Lezione VII – seconda parte
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Quantità di moto
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Introdurremo questo nuovo argomento definendo il centro di massa di un corpo.
Fino adesso abbiamo studiato il moto dei corpi adottando in molti casi la definizione
di punto materiale, o particella, cioè un corpo di massa m ma dimensioni infinitesime.
In effetti nel caso del moto traslatorio di un corpo di dimensioni finite, ciascun punto
del corpo in questione effettua, istante per istante, lo stesso spostamento di ogni altro
punto. Quindi il moto di una singola particella rappresenta bene il moto dell’intero corpo.
E in effetti, anche se il corpo è soggetto a delle vibrazioni o ruota su se stesso, possiamo
comunque rappresentare il suo moto traslatorio col moto di un suo particolare punto
detto centro di massa del corpo in questione.
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Similmente, se abbiamo un sistema di particelle, possiamo descrivere il moto traslatorio
dell’intero sistema col moto del centro di massa del sistema.
Cominciamo quindi col definire il centro di massa. Cominciamo col caso semplice di un
sistema costituito da due sole particelle di massa m1 e m2 distanti rispettivamente x1
e x2 da una certa origine 0 in un sistema unidimensionale descritto dall’asse x .
Battezziamo la coordinata del centro di massa
Il centro di massa (C.M.) è il punto localizzato ad una distanza xCM dall’origine 0,
dove
xCM
vale:
xCM = (m1x1 + m2x2) / (m1 + m2)
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Questo punto ha la proprietà che il prodotto della massa totale del sistema per la
distanza di questo punto dall’origine è uguale alla somma dei prodotti della massa
di ciascuna particella per la sua distanza dall’origine.
(m1 + m2) xCM = m1x1 + m2x2
m2
m1
0
x
x1
x2
In sostanza, xCM può essere considerato come la media pesata di x1 e
x2
In questa media pesata delle distanze, il fattore peso per ogni particella è la frazione
della massa totale del sistema posseduta da quella particella.
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In sostanza, per rifarci all’esperienza quotidiana, il C.M. di un sistema altro
non è che il suo baricentro: sappiamo dell’esperienza quotidiana che se vogliamo
tenere in equilibrio un corpo in cui la distribuzione delle masse non è uniforme
non dobbiamo posizionarlo nella sua «metà» ma nel suo baricentro.
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Analogamente, se abbiamo un sistema di N particelle disposte lungo una retta
(per esempio l’asse delle x) il centro di massa del sistema, riferito ad una certa
origine, è localizzato nel punto di coordinata:
xCM = ( ∑ mi xi ) / ∑ mi
Dove x1
Poiché
x2
∑ mi
…………….. xN rappresenta la coordinata di ognuna delle N particelle
è la massa totale del sistema
M xCM =
M
potremo scrivere:
∑ mi xi
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Supponiamo adesso di avere 3 particelle, non disposte lungo una retta, ma contenute
in un piano x-y come per esempio in figura.
y
m3
y3
y1
m1
m2
y2
0
x1
x2
x3
x
Il centro di massa di questo sistema di 3 particelle è individuato dal punto le cui
coordinate, misurate rispetto all’origine 0, sono date da:
xCM = (m1x1 + m2x2 + m3x3) / (m1 + m2 + m3)
yCM = (m1y1 + m2y2 + m3y3) / (m1 + m2 + m3)
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Analogamente, per un gran numero di particelle contenuto nel piano x-y:
y
0
x
Il centro di massa è individuato dal punto che ha per coordinate:
xCM = ( ∑ mi xi ) / ∑ mi
yCM = ( ∑ mi yi ) / ∑ mi
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E per un gran numero di particelle distribuite in un volume x-y-z:
y
0
x
z
Il centro di massa è individuato dal punto che ha per coordinate:
xCM = ( ∑ mi xi ) / ∑ mi
yCM = ( ∑ mi yi ) / ∑ mi
zCM = ( ∑ mi zi ) / ∑ mi
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Ci si può facilmente rendere conto che la posizione del centro di massa rispetto alle
posizioni delle particelle, è indipendente dal sistema di coordinate usato:
Il centro di massa di un sistema di particelle dipende solo dalle masse delle particelle
e dalla posizione relativa di esse
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Un corpo di dimensioni finite, quello che normalmente in Fisica è denominato «corpo rigido»
può essere pensato come un sistema di particelle «molto fitto». Anche per un corpo rigido
pertanto possiamo definire il centro di massa. Il numero di particelle (per esempio di atomi!!!)
di norma è così elevato , e la distanza fra particelle così piccola, che risulta più conveniente
trattare il corpo come una distribuzione continua di massa.
Per comprendere il processo al limite che applicheremo in questo caso e che ci porterà
verso l’utilizzo di un integrale, immaginiamo in prima istanza di dividere il corpo
in questione in tanti cubetti elementari, ognuno di massa Δmi, localizzati
approssimativamente nei punti di coordinate
xi yi zi .
Le coordinate del centro di massa
saranno date approssimativamente da:
xCM = ( ∑ Δmi xi ) / ∑ Δ mi
yCM = ( ∑ Δ mi yi ) / ∑ Δ mi
zCM = ( ∑ Δ mi zi ) / ∑ Δ mi
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Ora, supponiamo di dividere il corpo in esame in cubetti sempre più piccoli, facendo
tendere quindi Δm 0 e il numero di cubetti N ∞ (infinito). Dividiamo in sostanza
il corpo in questione in un numero infinito di volumetti di massa infinitesima.
Le coordinate del centro di massa potranno essere definite in modo esatto come segue:
xCM = lim ( ∑ Δmi xi ) / ∑ Δ mi =
Δmi 0
∫ x dm / ∫dm = (1/M ) ∫x dm
∫
∫
∫
∫
∫
∫
yCM = lim ( ∑ Δ mi yi ) / ∑ Δ mi = y dm / dm = (1/M ) y dm
Δmi 0
zCM = lim ( ∑ Δ mi zi ) / ∑ Δ mi = z dm / dm = (1/M ) z dm
Δmi 0
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E facile rendersi conto che le tre coordinate xCM
yCM zCM sono le coordinate di un
vettore posizione definito in uno spazio x-y-z.
Questo definisce in un’unica
equazione vettoriale il centro di massa di un corpo:
sCM =
s dm / dm
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Considerazioni di simmetria
Spesso tratteremo corpi omogenei (densità costante in funzione della posizione (x,y,z)
che possiedono un punto, una linea o un piano di simmetria.
In questo caso il centro di massa cadrà in quel punto, o lungo quella linea, o su quel piano.
Per esempio, una sfera omogenea possiede un punto di simmetria: il suo centro, e infatti
è lì che è localizzato il suo centro di massa.
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Il moto del centro di massa
A prima vista potrebbe sembrare superfluo affrontare la questione del moto del centro
di massa. Per esempio nel caso del moto di un corpo rigido, è abbastanza intuitivo rendersi
conto che il moto del centro di massa altro non è che il moto traslatorio dello stesso corpo.
Tuttavia, nel caso in cui il sistema in esame non è un corpo rigido, ma è per esempio un
insieme di particelle, la cosa va trattata con maggiore attenzione.
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Consideriamo quindi un sistema di particelle, distribuito per semplicità lungo l’asse x:
0
x
Risulta che:
M xCM = m1x1 + m2x2 + ……….+ mNxN
Derivando questa equazione rispetto al tempo si ottiene:
M dxCM / dt = m1 dx1 / dt + m2 dx2 / dt + ……….+ mN dxN / dt
M vCMx = m1 v1x + m2 v2x + …………… mN vNx
in cui individuiamo la velocità del centro di massa e le velocità delle singole particelle
lungo l’asse x. Derivando ancora rispetto al tempo, scriveremo che:
M a CMx = m1 a1x + m2 a2x + …………… mN aNx
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Risulta in sostanza:
M a CMx = F1x + F2x + ………. FNx
Analoghe equazioni per gli assi y e z potranno essere determinate per il caso
di un sistema di particelle distribuite in un volume. Le tre equazioni scalari
M a CMx = F1x + F2x + ………. FNx
M a CMy = F1y + F2y + ………. FNy
M a CMz = F1z + F2z + ………. FNz
Possono essere riunite in un’unica equazione vettoriale:
M a CM = F1 + F2 + ………. FN
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Questa formula (che ci riconduce alla II Legge di Newton):
M a CM = F1 + F2 + ………. FN
stabilisce in sostanza che: il prodotto della massa complessiva del gruppo di particelle
per l’accelerazione del centro di massa è uguale alla somma vettoriale di tutte le forze
che agiscono sul sistema di particelle
Poiché eventuali forze interne saranno a due a due equali e contrarie
(III Legge di Newton) considereremo solo le forze esterne
Cioè il moto del centro di massa sarebbe quello che risulterebbe se tutta la massa fosse
concentrata in quel punto e se su questo punto agisse una forza pari alla risultante di
tutte le forze esterne agenti sul sistema:
Fest = M aCM
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Questa conclusione vale per qualsiasi configurazione del corpo o del sistema di
particelle, sia che si tratti di un corpo rigido in cui tutte le particelle occupano
posizioni fisse, sia per un agglomerato di particelle in cui le posizioni relative
possono cambiare (moto interno).
Qualunque sia il sistema, e comunque possano muoversi le sue parti, il centro di massa
si muove sempre obbedendo alla relazione:
Fest = M aCM
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Quantità di moto di una particella
La quantità di moto di una particella di massa m e velocità
v è un vettore denominato p
definito dalla relazione:
p = mv
Può essere utile ricordare che Newton nei suoi famosi Principia, enunciò la II Legge proprio
in base alla quantità di moto, affermando cioè che: la rapidità di variazione nel tempo della
quantità di moto di un corpo è proporzionale alla risultante delle forze agenti su di esso
ed è diretta parallelamente a tale forza. Che implica la seguente formulazione matematica:
F = dp/dt
Poiché
p = mv, se la massa è costante, questa formula si riduce a
F = m dv/dt
F = ma
Che è la formulazione della II Legge di Newton che già conosciamo.
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Ma scritta come F
= dp/dt
la II Legge ha indubbiamente delle conseguenze:
F = dp/dt = d(mv)dt
In generale, in accordo con le regole del calcolo differenziale scriveremo:
d(mv)dt = v dm/dt + m dv/dt
E cioè:
F = v dm/dt + ma
Il che soltanto se m=costante si riduce alla formulazione F
= ma
Nota:
Finché applichiamo la II Legge ad un sistema con un numero fisso di particelle (tipicamente
un corpo rigido), poiché in fisica classica la massa di una particella (punto materiale)
è costante, la formulazione in questione F
più semplice F
= ma
= dp/dt
si riduce alla formulazione
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Tuttavia, se consideriamo un sistema in cui per qualche ragione la massa viene espulsa
(per esempio un razzo con il suo carico di carburante: il razzo brucia il suo carburante e
lo espelle sotto forma di gas), in questo caso è più appropriato adottare la
formulazione più generale della II Legge di Newton
Quindi anche in fisica classica, in molti casi appare più corretto applicare la II Legge
nella su formulazione più generale:
F = dp/dt
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Nella Teoria della Relatività di Einstein la legge nella forma F
ma vale ancora nella forma più generale
non sia scritta nella forma p
F = dp/dt
= ma
non è valida,
purché la quantità di moto
= m0v ma piuttosto nella forma:
p = m0v / (1−v2/c2)1/2
adottando quindi una nuova definizione di massa
m = m0 / (1−v2/c2)1/2
In questa formulazione della massa, m0 è la cosiddetta massa a riposo .
Con questa formulazione della massa, la quantità di moto in relatività può essere
quindi di nuovo scritta:
p = mv
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Quantità di moto di un sistema di particelle
Supponiamo di avere un sistema di N particelle di massa m1
m2 ……mN
cosicché la massa totale del sistema risulti:
M = m1 + m2 ……+ mN
Le particelle possono interagire fra di loro e su ognuna di esse possono agire forze esterne.
Ciascuna particella avrà una sua velocità vi e quindi una sua quantità di moto pi. = mivi
Il sistema nel suo insieme ha quindi una quantità di moto totale P data da:
P = p1 + p2 ……+ pN
Derivando questa equazione rispetto al tempo si ha:
d P/dt = d p1/dt + d p2/dt ……+ d pN/dt
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Data la:
d P/dt = d p1/dt + d p2/dt ……+ d pN/dt
abbiamo visto che d
p1/dt
è la forza F1 che si esercita sulla particella 1, così via.
Di conseguenza, la precedente equazione può essere scritta come:
d P/dt = F1 + F2 + …………….. FN
Il secondo membro di questa equazione è la somma vettoriale di tutte le forze agenti
sulle particelle. Queste forze saranno in generale sia forze esterne cioè forze esercitate
da agenti esterni al sistema, sia forze interne cioè le forze che le particelle esercitano
una sull’altra (e che si annullano a coppie).
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Possiamo immaginare questo insieme di forze come una cosa del genere:
Dove:
F1
m1
Forze interne (eguali e contrarie
a coppie)
Forze esterne
m3
F3
F2
m2
In base alla III Legge di Newton sappiamo che le forze interne daranno un contributo
nullo alla risultante del forze, in quanto eguali a contrarie (a coppie), quindi la risultante
delle forze nel caso illustrato sarà semplicemente dovuto a:
F ext = F1 + F2 + F3
CM
F1
F2
F3
F ext
Questa è la risultante delle forze che applicata al
centro di massa del sistema tiene conto del moto
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del sistema nel suo insieme
Pertanto, l’equazione scritta in precedenza:
d P/dt = F1 + F2 + …………….. FN
diventa:
d P/dt = F ext
D’altra parte, avevamo già visto che:
F ext = d(MvCM ) / dt
Da cui:
d P/dt = d(MvCM ) / dt
Cioè:
La quantità di moto totale di un sistema di particelle è uguale al prodotto della
massa complessiva del sistema per la velocità del centro di massa.
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