Moto rotatorio
Ripasso ed esempi
1
Un tipico semplice esempio di cinematica rotazionale:
Una ruota ha una accelerazione angolare costante pari a 3 rad/sec2. All’inizio del
moto il segmento O-P è orizzontale. Determinare: a) lo spostamento angolare del
segmento O-P (e quindi della ruota); e b) la velocità angolare della ruota 2 sec dopo
L’inizio del moto.
y
O
P
x
2
Rivediamo i concetti che abbiamo studiato a riguardo e che ci servono
per risolvere il quesito
3
Per descrivere un moto che oltre che traslatorio sia anche rotatorio, oltre che definire le
coordinate x0-y0 del punto di riferimento 0 sul corpo, rispetto al nostro sistema di
riferimento, dovremo definire anche l’orientazione di un sistema di assi x’-y’
solidale col corpo, rispetto al nostro sistema di riferimento x-y.
y
0
Moto traslatorio + rotatorio
y’
x
0
x’
0
4
Abbiamo stabilito di studiare questo tipo di moto separando il moto traslatorio dal moto
rotatorio. Abbiamo applicato in sostanza il principio di sovrapposizione.
Cioè: ad ogni istante lo stato del corpo è definibile in base ad una traslazione + una rotazione
5
Rotazione
Traslazione
y
x
6
Rotazione
Traslazione
y
x
7
Rotazione
Traslazione
y
x
8
Definizione formale di moto puramente rotatorio
Il moto di un corpo rigido è puramente rotatorio se tutti i punti del corpo si muovono
su dei cerchi i cui centri sono localizzati tutti lungo una retta detta asse di rotazione
9
Se per ogni punto del corpo in questione, tracciamo dei segmenti perpendicolari
all’asse di rotazione, tutti questi segmenti ruoteranno di uno stesso angolo Δ θ in
un dato intervallo di tempo Δt
Δθ
Δθ
10
E questo va inteso anche nel caso 3D
11
E questo va inteso anche nel caso 3D
12
Stabiliremo di misurare gli angoli di rotazione in radianti.
Un radiante è l’angolo al centro in un cerchio sotteso da un arco di s lunghezza
pari al raggio
R.
Pertanto un angolo θ è espresso in radianti dalla relazione
θ = s/R
1 rad
R
Poiché la circonferenza di un cerchio di raggio R è lunga 2πR, vi sono 2π radianti in
un angolo giro. Quindi 2π rad = 360°
1 rad ≈ 57,3 °
13
Lo spostamento angolare nell’intervallo di tempo
Definiremo la velocità angolare media
Δt = t2 − t1
sarà
Δθ = θ2 − θ1
< ω > del corpo nell’intervallo Δt :
< ω > = (θ2 − θ1) / (t2 − t1 ) = Δθ / Δt
In perfetta analogia con quanto abbiamo studiato in cinematica nel caso lineare, la
velocità angolare istantanea sarà data dal limite per Δt
0 di questo rapporto:
ω(t) = lim Δθ / Δt = dθ /dt
Δt 0
In analogia con quanto abbiamo già studiato, indicate con
agli istanti t1 e
t2
l’accelerazione angolare media
ω1 e ω2
le velocità angolari
< α > è definita dalla relazione:
< α > = (ω2 − ω1) / (t2 − t1 ) = Δ ω / Δt
e di conseguenza l’accelerazione angolare istantanea è data dalla relazione
α (t) = lim Δ ω / Δt = d ω /dt
Δt 0
14
La velocità angolare ha le dimensioni dell’inverso di un tempo:
[ T -1 ]
e in generale l’unità di misura è il
radiante / sec
L’accelerazione angolare ha le dimensioni dell’inverso di un tempo quadrato:
[ T -2 ]
e in generale l’unità di misura è il
radiante / sec2
15
Analogia fra le grandezze cinematiche lineari e quelle angolari
Caso lineare
Caso rotazionale
x
[L]
θ
[]
v = dx /dt
[L T-1]
ω = dθ /dt
[T-1]
a = dv/dt = d2x/dt2
[L T-2]
α = dω/dt = d2θ/dt2
[T-2]
Le dimensioni lineari differiscono dalle corrispondenti dimensioni angolari
per un fattore avente dimensione di una lunghezza, il che deriva dalla definizione di
radiante
θ= s / R che è un numero puro, essendo il rapporto fra due lunghezze
16
Queste grandezze sono vettori ?
Consideriamo il caso dello spostamento angolare θ
Si può verificare sperimentalmente che gli spostamenti angolari non si sommano come
vettori. Infatti se si sommassero come vettori dovrebbero obbedire alle regole sulla
somma dei vettori e in particolare alla proprietà commutativa della somma di due vettori,
cioè:
θ1 + θ2 = θ2 + θ1
17
Un libro ruota di 90° in senso orario
visto di fronte, e poi in senso antiorario
visto da sopra. Se l’ordine delle due
rotazioni viene invertito la posizione
finale è differente
Lo stesso succede se si adotta un
angolo di rotazione più piccolo, per
esempio di 45°, ma in questo caso
la differenza di orientazione finale
è minore
Nel caso di angoli sempre più
piccoli, la differenza di orientazione
finale tende a 0
18
Quindi:
θ1 + θ2 = θ2 + θ1
Ma:
dθ1 + dθ2 = dθ2 + dθ1
Gli spostamenti angolari infinitesimi obbediscono alla proprietà commutativa
dell’algebra vettoriale e infatti sono vettori
19
Di conseguenza, la velocità angolare:
ω(t) = dθ /dt
poiché dθ è un vettore e dt è uno scalare, ω è un vettore (e di conseguenza anche α)
Ma qual è la rappresentazione grafica di questo vettore? Consideriamo per esempio
Un cilindro che ruota attorno al proprio asse in senso antiorario:
ω
Il vettore velocità angolare ω è una freccia lungo la direzione dell’asse di rotazione,
orientata verso l’alto se la rotazione è in senso antiorario e viceversa se è in senso orario,
la cui lunghezza è pari al modulo ω.
20
La cosiddetta regola della mano destra.
Nozione mnemonica: se con la mano destra
si afferra idealmente l’asse di rotazione, in modo che le dita si avvolgano intorno ad esso nel
senso della rotazione, allora il pollice disteso punta nella direzione del vettore
ω
21
Rotazione con accelerazione angolare costante
Il caso più semplice di un moto rotatorio è quello che avviene con accelerazione costante
In questo caso le equazioni del moto sono del tutto analoghe a quelle lineari (moto traslatorio):
Moto traslatorio
Moto rotatorio
v = v0 + a t
ω = ω0 + α t
x = ½ ( v0 + v ) t
θ = ½ ( ω0 + ω ) t
x = v0 t + ½ a t 2
θ = ω0 t + ½ α t 2
22
Torniamo quindi al quesito:
Una ruota ha una accelerazione angolare costante pari a 3 rad/sec2. All’inizio del
moto il segmento O-P è orizzontale. Determinare: a) lo spostamento angolare del
segmento O-P (e quindi della ruota); e b) la velocità angolare della ruota 2 sec dopo
l’inizio del moto.
y
O
P
x
23
(a) L’accelerazione angolare α e il tempo
t sono dati, vogliamo trovare θ.
Quindi useremo la
θ = ω0 t + ½ α t 2
All’inizio del moto si ha
t=0
ω0 = 0
e
α = 3 rad/sec2
Dopo 2 sec si avrà:
θ = 0 x 2 sec + ½ (3 rad/sec2) (2 sec)2 = 6 rad
(b) l’accelerazione
α e il tempo t sono dati, vogliamo ottenere ω, quindi useremo la:
ω = ω0 + α t
e cioè:
ω = 0 + (3 rad/sec2) (2 sec) = 6 rad/sec
24
Se in un esempio del genere interviene una forza ci
potrebbe essere chiesto di calcolarne il momento…
25
Una ruota è libera di ruotare attorno ad un asse orizzontale passante per l’origine O
di un sistema di assi
in punto
x-y come in figura. Una forza di 10 nt è applicata ad un raggio r
P distante 1 m dal centro.
La forza agisce nel piano
Calcolare il momento
Il segmento O-P forma un angolo di 30° con l’asse x.
x-y formando un angolo di 45° con l’asse x
y
che agisce sulla ruota
45°
30°
x
26
Momento di una forza
Definizione: Se una forza
F agisce su un punto P la cui posizione rispetto al riferimento
O è individuata da un vettore r,
il momento della forza rispetto a O è un vettore
definito dalla:
τ=rx F
dove il simbolo
x rappresenta il prodotto vettoriale fra r
e
F
Il modulo di τ è dato dalla relazione:
τ = r F sin θ
dove
θ
è l’angolo fra r e
F
La direzione è ortogonale al piano individuato da
la regola della mano destra
r e F, e il verso segue
27
28
Le dimensioni del momento della forza sono quelle di forza x distanza
E cioè [ M L T−2 L ] [ M L2 T−2 ]
L’unità di misura il nt-metro
Vediamo adesso di risolvere il quesito che ci era stato proposto
29
Una ruota è libera di ruotare attorno ad un asse orizzontale passante per l’origine O
Di un sistema di assi
in punto
x-y come in figura. Una forza di 10 nt è applicata ad un raggio r
P distante 1 m dal centro.
La forza agisce nel piano
Calcolare il momento
Il segmento O-P forma un angolo di 30° con l’asse x.
x-y formando un angolo di 45° con l’asse x
y
che agisce sulla ruota
45°
30°
x
30
Applichiamo la definizione di momento di una forza:
τ=rx F
dove il simbolo
x rappresenta il prodotto vettoriale fra r
e
F
Il modulo di τ è dato dalla relazione:
τ = r F sin θ
In questo caso l’angolo θ è dato da:
θ = 45° − 30° = 15°
Pertanto il modulo del momento è dato da:
τ = r F sin θ = (1 m) (10 nt) (sin 15°)
31
(1 m) (10 nt) (sin 15°)
(1 m) (10 nt) (0,26) = 2,6 nt-m
Si tratterà di un momento lungo l’asse z. Riguardo al verso, applicando la regola della
mano destra troveremo che punta verso di noi.
32
Adesso ci proponiamo di rispondere al seguente quesito:
Si consideri un corpo costituito da due sfere A e B di massa m = 5kg ciascuna,
collegate da un’asta leggera ma rigida di lunghezza 1 metro, come in figura.
O
B
A
1m
Si trattino le sfere come masse puntiformi e si trascuri la massa dell’asta.
Calcolare il momento di inerzia del corpo:
a) Rispetto ad un asse ortogonale all’asta e passante per il punto centrale O
b) Rispetto ad un asse parallelo al precedente ma passante per una della due sfere
33
Avevamo visto che il concetto di momento di inerzia era stato
introdotto a proposito della formulazione dell’energia cinetica di rotazione.
Rivediamo
34
Energia di rotazione e momento di inerzia
Non c’è dubbio che ciascuna particella si cui si compone un corpo rigido in rotazione
possiede un certa energia cinetica:
Una particella di massa m di un corpo rigido situata ad una distanza r dall’asse di
rotazione del corpo rigido in questione avrà una velocità
v = ω r , dove ω è la velocità angolare del corpo rigido.
ω
r
Pertanto l’energia cinetica di questa particella sarà:
½ m v2 = ½ m ω2r2
35
Se, come stiamo supponendo, il corpo è rigido allora la velocità angolare ω è la stessa
per tutte le particelle di cui si compone, e l’energia cinetica totale
K
sarà la somma delle energie cinetiche di tutte le particelle :
K = ½ m1 ω2 r21 + ½ m2 r22 + ………….. ½ mN ω2 r2N
+ m2 r22 + ………….. mN r2N ) ω2
K = ½ ( m1 r21
K= ½
∑(m r
Il termine
∑(m r
i
i
2
2
i
i
) ω2
) che indichiamo col simbolo I è denominato Momento di Inerzia
del corpo rigido rispetto a quel particolare asse di rotazione
I =
∑(m r
i
2
i
)
36
Va sottolineato che il Momento di Inerzia di un corpo rigido dipende quindi dall’asse,
oltre che dalla forma del corpo e dalla distribuzione delle masse.
Il Momento di Inerzia
I ha dimensioni:
[ M L2 ]
e si misura in:
kg m2
Introducendo il Momento di Inerzia, l’energia cinetica di un corpo rigido in rotazione
Krot
è espressa pertanto dalla:
Krot = ½ I ω2
37
Una interessante analogia:
Moto traslatorio
Moto rotatorio
Energia cinetica
½ m v2
½ I ω2
velocità
v
ω
massa
m
I
Cosi come ω è nel moto rotatorio l’equivalente della velocità v nel moto traslatorio,
I è nel moto rotatorio l’equivalente della massa m nel moto traslatorio.
Occorre però ricordare che mentre m non dipende dalla posizione del corpo, I dipende
dal particolare asse attorno a cui avviene la rotazione
38
Nel caso in cui il corpo rigido non è costituito da un insieme finito di particelle distinte,
ma è costituito da una distribuzione continua di materia, l’operazione di somma che
compare nella formula:
I =
∑(m r
i
2
i
)
diventerà una integrazione: considereremo il corpo costituito da masse infinitesime
dm e considereremo la distanza r
fra tali masse e l’asse di rotazione:
I =
∫
r2dm
dove l’integrale è esteso sull’intero corpo
39
Nel caso di corpi di forma complicata, il
calcolo di questo integrale può essere
difficile, ma nel caso di corpi con una
geometria regolare e l’asse di rotazione
coincidente con l’asse di simmetria, il
calcolo è abbastanza semplice. Ecco di
seguito alcuni esempi:
40
Per la dinamica del moto rotatorio di un corpo rigido si definiranno pertanto una
serie di grandezze perfettamente analoghe a quelle del moto rettilineo di una particella :
Moto rettilineo di una particella
Moto rotatorio di un corpo rigido
Spostamento
x
Spostamento angolare
θ
Velocita
v = dx/dt
Velocità angolare
ω = dθ/dt
Accelerazione
a = dv /dt
Accelerazione angolare
α = dω/dt
Massa
m
Momento di inerzia
I
Forza
F = ma
Momento della forza
τ=Iα
Lavoro
∫ F dx
Lavoro
∫ τ dθ
Energia cinetica
½ m v2
Energia cinetica
½ I ω2
Quantità di moto
mv
Momento angolare
Iω
41
Riprendiamo quindi in esame il quesito:
Si consideri un corpo costituito da due sfere A e B di massa m = 5kg ciascuna,
collegate da un’asta leggera ma rigida di lunghezza 1 metro, come in figura.
O
B
A
1m
Si trattino le sfere come masse puntiformi e si trascuri la massa dell’asta.
Calcolare il momento di inerzia del corpo:
a) Rispetto ad un asse ortogonale all’asta e passante per il punto centrale O
b) Rispetto ad un asse parallelo al precedente ma passante per una della due sfere
42
Riscriviamo la formula per il momento di inerzia nel caso di masse puntiformi:
I =
∑(m r
i
2
i
)
Nel caso in cui l’asse passa per O ed è ortogonale all’asta:
5 kg
5 kg
B
A
rA = −0.5 m
O
rB = 0.5 m
I = mA rA2 + mB rB2
I = (5 kg) (0.5 m)2 + (5 kg) (0.5 m)2
I = 5 x 0.25 + 5 x 0.25 = 2.5 kg m2
43
Nel caso in cui l’asse passa per una delle due masse ed è ortogonale all’asta:
5 kg
5 kg
B
A
rA = 0
O
rB = 1 m
I = mA rA2 + mB rB2
I = (5 kg) (0 m)2 + (5 kg) (1 m)2
I = 5 x 0 + 5 x 1= 5 kg m2
44
Adesso vediamo un altro esempio di dinamica rotazionale che richiede gli stessi
concetti che abbiamo appena ripassato
Un disco omogeneo di raggio
R e di massa M è montato su un perno e sostenuto
da supporti privi di attrito come in figura. Una cordicella priva di massa è fissata e
arrotolata attorno al disco, ed è tirata verso il basso da una tensione T
Determinare l’accelerazione angolare del disco
e l’accelerazione tangenziale in un punto sul bordo
R
T
45
Facendo riferimento ai simboli adottati, in questo caso avremo:
τ=Rx T
Essendo R e T ortogonali Il modulo di
τ = R T sin θ
sarà :
τ=RT
Il momento di inerzia
I del disco rispetto all’asse di rotazione
I = ½ M R2
è dato dalla:
e dalla relazione
si ha:
τ=Iα
I α = RT α =
𝑅𝑇
½ M R2
L’accelerazione tangenziale a vale a
2𝑇
=MR
=Rα
46
Supponiamo adesso di appendere alla corda una
massa m e di volere ricalcolare l’accelerazione
R
angolare e quella tangenziale.
T
Sia mg la forza di gravità che agisce sulla massa
e T la tensione di reazione diretta verso l’alto.
Il corpo di massa m accelera verso il basso, e la
T
m
sua accelerazione a è data dalla II Legge di Newton:
mg–T=ma
[1]
In questa formula a è anche l’accelerazione tangenziale
mg
del disco.
47
Per l’accelerazione angolare α potremo scrivere di nuovo:
τ
= Iα
RT = ½ M R2 α
T = ½ M Rα
e ricordando che
Rα = a
si ha:
T =½Ma
Riscrivendo la [1]:
m g – T = m a avremo le due equazioni:
mg–T=ma
T =½Ma
Con due equazioni e due incognite (T e
a), possiamo risolvere il quesito.
48
Momento angolare di una particella
Nella dinamica del moto rotatorio, il concetto di momento angolare (o momento
della quantità di moto) ha un ruolo simile a quello che ha la quantità di moto nella
dinamica del moto traslatorio. Vedremo che la definizione e l’applicazione di questo
concetto ci permetterà di ricavare un’altra importante Legge di conservazione.
Consideriamo una particella di massa m e quantità di moto p situata ad una distanza
r dall’origine O di un sistema di assi x-y-z.
Il momento angolare della particella
rispetto al punto O è definito dalla:
L = rxp
Cioè: il prodotto vettoriale di r per
p
49
L
y
p
r
y
z
50
In accordo con la definizione di prodotto vettoriale, il modulo di L è dato da:
L = r p sin θ
La direzione è perpendicolare al piano individuato dai due vettori r e p
Il verso è stabilito dalla consueta regola della mano destra.
Dalla definizione, che è del tutto analoga al momento di una forza, si vede che il
momento angolare
L è il momento della quantità di moto.
51
E abbiamo visto che:
𝑑𝐋
τ =
𝑑𝑡
Cioè: la derivata rispetto al tempo del momento angolare (o momento della quantità di
moto) di particella è uguale al momento delle forze applicate alla particella stessa.
52
Questa equazione:
𝑑𝐋
τ =
𝑑𝑡
è analoga alla equazione che avevamo scritto per il moto traslatorio:
𝑑𝐩
F=
𝑑𝑡
che stabiliva che la derivata rispetto al tempo della quantità di moto di una particella
è uguale alla forza che agisce su di essa, e che stabiliva, e che a implicava che:
dp = F dt Δp =
∫
F(t) dt
(relazione impulso – variazione quantità di moto)
Ci aspettiamo pertanto che risulti anche che:
dL = τ dt ΔL =
∫
τ(t) dt
53
Il momento angolare di un corpo rigido è il prodotto del suo momento di inerzia
per la sua velocità angolare.
Si noti l’analogia della formula:
L= Iω
con la formula relativa al moto traslatorio:
p=mv
Risulta quindi
𝑑
τ=
Iω
𝑑𝑡
Se I = costante risulta
τ= Iα
54
Quindi, come in dinamica traslatoria si ha
F=ma
In dinamica rotatoria si ha
τ= Iα
E così come la F
=ma
poteva essere formulata nel caso più generale caso di
una massa variabile con la formula:
𝑑
𝑑
F=
(m v) =
p
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Per il momento angolare avremo in generale:
𝑑
𝑑
τ=
(Iω) =
L
𝑑𝑡
𝑑𝑡
55
Conservazione del momento angolare
Dalla relazione precedente risulta che se :
τest
𝑑
=0
L=0
𝑑𝑡
Cioè: quando il momento risultate delle forze applicate ad un sistema è nullo, il
momento angolare è costante.
Cioè: il momento angolare di un sistema isolato è costante
QUINDI: in un sistema isolato
I ω = costante
56
Se durante il moto rotatorio cambia la distribuzione delle masse (e quindi cambia I)
cambierà di conseguenza
ω, un fenomeno largamente usato da atleti
e ballerini !!!
57
Un classico esempio: il moto di precessione di una trottola
z
L
Una trottola è un oggetto a simmetria cilindrica che
ruota attorno al suo asse di simmetria. Indicando con
ω
la sua velocità angolare e con
I
il suo momento
di inerzia rispetto all’asse, il suo momento angolare
è dato da:
y
x
L= Iω
Poiché il momento angolare di un sistema isolato si conserva, una trottola su cui
non agiscono forze esterne o attriti mantiene in eterno il suo stato di moto immutato.
58
z
Questa affermazione è vera, qualsiasi sia la direzione
L
del momento angolare
L= Iω
Quindi anche nel caso di una trottola inclinata come
in figura, il moto rotatorio continua all’infinito immutato.
y
x
Eppure l’esperienza ci insegna che se l’asse è inclinato, la trottola subisce un moto
di precessione, cioè la direzione del vettore L varia continuamente, quindi L
≠ costante.
59
Come spieghiamo questo fenomeno ?
Evidentemente nel caso reale la trottola non è un sistema isolato: su di essa agisce
la forza di gravitazione. Vediamo allora di capire cosa succede. Sia m la massa della
trottola, sia θ l’angolo dell’asse della trottola rispetto alla verticale, e consideriamo il
momento
τ
rispetto al punto di appoggio O esercitato dalla forza di gravità mg sul
baricentro della trottola, individuato da un vettore
z
L
Scriveremo:
θ
il cui modulo è:
r come in figura.
τ=rx mg
τ = r m g sin θ
La direzione di τ è ortogonale al piano individuato da r e g
Questa stessa sarà quindi la direzione della variazione di momento
r
angolare ΔL in un breve tempo Δt , in quanto risulta:
ΔL = τ Δt
mg
O
x
y
60
Risulta quindi che dopo un breve intervallo di tempo Δt il momento angolare
è diventato L +
L
ΔL
Poiché ΔL è ortogonale a L ed è supposto molto piccolo rispetto a L il nuovo
Vettore momento angolare ha lo stesso modulo del vecchio ma una diversa direzione.
z
L
θ
Quindi col passare del tempo la punta della freccia del vettore L si muove lungo un
61
cerchio come in figura
Riferendoci al disegno della slide precedente, vediamo quindi di capire da quali parametri
dipende la velocità angolare di precessione ωp
z
ΔL
Δβ
L + ΔL
L
Si ha:
θ
ωp = Δβ / Δt
62
Poiché abbiamo assunto ΔL << L potremo scrivere
Δ𝐿
Δβ =
𝐿 sin θ
e poiché era :
Si ha:
E quindi :
Cioè:
=
τ Δ𝑡
𝐿 sin θ
τ = r m g sin θ
Δβ =
r m g sin θ Δ𝑡
𝐿 sin θ
ωp = Δβ /Δt
r m g sin θ Δ𝑡
rmg
=
𝐿 sin θ Δ𝑡
𝐿
per L grande, la velocità angolare di precessione è piccola
63
