E0311 - ESERCIZI DI MECCANICA

Esercizi di meccanica
1) Valentino Rossi percorre un giro lanciato completo di un circuito da 4,8 km in 1’20
Al primo intermedio, posto 1,5 km dal traguardo, il tempo segnava 0’25”
Al secondo intermedio, posto a 3 km dal traguardo, il tempo segnava 1’00”
Determinare la velocità media del giro
Determinare la velocità media dei tre intermedi
Descrivere graficamente le leggi orarie di velocità ed accelerazione medie trovate.
Descrizione esercizio:
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Riportare i km in metri ed il tempo in secondi.
Ricavare la velocità media sul giro.
Gli intermedi sono relativi al traguardo: usare s-so per rendere tempi e spazi relativi alle tratte
Ricavare la velocità media delle singole tratte
Tracciare un sistema di riferimento a 2 assi, cartesiano; sull’asse delle Y riportare il valore 4800 m (lunghezza
di 1 giro del circuito), mentre sull’asse delle X riportare il valore 1’20” ovvero il tempo in cui Rossi fa il giro.
Considerare che al tempo 0 Rossi è al km 0, e che torna al traguardo, cioè il terzo intermedio, al tempo 1’20”
Una legge oraria di un moto a velocità costante è una retta che unisce S/T iniziale con S/T finale.
Sul medesimo grafico riportare i valori di distanza dei due intermedi alle Y ed i valori cronometrati alle
ascisse; ogni tratta ha una legge propria
Il grafico delle accelerazioni vede sempre il tempo alle X, ma stavolta alle ordinate bisogna mettere le velocità.
All’istante 0 Rossi è già lanciato, per cui non parte da velocità nulla.
Riportare le velocità trovate e considerare le relazioni grafiche che le legano ai tempi di rilevazione.
Notare come disporre di maggiori intervalli di cronometraggio significhi descrivere meglio il fenomeno.
2) Ipotizzare che un gran premio sia un fenomeno approssimabile ad un moto periodico circolare
uniforme, dove il periodo T = 1’20” e che 2 π r = 4,8 km.
Calcolare la velocità angolare, la velocità scalare e l’accelerazione centripeta di Valentino Rossi in
tale moto idealizzato.
Descrizione esercizio:
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Intanto dobbiamo cercare il raggio di questa circonferenza da 4800 metri. Ricordarsi che Circ.= 2π r.
La velocità angolare è il rapporto 2 π / T, ovvero circonferenza di raggio unitario diviso il tempo di 1 giro.
Moltiplicando la pulsazione per il raggio determinato in precedenza, si ottiene la velocità, che sembra quasi
coerente con le rilevazioni individuate col moto rettilineo.
Mediamente, tra curve a sinistra o a destra, la moto di Rossi sarà spesso sollecitata da accelerazione centripeta
(la curva è un cambio di traiettoria); l’accelerazione centripeta è idealizzata e riporta un solo valore, anch’esso
non di troppo più grande delle reali accelerazioni centripete di una moto da corsa in curva.
3) Enunciare il principio di inerzia, 1° della dinamica:
4) Cosa si intende per sistema di riferimento inerziale
5) Enunciare il secondo principio della dinamica
6) Enunciare il terzo principio (senza dimostrazione)
7) Sapendo che sulla bilancia terrestre il vostro peso fosse 98 kg, che l’accelerazione di gravità
terrestre è 9.8 m/s2, e che sulla Luna è 1,6 m/s2, determinare il vostro peso sulla luna e nello spazio
(in assenza di attrazioni notevoli).
1) Esprimere la quantità 300 cm3 in m3 ed in micron3.
2) Un aereo percorre Roma – New York (6600 km) in 6 ore; un altro in 8 ore.
Determinare la velocità in m/s e tracciare il grafico della legge oraria dei due aerei.
3) L’aereo più veloce parte 2 ore dopo l’altro. Tracciare il grafico della legge oraria dei due aerei.
4) Un aereo deve raggiungere i 360 km/h per decollare e compie la manovra in 10 secondi.
Determinare l’accelerazione riportata strettamente in m/s2, tracciare il grafico della legge oraria.
Determinare la lunghezza della pista di rollaggio.
5) Determinare la velocità della terra e l’accelerazione centripeta sapendo solo che la luce del sole
impiega 8’ 13” ad arrivare fino a noi.
6) Determinare graficamente la risultante dei tre vettori proposti.
7) Dimostrare graficamente che il sistema di forze proposto è in equilibrio.
8) Determinare modulo, direzione e verso della risultante che annulla il sistema di forze agente su
un corpo che scivola senza attrito su un piano inclinato a 45°.
1) Esprimere la quantità 300 cm3 in m3 ed in micron3
Riscrivere il testo dell’esercizio. Valutare ad esempio che 1 metro contiene 100 centimetri, quindi 1m = 1 x 10 2 cm.
Valutare che 1 m2 = 1 x 10 2 x 10 2 = 1 x 10 4 cm2 , 10'000 cm2.
Inversamente, 1 cm è 0,01 metri, quindi 1 cm = 1 x 10 - 2 m; ed 1 cm2 = 1 x 10 - 4 m2, 0,0001 m2.
Si ricorda che nel sistema internazionale, le misure hanno nomi caratteristici, dati da suffissi come giga- , mega-, o
nano-, micro- , pico- .
2) Un aereo percorre Roma – New York (6600 km) in 6 ore; un altro in 8 ore.
Determinare la velocità in m/s e tracciare il grafico della legge oraria dei due aerei.
La curiosità è intanto sapere quanto va veloce un aeroplano di linea transoceanico, anche in km/h.
Il testo del problema contiene già tutto: conosco lo spazio e conosco il tempo.
Ma la velocità in km/h non è unità di misura del sistema internazionale: i chilometri vanno riportati in metri ed il tempo
in secondi. Per chiarezza: 1 anno contiene 365 giorni, 1 giorno 24 ore, 1 ora 60 primi o minuti, 1 primo 60 secondi,
1 secondo viene diviso in decimi, centesimi, millesimi …. di secondi .
Per sapere quanti minuti contiene un anno, sono 365 giorni x 24 ore x 60 minuti primi = 525600 = 52,56 x 10 4 minuti.
Scrivere sempre i valori nei due modi.
Il grafico di una legge oraria è essenzialmente un sistema di due assi cartesiani aventi il tempo alle x e lo spazio alle y.
Ogni funzione in tale grafico descrive la velocità di un punto materiale, e quindi anche di un aeroplano.
Segnare delle tacchette sulle x, dargli valori 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. dopo scrivere “ore”. (tempo)
Segnare sulle y i valori 0, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000 e 6600, in alto scrivere Km, (spazio)
Il primo aeroplano parte da 0 km e 0 secondi ed arriva a 6600 alla sesta ora. L’altro all’ottava.
La legge oraria di un punto materiale in movimento di moto uniforme rettilineo è una retta che congiunge la partenza
con l’arrivo. Le leggi di due velocità diverse sono due rette diverse.
3) L’aereo più veloce parte 2 ore dopo l’altro. Tracciare il grafico della legge oraria dei due aerei.
Assumere i valori del precedente esercizio. Tracciare il grafico come detto sopra.
Segnare delle tacchette sulle x, dargli valori 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. dopo scrivere “ore”. (tempo)
Segnare sulle y i valori 0, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000 e 6600, in alto scrivere Km, (spazio)
Il primo aeroplano parte da 0 km e 0 ore ed arriva a New York dopo 8 ore.
Il secondo parte sempre da 0 km, ma dopo due ore, e ce ne mette 6 per arrivare a New York.
Il primo segue una relazione v = s / t , il secondo v = s / (t – t0).
Arrivano allo stesso punto alla stessa ora in t = 8 ore, ma non hanno la stessa velocità.
4) Un aereo deve raggiungere i 360 km/h per staccarsi da terra, compie la manovra di decollo in 10 secondi.
Determinare tale accelerazione riportata strettamente in m/s 2, tacciare il grafico della legge oraria.
Determinare la lunghezza della pista di rollaggio.
Normalmente, si parla di accelerazione in termini “da zero a cento in tot secondi”. Anche in fisica ciò ha significato, pur
restando un dato temporale: quanti secondi. L’accelerazione è la variazione di velocità nel tempo: a = Δv/Δt.
La domanda quindi non sarà in quanti secondi accelera, ma quanto accelera al secondo.
Riportare la velocità da Km/h in m/s, unità di misura peraltro congrua con la durata del fenomeno.
All’istante 0 l’aereo è fermo ed all’istante 10 decolla, dopo aver aumentato la velocità ogni secondo di una quantità
fissa detta accelerazione (stiamo approssimando ad un moto uniformemente accelerato).
Nel grafico abbiamo sempre il tempo in secondi alle x, ma ora sulle ordinate abbiamo la velocità.
Tracciare sulle x i valori 1,2,3,4 fino a 10, ed indicare l’unità di misura del tempo.
Tracciare sulle y i valori 10, 20, 30, 40 fino a 100, ed indicare l’unità di misura della velocità.
Il moto è uniformemente accelerato quindi la legge oraria è lineare. Nella realtà non è costante ma progressiva.
La pista di rollaggio è in effetti lo spazio necessario al decollo. Informazioni sullo spostamento sono contenute nel
valore della velocità: quella fornita dal problema è la velocità di picco, cui si arriva alla fine della pista, mentre
all’inizio l’aereo era fermo. Si opera quindi una media tra v0 e vfinale, ed una volta nota una velocità ed il tempo della
corsa, si determina chiaramente lo spazio percorso.
Esiste tuttavia la formula per estrarre lo spazio direttamente dall’accelerazione, non è difficile ricavarla, tenendo
presente che v è un Δv, ed osservando v = s/t ; a = v/t. tale passaggio è richiesto.
5) Determinare la velocità della terra e l’accelerazione centripeta sapendo solo
che la luce del sole impiega 8’ 13” ad arrivare fino a noi.
Chiaramente si tratta di un fenomeno approssimabile al moto circolare uniforme.
Tutti sanno che la terra ci mette un anno a fare un giro completo, quindi un periodo di 365 giorni. Riportarlo in ore.
Sappiamo anche che la velocità della luce è 300'000 km/s, impiega 8 minuti e 13 secondi, quantità di tempo, otteniamo
lo spazio percorso, che poi è la distanza del sole dalla terra, il raggio della circonferenza che cercavo.
Calcolare separatamente la velocità angolare ω e la velocità scalare della terra secondo le formule.
Per l’accelerazione centripeta, già dimostrata in classe per la luna, si ricorda la teoria: dove c’è variazione di velocità o
di traiettoria nel moto c’è sempre accelerazione.
Nel caso del moto circolare dovuto ad un vettore v ed un raggio r, si era considerato un moto ideale sempre circolare,
avente per raggio il vettore v e dovuto alla presenza di una forza, appunto, un’accelerazione centripeta ac . Imponendo
lo stesso periodo diventava rilevante il rapporto tra i raggi e le forze dei due moti, tale che ac/v = v/r , da cui è
possibile ricavare la formula per il valore di ac.
Basta immettere come raggio r la distanza dal sole in km, e la velocità sempre in km/h. (solo stavolta.)
6) Determinare graficamente la risultante dei tre vettori proposti.
Tracciare tre vettori in modo analogo a quanto in figura.
Si possono comporre a due a due usando la regola del parallelogramma,
ricordando che è lecito spostare un vettore lungo la sua direzione.
È anche possibile concatenare i vettori uno dopo l’altro senza mutare
l’inclinazione, la risultante è la distanza tra il primo punto di applicazione e l’ultima
freccia indicante il verso.
7) Dimostrare graficamente che il sistema di forze proposto è in equilibrio.
Riproporre con precisione questa figura: operando il parallelogramma su 2 vettori,
verificare che il terzo ha stessa direzione, stesso modulo e verso opposto della
risultante.
Usando la concatenazione, si nota che le forze si “inseguono” formando una ben
precisa poligonale.
8) Determinare modulo, direzione e verso della risultante che annulla il sistema di forze agente su un corpo
che scivola senza attrito su un piano inclinato a 45°.
Riscrivere il testo e disegnare uno schema riportante il piano inclinato a 45°. Il
corpo si schematizza con un quadratino, ad esso è applicata una forza F nel suo
baricentro, che rappresenta la forza di gravità, con direzione verticale e verso
orientato verso il basso.
Questa forza è scomponibile: a noi interessa la componente parallela al piano di
scivolo, ed ovviamente, per costruire il parallelogramma, la sua perpendicolare.
Chiameremo queste componenti F1 ed F2; indicare il valore rispetto a F.
Si ricorda che i lati di un quadrato sono uguali, e che la diagonale è in relazione
con il lato D = L √ 2 ; a noi si presenta il problema inverso: avendo la
diagonale (e la formula), si deve ricavare il lato (scomponendo).
Intuitivamente, per frenare il corpo la risultante R che annulla tutto alla quiete
è opposta ad una delle due componenti, ma il lavoro è considerato sufficiente
se dimostrato ottenendo separatamente una poligonale chiusa, traslando
rigidamente i vettori e concatenandoli, in analogia con l’esercizio 7.
I valori vanno espressi in funzione di F, ma chi si vuol divertire, supponga che il corpo abbia peso unitario, e consideri
che F = Fg = 9.81.