Lezione_15_06_2015

Meccanica quantistica
OBIETTIVI ED IDEE DEGLI STUDENTI
Perché la meccanica quantistica?
• Contenuto motivante perché permette di affrontare
argomenti di ricerca attuali
• Numerose applicazioni tecnologiche
• Introduzione di concetti che non hanno corrispettivo
classico
• Dibattuta storicamente ed epistemologicamente
MQ risulta difficile
• … perché servono alcuni concetti di base di
EM e meccanica ondulatoria;
• … formalismo matematico
• … difficoltà di visualizzazione
• … poche strategie didattiche per
Perché è difficile spiegare
contraddizioni
• Un qualunque corpo che si trovi a temperatura T
diversa da 0 e sorgente di radiazione
elettromagnetica dovuta al moto di agitazione
termica degli atomi che lo compongono.
L'emissione di tale energia avviene a spese
dell'energia termica. Dunque all'interno di una
cavità sarà sempre presente una radiazione
termica, e, nel caso in cui la temperatura rimanga
costante (condizioni di equilibrio termodinamico),
la distribuzione di radiazione viene detta spettro
di corpo nero.
• Secondo l'elettromagnetismo classico (applicando le
equazioni di Maxwell alle radiazioni emesse e assorbite
dalle pareti del corpo nero) la potenza irradiata per
unita di frequenza deve seguire la legge di RayleighJeans ed essere proporzionale al quadrato della
frequenza stessa. Questo implicherebbe che sia la
potenza a una data frequenza sia la potenza totale
irradiata vadano all'infinito per frequenze sempre più
elevate (cadendo così nel problema della "catastrofe
ultravioletta"), in contraddizione con i dati
sperimentali, oltre che in violazione del principio di
conservazione dell'energia.
• Secondo la teoria classica, strutture formate
da particelle cariche oscillanti ad alta
frequenza dovrebbero, a temperatura
ambiente, emettere raggi UV, gamma e raggi
X. Dovrebbero inoltre assorbire enormi
quantità di energia per incrementare la
propria temperatura anche solo di un grado
Celsius. Entrambi i fenomeni però non sono
verificati sperimentalmente.
• Problemi con l'assenza di determinismo
causati dall'inabilità della funzione d'onda a
descrivere una traiettoria e difficoltà di
comprensione riguardo al concetto di energia
potenziale in sica classica che si traducono in
difficoltà nell'ambito delle buche di potenziale
• Problemi con la comprensione della relazione tra
energia potenziale, lunghezza d'onda e ampiezza
di una funzione d'onda
• Confusione riguardo l'interpretazione delle
dimensioni della funzione d'onda
• L'impossibilità di misurare con precisione
posizione e momento (conseguenza del processo
di misura) sembra essere per alcuni studenti
legata all'inabilità di fare misure precise, quindi
ad un errore di misura
Proposte didattiche
• Di solito combinano materiali scritti, programmi
informatici interattivi e multimediali per fornire
un ambiente di apprendimento in cui gli studenti
ottengono più di una "visione" della fisica
quantistica. Questi materiali permettono di
analizzare le situazioni in termini di energia
potenziale e totale e di fare misure qualitative per
delineare le funzioni d'onda di oggetti in
movimento sotto l'influenza di forze
rappresentate da queste energie; permette ad es.
la comprensione di concetti importanti come gli
stati di energia negli atomi e l'effetto tunnel.
Proposte didattiche
• Un proposta vede la comprensione dell'applicazione dei
principi fondamentali ai fenomeni fisici ed alle tecnologie
moderne (microscopi quantistici ad effetto tunnel, diodi ad
emissione di luce etc). Far sapere che la meccanica
quantistica ha qualche applicazione pratica nella tecnologia
di tutti i giorni e risultato essere uno stimolante gradino
verso la comprensione.
• VQM (Visual Quantum Mechanics) rivolto a scuole superiori
e studenti universitari. Unità didattiche comprendono
tunnel quantistico, luminescenza, laser e diagrammi di
energia potenziale. Una caratteristica interessante della
visualizzazione e che gli studenti possono cambiare la
massa della particella o anche la costante di Planck ed
osservare le conseguenze.
Sequenza libri di testo
• dall'ipotesi di struttura della materia formulata da
Thomson a quella di Rutherford,
• l'ipotesi di Planck sulla granularita degli scambi
energetici tra radiazione e materia,
• la conseguente proposta di Einstein per spiegare
le osservazioni sull'effetto fotoelettrico,
• le osservazioni sugli spettri di emissione e di
assorbimento, l'ipotesi di quantizzazione
dell'energia degli elettroni all'interno dell'atomo
presentata da Bohr e Sommerfeld.
Cosa dovrebbero sapere gli studenti
• concetto di equilibrio termodinamico, condizione di
equilibrio tra emissione ed assorbimento di
radiazione in una camera
• Una carica accelerata irraggia (la nuova teoria non
abolisce l'irraggiamento elettromagnetico)
• L'analisi in frequenza della radiazione
• fenomeni di interferenza delle onde
elettromagnetiche
• linearità delle equazioni di evoluzione che
governano i campi di vettori dell'Elettromagnetismo
Esperimento delle due fenditure con
elettroni
Esperimento delle due fenditure con
elettroni
ciò che ci si aspetta classicamente
sommando i contributi delle fenditure.
i due contributi restituiscono una
figura di interferenza.
Esperimento delle due fenditure con
elettroni
• Nonostante l'identica preparazione dello stato iniziale,
in prove ripetute, gli impatti sono distribuiti in
differenti punti dello spazio.
• La statistica della posizione degli impatti differisce,
qualitativamente e quantitativamente da quanto si
osserva quando uno dei due fori è occluso. In più si
discosta drasticamente dalla semplice sovrapposizione
delle figure osservate quando uno o l'altro foro e
chiuso.
• La figura risultante dalla collisione di molti elettroni e
simile alla tipica figura di interferenza delle onde
sferiche emesse da due sorgenti puntiformi.
Che cosa "ondeggia" nel mondo
microscopico?
• certamente nulla di materiale! Se per le onde
del mare ad oscillare sono le particelle di
liquido (nel modello a sfere elastiche), se per
le onde sonore sono le particelle d'aria, se per
le onde elettromagnetiche sono i campi
elettrici e magnetici, per le "onde di materia"
non c'e nulla di materiale e nulla che sia
direttamente misurabile che si evolve per
onde!
Onde di materia
• la Probabilità di osservare un elettrone in un punto
preciso dello schermo e legata all'intensità dell'onda
• le onde sono onde di possibilità: esse codificano la
statistica dei possibili risultati di una qualunque serie di
misurazioni sull'elettrone,
• non è possibile associare tali possibilità a nessuna
proprietà effettiva posseduta dall'elettrone fino a che
la misurazione non venga effettuata!
• Sono le onde di possibilità a sommarsi e non le
possibilità, che sono invece collegate all'intensità
dell'onda!"
Componenti del modello quantistico
• Lo stato di un sistema quantistico è univocamente
definito da un vettore normalizzato in uno spazio
di Hilbert complesso H.
• Le osservabili fisiche sono rappresentate da
operatori autoaggiunti in H
• I possibili risultati della misura di una osservabile
sono i valori reali appartenenti al spettro
dell'operatore ad essa associato
• L'evoluzione dello stato del sistema è generata
dall'operatore autoaggiunto associato
all'osservabile energia del sistema
Finalità del modello quantistico
• Lo scopo della meccanica quantistica è quello
di fornire formule di calcolo per la probabilità
di osservare valori specifici di osservabili
fisiche quando una tale osservabile sia
sottoposta a misura.
Possibili strade
Equazione
numerica per la
psi
Analogia con
polaroidi
Pros: Permette di ricostruire rigorosamente la Pros: Permette di discutere la misura in mq,
dinamica della psi, non ricorrendo alla
la non commutabilità, entanglement,
soluzione di equazioni differenziali,
paradossi
preservando i concetti di base
Cons: fenomenologia studiata NON è
Cons: non permette la discussione sulla
quantistica, l’apparato formale non è
misura in mq, la non commutabilità degli
intrinsecamente probabilistico
osservabili o l’entanglement
Spiegazione standard
diffrazione elettronica
Spiegazione con
analogia con polaroid
e calcite
Vedi dopo
Proposta didattica basata sull’analogia
Impostazione didattica
1.1. Obiettivi generali.
Si propone una visione sintetica della meccanica quantistica e
del formalismo che la sostiene.
1.2. Nodi concettuali.
• - Approccio ondulatorio;
• - Passaggio dal continuo al discreto;
• - Trattazione fenomenologia corredata dal formalismo della
quantistica di base.
1.3. Prerequisiti.
• - Saper effettuare misurazioni in laboratorio e stendere una
relazione di laboratorio;
• - Fotone come particella;
• - Rappresentazione vettoriale ed elementari leggi di
composizione.
Conoscenze.
• Fenomenologia della polarizzazione
• Legge di Malus
• Stato quantico e Proprietà descritte quantisticamente
da uno stato
• Principio di sovrapposizione
• Comportamento non classico dei fotoni nelle
interazioni
• Concetto di proprietà incompatibili
• Principio di indeterminazione di Heisenberg
• Concetto di proiettore e concetto di operatore
• Grandezza misurabile come soluzione agli autovalori
• Teoria quantistica della misura
• Principio di non località
Strumenti.
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(1) Schede operative
(2) Questionari
(3) Software per elaborare dati
(4) Lavagna
(5) Laboratorio di Fisica
(6) Materiali per gli esperimenti (materiale
povero)
Polaroid
Calcite
Verso il formalismo
Legge di Malus:
Itrasm/Iincid = cos2 θ
Polaroid
Interpretiamo (numero di fotoni):
Ntrasm/Nincid = cos2 θ
(u,v)2 = cos2θ
Probabilità per i fotoni che
attraversano polaroid nello stato u
di attraversare anche il polaroid nello stato v:
P(u,v) = cos2θ
P(u,v) = (u,v)2
Calcite:
ogni vettore bidimensionale può essere scritto come combinazione
lineare di
due vettori ortogonali H e V
• u=ψ1 H+ ψ2V
ψ1 e ψ2
sono dette ampiezze e devono obbedire alla condizione di normalizzazione
ψ12 + ψ22 =1
Regole elementari
Regole elementari
ψ1 = (H ,u)
Ψ12 è la probabilità di trovare
un fotone nello stato H
ψ2 = (V ,u)
Ψ22 è la probabilità di trovare
un fotone nello stato V
Probabilità di far scattare il rilevatore D
P(D) = P(u,v) = (u,v)2
= [ψ1 (H,v)+ ψ2(V,v)] 2
= ψ12 (H,v)2+ ψ22(V,v) 2+2 ψ1 ψ2(H,v) (V,v)
Ψ22 è la probabilità di trovare un fotone nello stato V
(H,u)2 Probabilità di far scattare D, se il fotone ha proprietà H
(H,v)2 Probabilità di far scattare D, se il fotone ha proprietà V
= P(H) P(D|H)+P(V)P(D|V) +2 ψ1 ψ2 (H,v) (V,v)
Il terzo termine caratterizza l’interferenza quantistica
P.s. : Non può essere ottenuto con le regole di probabilità condizinata classica
QUESTIONARIO A RISPOSTA MULTIPLA