Soluzioni alla verifica di fisica sul bilancio energetico 1. Si

Soluzioni alla verifica di fisica sul bilancio energetico
1. Si definiscano i concetti di forza conservativa ed energia potenziale, e si ricavi la formula
dell’energia potenziale elastica.
Una forza è conservativa se il lavoro che compie per spostare un corpo dipende solo dalla posizione
iniziale e finale del corpo e non dal percorso fatto. Alternativamente una forza è conservativa se e solo
se il lavoro che compie lungo un percorso chiuso è sempre pari a zero. L’energia potenziale è un energia
che un corpo possiede in virtù della sua posizione in presenza di una forza conservativa. Per definire
tale energia bisogna scegliere (in modo arbitrario) un punto O dello spazio in cui fissare il valore nullo
dell’energia. Effettuata tale scelta, l’energia potenziale di un corpo in un punto P dello spazio,
corrisponde al lavoro che la forza conservativa in oggetto compirebbe per spostare il corpo dal punto P
al punto O. Una diversa scelta del punto O (zero dell’energia) cambia i valori dell’energia, ma restano
ben definite le variazioni da un punto ad un altro, che non dipendono dalla scelta arbitraria di O.
Per quanto riguarda l’energia potenziale elastica, scelto, per semplicità, come O la posizione di riposo
della molla che applica la forza elastica, per calcolare il lavoro occorre calcolare l’area del grafico
rappresentante la forza in quanto la forza varia (in modo direttamente proporzionale) alla deformazione
∆x della molla. Tale proporzionalità fa sì che il grafico sia costituito da una retta uscente dall’ origine,
e l’area sia quindi quella di un triangolo di base ∆x e di altezza pari a F = k ∆x , per cui l’energia
∆x ⋅ k ∆x 1
2
potenziale è calcolabile come=
U
k ( ∆x ) , dove k è la costante elastica della molla e ∆x la
=
2
2
sua compressione o il suo allungamento.
2. Un proiettile di massa 200g viene sparato su un binario orizzontale privo di attrito e viene arrestato
da una molla di costante elastica k=2000N/m che si comprime di 20 cm. A quale velocità il proiettile
colpisce la molla? Qual è la velocità del proiettile quando la molla è compressa di uno spazio pari
alla metà della compressione massima? Se lo sparo iniziale, che ha accelerato il proiettile è durato un
centesimo di secondo, a quanto equivale la potenza liberata dallo sparo?
Durante la comprensione elastica della molla agisce solo la forza elastica, per cui l’energia potenziale
elastica finale è pari a quella cinetica iniziale (che coincide con il lavoro trasmesso al proiettile dallo
sparo). Per cui
1
N
2
2
U=
k ( ∆x ) = 1000 × ( 0, 2m ) = 40J = K
2
m
1 2
80 J
m
m
mv = 40J ⇒ v=
= 400 = 20
2
0, 2 Kg
s
s
Per la seconda richiesta nel punto di mezzo abbiamo sia l’energia cinetica che la potenziale, che essendo
la compressione dimezzata, è pari ad un quarto di quella precedente, mentre l’energia totale è sempre
pari a 40J.
1
1
2
k ( ∆x ) + mv 2 =
40J
2
2
10 J + 0,1Kg × v 2 =
40J
0,1Kg × v 2 =
30 J
m
m
=
300
17,3
s
s
Per l’ultima domanda basta osservare che il lavoro compiuto dallo sparo è sempre di 40J, per cui
L
40 J
=
P =
= 4000W
= 4kW
∆t 0,01s
=
v
3. Un uomo di massa 80Kg si lancia da un ponte alto 16m con un cavo elastico lungo (a riposo) 8m, Se
la costante elastica del cavo è pari a 800N/m calcola la velocità massima raggiunta dall’uomo
durante la caduta e le altezze dal suolo in cui raggiunge il 70% della velocità massima (trascura gli
attriti).
Posto h=0 nel punto iniziale del lancio (in alto) otteniamo che l’energia meccanica, che si conserva, è
inizialmente (e quindi per tutto il moto), pari a zero. Le equazioni che legano velocità ed altezza,
distinte nei de casi, il primo finché l’elastico non comincia ad allungarsi, il secondo con l’elastico
allungato, sono quindi
 −8 < h < 0
 −8 < h < 0

⇔ 2
1
2
0
v + 19,6h =
 2 m v + m gh = 0
 h < −8
h < −8
h < −8

⇔
⇔
1 2

 2
1
2
2
2
2
0
8) 0
8) 0
 2 mv + mgh + 2 k ( h + L ) =
40v + 80 × 9,8h + 400 ( h +=
5v + 98h + 50 ( h +=
Osserviamo dapprima, anche se non richiesto, che l’uomo non si schianta al suolo, infatti egli si ferma
2
(v=0) se 98h + 50 ( h + 8) =⇔
0 50h 2 + 898h + 3200 =⇒
0
h=
−4,9m ∨ h =−13m , per cui si ferma tre
metri prima di raggiungere il suolo.
Sappiamo che l’uomo raggiunge la massima velocità quando la forza peso è in equilibrio con la forza
mg 80 × 9,8
elastica per cui mg =kx ⇒ x = =
m=
0,98m ⇒ h =−8,98m . Sostituiamo il valore trovato
k
800
nell’equazione del moto:
2
5v 2 − 880 + 50 ( 0,98) =⇒
0 5v 2 =
832 ⇒ vMAX =
12,9 m
s
La velocità richiesta dall’ulteriore domanda è quindi di circa v = 9,03 m . Sostituiamo il valore nelle
s
equazioni del moto
 −8 < h < 0
81,5 m
⇒ h =−
=−4,16 m cioè a 11,84m dal suolo

s
s
81,5
+
19,6
h
=
0
19,6

 h < −8
⇒ h=
−6,07m ∨ h =−11,9m cioè a 4,1m dal suolo

2
50
h
+
898
h
+
3607,7
=
0

4. Un corpo di massa 500g è posizionato alla base di un piano inclinato di 30° sulla sommità di una
molla ideale parallela al piano e compressa per 20 cm. Se la molla è in grado di spingere il corpo su
per il piano (senza attrito) ad un’altezza di 160 cm (misurata a partire dal punto di partenza), qual è
la costante elastica k della molla? Se invece il piano avesse un coefficiente di attrito dinamico pari a
0,4, a quale altezza massima arriverebbe il corpo?
Per quanto riguarda la prima richiesta osserviamo che agiscono solo forze conservative (elastica e
gravitazionale), quindi l’energia meccanica si conserva. Ponendo lo zero dell’energia potenziale
gravitazionale al punto di partenza, otteniamo:
1
1
2
2
Energia iniziale (potenziale elastica): U E = k ( ∆x ) = k ( 0, 2m ) =k × 0, 02m 2
2
2
Energia finale (potenziale gravitazionale): U G = mgh = 0,5 Kg × 9,8 m 2 ×1, 6m = 7,84J
s
Scriviamo l’equazione del bilancio energetico:
7,84 N
N
U E = U G ⇒ k × 0, 02m 2 = 7,84J ⇒ k =
= 392
0, 02 m
m
Si noti come, fino a qui, tutto è indipendente dall’inclinazione.
Per quanto riguarda la seconda richiesta, introduciamo il lavoro dell’attrito (forza non conservativa).
m
La forza di attrito è F =
−µD N =
− µ D mg cos 30 =
−0, 4 × 0,5 Kg × 9,8 2 × cos 30 =
−1,70N
s
(il segno negativo è dovuto all’opposizione della forza al moto).
h
Il lavoro è dunque L =F × s =−1,70N ×
=−3, 40 N × h . Calcoliamo i valori dell’energia:
sin 30
Energia iniziale (potenziale elastica dal risultato precedente): U E = 7,84J
Energia finale (potenziale gravitazionale): U G= mgh
= 0,5 Kg × 9,8 m
s2
×=
h 4,9N × h
Scriviamo l’equazione del bilancio energetico:
U G − U E =L ⇒ 4,9N × h − 7,84J =−3, 4 N × h
4,9N × h + 3, 4 N × h =
7,84J
8,3N × h =
7,84J
7,84J
=
h = 0,945m=94,5cm
8,3N
5. Un oggetto inizialmente fermo nella posizione x=0, è sottoposto ad una forza parallela allo
spostamento la cui intensità varia secondo il grafico riportato qui sotto. Se la velocità nel punto del
grafico in cui non c’è accelerazione è di 10 m/s, qual è la massa dell’oggetto.
7
6
Forza (N)
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
x (m)
Partendo il corpo da fermo se x=0, il lavoro compiuto dalla forza è pari all’energia cinetica. Per
calcolare il lavoro, basta calcolare l’area sottesa al grafico (magari scomponendola in rettangoli e
triangoli come indicato in figura). Si noti che il punto con accelerazione nulla, coincide con il punto con
forza pari a zero, cioè x=5
L’area fino a x=5 è quindi 2+2+2+8+4=18
Per cui il lavoro è pari a 18J da cui
1 2
18
mv = 18 J ⇒ m=
Kg = 0,36 Kg = 360 g
2
50