro
trattazione richiedono la conoscenza dell’algebra e del
calcolo vettoriale.
La maggior parte delle variabili introdotte nella teoria
elettromagnetica sono funzioni del tempo e delle
coordinate spaziali e le equazioni risolutive sono
generalmente equazioni alle derivate parziali.
La finalità della teoria dell’elettromagnetismo consiste nel
saper creare e trattare un modello elettromagnetico e le
relative formule di risoluzione.
13
Equazioni di Maxwell
Le leggi fondamentali dell’elettromagnetismo sono espresse
dalle Equazioni di Maxwell, che descrivono
analiticamente come:
ogni variazione del campo elettrico (o magnetico) nello
spazio
presuppone
l’esistenza o la variazione nel tempo, di un campo
magnetico (o elettrico) nello stesso punto.
Le Equazioni di Maxwell, corredate dalle equazioni di
continuità e dalle relazioni costitutive consentono di
studiare e risolvere problemi inerenti i campi, di qualunque
natura essi siano.
La risoluzione analitica di tale modello matematico
presenta notevoli difficoltà per la complessità, entità dei
calcoli e difficoltà di risoluzione.
Attualmente si tende a risolvere tali problemi
con metodi numerici, mediante efficienti e accurati codici
di calcolo commerciali (Maxwell, Ansys, FEM e altri).
14
Il modello matematico per la risoluzione dei campi può
essere descritto mediante le seguenti
Equazioni di Maxwell
Forma differenziale vettoriale
Forma integrale vettoriale
Legge di Faraday
∇× E = −
δB
δt
∫
E ⋅dl = −
dΦ
dt
C
Legge di Ampere
∇× H = J +
δD
δt
∫
H ⋅dl = I +
C
∫
∂D
⋅ds
∂t
S
Legge di Gauss
∇⋅D = ρ
∫
D⋅ds = Q
S
∇⋅B = 0
∫
B⋅ds = 0
S
15
Le grandezze vettoriali basilari per lo studio dei campi
E
Campo elettrico
[V/m]
B
Induzione magnetica
[T] ≡[Wb/m2]
H
Campo magnetico
[A/m]
D
Spostamento elettrico
[C/m2]
J
Densità di corrente
[A/m2]
Tali grandezze sono grandezze puntuali ed esprimibili
vettorialmente.
16
Tali grandezze vettoriali sono inoltre legate tra loro dalle
seguenti equazioni costitutive del mezzo, determinate
dalle proprietà del mezzo della regione spaziale in cui si
manifestano i campi:
D=ε E
B = µH
J =γ E
ε
permettività
[F/m]
µ
permeabilità magnetica
[H/m]
γ
conducibilità elettrica
[S/m]
ρ
densità volumica
[C/m3]
17
I termini standard usati per descrivere la natura dei
materiali relativi a diverse caratteristiche fisiche sono:
mezzo omogeneo: se le caratteristiche non dipendono dalla
posizione;
mezzo anisotropo: se le caratteristiche non dipendono dalla
direzione dei vettori del campo (diversi cristalli, gas
ionizzati ferriti);
mezzo lineare: se le relazioni fra le grandezze fisiche sono
indipendenti dal loro valore e
mezzo con caratteristiche variabili nel tempo.
ε = εo εr è la permettività assoluta ossia la costante di
proporzionalità fra la densità di flusso elettrico D
e l’intensità del campo elettrico E nel vuoto:
E = εo D
con: εr permettività relativa e εo permettività nel vuoto.
µ= µo µr è la permeabilità magnetica assoluta ossia la
costante di proporzionalità fra la densità di flusso
magnetico B e l’intensità del campo magnetico H nel
vuoto:
1
H=
Bo
µo
con: µ r permeabilità relativa e µ 0 permeabilità nel
vuoto.
18
Nel modello elettromagnetico ci sono tre costanti
universali:
εo µo e c dove c è la velocità di propagazione delle onde
elettromagnetiche (compresa la luce):
1
c=
= 299.792.458 [m / s ] ≅ 3 × 10 8 [m / s ]
ε oµo
e i valori di εo e di µo sono:
• definiti dalla scelta del sistema di unità di misura e
• non sono indipendenti.
Nel Sistema Internazionale (SI):
µ o = 4π × 10 −7 [H / m ]
1
1
≅
× 10 − 9 [F / m ] ≅ 8.854 × 10 − 12 [F / m ]
εo =
c 2 µ o 36π
I postulati e le leggi sono basati su numerose osservazioni
sperimentali acquisite in condizioni controllate e
efficacemente sintetizzate.
Le grandezze del modello matematico possono essere
suddivise grossolanamente in due categorie:
•Le grandezze sorgenti ( cariche elettriche invariabili: fisse
o in movimento) e
•Le grandezze del campo generato dalle sorgenti.
La carica elettrica si indica con la lettera q o Q.
e = 1.60 × 10 − 19 [C]
Essa è una proprietà fondamentale della materia ed esiste
come multiplo positivo o negativo della carica elettrica
elementare di un elettrone –e
Il principio della conservazione della carica è un
postulato o legge fondamentale della fisica che stabilisce
19
che la carica elettrica è conservativa cioè, non può essere ne
creata ne distrutta.
Tale principio deve essere soddisfatto sempre e in
qualunque circostanza ed è rappresentato matematicamente
attraverso l’equazione di continuità:
∇⋅J = −
∂ρ 
A / m3

∂t 
che per correnti stazionarie, diventa:
∇ ⋅ J = 0.
Il primo principio di Kirchhoff della teoria circuitale
afferma la proprietà di conservazione della carica elettrica
ossia, non c’è accumulo di cariche in una connessione.
Si definisce densità di carica volumica ρ:
∆q
ρ = lim
∆v →0 ∆v
[C/m 3 ]
dove ∇q è la quantità di carica in un volume molto piccolo
∆v.
20
In alcune situazioni fisiche una quantità di carica ∆q può
essere identificata con un elemento di superficie s o di linea
l , in questi casi si definisce la densità di carica
superficiale ρs :
∆q
ρs = lim
∆s →0 ∆s
[C/m 2 ]
o la densità di carica lineare ρl :
∆q
ρl = lim
[C/m]
∆l
∆l →0
Le densità di carica definite variano generalmente da punto
a punto con le coordinate spaziali.
La corrente I è velocità della variazione della carica
rispetto al tempo, cioé:
I=
dq
dt
[C/s] o [A]
Si definisce densità di corrente J la quantità di corrente
che fluisce attraverso l’unità di superficie normale alla
direzione del flusso di corrente.
J è un vettore di ampiezza pari alla corrente per unità di
superficie [A/m2], la cui direzione e verso sono quelle del
flusso di corrente.
21
1.PROPRIETA’ GENERALI DEI
CIRCUITI E DEI COMPONENTI
Permanenza e invarianza nel tempo
Il componente o il circuito è permanente o invariante nel
tempo se l’effetto e(t) non dipende dall’istante di
applicazione della causa c(t), cioè é indipendente dalla
variabile tempo. Per cui
se
alla causa c(t) corrisponde l’effetto
e(t)
alla causa c(t-t0) corrisponde l’effetto
e(t-t0).
Linearità
Il componente o il circuito è lineare se l’effetto dovuto ad
una qualsiasi causa è proporzionale alla stessa.
L’effetto dovuto a più cause che agiscono
contemporaneamente, è esattamente la somma degli effetti
dovuti a ciascuna causa considerata come se agisse da sola.
Le equazioni costitutive sono lineari, ossia sono valide le
relazioni:
se alla causa c1(t) corrisponde l’effetto
alla causa c2(t) corrisponde l’effetto
e1(t) e
e2(t)
allora alla somma delle cause corrisponde la somma degli
effetti:
c(t)= c1(t) + c2(t)
e(t)= e1(t) + e2(t).
22
Causalità
In qualsiasi istante t0, l’effetto dipende solo dai valori della
causa per t ≤ t0.
L’effetto è nullo per t ≤ t0 se è nulla la causa per t ≤ t0.
Ossia l’effetto è nullo per t precedente all’istante t0 nel
quale si inizia a studiare il fenomeno, ossia all’istante di
applicazione della causa.
23