Lezioni 6-8

Logica 16-17
• Lezione 6
• 17 ottobre
• Quando recuperiamo la lezione persa?
• Proposta: lunedì 24 ottobre ore 9
sillogismo
• tutti gli A sono B
• tutti i B sono C
•  tutti gli A sono C
• Ma siamo andati al di là della logica proposizionale, che ci consente
solo questo:
•P
•Q
•R
• (1) Se Mario ha la rosolia, allora ha macchie rosse sulla pelle
• Mario ha macchie rosse sulla pelle
•  Mario ha la rosolia
• (2) se nevica, fa freddo
• fa freddo
•  nevica
affermazione del conseguente
• Se P, allora Q.
• Q.
• P
• INVALIDO
• Ma questa potrebbe essere una discreta abduzione:
• (1) Se Mario ha la rosolia, allora ha macchie rosse sulla pelle
• Mario ha macchie rosse sulla pelle
•  Mario ha la rosolia
Varzi su affermazione del conseguente
• Malgrado alcuni esempi di questa forma siano argomentazioni valide,
altri non lo sono. Ecco un esempio [?] che è valido (e anche fondato):
• (5) Se aprile precede maggio, allora aprile precede maggio e maggio
segue aprile.
• Aprile precede maggio e maggio segue aprile.
•  Aprile precede maggio (Varzi, p. 50)
• Siete d'accordo?
• (1) Se P allora P e Q
• (2) P e Q
•  (3) P
• Ma è la forma argomentativa (invalida) "affermazione del
conseguente" che ci permette di arrivare a (3) da (1) e (2)?
• NO!
• La forma argomentativa usata è l'eliminazione della congiunzione:
• PeQ
•P
• (1) Se P allora P e Q
• (2) P e Q
•  (3) P
Forma logica comune a singoli enunciati
• (1) O piove o non piove
• (2) O è colpevole il maggiordomo o non lo è
• Qual è la forma comune?
la legge del terzo escluso
• P o non si dà il caso che P
• (1) P = piove
• (2) P = il maggiordomo è colpevole
• verità in ogni situazione concepibile (in ogni mondo possibile) (v. Varzi
p. 71)
Qual è la forma comune?
• (1) Nevica e fa freddo
• (2) Mario è scaltro, ma onesto
contingente
• PeQ
• (1) P = piove, Q = fa freddo
• (2) P = Mario è scaltro, Q = Mario è onesto
• verità in alcune situazioni (mondi possibili)
Qual è la forma comune?
• (1) piove e non piove
• (2) Mario è onesto sebbene non lo sia
contraddizione
• P e non si dà il caso che P
• (1) P = piove
• (2) P = Mario è onesto
• verità in nessuna situazione (mondo)
Operatori logici (connettivi)
• Unario:
• Non si dà il caso che
• Binari:
•E
• O…o
• Se … allora
• Se e solo se
~
&



Negazione
• Marcello è tra i vincitori (= P)
• Negazioni di P:
• Non si dà il caso che Marcello sia tra i vincitori
• Marcello non è tra i vincitori
• Non è vero che Marcello è tra i vincitori
• ~P
Congiunzione
• Franco è italiano e Sam è inglese.
• Alberto correva ma Anna era immobile.
• Sebbene piovesse, Tommaso non apriva l’ombrello
• Luisa è a casa mentre i suoi amici sono al cinema.
• P&Q
intermezzo sulla congiunzione
• (1) Sebbene fosse impacciato nell'esposizione, Mario ha risposto bene
a tutte le domande
• Quindi, merita trenta e lode
• (2) Mario ha risposto bene a tutte le domande, ma è stato impacciato
nell'esposizione,
• Quindi, merita trenta e lode
Condizionale
• Se nevica allora fa freddo
• nevica solo se fa freddo
• se nevica fa freddo
•PQ
Bicondizionale
• nevica se e solo se fa freddo
•P Q
Condizioni sufficienti
• P è condizione sufficiente per Q
• Esprimere usando un singolo operatore logico
• P è condizione sufficiente per Q
•PQ
• se P allora Q
• Q, se P
• P solo se Q
Condizioni necessarie
• P è condizione necessaria di Q
• Esprimere usando un singolo operatore logico
•QP
• P, se Q
• Q solo se P
Condizioni necessarie e sufficienti
• P è condizione necessaria e sufficiente di Q
• Esprimere utilizzando un singolo operatore logico
• P è condizione necessaria e sufficiente di Q
•PQ
• P se e solo se Q
• P se Q (ossia, Q è sufficiente affinché si realizzi P) e solo se Q (ossia, Q
è necessario affinché si realizzi P)
Forme enunciative e argomentative
• Possiamo riscrivere le forme enunciative (per es. "non si dà il caso che P",
"P e Q") e le forme argomentative utilizzando i simboli logici. Per esempio:
• Legge del terzo escluso: P  P
• Modus ponens:
P,
PQ
|– Q
• NB: |– (segno d'asserzione) corrisponde a

A rigore si usano le parentesi: (P  Q)
Formalizzazione
• Il processo di formalizzazione ("simbolizzazione") trasforma
("traduce") un enunciato o un’argomentazione formulati in italiano in
una forma enunciativa o una forma argomentativa, rispettivamente,
ossia in una struttura composta di lettere enunciative e operatori
logici.
• Le lettere enunciative non hanno significato di per sé, ma nel contesto
di un particolare esercizio possono essere interpretate come
espressioni per asserzioni o proposizioni (in questo senso sono
"variabili")
• Gli operatori logici invece sono "costanti (logiche)", perché
attribuiamo loro sempre lo stesso significato.
Ambiguità lessicale
• L'uso di simboli logici specifici ci permette di evitare l'ambiguità
lessicale
• "leva" = 3a pers. sing. pres. ind. di "levare"
•
un oggetto che serve a sollevare
• "o" = vel
aut
•  = vel
• Lezione 7
• 18/10/16
Recupero
• Lunedì 24 ottobre ore 9
intermezzo sulle forme argomentative
• (1) piove o nevica e fa freddo
• quindi, fa freddo
• (2) o viene Mario oppure viene Giorgio e faremo una bella festa
• quindi, faremo una bella festa
• Qual è la forma comune?
• E' una forma valida?
Ambiguità strutturale
• L'uso delle parentesi ci permette di evitare l'ambiguità strutturale
• Piove o nevica e fa freddo
• ((P  N) & F))
• da cui si può correttamente inferire F
• (P  (N & F))
• da cui NON si può correttamente inferire F
• Le parentesi esterne le possiamo togliere per semplicità, ma a rigore
vanno messe per motivi che vedremo.
Esempi
• Risolvere le ambiguità strutturali dando l'interpretazione più
plausibile
• (1) Non si dà il caso che se piove allora fa freddo [usare P, F]
• (2) o c'è bel tempo oppure non vai alla gita e resti a casa [usare B, V,
R]
• (3) solo nel caso in cui c'è bel tempo Mario non resta a casa oppure
apre le finestre [usare B, R, A]
• (1) Non si dà il caso che se piove allora fa freddo [usare P, F]
• (P F)
• (2) o c'è bel tempo oppure non vai alla gita e resti a casa [usare B, V,
R]
• B  (V & R)
• (3) solo nel caso in cui c'è bel tempo Mario non resta a casa oppure
apre le finestre [usare B, R, A]
• (R  A)  B
Il linguaggio della logica proposizionale (i)
• Lettere enunciative: Qualunque lettera maiuscola può essere
impiegata come lettera enunciativa. Inoltre, ‘P1’, ‘P2’, ‘P3’, ecc., sono
tutte lettere enunciative distinte da ‘P’.
• Operatori logici: , &,  , , .
• Parentesi: (, )
Il linguaggio della logica proposizionale (ii)
• (1) Qualunque lettera enunciativa è una fbf.
• (2) Se  è una fbf, allora lo è anche  .
• (3) Se  e  sono fbf, allora lo sono anche ( &  ), (   ), (   )
e (   ).
• (4) Tutto ciò che non risulta classificabile come fbf in base a queste tre
regole non è una fbf.
Metalinguaggio vs. linguaggio oggetto
• linguaggio oggetto: , &,  , , , P, Q, ecc.
• Metalinguaggio: |– , ,  , ecc.
Esempi
• Formule che sono fbf:
• (B  (V & R))
• ((R  A)  B)
•      ((R  A)  B)
• (((P&Q) & R) & P1)
• Formule che NON sono fbf:
•  B))
•  (V &
• R  A (A RIGORE NON LO E')
Complessità di una fbf
• E' il numero di occorrenze di operatori nella fbf
• Esempi. Mettiamo queste fbf in ordine di crescente complessità:
• (P & Q) v (Q & P)
• ((R  A)  B)
•P
•  P
•P
•  P
• ((R  A)  B)
• (P & Q) v (Q & P)
Sotto-fbf
• Le fbf possono contenere altre fbf al loro interno.
• Per es. ((R  A)  B) contiene
• A, B, R
• R
• (R  A)
• come caso limite diciamo che contiene anche se stessa:
• ((R  A)  B)
• Impariamo a scrivere in ordine di complessità tutte le sotto-fbf di una
certa fbf:
• Es.:
• (P & Q) v (Q & P)
•P
•Q
• (P & Q)
• P
• (Q & P)
• (P & Q) v (Q & P)
• NB: a parità di complessità possiamo privilegiare l'ordine da sinistra a
destra
Ambito
• Una particolare occorrenza di un operatore in una fbf, insieme a
quella parte della fbf a cui l’occorrenza dell’operatore si applica, è
chiamata ambito di quell’occorrenza dell’operatore. In altre parole,
l’ambito di un’occorrenza di un operatore in una fbf è la più piccola
sfbf che contiene quell’occorrenza.
Esempio
• Nella formula
‘(P & (Q   R))’
(1) l’ambito della prima occorrenza di ‘’
è ‘ P’,
(2) l'ambito della seconda occorrenza di ‘’
è ‘ R’,
(3) l’ambito di ‘’
è ‘(Q   R)’
(4) l’ambito di ‘&’
è l’intera formula.
Operatore principale
• Ogni fbf composta ha uno e un solo operatore il cui ambito è l’intera
fbf.
• Questo è chiamato operatore principale della fbf.
• Una fbf il cui operatore principale sia ‘&’ (indipendentemente da
quanti altri operatori contenga) è chiamata congiunzione;
• una fbf il cui operatore principale sia ‘’ è una negazione, e così via.
• Lezione 8
• 19/10/16
Semantica della logica proposizionale
• L'idea base è che le costanti logiche esprimono "funzioni di verità"
• Valori di verità: V, F
• Assegneremo un significato preciso alle costanti logiche associando a
ciascuna una tabella detta "tavola di verità"
Metodo delle tavole di verità
• Passeremo poi ad un metodo "vero-funzionale" che ci permette di
distinguere in modo meccanico tra:
• (1) fbf tautologiche (verità logiche), contingenti e contraddittorie o
inconsistenti (vero-funzionalmente)
• (2) forme argomentative (argomentazioni) valide e non valide (verofunzionalmente)
Negazione
• Vedi tavola a p. 63 (qui come nel seguito il riferimento è al nostro
libro di testo)
Congiunzione
• Vedi tavola a p. 63
disgiunzione (inclusiva)
• Vedi tavola a p. 64
condizionale materiale
• Vedi tavola a p. 65
Chiarimento sul condizionale materiale (i)
• L'interpretazione di "se ... allora" che vogliamo cogliere è quella
secondo la quale dire "se P allora Q" è equivalente a "non P oppure
Q"
• Esempio: "se vengo porto una torta" = "o non vengo oppure porto
una torta"
Chiarimento sul condizionale materiale (ii)
• La tavola di verità per il condizionale materiale garantisce quindi che
questa equivalenza sia una tautologia:
• (PQ)  (P v Q)
• Intuitivamente, il condizionale garantisce che non si passi mai dal vero
al falso:
(PQ) è falso solo nel caso in cui P è vero e Q è falso
Bicondizionale materiale
• v. tavola p. 66
Metodo per costruire la tavola di verità di una
fbf (i)
• Una fbf  contiene una o più lettere enunciative
• A seconda che queste lettere corrispondano a proposizioni V o F,
cambia il valore di verità di 
• Bisogna considerare tutti i casi possibili, assumendo che ciascuna
lettera enunciativa può corrispondere a V oppure a F
• Per poi stabilire in ciascun caso il valore di verità di tutte le sotto-fbf,
in ordine di complessità fino all'intera fbf 
Numero dei casi possibili
• Se n è il numero delle lettere enunciative in una certa fbf, allora i casi
possibili sono
2n
• Perché 2 sono i valori di verità: V, F
• E' importante essere sicuri di considerare tutti i casi possibili.
• Consideriamo 3 situazioni tipiche: n = 1, 2, 3
n=1
• formule con una sola lettera enunciativa
• numero dei casi possibili = 21 = 2
• Guardare tavola p. 69, 3.12
n=2
• formule con due sole lettere enunciative
• numero dei casi possibili = 22 = 4
• Guardare tavola p. 67
n=3
• formule con 3 lettere enunciative
• numero dei casi possibili = 23 = 8
• Guardare tavola parziale p. 69
Esempio con n = 1: il principio del terzo
escluso
• P (P   P)
• ----------------------•V V V F V
•F F V V F
• Scriviamo i valori seguendo l'ordine di complessità delle sfbf e poi
guardiamo il risultato sotto l'operatore principale: tautologia,
principio del terzo escluso
Abbreviazione
• Possiamo abbreviare il lavoro scrivendo direttamente i valori di verità
invertiti sotto il simbolo di negazione delle lettere enunciative negate.
• Vedi p. 70, 3.14 (principio del terzo escluso)
esempio con n = 2
• v. inizio p. 69
• Scriviamo i valori seguendo l'ordine di complessità delle sfbf e poi
guardiamo il risultato sotto l'operatore principale.
esempio con n = 3
• v. p. 72, 3.16
• Scriviamo i valori seguendo l'ordine di complessità delle sfbf e poi
guardiamo il risultato sotto l'operatore principale.
Esempio di formula inconsistente
(contraddizione)
• p. 71, 3.5: tavola di verità per P & P
Principio di non contraddizione
• (P & P)
• Costruendo la tavola di verità, vediamo che è una tautologia
Il metodo in generale (i)
• Per costruire la tavola di verità, si scrive la formula nella parte in alto a
destra della tavola e si elencano sulla sinistra, in ordine alfabetico, le lettere
enunciative che essa contiene.
• Se il loro numero è n, si comincia scrivendo sotto la lettera all’estrema
destra una colonna di 2n valori di verità, cominciando da una V e
alternando le V e le F.
• A questo punto, sotto la successiva lettera a sinistra (se ve ne sono) si scrive
un’altra colonna di 2n valori di verità, di nuovo cominciando con V, ma
alternando V e F ogni due righe. Si ripete questa procedura muovendosi
verso sinistra e duplicando ogni volta l’intervallo di alternanza, fino a
ottenere una colonna con i V ed F sotto ciascuna lettera enunciativa.
Il metodo (iii)
• Infine, usando le tavole di verità degli operatori logici, si calcolano i
valori della formula determinando in primo luogo i valori delle sue
sfbf più piccole e proseguendo in modo da ottenere quelli delle sfbf di
volta in volta più grandi.
• La colonna di ciascuna sfbf va sempre scritta sotto il suo operatore
principale.
• Alla fine si evidenzia la colonna sotto l’operatore principale dell’intera
fbf e si guarda il risultato
Il metodo (iv)
• Se nella colonna sotto l’operatore principale troviamo sempre V,
abbiamo una tautologia
• Se nella colonna sotto l’operatore principale troviamo qualche volta V
e qualche volta F, abbiamo una fbf contingente
• Se nella colonna sotto l’operatore principale troviamo sempre F,
abbiamo una contraddizione
Tavole di verità e forme argomentative
• Si costruisce una tabella con le premesse e la conclusione in
sequenza.
• Si controllano solo le righe in cui tutte le premesse sono vere.
• Se in quei casi la conclusione è vera, allora l'argomentazione è VALIDA
• Altrimenti, è INVALIDA
Esempio 1
• guardare esempio p. 73:
• O la principessa o la regina presenzierà alla cerimonia.
• La principessa non presenzierà.
•  Presenzierà la regina.
• la forma è VALIDA
Esempio 2
• 3.19, p. 74: forma INVALIDA
• Se Piove, allora Qui fa freddo
• Qui fa freddo
• Quindi, Piove
Esempio 3
• QUESTO ESEMPIO NON E’ STATO TRATTATO IN CLASSE
• 3.18, p. 74: forma VALIDA