Lezione V
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1
Ricapitoliamo:
Abbiamo introdotto la dinamica dicendo che in sostanza, il problema della dinamica
di un corpo (per semplicità un punto materiale) è determinare come si muove
la particella, note le cause che agiscono su di essa. Quindi per esempio nel caso di
un moto unidimensionale lungo l’asse x, determinare la funzione x(t) in funzione delle
cause che agiscono sulla particella. Abbiamo quindi definito queste cause: le forze
che agiscono sulla particella, o più in generale la risultante F delle forze Fi che agiscono
sulla particella. E abbiamo definito tre importanti Leggi: le Leggi di Newton
2
La I Legge di Newton:
Ogni corpo persiste nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché forze
esterne ad esso non lo costringano a mutare questo stato.
La II Legge di Newton:
L'accelerazione di un corpo è direttamente proporzionale e nella stessa direzione
della forza agente su di esso, ed è inversamente proporzionale alla sua massa:
F=ma
La III Legge di Newton:
Se un corpo A esercita una forza su un corpo B, il corpo B esercita su A una forza
uguale e contraria.
3
Abbiamo visto che una interessante formulazione della II Legge è la seguente:
a = F/m
E’ interessante in questa forma in quanto ci permette di ricavare informazioni sul moto
di un corpo una volta note le forze che agiscono su di esso.
Rivediamo quali sono le implicazioni pratiche di questa Legge, nella risoluzione del
problema della determinazione di x(t) in funzione di F
4
Le implicazioni sono molto interessanti: e si perché già in cinematica abbiamo imparato
a determinare x(t) in funzione dell’accelerazione a e quindi se possiamo scrivere
a = F/m
siamo immediatamente in grado di determinare x(t) in funzione di F
Quindi per esempio nel caso di un moto unidimensionale, dalle equazioni della cinematica
che già conosciamo:
x(t) = v0t + ½ at2
v(t) = v0 + at
Ponendo:
a = F/m
Scriveremo:
x(t) = v0t + ½ (F/m)t2
v(t) = v0 + (F/m)t
5
Ovviamente, non dimentichiamo che le equazioni che abbiamo appena scritto erano state
derivate per il caso a = costante, e quindi valgono solo nel caso F = costante.
Nel caso in cui F non è costante, lo vedremo più avanti, la derivazione delle equazioni del
moto non è così semplice.
6
Ma perché sarebbe così complicato determinare x(t) nel caso in cui F non è costante ?
Cioè nel caso in cui F =
F(t)
? Forse in questo caso NON vale la II Legge di Newton ?
NO, la II Legge di Newton vale sempre e quindi se
F = F(t)
risulterà a
= a(t):
a(t) = F(t) / m
E allora? visto che possiamo comunque ricavare a(t) da F(t), e una volta nota a(t),
nell’equazione del moto
v(t) = v0 + at possiamo scrivere v(t) = v0 + a(t)t ???
NO!
7
Non dimentichiamo che l’accelerazione è una quantità ricavata dal calcolo differenziale:
a(t) = dv(t)/dt
Se conosciamo a e vogliamo ricavare v, possiamo certamente scrivere
dv(t) = a(t) dt
Il che, se a(t)
= costante implica che ad ogni intervallo di tempo
osserva lo stesso incremento infinitesimo di velocità dv
generico intervallo finito di tempo
la precedente equazione del moto:
Δt
si osserverà
= a dt
Δv = a Δt
infinitesimo
dt si
e quindi in un
che altro non è che
v(t) = v0 + at
Ma questo risultato è valido solo se
a = costante !!!
8
Se invece a non è costante, per esempio nel caso generale che abbiamo immaginato in cui
la forza F varia nel tempo, e quindi di conseguenza abbiamo una dipendenza di a dal tempo
a(t) = F(t) /m
come si fa a ricavare v(t) ?
Per esempio:
a(t)
0
a(t) = F(t)/m
t
9
Riconsideriamo la formula:
dv(t) = a(t) dt
Questa è una formula differenziale, ma certamente è applicabile con buona approssimazione
nel caso di intervalli di tempo Δt abbastanza piccoli, e in cui si adotta per a(t) un
valore costante pari al suo valore medio al tempo t1 nell’intorno dell’intervallo di tempo in
questione. Potremo certamente scrivere che con buona approssimazione:
a(t)
Δv(t1) = a(t1) Δt
a(t1)
0
Δt
t1
t
10
E in generale, per ogni intervallo relativamente piccolo
Δt nell’intorno di un istante ti in cui
l’accelerazione media vale a(ti), potremo scrivere
a(t)
0
Δv(t1) = a(t1) Δt
Δv(t2) = a(t2) Δt
………………
Δv(ti) = a(ti) Δt
………………
Δv(tN) = a(tN) Δt
t
11
Quindi, dato un valore iniziale della velocità v0 all’istante t=0, il valore di velocità ad un
istante successivo di tempo tN tale che:
N
tN – t0 =
∑
Δt
i=0
i
sarà dato dalla relazione:
N
v = v0 +
∑ a(t ) Δt
i
i=0
Questa formula, nel caso di intervalli di tempo infinitesimi, e cioè per Δt
si chiama integrale di a
(t) rispetto al tempo t
0
ed è definito come segue:
t
v = v0 +
∫
a(t) dt
t=0
12
E’ facile rendersi conto che la sommatoria:
v = v0 +
∑ a(t ) Δt
i
i
e di conseguenza anche l’integrale
v = v0 +
∫
a(t) dt
corrispondono all’area delimitata dalla curva
a(t) e l’asse t nell’intervallo 0-t
preso in esame
a(t)
0
t
13
Quindi per esempio, nel caso di a = costante, si osserva in funzione del tempo
una cosa del genere:
a(t)
t
v(t)
t
14
Quindi: la formula che abbiamo scritto in cinematica per il caso semplice a
= costante,
è soltanto il caso particolare di una relazione più generale in cui la velocità è (istante per
Istante) l’area (l’integrale) definita dalla curva nel piano a(t)-t.
Nel caso particolare di un moto uniformemente accelerato, cioè a = costante,
la velocità cresce linearmente, ma è sempre data (istante per istante) dall’area
in questione che nel caso specifico è l’area del seguente rettangolo:
a
Area = a x
t
v = a t (+ ovviamente un termine iniziale v0)
t
15
Quindi velocità istantanea e accelerazione istantanea, cioè le funzioni
v(t) e a(t)
sono connesse dalle relazioni inverse:
a(t) = dv(t) / dt
v(t) =
∫
a(t) dt
Questo ci dice che quando avremo a che fare con forze variabili (e di conseguenza
accelerazioni variabili) dovremo inevitabilmente ricorrere a derivate e integrali,
anche se in molti casi vedremo che le soluzioni sono semplici e spesso posso essere
ricavate in base a dei grafici.
16
Le forze d’attrito
17
Supponiamo di applicare una forza
perfettamente liscia:
F = F1 a = 0
Aumentiamo la forza:
F2 > F1
Non succede niente !
F3 > F2
F = F3 a = 0
Aumentiamo la forza:
F = F4 a ≠ 0
non
Non succede niente !
F = F2 a = 0
Aumentiamo la forza:
F1 ad un corpo posizionato su di una superficie
Non succede niente !
F4 > F3
18
–F1
F1 – F1 = 0, risulta a = 0.
In base alle Leggi di Newton possiamo affermare che esiste una forza eguale a
applicata al corpo cosicché essendo la risultante delle forze
F = F1 a = 0
F = F2 a = 0
F = F3 a = 0
Chiameremo questa forza fs (Forza di attrito Statico)
19
Se osserviamo in dettaglio il moto nel caso F4 scopriamo che se manteniamo applicata la
forza, il corpo si muove di moto accelerato
F = F4 a ≠ 0
Tuttavia, se facciamo delle misure scopriamo che
a < F4 / m
Evidentemente, esiste una forza contraria tale che la risultante Fr obbedisce alla relazione
F r= m a
Fr = F4 – fk = m a
Chiameremo questa forza fk (Forza di attrito Dinamico)
20
Va da sé che una volta «sbloccato» il corpo dalla posizione di quiete, se vogliamo
semplicemente che mantenga uno stato di moto uniforme (a
= 0), dobbiamo smorzare
la forza F4 fino a eguagliare in modulo fk
F4
= - fk
fk
21
Quindi, in sostanza, se misuriamo in funzione del tempo la forza F necessaria per
sbloccare il corpo dalla sua posizione di quiete e poi mantenerlo in uno stato di moto
= 0),
F applicata
rettilineo uniforme (a
otteniamo un grafico di questo tipo:
Forza
F > fs
fk
2
4
6
8
10
Tempo (s)
12
14
22
Si osserva che la forza di attrito f è proporzionale alla forza normale N che mantiene a
contatto la massa in questione con la superficie su cui si trova.
Di norma l’attrito è quantificato attraverso l’introduzione del cosiddetto coefficiente
d’attrito
μ
Definiremo pertanto il coefficiente d’attrito statico in base alla formula:
fs = μs N
E definiremo il coefficiente d’attrito dinamico (o cinetico) in base alla formula
fc = μc N
23
Dinamica del moto circolare uniforme
Come abbiamo già visto, per moto circolare uniforme intendiamo in senso cinematico
il moto lungo una circonferenza di raggio r con velocità costante in modulo.
E abbiamo già studiato in cinematica che in un moto circolare uniforme esiste una
accelerazione a, diretta sempre verso il centro della circonferenza il cui modulo è dato da:
Accelerazione centripeta:
a = v2 / r
24
Adesso di questo moto ne vogliamo studiare la Dinamica. Applicando la II Legge di Newton
risulta che la somma vettoriale di tutte le forze applicate alla massa m deve sodisfare la
relazione:
∑F =ma
E poiché l’accelerazione
a come abbiamo visto in Cinematica è diretta verso il centro della
circonferenza, anche la forza risultante ∑
F
sarà diretta verso il centro.
Riguardo alla sua intensità (modulo) risulterà:
│ ∑ F │ = m a = m v2 / r
25
Un esempio concreto:
Un corpo di massa m collegato con una fune al centro di un tavolo tramite un chiodo,
che si muove di moto circolare uniforme.
26
Quindi un moto di questo tipo:
27
La forza centripeta
Fc è la forza con cui la fune agisce sul
corpo di massa m ed è la forza
totale applicata. Essa agisce sulla massa m e ne fa cambiare costantemente la direzione
della velocità v.
Il modulo di questa forza centripeta è
m v2 / r
28
In base alla III Legge di Newton, l’agente che applica la forza centripeta sulla massa
m
(cioè la fune) sente una forza di reazione esercitata dalla massa m su di essa. Questa forza è
definita forza centrifuga è ed eguale e opposta alla forza centripeta: −m
v2 / r
29
ESERCIZI DI DINAMICA
e
di applicazioni delle Leggi di Newton
30
Esempio 1
Supponiamo di trascinare una cassa sul pavimento mediante una corda, come in figura.
F2 = 125 nt
38°
I dati del problema sono i seguenti:
La corda è inclinata di 38° rispetto al piano orizzontale ed esercita una forza di 450 nt in modulo
Il pavimento esercita sulla cassa un forza orizzontale di attrito di 125 nt in modulo
(come in figura)
Quesito: Calcolare l’accelerazione della cassa supponendo che abbia una massa di 96 kg.
31
Per risolvere il quesito applicheremo la II Legge di Newton
F = ma
Dove F è la risultante delle forze applicate alla cassa e a è l’accelerazione che ne risulta.
Possiamo trattare il problema vettoriale scomponendo i vettori nel componenti x e y
Le forze applicate alla cassa hanno le seguenti componenti:
F1x = F1 cos (38°)
F1y = F1 sin (38°)
Nelle ipotesi formulate dal problema non c’è alcun moto in verticale, quindi la componente
verticale F1y semplicemente alleggerisce la cassa diminuendo la forza d’attrito dinamico
che risulta nel valore citato nelle premesse. Riguardo alla componente orizzontale, la
risultante delle forze è:
F x = F1x + F2 = F1 cos(38°) + F2 = 450 x cos (38°) −125 = 229,6 nt
2
Dalla II Legge di Newton: ax = Fx / m ax = 229,6 / 96 = 2,39 m/s
32
Esempio 2
P
Immaginiamo di lanciare una freccetta orizzontalmente
con velocità iniziale di 10 m/s puntando al centro P del bersaglio.
La freccetta 0.19 sec dopo finisce sul bordo inferiore del bersaglio
Q
al punto Q.
Quesiti: Qual è la distanza P-Q ? A che distanza dal bersaglio
si trovava il lanciatore ?
33
Inquadriamo i dati del problema definendo un sistema di assi cartesiani x-y che individua
un piano ortogonale al bersaglio e fissiamo l’origine nel punto da cui parte la freccetta:
y
0
h
x
d
Indichiamo con d la distanza fra l’origine e il bersaglio e con h la distanza fra i punti P e Q
34
I dati iniziali ci dicono che in orizzontale (cioè lungo l’asse x) non agiscono forze: si parla
v0x = 10 m/s, quindi il moto risulterà rettilineo uniforme.
In verticale invece, e cioè lungo l’asse y, agisce la forza gravitazionale e si avrà quindi un
solo di una velocità iniziale
moto uniformemente accelerato.
y
d
0
-h
x
35
Possiamo quindi scrivere i dati iniziali e
finali come segue:
t0
x0
y0
v0x
v0y
=
=
=
=
=
0
0
0
10 m/s
0
tf
xf
yf
vfx
=
=
=
=
0,19 s
d
−h
10 m/s
ax
=
0
ay
=
-9,8 m/s2
Possiamo quindi scrive le equazioni del moto che sappiamo essere valide per a = costante:
x f = v0x tf
=
1,9 m d: risposta al primo quesito
yf = − ½ g t2f = 0,177 m h: risposta al secondo quesito
36
Esempio 3
Due forze F1 e F2 agiscono su un corpo di massa m come illustrato in figura.
Posto: m = 5,2 kg; F1 = 3,7 nt e F2 = 4,3 nt, calcolare il vettore accelerazione a
del corpo in esame.
Applicheremo la II Legge di Newton alla risultante
F1
delle forze applicate Fris
F2
Scriveremo quindi
Fris
= ma
In questo caso la risultante delle forze è la somma vettoriale delle due forze F1 e F2
il cui modulo è dato da: Fris
= (F12 + F2 2) ½ = ((4,3)2 + (3,7)2 )1/2 = 5,7 nt
e il cui angolo rispetto all’orizzontale è dato da:
θ = arctan(F1/F2) = 40,7°
37
Esempio 3
Due forze F1 e F2 agiscono su un corpo di massa m come illustrato in figura.
Posto: m = 5,2 kg; F1 = 3,7 nt e F2 = 4,3 nt, calcolare il vettore accelerazione a
del corpo in esame.
Applicheremo la II Legge di Newton alla risultante
F1
delle forze applicate Fris
F2
Scriveremo quindi
Fris
= ma
In questo caso la risultante delle forze è la somma vettoriale delle due forze F1 e F2
il cui modulo è dato da: Fris
= (F12 + F2 2) ½ = ((4,3)2 + (3,7)2 )1/2 = 5,7 nt
e il cui angolo rispetto all’orizzontale è dato da:
θ = arctan(F1/F2) = 40,7°
38
Lezione V – seconda parte
Avviare la presentazione col tasto “Invio”
39
Lavoro ed Energia
40
Come abbiamo già visto, il problema della dinamica di un punto materiale è:
determinare come si muove la particella, note le forze che agiscono su di essa.
Con il termine come si muove si intende come varia nel tempo la sua posizione.
Se per esempio il moto è
unidimensionale, il problema è quindi determinare x
come funzione del tempo x(t). Nel nostro primo approccio alla dinamica, nelle lezioni
precedenti, abbiamo affrontato e risolto il problema semplice che si presenta quando
le forze in gioco sono costanti, utilizzando essenzialmente la
II Legge di Newton:
F = ma
41
Rivediamo questo caso semplice che abbiamo già trattato e cioè quello di una forza
F = costante.
Se la forza F applicata sulla particella (o la risultante delle forze Fi) risulta costante,
poiché in base alla II Legge di Newton possiamo sempre scrivere che:
a=F / m
Adottando come sistema di riferimento un asse x lungo la direzione della forza (direzione
che NON cambia, in quanto la forza è costante), sappiamo già che possiamo ridurre
la trattazione al caso scalare e che potremo scrivere le semplici equazioni del moto:
x(t) = v0t + ½ at2
v(t) = v0 + at
Dove appunto:
a = F/m
42
x
x(t)
x(t) = v0t + ½ at2
t
Il problema è un po’ più complicato quando la forza agente sulla particella non è costante,
e si configura per esempio un moto del genere:
x
x(t)
t
43
Ma perché sarebbe così complicato determinare x(t) nel caso in cui F non è costante ?
Cioè nel caso in cui F =
F(t)
? Forse in questo caso NON vale la II Legge di Newton ?
NO, la II Legge di Newton vale sempre e quindi se
F = F(t)
risulterà a
= a(t):
a(t) = F(t) / m
E allora? visto che possiamo comunque ricavare a(t) da F(t), una volta nota a(t),
nell’equazione del moto
v(t) = v0 + at possiamo scrivere v(t) = v0 + a(t)t ???
NO!
44
Non dimentichiamo che l’accelerazione è una quantità ricavata dal calcolo differenziale:
a(t) = dv(t)/dt
Se conosciamo la funzione a(t) e vogliamo ricavare v, possiamo certamente scrivere
dv(t) = a(t) dt
Il che, se a(t)
= costante = a implica che ad ogni intervallo di tempo
osserva lo stesso incremento infinitesimo di velocità dv
generico intervallo finito di tempo
la precedente equazione del moto:
Δt
si osserverà
= a dt
Δv = a Δt
infinitesimo
dt si
e quindi in un
che altro non è che
v(t) = v0 + at
Ma questo risultato è valido solo se
a = costante !!!
45
Se invece a non è costante, per esempio nel caso generale che abbiamo immaginato in cui
è nota la dipendenza di F dal tempo, e quindi di conseguenza la dipendenza di a dal tempo
a(t) = F(t) /m
come si fa a ricavare v(t) ?
Per esempio:
a(t)
0
a(t) = F(t)/m
t
46
Abbiamo riconsiderato la formula:
dv(t) = a(t) dt
Questa è una formula differenziale, ma certamente è applicabile con buona approssimazione
nel caso di intervalli di tempo Δt abbastanza piccoli, e in cui si adotta per a(t) un
valore costante pari al suo valore medio al tempo ti nell’intorno dell’intervallo di tempo in
questione. Abbiamo visto che potremo certamente scrivere che:
a(t)
Δv(t1) = a(t1) Δt
a(t1)
0
Δt
t1
t
47
E in generale, per ogni intervallo relativamente piccolo
Δt nell’intorno di un istante ti in cui
l’accelerazione media vale a(ti), potremo scrivere
a(t)
0
Δv(t1) = a(t1) Δt
Δv(t2) = a(t2) Δt
………………
Δv(ti) = a(ti) Δt
………………
Δv(tN) = a(tN) Δt
t
48
Quindi, dato un valore iniziale della velocità v0 all’istante t=0, il valore di velocità ad un
istante successivo di tempo tN tale che:
N
tN – t0 =
∑
Δt
i=0
i
Sarà dato dalla relazione:
N
v = v0 +
∑ a(t ) Δt
i
i=0
Questa formula, nel caso di intervalli di tempo infinitesimi, e cioè per Δt
si chiama integrale di a
(t) rispetto al tempo t
0
ed è definito come segue:
t
v = v0 +
∫
a(t) dt
t=0
49
Nel seguito, limiteremo la nostra attenzione alle forze che dipendono dalla posizione
della particella. Ve ne sono una varietà in Fisica: per esempio la forza gravitazionale,
la cui intensità dipende dal quadrato della distanza, la forza esercitata da una molla
deformata, su un corpo a cui è attaccata, etc…
Lo studio di questi casi ci condurrà alla definizione di importanti grandezze fisiche come
il Lavoro e l’Energia Cinetica, e di seguito alla definizione più generale di Energia e alla
sua Legge di Conservazione.
50
Lavoro fatto da una forza costante
Consideriamo ancora il caso di una forza
F = costante, e di un moto rettilineo
lungo
la direzione della forza. In questo caso, come sappiamo possiamo ridurre nuovamente
lo studio al caso unidimensionale (scalare) (moto lungo l’asse x) .
E sappiamo già che la particella di muoverà di moto accelerato con accelerazione costante
a = F/m
F
x
Definiamo Lavoro fatto dalla forza F sulla particella come il prodotto del modulo della forza
F per la distanza percorsa dalla particella
L=Fd
51
Consideriamo adesso il caso in cui la forza (sempre costante) non agisce però lungo
la direzione di moto:
F
x
Fx
In questo caso definiremo il Lavoro fatto dalla forza F sulla particella come il prodotto
della componente
Fx della
forza lungo la direzione di moto, per la distanza percorsa
dalla particella
L = Fx d
L = F cos (θ) d
Se θ = 0, il Lavoro è semplicemente F
mentre se θ= 90°
d, come per il caso precedente ,
il lavoro fatto dalla forza F sulla particella è nullo.
52
Il Lavoro è una quantità scalare ed altro non è che il prodotto scalare dei vettori
Fed
L=F•d
53
Unità di misura del Lavoro
L’unità di misura del lavoro è il lavoro fatto dall’unità di forza nel muovere un
corpo dell’unità di lunghezza nella direzione della forza.
Quindi nel sistema SI l’unità di lavoro è 1 Newton-metro, detto joule.
Un’altra unità di misura in uso è il kilogrammetro, definita come
1kgm = 9,8 joule
54
Lavoro fatto da una forza variabile
Consideriamo il caso di una forza che varia soltanto in modulo, che agisce lungo la
direzione x, e supponiamo di conoscere come varia il modulo
F in funzione di x.
Ci
poniamo il quesito di calcolare il lavoro fatto da questa forza variabile quando il punto
materiale si sposta da x1 a
x2 .
Supponiamo per esempio di sapere che la funzione
F(x) sia come in figura:
F(x)
0
x1
x2
x
55
Dividiamo lo spostamento totale x1
Il lavoro fatto falla forza
F
x2 in tanti piccoli intervalli consecutivi Δx.
nello spostare il punto materiale da xi a
xi + Δx,
assumendo che la forza sia costante nell’intervallo in questione , sarà dato da
ΔL = F(xi) Δx
F(x)
ΔL = F(xi) Δx = area del rettangolo
0
x1
Δx
x2
x
56
Il lavoro totale fatto forza
F
nello spostare il punto materiale da
x1 a x2 ,
sarà dato approssimativamente dalla somma di un numero di termini come di seguito:
L12 ≈
∑ F(xi) Δx
F(x)
0
x1
Δx
x2
x
57
Per migliorare la nostra approssimazione, possiamo suddividere in intervalli Δx
sempre più piccoli.
L12 ≈
∑ F(xi)Δx
F(x)
0
x1
Δx
x2
x
58
Otterremo un risultato esatto per il lavoro fatto dalla forza F(x) nello spostare il punto
da x1 a x2, attraverso un processo al limite:
L12 = lim
Δx 0
∑ F(xi) Δx
∫
x2
=
F(x) dx
x1
Questa relazione definisce l’integrale di F rispetto a x da
x1 a x2 e
numericamente è esattamente uguale all’area indicata in figura
F(x)
0
x1
x2
x
59
Supponiamo di avere una molla attaccata ad una parete, e supponiamo
che nel suo stato di equilibrio l’estremità della molla sia posizionata alla coordinata x0
x0
x
La forza esercitata dalla molla quando è stata allungata fino ad un certo valore x dalla
sua posizione di equilibrio x0, è data dalla cosiddetta Legge di Hooke:
F = − k (x−x0)
e il suo verso è sempre opposto allo spostamento da x0
k= costante elastica della molla
F
x0
x
60
Quando la molla è allungata
x > x0 ;
quando la molla è compressa
x < x0
La forza F è sempre diretta verso x0, e quindi cambia segno quando il suo estremo
passa per la posizione di riposo x0
Possiamo assumere x0 =
0
x0
x
x0
x
e la formula diviene semplicemente
F=−kx
61
Per deformare la molla, è sufficiente applicare alla molla una forza F’ esattamente
eguale e contraria alla forza F esercitata dalla molla
su di noi. La forza che applicheremo sarà quindi:
F’ = kx.
Il lavoro fatto da questa forza F’ per allungare la molla da
L =
∫
0 a x è:
x
kxdx = ½ kx2
0
Come calcolare un integrale così semplice, in modo grafico: (l’integrale è l’area….)
F’(x)
kx
Area =
½ kx2
x
62
Il caso che abbiamo trattato è molto semplice, infatti abbiamo preso in esame:
a) uno spostamento che avviene lungo un asse x
b) una forza
F che varia solo in modulo, ma ha sempre direzione lungo lo stesso asse x
Conosciamo la dipendenza di F dallo spostamento, cioè conosciamo F(x)
63
Più in generale la forza F può variare sia in direzione che in modulo, e la particella su cui
questa forza è applicata può muoversi lungo un cammino curvilineo. Per calcolare il lavoro
in questo caso generale, dobbiamo conoscere l’angolo θ fra la forza F in un dato punto
della traiettoria e lo spostamento infinitesimo ds in quello stesso punto.
ds
θ
F
In questo caso dovremmo integrare la seguente:
dL = F • ds = F cos θ ds
64
Potenza
Fin qui non abbiamo considerato il tempo impiegato per compiere un dato lavoro.
E in base alla definizione di lavoro, non c’è dubbio che per spostare un corpo
ad una data altezza, compiamo lo stesso lavoro L, qualsiasi tempo t ci impieghiamo.
Non c’è dubbio, tuttavia, che il tempo impiegato per compiere un dato lavoro, o meglio
la rapidità con cui viene compiuto, può essere rilevante in alcune applicazioni. Rifacendoci
al concetto di derivata che abbiamo già introdotto in diverse occasioni, definiremo la potenza
P come la rapidità con cui il lavoro L è compiuto, quindi:
P = dL / dt (potenza istantanea)
<P> = ΔL / Δt (potenza media)
Ovviamente, se la potenza è costante nel tempo:
P=Lt
65
Avendo adottato nel sistema SI il joule come unità di misura del lavoro, l’unità
di misura della potenza sarà 1 joule /s denominato Watt.
66
