Formulazione finita dell`elettromagnetismo

Formulazione finita
dell’elettromagnetismo
Enzo TONTI
1
14 maggio 2000
1 Author’s
address: Dipartimento di Ingegneria Civile, Università di Trieste, Piazzale
Europa 1, 34127 Trieste, Italia. E-mail: [email protected]
2
0.1
Prefazione
Questa dispensa è stata scritta elaborando del materiale solo in parte già pubblicato
dallo scrivente.
Essa intende costituire un riferimento al ciclo di lezioni dal titolo “Formulazione
finita dell’elettromagnetismo partendo dai fatti sperimentali” che si terrà presso l’Università di Udine nei giorni 13 e 14 giugno 2000. Il lettore tenga conto che questa
dispensa copre solo una parte del corso: la parte rimanente è in corso di redazione.
Lo scrivente deve l’invito a tenere questo ciclo al prof. Andrea Stella che ha
mostrato interesse per il punto di vista qui esposto. Lo scrivente spera di non aver
deluso l’aspettativa del collega e desidera qui esprimergli riconoscenza per la splendida
occasione che gli ha fornito di presentare un punto di vista nuovo ai dottorandi e ai
ricercatori che lavorano e continueranno a lavorare in questo campo.
La dispensa è stata redatta in un paio di mesi e quindi soffre di frammentarietà,
contiene ripetizioni e forse anche qualche errore. Il lettore tenga conto che lo scrivente
non ha mai avuto occasione di fare un corso sul tema trattato in quanto “condannato”
da circa quaranta anni ad insegnare la meccanica razionale anche se si occupa di fisica
matematica.
Nel mentre lo scrivente chiede venia di questo, si augura fortemente che coloro
che la leggeranno vorranno indicargli queste deficienze in vista della possibilità di
trasformare la dispensa in un libro. A costoro va, fin d’ora, il grazie più sincero.
Buona lettura.
Indice
0.1
0.2
Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
7
1 Introduzione
1.1 Definizione operativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Le sorgenti del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
12
13
2 Elettrostatica
2.1 La carica Q: sorgente del campo elettrico . . . .
2.2 La prima legge dell’elettrostatica . . . . . . . .
2.2.1 Induzione elettrostatica . . . . . . . . . .
~ . . . . . . . . . .
2.2.2 Il vettore induzione D
2.2.3 La misura di Ψ . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Il teorema di Gauss . . . . . . . . . . . .
2.3 La seconda legge dell’elettrostatica . . . . . . .
~ . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Il vettore E
2.3.2 La tensione elettrica U . . . . . . . . . .
2.3.3 La misura della tensione in un dielettrico
2.4 Equazione costitutiva D−E . . . . . . . . . . .
2.5 Equazione costitutiva U −I . . . . . . . . . . . .
2.6 La legge di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . .
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40
3 Magnetostatica
3.1 La corrente I: sorgente del campo magnetico.
3.2 La prima legge della magnetostatica . . . . . .
~ . . . . .
3.2.1 Il vettore campo magnetico H
3.2.2 La tensione magnetica Um . . . . . . .
~ . . . . . . . . .
3.2.3 La natura assiale di H
3.2.4 Misura della tensione magnetica . . . .
3.2.5 La prima legge . . . . . . . . . . . . .
3.2.6 Il potenziale scalare magnetico Vm . . .
3.3 La seconda legge della magnetostatica . . . . .
3
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4
INDICE
~
3.3.1 Il vettore induzione magnetica B
3.3.2 La nascita del flusso magnetico Φ
~ . . . . . .
3.3.3 La natura assiale di B
L’equazione costitutiva B −H . . . . . .
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89
91
7 Analisi delle equazioni fisiche
7.1 Equazioni di struttura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Legge di conservazione della carica. . . . . . . . . . . . . . . .
97
97
99
3.4
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4 Elettro-magnetismo
4.1 La relazione di Faraday-Neumann . . . . .
4.1.1 L’impulso di tensione elettrica U ♠
4.1.2 La misura del flusso magnetico Φ ♠
4.2 La relazione di Maxwell-Ampère . . . . . .
4.2.1 L’impulso di tensione magnetica Um
4.2.2 La corrente di spostamento Ψ̇ ♠ . .
5 I complessi di celle
5.1 Il ruolo dei complessi di celle . . . . . .
5.2 Complessi simpliciali . . . . . . . . . .
5.2.1 Triangolazione di Delaunay . .
5.2.2 Circocentro. . . . . . . . . . . .
5.2.3 Triangolazione generica . . . . .
5.3 Complesso duale . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Complessi di Delaunay-Voronoi
5.4 Orientazione degli elementi geometrici
5.4.1 Orientazione interna . . . . . .
5.4.2 Orientazione esterna . . . . . .
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♠
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6 Analisi delle grandezze fisiche
6.1 Classificazione delle grandezze . . . . . . . . . . . .
6.2 I parametri fisici . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Le variabili fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Variabili di configurazione. . . . . . . . . . .
6.3.2 Variabili di sorgente. . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Variabili energetiche. . . . . . . . . . . . . .
6.4 Variabili globali nello spazio . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 La proprietà addittiva . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Le densità di linea, di superficie e di volume
6.5 Associazione agli elementi spaziali . . . . . . . . . .
6.5.1 Associazione agli elementi temporali . . . .
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INDICE
7.1.2 Legge d’induzione elettrostatica. . . . . . . .
7.1.3 Legge dell’induzione elettromagnetica. . . .
7.1.4 Legge di conservazione del flusso magnetico.
7.1.5 Legge di Maxwell-Ampère. . . . . . . . . . .
7.1.6 Invarianza delle grandezze . . . . . . . . . .
7.2 Equazioni costitutive . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Verso la formulazione differenziale . . . . . .
7.2.2 Campi uniformi . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Equazione fondamentale . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Il campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Le sorgenti del campo . . . . . . . . . . . .
7.3.3 I potenziali del campo . . . . . . . . . . . .
7.3.4 La legge del campo . . . . . . . . . . . . . .
7.3.5 Il problema fondamentale del campo . . . .
7.3.6 L’equazione fondamentale . . . . . . . . . .
7.3.7 Il principio di sovrapposizione degli effetti .
7.3.8 L’equazione fondamentale . . . . . . . . . .
7.3.9 Sorgente impressa e indotta . . . . . . . . .
7.3.10 Sovrapposizione degli effetti . . . . . . . . .
5
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101
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102
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106
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108
108
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109
109
110
112
112
113
114
8 Tavole riassuntive
117
8.0.11 Il diagramma dell’elettrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.0.12 Il diagramma della magnetostatica . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.0.13 Il diagramma dell’elettromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . 117
A Altre teorie fisiche
133
B Sulle definizioni operative
137
C Relazione con le forme differenziali
141
6
INDICE
140
personaggi dell'elettromagnetismo
120
Coulomb
Galvani
100
Volta
Ampère
80
Gauss
Ohm
60
Faraday
Neumann
Kelvin
40
Kirchhoff
Maxwell
20
Lorentz
Hertz
0
(personaggi.m)
-20
1700
1750
1800
1850
1900
1950
Figura 1: I principali personaggi dell’elettromagnetismo. Nel 1800 Volta costruı̀
la pila; nel 1819 Oersted scoprı̀ la deviazione dell’ago magnetico in prossimità di
un filo percorso da corrente; nel 1873 Maxwell pubblica il Treatise of Electricity
and Magnetism.
{personaggiElet}
0.2. NOTAZIONI
0.2
7
Notazioni
I punti, le linee, le superfici ed i volumi sono degli enti spaziali elementari che
ci servono per descrivere lo spazio: ad essi daremo il nome di elementi spaziali .
Analogamente gli istanti e gli intervalli sono gli enti temporali elementari che ci
servono per descrivere il tempo: ad essi daremo il nome di elementi temporali.
Questi sei elementi si potrebbero rappresentare con le seguenti lettere: P, L, S, V
I, T che sono le iniziali dei rispettivi nomi1 . Senonchè vi sono alcuni inconvenienti:
la lettera L indica spesso la lunghezza di una linea; la lettera S indica spesso l’area
di una superficie. Le cose stanno peggio per la lettera V . Infatti già il termine
“volume” indica due cose distinte: la regione di spazio e la sua estensione. Cosı̀
in architettura si parla spesso di “volumi” intendendo regioni di spazio mentre si
afferma che il “volume” di una stanza è di 30 m3 . Analogamente la lettera T indica
spesso la durata di un intervallo. Queste due ragioni suggeriscono di usare i simboli
in grassetto.
Ciascuno di questi enti spaziali e temporali può possedere due tipi di orientazioni,
quella “interna” e quella “esterna”, come spiegheremo nella sezione (6), e ciascun tipo
ha poi due determinazioni. Per distinguere l’orientazione interna da quella esterna
porremo un tilde sopra la lettera per indicare l’orientazione esterna. Useremo quindi
la seguente notazione:
elementi spaziali e temporali
punto
P
linea
L
superficie
S
volume (regione) V
istante
I
intervallo
T
P̃
L̃
S̃
Ṽ
Ĩ
T̃
loro estensione
lunghezza
L, L̃
area
S, S̃
volume (estensione) V, Ṽ
periodo o durata
T, T̃
Termini ricorrenti. Un materiale si dice:
• omogeneo se le sue proprietà fisiche non variano con il posto;
• isotropo se non variano con la direzione.
Un campo si dice:
• uniforme se le grandezze che lo descrivono sono invarianti per traslazione;
• costante se sono invarianti nel tempo.
1
Salvo T che però si concilia con la tradizionale notazione di un periodo.
8
INDICE
Il tasso di una grandezza è il rapporto tra la grandezza, che deve essere associata
ad un intervallo di tempo, e la durata dell’intervallo. L’impulso di una grandezza
è l’integrale dlla grandezza in un intervalo di tempo. Indicheremo l’impulso della
grandezza generica F con la notazione calligrafica F. In particolare:
V[T ] =
Z
V dt
T
U[T ] =
Z
U dt
T
Um [T̃ ] =
Z
T̃
Um dt
(1) {XZTE}
Considerazioni epistemologiche. Nessuno si sognerebbe di definire la tensione
elettrica come il prodotto della resistenza per la corrente: la legge di Ohm U = R I
esprime una legge costitutiva, è espressa da una equazione materiale in quanto
contiene un parametro materiale, la resistenza R, il cui valore deve essere determinato
attraverso misure. Nello stesso modo nessuno si sognerebbe di definire lo sforzo σ come
il prodotto del modulo di elasticità E per l’allungamento unitario ²: σ = E². Questa
è la legge costitutiva di Hooke, valida per molti materiali ma non per tutti.
~
Ebbene molti autori, troppi autori, definiscono il vettore induzione elettrica D
~
~
~
~
~
mediante la formula D = ² E ed il vettore B mediante la relazione B = µ H, anche
solo nel vuoto. Queste sono leggi costitutive, valide per particolari materiali, quelli
isotropi e lineari. Una legge non è una definizione! Una legge lega due grandezze che
sono state precedentemente definite mentre una definizione presenta una grandezza
in termini di altre che sono state precedentemente definite. Una definizione non può
contenere costanti materiali perché altrimenti già riassume un comportamento del
mezzo che necessita di misure in laboratorio.
La presentazione dell’elettromagnetismo, a differenza della meccanica dei solidi
deformabili e di quella dei fluidi, è ancora infarcita di simili impostazioni irrazionali.
È nostra intenzione dare un contributo a rendere semplice e logica la presentazione
dell’elettromagnetismo.
Simboli. Ci rifacciamo ai simboli della International Union of Pure and Applied
Physics (IUPAP), revisione del 1987, pubblicato sulla rivista Physica 1987 [CONTROLLARE ♣]. Ogni disaccordo nella nomenclatura e nei simboli usati in questa
dispensa deve ritenersi un errore del presente autore che sarà grato a coloro che glielo
segnaleranno.
Seguendo le raccomandazioni date nelle norme IUPAP l’aggettivo “specifico” per
designare una grandezza intensiva deve essere evitato il più possibile e deve in ogni
caso essere ristretto al senso “diviso per la massa”.
Unità di misura. Faremo riferimento esclusivamente al Sistema Internazionale
(SI).
Capitolo 1
Introduzione
Questa dispensa si rivolge a coloro che conoscono già l’elettromagnetismo.
Lo scopo che ci proponiamo è solo quello di presentare le grandezze e le equazioni
del campo elettromagnetico secondo un ordine molto pedagogico anche se poco usato,
mettendo in risalto alcune caratteristiche solitamente lasciate in penombra quando
non addirittura ignorate1 .
Vengono richiamati i fatti sperimentali che servono ad introdurre le principali
grandezze fisiche e le principali leggi del campo.
Un primo obiettivo è quello di definire in modo operativo le principali grandezze usate nell’elettromagnetismo dividendole nelle due grandi classi: le variabili di
“configurazione” e quelle di “sorgente”. Questa distinzione è indispensabile per una
formulazione finita dell’elettromagnetismo a partire dai fatti sperimentali.
Un secondo obiettivo è quello di distinguere le equazioni di “struttura” da quelle
“costitutive”, cosa che spesso viene omessa nella presentazione tradizionale.
Un terzo obiettivo è quello di mettere in evidenza che le grandezze “globali” sono
associate agli “elementi” spaziali e temporali.
La situazione attuale. Le leggi del campo elettromagnetico sono state descritte
da Maxwell mediante equazioni differenziali. Esse possono anche essere scritte
in forma integrale effettuando integrazioni su linee, superfici, volumi ed intervalli
di tempo. In tempi più recenti si è constatato che, sempre nell’ambito differenziale,
un linguaggio più naturale è quello delle forme differenziali esterne. Nel seguito
parleremo di formulazione differenziale per intendere sia la formulazione con equazioni
differenziali che quella con forme differenziali.
La risoluzione numerica delle equazioni dell’elettromagnetismo necessita di una
1
Questa presentazione prende lo spunto dalla scuola tedesca che fa capo al fisico sperimentale
Pohl ed al fisico teorico Mie [34], [35]. Si veda anche Sommerfeld [47, p.10].
9
10
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
formulazione finita. Questa è attualmente ottenuta mediante discretizzazione delle
equazioni differenziali.
È lecito porsi la domanda:
è possibile scrivere direttamente le leggi del campo elettromagnetico in
forma finita senza passare attraverso la formulazione differenziale?
Mostreremo che questo è possibile in modo molto semplice e nel contempo faremo
vedere come la formulazione finita metta in luce alcune caratteristiche delle grandezze
fisiche e delle equazioni che sono spesso trascurate e talvolta addirittura ignorate dalla
formulazione differenziale.
Le grandezze integrali dell’elettromagnetismo si possono ordinare secondo lo schema della tavola (I). Esse possono essere divise in due classi 2 .
{LL1}
Tavola I: Variabili integrali dell’elettromagnetismo.
configuration variables
(SI units: weber)
source variables
(SI units: coulomb)
Z Z
elec. charge prod. Qp =
gauge function χ
elec. potential imp. V =
T̃
Z Ṽ
Z
magnetic flux Φ =
S
elec. charge content Qc =
V dt
Z
T
electrokinetic momentum p =
elec. tension imp. U =
σ dV dt
Z
Z Z
L
T L
~ · dL
~
A
~ · dL
~ dt
E
~ · dS
~
B
Z Z
magn. charge flow Gf =
T ZS
elec. charge flow Qf =
Z
electric flux Ψ =
S̃
T̃ S̃
c
magn. charge content G =
g dV
Z U
Z
magn. charge prod. Gp =
~ dt
J~ · dS
~ · dS
~
D
magn. tens. imp. Um =
~k · dS
~ dt
ρ dV
Z Z Ṽ
Z Z
Z
(no known name) α =
L̃
T̃ L̃
~ · dL
~ dt
H
~
T~ · dL
magn. scalar pot. imp. Vm =
Z
T̃
Vm dt
τ dV dt (no known name) η
T V
La prima classe è formata da quelle variabili che descrivono la “configurazione”
del campo, quali il potenziale scalare e vettore nonché da quelle ad esse legate da
operazioni di prodotto o divisione per lunghezze, areee, volumi e durate. Queste
verranno chiamate variabili di configurazione e sono collocate sulla sinistra della
tavola.
2
Il termine electrokinetic momentum è usato da Maxwell [?, § 585 e § 590].
11
{ConfSourEner}
Tavola II: Una classificazione delle variabili dell’elettromagnetismo.
variabili di configurazione
funzione di gauge χ
potenziale elettrico V
impulso di potenziale elettrico V
tensione elettrica U
impulso di tensione elettrica U
~
vettore campo elettrico E
flusso magnetico Φ
~
induzione magnetica B
~
potenziale vettore magnetico A
momento elettrocinetico p
variabili di sorgente
flusso di carica elettrica
contenuto di carica elettrica
corrente elettrica
densità di corrente
flusso (di)elettrico
induzione elettrica
intensità del campo magnetico
tensione magnetica
impulso di tensione magnetica
potenziale scalare magnetico
polarizzazione dielettrica
vettore magnetizzazione
variabili energetiche
lavoro
calore
densità di energia elettrica
- densità di energia magnetica
vettore di Poynting
quantità moto elettrom.
densità di quantità di moto
azione elettrom
W
Q
ue
um ~
S
~
G
~g
A
Qf
Qc
I
J~
Ψ
~
D
~
H
Um
Um
Vm
P~
~
M
12
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
La seconda classe è formata da quelle variabili che descrivono le “sorgenti” del
campo, quali cariche e correnti, nonché da quelle ad esse legate da operazioni di
prodotto o divisione per lunghezze, areee, volumi e durate. Queste verranno chiamate
variabili di sorgente e sono collocate sulla destra della tavola.
Il prodotto di una variabile di sorgente per una di configurazione fornisce una
variabile energetica, quali la potenza, l’energia, l’azione, come mostra la tavola
(II). In particolare il prodotto di due grandezze integrali delle due classi fornisce una
azione.
Una fondamentale constatazione è che tutte le grandezze integrali di una stessa
classe hanno le stesse dimensioni fisiche e quindi per tutte esse si può usare la stessa unità di misura. Le variabili di configurazione hanno le dimensioni di un flusso
magnetico, quelle di sorgente hanno le dimensioni di una carica elettrica.
Si nota dalla tavola che nelle grandezze di sorgente gli elementi geometrici e quelli
cronometrici sono dotati di una tilde: questo indica che l’elemento geometrico o
cronometrico è dotato di orientazione esterna, come spiegheremo più avanti.
1.1
Definizione operativa
La tavola (I) mostra il legame tra le grandezze integrali e le funzioni di campo. In
questa sezione ci proponiamo di introdurre operativamente alcune grandezze integrali
senza costruirle a partire dalle funzioni di campo: per questa ragione useremo il
termine grandezze globali.
~ e B
~ vengono introdotti riferendosi
Nella presentazione tradizionale i vettori E
alla forza esercitata su una carica di prova in quiete ed in moto rispettivamente.
~
Successivamente per lo studio dei mezzi materiali vengono introdotti i due vettori D
~ Questo porta a pensare che nel vuoto l’introduzione dei vettori D
~ ed H
~ risulti
e H.
~ = E
~ ed
inutile. Al punto che alcuni autori davano come definizione nel vuoto D
3
~
~
~
~
H = B . Altri autori fanno invece una distinzione sostanziale tra i vettori E e B
~ eH
~ dall’altra4 .
da una parte e D
Come mostreremo in questo lavoro la formulazione discreta diretta dell’elettromagnetismo richiede come punto di partenza le grandezze globali, che sono scalari, non
i vettori di campo. Questo ci condurrà, nel passaggio alla formulazione differenziale,
~ B
~ da una
ad effettuare in modo naturale una distinzione sostanziale tra i vettori E,
~ H
~ dall’altra valida anche nel vuoto. 5
parte e D,
3
Abraham [?, p.♣]; Lorentz [?, p.♣] [?, p.92]
Fra essi Langevin [27]; Mie [34, p.] [35, p.]; Sommerfeld [47, p.9]; Van Dantzig [?]; Post [?].
5
Il fatto che, secondo l’elettrodinamica quantistica, il “vuoto” abbia una sua complessità (fotoni
virtuali, polarizzazione del vuoto) al punto da far ritenere che la prima coppia di vettori sia distinta
dalla seconda coppia e che su questo si fondino esperimenti in corso [67] indica che la identificazione
tra le due coppie di vettori nel vuoto è inopportuna e che la presentazione che svilupperemo è in
armonia con l’elettrodinamica quantistica.
4
1.2. LE SORGENTI DEL CAMPO
13
Una caratteristica della attuale presentazione è quello di effettuare una separazione netta tra le equazioni di “struttura”, che sono di validità globale e indipendenti
dalla metrica usata nello spazio, dalle equazioni “costitutive” che hanno, al contrario
delle precedenti, validità locale, che dipendono dalla metrica e dal mezzo materiale
includendovi come caso limite il vuoto6 .
1.2
Le sorgenti del campo
• La carica elettrica in quiete è la sorgente del campo elettrico;
• le cariche elettriche in moto stazionario (correnti costanti) sono le sorgenti del
campo magnetico;
• le cariche elettriche in moto non stazionario (correnti variabili) sono le sorgenti
del campo elettromagnetico.
La variazione di un campo magnetico, anche se lenta, produce un campo elettrico
(induzione elettromagnetica). In modo simmetrico la variazione di un campo elettrico
produce un campo magnetico il quale però è rilevabile solo se la variazione avviene a
frequenze dell’ordine delle radioonde (corrente di spostamento) ♣.
Questo consente di dividere lo studio dell’elettromagnetismo in stadi: ♣
• elettrostatica;
• magnetostatica;
• conduzione elettrica;
• campi lentamente variabili (tipico dell’elettrotecnica);
• campi rapidamente variabili (tipico della radiotecnica)
6
Questa separazione delle equazioni del campo elettromagnetico in due classi è stata effettuata
da Van Dantzig [?, p.]. Vedere anche [56, p.86].
14
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
Capitolo 2
Elettrostatica
2.1
La carica Q: sorgente del campo elettrico
La grandezza fondamentale dell’elettricità è la carica elettrica: essa è la sorgente del
campo elettrico. La carica elettrica si manifesta mediante l’attrazione e la repulsione
di corpi carichi. Essa è una grandezza addittiva. Di qui ne viene che il confronto tra
due cariche si può fare confrontando la forza che si esercita fra ciascuna carica ed una
carica campione. È questo il punto di partenza tradizionale.
Senonché è possibile misurare le cariche approfittando della loro attrazione e repulsione senza misurare direttamente la forza. È sufficiente un elettro-scopio ad ago
connesso ad un pozzo di Faraday provvisto di scala graduata. Disponendo di n cariche identiche, inserendole nel pozzetto di Faraday in successione e registrando le
successive deviazioni dell’ago sulla scala graduata si ottiene un elettro-metro. Con
esso è facile misurare la carica totale posseduta da un corpo.
Da un punto di vista spaziale1 si hanno due forme della carica: quella contenuta,
Qc e quella che fluisce, Qf . La carica contenuta è associata ad un volume dotato
di orientazione esterna (normali uscenti o entranti) e questo verrà indicato con la
notazione Qc [Ṽ]. La carica fluente, il cui tasso si chiama corrente, ha la proprietà
di suscitare un campo magnetico e quindi di far deviare un ago magnetico. Questo
consente di fare una misura dinamica della carica fluita Q f con un galvanometro balistico. Quest’ultimo misura il flusso di carica transitato lungo un filo in un assegnato
intervallo. Questo implica che il corpo sul quale si trovava la carica Q sia scaricato
e che la carica venga raccolta dallo strumento. Misurando la carica contenuta su un
1
Nella dinamica dei fluidi si utilizzano due punti di vista: quello materiale o Lagrangiano e
quello spaziale o Euleriano. Quando parliamo di carica posseduta da un corpo siamo nel punto di
vista materiale mentre quando facciamo riferimento ad una regione di spazio o volume di controllo
e consideriamo la carica contenuta nel volume e quella fluente attraverso il bordo del volume siamo
nel punto di vista spaziale.
15
16
CAPITOLO 2. ELETTROSTATICA
conduttore e quella che fluisce quando questo viene scaricato si constata che esse sono
uguali: questo fatto esprime la legge di conservazione della carica.
2.2
La prima legge dell’elettrostatica
La prima legge dell’elettrostatica coinvolge le seguenti variabili fisiche
• il flusso elettrico Ψ ;
~
• l’induzione elettrica D.
La prima legge. Faraday scoprı̀ che se una carica q è racchiusa entro un involucro
sferico metallico neutro, una carica uguale e dello stesso segno appariva sulla superficie
della sfera. Egli ha trovato che il campo esterno è simmetrico sia che la sfera fosse
concentrica con la carica esterna sia che non lo sia. Se la carica esterna è rimossa
+
+
+
-
-
-
+
+
+
-
-
-
+
+
+
+
-
-
-
+-
-
+
-
-
-
+
+
+
+
+
+
Figura 2.1: La carica indotta sulla superficie esterna di un involucro metallico è
{induzione}
uguale a quella contenuta (figura tratta da Schelkunoff [45, p.24])
mettendo momentaneamente a terra l’involucro sferico, una carica uguale e di segno
opposto a quella interna si raccoglie sull’involucro e può essere misurata [?, p.24].
La carica raccolta sulla superficie esterna dell’involucro metallico
• non dipende dal mezzo che contorna la carica;
• non dipende dalla forma dell’involucro metallico;
• non dipende dalla dimensione dell’involucro metallico.
Questa legge della induzione elettrostatica costituisce il punto di partenza sperimentale di quella che noi chiamiamo oggi legge di Gauss.
2.2. LA PRIMA LEGGE DELL’ELETTROSTATICA
17
Possiamo esprimere a parole il risultato di questa esperienza: la carica elettrica che
si raccoglie sulla superficie esterna di qualunque guscio metallico chiuso contenente
delle cariche elettriche è uguale alla carica totale contenuta.
2.2.1
Induzione elettrostatica
Flusso elettrico Ψ . Disponendo una superficie metallica di forma arbitraria, chiusa
o aperta, si raccolgono per induzione due cariche elettriche di segno opposto sulle due
facce della superficie. Fissata una faccia come positiva, la carica che si raccoglie su
essa si chiama flusso elettrico e si indica con la lettera Ψ . Avendo fissato una faccia
come positiva è come se avessimo fissato un senso di attraversamento della superficie
e quindi una orientazione esterna: per questo motivo indicheremo con S̃ la superficie
e con S̃ la sua area.
Se si dispone in un generico punto del campo elettrico un dischetto metallico
si determinano per induzione elettrostatica due cariche opposte +Ψ e −Ψ sulle sue
facce. Tali cariche dipendono dal punto in cui è posto il centro del dischetto, dalla sua
giacitura Fig.(2.3) e dalla sua area.
La carica Ψ (in coulomb) dipende dall’area ed è
Figura 2.2: ♣ Il flusso Ψ che si raccoglie sui due dischetti dipende dalla giacitura.
Fissata una faccia come positiva, il flusso elettrico è la carica che si raccoglie su di
essa.
-
- ++
+ Ψ
- - ++
+
~n0
Ψ
-- - -
~n
α
++
+ ++
~n0
{num}
~n
α
Ψ
- +
+ + +
~n0
Figura 2.3: La misura del flusso elettrico su un elemento di superficie dotato di
orientazione esterna. (Schelkunoff [45, p.25])
{dischetti}
ragionevole attendersi che, per piccole lamine la Ψ risulti sensibilmente proporzionale
all’area. Il rapporto
def Ψ
(C/m2 )
σ =
(2.1) {B10}
S̃
18
CAPITOLO 2. ELETTROSTATICA
prende il nome di densità media di carica superficiale. Nella formulazione differenziale
tutte le volte che formiamo una densità (lineare, areale, volumica) siamo portati a far
tendere a zero l’area e definire come densità il limite della densità media. In questo
caso
Ψ
def
σ = lim .
{B11}
(2.2)
S̃→0 S̃
Osservazione. Molte persone ritengono che una quantità “piccola” debba essere preceduta da un simbolo d o δ. Cosı̀ scrivono δW per indicare un piccolo lavoro, δS per indicare
una piccola area, δV per indicare un piccolo volume, ecc. Questo non è affatto necessario
e per giunta è sconveniente. Infatti la matematica, che è maestra di esattezza, non usa
affatto il simbolo δ per indicare una quantità piccola: un infinitesimo viene indicato con il
simbolo ² o η e non con δ² o δη. Ad esempio il primo principio della termodinamica che
molti scrivono nella forma
{HD5}
δQ + δW = dU
(2.3)
può benissimo essere scritto nella forma
{GD5}
q + w = dU
e nel finito
Q + W = ∆U
(2.4)
come fanno i libri migliori [?, p.40]. È sconveniente in quanto complica la leggibilità di un
libro.
2.2.2
~
Il vettore induzione D
Lo scopo della formazione di una densità è quello di liberarsi dall’estensione dell’ente
geometrico (linea, superficie o volume). Il ruolo di una densità è analogo a quello
della formazione del prezzo come rapporto costo/quantità: si ottiene un indicatore
indipendente dalla quantità e che svolge il ruolo di un fattore moltiplicativo.
Rimane ancora la dipendenza dalla giacitura: come liberarsene? Dal momento
che la giacitura è descritta dal versore ~n l’idea è di creare un vettore dipendente solo
dal posto tale che si possa effettuare la fattorizzazione
{B12}
σ(P, ~n) = ~v (P) · ~n.
(2.5)
Come farlo?
Innanzi tutto consideriamo che fra le infinite giaciture passanti per un punto ve
ne sarà una per la quale σ è massimo: σ0 . Poi si constata che, indicata con ~n0 la
normale per la quale questo si realizza, per ogni altra giacitura ~n vale la relazione
{B13}
σ(P, ~n) = σmax (P) cos(α) = σmax (P) (~n0 · ~n).
(2.6)
Ecco che la doppia dipendenza dal punto P e dalla normale ~n viene fattorizzata
nel prodotto di due quantità σmax (P) ~n0 ed ~n. È naturale allora introdurre un vettore
{B14}
~ def
D
= σmax (P) ~n0
(2.7)
2.2. LA PRIMA LEGGE DELL’ELETTROSTATICA
19
cui si dà il nome di vettore induzione elettrica. Questo vettore dipende solo dal posto.
Ora potremo scrivere la relazione (2.6) nella forma
{B15}
~
σ(P, ~n) = D(P)
· ~n.
(2.8)
È allora ovvio che il flusso elettrico che si forma sulla faccia positiva, scelta per
convenzione, si può esprimere nella forma
Z
Ψ [S̃] =
S̃
~
~
D(P)
· d S.
(2.9) {B16}
Questa relazione non deve essere presa come definizione del flusso bensı̀ come defi~ Perché? Perché il flusso Ψ si misura direttamente mentre
nizione del vettore D.
~
D si valuta come rapporto. È il flusso la grandezza globale associata alla superficie:
~
il vettore induzione elettrica D(P)
è solo una sorte di ”prezzo” vettoriale che ha il
pregio di non dipendere né dalla giacitura né dalla estensione dell’elemento piano di
~
superficie d S.
Il flusso elettrico è una grandezza associata alla superficie, è una funzione di
~
dominio mentre D(P)
è una funzione del punto. Per indicare che una grandezza è
funzione d’insieme si usano le parentesi quadre: Q[Ṽ], Ψ [S̃].
Ne viene che la legge dell’induzione elettrostatica di Faraday si può esprimere
dicendo che
Prima legge dell’elettrostatica: il flusso elettrico Ψ relativo al
bordo di un volume Ṽ è uguale alla carica elettrica Q contenuta nel volume
Ṽ.
Ricordando che il bordo di un volume, inteso come regione di spazio e non come
estensione della regione di spazio, si indica con ∂ Ṽ scriveremo la legge dell’induzione
elettrostatica di Faraday nella forma finita
Ψ [∂ Ṽ] = Q[Ṽ]
(2.10) {B19}
Le lamine metalliche e gli involucri di materiale conduttore hanno un ruolo fondamentale nella formazione delle nozioni del campo elettromagnetico in quanto, essendo conduttori, consentono la distribuzione delle cariche libere nelle diverse regioni
del conduttore. E questa distribuzione dipende dalla forma e dalle dimensioni del
conduttore ma è indipendente dalla natura del materiale che forma il conduttore.
Questa indipendenza dal materiale consente l’ardita estrapolazione di associare le
cariche superficiali ad una superficie geometrica invece che ad un conduttore.
20
CAPITOLO 2. ELETTROSTATICA
2.2.3
La misura di Ψ
In un campo elettrostatico si consideri una sonda costituita da due lamine metalliche
piane identiche provviste di due manici isolanti2 . Mettendole a contatto, come indicato in figura (??), per induzione si determina una concentrazione di cariche opposte
sulle facce esterne delle lamine. Allontanando le due lamine le cariche indotte rimangono imprigionate sulle due lamine e si possono misurare. Fissando ad arbitrio una
delle due facce (o una delle due lamine) come positiva, la carica raccolta sulla faccia
positiva è definita come flusso elettrico e la si indica con Ψ . Si ha quindi
def
{A662}
definizione del flusso elettrico
Ψ = carica sulla faccia positiva
(2.11)
È essenziale il fatto che la carica raccolta non dipende dal materiale usato dalla
sonda: questo consente di assegnare un flusso elettrico direttamente alla superficie
geometrica. Inoltre si constata che il flusso elettrico non dipende dal mezzo. Questo
si può vedere ripetendo la misura dopo aver immesso del petrolio nella regione ove
si fa la misura [16, p.85]. Questa è una informazione preziosa che è comunemente
ignorata nei libri di fisica.
Per definire il segno del flusso si sceglie una delle due lamine come principale,
ovvero si fissa una faccia della superficie come positiva. Questo può farsi fissando
una orientazione esterna della superficie ovvero fissando una normale alla superficie e
considerando positiva la faccia da cui la normale esce. È chiaro che il flusso elettrico
cosı̀ definito cambia segno al cambiare dell’orientazione esterna alla superficie:
Ψ (−S̃) = −Ψ (S̃)
{P463}
2.2.4
condizione di disparità di Ψ .
(2.12)
Il teorema di Gauss
Utilizzando la relazione (2.9) potremo scrivere la legge di induzione elettrostatica di
Faraday (2.10) nella forma
Z
{B20}
∂ Ṽ
~
~ = Q[Ṽ].
D(P)
· dS
(2.13)
Qualora la carica Q[Ṽ] sia distribuita entro Ṽ potremo scrivere
Z
{B21}
Q[Ṽ] =
ρ(P) dV.
(2.14)
Ṽ
e la legge in questione si può esprimere
Z
{B22}
∂ Ṽ
2
~
~=
D(P)
· dS
Z
ρ(P) dV.
(2.15)
Ṽ
See [17, p.71]; Fleury-Mathieu [16, p.61]; Maxwell [32, p.47]; Rojansky [44, p.230]; Schelkunoff
[45, p.25]; Jefimenko [24, p.80; p.225].
2.2. LA PRIMA LEGGE DELL’ELETTROSTATICA
21
Rimpicciolendo indefinitamente il volume Ṽ attorno ad un punto P arriveremo a
scrivere
Z
~
~ 0) · d S
D(P
∂ Ṽ
ρ(P) = lim
.
(2.16)
{B25}
Ṽ →0
Ṽ
Il secondo membro è una grandezza scalare a cui si dà il nome di divergenza del
~ e si scrive
vettore D
~
ρ = div D
oppure
~
ρ = ∇ D.
(2.17) {B26}
Questa è la forma matematica data da Gauss alla legge dell’induzione elettrostatica
di Faraday. È evidente che essa descrive la legge sperimentale sotto due pesanti
condizioni:
1. la carica elettrica deve essere distribuita pur ammettendo discontinuità. Una
carica “puntiforme” non è tollerata in quanto l’integrale nel senso di Lebesgue
3
perde senso.
~ deve essere continuo e derivabile entro ogni volume Ṽ. Questo non
2. il vettore D
accade quando vi sono due materiali diversi e il volume si trova a cavallo delle
superfici di separazione.
La formulazione integrale (2.15) è quindi più restrittiva della formulazione (2.10) in
~ può essere discontinuo su S̃ ma non ammette cariche puntiformi.
quanto il vettore D
La formulazione differenziale (2.17) è ancor più restrittiva della formulazione integrale
(2.15) in quanto soggetta alle due limitazioni suddette. Ne viene che la formulazione
finita (2.10) è più aderente al fatto fisico della formulazione in quanto non contiene
limitazioni di natura matematica.
Osservazione. Quantunque una carica puntiforme non abbia senso fisico torna spesso
comodo fare un modello puntiforme delle cariche elettriche libere, gli elettroni. Se poi si
scopre che il campo generato da una carica puntiforme avrebbe una energia infinita la colpa
dell’infinito non fisico non è della carica (elettrone) ma del modello che ne abbiamo fatto.
Ogni modello vale sotto certe condizioni, entro certi limiti.
3
Vi è un modo semplice di comprendere la distinzione tra l’integrale secondo Riemann e quello
secondo Lebesgue. Quando noi dobbiamo valutare l’importo totale di soldi possedendo un pacchetto
di biglietti di diverso taglio possiamo operare in due modi diversi: il primo modo consiste nel
prelevare dal pacchetto un biglietto alla volta, cosı̀ come capita, e di aggiungere il valore del biglietto
alla somma precedente, il secondo modo consiste nel dividere prima i biglietti in mucchietti dello
stesso taglio (tutti i pezzi da mille, da diecimila, da cinquantamila, ecc.) e quindi contare i biglietti
di ogni mucchietto. Si procede poi moltipı̀licando tali numeri per le rispettive taglie (30 biglietti
da mille=30.000 L., 6 biglietti da 10.000=60.000 L., ecc.). Sommando gli importi parziali cosı̀
ottenuti si ottiene l’importo totale. Il primo modo corrisponde all’integrale alla Riemann, il secondo
all’integrale alla Lebesgue. Semplice non è vero? Questa descrizione si trova in [30, v. III; ch. XV;
par. 6].
22
CAPITOLO 2. ELETTROSTATICA
Figura 2.4: Le leggi fisiche in forma globale sono valide anche attraverso la
superficie di separazione di mezzi diversi mentre i vettori del campo subiscono
discontinuità e quindi esigono condizioni di raccordo.
{num}
Volendo trattare teoricamente cariche puntiformi si può far uso della teoria delle distribuzioni e rappresentare una carica puntiforme e mediante la distribuzionee δ(P ). L’integrale
allora non è più secondo Lebesgue ma diventa solo un simbolo per indicare un funzionale
lineare e continuo. La relazione (2.15) deve allora intendersi nel senso della teoria delle
distribuzioni ovvero delle funzioni generalizzate [Ligthill][Vekua]. Con questo formalismo
si può trattare bene la teoria dell’elettromagnetismo ma non si può certo fare dell’analisi
numerica. La relazione (2.15), intesa nel senso della teoria delle distribuzioni, ha la stessa
generalità della relazione (2.10).
La teoria delle distribuzioni, nota anche come teoria delle funzioni generalizzate, è nata
con lo scopo di estendere la notazione differenziale a funzioni che non sono derivabili, quali
la funzione a scalino introdotta dall’ingegner Heaviside. In un primo tempo è stata usata
formalmente dall’ingegnere elettrotecnico P.A.M. Dirac ma solo nel 1955 ♣ il matematico
francese Laurent Schwarz le diede un vestito matematico rigoroso4 .
Una distribuzione è un funzionale lineare e continuo sullo spazio delle funzioni di classe C0∞ , cioé delle funzioni infinitamente derivabili (donde il simbolo di ∞ come apice) e
a supporto compatto, ovvero diverse da zero in una regione (=supporto) chiuso (=contenente i suoi punti di accumulazione) e limitato. Le funzioni generalizzate però, a differenza delle funzioni ordinarie, non si possono moltiplicare fra loro, non possono dotarsi
di norma, non possono essere approssimate con successioni di funzioni e quindi non sono
trattabili numericamente. Esse quindi non possono essere utilizzate nell’elettromagnetismo
computazionale.
2.3
La seconda legge dell’elettrostatica
La seconda legge dell’elettrostatica coinvolge le seguenti variabili fisiche
~
• il vettore campo elettrico E
• la tensione elettrica U ;
4
Anche se lo scrivente è un fisico di formazione e di interessi non può che disapprovare lo spirito
di corpo di molti fisici che vedono fra loro e gli ingegneri una discontinuità invece di un graduale
slittamento di interessi tra la comprensione di un fenomeno e l’utilizzo dello stesso per la tecnica.
Questi fisici si sentono una stretta allo stomaco quando scoprono che Dirac era un ingegnere, come
lo era un altro grande fisico, Louis de Broglie. Per quanto riguarda la stretta allo stomaco sarà bene
ricordare la massima di Marco Aurelio Antonino: gli uomini sono afflitti non dalle cose, ma dalle
opinioni che se ne fanno.
2.3. LA SECONDA LEGGE DELL’ELETTROSTATICA
23
• il potenziale elettrico V .
2.3.1
~
Il vettore E
La constatazione che le cariche si attraggono o si respingono suggerisce di istituire
una grandezza fisica che misuri l’intensità di questa azione. Si constata che una carica
elettrica “esploratrice” q posta in un generico punto di un campo elettrico subisce una
forza F~ .
Tale forza dipende da q : F~ (q) e si annulla per q = 0.
Osservazione. Una funzione di una variabile y(x) che si annulla per x = 0 ammette
una rappresentazione
y = a x + b x2 + c x3 + ...
(2.18) {S44}
in cui a è il primo coefficiente significativo. Per x piccolo vale l’approssimazione
y = a x.
(costo=prezzo × quantità)
(2.19) {S46}
Ne viene che il coefficiente a gioca il ruolo del prezzo di una merce. Si può scrivere
a = lim
x→0
y(x)
.
x
(2.20) {B45}
La forza F~ dipende dal posto e dalla carica esploratrice q e può esprimersi nella
forma
2
3
~
~
~
F~ (P, q) = E(P)q
+ G(P)q
+ S(P)q
+ .....
(2.21) {S47}
~ G,
~ S,
~ .... dei vettori. In particolare se q è piccolo vale l’approssimazione
Essendo E,
~
F~ (P, q) = E(P)
q
(2.22) {C48}
essendo
F~ (P, q)
def
~
E(P)
= lim
.
(2.23) {C49}
q→0
q
~
Nasce cosı̀ il vettore campo elettrico E.
Osserviamo che introducendo una carica esploratrice in un campo elettrico preesistente si altera la posizione delle cariche che generano il campo [43, p.39]. Ne viene
che il semplice rapporto F~ /q dà una misura del campo alterato dalla presenza della
carica di prova. Esso costituisce una misura del campo preesistente in una delle tre
ipotesi seguenti [Schelkunoff] [45, p.8]:
• Le sorgenti del campo sono tenute fisse;
• il punto in cui è posta la carica esploratrice è cosı̀ lontano dalle cariche che
generano il campo da non influenzare la loro posizione;
24
CAPITOLO 2. ELETTROSTATICA
• la carica elettrica è cosı̀ piccola da non influenzare la posizione delle sorgenti.
Dal momento che l’alterazione è tanto più piccola quanto minore è il valore della carica
di prova si è portati a fare il limite del rapporto come nella (2.23). L’operazione
di limite si scontra però con il fatto che la carica più piccola conosciuta è quella
dell’elettrone e quindi l’operazione di limite, voluta dalla matematica, è in contrasto
con la fisica. Come sempre ci si deve accontentare di fare un modello del campo
ignorando la natura discreta della carica elettrica. Einstein ha detto: “l’elettrone è
uno straniero nell’elettromagnetismo” [47, p.236].
2.3.2
La tensione elettrica U
~ nasce da una forza e la circolazione di una forza lungo
Dal momento che il vettore E
~ lungo una linea:
una linea dà il lavoro, è naturale considerare la circolazione di E
Z
{S41}
~ · d L.
~
E
U [L] =
L
(2.24)
La circolazione U [L] associata alla linea prende il nome di tensione elettrica lungo la
linea L.
~ è la forza per unità di carica, cosı̀ la tensione
Tavola I: Come il vettore E
{lav}
è il lavoro per unità di carica.
Z
*
~
F~ · dL
W [L] =
L
~
F~ (P) = q E(P)
H
Hj
H
Z
~ · dL
~
E
U [L] =
L
tavola semplice
H
HH
j
* W [L] = qU [L]
Osservando che il lavoro W lungo una linea è
Z
{Z99}
W [L, q] =
L
~ =
F~ · d L
Z
L
~ · dL
~ = qU [L]
qE
(2.25)
ne viene che la tensione elettrica è uguale al lavoro per unità di carica.
Definizione. Ricordiamo che una linea chiusa si dice riducibile se mediante una deformazione continua, che mantiene sempre la linea nella regione in cui il campo è definito,
si può contrarre ad un punto. È evidente che ogni linea chiusa riducibile si può concepire
come bordo di una superficie. Due linee chiuse si dicono riconciliabili se con una deformazione continua si possono portare l’una nell’altra senza farle uscire dalla regione in cui
il campo è definito. Cosı̀ un cappio fatto con una corda se si avvolge attorno al tronco
2.3. LA SECONDA LEGGE DELL’ELETTROSTATICA
25
di un albero non è riducibile; un sentiero che forma un circuito attorno ad un lago non è
riducibile. Due sentieri che partendo da un punto giungano ad uno stesso punto passando
l’uno da una parte di un laghetto l’altro dall’altra parte non sono riconciliabili.
Seconda legge dell’elettrostatica. Se muoviamo una carica elettrica di prova entro un campo elettrostatico lungo ogni linea chiusa riducibile il lavoro fatto è nullo.
Evidentemente questo presuppone che il moto della carica non influenzi la disposizione
spaziale delle cariche che generano il campo.
Potremo scrivere
law
U [∂S] = 0.
(2.26) {S42}
È questa la seconda legge dell’elettrostatica.
Il potenziale elettrico. La circostanza che la circolazione lungo ogni linea chiusa
riducibile è nulla consente di operare come segue: fissato ad arbitrio un punto P0 del
campo la circolazione da P ad un generico punto P0 lungo qualsiasi linea L da P a
P0 dà
Z P0
Z P
~ · dL
~ =−
~ · d L.
~
V(P) =
E
E
(2.27) {S43}
P
P0
La funzione V(P), definita a meno di una costante arbitraria, prende il nome di
potenziale elettrico nel punto P. Il punto P0 si prende all’infinito o a terra.
Si dice che fra due corpi conduttori carichi, o fra due punti, c’è una tensione
elettrica quando delle cariche libere si muovono da un corpo all’altro, o da un punto
all’altro. La scintilla che scocca tra due conduttori indica l’esistenza di una tensione
elettrica fra essi.
Il modo più naturale di rilevare una tensione fra due corpi carichi è quello di
congiungere i due corpi con un filo conduttore e registrare la presenza di una corrente
lungo un filo. Per misurare la tensione fra due punti di un campo si connettono i
due punti con un filo conduttore. Senonché alle estremità del filo si raccolgono subito
per induzione delle cariche che bilanciano la differenza di potenziale. Occorre quindi
eliminare con continuità tali cariche: questo si può fare ionizzando l’aria circostante
le due estremità con una fiamma o, meglio, con una sostanza radioattiva [43, p.61].
Per istituire la misura della tensione 5 ricordiamo come si opera per misurare una forza.
Una forza si può misurare approfittando del fatto che vi sono corpi deformabili: per rendere
vistosa la deformazione si ricorre ad una molla come campione. Disponendo di tante forze
uguali, ad esempio pesi, si aggiungono successivamente e si rileva di volta in volta l’allungamento della molla campione. Effettuata la taratura la molla campione è divenuta un
5
La nozione di tensione fu introdotta da Volta [64, p.72]
26
CAPITOLO 2. ELETTROSTATICA
dinamometro. Non ha importanza che la molla abbia un allungamento proporzionale alla
forza: è sufficiente che la sua lunghezza abbia un andamento monotono con la forza applicata e che riassuma la stessa lunghezza sotto l’azione della stessa forza. Un secondo modo
di misurare la forza è quello dell’equilibramento con delle forze note. È questo il metodo
usato nella bilancia a stadera. In pratica si tratta di annullare lo spostamento che la forza
tende a produrre con l’azione di un’altra forza nota. È questo il metodo dell’annullamento
dello spostamento.
Torniamo alla misura della tensione elettrica U . Un primo metodo consiste nel
disporre di tante tensioni uguali, ad esempio tante batterie elettriche identiche, e nel
misurare la corrente che passa dopo averle disposte in serie. Lo strumento cosı̀ tarato
diventa un tensiometro elettrico o voltmetro elettrostatico [7] ♣.
Un secondo metodo nasce dall’idea di potenziale elettrico, corrispondente alla
nozione di altezza dell’acqua in un vaso. Nel caso dell’acqua si può misurare sia la
quantità di acqua sia l’altezza che il pelo libero assume nel vaso. Se il vaso è cilindrico
l’altezza e la quantità sono proporzionali: il rapporto tra quantità di acqua e altezza
del pelo libero prende il nome di capacità del vaso cilindrico ed ha le dimensioni di
un’area, l’area della sezione retta del vaso.
Nel caso elettrico si può misurare il potenziale di un corpo connettendolo mediante
un filo con un generatore a tensione variabile di cui l’altra estremità è collegata
a terra e scegliendo la tensione che annulla la corrente nel filo: è questo il metodo
dell’annullamento. La tensione che annulla è, per definizione, il potenziale elettrico V
del corpo carico rispetto alla terra. Si noti che il potenziale, come la temperatura, sono
riferiti ad uno zero convenzionale (la terra ed il ghiaccio fondente rispettivamente).
La tensione elettrica è associata alle coppie di punti ed in un campo elettrico statico
è indipendente dalla linea che si considera. Il suo segno dipende dall’ordine con cui
sono considerati i due punti terminali: si sceglie un ordine e si legge sullo strumento
la corrente. È ovvio che invertendo l’ordine dei terminali la corrente cambia segno.
Questa è la condizione di disparità della tensione. Si può concludere che la tensione
elettrica è una grandezza fisica associata a coppie di ordinate di punti ovvero a linee
dotate di orientazione interna:
{P462}
U [−L] = −U [L]
condizione di disparità di U .
(2.28)
Si constata che la tensione elettrica tra due punti dipende dal mezzo, come si vede
introducendo un dielettrico fra le due armature di un condensatore.
Ora che sappiamo misurare tensione e corrente siamo in grado di verificare se
le due grandezze, per un dato filo, sono proporzionali, come capita per l’acqua in
un contenitore cilindrico. La risposta sperimentale, fatta con corrente stazionaria, è
affermativa e costituisce la legge costitutiva di Ohm: U = RI.
La tensione elettrica tra due corpi conduttori o tra due punti dipende dal mezzo.
2.4. EQUAZIONE COSTITUTIVA D−E
2.3.3
27
La misura della tensione in un dielettrico
Let us consider an electrostatic field. We can measure the voltage along a line from
point A to point B with a method devised by Faraday [41, p.519]. This runs as
follows: let us put at A and B two small metal spheres, as shown in Fig.(??d), say
of radii rA and rB . If we connect them by a wire of very small section, the charges
move from one sphere to another to maintain the whole set, spheres and wire, at the
same potential.
We suppose that the capacity of the wire can be neglected in comparison with
the capacities of the spheres so that we can neglect the charge on the wire. In turn
the spheres are small enough to make negligible the influence of charges collected on
the spheres on the sources of the surrounding electric field. In these hypotheses let
us denote qA the charge collected on the sphere in A and qB the one collected on the
sphere in B: it will be qA = −qB .
If we break the connection between the two spheres the charges remain trapped.
In the center of a sphere the potential of the charges q collected on its surfaces is
q/(4π²r). The fact that the potential of the two spheres connected by the wire are
equal implies that
qA
qB
VA +
= VB +
(2.29) {GZ23}
4π²rA
4π²rB
from which we obtain
UAB ≡ VB − VA =
−qA
4π²
µ
1
1
+
rA rB
¶
(2.30) {GZ24}
Hence we can measure voltage measuring the charge collected on one sphere.
In particular if we choose B on the grounds the ”sphere” B becomes the Earth
and then VB = 0 and 1/rB = 0: it follows
VA =
−qA
.
4π²rA
(2.31) {GZ28}
The voltage refers to a line endowed with inner orientation. Experience tells us that
the voltage between two points depends on the material filling the space region.
2.4
Equazione costitutiva D−E
Per lo studio del campo elettrico abbiamo introdotto due vettori
~ che descrive la distribuzione di carica su una superficie conduttrice;
1. il vettore D
~ che descrive la forza su una carica esploratrice.
2. il vettore E
28
CAPITOLO 2. ELETTROSTATICA
È naturale attendersi che vi sia una relazione tra i due vettori. Questa relazione
~ = D(
~ E).
~
D
(2.32) {S26}
dipenderà dal mezzo nel quale si trova il campo e costituisce una equazione costitutiva
o materiale.
Consideriamo infatti un condensatore a facce piane parallele (le armature) separate da un dielettrico. Il campo elettrico fra le armature è sensibilmente uniforme ed
è dato da E = U/d.
{num}
{S27}
Figura 2.5: dida
def
D =
Ψ
S
E=
U
.
d
(2.33)
Si constata sperimentalmente che per la maggior parte dei dielettrici le due grandezze
sono proporzionali ed i due vettori hanno la stessa direzione per cui avremo
~ ÷ E.
~
D
{S28}
(2.34)
Introducendo una costante materiale ε potremo scrivere la proporzionalità precedente
nella forma
~ = ε E.
~
D
(2.35)
{S29}
La ε si chiama costante dielettrica. Quindi la legge costitutiva dell’elettrostatica è
sperimentata in una regione di campo uniforme. Si noti che l’uniformità del campo
rende inutile il passaggio al limite. Le definizioni
{S30}
Ψ
S→0 S
σ = lim
U
d→0 d
E = lim
(2.36)
hanno senso in caso si non uniformità del campo.
~ ed E
~ hanno sempre la stessa direzione e lo stesso senso. La costante
Nel vuoto D
dielettrica nel vuoto è indicata con ε0 .
{KD42}
~ = ε0 E
~
D
nel vuoto
(2.37)
2.5. EQUAZIONE COSTITUTIVA U −I
2.5
29
Equazione costitutiva U −I
La legge di Ohm dice che
in regime stazionario la tensione elettrica fra due punti di un conduttore filiforme è proporzionale alla intensità della corrente che passa nel
conduttore.
U (t) = R I(t)
(2.38) {S21}
La legge di Ohm sperimentata a corrente costante, è ritenuta valida anche a regime
variabile. ♣
Occorre segnalare una proprietà caratteristica che sfugge alla trattazione differenziale la quale non distingue gli istanti primali da quelli duali. Una tensione, essendo
il rapporto tra un impulso di tensione elettrica e la durata dell’intervallo
U (t̃) =
U[T]
T
(2.39) {OC5E}
è naturalmente associata ad un istante duale t̃ come mostra la figura (2.6). La corrente, invece, essendo il rapporto tra il flusso di carica elettrica e la durata dell’intervallo
duale
Qf [T̃]
I(t) =
(2.40) {PC5E}
T̃
è naturalmente associato ad un istante primale t. Se quindi facciamo una “inversione
temporale”, ovvero cambiamo l’orientazione interna degli intervalli primali, cambia
l’orientazione di T quindi, per la proprietà di disparità delle grandezze globali cambia
segno U[T] e quindi U (t̃). Questo cambiamento non comporta il cambiamento del
segno di Qf [T̃] e quindi quello di I(t). Quindi per una inversione temporale si ha
U (t) = −R I(t)
(2.41) {UD6E}
ovvero la legge di Ohm non è invariante per inversione temporale. Questo fatto
caratterizza la natura irreversibile della conduzione elettrica ovvero la produzione di
calore dovuta all’effetto Joule.
Dal momento che gli istanti duali si trovano a cavallo di quelli primali, come
mostra la figura (2.6), una versione finita della legge di Ohm è
U (t̃n ) = R
I(tn−1 ) + I(tn )
2
(2.42) {YD87}
30
CAPITOLO 2. ELETTROSTATICA
space association
source variables
outer orientation
dual complex
configuration variables
inner orientation
primal complex
ph
φ[τ n , ph ] electric potential impulse
electric charge conten t Qc[t̃n , ṽh ]
ṽh
lα
electric flux Ψ [t̃n , s̃α ]
V[τ n , lα ] electric tension impulse
electric charge flow Qf [τ̃ n , s̃α ]
s̃α
sβ
Φ[tn , sβ ] magnetic flux
magnetic tension impulse F[τ̃ n , l̃ β ]
l̃β
magnetic potential impulse ϑ[τ̃ n , p̃k ]
p̃k
vk
time association
Qf[τ̃ n , s̃α ]
F[τ̃ n , l̃β ]
Ψ [t̃n , s̃α ] ϑ[τ̃ n , p̃k ]
Qc[t̃n , ṽh ]
source variables
outer orientation
dual complex
τ̃ n
t̃n+1
t̃n
tn−1
configuration variables
inner orientation
primal complex
timeaxis
tn
τn
V[τ n , lα ]
φ [τ n , ph ]
Φ[tn , sβ ]
Figura 2.6: L’associazione delle grandezze elettromagnetiche agli elementi spaziali
e temporali.
{associaElettro}
2.6. LA LEGGE DI COULOMB
2.6
31
La legge di Coulomb
Una conseguenza della equazione costitutiva è la legge di Coulomb: essa si ottiene
~ e
applicando la legge dell’induzione elettrostatica di Faraday6 che porta a definire D
~
l’equazione costitutiva che permette di ricavare E.
Applichiamo la legge dell’induzione elettrostatica di Faraday ad una carica puntiforme Q. Se consideriamo una superficie sferica che abbia il suo centro nella carica
puntiforme, potremo scrivere
Ψ [∂ Ṽ] = Q.
(2.43) {C27}
~ sarà normale alla superficie e di uguale modulo in tutti i punti della
Il vettore D
superficie sferica. Potremo allora scrivere il flusso
Ψ [∂ Ṽ] = 4πr2 D.
(2.44) {S57}
Inserendo nella equazione (2.43) otteniamo
D=
Q
.
4πr2
(2.45) {S58}
Poichè nel vuoto vale l’equazione costitutiva (??) ne viene
E=
D
1 Q
=
.
ε0
4πε0 r2
(2.46) {S59}
~ ed E
~ hanno la stessa direzione ne viene
Tenuto conto che D
~ =
F~ = q E
1 Qq ~r
4πε0 r2 r
(2.47) {S60}
che è la legge di Coulomb.
In questa deduzione la legge di Coulomb è conseguenza della legge di induzione
~ e della legge costitutiva del
elettrostatica di Faraday, della creazione del vettore D
vuoto.
Osservazione. I fisici che speculano intorno al fatto singolare che la forza dipende dal
quadrato del raggio piuttosto che da una generica potenza di esso non avrebbero motivo di
fare questa speculazione se tenessero conto della legge di induzione elettrostatica. Questa
impone che il flusso elettrico sia uguale alla carica contenuta: per isotropia la densità
σ = D deve essere uniforme su una sfera. Questi due fatti portano a dire che σ = Q/(4πr2 ).
Il quadrato del raggio è quindi immediata conseguenza della uniforme distribuzione della
densità elettrica sulla sfera.
6
Schelkunoff: “Coulomb’s law can be derived from Faraday’s law of electrostatics induction.”[?,
p.24]
32
CAPITOLO 2. ELETTROSTATICA
Capitolo 3
Magnetostatica
3.1
La corrente I: sorgente del campo magnetico.
Il campo magnetico è generato dalle cariche in moto, ovvero dalle correnti.
La corrente media I¯ è il flusso di carica Qf [S̃, T̃] diviso per la durata T̃
Qf [S̃, T̃]
¯ def
=
I(t)
T̃
(3.1) {U202}
La carica fluita Qf si può anche chiamare impulso di corrente [42, p.12].
La corrente si misura con un galvanometro o un amperometro a secondo della sua
intensità. Riguardo il segno della corrente si sceglie ad arbitrio una orientazione lungo
il filo fissando un ordine dei morsetti dell’amperometro a zero centrale, e si associa
ad essa la corrente misurata. È ovvio che invertendo l’orientazione cambia il segno
della corrente misurata e quindi la corrente elettrica lungo un filo è associata ad una
linea con orientazione interna.
Se la corrente non viene incanalata in un filo ma si considera quella che attraversa
una data superficie, come nelle correnti di Focault, si vede che la corrente cambia
segno al cambiare della orientazione esterna della superficie, definita dalla normale
alla superficie. Quindi la corrente è associata alle superfici con orientazione esterna.
Il flusso di carica soddisfa le condizioni di disparità
(
Qf [−S̃, T̃] = −Qf [S̃, T̃]
Qf [S̃, −T̃] = −Qf [S̃, T̃]
(3.2) {P427}
Si noti che ordinariamente parliamo di corrente lungo un filo conduttore per intendere quella che attraversa una sua sezione normale, come accade per la corrente
d’acqua lungo un fiume. Questo evita l’errore di ritenere che la corrente sia associata
ad una linea.
33
34
CAPITOLO 3. MAGNETOSTATICA
3.2
La prima legge della magnetostatica
La prima legge del magnetismo coinvolge le seguenti variabili fisiche
• la tensione magnetica Um
~
• il vettore campo magnetico H
• il potenziale scalare magnetico Vm .
3.2.1
~
Il vettore campo magnetico H
Per iniziare la descrizione quantitativa del campo magnetico esaminiamo l’azione del
campo su un ago magnetico. Consideriamo una bobina sufficientemente lunga da
poter considerare entro di essa il campo magnetico uniforme.1 Disponiamo in essa un
ago magnetico posto trasversalmente all’asse della bobina e tenuto da un filo di una
bilancia di torsione, come mostra la Fig. (??).
Figura 3.1: Il magnetoscopio
{num}
Al passare della corrente nella bobina l’ago magnetico ruota tendendo a portarsi
parallelo all’asse della bobina. La completa rotazione è però impedita dalla torsione
del filo di sostegno. Per riportare l’ago nella posizione trasversale occorre torcere
all’indietro il filo applicando un momento torcente Mt . Si ricordi che il momento
torcente di un filo è proporzionale all’angolo di rotazione.
Si constata che l’entità del momento torcente è proporzionale alla corrente i1 che
passa nella bobina, al numero n1 di spire ed inversamente proporzionale alla lunghezza
L1 della bobina.
n 1 i1
{S01}
.
(3.3)
Mt ÷
L1
Si constata che cambiando la bobina, ovvero prendendo una bobina con n2 spire,
anche composta da più strati di avvolgimento, con lunghezza L2 e facendo passare
una corrente i2 si ha lo stesso momento torcente (e quindi la stessa rotazione iniziale
dell’ago magnetico) quando si realizza la condizione
n 1 i1
n 2 i2
=
.
L1
L2
{S22}
1
La descrizione che segue si trova in Pohl [43, p.86]
(3.4)
3.2. LA PRIMA LEGGE DELLA MAGNETOSTATICA
35
Evidentemente l’uguaglianza della rotazione o del momento torcente indica l’uguaglianza dei campi nell’interno delle due bobine. Ne viene che la grandezza scalare
def n i
H =
{S02}
(3.5)
L
è adatta a caratterizzare l’intensità del campo magnetico. Si noti che l’osservazione
della uguaglianza dei momenti torcenti non presuppone una taratura del dispositivo
il quale funziona quindi da magnetoscopio.
I
I /2
2N
NI
N
I /2
I
Figura 3.2: Solenoidi di uguale ampiezza con lo stesso numero di amperspire (da
[37, p.238]).
{solenoide}
Per dire da che parte gira l’ago dobbiamo fissare un verso all’asse del solenoide.
Questo è dato con la solita regola del cavatappi applicato al senso della corrente. Sia
~t il versore che indica la direzione orientata.
È allora opportuno “elevare” la grandezza scalare H alla “dignità” di vettore
~ = H ~t.
H
(3.6) {S05}
Questo vettore prende il nome di intensità del campo magnetico.
Il vettore cosı̀ introdotto non dipende dalla natura del mezzo in quanto l’uguaglianza (3.4) ha luogo indipendentemente dal mezzo che si trova nel solenoide, purchè
esso sia sempre lo stesso nelle due misurazioni. ♣
~ ed H.
~ Nella regione interna ad un condensatore con
Osservazione. Parallelo tra D
armature piane sufficientemente estese il campo elettrico è sensibilmente uniforme e nell’interno di un solenoide rettilineo sufficientemente esteso il campo magnetico è sensibilmente
uniforme.

campo elettrico
campo magnetico










~ = Ψ ~n
D
S
flusso elettrico/area
~ = Um ~t
H
L
tensione magnetica/lunghezza
(3.7) {S06}
36
CAPITOLO 3. MAGNETOSTATICA
~ a parità di flusso elettrico Ψ , non dipende dal mezzo cosı̀ il vettore
Come il vettore D,
~
H, a parità di corrente I, non dipende dal mezzo.
L’analogo del condensatore a facce piane e parallele dell’elettrostatica è il solenoide
rettilineo della magnetostatica. Il condensatore a facce piane e parallele è stato il cavallo di
battaglia di Faraday cosı̀ come il solenoide è stato il cavallo di battaglia di Ampère.
3.2.2
La tensione magnetica Um
Rifacendoci al paragrafo precedente possiamo introdurre la tensione magnetica
lungo l’asse della bobina
{S03}
Um = n i.
(3.8)
Um
.
L
(3.9)
Ne viene che
{S04}
H=
In questo modo si può vedere H come il rapporto tra la tensione magnetica lungo
l’asse della bobina e la lunghezza della bobina. In generale entro un campo uniforme
~ si può definire come
la tensione magnetica lungo un segmento di retta L
def ~
~
Um [L̃] = H
· L.
{S17}
(3.10)
Se il campo magnetico non è uniforme questa definizione si generalizza cosı̀
def
{S18}
Um [L̃] =
Z
L̃
~ · d L.
~
H
(3.11)
~ non dipende dal mezzo in quanto non contiene
Si noti che, per definizione, il vettore H
~
la costante µ mentre il vettore B vi dipende.
3.2.3
~
La natura assiale di H
La tensione magnetica è quindi una grandezza fisica globale associata ad una linea.
Quello che non viene solitamente precisato è che tale linea deve essere dotata di
orientazione esterna, vale a dire di un senso di rotazione attorno alla linea. Infatti cambiando il senso della corrente la tensione magnetica muta nella sua opposta.
~ esso è associato ad un senso di rotazione attorno alla linea meQuanto al vettore H
~ è definito
diante la regola del cavatappi: è in questo momento che si vede che H
a meno di una convenzione sulla vite. Per questo motivo esso è chiamato vettore
assiale.
3.2. LA PRIMA LEGGE DELLA MAGNETOSTATICA
3.2.4
37
Misura della tensione magnetica
In un campo magnetostatico si consideri una sonda costituita da un solenoide di
piccola sezione comparata alla lunghezza e si faccia scorrere in essa una corrente di
verso ed intensità tali da annullare il campo magnetico totale nel suo interno2 . Se n è il
numero totale di spire ed i0 la corrente necessaria, la corrente totale che avvolge l’asse
del solenoide è I0 = ni0 . Ciò significa che per ricreare il campo magnetico nell’interno
del solenoide, qualora le sorgenti esterne fossero rimosse, occorre far passare una
corrente opposta ieq = −i0 . La grandezza
Um = n ieq = Ieq
(3.12) {L384}
è la tensione magnetica relativa alla linea che forma l’asse del solenoide.
La tensione magnetica è associata al segmento di linea L̃ che forma l’asse del
solenoide ed il suo segno è legato ad un senso di rotazione attorno a tale segmento
scelto come positivo. Tale senso è, per definizione, l’orientazione esterna del segmento.
È evidente che
Um [−L̃] = −Um [L̃]
3.2.5
condizione di disparità di Um .
(3.13) {P469}
La prima legge
Consideriamo un filo rettilineo ed esaminiamo il campo magnetico che si crea in
prossimità del filo quando in esso passa una corrente I.
Misuriamo il valore H disponendo una bobinetta compensatrice lungo un piccolo
arco di circonferenza coassiale al filo. Facendo passare nelle n spire della bobinetta
di lunghezza a una corrente i in senso opposto in modo da annullare il campo nel suo
interno si può valutare H. Essendo H = n i/a (a parte il segno) si trova
H=
I
2πr
(3.14) {Z01}
essendo r la distanza del filo. Dal momento che il campo ha simmetria circolare ne
viene che
2πrH = I.
(3.15) {Z02}
~ lungo la circonferenza
Il prodotto a primo membro è la circolazione del vettore H
coassiale, chiamata forza magneto-motrice ed indicata con Fm . Ne viene
2
Questa è chiamata bobinetta compensatrice: vedi Fouillé [17, p.224]; Pohl [42, p.66]; Schelkunoff
[45, p.41]. Langevin [27, p.496] osserva che, in luogo di un solenoide, si potrebbe usare un cilindretto
metallico superconduttore avendo questo la proprietà di annullare il campo magnetico interno. In
un superconduttore immerso in un campo magnetico, infatti, si producono delle correnti superficiali
spontanee cosı̀ come in un conduttore si produce una carica superficiale spontanea. L’effetto di
queste correnti è quello di annullare il campo magnetico interno cosı̀ come l’effetto delle cariche
superficiali in un conduttore è quello di annullare il campo elettrico interno.
38
CAPITOLO 3. MAGNETOSTATICA
(3.16) {ZPZ2}
Fm [lungo la circonferenza] = I [che attraversa il cerchio.]
Il fatto interessante di questa relazione sperimentale è che la forza magneto-motrice
~ è
è la stessa per qualunque circonferenza coassiale. Dal momento che il vettore H
diretto tangenzialmente alla circonferenza ne viene che la tensione lungo un segmento
radiale è nulla. Inoltre la tensione lungo qualsiasi arco di circonferenza coassiale
delimitato da uno stesso settore è la stessa come illustrato in Fig. (3.3).
I
C
Um3 =0
r
i
H
Um2
B
D
Um4 = −Um2
A
Um1 =0
~ con la bobinetta compensatrice;
Figura 3.3: (sinistra) la misura del vettore H
(destra) la forza magneto-motrice lungo il percorso chiuso ABCDA è nulla.
{circuito}
Ne viene che lungo il circuito ABCDA indicato in Fig. (3.3) la forza magnetomotrice è nulla.
Mostriamo che la forza magneto-motrice lungo qualunque linea chiusa che avvolga
il filo (una sola volta) è uguale alla corrente I che attraversa il circuito. Infatti, con
riferimento alla Fig. (3.4), si vede che un circuito arbitrario può approssimarsi con una
linea spezzata composta di archi e segmenti radiali per cui è sempre vera la relazione
(3.16). Ne viene che la forza magneto-motrice lungo un circuito che avvolge il filo è
sempre uguale ad I anche se il circuito non è piano. Ne viene che l’inclinazione del
filo rispetto al circuito non ha importanza.
Osservazione. Spesso si legge l’affermazione che per r = 0 si ha H = ∞. Si tratta
di una estrapolazione puramente matematica, fisicamente errata. Infatti un filo per essere
percorso da corrente deve avere un benché minimo spessore. Si constata che la corrente
scorre nella sezione del filo con densità uniforme sicché sull’asse del filo il campo è nullo (altro
che infinito!). Questo ci insegna che occorre mantenere sempre il contatto con l’esperienza
per non fare affermazioni prive di senso fisico.
Se ora consideriamo un circuito che avvolga due fili percorsi da corrente I1 ed I2
~ sarà la somma
essendo applicabile il principio di sovrapposizione 3 , in ogni punto H
~ 1 ed H
~ 2 e quindi
di H
{ZZ4}
Um [lungo il bordo di una superficie] = I [che attraversa la superficie]
3
Per il principio di sovrapposizione si veda il capitolo ....
(3.17)
3.2. LA PRIMA LEGGE DELLA MAGNETOSTATICA
39
D
C
B
F
E
A
Figura 3.4: Ogni linea chiusa non riducibile può essere approssimata con una
{Biot-Savart}
linea composta di archi di circonferenze coassiali, di segmenti paralleli al filo e di
segmenti radiali. Il contributo non nullo alla forza magneto-motrice è dato solo
dagli archi di circonferenza.
In generale si trova:
Prima legge della magnetostatica: la forza magneto-motrice Um
lungo il bordo di una superficie dotata di orientazione esterna è uguale
alla corrente che attraversa la superficie.
che costituisce la prima legge della magnetostatica dovuta ad Ampère. In formule
(3.18) {SD8F}
Um [∂ S̃] = I[S̃].
3.2.6
Il potenziale scalare magnetico Vm
Consideriamo una regione di spazio nella quale non vi siano correnti. Per la legge di
Ampère in tale regione la tensione magnetica lungo ogni linea chiusa è nulla. Ne viene
che ad ogni punto P si può associare un potenziale magnetico Vm (P) definito come la
tensione magnetica da un punto prefissato A della regione al punto generico:
def
Vm (P) = Um (AP) =
Z
P
A
~ · dL
~
H
(3.19) {UDY7}
avendo fatto la convenzione Vm (A) = 0. La nuova grandezza fisica è associata al punto e dipende dall’orientazione esterna di questo. Infatti, con riferimento alla figura
(3.5), si vedere che il segno del potenziale magnetico dovuto ad una spira dipende
dal senso in cui la corrente percorre una spira. Tale senso indica una orientazione
esterna della semiretta uscente dal punto e quindi una orientazione esterna del punto. Dal momento che la tensione magnetica Um è il tasso dell’impulso di tensione
40
CAPITOLO 3. MAGNETOSTATICA
I → −I
P Vm
I
Um
Um → − Um
I → −I
Vm → − Vm
I
γ
Figura 3.5: Il potenziale scalare magnetico in un punto dipende dall’orientazione
esterna del punto.
{magnetico}
magnetica Um [T̃, L̃] ne viene che anch’essa è il tasso dell’impulso di potenziale magnetico Vm [T̃, L̃] e quindi eredita una associazione all’intervallo pur essendo funzione
dell’istante (duale).
3.3
La seconda legge della magnetostatica
La seconda legge del magnetismo coinvolge le seguenti variabili fisiche
~
• il vettore induzione magnetica B;
• il flusso magnetico Φ;
3.3.1
~
Il vettore induzione magnetica B
~ è stato introdotto considerando la forza agente su una
Il vettore campo elettrico E
~ misurando la forza agente su
carica di prova. In analogia introdurremo il vettore B
un “elemento” di corrente.
Consideriamo un campo magnetico uniforme come quello che si ha nell’intraferro
di un magnete ad anello illustrato in figura (3.6).
Disponiamo un elemento di filo rettilineo AB di lunghezza L percorso da corrente
nell’interno di tale campo uniforme. Tale elemento di filo si trovi all’estremità di un
braccio di una bilancia di torsione. Facendo passare una corrente di intensità i si vede
sperimentalmente che l’elemento di filo subisce una forza che tende a far ruotare il
braccio. La rotazione dell’asticciola è limitata da una forcella. Riportando l’elemento
di corrente nella posizione iniziale mediante l’applicazione di un momento torcente Mt
sul braccio, si misura l’intensità della forza esercitata. L’esperimento indica che tale
forza dipende dalla direzione dell’elemento di filo rispetto alla direzione del campo
uniforme ed è massima quando l’elemento di filo è perpendicolare alla direzione del
campo. Facendo infatti ruotare il campo con il dispositivo indicato in figura si verifica
la seguente legge
F ÷ i L sin(α).
(3.20)
{PSF6}
3.3. LA SECONDA LEGGE DELLA MAGNETOSTATICA
Mt
41
Mt
F
F
+
~ dalla misura della
Figura 3.6: (sinistra) La nascita del vettore campo elettrico E
{torsione1}
forza agente su una carica elettrica. (destra) La nascita del vettore induzione
~ dalla misura della forza agente su un elemento lineare di corrente (si
magnetica B
veda la figura (3.7).
Questa proporzionalità si può tramutare in uguaglianza introducendo una variabile
atta a caratterizzare il campo. Indicata con B scriveremo
F = B i L sin(α).
(3.21) {GU7S}
Vediamo ora come tener conto delle informazioni relative alle direzioni. Dal momento
che il segno della forza cambia invertendo il senso della corrente è spontaneo introdur~ cui daremo come direzione quella
re, in luogo della grandezza scalare L, un vettore L
dell’elemento rettilineo di filo ed come senso il senso della corrente. Dal momento che
sia la forza che il campo hanno a una direzione siamo portati a caratterizzare l’azione
del campo mediante un vettore che abbia come modulo B e come direzione quella del
campo. Il senso del vettore verrà fissato in modo che si possa scrivere
~ B.
~
F~ = i L×
(3.22) {JSS5}
~ per caratterizzare il campo
Abbiamo costruito in tal modo un secondo vettore B
magnetico: ad esso si dà il nome di vettore induzione magnetica. Il vettore
~ nasce con l’intento di descrivere la forza che un campo magnetico esercita su un
B
~ descrive l’intensità della sorgente
elemento di corrente mentre il vettore H
Osservazione. Per comprendere questo si consideri la trazione di un’asta di lunghezza
L, la cui sezione normale abbia area S. Si sottoponga l’asta ad una forza di trazione N
lungo il suo asse. Lo sforzo nella direzione assiale è descritto dalla grandezza σ = N/S ed è,
evidentemente indipendente dalla natura del materiale di cui è formata l’asta. Al contrario
42
CAPITOLO 3. MAGNETOSTATICA
i
~
S
~
L
~
F
~s
~
B
Figura 3.7: Lavoro fatto spostando un elemento di corrente.
{sposta}
l’allungamento dipende oltre che dalla lunghezza dell’asta anche dal materiale di cui è
composta. Siccome l’allungamento è evidentemente proporzionale alla lunghezza (l’asta è
supposta omogenea) è opportuno introdurre una grandezza che caratterizzi l’allungamento
unitario: ² = ∆L/L. Orbene a parità di σ la ² dipende dal materiale. L’esperienza dice
che per la maggior parte dei materiali le due grandezze risultano proporzionali. Per uno
stesso materiale, dati due valori σ1 e σ2 si hanno due allungamenti unitari ²1 e ²2 e vale la
relazione sperimentale
σ1
σ2
{88VC}
=
.
(3.23)
²1
²2
Questo indica che il rapporto è caratteristico del materiale e lo si indica con E. Si potrà
allora scrivere
{UISD7}
σ =E²
(3.24)
3.3.2
La nascita del flusso magnetico Φ
Supponiamo ora che l’elemento di filo subisca un piccolo spostamento ~s nella direzione
di F~ . Tale spostamento comporta un lavoro W dato da4
~ B)
~ · ~s.
W = F~ · ~s = i (L×
{MCT6}
(3.25)
Per le proprietà del prodotto misto potremo scrivere
~ B)
~ · ~s = (~s × L)
~ · B.
~
(L×
{VPD7}
(3.26)
~ dell’elemento di superIl prodotto vettoriale a secondo membro dà il vettore area S
~
ficie generato dall’elemento L nello spostamento s. Indicato tale vettore area con S
potremo scrivere
~ · S.
~
W [S] = i B
(3.27)
{ UFP0}
4
Qui seguiamo la presentazione di Mie [35, p.148]
3.3. LA SECONDA LEGGE DELLA MAGNETOSTATICA
43
Questo ci porta ad introdurre la grandezza
def ~ ~
Φ[S] = B
·S
{U9ZZ}
(3.28)
alla quale si dà il nome di flusso magnetico. Potremo allora scrivere
(3.29) {REPS}
W [S] = i Φ[S].
Questa definizione si generalizza ad un campo magnetico non uniforme nel modo
tradizionale: consideriamo una superficie S e dividiamola in tanti elementi piani dS.
Il flusso magnetico del campo attraverso la superficie è definito come
def
Z
Φ[S] =
S
~
~
B(P)
· d S.
(3.30) {CP45E}
Consideriamo non un solo elemento di corrente ma un circuito, ad esempio una
spira, e facciamogli compiere un moto tale che alla fine il circuito si ritrovi nella
configurazione iniziale. Ogni punto del circuito descriverà allora una linea chiusa e
l’insieme di queste linee formerà una superficie chiusa. Cosı̀ se la spira è una circonferenza e la facciamo ruotare attorno ad un suo diametro generiamo una superficie
sferica; se la facciamo ruotare attorno ad una retta che non la intercetti generiamo
una superfice torica. In tutti i casi si genera una superficie chiusa. Una superficie
chiusa racchiude sempre un volume (ad esempio sfera o toro) e quindi può vedersi
come il bordo di un volume. Se il volume è dotato di orientazione interna anche la
superficie è dotata di orientazione interna anche e quindi si può scrivere ∂V. Il lavoro
compiuto durante questa generazione è
Z Z
W [∂V] = i
s
L
~
~ =i
B(P)
· ( d ~s × d L)
Z
∂V
~
~ = i Φ[∂V].
B(P)
· dS
(3.31) {PC6D}
Orbene l’esperienza dice che
Seconda legge del campo magnetostatico: se muoviamo un circuito, sia rigido che deformabile, ad esempio una spira percorsa da corrente, in un campo magnetico statico in modo da riportarlo alla posizione
iniziale non si compie alcun lavoro [35, p.148].
In formule
Φ[∂V] = 0.
(3.32) {UUD7}
Si noti che questa relazione è analoga a quella del campo elettrostatico che afferma
essere nullo il lavoro fatto in un campo elettrico costante muovendo una carica q lungo
una linea chiusa.
Cosa accade se il campo magnetico è variabile? Quando si calcola un integrale
di linea o di superficie o di volume di una funzione o di un vettore che dipende oltre
44
CAPITOLO 3. MAGNETOSTATICA
che dal posto anche dal tempo si intende che l’integrazione viene fatta mantenendo
costante l’istante, come se il campo variabile fosse congelato a quell’istante. Questo
è semplicemente conseguenza della nozione di integrazione parziale. La stessa cosa
avviene nella definizione di derivazione parziale in cui le altre variabili rimangono
congelate. Ebbene la seconda legge del campo magnetostatico rimane valida anche
se il campo magnetico è variabile ad esempio che si stia spegnendo lentamente o
bruscamente: il flusso magnetico sul bordo di un volume è nullo ad ogni istante.
Vedremo che non accade lo stesso della tensione elettrica: in un campo costante nel
tempo (elettrostatica) essa è nulla su qualunque linea chiusa ma se il campo varia
essa, (sempre essendo calcolata a tempo congelato) non è nulla, ovvero varia da un
istante all’altro.
Osservazione. Confronto tensione elettrica-flusso magnetico. Come la tensione elettrica U si può interpretare come il lavoro per unità di carica cosı̀ il flusso magnetico si può
interpretare come lavoro per unità di corrente:
{PJD6}
U=
volt =
3.3.3
W
q
joule
coulomb
Φ=
W
.
i
weber =
(3.33)
joule
.
ampere
~
La natura assiale di B
Nel paragrafo precedente abbiamo rappresentato l’elemento di area individuato dai
~ mediante il vettore S
~ ottenuto facendo il prodotto vettoriale dei
due vettori ~s ed L
~ è associato alla superficie mediante la
due vettori. Questo implica che il vettore S
regola del cavatappi e quindi è un vettore assiale: esso muta segno se si cambia la
vite destra nella vite sinistra. Dal momento che il flusso magnetico Φ non dipende,
~ vi deve dipendere ovvero anche
ovviamente, dalla vite, ne viene che anche il vettore B
~
B è un vettore assiale. Questo si può vedere direttamente dalla formula (3.22) in
~
cui viene usato il prodotto vettoriale: dal momento che né la forza F né il vettore L
dipendono dalla regola della vite, e si chiamano perciò vettori polari, il vettore B
vi deve dipendere per compensare la dipendenza dalla vite del prodotto vettoriale.
3.4
L’equazione costitutiva B −H
~ ed H
~ dipende dal mezzo: essa può essere investigata con il
La relazione tra B
dispositivo di Fig.(3.8a)).
Consideriamo un provino di forma torica5 . Se consideriamo un avvolgimento con
N spire in ciascuna delle quali passa una corrente I, indicando con L0 la circonfe5
Qui ci rifacciamo alla presentazione di Someda [46, p.24]
3.4. L’EQUAZIONE COSTITUTIVA B −H
45
N1
B
I
G
N2
+
H
0
C
+
4
3
2
A
1
Figura 3.8: a) Il dispositivo per la determinazione della relazione H − B nei
{magnete}
materiali ferromagnetici. b) La relazione risultante per i materiali ferromagnetici.
renza media del toro, il campo magnetico nel suo interno sarà approssimativamente
uniforme per cui
NI
H=
.
(3.34) {GZ4Z}
L0
Agli estremi di un secondo avvolgimento formato da n spire alla chiusura del circuito
registrerà una variazione di flusso (inizialmente nullo)
nBS = Rq
donde
B=
Rq
nS
(3.35) {HYZ7}
essendo R la resistenza del circuito secondario; q la carica registrata nel secondario; S
l’area della sezione del toro. Con queste due formule si ottiene un diagramma H − B.
46
CAPITOLO 3. MAGNETOSTATICA
Capitolo 4
Elettro-magnetismo
Per secoli i fenomeni elettrici sono stati considerati del tutto distinti da quelli
magnetici. Una cosa era l’elettrizzazione per strofinio, le palline di sanbuco,
la carica delle bottiglie di Leida, la generazione di corrente mediante una pila;
tutt’altra cosa erano i magneti permanenti e le bussole. Un giorno dell’anno
1819, durante un esperimento, il fisico danese Oersted si accorse che quando
in un filo passava una corrente un ago magnetico posto nelle vicinanze del filo
si spostava: un fatto elettrico, la conduzione, interagiva con un fatto magnetico. E’ cosı̀ caduto un muro divisorio tra due branche della scienza che erano
adiacenti e non lo sapevano! Nacque cosı̀ l’elettro-magnetismo.
4.1
La relazione di Faraday-Neumann
Consideriamo due aste metalliche parallele connesse ad un voltmetro. Su di esse
scorra un’asta metallica AB con velocità costante v. Il tutto sia immerso in un campo
magnetico uniforme con il vettore B perpendicolare al piano delle due aste. A causa
del movimento il flusso magnetico concatenato con il circuito varia. L’esperimento
dice che tra i due estremi C e D delle guide si manifesta una forza elettromotrice di
intensità U . La relazione tra le grandezze in gioco è
U =−
∆Φ
∆t
(4.1) {SSS}
Questa relazione esprime la legge dell’induzione di Faraday-Neumann.
4.1.1
L’impulso di tensione elettrica U ♠
Consideriamo ora una corrente variabile nel tempo, come quella prodotta dalla scarica
di un condensatore o dalla scarica di una pila connettendo con un filo le due armature
47
48
CAPITOLO 4. ELETTRO-MAGNETISMO
∆Φ
B
D
V
v
C
A
Figura 4.1:
La variazione del flusso magnetico nel circuito induce una forza
elettromotrice tra i due estremi delle guide.
coulomb
secondo
I
~˙
B
J~
{FaradayInd}
weber
secondo
Φ˙
V = −Φ̇
F =I
newton
weber
~
E
~
H
newton
coulomb
i
Figura 4.2: Analogia tra il campo magnetico prodotto da una corrente ed il campo
elettrico prodotto da un flusso magnetico variabile (da Rojansky, [44, p.343])
E
H
H=
I r
2π a2
E=−
I 1
H=
2π r

{analFiloSpirale}
r
Φ̇ r
2π a2
E=−

Φ̇ 1
2π r
r
Figura 4.3: Analogia tra il campo magnetico prodotto da una corrente ed il campo
elettrico prodotto da un flusso magnetico variabile. Si noti che il campo in entrambi
i casi si annulla sull’asse del cilindro/solenoide.
{Biot}
4.1. LA RELAZIONE DI FARADAY-NEUMANN
49
F
Ψ
I
Q
Faraday: Ψ = Q
Ampère: F = I
Figura 4.4: Analogia tra la legge di Faraday dell’induzione elettrostatica e quella
{anal-Far-Amp}
di Ampère delle correnti.
o i due poli rispettivamente ne viene che anche la tensione è variabile. Poiché le due
grandezze U e I sono proporzionali considerando una corrente variabile nel tempo il
suo valore medio in un intervallo stabilito rimane proporzionale al valore medio della
tensione.
Consideriamo un intervallo di tempo T e scomponiamolo in intervalli τk . La legge
di Ohm fornisce
X
X
R I¯k τk
(4.2) {H895}
Ūk τk =
k
k
avendo indicato con una barra i valori medi delle grandezze nei relativi intervalli.
Poniamo quindi
def
U =
X
Ūk τk
(4.3) {H023}
k
La grandezza U prende il nome di impulso di tensione.
Con queste grandezze si ottiene la legge di Ohm in forma globale
U = R Qf .
(4.4) {H871}
Questa afferma che l’impulso di tensione elettrica tra due punti di un filo conduttore
è proporzionale alla carica passata. Il flusso di carica ottenuto dalla scarica di un
condensatore si può misurare con un galvanometro balistico.
Anche per questa grandezza vale la relazione
U(−L) = −U(L)
condizione di disparità di U.
(4.5) {P466}
50
4.1.2
CAPITOLO 4. ELETTRO-MAGNETISMO
La misura del flusso magnetico Φ ♠
4.2
La relazione di Maxwell-Ampère
4.2.1
L’impulso di tensione magnetica Um ♠
4.2.2
La corrente di spostamento Ψ̇ ♠
4.2. LA RELAZIONE DI MAXWELL-AMPÈRE
51
Tavola I: Confronto tra le grandezze elettriche e magnetiche.
{G42Z}
elettricità
magnetismo
Il flusso elettrico Ψ
è associato ad una superficie S̃
con orientazione esterna.
~
Il vettore induzione D
è il flusso per unità di area
ha la direzione del massimo flusso.
Metodo di misura:
sonda a due dischetti
(il campo interno si annulla)
Unità di misura:
coulomb
Legge di Gauss:
flusso elettrico = carica contenuta
Ψ [∂ Ṽ, Ĩ] = Q[Ṽ, Ĩ]
L’impulso di f.m.m. Um
è associata ad una linea L̃
con orientazione esterna.
~
Il vettore campo magnetico H
è la f.m.m. per unità di lunghezza
ha la direzione della massima f.m.m.
Metodo di misura:
bobinetta compensatrice
(il campo interno viene annullato).
Unità di misura:
ampere
Legge di Maxwell-Ampère:
f.m.m. = corrente concatenata
Um [∂ S̃, T̃] = Qf [S̃, T̃] + ∆Ψ [S̃, Ĩ]
L’impulso di f.e.m. U
è associato ad una linea L
con orientazione interna.
~
Il vettore campo elettrico E
è la f.e.m. per unità di lunghezza
ha la direzione della massima f.e.m.
Metodo di misura:
annulla il campo.
Unità di misura:
volt = joule/coulomb
Legge di Faraday:
U[∂L, T] = −∆Φ[S, I]
il flusso magnetico Φ
è associato ad una superficie S
con orientazione interna.
~
Il vettore induzione B
è il flusso per unità di area
ha la direzione della massimo flusso.
Metodo di misura:
annulla il campo.
Unità di misura:
weber = joule/ampere
Legge di Gauss:
Φ[∂V, I] = 0
52
CAPITOLO 4. ELETTRO-MAGNETISMO
Capitolo 5
I complessi di celle
Nella trattazione differenziale hanno un ruolo essenziale i sistemi di coordinate
in quanto associano ai punti dello spazio una terna di numeri, le coordinate
del punto. Le variabili fisiche usate nella trattazione differenziale sono funzioni
del punto e quindi le coordinate permettono di mettere in relazione punti dello
spazio con numeri (i valori della variabili). Nella trattazione finita si usano
grandezze fisiche globali che sono associate non solo a punti, ma a linee, a
superfici e a volumi. Quindi i sistemi di coordinate non bastano più: occorre avere un telaio di riferimento capace di esibire questi elementi geometrici.
Questo ruolo è svolto dai complessi di celle in quanto questi esibiscono i vertici,
gli spigoli, le facce ed i volumi.
5.1
Il ruolo dei complessi di celle
I complessi di celle svolgono un ruolo analogo ai sistemi di coordinate; essi consentono
di evidenziare nel dominio gli elementi geometrici di cui ha bisogno la trattazione finita
e cioè i volumi, le facce, gli spigoli e i vertici.
Nella formulazione differenziale le coordinate hanno un ruolo essenziale in quanto
permettono di descrivere i punti con delle coppie di numeri nel bidimensionale o
delle terne nel tridimensionale. I punti sono i protagonisti della geometria nella
formulazione differenziale in quanto questa fa uso delle funzioni di punto.
Al contrario in una formulazione finita si usano le funzoni di insieme e queste sono
riferite non solo ai punti ma anche alle linee, alle superfici ed ai volumi. Ne viene
che i complessi di celle, con i loro vertici, spigoli, facce e volumi offrono i referenti
geometrici per le grandezze globali e quindi sono indispensabili per la formulazione
finita.
53
54
CAPITOLO 5. I COMPLESSI DI CELLE
5.2
Complessi simpliciali
Tutte le volte che si studia un campo si fissa una regione dello spazio, il dominio,
delimitato da un bordo. Per fare una trattazione finita del campo è necessario dividere
il dominio in tante cellette di forma arbitraria e di dimensioni opportune. Si ottiene
in tal modo un complesso di celle. I complessi più semplici da trattare sono formati
da triangoli nel bidimensionale e da tetraedri nel tridimensionale. Dal momento che
i triangoli e i tetraedri sono rispettivamente i poligoni ed i poliedri più semplici il
complesso da essi formato prende il nome di complesso simpliciale. I triangoli e i
tetraedri sono i simplessi nel bidimensionale e nel tridimensionale rispettivamente.
Figura 5.1: Un esempio di complesso di Delaunay con maglie più fitte in alcune
{easyforo}
zone del dominio.
La figura (5.1) mostra un complesso simpliciale ottenuto con un generatore automatico di maglie 1
Faremo riferimento a complessi simpliciali. Le ragioni che suggeriscono di usare
un complesso simpliciale in due o tre dimensioni sono almeno tre:
• la prima è che un dominio di forma generica anche contenente cavità può essere
delimitato da una o più poligonali come mostra la figura (5.1). La triangolazione
può appoggiarsi sui lati di queste poligonali nonchè sulle superfici di separazione
di materiali diversi, come indicato in figura (??). Questo non è possibile se la
maglia2 , è fatta di rettangoli3 .
E’ stato ottenuto con il programma easymesh: si veda l’appendice ♣
Noi usiamo il termine “complesso di celle” che è da ritenersi, per il momento, equivalente ad
altri termini come tessellatura, magliatura, grigliatura, rete, reticolo e similari.
3
La maglia rettangolare è stata la causa della tramonto del metodo delle differenze finite!
1
2
5.2. COMPLESSI SIMPLICIALI
55
• la seconda è che i simplessi consentono l’infittimento in alcune regioni e la
rarefazione in altre. Questo consente di infittire il complesso nelle regioni in
cui le variazioni delle grandezze sono più rapide e di rarefarle dove le variazioni
sono più lente. Ciò consente di diminuire notevolmente il numero delle celle del
complesso a parità di approssimazione del risultato. Questo non è possibile se
la maglia è costituita da rettangoli.
• L’interpolazione dei valori di una grandezza nell’interno di ogni simplesso è
particolarmente semplice, come vedremo.
5.2.1
Triangolazione di Delaunay
Il complesso simpliciale più semplice nel bidimensionale è quello costituito da triangoli
equilateri. Esso però ha lo svantaggio di non poter essere adattato al bordo del
dominio oltre al fatto di non potersi infittire in alcune parti del dominio. I più vicini
ai complessi formati da triangoli equilateri sono i complessi di Delaunay4 . Prima di
presentarli dobbiamo fare alcune considerazioni riguardo due triangoli adiacenti.
3
3
O
B
3
3
I
C
1
2
baricentro: mediane
1
2
ortocentro: altezze
1
incentro: bisettrici
2
Figura 5.2: I quattro “centri” di un triangolo.
1
circocentro: assi
2
{centriIT}
Intanto ricordiamo che in un triangolo esistono quattro centri significativi: il baricentro, l’incentro, il circocentro e l’ortocentro, come mostra la figura (5.2). Mentre
il baricentro e l’incentro sono sempre interni al triangolo, il circocentro e l’ortocentro
possono trovarsi all’esterno: questo capita quando i triangoli sono ottusangoli. Noi
prenderemo in considerazione il circocentro ed il baricentro.
5.2.2
Circocentro.
Il pregio del circocentro, intersezione degli assi di un triangolo, sta nel fatto che il
segmento che congiunge i circocentri di due triangoli adiacenti è perpendicolare al
lato comune, come mostra la figura (5.3 a)) .
4
Chiamati anche complessi di Dirichlet.
56
CAPITOLO 5. I COMPLESSI DI CELLE
Dalla figura (5.3) si vede che il circocentro di un triangolo acutangolo si trova
all’interno del triangolo stesso. Se quindi si considerano due triangoli adiacenti T1 e
T2 , entrambi acutangoli, il segmento C1 C2 che connette i loro circocentri è diretto dal
triangolo T1 al triangolo T2 . Al contrario, se uno dei due triangoli adiacenti presenta
un angolo ottuso il segmento C1 C2 è diretto dal triangolo T2 al triangolo T1 .
Facciamo vedere che in questo caso una soluzione numerica darebbe risultati errati. Ad
esempio, in un campo termico, se indichiamo con T1 e T2 le temperature misurate nei punti
C1 e C2 e supponendo che T1 > T2 il calore fluisce dalla regione dalla regione più calda
verso quella più fredda attraverso la faccia comune del triangolo t1 al triangolo t2 . Ciò è
espresso dalla legge costitutiva di Fourier:
{B07}
S
Q = (−λ) (T1 − T2 )
L
(5.1)
dova S denota l’area della faccia comune, L la lunghezza del segmento C1 C2 e λ la conducibilità termica. In questa relazione è sottinteso che la differenza di temperatura venga
misurata lungo una direzione ortogonale alla faccia. Se il senso del segmento C1 C2 è opposta
al senso che va dal triangolo t1 al triangolo t2 il risultato è che l’applicazione della formula
(5.1) genera un flusso opposto a quello naturale. Questo implica un errore nel calcolo numerico che si può diffondere all’intera regione di integrazione anzichè rimanere localizzato.
Per evitare tale inversione dobbiamo richiedere che i due triangoli adiacenti abbiano forma
tale che non vi sia inversione dei centri. Occorre dunque assicurarsi che i circocentri di due
triangoli adiacenti non si scavalchino come invece accade in figura (5.3d).
Il criterio trovato da Delaunay è il seguente: per ogni triangolo il cerchio passante
per i tre vertici non deve contenere altri vertici del complesso delle celle. Per dimostrare questo si faccia riferimento alla Fig.(5.4). Sia P QR un triangolo ottusangolo
e C1 il suo circocentro. C1 giace sull’asse dei lati, in particolare sull’asse n del lato
P R. Si consideri una linea r con origine in P e comprendente il punto S come vertice
del triangolo adiacente P RS. Se S si trova all’interno del cerchio, detto in S 0 , l’asse
di P S 0 intersecherà l’asse n in C1 che giace prima del centro C1 . Al contrario se S
giace in S 00 l’asse di P S 00 si troverà C2 dopo C1 . Abbiamo dimostrato che se S giace esternamente al cerchio del triangolo P QR (condizione di Delaunay) il centro del
triangolo adiacente P RS giace più lontano del centro del triangolo dato rispetto al
lato comune P R. Una triangolazione che soddisfa le condizioni di Delaunay in tutti
i suoi triangoli è detta triangolazione di Delaunay.
Il criterio di Delaunay è valido anche per i tetraedri: in tal caso la sfera contenente
i quattro vertici del tetraedro non deve contenere altri vertici.
Esistono diversi generatori di maglie che costruiscono automaticamente una triangolazione di Delaunay per un dominio di forma qualsiasi, anche contenente buchi.
Osserviamo che un dominio piano è opportuno considerarlo come un dominio tridimensionale racchiuso tra due piani paralleli situati a piccola distanza tra loro, come
se si trattasse di una lastra sottile. Questo porta a considerare in luogo di triangoli
5.2. COMPLESSI SIMPLICIALI
t
57
t
2
C2
C
t
t
2
C =C 2
C
1
C2
C1
1
2
C
t
t
t
1
a) ammesso
t
1
1
2
1
1
c) proibito
b) ammesso
2
d) proibito
Figura 5.3: I segmenti che congiungono i circocentri di due triangoli adiacenti
{Delaunay1IT}
sono ortogonali al lato comune. I circocentri di due triangoli distinti è bene che
siano distinti come in a) e b).
r
S
S" r
r
S'
P
C1
n
P
n
a)
1
2
Q
R
C1
C1 = C 2
C2
Q
P
1
2
b)
Q
R
c)
1
C2 n
2
R
Figura 5.4: La condizione di Delaunay assicura che C1 e C2 non siano invertiti,
{BB122}
come in a), né coincidenti, come in b).
58
CAPITOLO 5. I COMPLESSI DI CELLE
dei prismi, come mostrato in Fig.(5.5). Questo ha almeno due vantaggi: il primo è
strato
strato
Figura 5.5: Un complesso simpliciale nel piano è opportuno che sia considerato
{BB11}
formato di prismi di spessore uniforme.
che si può mantenere una terminologia unificata tra problemi piani e tridimensionali
parlando di volumi (volumi dei prismi e volumi dei tetraedri); il secondo è che, come
vedremo, il complesso duale risulta sfalsato nella terza dimensione.
5.2.3
Triangolazione generica
Sovente il dominio bidimensionale ha un contorno composto di tratti orizzontali e
verticali, come mostrato in figura (5.6a). Questi domini si possono decomporre in
rettangolini come in figura (5.6b). Ciascuno di questi rettangolini può essere suddiviso
in due triangoli rettangoli aventi come ipotenusa una diagonale del rettangolo. Si
ottiene cosı̀ un complesso simpliciale, come si vede in figura (5.6c) che non è del tipo di
Delaunay in quanto la circonferenza che passa per tre vertici contiene un altro vertice.
Ne consegue che i circoncentri coincidono e si trovano a metà dell’ipotenusa. In questo
caso conviene prendere in considerazione i baricentri come punti rappresentativi dei
singoli triangoli.
5.3
Complesso duale
Dato un complesso di celle di forma a priori arbitraria si può considerare all’interno di
ogni cella un punto. Congiungendo tali punti interni per ogni coppia di celle adiacenti
si ottiene un secondo complesso di celle cui si dà il nome di complesso duale.
Se il complesso formato da quadrati nel bidimensionale o da cubi nel tridimensionale, come indicato in figura (5.7) si può prendere il centro di ogni quadrato/cubo
come punto interno. Questo centro è nel contempo il baricentro ed il circocentro (nel
bidimensionale) o lo sferocentro (nel tridimensionale).
5.3. COMPLESSO DUALE
59
a)
b)
c)
d)
Figura 5.6: Un dominio formato da rettangoli, come in a), può essere decomposto
{rettangoli}
in tanti rettangoli come in b), ciascuno dei quali, a sua volta, può essere diviso in
due triangoli. Si ottiene cosı̀ un complesso simpliciale come in c), che non è del
tipo di Delaunay. Pertanto è conveniente usare come punti interni rappresentativi
i baricentri. Il complesso duale si ottiene congiungendo direttamente i baricentri
dei triangoli adiacenti, come in d).
duale
primale
a)
b)
Figura 5.7: a) La cella duale nel bidimensionale è sfalsata rispetto alle celle
{cubi3}
primali. b) Idem nel tridimensionale.
60
CAPITOLO 5. I COMPLESSI DI CELLE
Figura 5.8: ♣ duale simplessi
{num}
Se il complesso è simpliciale del tipo di Delaunay, come in figura (??), si può
prendere come punto interno o il circocentro ( rispettivamente lo sferocentro nel
tridimensionale) oppure il baricentro come in figura (5.9 a e b). Nel primo caso i
poligoni e i poliedri che ne derivano sono chiamati poligoni di Voronoi; nel secondo
caso i poligoni ed i poliedri sono chiamati poligoni baricentrici.
Se si scelgono i baricentri è opportuno considerare come poligono/poliedro duale
quello che ha come vertici i baricentri non solo delle celle ma anche delle facce e dei
lati, come mostrato in figura (5.9 c)
a)
b)
Figura 5.9: a) Il poligono duale ottenuto congiungendo i circocentri di due trian-
{tre-poliIT}
goli adiacenti (poligono di Varonoi). b) Il poligono duale ottenuto congiungendo i
baricentri di due triangoli adiacenti (poligono baricentrico). c) Il poligono ottenuto
congiungendo i baricentri dei triangoli con i baricentri dei lati. Anche questo si
chiama poligono baricentrico.
Il lettore sarà d’accordo sul fatto che sia più semplice disegnare nel tridimensionale
un complesso formato da cubi piuttosto che da tetraedri. Questo lo spingerà, probabilmente, a preferire i cubi anche nel calcolo numerico. In tal modo si priverebbe
della possibilità di infittire le celle nelle regioni in cui le variazioni dei gradienti sono
maggiori e di adattare il complesso alle superfici del bordo.
Per evitare questo il lettore deve tener presente che per la impostazione numerica
nel tridimensionale non è affatto necessario disegnare un complesso simpliciale e tanto
meno il suo duale. Al più occorre disegnare un solo tetraedro con le sei faccette
baricentriche. In figura (5.11) abbiamo illustrato le fasi per fare questa costruzione a
mano libera ed in appendice (??) abbiamo riportato un programma in MATLAB che
fornisce questa figura.
5.3. COMPLESSO DUALE
61
C
a)
b)
Figura 5.10: a) I baricentri del tetraedro, delle sue facce e dei suoi spigoli. b) Le
{tetra2}
facce del poliedro duale si ottengono componendo le 6 faccette indicate in figura.
Ciascuna di queste è un quadrilatero congiungente il baricentro del tetraedro con
i baricentri delle facce e degli spigoli.
I baricentri delle cellette possono essere presi come vertici di un secondo complesso di celle: questo secondo complesso lo chiameromo duale del precedente che verrà
chiamato primale. La figura (5.22) a) mostra una cella duale nel caso di un complesso formato da rettangoli mentre in (5.22) b) si ha la stessa cosa per un complesso
simpliciale.
Perché il termine “duale”? Tutto nasce dalla constatazione sorprendente che
sussiste la seguente corrispondenza:
• ad ogni vertice del complesso primale corrisponde una cella del duale;
• ad ogni spigolo del complesso primale corrisponde una faccia del duale;
• ad ogni faccia del complesso primale corrisponde uno spigolo del duale;
• ad ogni cella del complesso primale corrisponde un punto del duale;
Una corrispondenza tra elementi di dimensioni complementari prende il nome di
corrispondenza di dualità.
Si possono allora classificare gli elementi geometrici orientati secondo gli schemi
della tabella (I).
5.3.1
Complessi di Delaunay-Voronoi
La coppia formata da un complesso simpliciale di Delaunay e dai relativi poligoni/poliedri di Varonoi prende il nome di complesso di Delaunay-Voronoi.
62
CAPITOLO 5. I COMPLESSI DI CELLE
k
k
k
j
j
j
h
h
h
a)
b)
c)
i
i
i
k
k
k
j
j
h
j
h
d)
h
e)
i
j
~6
A
5
h
g)
Ah / 3
k
k
4
1
~1
A
i
~T e
h
Ah/4
~4
~3 A
A
3
j
~2
A
2
4
i
j
~T e
h
6
f)
i
k
h
h
i
h)
~5
A
i)
√
1/ 3
Figura 5.11: Le fasi della costruzione delle sei faccette del poliedro duale contenute
{costruisci}
nel tetraedro. Il programma si trova in Appendice (??).
i
5.3. COMPLESSO DUALE
63
A
B
C
campione formato da diversi materiali
complesso simpliciale
Figura 5.12: Un pezzo formato da tre materiali diversi: si possono generare
automaticamente dei complessi simpliciali con infittimento scelto a piacere.
easyVariMaterIT}
Per metodi numerici è conveniente considerare complessi di Delaunay-Voronoi5 .
La figura (5.13) indica un complesso di Delaunay-Voronoi nel piano. Si vede come i
poligoni di Voronoi siano in realtà dei prismi sfalsati rispetto ai prismi di Delaunay.
Parleremo indifferentemente di triangoli di Delaunay e di “prismi” di Delaunay, cosı̀
come parleremo indifferentemente di poligoni di Voronoi e di “prismi” di Voronoi.
Nel tridimensionale possiamo scegliere un complesso di celle formato dalle linee
coordinate e dalle superfici coordinate di un sistema di coordinate come quello in
Fig.(??). Complessi di celle formati dalle linee e dalle superfici coordinate sono utili
quando si vuole passare al limite per ottenere la formulazione differenziale.
Abbiamo già detto che la nozione di complesso di celle in un contesto finito corrisponde alla nozione di sistema di coordinate in un contesto differenziale. Possiamo
aggiungere che la coppia di celle Delaunay-Voronoi corrisponde ad un sistema di coordinate ortogonali. Inoltre un complesso di celle formato da parallelotopi 6 corrisponde
ad un sistema di coordinate cartesiane. Indicheremo le celle del complesso duale con
una tilde in alto. La figura (??) mostra un complesso di Delaunay-Voronoi che tiene
conto dello spessore: come si vede i triangoli sono, in realtà, prismi triangolari e i
poligoni duali sono dei prismi.
I l complesso di celle ed il suo duale è stato presentato nel bidimensionale e nel
tridimensionale. Esso però si può introdurre nell’unidimensionale, come riportato
nella figura (5.14).
Dopo aver diviso l’intervallo AB in intervalli più piccoli (le celle unidimensionali)
si possono considerare dei punti interni ai singoli intervalli come vertici del complesso
5
Cavendish, Hall, Porsching[?, p.338]
Il termine parallelotopo comprende quello di parallelogramma nel bidimensionale e di
parallelepipedo nel tridimensionale e lo estende a dimensioni superiori a tre.
6
64
CAPITOLO 5. I COMPLESSI DI CELLE
Figura 5.13: Per studiare campo piano di spostamenti si può usare una triangolazione. Ogni triangolo deve però interpretarsi come la base di un prisma in quanto
occorre tener conto del fatto che esiste uno spessore. Il complesso duale, formato qui da esagoni regolari è a sua volta da interpretare come formato da prismi
esagonali. I prismi esagonali e quelli triangolari sono sfalsati anche nello spessore.
{formagginiElasto}
intervallo duale
vertice del duale
vertice del primale






B
P
L
x
P̃








P̃
P
L
L̃

P̃
A
L̃





L̃





L̃
L
intervallo primale
Figura 5.14: Un complesso di celle ed il suo duale in una dimensione.
{unidim}
5.3. COMPLESSO DUALE
65
duale. La scelta più spontanea per i vertici del duale è quella dei punti medi degli
intervalli. Si noti che gli intervalli duali relativi ai due sistemi A e B risultano spezzati.
Per denotare gli elementi geometrici di un complesso di celle e del suo duale
introdurremo la notazione seguente.
P
L
S
V
=
=
=
=
punto
linea
superficie
volume
= vertice
= spigolo
= faccia
= cella
Per denotare gli elementi geometrici del complesso duale porremo una tilde sopra
la lettera corrispondente: P̃, L̃, S̃, Ṽ.
E’ immediato constatare che gli elementi geometrici del complesso duale corrispondono a quelli del complesso primale in ordine inverso, come mostra la figura
(5.15) .
1D
2D
1P
1P
1S̃
1L̃
2L
1L
3D
1P
1Ṽ
3L
3S̃
3S
3L̃
1V
1P̃
2L̃
1P̃
1S
1P̃
Figura 5.15: Gli elementi geometrici esibiti da un complesso di celle e dal suo
duale.
{complessi-1-2-3}
La figura (5.15) mostra delle celle formate mediante un sistema di coordinate
curvilinee. Questo tipo di celle è comodo quando si voglia passare da una formulazione
finita ad una differenziale. I numeri che stanno davanti ai simboli 1P, 3L, 3S, 1V
indicano le famiglie di elementi. Ad esempio 3L indica che vi sono tre famiglie di
”linee” (spigoli delle celle) e cioè tante quante sono le linee coordinate.
Quando si considera un complesso simpliciale, che è più adatto alla risoluzione
numerica dei problemi di campo, questi numeri scompaiono, come indica la figura
(??)
Considerando il tempo, si può costruire un complesso di celle ed il suo duale
sull’asse dei tempi, come indicato in figura (5.17).
66
CAPITOLO 5. I COMPLESSI DI CELLE
Figura 5.16: simpliciale
τ̃
τ̃ n
t̃2
t̃1
t
{num}
t̃n
t
tn−1
τ
t̃n+1
t
tn
+1
tn
τn
Figura 5.17:
{tempo-primale-duale
Sono definiti elementi ”cronometrici” gli istanti I e gli intervalli T del complesso
primale con i relativi duali Ĩ e T̃.
Si può considerare anche uno spazio-tempo bidimensionale come indicato in figura
(5.18).
IP
tempo t
TL
T
I




I
I˜L̃
IP
I˜


I˜P̃
T̃


I˜
L
P
TL
P̃
T̃ P̃
I˜P̃
x
P







P
TP
P̃



T̃ P̃
P̃
{spazio-tempo}
IL
T̃L̃
IL
T̃L̃
I˜L̃
TP
L̃
Figura 5.18:
Combinando gli otto elementi geometrici P, L, S, V, P̃, L̃, S̃, Ṽ con i quattro elementi cronometrici I, T, Ĩ, T̃ si ottengono 8×4 = 32 elementi crono-geometrici. La
tavola (I) mostra uno schema degli elementi geometrici e cronogeometrici.
5.3. COMPLESSO DUALE
67
Tavola I: Classificazione degli elementi geometrici degli spazi a diverse
{AA5}
dimensioni: (sopra) spazi a dimensioni in 1, 2, 3; (sotto) gli stessi con
aggiunta della dimensione temporale.
figura
complesso
primale
P L complesso
duale
complesso
primale
P L̃ L P̃ complesso
duale
complesso
primale
S̃ P L̃ L complesso
duale
Ṽ S̃ a) variabile x
S P̃ S L̃ b) variabili x, y
V P̃ c) variabili x, y, z
IP IP T̃ T̃S̃ T̃Ṽ I T TP TP ĨS̃ ĨṼ Ĩ d) variabile t
IL IL T̃L̃ T̃S̃ TL TL ĨL̃ ĨS̃ IP IS IS T̃L̃ T̃P̃ T̃L̃ TP TS TS ĨL̃ ĨP̃ ĨL̃ IL T̃P̃ TL ĨP̃ e) variabili t, x
f) variabili t, x, y
IV T̃P̃ TV ĨP̃ g) variabili t, x, y, z
68
CAPITOLO 5. I COMPLESSI DI CELLE
5.4
Orientazione degli elementi geometrici
Una caratteristica degli elementi geometrici è quella di poter essere orientati. Comunemente in fisica si fa uso della nozione di orientazione senza fornire un’adeguata
presentazione. La prima cosa che deve essere detta è che vi sono due tipi di orientazione di un oggetto geometrico, quella interna e quella esterna. Ciascuna orientazione
è dotata di sensi.
Un’altra cosa non comunemente specificata è che anche i punti, pur essendo privi
di estensione, possono (e debbono!) essere orientati nell’uno o nell’altro modo.
Vedremo che se dotiamo di orientazione interna gli elementi geometrici del complesso primale automaticamente gli elementi geometrici del complesso duale risultano
dotati di orientazione esterna.
5.4.1
Orientazione interna
Una linea può essere percorsa in un senso o nel senso opposto: fissare un senso di
percorso vuol dire dare una orientazione interna alla linea. La nozione di orientazione
è indispensabile in fisica perché le grandezze fisiche che associamo alle linee cambiano
segno al cambiare dell’orientazione. Allo stesso modo il lavoro di una forza dipende
dalla orientazione della linea; la tensione elettrica tra due punti cambia segno al
cambiare dell’orientazione della linea (cioé invertendo i terminali del voltmetro).
orientazione interna
P
Orientazione interna di un punto:
un punto è orientato positivamente
se è un pozzo.
Orientazione esterna di un volume:
scelta di un orientazione interna od
esterna delle normali.
L
Orientazione interna di una linea:
è la nozione base usata per dare
un significato alla orientazione di
tutti gli altri elementi geometrici.
Orientazione esterna di un volume:
scelta di un orientazione interna o
esterna delle normali.
Orientazione interna di una superficie:
è un orientazione compatibile dei
suoi spigoli, per es. il verso per
percorrere i suoi bordi.
Orientazione esterna di una linea:
è l’orientazione interna della
superficie che attraversa la linea.
Orientazione interna di un volume:
è un orientazione compatibile delle
sue facce. E’ equivalente alla regola
della vite.
Orientazione esterna di un punto:
è l’orientazione interna del
volume che contiene il punto.
S
V
{CC15IT}
orientazione esterna
Ṽ
S̃
L̃
P̃
Figura 5.19: I due tipi di orientazione di un elemento geometrico.
5.4. ORIENTAZIONE DEGLI ELEMENTI GEOMETRICI
69
Una volta orientata la linea si può dare una orientazione interna ad una superficie: basta dare una orientazione interna, ovvero un senso di percorso, al suo bordo.
L’orientazione interna di una superficie si può indicare con una freccia curva. Ad
esempio, il flusso magnetico prodotto da una spira percorsa da corrente cambia segno al cambiare del senso della corrente: è questa una grandezza fisica il cui segno è
vincolato all’orientazione interna della superficie.
Figura 5.20: L’orientazione interna di un volume equivale alla regola della vite.
{elica}
Se si prende un cubo e si assegna una orientazione interna ad una sua faccia
quindi si propaga questa orientazione alle altre facce in modo che le orientazioni siano
compatibili, si dice che si è data una orientazione interna al cubo. Evidentemente
invece del cubo si può orientare un generico poliedro o una sfera o un cilindro. Nel
caso di un cilindro si vede che le frecce curve sulle due basi hanno sensi opposti e
invitano a torcere il cilindro: cosı̀ facendo le generatrici del cilindro si attorcigliano
dando luogo ad un’elica o ad una vite. Se si cambia l’orientazione interna del cilindro
le generatrici si attorcigliano nel senso opposto e si genera l’elica opposta. Di qui si
vede che una vite destra (come le comuni viti da ferro e da legno) o sinistra equivale
all’orientazione interna di un volume.
Se si considera un tetraedro con tre spigoli ortogonali il cambiamento dell’orientazione interna equivale al cambiamento della mano destra con la mano sinistra.
Ha senso orientare i punti? Si. Basta osservare che da una “sorgente” l’acqua
esce, mentre, in un pozzo l’acqua entra. La nozione di sorgente e di pozzo è usata
nel campo elettrico: le cariche positive sono sorgenti e quelle negative sono pozzi. Le
linee di campo escono da una carica positiva ed entrano in quella negativa.
Diremo pertanto che un punto è dotato di orientazione interna se consideriamo
le linee uscenti o quelle entranti come positive. A prima vista sembra privo di senso
geometrico parlare di orientazione di un punto in quanto questo non ha estensione.
Basta però pensare che quando una nozione non ha significato immediato gli si può
dare un significato in modo da mantenere certe proprietà formali. Consideriamo
le potenze ad esponente intero del tipo 3m . Secondo la definizione diretta 34 =
3 × 3 × 3 × 3 ovvero si deve moltiplicare la base per se stessa tante volte quante ne
70
CAPITOLO 5. I COMPLESSI DI CELLE
indica l’esponente. Stante questa definizione l’espressione 30 è priva di significato:
infatti essa indica il prodotto di 3×3×3... zero volte! Si scopre poi la regola preziosa
3m /3n = 3m−n . Questa regola, originariamente, vale se m > n. Cosa succede per
m = n ? La regola estesa a questo caso fornisce l’uguaglianza: 3m /3m = 1 . Dunque
all’espressione 30 che non ha significato diretto si può dare significato assegnando, per
convenzione, il valore 1. In tal modo si conserva la proprietà formale.
La stessa cosa si può fare per dare una orientazione interna ad un punto. Dal momento che il punto non ha estensione tale nozione non può essere data direttamente.
Ma considerando che dal punto possono partire ed arrivare linee si può definire l’orientazione interna considerando come positive le linee uscenti e come negative quelle
entranti. Questo induce una orientazione interna al punto che diventa sorgente o
pozzo.
Facciamo ora vedere che, per ragioni storiche, il punto è stato implicitamente
orientato come pozzo anzichè come sorgente.
Consideriamo il grafico di una funzione y = f (x) e consideriamo la definizione di
“incremento” della funzione tra il valore in x e quello in x + h, come indicato in figura
(5.21a)).
y
y0
y
f (x + h)
f (x)
O0
x
h
~r 0
P
~r 00
~r
x
−1
a)
y 00
x0
x00
O
00
O
+1
b)
def
∆y = (−1) f (x)+(+1) f (x+h)
Figura 5.21: a) La tradizionale definizione dell’incremento di una funzione im{incremento}
plica l’orientazione dei punti come pozzi. b) Il vettore raggio è sempre orientato
dall’origine verso il punto e quindi il punto è orientato come un pozzo.
Chiamiamo numero di incidenza tra un punto orientato ed una linea orientata
il numero +1 se le due orientazioni sono concordi, -1 se sono discordi e 0 se i due
non sono incidenti. Se si orientano i punti come pozzi (linee positive entranti) si
5.4. ORIENTAZIONE DEGLI ELEMENTI GEOMETRICI
71
vede che i numeri di incidenza di due estremi dell’intervallo h sono rispettivamente
-1 e +1. Questi numeri coincidono con i coefficienti dei valori f (x) ed f (x + h) nella
definizione dell’incremento. Quindi: la definizione di incremento di una funzione
utilizza implicitamente la nozione di punto orientato come pozzo. Una seconda ragione
che indica una orientazione implicita dei punti come pozzi (linee positive se entranti)
si ha nella considerazione del vettore raggio. In figura (5.21 b) si vede che il vettore
~r è, per definizione, orientato dall’origine di un sistema di assi al punto considerato.
Le figure (5.22) e (5.23) mostrano rispettivamente un complesso di celle nel bidimensionale e nel tridimensionale con le orientazioni interne dei rispettivi elementi
geometrici.
primale
duale
P
S̃ xy
Lx
L̃ y
Ly
L̃ x
Sxy
primale (Delaunay)
P
L
P̃
S
duale (Voronoi)
S̃
L̃
P̃
Figura 5.22: Un complesso di celle primale e duale in due dimensioni. A sinistra
delle celle rettangolari, a destra delle celle triangolari.
5.4.2
{BB1IT}
Orientazione esterna
Un tessuto o una medaglia hanno un diritto e un rovescio. Orientare una superficie
vuol dire anche fissare una sua faccia come positiva ed una come negativa ovvero
fissare un senso di attraversamento chiamando negativa la faccia di ingresso e positiva
quella di uscita. Questo tipo di orientazione si dice “esterna” in quanto presuppone
l’immersione della superficie nello spazio. L’orientazione interna di una superficie si
poteva fissare stando nell’interno della superficie, percorrendola, non attraversandola.
Quindi diremo che una superfice è dotata di orientazione esterna quando è stato fissato
un senso di attraversamento o, che è equivalente, quando è stata prescelta una sua
faccia come positiva. Faremo riferimento alla figura (5.19) parte destra.
Se consideriamo il calore che attraversa una superficie il suo segno dipende dalla
orientazione esterna prefissata: sarà positivo se il flusso di energia (calore) va nel
senso dell’orientazione esterna.
72
CAPITOLO 5. I COMPLESSI DI CELLE
z
Lx
P
x
S xy
complesso
primale
Ly
y
Lx
P
Lz
pozzo
S xy
complesso
duale
1P
1V
3L
3S
3S
3L
1V
1P
Lz
Ly
V
Syz
V
S yz
S zx
P
S zx
normali
uscenti
Figura 5.23: Un complesso di celle cubiche: il cubo ombreggiato è il duale. La
tabella a destra classifica gli elementi dei due complessi in uno schema che sarà
utilizzato intensivamente più tardi.
{BB17IT}
Se consideriamo la carica elettrica indotta su un dischetto di rame posto in un
campo elettrico dobbiamo prima dire quale faccia consideriamo positiva. Infatti la
carica indotta su una faccia è opposta a quella indotta sulla faccia opposta. Se su
una faccia c’è la carica di 7 coulomb e sull’altra -7 coulomb, quale delle due potremo
designare col nome di carica indotta? Sarà quella indotta sulla faccia che consideriamo
positiva.
Anche una linea può avere una orientazione esterna: basta considerare un segmento di linea immerso nello spazio e un senso di rotazione attorno al segmento. Il modo
migliore di vederlo è quello di disporre il segmento attraverso un elemento di superficie dotato di orientazione interna. La freccia curva che dà l’orientazione interna della
superficie fissa una orientazione esterna del segmento. E’ come se il segmento fosse
l’asse di rotazione di un disco: ruotando nell’uno o nell’altro senso il disco si definisce
una orientazione esterna dell’asse.
Anche un volume può essere dotato di una orientazione esterna: basta considerare
positive le linee uscenti e negative quelle entranti. Solitamente si dice che un volume
è “orientato” quando si fissano le normali uscenti o entranti dal suo bordo.
Questa dualità tra linee e superfici, tra punti e volumi ci consente di dare senso
alla nozione di orientazione esterna di un punto. Basta considerare un cubo dotato
di orientazione interna e un punto posto al centro di esso: i sensi di rotazione sulle
facce del volume possono vedersi come sensi di rotazione delle semirette con origine
nel punto. Quindi un punto si dirà dotato di orientazione esterna quando siano stati
fissati dei sensi di rotazione delle semirette con origine nel punto. Per rendere evidente
questa orientazione si consideri il centro della pupilla dell’occhio: se si guardano le
lancette di un orologio alla semiretta con origine nel centro della pupilla è associata
5.4. ORIENTAZIONE DEGLI ELEMENTI GEOMETRICI
a)
73
b)
Figura 5.24: a) orientazione interna di un cubo; b) orientazione esterna.
{orientaVolume}
l’orientazione oraria del moto delle lancette.
Si può vedere che il potenziale magnetico in un punto di un campo magnetico è
una grandezza fisica associata ai punti dotati di orientazione esterna: esso cambia
segno se si cambia l’orientazione esterna del punto ♣.
Mentre l’orientazione interna di un elemento geometrico (linea, superficie, volume)
non richiede di considerare l’elemento stesso immerso in una varietà mono-, bi- o tridimensionale, al contrario l’orientazione esterna esige questa immersione e dipende
dalla dimensione della varietà entro la quale l’elemento è considerato immerso.
Consideriamo segmento di retta nello spazio, la sua orientazione esterna consiste
in un senso di rotazione attorno al segmento. E’ come se il segmento fosse l’asse di
rotazione di un disco: ruotando nell’uno o nell’altro senso il disco si definisce una
orientazione esterna dell’asse. Se consideriamo il segmento di retta in un piano la
sua orientazione esterna consiste in un senso di attraversamento. Se consideriamo un
segmento di retta appartenente ad una retta la sua orientazione esterna consiste nel
concepire il segmento come fosse soggetto a trazione o compressione.
L
L
L
L
L
L
a)
b)
c)
Figura 5.25: Orientazione esterna di un segmento di retta:a) nello spazio; b) nel
piano; c) in una retta.
{orientaSegmento}
Consideriamo un poligono, ad esempio un triangolo o un rettangolo. Se il poligono
è immerso nello spazio la sua orientazione esterna è costituita da un senso di attraversamento ovvero dal considerare una faccia come negativa e l’altra come positiva.
Se invece il poligono è considerato in un piano, la sua orientazione esterna consiste
nel considerare le semirette uscenti come positive e quelle entranti come negative o
viceversa.
74
CAPITOLO 5. I COMPLESSI DI CELLE
Figura 5.26: Orientazione esterna di un elemento di superfice: a) nello spazio; b)
{orientaPoligono}
nel piano.
a)
b )
c )
Figura 5.27: Orientazione esterna di un punto: a) nello spazio, b) nel piano, c)
su una retta.
{orientaPuntoEsterna
5.4. ORIENTAZIONE DEGLI ELEMENTI GEOMETRICI
75
Il momento statico di un sistema di masse valutato rispetto ad un piano è un esempio di grandezza fisica associata ad un piano con orientazione esterna: infatti il segno
del momento statico di una massa dipende dal senso prescelto di attraversamento del
piano.
La figura (5.28) riassume la nozione di orientazione esterna di quattro elementi geometrici immersi nel tridimensionale, nel bidimensionale e nell’unidimensionale
rispettivamente.
L̃
S̃
3D
Ṽ
P̃
L̃
P̃
2D
S̃
1D
L̃
P̃
Figura 5.28:
L’orientazione esterna di un oggetto spaziale dipende dalle
dimensioni dello spazio di immersione.
{esterna}
L’orientazione di un oggetto geometrico si mantiene per proiezione, come mostra
la figura (5.29).
La figura (5.30) mostra dei complessi di celle in spazi di diversa dimensione, assieme alle orientazioni degli elementi geometrici che li compongono. Si osservi il fatto
importante che una volta assegnate le orientazioni interne agli elementi del complesso
primale risultano assegnate quelle esterne del duale.
La tavola (I) mostra degli schemi di classificazione degli elementi geometrici di un
complesso di celle e del suo duale.
76
CAPITOLO 5. I COMPLESSI DI CELLE
orientazione interna
orientazione esterna
IR3
IR2
IR1
Figura 5.29: Quando un oggetto spaziale o spazio-temporale è proiettato in uno
spazio di dimensione inferiore le orientazioni interna od esterna dell’oggetto di
partenza danno luogo alle corrispondenti orientazioni della proiezione.
{proietta-orientazIT}
5.4. ORIENTAZIONE DEGLI ELEMENTI GEOMETRICI
77
y
P̃
P̃
x

P





P
L
L
L
S̃
P̃
a
x
b
z
L
P
S̃
P
I˜
Ṽ


T
L̃
y
S̃
V
L̃
S
c
TL


I˜
L
P
P̃
y
T̃S̃
x
I˜L̃
TS
spazio
TL
P




P



e
TP
P̃



T̃ P̃
TP
x
T̃L̃
P̃
IS
I˜P̃
I˜P̃
T̃


IL
IL
T̃L̃
I˜L̃
I˜


I
IP
d
T̃ P̃
IP
tempo t
T
tempo t
I˜S̃
S
I˜
tempo
I
I
x
T
I˜



I
S
T̃





T̃

L

P̃
I


L̃

P̃
P
P
S
L̃





L̃
T̃L̃
f
L̃
Figura 5.30:
Complessi di celle. (a) unidimensionale; (b) bidimensionale; (c)
tridimensionale; (d) sull’asse dei tempi; (e) in uno spazio-tempo bidimensionale;
(f ) in uno spazio-tempo tridimensionale.
{BB55IT}
78
CAPITOLO 5. I COMPLESSI DI CELLE
Capitolo 6
Analisi delle grandezze fisiche
{grandezze}
Noi dedichiamo poca attenzione all’introduzione delle grandezze fisiche
che pur sono le pietre sulle quali è fondata la descrizione matematica della
fisica. Solitamente le introduciamo di soppiatto man mano che ci servono
senza presentarle, senza analizzarle, spesso senza darne una definizione.
6.1
Classificazione delle grandezze
Classificare vuol dire dividere in classi. Si divide un insieme di elementi o di nozioni
in classi al fine di mettere ordine; si mette ordine per lavorare con più facilità, per
semplificare, per facilitare la comprensione e per tante altre ragioni. Ogni classificazione si basa su un criterio; il successo e l’utilità di una classificazione sta nel criterio
scelto. Il criterio che intendiamo presentare è quello del ruolo che la grandezza svolge
nell’ambito di una teoria.
Per fare una analogia si possono classificare gli uomini secondo la loro razza,
bianca, gialla, nera, australiana, ecc. oppure secondo il ruolo che svolgono nella
società: casalinghe, operai, impiegati, dirigenti, ecc.
Ebbene la più spontanea classificazione basata sul ruolo svolto dalla grandezza è
quella che distingue le costanti fisiche e le variabili fisiche. Questi termini sono
convenzionali 1 e non impediscono che una variabile mantenga costante il suo valore
durante un processo e quindi si comporti da costante cosı̀ come non impediscono ad
una costante di dipendere da un’altra grandezza, ad esempio la temperatura, e quindi
di comportarsi da variabile.
Una prova della validità di questa tradizionale classificazione sta nel fatto che
esistono libri che raccolgono i valori delle costanti fisiche.
In matematica il termine “parametro” denota una quantità che è costante in un
dato contesto ma che può assumere diversi valori nel passare da un contesto all’altro.
1
Agazzi [1, p.178]
79
80
CAPITOLO 6. ANALISI DELLE GRANDEZZE FISICHE
Ad esempio una retta ha l’equazione parametrica y = a x + b: le quantità a e b
sono parametri mentre x ed y sono variabili. I parametri a e b caratterizzano una
retta: assegnando loro un valore si precisa una determinata retta. Per tener conto
della possibile variazione delle “costanti” fisiche è opportuno usare per esse il nome
di parametri fisici. Si ha quindi la seguente suddivisione
{MM1}
grandezze fisiche
6.2

 parametri fisici

(6.1)
variabili fisiche
I parametri fisici
Con questo nome si intendono quelle grandezze che caratterizzano la natura di un
sistema fisico. Anche i parametri, a loro volta, possono classificarsi in funzione del
ruolo che svolgono in una teoria: vi sono parametri che caratterizzano un sistema
nella sua globalità, altri che caratterizzano un materiale, altri che intervengono nelle
interazioni tra due campi, altri che descrivono un processo, ecc. Distingueremo cinque
classi: parametri di sistema; parametri materiali; parametri di accoppiamento;
parametri di processo; altri parametri.
La quinta classe denominata altri parametri contiene tutti i parametri che non
rientrano nelle quattro classi precedenti, fra cui le costanti universali. Faremo riferimento alla tavola (I)2 .
Parametri di sistema. Sono quei parametri che descrivono le caratteristiche di
un sistema fisico preso nella sua globalità: essi dipendono sia dai materiali che lo
compongono, sia dalla geometria del sistema (forma e dimensioni). Nella teoria dei
sistemi si chiamano parametri concentrati [♣ CITARE]. Sono definiti aggiungendo
una specifica del tipo: del tale sistema, della tale particella, della tale molecola, del
tale atomo, della tale stella, del tale oggetto, ecc.
Parametri materiali. Sono quelli che dipendono solo dalla natura fisica del materiale. Essi richiedono specifiche del tipo: di un materiale, di una sostanza, di una
specie chimica, di un mezzo, ecc. Essi sono spesso chiamati costanti materiali.
Parametri di accoppiamento. Detti anche parametri d’interazione. Legano le
variabili di due campi in interazione o di due fenomeni accoppiati. Esempi sono la
costante termo-elettrica, il rapporto giro-magnetico, la costante di Hall che riguarda il
2
Non si presuppone affatto che il lettore abbia familiarità con tutte questi parametri! Si consiglia
di spulciare mettendo un segno a quelli che conosce aggiornando gli indicatori man mano che nello
studio ne incontra altri.
6.2. I PARAMETRI FISICI
{AA1}
81
Tavola I: Una classificazione funzionale dei parametri fisici.
capacità
resistenza
massa
momento di dipolo
massa
capacità termica
periodo di rivoluz.
carica
numero di protoni
tempo di riverberaz.
coeff. di smorzamento
permittività
modulo elastico
peso specifico
indice di rifrazione
temper. di fusione
velocità della luce
costante termo-elettr.
coeffic. piezo-elettr.
cost. di accoppiam.
numero di Reynolds
numero di Nusselt
numero di Avogadro
costante di Boltzmann
costante di Planck
magnetone di Bohr
parametri di sistema
di un condensatore impedenza
di un conduttore
rigidezza
di una stella
momento magnetico
di una molecola
luminosità
del protone
vita media
di un corpo
potenza
di un pianeta
spin
dell’elettrone
stranezza
di un nucleo
tensione elettrica
di una stanza
emissività
sist. oscillante
distanza focale
parametri materiali
di un materiale
resistività
di un materiale
tensione superficiale
di una sostanza
conducibilità
di una sostanza
coeff. di diffusione
di una sostanza
fatt. di trasmissione
in un mezzo
coeffic. di Poisson
parametri di accoppiamento
di un materiale
coeff. di attrito
di un materiale
coeffic. di Peltier
di una particella
sezione d’urto (?)
parametri di processo
di un fluido
numero di Mach
di un fluido
rendimento
altri parametri
NA
costante dei gas
k = R/NA
costante di Faraday
h
costante gravitaz.
µB
quanto flusso magn.
di
di
di
di
di
di
di
di
di
di
di
una bobina
una molla
una particella
una stella
una particella
una lente
un nucleone
una particella
una batteria
un corpo irragg.
una lente
di
di
di
di
di
di
un materiale
un liquido
un materiale
un mezzo
una sostanza
un materiale
tra due materiali
di due metalli
di una particella
di un fluido
di un ciclo termod.
R
F
G
h/2e
82
CAPITOLO 6. ANALISI DELLE GRANDEZZE FISICHE
fenomeno magneto-elettrico ♣ ; la costante di Verdet della magneto-ottica. A questa
classe appartengono i coefficienti fenomenologici della termodinamica irreversibile.
Parametri di processo. Sono quelle grandezze fisiche che caratterizzano il comportamento di un processo. È questo il caso del rendimento di un ciclo termodinamico, del numero di Reynolds nel moto di un fluido; del numero di Prandl nel moto
di un fluido.
Altri parametri. In questa classe abbiamo messo tutti i parametri che non rientrano nelle quattro classi precedenti, in particolare le costanti universali.
6.3
Le variabili fisiche
Le variabili fisiche sono quelle grandezze che specificano un attributo variabile di
un sistema, comel’energia potenziale e quella cinetica di un sistema, l’intensità di
una sorgente, il potenziale elettrico in un punto, l’allungamento di un’asta, i flussi
scambiati tra due sistemi, ecc.
Vi è una prima classificazione poco nota ma molto utile: è quella che individua tre
classi di variabili fisiche in funzionedel ruolo che esse svolgono in una teoria: variabili
di configurazione, variabili di sorgente e variabili energetiche.
Con riferimento alla tavola II abbiamo
6.3.1
Variabili di configurazione.
Sono quelle che danno la configurazione di un sistema fisico e tutte quelle legate a
queste da operazioni di somma, differenza, passaggio al limite, derivazione e integrazione, divisione per una lunghezza, un’area, un volume e per un intervallo di tempo.
Queste relazioni non devono contenere costanti fisiche. A questa classe appartengono le variabili geometriche e cinematiche della meccanica dei continui, le coordinate
generalizzate della meccanica analitica, i potenziali, le affinità della termodinamica
irreversibile, ecc.
6.3.2
Variabili di sorgente.
Sono quelle che descrivono le sorgenti di un campo e tutte quelle variabili che sono
legate ad esse da operazioni di somma, differenza, passaggio al limite, derivazione e
integrazione, divisione per una lunghezza, un’area, un volume e un intervallo di tempo.
Queste relazioni non devono contenere costanti fisiche. A questa classe appartengono
le variabili statiche e dinamiche della meccanica dei continui, le forze, le masse che
6.4. VARIABILI GLOBALI NELLO SPAZIO
83
creano il campo gravitazionale, le cariche elettriche che creano il campo elettrico, le
correnti, le forze generalizzate della meccanica analitica, ecc.
6.3.3
Variabili energetiche.
Sono le variabili ottenute dal prodotto di una variabile di configurazione per una
variabile di sorgente. Fra queste il lavoro, l’energia nelle sue diverse forme, come
l’energia potenziale, l’energia cinetica, l’energia interna, l’energia libera, l’energia di
campo; la potenza, le funzioni di Lagrange e di Hamilton, l’azione, ecc.
Osservazione. Questa classificazione è stata introdotta da Hallen nel 1947 [20, p.1],
quindi indipendentemente da Penfield e Haus nel 1967 [40, p.155] e, indipendentemente, dal
presente autore nel 1972 [49], [50]. La tabella che segue confronta la terminologia dei tre
autori.
Hallen
Penfield
attuale
6.4
variabili di forza
variabili geometriche
variabili di configurazione
variabili di sorgente
variabili meccaniche
variabili di forza
variabili di sorgente variabili energetiche
Variabili globali nello spazio
Sulle grandezze fisiche di solito si mettono in evidenza tre caratteristiche:
il campo a cui appartengono (ottica, acustica, fisica atomica, ecc.);
le dimensioni fisiche (ad esempio: M LT −2 );
la natura matematica (scalari, pseudoscalari, vettori, vettori assiali, ecc).
Ebbene: cosa altro si può dire sulle grandezze fisiche che non sia già stato detto?
Il grande fisico inglese James Clark Maxwell [?], aveva richiamato l’attenzione
sul fatto che alcune grandezze sono associate alle linee, altre alle superfici. Questa
distinzione non è stata recepita dalla letteratura successiva. Se si aggiunge che vi sono
grandezze fisiche associate ai punti ed altre associate ai volumi, tradizionalmente le
intensive e le estensive presentate in termodinamica, si vede far capolino un’altra
possibile classificazione delle grandezze basata sulla naturale associazione che molte
di esse hanno ai quattro elementi spaziali, cioè ai punti, alle linee, alle superfici ed ai
volumi, come vedremo nel seguito.
I punti, le linee, le superfici ed i volumi sono i mattoni costitutivi degli elementi
dello spazio: essi sono delle varietà di dimensione 0,1,2 e 3 rispettivamente.
In tutti i campi della fisica si trovano variabili fisiche associate ad uno dei quattro
elementi spaziali:
84
CAPITOLO 6. ANALISI DELLE GRANDEZZE FISICHE
Tavola II: Classificazione generale delle grandezze fisiche.
{ConfSourEner}
variabili energetiche
lavoro, calore
energia potenziale
energia cinetica
energia interna
energia libera
energia elettrom.
potenza
densità di energia
vettore di Poynting
funzione di Lagrange
funzione di Hamilton
azione
ecc.
6
variabili
di configurazione
variabili geometriche
e cinematiche
coordinate generalizzate
spostamento, velocità
tensore di deformazione
velocità di deformazione
vorticità, vel. angolare
potenziale velocità
acceleraz. gravità
frequenza, vettore d’onda
fase, differenza di fase
potenziale gravitazionale
temperatura, affinità
potenziale chimico
potenziale elettrico
vettore campo elettrico
flusso magnetico
induzione magnetica
ecc.
parametri (o costanti)
capacità termica
costante dielettrica
carica dell’elettrone
massa del protone
conducibilità termica
resistenza elettrica
modulo di elasticità
temperatura di fusione
numero di Avogadro
numero di Reynolds
velocità del suono
indice di rifrazione
velocità della luce
costante di Planck
viscosità
ecc.
variabili
di sorgente
variabili statiche
e dinamiche
forze generalizzate
forza, impulso
quantità di moto
massa gravitazionale
densità di massa
momento angolare
pressione, sforzo
entropia
flussi termodinamici
carica elettrica
flusso dielettrico
corrente elettrica
vettore campo magnetico
vettore induz. elettrica
potenziale magnetico
corrente di probabilità
ecc.
6.4. VARIABILI GLOBALI NELLO SPAZIO
85

la temperatura T [P]



 il potenziale elettrico V [P]
• sono associate ai punti:

il potenziale gravitazionale Vg [P]



lo spostamento ~u[P] di un punto.
• sono associate alle linee:

il lavoro di una forza lungo una linea W [L];




la tensione elettrica lungo una linea U [L]

la tensione magnetica Fm [L̃];



l’allungamento di un segmento ∆L[L].

il flusso magnetico Φ[S];




il flusso elettrico Ψ [S];
• sono associati alle superfici:

il calore attraverso una superficie Q[S];



il flusso di carica elettrica Q[S].


la massa M [V] contenuta in un volume;



 la carica elettrica Q[V] contenuta in un volume;
• sono associate ai volumi:

la quantità di moto P~ [V] entro un volume




~
la forza di volume F [V].
Si veda la tavola (III).
Per indicare la associazione di queste grandezze agli elementi spaziali abbiamo
posto l’elemento stesso entro parentesi quadra. Questa notazione ha il pregio di
essere in armonia con la notazione che usa la parentesi tonda per indicare le comuni
funzioni di punto. Ad esempio
Z
M [V] =
Z
ρ(P) dV
V
Φ[S] =
S
~
~
B(P)
· dS
Z
W [L] =
L
~
F~ (P) · d L
(6.2) {HV5F}
~
Mentre le grandezze ρ(P), B(P),
F~ (P) sono delle funzioni del punto, le grandezze
corrispondenti M [V], V [S], W [L] sono delle funzioni di dominio. Queste ultime variabili, ottenute per integrazione delle funzioni di punto su un dominio tridimensionale (V), bidimensionale (S) e unidimensionale (L), si chiamano solitamente grandezze
integrali o grandezze globali. Noi useremo sistematicamente il termine grandezze
globali.
Il fatto di preferire l’espressione variabile globale in luogo di variabile integrale
risiede nella constatazione che in laboratorio si misurano principalmente variabili globali e che quelle locali si deducono per formazione della relativa densità. Cosı̀ nella
meccanica dei solidi si misura l’allungamento di un segmento mediante un estensidef
metro e successivamente si valuta l’allungamento unitario ² = ∆L/L. Nell’elettromagnetismo si misurano correnti, flussi e tensioni che sono grandezze globali nello
~ B,
~ D,
~ E,
~ H.
~
spazio: successivamente si valutano le corrispondenti densità ρ, J,
86
CAPITOLO 6. ANALISI DELLE GRANDEZZE FISICHE
Questa naturale associazione delle variabili globali agli elementi spaziali è comunemente sottintesa: noi intendiamo metterla in evidenza e farne oggetto di una accurata
analisi in quanto essa si rivelerà preziosa per ottenere una razionale classificazione
delle variabili fisiche e delle equazioni che le legano.
♣
Presentando le grandezze e le equazioni dell’elettrostatica in questo modo ci si
accorge che alcuni teoremi scendono al rango di semplici definizioni. Cosı̀ il “teorema
di Coulomb” secondo il quale sulla superficie di un conduttore D = σ (FM, v.6, p.63)
diviene la definizione stessa si D!
Analogamente il “teorema di Gauss” è immediata conseguenza della legge di
~
induzione elettrostatica e della definizione di D.
Alcuni autori definiscono il flusso elettrico Ψ mediante la formula (??). Nella
descrizione che abbiamo dato, al contrario, il flusso Ψ è una quantità che si misura e
la relazione (??) è conseguenza immediata della definizione di D.
♣
La legge di induzione elettrostatica di Faraday, vale anche per superfici chiu~ subisce una
se che stanno a cavallo di materiali diversi. Al contrario il vettore D
discontinuità nel passare da un mezzo ad un altro.
Analogamente l’affermazione che la tensione elettrica lungo una generica linea
chiusa è nulla vale anche se la linea attraversa materiali diversi. Al contrario il
~ subisce una discontinuità nel passaggio tra due materiali diversi. Quindi il
vettore E
pregio della formulazione globale delle due leggi dell’elettrostatica sta nel fatto che
1. sono valide anche se le superfici chiuse e le linee chiuse passano attraverso
materiali diversi;
2. sono valide sia se le cariche sono distribuite sia se sono concentrate.
♣
6.4.1
La proprietà addittiva
Ci proponiamo di mostrare che le variabili globali soddisfano, per definizione, la
proprietà addittiva sui relativi elementi spaziali. Consideriamo della materia che
fluisce attraverso una superficie S̃. Se dividiamo la superficie in tanti pezzi S̃k la
materia che fluisce su tutta la superficie è la somma di quelle che fluiscono sui singoli
pezzi. In formule
{IECR}
se
S̃ =
[
k
S̃k
ne viene
Q[S̃] =
X
Q[S̃k ].
(6.3)
k
È evidente che tale addittività, che solitamente diamo per scontata per il solo fatto
che eseguiamo delle integrazioni sulle superfici, sussiste per tutti i flussi, non solo per
6.4. VARIABILI GLOBALI NELLO SPAZIO
87
quelli di materia. Infatti la stessa cosa vale per il flusso di energia, di carica elettrica,
di entropia, ecc.
Consideriamo ora una grandezza fisica globale associata alle linee. Tale è, ad
esempio il lavoro W di una forza lungo una linea L in un campo di forze. Anche qui
la grandezza è addittiva. Questo significa che dividendo la linea in tanti pezzi Lk vale
la proprietà
se
L=
[
Lk
ne viene
W [L] =
k
X
W [Lk ].
(6.4) {MCU5V}
k
Anche questa proprietà vale, evidentemente, per tutte le grandezze globali associate
alle linee. Consideriamo ad esempio il dislivello tra due punti di una strada in montagna: se d1 e d2 sono i dislivelli relativi ai tratti di strada L1 ed L2 evidentemente il
dislivello relativo ai due tratti è d1 + d2 .
Consideriamo infine una grandezza globale associata ai volumi, quale la massa
M contenuta entro un volume. Se dividiamo il volume Ṽ in tanti pezzi Ṽk vale la
proprietà
[
X
se
Ṽ = Ṽk
ne viene
M [Ṽ] =
M [Ṽk ].
(6.5) {MCO5V}
k
k
Questa è la tradizionale proprietà addittiva che presentano le grandezze estensive usate nella termodinamica. Fra queste ricordiamo la il contenuto di carica, il contenuto
di entropia, il contenuto di energia, il contenuto di quantità di moto.
Vale la pena di osservare che questa addittività vale se i pezzi degli elementi
geometrici non si sovrappongono, ovvero se sono disgiunti. In simboli
L1 ∩ L2 ∩ ... ∩ Ln = ∅
S1 ∩ S2 ∩ ... ∩ Sn = ∅
V1 ∩ V2 ∩ ... ∩ Vn = ∅ (6.6) {P7V56}
Quindi la addittività è una proprietà generale delle grandezze globali associate ad
elementi spaziali dotati di estensione.
6.4.2
Le densità di linea, di superficie e di volume
Dalle grandezze globali si formano le grandezze densitarie dividendole per l’estensione
dell’elemento geometrico al quale sono associate. Si ottengono cosı̀ le densità medie
di linea, di superficie o di volume. Le grandezze densitarie, brevemente chiamate
densità, sono funzioni del posto.
Cosı̀ la densità di massa, la densità di carica, la densità di entropia, la densità di
quantità di moto sono funzioni del posto. Si può precisare meglio questa dipendenza
osservando che il semplice rapporto tra la massa ed il volume è una densità media
e, come tale, eredita una associazione ai volumi. Solo quando si fa il limite di tale
rapporto facendo contrarre il volume ad un punto la densità diventa funzione del
punto. Per le densità di volume avremo
def
hρi =
M [Ṽ]
Ṽ
da cui
def
M [Ṽ]
V →0
Ṽ
ρ = lim
(6.7) {GC6F}
88
CAPITOLO 6. ANALISI DELLE GRANDEZZE FISICHE
In modo simile, considerato un elemento di superficie piana di normale ~n definiremo
~ mediante la formula
implicitamente il vettore induzione magnetica B
{HC45D}
def ~
~
Φ[S] = hBi
·S
da cui
def
Bn = lim
S→0
Φ[S]
Sn
(6.8)
~
ed infine, indicato con ~t il versore tangente ad un elemento di linea retta L
{HC5D}
def ~
~
W [L] = hFi
·L
da cui
def
W[L]
L→0
L
Ft = lim
(6.9)
Per il fatto che le grandezze densitarie sono ottenute da quelle globali, sarà naturale tener conto della dipendenza indiretta che le densità hanno con l’elemento spaziale
al quale sono associate le rispettive grandezze globali. Si potrebbe chiamare questa
“dipendenza ereditaria”. Per le grandezze densitarie useremo le due espressioni
• diremo che è associata ad un elemento spaziale per intendere che la grandezza
globale corrispondente è associata a quell’elemento spaziale.
• diremo che è funzione del punto per intendere che dipende dal punto.
Con questo criterio
la densità di carica elettrica diremo che è associata al volume ma che è funzione
del punto;
la pressione diremo che è associata alla superficie ma che è funzione del punto;
~ è associato alle linee ma è funzione del punto.3
il vettore campo elettrico E
Esempi di variabili globali nello spazio e nel tempo sono riportati nella tavola (III).
OSSERVAZIONE. È opportuno dire subito, a scanso di equivoci, che questa associazione non riguarda tutte le variabili fisiche; che i criteri di associazione non sono sempre
evidenti e che per alcune grandezze vi sono ambiguità nell’associazione.
Queste ambiguità sono quasi sempre riconducibili ad una ambiguità nella denominazione
di una grandezza che non è completamente specificata da un solo termine o al fatto che
l’associazione è relativa al “punto di vista”, quali il punto di vista lagrangiano o euleriano.
Poniamoci la domanda: a quale elemento spaziale è associata una forza? Vi sono forze
di volume, quali è il peso e la forza d’inerzia che sono associate ai volumi, come è ovvio;
vi sono forze di superficie, quali la spinta che un corpo riceve quando è immerso in un
fluido, che sono associate alle superfici. In un campo di forze queste sono associate alle linee
come conseguenza del fatto che esse danno luogo a circolazioni del vettore lungo una linea e
quindi a tensioni: tipica è la forza agente su una particella carica che dà luogo alla tensione
elettrica, grandezza associata alla linea.
6.5. ASSOCIAZIONE AGLI ELEMENTI SPAZIALI
6.5
89
Associazione agli elementi spaziali
Riguardo le grandezze fisiche si parla delle dimensioni delle grandezze, della loro
natura matematica, scalari, vettori, tensori; del fatto che siano vettori assiali o polari;
dell’essere costanti fisiche o variabili fisiche. Raramente si parla della distinzione tra
grandezze globali e loro densità. Raramente si distinguono le variabili nelle tre classi:
variabili di configurazione, di sorgente ed energetiche. Conseguenza di questa mancata
distinzione è il fatto che non sia stato messo in evidenza il fatto fondamentale che
le variabili globali di ogni teoria fisica sono associate ad un oggetto geometrico.
Le grandezze fisiche globali dell’elettromagnetismo che sappiamo misurare sono
sei:
source
behaviour in the medium
config
source
dependent independent
Qf U
|
| |
densità e tassi (medi): hρi i U
grandezze globali: Qc
discreto
densità e tassi:
al limite
grandezze di campo:
ρ
↓
ρ
i
↓
J
U
↓
~
E
Φ
|
↓
~
B
Ψ
|
σ
Um
|
Um
σ
↓
~
D
F
↓
~
H
(6.10) {M832}
Tavola III: The global variables of electromagnetism to be used in finite
formulation and corresponding field functions of differential formulation.
finite formulation
electric charge content Qc
electric charge flow Qf
voltage impulse U
magnetic voltage impulse Um
magnetic flux Φ
electric flux Ψ
→
→
→
→
→
→
{global}
differential formulation
ρ electric charge density
j electric current density
~
E electric field strength
~ magnetic field strength
H
~ magnetic induction
B
~ electric displacement
D
Notiamo che le grandezze globali dell’elettromagnetismo sono di tipo scalare e che
i vettori nascono come conseguenza della associazione delle grandezze globali a linee
e superfici e sono richieste dalla formulazione differenziale. Quindi la formulazione
discreta dell’elettromagnetismo utilizza solo grandezze scalari.
90
CAPITOLO 6. ANALISI DELLE GRANDEZZE FISICHE
Se facciamo attenzione alla definizione operativa che abbiamo dato constateremo
che le grandezze globali sono associate agli elementi geometrici fondamentali, tali sono
i punti, le linee, le superfici ed i volumi, alcuni dotati di orientazione interna, altri di
orientazione esterna.
Per renderci meglio conto di questa associazione consideriamo una regione di spazio entro la quale ha sede un campo elettrico. Ci sarà comodo introdurre una complesso di celle, ad esempio formato di parallelepipedi, come indicato in figura (6.1), in
quanto esso ci consente di evidenziare gli elementi fondamentali dello spazio. Questi
sono i punti (P) che si identificano con i vertici delle celle; le linee (L) che si identificano con gli spigoli; le superfici (S) che si identificano con le facce ed i volumi (V)
che si identificano con le celle.
Indichiamo con Qc la carica contenuta in una cella e con Ψ il flusso elettrico
relativo ad una faccia con orientazione esterna. Il fatto stesso che si usi il termine
“contenuto” indica che è stato definito un interno ed un esterno: questo indica che
il volume è orientato con le normali uscenti o entranti. Dovendo ora considerare il
potenziale elettrico è naturale associarlo ai punti “centrali” delle celle, ad esempio
ai loro baricentri. Ne viene che la tensione elettrica è associata alle congiungenti i
baricentri. Si delinea in tal modo un secondo complesso di celle, che ha come vertici
i “centri” delle celle.
Questo secondo complesso lo chiameremo primale mentre il complesso di partenza
verrà chiamato duale.
Si vede cosı̀ che le quattro grandezze globali dell’elettrostatica, rispettivamente i
potenziale V , la differenza di potenziale U , il flusso elettrico Ψ e la carica contenuta
Qc hanno un naturale referente geometrico. Due grandezze sono riferite agli elementi
geometrici di un complesso, altre due a quelli di un complesso duale.
Consideriamo ora una regione di spazio entro la quale ha sede un campo magnetico.
Introdotti due complessi di celle duali l’uno dell’altro, indichiamo con Gc la carica
magnetica contenuta in una cella (nulla) e con Φ il flusso magnetico relativo ad una
faccia.
Dovendo ora considerare il potenziale magnetico θ è naturale associarlo ai vertici
delle celle duali. Ne viene che la differenza di potenziale magnetico, ovvero la tensione
magnetica Fm è associata ai lati del complesso duale.
Si vede cosı̀ che le quattro grandezze globali della magnetostatica, rispettivamente
il potenziale magnetico θ, la differenza di potenziale Fm , il flusso magnetico Φ e la
carica magnetica contenuta Gc hanno un naturale referente geometrico.
Due grandezze sono riferite agli elementi geometrici di un complesso, altre due a
quelli di un complesso duale. Una analisi parallela consente di mettere in evidenza
l’associazione delle grandezze globali agli elementi del tempo.
6.5. ASSOCIAZIONE AGLI ELEMENTI SPAZIALI
The electric potential ϕ
refers to the points
of the primal complex
electric field
91
The electric charge content Q
refers to the volumes
of the dual complex
The electric flux Ψ
refers to the surfaces
of the dual complex
The electric voltage V
refers to the lines
of the primal complex
magnetic field
The magnetic flux Φ
refers to the surfaces
of the primal complex
The magnetic potential θ
refers to the points
of the dual complex
The magnetic charge content G
refers to the volumes
of the primal complex
The magnetic voltage F
refers to the lines
of the dual complex
Figura 6.1: Gli elementi geometrici a cui sono associate le grandezze globali
{analogies1}
dell’elettromagnetismo.
6.5.1
Associazione agli elementi temporali
Finora abbiamo considerato complessi di celle nello spazio. Ora consideriamo un
complesso di celle nel tempo.
Consideriamo l’asse dei tempi e dividiamolo in tanti piccoli intervalli come indicato
in figura (IV)
Tavola IV: A time cell complex and its dual.
dual
primal
t̃n
-
tn−1
-
τn
-
τ̃ n
-
tn
t̃n+1
-
{Z669}
- - t
tn+1
τ n+1
Gli istanti primali sono orientati come pozzi, come avviene per i punti dello spazio.
Questo è conseguenza della convenzione che vuole che l’incremento di una funzione
def
sia definito come ∆t = +f (t + τ ) − f (t). In questa espressione i segni ”+” e ”-”
si possono considerare come i numeri di incidenza +1 e -1 tra l’intervallo τ e i due
def
istanti t e t + τ , ovvero ∆t = (+1) f (t + τ ) + (−1) f (t).
Gli intervalli primari, indicati con ..., τn , τn+1 , ..., sono dotati di orientazione interna, vale a dire sono orientati nel senso degli istanti crescenti ..., tn−1 , tn , tn+1 , ....
Gli istanti duali ..., t̃n , t̃n+1 , ... sono dotati di orientazione esterna, vale a dire hanno
la stessa orientazione degli intervalli primali.
92
CAPITOLO 6. ANALISI DELLE GRANDEZZE FISICHE
Gli intervalli duali ..., τ̃n , τ̃n+1 , ... sono dotati di orientazione esterna, che è, per
definizione, l’orientazione interna degli istanti primali.
L’inversione temporale è null’altro che l’inversione dell’orientazione interna degli
intervalli del complesso primale e coincide, per definizione, con l’inversione dell’orientazione degli istanti duali. Ne viene che se una grandezza è associata agli intervalli
del primale o agli istanti del duale essa cambia segno per inversione temporale e, viceversa, se una grandezza è associata agli intervalli del duale o agli istanti del primale
essa non cambia segno per inversione temporale.
È evidente che la carica elettrica contenuta sia riferita agli istanti di tempo mentre
quella fluente sia riferita agli intervalli: rimane ora da stabilire se istanti ed intervalli
sono del complesso primale o duale. Dal momento che la carica contenuta è riferita
ai volumi del complesso duale dotati di orientazione esterna è naturale, per coerenza
con la descrizione relativistica, che anche gli istanti siano quelli del complesso duale.
Quindi scriveremo Qc (Ĩ, Ṽ). Ne viene che il flusso di carica è riferito agli intervalli
del duale: Qf (T̃, S̃). Dal momento che il flusso elettrico è la carica riferita ad una
superficie con orientazione esterna ne viene che pure esso è riferito agli istanti del
duale: Ψ (Ĩ, S̃). L’impulso di tensione magnetica è, per definizione, l’opposto delflusso
di carica che passa nella bobina compensatrice in un dato intervallo di tempo e quindi
anch’esso è associato all’intervallo duale: Um (T̃, L̃).
Le variabili di configurazione sono tutte riferite agli elementi geometrici del complesso primale dotati di orientazione interna. Per coerenza con la descrizione relativistica esse sono riferite agli elementi cronometrici del complesso primale dell’asse dei
tempi. In sintesi
{J215}
Qc (Ĩ, Ṽ)
Qf (T̃, S̃)
Ψ (Ĩ, S̃)
Um (T̃, L̃)
U(T, L)
Φ(I, S)
(6.11)
La associazione delle variabili globali dell’elettromagnetismo agli elementi temporali è riassunta in Fig.2.6.
Associazione agli elementi geometrici.
Abbiamo cosı̀ introdotto le quattro grandezze
V(P)
U (L)
Ψ (S)
Q(V)
che sono rispettivamente riferite ai punti, alle linee, elle superfici ed ai volumi.
Mentre il potenziale V(P ) è una funzione di punto (comunemente si dice funzione di
campo) le tre grandezze U, Ψ, Q sono associate ad elementi geometrici dotati di estensione e quindi si chiamano funzioni di insieme. Queste tre grandezze sono grandezze
globali. Comunemente si dice grandezze integrali perchè si pensano ottenute per
integrazione di funzioni di campo. Il fatto di riprenderle come integrali ne sminuisce
il valore in quanto esse sono grandezze direttamente misurabili.
Orientazione. Soffermiamoci sugli elementi geometrici che servono come referenti delle quattro grandezze V, U, Ψ, V ♣. Osserviamo che la tensione elettrica definita
mediante la (??) esige un senso di percorso lungo la linea L e che, invertendo tale
6.5. ASSOCIAZIONE AGLI ELEMENTI SPAZIALI
93
senso di percorso, la tensione cambia segno. Una linea con un senso di percorso si dice
dotata di orientazione interna. Indicata con L una linea dotata di orientazione interna indicheremo con −L la medesima linea con orientazione opposta. Il cambiamento
di segno si può esprimere dicendo che
U (−L) = −U (L).
(6.12) {S50}
È questa una condizione di disparità (oddness condition). Si noti che questa
condizione riflette il fatto sperimentale che invertendo i terminali di un voltmetro si
inverte il segno della tensione (e della corrente).
Il potenziale elettrico V(P ), calcolato mediante la (??), è calcolato orientando la
linea da un prefissato punto P0 al generico punto P . Dal momento che la linea arriva
in P , ovvero “entra” in P , possiamo dire che il punto P è orientato come un pozzo.
Un punto è orientato come pozzo se le linee che vi giungono sono considerate positive
e quindi quelle che lo abbandonano sono considerate negative. [teorie dei circuiti].
Se avessimo definito il potenziale con una formula
V(P ) =
Z
P0
P
~
~
E(Q)
· d L.
(6.13) {S51}
In luogo di V(P ) possiamo convenire di scrivere V(−P ). Scriveremo allora
V(−P ) = −V(P ).
(6.14) {S52}
È questa la condizione di disparità del potenziale elettrico.
Esaminiamo il flusso elettrico Ψ [S]. Una superficie può essere dotata di due tipi
di orientazione
1. orientazione interna
2. orientazione esterna
Si noti che ogni tipo di orientazione ha due determinazioni (le frecce diritte o curve
possono invertirsi).
Anche una linea ha due tipi di orientazione:
1. orientazione interna
2. orientazione esterna
Mentre la tensione elettrica richiede l’orientazione interna della linea, il flusso
elettrico richiede l’orientazione esterna della superficie. Se cambiamo l’orientazione
esterna di una superficie cambiano la faccia che consideriamo positiva e quindi cambiano il segno del flusso elettrico (si pensi alla superficie conduttrice sulla quale si
depositano per induzione cariche opposte sulle due facce).
94
CAPITOLO 6. ANALISI DELLE GRANDEZZE FISICHE
Indichiamo con S̃ una superficie dotata di orientazione esterna avremo
Ψ (−S̃) = −Ψ (S̃)
(6.15) {S53}
che è la condizione di disparità del flusso elettrico.
Anche la carica elettrica “contenuta” entro un volume V necessita della orientazione esterna dei volumi. Infatti anche il volume può essere dotato di due orientazioni
1. orientazione interna
2. orientazione esterna
Si noti che la locuzione orientazione esterna per un volume indica quella di attraversamento della sua superficie di bordo, non il fatto che le facce siano uscenti
(possono essere anche entranti).
Se in un volume V vi è una carica Q nello spazio esterno vi è la carica −Q.
Invertendo l’orientazione esterna Ṽ → −Ṽ il −Ṽ indica la regione complementare
a Ṽ e quindi
Q(−Ṽ ) = −Q(Ṽ )
{S54}
(6.16)
che è la condizione di disparità della carica elettrica.
Uno schema di classificazione È opportuno farne una classificazione dei due
tipi di orientazione di un “oggetto geometrico” quale il punto, la linea, la superficie
ed il volume. Questa classificazione degli elementi geometrici orientati comporta una
classificazione delle grandezze elettriche ad essi associate. Le leggi della elettrostatica
Figura 6.2: dida
{num}
possono riassumersi nella forma seguente:
law
1. Ψ [∂ Ṽ ] = Q[Ṽ ]
law
2. V [∂S] = 0
~ law
~ E)
~
3. D
= D(
6.5. ASSOCIAZIONE AGLI ELEMENTI SPAZIALI
Ψ [∂ Ṽ ] = Q[Ṽ ] →
{S55}
U [∂S] = 0
Z
∂ Ṽ
→
~ · dS
~=
D
Z
∂S
Z
ρ dV
Ṽ
~ · dL
~ =0
E
95
~ =ρ
→ div D
.
(6.17)
~ =0
→ rot E
Questo diagramma ha il suo corrispondente nella formulazione differenziale.
♣
L’analogo della carica “puntiforme” dell’elettrostatica è il filo rettilineo “indefinito” della magnetostatica.
La presentazione dell’elettrostatica che abbiamo fatto, parte con l’introduzione del
~ In un secondo tempo si introduce
flusso elettrico Ψ e quindi del vettore induzione D.
~ ed in un terzo tempo si introduce la relazione costitutiva tra D
~ ed E.
~
il vettore E
In modo analogo la presentazione che faremo della magnetostatica parte dall’in~
troduzione della tensione magnetica [o forza magnetomotrice] e quindi del vettore H.
~ In un terzo
Successivamente viene introdotto il flusso magnetico V ed il vettore B.
~ = B(
~ H).
~
tempo si introduce l’equazione costitutiva B
~ e
Questa presentazione contrasta con quella tradizionale che presenta prima E
~
~
~
poi D e prima B e poi H.
dual cell complex
outer orientation
primal cell complex
inner orientation
electric charge Q h
magnetic flux Φ α
˜sβ
electric flux Ψβ
pk
lβ
ṽh
˜lα
electric current Iβ
sγ
sα
electric tension V β
magnetic tension Fα
Figura 6.3: Associazione delle grandezze globali dell’elettromagnetismo alle celle
di un complesso e del suo duale.
{formag}
96
CAPITOLO 6. ANALISI DELLE GRANDEZZE FISICHE
♣
Fra le variabili dell’elettromagnetismo spiccano per importanza quelle globali.
Esse sono le 6 seguenti:
il contenuto di carica (charge content)
Qc
il flusso di carica (charge flow)
Qf
il flusso magnetico (magnetic flux)
Φ
il flusso elettrico (electric flux)
Ψ
l’impulso di tensione elettrica (voltage impulse)
U
l’impulso di tensione magnetica (magnetic voltage impulse) Um
Ĩ, Ṽ
T̃, S̃
I, S
Ĩ, S̃
T, L
T̃, L̃
La loro importanza nasce dalle seguenti constatazioni:
• sono direttamente misurabili;
• sono associate agli oggetti spaziali e temporali;
• a causa di questa associazione da esse nascono le densità e i tassi;
• sono coinvolte direttamente nelle leggi del campo;
Infatti dalle variabili associate agli istanti nascono le densità
Z

c

Q [Ṽ, Ĩ] =
ρ dV



Ṽ



Z

{LS6D}
Φ[S, I]







 Ψ [S̃, Ĩ]
=
S
Z
=
S̃
~ · dS
~
B
(6.18)
~ · dS
~
D
da quelle associate agli intervalli di tempo nascono sia i tassi che le densità:
{LS4D}



Qf [S̃, T̃]








U[L, T]
Z
=
Z Z
I dt
=
T̃
S̃
Z
=
T̃
Z Z
U dt
=
~ dt
J~ · dS
~ ·L
~ dt
E


Z
Z Z




~ ·L
~ dt

Um [L̃, T̃] =
Um dt =
H



T̃
L̃ T̃
T
L
T
(6.19)
♣
Capitolo 7
Analisi delle equazioni fisiche
{equazioni}
I libri di fisica e quelli di tecnica sono pieni di formule: se ne scrivono tante, spesso se ne scrivono troppe. Siamo tutti consapevoli che mescolando poche equazioni in modi diversi se ne possono ottenere molte altre e spesso ci
divertiamo a moltiplicarle dimenticando che il lettore sarà frastornato dalle
troppe formule. In un mare di formule c’è il naufragio dei concetti! Raramente ci fermiamo ad esaminare i diversi tipi di equazioni, a vedere come sono
composte, qualine sono gli elementi costitutivi. Parliamo di “equazioni fondamentali”, di “equazioni di campo”, di “equazioni costitutive”, di “equazioni di
bilancio”, di “equazioni circuitali”, di “equazioni d’interazione”, di “equazioni
di definizione”, ecc., quasi sempre senza darne una definizione.
Le equazioni presenti in ogni teoria fisica sono il risultato della composizione di
equazioni appartenenti ai tre tipi seguenti
• equazioni di struttura, dette anche equazioni di campo;
• equazioni costitutive dette anche equazioni materiali o fenomenologiche, talvolta equazioni di stato oequazioni di comportamento.
• equazioni di equazioni di definizione, che servono a definire le densità, i tassi,
le grandezze energetiche, ecc.
Componendo fra loro equazioni di questi tre tipi si ottengono le equazioni fondamentali che legano le sorgenti del campo con i corrispondenti potenziali del
campo.
7.1
Equazioni di struttura
Le equazioni di struttura sono quelle equazioni che legano fra loro le variabili di configurazione e quelle che legano fra loro le variabili di sorgente. Quindi sono le equazioni
97
98
CAPITOLO 7. ANALISI DELLE EQUAZIONI FISICHE
che legano fra loro le variabili fisiche associate alle celle di uno stesso complesso. Esse
sono:
• le equazioni di bilancio che utilizzano un volume V ed il suo bordo ∂V oppure
Ṽ e ∂ Ṽ ;
• le equazioni circuitali che utilizzano una superficie S ed il suo bordo ∂S oppure
S̃ e ∂ S̃;
• le differenze spaziali che utilizzano una linea L ed i suoi due estremi ∂L oppure
L̃ e ∂ L̃ ;
• le differenze temporali che legano un intervallo T con i suoi istanti estremi ∂T
oppure T̃ e ∂ T̃.
È una caratteristica delle equazioni di struttura di riferirsi ad una varietà p-dimensionale
ed al suo bordo di dimensione(p−1). Con riferimento alla Fig ?? le equazioni di struttura connettono le grandezze contenute in una colonna con quelle della stessa colonna.
Esse hanno alcuni aspetti comuni:
1. coinvolgono i quattro elementi spaziali P, L, S, V ed i due elementi temporali
I, T nonché le loro combinazioni. Si tratta di 4×2 = 8 elementi. Tenuto conto
che ciascuno di questi elementi possiede due orientazioni, interna o esterna, vi
sono in totale 8×2 = 16 elementi.
2. esse valgono qualunque sia la forma e l’estensione degli elementi spazio-temporali
coinvolti: in questo senso esse sono equazioni topologiche;
3. sono indipendenti da proprietà metriche vale a dire non utilizzano la nozione di
lunghezza, area, volume (nel senso di estensione di una regione) e di durata.
4. non coinvolgono parametri materiali;
Per queste ragioni esse verranno chiamate equazioni di struttura.
Il punto (2) implica che le equazioni di struttura siano valide sia in un contesto
finito che in uno infinitesimo. Per esempio l’equilibrio si può applicare ad un atomo
in un reticolo cristallino (10−10 m) cosı̀ come ad una nave (102 m) alla fonda: in questo
caso la somma delle forze di superficie e di quelle di volume deve essere nulla.
Questo implica che non sono le equazioni differenziali le responsabili della formulazione differenziale delle leggi fisiche.
Useremo i seguenti simboli per le grandezze globali:
7.1. EQUAZIONI DI STRUTTURA
99
Qc [Ṽ, Ĩ] la carica elettrica contenuta in un volume Ṽ ad un istante Ĩ;
Qf [S̃, T̃] la carica fluita attraverso la superficie S̃ durante l’intervallo T̃
Ψ [S̃, Ĩ]
il flusso elettrico sulla superficie S̃ all’istante Ĩ;
Um [L̃, T̃] l’impulso di tensione magnetica lungo la linea L̃ nell’intervallo T̃
U[L, T]
l’impulso di tensione elettrica lungo la linea L nell’intervallo T
Φ[S, I]
il flusso magnetico relativo alla superficie S ad un istante I
Tavola I: Le grandezze elettromagnetiche
variabili di sorgente
globali
densità
variabili di configurazione
Qc [Ṽ, Ĩ] Qf [S̃, T̃] Um [L̃, T̃] Ψ [S̃, Ĩ] U[L, T]
tassi
ρ(~r, t)
I[S̃, T̃]
F [L̃, T̃]
~j(~r, t)
~ r, t)
H(~
{JH54}
Φ[S, I]
U [L, I]
~ r, t)
D(~
~ r, t)
E(~
~ r, t)
B(~
Le grandezze globali sono solitamente chiamate grandezze integrali. Le grandezze
dell’ultima riga sono funzioni di campo, scalari e vettoriali.
7.1.1
Legge di conservazione della carica.
l’incremento della carica contenuta entro un volume durante un intervallo
di tempo è opposto alla carica uscita dal bordo del volume durante il
medesimo intervallo.
Qc [Ṽ, Ĩ+ ] − Qc [Ṽ, Ĩ− ] + Qf [∂ Ṽ, T̃] = 0
(7.1) {56}
Per arrivare alla formulazione differenziale si dividono i due membri per la durata T̃
dell’intervallo T̃ quindi si effettua un passaggio al limite:
Qc [Ṽ, Ĩ+ ] − Qc [Ṽ, Ĩ− ]
+ I[∂ Ṽ, Ĩ] = 0
T̃
d
dt
Z
Ṽ
Z
Z
~=0
~j(~r, t) · dS
(7.3) {45}
∇ · ~j(~r, t) dV = 0
(7.4) {24}
ρ(~r, t) dV +
Ṽ
∂t ρ(~r, t) dV +
Z
∂ Ṽ
Ṽ
(7.2) {31}
dovendo valere per qualunque volume dovrà essere
100
CAPITOLO 7. ANALISI DELLE EQUAZIONI FISICHE
Tavola II: Le grandezze fondamentali dell’elettromagnetismo. Le variabili in grassetto denotano le grandezze globali. [dire di Maxwell che fa la
stessa cosa]♣
~
E
campo elettrico
U
tensione elettrica
Z
U
impulso di tensione elettrica
~
B
induzione magnetica
U=
U=
Z
L
U dt
T
Z
Φ
flusso magnetico
~ · dS
~
B
Φ=
S
~j
densità di corrente
I
corrente elettrica
Z
I=
S̃
Qf
flusso di carica
~ · dL
~
E
Qf =
~
~j · dS
Z
I dt
T̃
ρ
Qc
densità elettrica
carica contenuta
Qc =
Z
ρ dV
Ṽ
~
H
campo magnetico
Fm
tensione magnetica
Um
impulso di tensione magnetica Um =
~
D
densità di flusso elettrico
Ψ
flusso elettrico
Z
Fm =
ZL̃
T̃
Z
Ψ=
S̃
~ · dL
~
H
Fm dt
~ · dS
~
D
{HG5Z}
7.1. EQUAZIONI DI STRUTTURA
101
∂t ρ(~r, t) + ∇ · ~j(~r, t) = 0
(7.5) {29}
Gli esperimenti conducono alle seguenti quattro leggi del campo elettromagnetico.
7.1.2
Legge d’induzione elettrostatica.
Il flusso elettrico indotto sul bordo di un volume ad ogni istante è uguale
alla carica contenuta nel volume a quell’istante.
(7.6) {66}
Ψ [∂ Ṽ, Ĩ] = Qc [Ṽ, Ĩ]
Per passare alla formulazione differenziale scriviamo
Z
Z
∂ Ṽ
Ṽ
Z
~ r, t) · dS
~=
D(~
ρ(~r, t) dV
(7.7) {65}
ρ(~r, t) dV
(7.8) {244}
Ṽ
~ r, t) dV =
∇ · D(~
Z
Ṽ
dovendo valere per qualunque volume dovrà essere
~ r, t) = ρ(~r, t)
∇ · D(~
7.1.3
(7.9) {67}
Legge dell’induzione elettromagnetica.
L’impulso della tensione elettrica lungo il bordo di una superficie durante
un intervallo è opposto alla variazione del flusso magnetico attraverso la
superficie nell’intervallo.
Um [∂S, T] + Φ[S, I+ ] − Φ[S, I] = 0
(7.10) {76}
Per ottenere la formulazione differenziale dividiamo per la durata T e passiamo al limite
ottenendo
d
Fm [∂S, I] +
Φ[S, I] = 0
(7.11) {71}
dt
Z
Z
d
~
~
~ r, t) · dS
~=0
E(~r, t) · dL +
B(~
(7.12) {72}
dt S
∂S
Z
S
~ r, t) dS
~+
∇× E(~
Z
S
~ r, t) · dS
~=0
∂t B(~
(7.13) {73}
dovendo valere per qualunque superficie dovrà essere
~ r, t) + ∂t B(~
~ r, t) = 0
∇× E(~
(7.14) {724}
102
CAPITOLO 7. ANALISI DELLE EQUAZIONI FISICHE
7.1.4
Legge di conservazione del flusso magnetico.
Il flusso magnetico totale associato al bordo di un volume ad ogni istante
è nullo.
{86}
Φ[∂V, I] = 0
(7.15)
Per passare alla formulazione differenziale
Z
{85}
Z
{84}
~ r, t) · dS
~=0
B(~
(7.16)
~ r, t) dV = 0
∇ · B(~
(7.17)
~ r, t) = 0
∇ · B(~
(7.18)
∂V
V
{87}
inner orientation
volume V
outer orientation
surface S̃
volume Ṽ
surface S
boundary ∂ S
boundary ∂V
boundary ∂ S̃
boundary ∂ Ṽ
Figura 7.1: Le quattro varietà alle quali fanno riferimento le leggi del campo
{G787}
elettromagnetico.
7.1.5
Legge di Maxwell-Ampère.
L’impulso della tensione magnetica lungo il bordo di una superficie durante un intervallo è uguale alla somma della variazione del flusso elettrico
e del flusso di carica attraverso la superficie nell’intervallo.
{96}
Um [∂ S̃, T̃] = Ψ [S̃, Ĩ+ ] − Ψ [S̃, Ĩ− ] + Qf [S̃, T̃]
(7.19)
Dividendo per la durata T e passando al limite si ottiene
{91}
Fm [∂ S̃, Ĩ] =
d
Ψ [S̃, Ĩ] + I[S̃, Ĩ]
dt
(7.20)
7.1. EQUAZIONI DI STRUTTURA
103
Z
{92}
Z
{93}
~ r, t) · dL
~ = d
H(~
dt
∂ S̃
S̃
~ r, t) · dS
~=
∇× H(~
Z
~ r, t) · dS
~+
D(~
S̃
Z
S̃
Z
~ r, t) · dS
~+
∂t D(~
S̃
~
~j(~r, t) · dS
Z
S̃
~
~j(~r, t) · dS
(7.21)
(7.22)
dovendo valere per qualunque superficie dovrà essere
~ r, t) + ~j(~r, t)
~ r, t) = ∂t D(~
∇× H(~
(7.23) {94}
L’analisi che abbiamo fatto delle grandezze fisiche dell’elettromagnetismo combinata con i rudimenti della topologia algebrica ci consente ora una descrizione
puramente algebrica dell’elettromagnetismo.
Le quattro leggi del campo elettromagnetico possono esprimersi nella forma seguente:

 Φ[I, ∂V] = 0

 Ψ [Ĩ, ∂ Ṽ] = Qc [Ĩ, Ṽ]


U[T, ∂S] + Φ[∂T, S] = 0
Um [T̃, ∂ S̃] = Ψ [∂ T̃, S̃] + Qf [T̃, S̃].
(7.24) {L253}
A queste quattro si aggiunge la legge di conservazione della carica elettrica
Qf [T̃, ∂ Ṽ] + Qc [∂ T̃, Ṽ] = 0
(7.25) {MT35}
Questa scrittura è l’equivalente della forma integrale
 Z

~ · dS
~=0

B



∂V



·Z
¸T
Z Z




~
~
~
~

E
·
d
L
dt
+
B
·
d
S
=0



T ∂S
S
0




Z

 Z
~ · dS
~=
D
ρ dV

Ṽ
∂ Ṽ




·Z
¸T̃
Z
Z
Z Z




~
~
~
~ dt

H · dL dt −
D · dS =
J~ · dS



∂
S̃
T̃
S̃
T̃
S̃
0



·Z
¸T̃

Z Z



~
~

ρ dV = 0.
J · dS dt +

T̃
∂ Ṽ
Ṽ
(7.26) {TZ8}
0
These equations describe the “structure” of the field, i.e. they link physical variables of the same kind i.e. configuration variables with configuration variables and
source variables with source variables. They are valid in wathever media. For this
reason it is convenient to call them equations of structure.
The relations (7.24) relate global quantities of the same kind and do not involve
metrical notions: length, areas, measures of volumes and durations are not required.
104
CAPITOLO 7. ANALISI DELLE EQUAZIONI FISICHE
It is for this reason that we shall call them topological equations [39, p.20]. Then the
equations of structure are topological equations.
When equations (7.24) are applied to the cells of the two complexes, we obtain a
“local” form of Maxwell’s equations in a discrete setting, i.e.
 X


dhα Φα = 0


 X
d˜ Ψ = Qch


 α hα α
X
˜ t Ψα = Qfα

c̃αβ Umβ − ∆


α
X


cαβ Uβ + ∆t Φα = 0


β
β
X
{TP3}
(7.27) {K896}
˜ t Qch = 0
d˜hα Qfα + ∆
(7.28)
α
˜ t refer to time differences between the values of a quantity
The symbols ∆t and ∆
referred to a primal and dual time cell complex as shown in Fig.(2.6):
def
∆t f = f (tn ) − f (tn−1 ) backward difference
{G882}
˜ t g def
∆
= g(t̃n+1 ) − g(t̃n )
(7.29)
forward difference
Queste equazioni si prestano in modo naturale alla trattazione numerica del campo
elettromagnetico. Come si vede in questa presentazione dell’elettromagnetismo le
grandezze coinvolte nelle leggi sono le tensioni elettrica e magnetica e i flussi, elettrico
e magnetico. Le tensioni ed i flussi sono quindi le grandezze più naturali da usare
nella risoluzione numerica di problemi elettromagnetici. In particolare le equazioni
(7.27) si prestano bene per la risoluzione numerica.
°
7.1.6
Invarianza delle grandezze
Abbiamo introdotto le sei grandezze globali dell’elettromagnetismo senza fare ricorso
a nozioni metriche. Le linee, le superfici ed i volumi ai quali le diverse grandezze sono
riferite possono aver forma e dimensioni arbitrarie. In nessun caso si è dovuto far
ricorso a misure di lunghezze, aree o volumi: nessuna misura ha coinvolto la geometria
dello spazio e pertanto le grandezze sono definite indipendentemente dalla metrica,
sia essa quella euclidea dello spazio o quella pseudoeuclidea dello spazio-tempo. Ne
viene che queste grandezze sono invarianti rispetto a qualunque trasformazione di
coordinate, in particolare sono invarianti per trasformazioni di Galileo o conformi.
7.1. EQUAZIONI DI STRUTTURA
105
z
z
t
πz
Tz
t
ϕ
Tx
πy
πx
y
Φy
Φz
x
z
Vz
t
Φx
Ty
y
x
x
z
ϑ
Fz
t
Ψy
Vy
y
Fy
Ψx
y
Ψz
x
Fx
Vx
Maxwell-Ampère’s law
z
z
Faraday’s law
Jx
Jy
y
y
x
magnetic Gauss’law
x
electric Gauss’law
Q
Jz
Figura 7.2: Space-time objects and global variables associated with them. The
{ipercubo8}
picture of the last row is a four-dimensional cube exploded.
106
7.2
CAPITOLO 7. ANALISI DELLE EQUAZIONI FISICHE
Equazioni costitutive
Le equazioni che legano le variabili di sorgente con quelle di configurazione di una
stessa teoria fisica prendono il nome di equazioni costitutive 1 . La tavola (I) mostra le
principali equazioni costitutive della fisica.
Le equazioni costitutive hanno le seguenti proprietà caratteristiche:
1. legano le variabili di sorgente con quelle di configurazione;
2. dipendono dalla metrica in quanto coinvolgono nozioni di lunghezza, area, volume e richiedono la nozione di perpendicolarità;
3. contengono costanti materiali e parametri del sistema;
4. sono sperimentate e quindi valide in regioni di uniformità del campo.
Mentre le equazioni di struttura hanno un carattere universale quelle costitutive
hanno un carattere particolare: sono valide entro certi limiti, possono essere diverse
per materiali diversi, ecc. 2 .
7.2.1
Verso la formulazione differenziale
La nostra presentazione dell’elettromagnetismo ha preso come punto di partenza la
definizione operativa delle 6 grandezze globali
Qflow
{L8F}
Qcont
U
Fm
Φ
Ψ
(7.30)
l’enunciato delle 4+1 leggi del campo in forma discreta (globale) e delle 3 equazioni
costitutive in forma discreta (locale).
Il nostro obiettivo attuale è quello di mostrare come partendo dalla formulazione
discreta si arriva a quella differenziale deducendo le corrispondenti grandezze locali
{HZ8}
J
ρ
E
B
D
H
(7.31)
e le 4+1 leggi del campo in forma differenziale e le 3 equazioni costitutive in forma
algebrica.
Questo procedimento è l’opposto di quanto si fa normalmente: di solito si definiscono le grandezze differenziali e si deducono le grandezze integrali.
tradizionale presentazione:
attuale presentazione:
1
variabili locali
→ variabili globali
variabili globali → variabili locali.
Si chiamano anche equazioni materiali o di stato o fenomenologiche.
Una chiara distinzione tra i due tipi di equazioni si trova in Van Dantzig [?, p.86] che usava
il termine di equazioni di legame per le equazioni costitutive e di equazioni fondamentali per le
equazioni di struttura.
2
7.2. EQUAZIONI COSTITUTIVE
107
L’abitudine alla scrittura diretta delle grandezze e delle leggi in forma differenziale
nasconde il fatto che il passaggio alla formulazione differenziale avviene i tre tappe:
1. si considerano dapprima regioni in cui i campi elettrici e magnetici siano uniformi per definire le grandezze locali e per poter esprimere le 3 equazioni costitutive
come legame tra queste grandezze locali.
2. Si passa quindi a considerare regioni in cui i campi elettrici e magnetici siano
affini per istituire gli operatori algebrici grad , rot e div che descrivono il processo
di cobordo. Le equazioni costituive sperimentate in regioni di campo uniforme
sono valide anche in campi affini. Le equazioni del campo di Maxwell, per poter
legare le variabili di sorgente con quelle di configurazione hanno bisogno che
i campi siano localmente affini (nei campi uniformi le sorgenti distribuite non
possono esistere).
3. Infine si effettua il passaggio al limite considerando i campi affini come approssimazioni del primo ordine dei campi generici. In questa fase gli operatori
algebrici grad , rot e div divengono operatori differenziali mentre le equazioni
costitutive rimangono di tipo algebrico.
7.2.2
Campi uniformi
Per dedurre dalle grandezze globali le funzioni di campo occorre considerare regioni di
spazio ove il campo possa considerarsi uniforme: infatti mostreremo che in una regione
di uniformità le grandezze globali dipendono linearmente dagli elementi geometrici
ai quali sono associate. Solitamente l’uniformità si enuncia dicendo che i vettori del
campo sono indipendenti dal punto. Questa definizione presuppone la nozione di
vettori di campo che finora non abbiamo introdotto.
Definizione. Diremo che un campo è uniforme quando le grandezze fisiche
associate agli elementi spaziali (punti, linee, superfici e volumi) sono invarianti per
traslazione dell’elemento spaziale al quale fanno riferimento.
La nozione di traslazione è di tipo affine e quindi non coinvolge il confronto di
lunghezze e aree relative a giaciture diverse quindi non coinvolge la metrica.
Il campo elettrico uniforme si realizza nell’interno di un condensatore a facce
piane parallele e indefinite; il campo magnetico uniforme si realizza nell’interno di un
solenoide rettilineo indefinito e un flusso di corrente uniforme si realizza in una vasca
elettrolitica con gli elettrodi a facce piane parallele indefinite.
Dal momento che in laboratorio non esiste nulla di “indefinito” si intende che
i campi sono considerati uniformi relativamente alla sensibilità dello strumento di
misura. Questi ultimi sono caratterizzati da una precisione e sono comunemente
divisi in classi di precisione. Sia manifesta qui la nozione di “tolleranza” che permea
tutta la fisica oltre che la nostra vita di tutti i giorni. Questo indica che l’attributo
108
CAPITOLO 7. ANALISI DELLE EQUAZIONI FISICHE
“indefinito” implica un processo di passaggio al limite e quindi di una idealizzazione
della realtà. E’ in questo mondo ideale che vive la formulazione differenziale.
Se vogliamo una descrizione più aderente alla realtà dobbiamo introdurre la nozione di “tolleranza”, e accontentarci di descrivere il mondo fisico con un prestabilito
grado di precisione. Questo non può essere reso piccolo a piacere perchè deve fare
i conti sia con gli strumenti di misura che con la natura discreta della materia e
dell’energia.
In conclusione: considerare un campo “uniforme” significa considerare una regione
di spazio Ω entro la quale le grandezze associate agli elementi spaziali mantengano lo
stesso valore relativamente ad una convenuta tolleranza.
7.3
7.3.1
Equazione fondamentale
Il campo
Con il termine campo si intende uno stato fisico dello spazio o della materia che vi è
contenuta.
7.3.2
Le sorgenti del campo
Ogni campo ha delle sorgenti, cioè delle cause. Cosı̀
i generatori di calore sono le sorgenti del campo termico;
le cariche elettriche in quiete sono le sorgenti del campo elettrico;
le cariche elettriche in moto sono le sorgenti del campo elettromagnetico;
le masse sono le sorgenti del campo gravitazionale;
le forze su un corpo solido sono le sorgenti del campo delle deformazioni;
le forze su un continuo fluido sono le sorgenti del campo delle velocità.
Le sorgenti possono essere concentrate in piccole regioni o in punti o distribuite in
una regione del dominio o in tutto il dominio. Sovente sono distribuite uniformemente
su tutto il dominio (è il caso del peso). Se le sorgenti non variano nel tempo né come
intensità né come distribuzione spaziale, allora il campo da esse generato può essere
costante oppure stazionario. In un simile campo le variazioni delle funzioni di campo
sono solo variazioni spaziali. Se le sorgenti invece variano con il tempo allora anche
il campo da esse generato è variabile nel tempo; le variazioni delle funzioni di campo
sono sia spaziali che temporali.
7.3. EQUAZIONE FONDAMENTALE
7.3.3
109
I potenziali del campo
La configurazione di un campo è descritta da una o più funzioni del posto e del tempo
alle quali si dà il nome di potenziali del campo. Tali sono il potenziale elettrico,
quello gravitazionale (usato in geodesia), la temperatura (potenziale termico), lo spostamento nella meccanica dei solidi, la velocità in quella dei fluidi, ecc. La tavola
(III) mostra i potenziali e le sorgenti di diversi campi.
Tavola III: I potenziali e le sorgenti dei principali campi della fisica
{FFF}
classica.
campo
potenziale
sorgente
elettrico
potenziale elettrico V
carica elettrica Q
gravitazionale potenziale gravitazionale V
massa m
termico
temperatura T
generazione di calore P
elastico
spostamento ~u
forza F~
fluidodinamico velocità ~v
forza F~
velocità dilatazione volumica θ pressione p
temperatura T
generazione di calore P
~
magnetico
potenziale vettore magnetico A densità di corrente J~
7.3.4
La legge del campo
Con questo termine si intende una relazione che lega (legge=lex=lega) gli attributi
di uno o più sistemi. Se gli attributi sono quantitativi si possono esprimere con delle
grandezze fisiche e allora la legge fisica è espressa da formule matematiche che legano
tali grandezze, ovvero da equazioni.
7.3.5
Il problema fondamentale del campo
Il problema fondamentale dei campi è il seguente:
assegnata la regione in cui ha sede il campo;
assegnata la natura del materiale che si trova nella regione;
assegnate le sorgenti del campo;
assegnate le condizioni sul contorno del campo;
determinare la configurazione del campo.
Esempi:
110
CAPITOLO 7. ANALISI DELLE EQUAZIONI FISICHE
campo elettrico: assegnata una regione di spazio, precisata la natura dei materiali
che vi si trovano, assegnata la distribuzione delle cariche elettriche nella regione,
precisate le condizioni al contorno della regione (pareti metalliche, dielettriche,
vuoto, ecc.), determinare il potenziale elettrico in ogni punto della regione;
campo termico: assegnata una regione di spazio, precisata la natura dei materiali
che vi si trovano, assegnata la distribuzione delle sorgenti di calore nella regione,
precisate le condizioni al contorno della regione (isolanti, conduttori, fluidi,
vuoto, ecc.), determinare la temperatura in ogni punto della regione. E’ questo
un problema che si incontra nella fisica delle stelle, nella meteorologia, nella
fluidodinamica, nella progettazione dei reattori nucleari, ecc.
campo elastico: considerato un corpo solido deformabile, assegnata la distribuzione delle forze sul corpo e quelle agenti sul contorno, precisate le condizioni al
contorno della regione (appoggio, incastro, bordo libero, ecc.), determinare lo
spostamento in ogni punto del continuo;
campo fluido: assegnata una regione di spazio, precisata la natura dei materiali che
vi si trovano, data la distribuzione delle forze agenti nella regione e quelle agenti
sul contorno, precisate le condizioni al contorno della regione (impermeabile,
libero, ecc.) determinare la velocità in ogni punto del continuo;
campo elettromagnetico: assegnata una regione di spazio, precisata la natura dei
materiali che vi si trovano, assegnata la distribuzione delle carichee delle correnti elettriche nella regione, precisate le condizioni al contorno della regione
(pareti metalliche, dielettriche, vuoto, ecc.), determinare il potenziale elettrico
e magnetico in ogni punto della regione.
campo gravitazionale: assegnata una regione di spazio, data la distribuzione delle
masse nella regione, precisate le condizioni al contorno della regione, determinare il potenziale gravitazionale in ogni punto della regione. E’ questo un
problema che s’incontra in geodesia.
7.3.6
L’equazione fondamentale
Questo problema è tipico di tutta la scienza: assegnate le cause, determinare gli
effetti. Per risolvere il problema fondamentale, occorre mettere in relazione la causa
(sorgente) e l’effetto (potenziale). La relazione è espressa da un’equazione chiamata
equazioni fondamentale. Si veda lo schema (7.3).
Le equazioni di campo portano solitamente il nome di coloro che le hanno scoperte,
come mostra la tavola (IV).
7.3. EQUAZIONE FONDAMENTALE
effetti
Φ potenziali
del campo
incogniti
?
problema
fondamentale
equazione
fondamentale
111
cause
!
S sorgenti
del campo
note
Figura 7.3:
equazioniCampo}
L’equazione fondamentale di un campo esprime il legame tra la
sorgente del campo ed il suo potenziale.
Tavola IV: Le equazioni fondamentali dei campi fisici portano il nome
{autori}
dei loro scopritori.
campo
termico
elettromagnetico
diffusione
fluidodinamico (per fluidi perfetti)
fluidodinamico (per fluidi viscosi)
acustico (in un fluido o in un solido)
gravitazionale (classico)
gravitazionale (relativistico)
ampiezza di probabilità (meccanica quantistica)
dell’elettrone (meccanica quantistica relativistica)
equazione di
Fourier
Maxwell
Fick
Eulero
Navier-Stokes
D’Alembert
Poisson
Einstein
Schrödinger
Dirac
112
CAPITOLO 7. ANALISI DELLE EQUAZIONI FISICHE
A titolo esemplificativo abbiamo raccolto nella tavola (II) le più comuni equazioni
di campo scritte in forma di equazioni differenziali. Osserviamo che alcune equazioni,
ad es. l’equazione di Poisson, appaiono in diversi campi fisici.
7.3.7
Il principio di sovrapposizione degli effetti
Consideriamo un generico fenomeno fisico. Individuiamo in esso un “causa” che
chiameremo sorgente del fenomeno ed un “effetto” che chiameremo configurazione
del fenomeno.
La sorgente sarà descritta da una variabile fisica che indicheremo con s, dall’iniziale
del termine “sorgente”. L’effetto sarà descritto da una variabile fisica che chiameremo
genericamente “potenziale” e che indicheremo con la lettera V .
Tali variabili possono essere grandezze scalari o vettoriali, grandezze globali o
funzioni del posto.
Vi è una regola valida per tutte le teorie fisiche: se la sorgente è una grandezza
scalare anche il potenziale è una grandezza scalare; se la sorgente è un vettore anche
il potenziale lo è.
Esempi. Nella conduzione termica le sorgenti di calore sono descritte dalla quantità
di calore erogato nell’unità di tempo ovvero da una grandezza scalare. Il corrispondente
“potenziale termico” è la temperatura, che è una grandezza scalare.
Nell’elettrostatica la sorgente è la carica elettrica (scalare) ed il potenziale elettrico è
uno scalare.
Nella meccanica dei solidi deformabili la sorgente è una forza (vettore) ed il potenziale
è lo spostamento (vettore).
Nel campo gravitazionale la sorgente è la massa (scalare) ed il potenziale gravitazionale
è uno scalare.
Nel magnetismo posso prendere come variabile di sorgente il vettore densità di corrente
~
J~ e come potenziale il vettore A.
7.3.8
L’equazione fondamentale
La variabile di sorgente s è legata al potenziale V da una equazione: dal momento che
essa lega le due variabili fondamentali, descriventi la causa e l’effetto, a tale equazione
si dà il nome di equazione fondamentale. Essa è esprimibile nella forma generale
N (V ) = s
{Z05}
(7.32)
ove con N intendiamo un “operatore”, sia esso differenziale, integrale, algebrico, ecc.
Esempi. L’equazione fondamentale della meccanica della particella è
{Z06}
m
d2
~r(t) = f~(t).
dt2
(7.33)
7.3. EQUAZIONE FONDAMENTALE
113
Essa è una equazione lineare e le due variabili, quella di sorgente, f~, e quella di configurazione, ~r, sono entrambi vettori.
A velocità relativistiche l’equazione diventa nonlineare:



d ~r(t)
dt


d 
m0 s
 = f~(t).


µ
¶
2
dt 
dr(t) 
1−
dt
(7.34) {Z07}
Nel campo elettrostatico l’equazione fondamentale è quella di Poisson
−ε0 ∆V(P) = ρ(P)
(7.35) {Z08}
essendo ρ(P) la densità di carica e V(P) il potenziale elettrico. Entrambi sono grandezze
scalari funzioni del posto.
7.3.9
Sorgente impressa e indotta
La sorgente del fenomeno può essere impressa ovvero può agire indipendentemente
dalla configurazione del sistema o indotta ovvero dipendente dalla configurazione del
sistema. Scriveremo quindi l’equazione fondamentale nella forma
N (V ) = s imp + s indotta (V ).
(7.36) {Z09}
Esempio. Nel moto armonico forzato e smorzato agiscono tre forze
f~ imp (t)
d ~r(t)
f~ elastica = −h
dt
f~ elastica = −k ~r(t)
(7.37) {Z10}
per cui l’equazione fondamentale è
m
d2 ~r(t)
d ~r(t)
= f~ imp (t) − k ~r(t) − h
.
2
dt
dt
(7.38) {Z11}
Se la resistenza è quella aerodinamica si ha
1
f~ aerod = − ρ Cx s
2
µ
d ~r(t)
dt
¶2
(7.39) {Z12}
ovvero non è lineare.
Ricordiamo che un operatore L si dice lineare se soddisfa le due condizioni (λ è
un generico numero reale)


 L(λV ) = λL(V )
proprietà omogenea

 L(V + V ) = L(V ) + L(V )
1
2
1
2
proprietà addittiva
(7.40) {Z13}
114
CAPITOLO 7. ANALISI DELLE EQUAZIONI FISICHE
che si possono riassumere nella unica forma
L(λV1 + µV2 ) = λL(V1 ) + µL(V2 ).
(7.41) {Z14}
Ebbene vi sono diversi fenomeni fisici in cui l’operatore N nella equazione (7.36) è
lineare. Chiameremo queste equazioni intrinsecamente lineari. Al contrario vi sono
diversi casi in cui la sorgente indotta, cioè quella indotta dalla configurazione del
sistema o del campo, sono funzioni nonlineari del potenziale.
Esempi. Le grandi oscillazioni pendolari sono descritte dall’equazione
{Z15}
I V̈(t) = −mgL sin V (t)
(7.42)
è intrinsecamente lineare ma ha una sorgente indotta nonlineare.
Le equazioni della fluidodinamica sono, invece, intrinsecamente nonlineari . In particolare lo sono quelle dei fluidi perfetti incomprimibili (equazione di Eulero)
{Z16}
ρ0
7.3.10
∂ ~v
∂ ~v
+ ρ0 k v k = f~ − ∇p.
∂t
∂x
(7.43)
Sovrapposizione degli effetti
In diversi fenomeni fisici si realizza la seguente circostanza: facendo agire contemporaneamente due sorgenti, caratterizzate dalle variabili s1 ed s2 , la configurazione
risultante è descritta dalla somma dei rispettivi potenziali V1 e V2 . In simboli
s1 → V1
{ZZ5}
λs1 → λV1
s1 + s2 → V1 + V2
s2 → V2
.
(7.44)
Quando questo capita si dice che vale il principio di sovrapposizione degli effetti.
Dimostriamo che quando vale il principio di sovrapposizione degli effetti l’equazione fondamentale è lineare. Infatti essendo
L(V1 ) = s1
{Z17}
ne viene
{ZZ6}
L(V2 ) = s2
L(λV1 ) = λs1
L(V1 + V2 ) = s1 + s2 .
(7.45)
(7.46)
Viceversa la linearità dell’operatore comporta la validità del principio di sovrapposizione degli effetti.
7.3. EQUAZIONE FONDAMENTALE
115
Quando l’equazione fondamentale è lineare allora l’applicazione contemporanea di
due sorgenti ha come effetto la somma dei due effetti prodotti separatamente dalle due
sorgenti. Quindi per equazioni lineari vale il principio di sovrapposizione degli effetti.
Esempi. L’elettromagnetismo è intrinsecamente lineare e quindi, in assenza di sorgenti
indotte, vale il principio di sovrapposizione degli effetti. Considerando lo spostamento di
cariche e correnti, ove questo può avvenire, in funzione del campo da loro stesse creato,
le sorgenti indotte dipendono in modo generalmente nonlineare dal potenziale e quindi, a
causa di questo, non si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti.
La linearità intrinseca dell’elettromagnetismo si manifesta, ad esempio, nel fatto che
due onde elettromagnetiche (ad esempio due raggi luminosi) che si intersecano nel vuoto
proseguono il loro cammino senza alterazione. La non linearità indotta si manifesta in
presenza di certi materiali e dà luogo, ad esempio, alla ottica nonlineare [Bloemberger].
La meccanica dei solidi deformabili è, al contrario, intrinsecamente nonlineare. E’ sufficiente fare l’esperimento indicato in Fig.(??). Un’asta di balsa (o una lama metallica)
incastrata ad un estremo è soggetta ad una forza (la sorgente s) all’stremo libero. Raddoppiando la forza non raddoppia lo spostamento (il “potenziale” V ). La proporzionalità
ha luogo solo in modo approssimato se ci limitiamo a piccole forze che producono piccole
deformazioni.
Ecco la ragione per la quale nella scienza delle costruzioni ci si limita, generalmente,
alle piccole deformazioni.
Figura 7.4: asta inflessa
{num}
116
CAPITOLO 7. ANALISI DELLE EQUAZIONI FISICHE
Capitolo 8
Tavole riassuntive
8.0.11
Il diagramma dell’elettrostatica
8.0.12
Il diagramma della magnetostatica
8.0.13
Il diagramma dell’elettromagnetismo
°
117
118
CAPITOLO 8. TAVOLE RIASSUNTIVE
Tavola I: Le due leggi del campo magnetico espresse in varie forme
{ZZ1}
in forma globale (=valida per una regione finita)
orientazione interna
orientazione esterna
il flusso magnetico
relativo al bordo di un volume
è nullo
la tensione magnetica
relativa al bordo di una superficie
è uguale alla intensità della corrente
che attraversa la superficie.
Φ[bordo volume] = 0
U m [bordo superficie] = I[superficie]
Φ[∂V] = 0
U m [∂ S̃] = I[S̃]
in forma integrale
Z
∂V
in forma integrale
Z
~ · dS
~=0
B
∂ S̃
~ · dL
~ =
H
Z
S̃
~
J~ · d S
in forma locale (=valida per una regione infinitesima)
a) nei punti di regolarità
~ =0
div B
a) nei punti di regolarità
~ =0
∇· B
~ = J~
rot H
~ = J~
∇× H
in forma differenziale tensoriale
in forma differenziale tensoriale
∇j B j = 0
εijk ∇j × Hk = J i
o anche (h < i < j)
o anche (h < i < j)
∇j Bij − ∇i jBhj + ∇j Bhi = 0
∇h Hk − ∇k Hh = Jhk
in termini di distribuzioni e cobordo
in termini di distribuzioni e cobordo
δΦ(2) = 0(3)
δUm
(1) = I(2)
con le forme differenziali esterne
con le forme differenziali esterne
1
Bhk dxk ∧ dxk
2!
= 0 (forma pari)
def
φ(2) =
dφ(2)
b) nei punti di discontinuità
condizioni di raccordo
Bn− = Bn+
1
k
jhk dxk ∧ dxk um
(1) = Hk dx
2!
dum
(forma dispari)
(1) = i(2)
def
i(2) =
b) nei punti di discontinuità
condizioni di raccordo
~t
Ht− = Ht+ + K
~
K=corrente
superficiale
119
Tavola II: Le due leggi del campo elettrico espresse in varie forme
{ZZ2}
in forma globale (=valida per una regione finita)
orientazione interna
orientazione esterna
la tensione elettrica
relativo al bordo di una superficie
è nulla
il flusso elettrico
relativo al bordo di un volume
è uguale alla carica
contenuta nel volume.
U [bordo superficie] = 0
Ψ[bordo volume] = Q[volume]
U [∂ S̃] = 0
Ψ[∂V] = Q[V]
in forma integrale
Z
∂ S̃
~ · dL
~ =0
E
in forma integrale
Z
∂V
~ · dS
~=
D
Z
V
ρ· dV
in forma locale (=valida per una regione infinitesima)
a) nei punti di regolarità
a) nei punti di regolarità
~ =0
rot E
~ =ρ
div D
~ =0
∇× E
~ =ρ
∇· D
in forma differenziale tensoriale
in forma differenziale tensoriale
ε ∇j Ek = 0
∇j D j = ρ
o anche (h < i < j)
o anche (h < i < j)
∇h Ek − ∇k Eh = 0
∇h Dij − ∇i Dhj + ∇j Dhi = ρ
in termini di distribuzioni e cobordo
in termini di distribuzioni e cobordo
δU(1) = 0
δΨ(2) = Q(3)
con le forme differenziali esterne
con le forme differenziali esterne
ijk
u(1) = Ek dxk
1
Dhk dxk ∧ dxk
2!
(forma pari)
ψ(2) =
d u(1) = 0
b) nei punti di discontinuità
condizioni di raccordo
Et− = Et+
1
ρhij dxh ∧ dxi ∧ dxj
3!
= q(3) (forma dispari)
q(3) =
dψ(2)
b) nei punti di discontinuità
condizioni di raccordo
Dn− = Dn+ + σ
120
CAPITOLO 8. TAVOLE RIASSUNTIVE
Tavola III: Natura vettoriale dei vettori dell’elettromagnetismo (S~ è il
vettore di Poynting).
{HDO7}
orientazione interna orientazione esterna
vettore di linea
associato a linee
~ P~
E,
polare
~ M
~
H,
assiale
vettore di superficie
associato a superfici
~
B
assiale
~ J,
~ S
~
D,
polare
Tavola IV: Le 6 formulazioni delle equazioni delle equazioni di struttura
del campo elettromagnetico: prima equazione dell’elettrostatica.
discrete formulation
continuous formulation
global formulation
c
Ψ [∂ Ṽ, Ĩ] = Q [Ṽ, Ĩ]
−→
Z integral formulation
Z
∂ Ṽ
~ · dS
~=
D
ρ dV
Ṽ
↓
↓
local formulation
(δ = coboundary operator)
differential forms
(d = exterior differential)
δΨ(2) = Q(3)
−→

 dψ(2) = q(3)
 D+ = D− + σ
n
n
↓
↓
local formulation
differential
equation

X
α
d˜hα Ψα = Qh
−→
~ =ρ
 ∇· D
 D+ = D− + σ
n
n
{MED6}
121
Tavola V: Le 6 formulazioni delle equazioni delle equazioni di struttura
del campo elettromagnetico: prima equazione della magnetostatica.
discrete formulation
continuous formulation
global formulation
integral
formulation
Z
Φ[∂V, I] = 0[V, I]
−→
∂V
~ · dS
~=0
B
↓
↓
local formulation
(δ = coboundary operator)
differential forms
(d = exterior differential)
δΦ(2) = 0(3)
−→

 dφ(2) = 0
 B+ = B−
n
n
↓
↓
local formulation
differential
equation
(
X
β
dkβ Φβ = 0k
−→
~ =0
∇· B
+
Bn = Bn−
{MED7}
122
CAPITOLO 8. TAVOLE RIASSUNTIVE
Tavola VI: Le 6 formulazioni delle equazioni delle equazioni di struttura
del campo elettromagnetico: seconda equazione dell’elettromagnetismo.
discrete formulation
continuous formulation
global formulation
U[∂S, T] + Φ[S, ∂T] = 0 −→
Z
∂S
Z
T
integral formulation
~ · dL
~ dt +
E
·Z
S
~ · dS
~
B
¸t2
↓
↓
local formulation
(δ = coboundary operator)
differential forms
(d = exterior differential)
δ Um
(1) + ∆t Φ(2) = 0(2)
−→

 du(1) + φ̇(2) = 0
 E+ = E−
t
t
↓
↓
local formulation
X
β
cαβ Uβ + ∆t Φα = 0α
differential equation
−→



~
~ + ∂B =0
∇× E
∂t
 +

Et = Et−
=0
t1
{MED8}
123
Tavola VII: Le 6 formulazioni delle equazioni delle equazioni di struttura
del campo elettromagnetico: prima equazione dell’elettromagnetismo.
discrete formulation
{MED9}
continuous formulation
global formulation
Um [∂ S̃, T̃] − Ψ [S̃, ∂ T̃] = Q [S̃, T̃] −→
Z
Z
f
∂ S̃
T̃
integral formulation
~ · dL
~ dt −
H
·Z
S̃
~ · dS
~
D
¸t2
Z Z
=
t1
S̃
↓
↓
local formulation
(δ = coboundary operator)
differential forms
(d = exterior differential)
f
δ Um
(1) − ∆t Ψ(2) = Q(2)
−→

 dum − ψ̇(2) = i(2)
(1)
 H+ = H− + K
t
t
t
↓
↓
local formulation
X
β
cαβ Uβm
− ∆t Ψα =
Qfα
−→



differential equation
~
~ − ∂ D = J~
∇× H
∂t


Ht+ = Ht− + Kt
T̃
~ dt
J~ · d S
124
CAPITOLO 8. TAVOLE RIASSUNTIVE
Tavola VIII: Formulazione differenziale dell’elettrostatica.
variabili di configurazione
complesso primale: orientazione interna
intervalli primali
variabili di sorgente
complesso duale: orientazione esterna
istanti duali
1TP
V
ρ
Campo elettrico
formulazione differenziale
?3TL
~
E
1
ĨṼ
6
~ =ρ
∇·D
~ = −∇V
E
ĨS̃
3
- ~
D
6
law
~ = ²E
~
D
~ = ~k
∇× E
~
∇× T~ = D
?3TS
~k
3
ĨL̃
T~
6
T~ = −∇η
∇ · ~k = λ
?1TV
η
λ
1
ĨP̃
V potenziale elettrico
~ intensità del campo elettrico
E
~k densità di corrente magnetica
ρ densità elettrica
~ induzione elettrica
D
T~ senza nome
τ
η
senza nome
dia electrost diff.tex
{EE58}
senza nome
125
Tavola IX: Formulazione discreta dell’equazione di Poisson dell’elettro{125}
statica.
variabili di configurazione
complesso primale: orientazione interna
intervalli primali
SI units: volt
Poisson
−²
X
variabili di sorgente
complesso duale: orientazione esterna
istanti duali
SI units: coulomb
Lhk Vk = Qch
k
TP
Vh
Uα = −
X
Qch
6
X
gαh Vh
? TL
Uα
X
Ψα
S̃
Ĩ
- Ψα
6
X
s̃α
= ²
Uα
lα
law
Ψα =
cβα Uα = 0
c̃αβ Tβ
β
α
def
Lhk =
? TS
Gcβ
X
α
s̃α
d˜hα gαh
lα
Tβ
s̃β
gβj = +1
j
gγ j = +1
i
h
gγ h = −1
d˜hγ = +1
Delaunay prism
s̃α
lγ
Ĩ
L̃
g α i = +1
lα
lβ
s̃γ
Voronoi prism
gβi = −1
dia laplaciana disc.tex
d˜hα Ψα = Qch
α
h
ĨṼ
gαh = −1
d˜hα = +1
126
CAPITOLO 8. TAVOLE RIASSUNTIVE
{EE59}
Tavola X: Formulazione discreta dell’elettrostatica.
variabili di configurazione
complesso primale : orientazione interna
intervalli primali
dimensioni: [M L2 T −2 I −1 ]
unità SI: weber
TP
Vh
Uα = −
formulazione discreta
P
h gαh Vh
Uα
P
α cβα
Ψα
S̃
Ĩ
- Ψα
6
P
β c̃αβ
Uα
Vh
Uα
Kβ
Nk
Rβ
c?
? TV
?
potenziale elettrico
tensione elettrica
corrente magnetica
nessun nome
Ĩ
L̃
6
dkβ Kβ = Nk
Rβ = Ψα
Kβ
Nk
P ˜
c
α dhα Ψα = Qh
s̃α
= ²
Uα
lα
β
Ĩ
Ṽ
6
law
? TS
P
Qch
Campo elettrico
? TL
Kβ =
variabili di sorgente
complesso duale : orientazione esterna
istanti duali
dimensioni: [T I]
unità SI: coulomb
s!
6
Rβ =
P
k g̃βk
Ĩ
P̃
Ak
-
Ak
Qch
Ψα
Rβ
Ak
carica elettrica
flusso elettrico
nessun nome
nessun nome
127
Tavola XI: Formulazione differenziale della magnetostatica.
variabili di configurazione
complesso primale: orientazione interna
istanti primali
χ
variabili di sorgente
complesso duale: orientazione esterna
intervalli duali
1IP
Campo magnetico
formulazione differenziale
~ = −∇χ
A
~
A
3T̃
S̃
J~
6
~ = ∇× A
~
B
~ = J~
∇× H
L̃
3T̃
- ~
H
6
1~
~ law
H
= B
µ
~ =g
∇·B
~ = −∇Vm
H
?1IV
g
χ funzione di gauge
~ potenziale vettore magnetico
A
~ induzione magnetica
B
densità di carica magnetica
1T̃
P̃
Vm
g
τ
6
~
B
1T̃
Ṽ
∇ · J~ = τ
? 3IL
? 3IS
{EE60}
τ
J~
produzione di carica elettrica
densità di corrente elettrica
~ intensità del campo magnetico
H
Vm potenziale scalare magnetico
128
CAPITOLO 8. TAVOLE RIASSUNTIVE
Tavola XII: Formulazione discreta della magnetostatica.
variabili di configurazione
complesso primale : orientazione interna
istanti primali
dimensioni: [M L2 T −2 I −1 ]
unità SI: weber
χh
pα = −
variabili di sorgente
complesso duale : orientazione esterna
intervalli duali
dimensioni: [T I]
unità SI: coulomb
IP
Sh
6
Campo magnetico
h gαh χh
P ˜
α dhα Iα = Sh
? IL
6
pα
Φβ =
P
α cβα
P
β c̃αβ
pα
Φβ
β
law
Umβ =
dkβ Φβ = Gk
c?
? IV
?
Gk
T̃
S̃
Iα
? IS
P
T̃
Ṽ
formulazione discreta
P
{EE61}
1 ˜lβ
Φβ
µ sβ
s!
6
Umβ = Iα
L̃
T̃
- Umβ
6
Umβ = −
P
k g̃βk
Vmk
T̃
P̃
Vmk
-
χh
funzione di gauge
Sh
prod. carica/tempo
pα
momento elettrocinetico
Iαf
corrente elettrica
Φβ flusso magnetico
Umβ tensione magnetica
Gk carica magnetica
Vmk
potenziale magnetico
129
Tavola XIII: La struttura differenziale dell’elettromagnetismo
variabili di configurazione
primal complex: inner orientation
intervalli
istanti
variabili di sorgente
complesso duale: orientazione esterna
istanti
intervalli
1IP
T̃Ṽ
1
6
χ
τ
Elettromagnetismo
formulazione differenziale
~ = −∇χ
V = ∂t χ A
1TP
∂t ρ + ∇ · J~ = 0
ĨṼ
1
ρ
V
6
? 3IL
~
A
~ = −∂t A
~ − ∇V
E
~ = ∇×A
~
B
?3TL
~ E
? 3IS
~
B
~ =0
~ + ∂t B
∇×E
~ =0
∇·B
?3TS
:
6
legge di Ohm
~ =ρ
∇·D
law
~
~
~ − ∂t D
~ = J~
J = σE
∇×H
-
law
~
~ = ²E
D
ĨS̃
3
~
D
6
1~
~ law
= B
H
µ
~ = ∇×T~
D
~ = −∇Vm + ∂t T~
H
T~
?1IV
6
g
T̃P̃
1
Vm
Vm = −∂t η
T~ = −∇η
−∂t g + ∇ · ~k = λ
λ
T̃L̃
3
- ~
H
6
ĨL̃
3
~k
T̃S̃
3
J~
?1TV
{EE88}
ĨP̃
1
η
130
CAPITOLO 8. TAVOLE RIASSUNTIVE
Tavola XIV: La struttura differenziale dell’elettromagnetismo
variabili di configurazione
complesso primale: orientazione interna
intervalli
istanti
IP
χh
pα = −
P
h gαh χh
TP
Vh
variabili di sorgente
complesso duale: orientazione esterna
istanti
intervalli
τh
Elettromagnetismo
formulazione discreta
Vh = ∆t χh
T̃Ṽ
6
P ˜
f
˜ c
α dhα Qα + ∆t Qh = 0
Qc
h
{EE119}
ĨṼ
6
? IL
T̃S̃
f
1
Q
α 6
legge di Ohm
P
P
c
˜
Uα = − h gαh Vh − ∆t pα
α dhα Ψα = Qh
f law s̃α τ̃n
Q
=
σ
U
α
P
P
α
f
˜
l α τn
Φβ = α cβα pα β c̃αβ Umβ − ∆t Ψα = Q̃α
ĨS̃
TL
?
s̃α
law
Ψ̃α = ²
Uα
V
Ψ
α α l α τn
6
T̃L̃
? IS
˜
law 1 lβ τ̃n
- Umβ
Φβ
Umβ =
Φβ
µ sβ
6
P
P
Ψα = β c̃αβ Tβ
β cβα Uα + ∆t Φβ = 0
P
P
˜
pα
β
Umβ = −
dqβ Φβ = 0
? TS
Gf
k
?
Gck
∆t Gck −
6
Vmk
˜ t ηk
Vmk = ∆
P
p
f
β dhβ Gk = Gk
T =
P
? TV
ĨP̃
Gp
k
dia elettrom disc.tex
+ ∆t Tβ
ĨL̃
Tβ
IV
k g̃βk ηk
ηk
k g̃βk ηk
T̃P̃
131
Tavola XV: Formulazione spazio-temporale del campo elettromagnetico. {lu28}
Campo elettromagnetico
formulazione relativistica
1P χ
Z
hχ, τ i =
χτ dH
τ
H
6
∂µ J µ = τ
Aα = ∂α χ
4L ?
hA, Ji =
Aα
Z
H
Fαβ = ∂α Aβ − ∂β Aα
6S ?
hF, Gi =
Fαβ
G
Z
Aα J α dH
6
∂ν Gµν = J µ
1
Fαβ Gαβ dH
2
H
S̃
6
- Gµν
6
1
= χµναβ Fαβ
2
Gµν = ερσµν ∂ρ Tσ
hk, T i =
kµ
Z
k σ Tσ dH
H
Tσ
Tσ = ∂σ η
hλ, Vm i =
λ
dia elettrom ST.tex
Z
λη dH
η
H
H = hypervolume
³
´
J α = cρ, J~
k = c g, ~k
Vm ~
Tα =
, −T
c
³
´
µ
1
P̃
dH =µdV dt ¶
V
~
Aα =
, −A
c
α
4
L̃
6
∂µ k µ = λ
1H ?
4
Ṽ
Jµ
µν law
1 γαβµ
∂γ Fαβ = k µ
ε
2
4V ?
1
H̃
¶
132
CAPITOLO 8. TAVOLE RIASSUNTIVE
Appendice A
Altre teorie fisiche
133
134
APPENDICE A. ALTRE TEORIE FISICHE
Tavola I: The main constitutive equations.
{LL785}
reversible phenomena
1
Coulomb
2
Ψ law U
= ²
S
L
D =
Φ law Fm
= µ
S
L
B =
law
p = m
def
def
Ψ
S
E =
Φ
S
H =
(dynamics)
4
Hooke
N law ∆l
= E
S
L
5
(shear)
T law ∆l
= G
S
h
6
thermodyn.
∆U = Cv T
7
thermodyn.
law
def
v =
def
σ =
D = ²E
Fm
L
B = µH
∆x
T
p = mv
∆l
L
σ = E²
∆l
h
τ = Eγ
def
∆x
T
3
U
L
def
N
S
def
²=
T
S
def U
u=
V
def
def
τ =
γ =
law
law
law
law
law
law
∆u = cv T
law
p = nR
T
V
irreversible phenomena
8
Newton
T law
∆v
= −µ
S
h
τ =
9
Fourier
Q law
∆T
= −λ
S
L
q =
10
Ohm
Q law
∆V
= −σ
S
L
J =
11
Fick
Q law
∆c
= −D
S
L
q =
12
Darcy
Q law
∆H
= −K
S
L
q =
def
def
def
def
def
T
S
γ =
Q
S
p=
Q
S
E =−
Q
S
j =
Q
S
j =
def
def
def
def
def
∆v
h
τ = −µγ
∆T
L
q = −λp
law
law
∆V
L
J = σE
∆c
L
q = −Dj
∆H
L
q = −Kj
law
law
law
135
Tavola II: Un campionario di equazioni della fisica: accanto al nome
abbiamo posto una data indicativa.
Equazione di Newton (1687 ?)
dinamica particella
m
1
∂tt V(t, ~r) − ∆V(t, ~r) = 0
c2
Equazione di d’Alembert (17...)
acustica nei fluidi
Equazione di Poisson (1812 ?)
il prezzemolo della fisica
Equazione di Fourier (1822)
conduzione termica
d2
~r(t) = f~(t)
dt2
−²∆V(t, ~r) = ρ(t, ~r)
ρ cv ∂t T (t, ~r) − K ∆T (t, ~r) = σ(t, ~r)
Equazioni di Navier-Stokes (1822): fluidodinamica
(
"
#
)
h
i
∂~v (t, ~r)
v 2 (t, ~r)
ρ(t, ~r)
+ ∇×~v (t, ~r) ×~v (t, ~r)
+∇
∂t
2
h
i
−(λ + µ)∇ ∇ · ~v (t, ~r) − µ∆~v (t, ~r) = f~vol (t, ~r)
∂ρ(t, ~r)
+ ∇ · (ρ(t, ~r) ~v (t, ~r)) = 0
∂t
Equazione di Navier (1827) : elastodinamica
h
i
ρ∂tt ~η (t, ~r) − µ ∇2 ~η (t, ~r) + (λ + µ) ∇(∇ · ~η (t, ~r)) = f~(t, ~r)
Equazioni di Maxwell (1865): elettromagnetismo

~ ~r) = 0
 ∇ · B(t,

~ ~r) = ρ(t, ~r)
 ∇ · D(t,


~ ~r) + ∂t B(t,
~ ~r) = 0
∇× E(t,
Equazione di Helmholtz (187...)
acustica, onde elettrom.
~ ~r) − ∂t D(t,
~ ~r) = ~j(t, ~r)
∇× H(t,
∆ψ(~r) + k 2 ψ(~r) = 0
Equazioni di Einstein (1916): gravitazione relativistica
1
Rµν (gαβ , ∂γ gαβ , ∂γδ gαβ ) − R (gαβ , ∂γ gαβ , ∂γδ gαβ ) = −χTµν (gαβ )
2
Equazione di Schrödinger (1926): meccanica quantistica
1
2m
Ã
h
2π
!2
Ã
!
h
∆Ψ (t, ~r) + i
∂t Ψ (t, ~r) = eU Ψ (t, ~r)
2π
{EQDIFF}
136
APPENDICE A. ALTRE TEORIE FISICHE
Tavola III: Elenco delle principali variabili globali con l’ente spaziale e
{AA2}
temporale al quale sono associate.
funzione iconale
funzione di gauge
spostamento iniziale
funzione di Jacobi
funzione di fase (di un’onda)
potenziale delle velocità
spostamento
impulso del potenziale gravitaz.
impulso del momento elettrocin.
differenza di fase (nel tempo)
impulso di temperatura
circolazione magnetica
numero d’onde
cammino ottico
differenza di fase (nello spazio)
spostamento relativo
circolazione della velocità
impulso di tensione elettrica
impulso di tensione magnetica
impulso di tensione termodin.
flusso elettrico
flusso magnetico
flusso dei vortici
flusso di massa
flusso di energia (lavoro, calore)
flusso di quantità di moto
flusso di carica elettrica
flusso di particelle
flusso di entropia
flusso di probabilità
flusso di momento angolare
contenuto di massa
contenuto di energia
contenuto di di carica
contenuto di entropia
contenuto di quantità di moto
contenuto di particelle
contenuto di probabilità
contenuto di momento angol.
produzione di energia
produzione di entropia
produzione di massa
produzione di particelle
impulso di volume
in un punto
in un punto
di un punto
in un punto
in un punto
in un punto
di un punto
in un punto
in un punto
in un punto
in un punto
lungo una linea
lungo una linea
lungo una linea
lungo una linea
lungo una linea
lungo una linea
lungo una linea
lungo una linea
lungo una linea
su una superficie
su una superficie
su una superficie
attraverso una superficie
attraverso una superficie
attraverso una superficie
attraverso una superficie
attraverso una superficie
attraverso una superficie
attraverso una superficie
attraverso una superficie
in a volume
in a volume
in a volume
in a volume
in a volume
in a volume
in a volume
in a volume
in a volume
in a volume
in a volume
in a volume
in a volume
ad un istante
ad un istante
ad un istante
ad un istante
ad un istante
ad un istante
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
ad un istante
ad un istante
ad un istante
ad un istante
ad un istante
ad un istante
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
ad un istante
ad un istante
ad un istante
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
ad un istante
ad un istante
ad un istante
ad un istante
ad un istante
ad un istante
ad un istante
ad un istante
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
Appendice B
Sulle definizioni operative
Molti libri di fisica sostengono che in fisica non si debbono usare grandezze che non
siano misurabili.
Nulla è più sciocco di questo tabù.
~ che non è misurabile,
Gli stessi autori usano il potenziale vettore magnetico A
l’entropia S che non è misurabile, l’energia potenziale V che non è misurabile, la
funzione d’onda ψ della meccanica quantistica che non è misurabile. Si tratta di un
malinteso che viene erroneamente attribuito ad Heisenberg.
È evidente che la fisica debba partire da grandezze misurabili ma nel corso del
suo svolgimento è libera di introdurre grandezze che non sono direttamente misurabili
purché da esse si possano ottenere grandezze misurabili.
Cosı̀ la funzione d’onda ψ, definita a meno di un fattore di fase exp(iφ) non è
misurabile ma il prodotto ψψ ∗ integrato su una regione di spazio dà laprobabilità di
trovare una particella entro quella regione e quest’ultima è una grandezza misurabile.
L’energia potenziale è definita a meno di una costante arbitraria e come tale non
è misurabile. La sua variazione però dà il lavoro ceduto o assorbito dal sistema cioé
una quantità misurabile.
~ definito a meno del gradiente della funzione di
Il potenziale vettore magnetico A,
gauge ξ non è misurabile ma il suo rotore è il vettore induzione magnetica B che è
misurabile.
L’entropia non è misurabile ma la variazione dell’entropia di un sistema è il rapporto Q/T essendo Q il calore assorbito da un sistema e T la temperatura assoluta
alla quale questo assorbimento avviene.♣
Per togliere quindi questo tabù citiamo le opinioni di alcuni fisici di grande rilievo.
“E’ assolutamente falso, sebbene lo si dica spesso, che l’immagine del mondo della
fisica contenga, o possa contenere, soltanto grandezze direttamente osservabili. Al
contrario, grandezze direttamente osservabili non si trovano assolutamente nell’im137
138
APPENDICE B. SULLE DEFINIZIONI OPERATIVE
magine del mondo.” [M. Plank, Autobiografia Scientifica, Einaudi, 1956, pag. 78.]
“It is not true that we can pursue science completely by using only those concepts
which are directly subject to experiment.” [Feynmann, Lectures on physics, vol. III,
pag. 29.]
“Non tutte le grandezze di cui si serve il fisico nei suoi ragionamenti possono essere
osservate e misurate. Alcune servono solo come strumenti necessari al calcolo, ma si
trascurano nelle verifiche sperimentali. Ponendosi da un punto di vista puramente
fenomenologico, si è cercato di espellere dalle teorie fisiche tutte le grandezze non
misurabili; la dottrina energetica e, più recentemente, la meccanica quantistica di
Heisenberg sono esempi notevoli di tentativi del genere. Ma questi tentativi non sono
mai completamente riusciti e nelle teorie intervengono sempre certe grandezze non
misurabili: cosı̀ in meccanica ondulatoria la famosa funzione d’onda Ψ. Nondimeno
le grandezze misurabili hanno una importanza maggiore, perché solo per esse la teoria
può ricevere l’indispensabile controllo sperimentale delle sue conseguenze.. . .
“Insomma, ci sembra che non bisogna esagerare la portata della distinzione tra grandezze misurabili e grandezze semplicemente definibili.” [de Broglie, Fisica e Miscrofisica, Einaudi, pag. 89-92.]
“Now we do not accept the ”posivistic” standpoint, according to which only observables may be employed in theoretical physics, but instead are of the opinion that the
introduction of not directly observable quantities is justified whenever the resulting
conclusions agree with experiment (as in the kinetic theory of gases). Nevertheless
we demand that the concepts introduced in a hypothesis may be based at least on an
imaginary experiment, i.e. an observational method, even if it cannot be carried out
in practice.” [A. Sommerferld, Electrodynamics, Academic Press, pag. 72.]
“It is often said that it was a metaphysical idea which led Heisenberg to the principle of matrix mechanics, and this statement is used by the believers in the power
of pure reason as an example in their favour. Well, if you were to ask Heisenberg,
he would strongly oppose this view. As we worked together I think I know what
was going on in his mind. At that time we were all convinced that the new mechanics must be based on new concepts having only a loose connection with classical
concepts, as expressed in Boh’rs postulate of correspondence. Heisenberg felt that
quantities which had no direct relation to experiment ought to be eliminated. He
wished to found the new mechanics as directly as possible on experience. If this is a
’metaphysical’ principle, well, I cannot contradict; I only wish to say that is is exactly
the fundamental principle of modern science as a whole, that which distinguishes it
from scholasticism and dogmatic systems of philosophy. But if it is taken (as many
have taken it) to mean the elimination of all non-observables from theory, it leads,
139
to nonsense. For instance, Schroedinger’s wave function ψ is such a non-observable
quantity, but it was of course later accepted by Heisenberg as a useful concept. He
stated not a dogmatic, but a heuristic principle. He found by an act of scientific
intuition the spurious conceptions that have to be eliminated. I shall try to describe
this.” [Max Born, Experiment and Theory in Physics, Dover, 1956, pag. 18.]
140
APPENDICE B. SULLE DEFINIZIONI OPERATIVE
Appendice C
Relazione con le forme differenziali
Si veda Burke [?, p.297]
141
142
APPENDICE C. RELAZIONE CON LE FORME DIFFERENZIALI
Tavola I: Correspondence between the discrete and the differential formalism of electromagnetism using algebraic topology and differential
geometry respectively
discretef ormulation
p − distributions
def
U (1) = {U1 , U2 , ...UN1 }
def
Φ(2) = {Φ1 , Φ2 , ...ΦN2 }
def
m
m
m
Um
(1) = {U1 , U2 , ...UN2 }
def
Ψ(2) = {Ψ1 , Ψ2 , ...ΨN1 }
def
Qf(2) = {Qf1 , Qf2 , ...QfN1 }
def
Qc(3) = {Qc1 , Qc2 , ...QcN0 }
dif f erentialf ormulation
p − f orms
1
Ei (x0, x1, x2, x3 ) d xi
1!
def 1
φ(2) =
Bij (x0, x1, x2, x3 ) d xi ∧ d xj
2!
m def 1
Hi (x0, x1, x2, x3 ) d xi
u(1) =
1!
def 1
Dij (x0, x1, x2, x3 ) d xi ∧ d xj
ψ(2) =
2!
def 1
i(2) =
jij (x0, x1, x2, x3 ) d xi ∧ d xj
2!
def 1
q(3) =
ρijk (x0, x1, x2, x3 ) d xi ∧ d xj ∧ d xk
3!
def
u(1) =
δ U (1) + ∆t Φ(2) = 0(2)
d u(1) + φ̇(2) = 0
δ Φ(2) = 0(3)
d φ(2) = 0(2)
f
˜
δ Um
(1) − ∆t Ψ(2) = Q(2)
d um
(1) − ψ̇(2) = i(2)
δ Ψ(2) = Qc(3)
d ψ(2) = q(3)
˜ t Qc = 0(3)
δ Qf(2) + ∆
(3)
d i(2) + q̇(3) = 0
vertici del primale
spigoli del primale
facce del primale
celle del primale
{J55}
= N0
= N1
= N2
= N3
=
=
=
=
Faraday
Gauss magnetico
Ampère
Gauss elettrico
conservazione carica
volumi del duale
facce del duale
spigoli del duale
vertici del duale
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