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METODO MONTECARLO PER DETERMINARE PIGRECO PI di Luciano Porta
SIMULAZIONE DELLA CADUTA DI PICCOLI OGGETTI IN UN CERCHIO INSCRITTO IN UN QUADRATO
L’area del cerchio è π r2 . L’area del quadrato è 4 r2 (poiché è il quadruplo dell’area del quadrato
azzurro). Il rapporto k tra l’area del cerchio e quella del quadrato è:
π r2
π
k=
e riducendo ai minimi termini k =
e quindi π = 4 K
2
4r
4
Se conoscessimo K potremmo calcolare π .
Immaginiamo che cada una pioggia fitta e uniforme. Il rapporto tra il numero di gocce che cadono
nel cerchio e quelle che cadono nel quadrato (cerchio compreso) sarà, in teoria, uguale a quello tra
l’area del cerchio e quella del quadrato:
A(cerchio)
numero gocce nel cerchio
K=
=
A(quadrato)
numero di gocce nel quadrato
Possiamo calcolare approssimativamente K simulando la caduta della pioggia per mezzo della
legge dei grandi numeri .
Possiamo far cadere in un cerchio inscritto in un quadrato, da un’altezza molto maggiore del lato
del quadrato, granuli di piccole dimensioni.
Calcoliamo poi quanti granuli sono caduti nel cerchio e quanti sono caduti nel quadrato (attenzione
che i granuli caduti nel cerchio sono caduti anche nel quadrato).
Ripetiamo l’esperienza molte volte e sommiamo infine i granuli che sono caduti nel cerchio e
successivamente quelli caduti nel quadrato. Più grande è il numero delle prove, migliore sarà
l’approssimazione.
Calcoliamo K determinando il rapporto tra il totale dei granuli nel cerchio e il totale di quelli nel
quadrato (cerchio compreso).
Poiché K = 4 π moltiplichiamo per 4 il valore approssimato di K e determineremo il valore
approssimato di π .
L’algoritmo può essere tradotto in programma per computer (v.schermata mio software eseguibile).
Si usano 2 numeri pseudocasuali (sono compresi tra 0 e 1) alla volta e si considerano come misure
dei cateti di un triangolo rettangolo. Applicando il teorema di Pitagora, se l’ipotenusa è >1 il punto
è nel quadrato, ma non nel cerchio, se <=1 il punto fa parte sia del cerchio, sia del quadrato.
Per semplicità si considera solo ¼ di cerchio.
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