Lezioni 18-20 (21 e 23 novembre 20016)
Nella costruzione della sillogistica Aristotele parte da frasi di una lingua ‘naturale’ (il greco)
sostituendo variabili (‘A’, ‘B’ ecc.) per termini conosciuti (‘bene’, ‘piacere, ‘uomo’, animale’) e
tenendo a vista le costanti (‘tutti’, ‘qualche’, ‘nessuno’, qualche non’).
Nella costruzione di un sistema più simbolico, si può procedere in modo più generalizzabile
– si parte dalla sintassi: le regole di formazione delle formule ben formate
– poi si indagano le varie scelte semantiche: le interpretazioni delle costanti e dei valori (di
verità)
La sintassi di un sistema formale consta di elementi di tre tipi: (i) il vocabolario; (ii) le regole di
formazione; e (iii) gli assiomi e/o le regole di inferenza.
(i) Nelle lingue ‘naturali’ (come l’italiano, l’inglese ecc.) il contenuto del dizionario non fa parte
della grammatica
– un sistema simbolico determina anche i simboli utilizzabili
– una volta stabilito il vocabolario, il sistema non ammette neologismi
– altrimenti, diventa un altro sistema
– il vocabolario di un sistema simbolico si suddivide in due principali categorie: (a) le
costanti; e (b) le variabili.
– torneremo alla questione di altri simboli dispiegati, forse in modo improprio (parentesi)
(ii) Le regole di formazione determinano le combinazioni delle costanti e delle variabili ammissibili
per produrre le formule ben formate del sistema
– una stringa conforme alle specificazioni per un determinato sistema è una ‘formula ben
formata’ di quel sistema
– si abbrevia ‘formula ben formata’ in ‘fbf’
– talvolta si incontra l’inglese ‘wff’ corrispondente a ‘well-formed formula’ e pronunciata
come il verso di un cane)
– e si relativizza al sistema: fbfS
– a seconda della notazione adottata, vengono così regolate le sequenze dei simboli e la forma
complessiva della stringa
(iii) Gli assiomi e le regole di inferenza (una distinzione su cui torneremo) definiscono le
manipolazioni all’interno di un determinato sistema.
– il vocabolario e le regole di formazione hanno a che fare con l’aspetto statico del
formalismo,
– gli assiomi e le regole di inferenza specificano le operazioni in esso lecite a partire da certe
premesse e quindi determinano l’aspetto dinamico del sistema.
L’opzione zero: il sistema S1 (che può stare per ‘sistema’ o per ‘sempliciotto’)
(i)
Vocabolario:
(a) l’unica costante: ‘❤’
(b) le variabili sono della serie ‘p’, ‘q’, ‘r’ (e così via)
(ii)
Regole di formazione:
(a) se una formula è una variabile, è una fbfs1
(b) se una formula è una fbf preceduta (a sinistra sulla pagina) da ‘❤’, è una fbfs1
(c) se una formula non è conforme a (1)-(2), non è una fbfs1
(iii) Assiomi
(a) ❤p → p
(b) p → ❤p
In tutte le fasi della definizione di un sistema, si ricorre a operazioni metalinguistiche
– nella specificazione del vocabolario, si mettono le costanti e le variabili tra virgolette
(chiaro segno di menzione)
– nelle regole di formazione, si citano le categorie di costanti e variabili
– negli assiomi, il segno ‘→’ sta per ‘è desumibile nel sistema S1’ e quindi tratta le formule
prima e dopo come se fossero citate/menzionate
Il sistema N (della negazione)
(i) Vocabolario:
(a)
costanti: ‘❤’ e ‘–’
(b)
le variabili sono della serie ‘p’, ‘q’, ‘r’ (e così via)
(ii) Regole di formazione:
(a) se una formula è una variabile, è una fbfsN
(b) se una formula è una fbf preceduta (a sinistra sulla pagina) da ‘❤’ o ‘–’, è una fbfsN
(c) se una formula non è conforme a (1)-(2), non è una fbfsN
(iii)
Assiomi
(a) ❤p → p
(b) p → ❤p
(c)
– –p → p
(d)
p → – –p
Mentre ‘❤’ ha una funzione nulla, equivalente a ‘si dà il caso che’ o ‘è vero che’, ‘–’ equivale a
‘non si dà il caso che’ o ‘è falso che’
Supponiamo, allora, due valori che p può assumere: V o F (già incontrati nella ricostruzione della
sillogistica)
– non è necessario aver una ‘teoria’ della verità
– possiamo rappresentare i valori anche in altri modi a piacere (‘1’, ‘0’ ecc.)
– l’adozione di due valori per gli scopi della costruzione di un calcolo non impegna a
escludere altri valori (intermedi) nella costruzione di altri calcoli a più valori
Tabella di verità per i calcoli più semplice: una variabile, due valori (di verità) e due costanti a un
posto (di cui una nulla):
p
V
F
❤p (si dà il caso che p)
V
F
– p (non si dà il caso che p)
F
V
La tabella definisce il potere logico di ‘non si dà il caso che’: a partire da un valore V di partenza, si
va a un valore F in arrivo, e da un valore F di partenza, si va a un valore V in arrivo
– ‘non si dà il caso’ può essere espresso come ‘negazione’
– una funzione che ‘inverte’ il valore di verità di una variabile
– per le varie forme grafiche adottate, si vede la seconda colonna a sinistra della tabella delle
convenzioni (nel documento 19-20A)
– queste convenzioni sono troppe, per la riducibilità a due funzioni (ad es. ‘non-’ ed ‘e’)
– ma sono anche troppo poche, per il fatto di non coprire tutte le combinazioni
Si passa poi a costruire la forma di un calcolo con due variabili (Sistema2)
– quindi con operatori a due posti sostituibili per ‘ ❥’
– le fbf saranno della forma ‘p ❥ q’
– i valori di verità da attribuire alle esemplificazioni di ‘p ❥ q’ saranno funzioni dei valori
attribuiti a ‘p’ e a ‘q’ e dei poteri logici attribuiti alle costanti sostituite per ‘❥’
– con due valori di verità su due variabili proposizionali, i poteri logici attribuibili a ‘❥’ sono
sedici (vedi tabella nel documento 19-20A)
Sintassi del Sistema2
Vocabolario
(a) costanti: operatori a 1 posto (‘❤’ e ‘–’) più operatori a due posti, sostituibili per ‘ ❥’
(b) le variabili sono della serie ‘p’, ‘q’, ‘r’ (e così via)
Regole di formazione
(a) se una formula è una variabile, è una fbfS2
(b) se una formula è una fbf S2 preceduta da ‘–’, è una fbf S2
(c) se una formula è una fbf S2 seguita da un operatore sostituibile per ‘❥’, seguito a sua volta da
una fbf S2, è una fbf S2
(d) se una formula non è conforme a (1)-(3), non è una fbf S2
Assiomi/Regole di inferenza
A scelta tra le manipolazioni che corrispondono a tautologie
Le sostituzioni per ‘ ❥’: vedi tabella delle combinazioni (nel documento 19-20A)
1. Questa colonna rappresenta la congiunzione (‘p e q’, ‘p & q’ ‘p ∧ q’). Il segno ‘&’ è una
variante tipografica del latino ‘et’ e, non meno di ‘∧’, fa coppia con ‘∨’ che ricorda il latino
‘vel’. Una congiunzione è vera se e solo se entrambi i congiunti sono veri.
2. In questa colonna troviamo un’operazione, nota come ‘segno di Sheffer’ (Sheffer’s stroke)1, che
viene scritto ‘p | q’, e può essere reso con l’italiano ‘non sia p che q’ o ‘p e q si escludono’;
l’operatore booleano corripondente, che spesso si trova tra le funzioni di ricerca avanzata, si
scrive NANDpq. Il segno di Sheffer ha avuto una certa importanza storica nello sviluppo del
calcolo proposizionale poiché era in rapporto a questa funzione di verità che si intravedeva la
possibilità di ridurre le costanti a un minimo. Nella sua introduzione alla traduzione inglese del
Tractatus di Wittgenstein (1922), Russell esprime l’idea che, usando il segno di Sheffer, si
possono ‘costruire’ tutte le altre funzioni di verità. Questo è vero se ci permettiamo di staccare
gli elementi con cui l’abbiamo appena espresso: ‘non-’ ed ‘e’; ma non è ovvio in che senso
questa funzione sia più ‘primitiva’ delle altre quindici.
3. Questa colonna è equivalente a q, e prescinde dal valore di verità di p.
4. Questa colonna è equivalente a –q, e prescinde dal valore di verità di p.
5. Qui troviamo la disgiunzione inclusiva (‘p o q o entrambi’, ‘p ∨ q’).
6. Il simbolo talvolta adottato per questa colonna risale anche esso all’articolo di Sheffer; si
scrive ‘p ↓ q’ e può chiamarsi ‘negazione congiunta’, essendo vero solo nel caso in cui
entrambi i congiunti sono falsi. L’operatore booleano si scrive ‘NORpq’.
7. Possiamo leggere questa colonna come ‘se q allora p’ (‘q ⊃ p’, ‘q → p’); il simbolo ‘⊃’ è
noto come ‘ferro di cavallo’2; la freccia è una freccia.
8. Questa colonna rappresenta ‘non-p e q’, ‘–p & q’. Non risulta esistere un simbolo unico a due
posti per questa funzione (come per quella a colonna 10), siamo liberi di inventarne uno (un
orsacchiotto al posto del cuoricino?).
Cfr. H.M. Sheffer, ‘A Set of Five Independent Postulates for Boolean Algebra’, Transactions of the American
Mathematical Society, XIV (1913)., pp. 481- 8 .
2
Il segno è stato introdotto da Giuseppe Peano per esprimere l’idea che q è una conseguenza di p: la ‘c’ di
‘conseguenza’ viene invertita per indicare l’ordine giusto.
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3
Molti logici hanno pensato che ‘se p allora q’ (‘p ⊃ q’, ‘p → q’) stia ai ‘fondamenti del
ragionamento’3. Il significato e il nome sono come alla colonna 7.
Questa funzione, che non ha né un simbolo né un nome proprio, ha il valore ‘V’ solo nel caso
in cui p è V e q è F, quindi si dice ‘p e non-q’, ‘p & –q’.
Questa funzione si chiama ‘bicondizionale’, perché è equivalente a ‘(se p allora q) e (se q allora
p)’, ‘(p ⊃ q) & (q ⊃ p)’, o ‘equivalenza verofunzionale’ per sottolineare che è vera nei due casi
in cui p e q abbiano lo stesso valore di verità: è vera nella prima riga, dove i componenti sono
entrambi veri, e nell’ultima, dove sono entrambi falsi. Per il fatto di essere analogo all’‘uguale’
(‘=’) aritmetico, l’operatore verofunzionale si scrive ‘p ≡ q’ o ‘p ⇔ q’ e si legge ‘p se e solo se
q’. Nella scrittura, molti filosofi di formazione logica usano l’abbreviazione ‘sse’ (ingl. ‘iff’)
Essendo la disgiunzione esclusiva la negazione della bicondizionale, alcuni scrivono questa
funzione ‘p ≡ q’ attraversata da una slash (‘/’) sopra la ‘≡’, e altri usano il simbolo ‘p ∨ q’ con
una lineetta sotto l’operatore per enfatizzare la sua parentela con ‘p ∨ q’, e si può dire non solo
‘p o q, ma non entrambi’, ma anche ‘p e q sono di segno (valore di verità) opposto’.
Questa colonna è equivalente a p, e prescinde dal valore di verità di q.
Questa colonna è equivalente a –p, e prescinde dal valore di verità di q.
Con ‘V’ in tutte le righe, si hanno sia p che q come veri in ogni situazione;, possiamo
pronunciare questa funzione ‘tautologia (p, q)’.
Con ‘F’ in tutte le righe, si hanno sia p che q come falsi in ogni situazione, che possiamo
esprimere come ‘contraddizione (p, q)’.
Cfr. il sottotitolo di D..H. Sanford, If P, then Q: Conditionals and the Foundations of Reasoning, Routledge, Londra
1989).
