Cinematica 2

Lezione 3
Cinematica del punto II
Fisica Generale I
Fabio Garufi
Moto su piano inclinato
x’
y
x
ay  g
y
x
gcosa
g
a
a
ay '  g
ay '  g cos a 
y’
-gsina
Fabio Garufi - Fisica Generale I
2
Cinematica del moto su piano inclinato
x
y
x’
a
a
g
gsinq
gcosa
y’
q
-gsina
-gcosq


a y '  g cos a   g cos   q  
2

Fabio Garufi - Fisica Generale I
3
g sin q 
Discesa su piano inclinato
x
0
ay  g sin q 
gsinq
vy  t   gt sin q 
h
1
y  t   g sin q  t 2
2
q

2
1
y t  d  g sin q  t  d
2
2 d
g sin q 
t
Nota : lim t 
q

2
2d
g
d

v y t  g sin q 
Fabio Garufi - Fisica Generale I
y
2 d
 2 gd sin q 
g sin q 
4
Salita su piano inclinato
ay  g sin q  vy  t   gt sin q   v0 0

v t  0  gt sin q   v0  0 
t 
v0
g sin q 
h
1
2
y  t   g sin q  t  v0t  d
2
v0
d
q
y
2
 v0

 v0

v02
1
y t  g sin q  
  v0 
  d  d 

2
2 g sin q 
 g sin q  
 g sin q  

Fabio Garufi - Fisica Generale I
5
Velocità massima se (non) si vuole che
corpo vada oltre sommità
0

y t 0
v02
d
0
2 g sin q 
h
v0
d
q
v0  2 gd sin q 
y

y t  0  v0  2 gd sin q 
Fabio Garufi - Fisica Generale I
6
Digressione sull’accelerazione
z
• La legge oraria di un corpo lungo una curva si
può esprimere tramite lo spazio percorso lungo
la curva in funzione del tempo:𝑠 = 𝑠(𝑡)
• Il «raggio vettore» 𝑟 è funzione del parametro s
(ascissa curvilinea): 𝑟 = 𝑟 𝑠 ;
𝑑𝑟 𝑑𝑠
𝑑𝑟
ma
𝑑𝑠 𝑑𝑡
𝑑𝑠
𝑑𝑠
• La velocità, in funzione di s è: 𝑣 =
il versore tangente alla curva =>𝑣 = 𝜏
s
𝑟1
è
𝑛
𝜏
𝑑𝑡
• L’accelerazione sarà:
𝑑
𝑑𝑠
𝑑 2 𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝜏 𝑑𝑠
𝑎=
𝜏
=𝜏 2+
𝑑𝑡 𝑑𝜏 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑡
= 𝑠𝜏 + 𝑠 2 = 𝑠𝜏 + 𝑘𝑠 2 𝑛
𝑑𝑠
Da cui si evince che oltre all’accelerazione
tangenziale, c’è un’accelerazione normale
proporzionale al quadrato della velocità mediante
una costante k che è la curvatura.
𝑎 = 𝐿 𝑇 −2 ;
𝑎
𝑘 = 2 = 𝐿−1
𝑣
k è l’inverso del raggio di curvatura.
y
x
Fabio Garufi - Fisica Generale I
La derivata di un versore
è ortogonale al versore:
infatti 𝜏 2 = 1 ⇒
𝑑
𝑑
𝜏2≡
𝜏∙𝜏 =0
𝑑𝑠
𝑑𝑠
𝑑
𝑑𝜏
𝜏∙𝜏 =2 𝜏∙
=0
𝑑𝑠
𝑑𝑠
7
Moto circolare uniforme
y
𝑣’
• È il moto di un punto che si muove
lungo una circonferenza con velocità
in modulo costante.
𝑣
• Assumiamo, per convenzione, come
r
positivo il verso antiorario.
• Si definisce velocità angolare 𝜔 = 𝜃,
𝜃
la variazione dell’angolo con il
x
tempo. Nel moto circolare uniforme,
è costante.
• Il modulo della velocità è 𝑣 = 𝑟𝜔,
ma la sua direzione cambia
continuamente, dunque c’è
Oppure possiamo calcolarla usando le componenti:
un’accelerazione, che è sempre
diretta verso il centro.
𝑣𝑥 = −𝑟𝜃 sin 𝜃(𝑡); 𝑣𝑦 = 𝑟𝜃 cos 𝜃(𝑡); derivando:
• Per provarlo, possiamo usare la
𝑎𝑥 = −𝑟𝜃 sin 𝜃 − 𝑟𝜃 2 cos 𝜃
formula della2 slide precedente:
𝑎𝑦 = 𝑟𝜃 cos 𝜃 − 𝑟𝜃 2 sin 𝜃
𝑎 = 𝑠𝜏 + 1𝑘𝑠 𝑛 con 𝑠=0; 𝑠 =
𝑟𝜃 𝑒 𝑘 = 𝑟 ⇒ 𝑎 = 𝑟𝜃 2 𝑛 = r𝜔2 𝑛
Ma 𝜃 = 0; Dunque l’accelerazione è diretta come la
𝑣2
posizione ma con il verso opposto, ovvero verso il
• In termini della velocità: 𝑎= 𝑟 𝑛
centro.
Fabio Garufi - Fisica Generale I
8
Esercizi
• Un treno AV viaggia a v=252 km/h ed affronta una curva di raggio r=10km; qual è l’accelerazione
centripeta?
km 103 𝑚 1 ℎ
𝑚
𝑣 = 252
= 70
h 𝑘𝑚 3600 𝑠
𝑠
𝑣2
4900
m
𝑎=
=
= 0,49 2
𝑟
10000
s
In termini dell’accelerazione di gravità, questa vale:
0,49
= 0.05g
9.81
• Un pilota che viaggia a 100m di quota vuole effettuare un looping raggiungendo la quota di
900m, a quale velocità minima deve volare?
Il raggio deve essere 400m, per concludere il giro, l’accelerazione centripeta deve essere almeno g
=>
𝑣2
km
𝑔=
⇒ 𝑣 = 𝑔𝑟 = 226
𝑟
h
Se viaggia a 600 km/h, quale accelerazione sentirà quando è in volo rovescio?
𝑣2
𝑎=
− 𝑔 = 69.4 − 9.8 = 59.6 = 6.1𝑔
𝑟
…deve rallentare, altrimenti ci lascia le penne!!!
Fabio Garufi - Fisica Generale I
9
Esercizi
• Un satellite deve mantenere sempre la stessa posizione rispetto alla superficie
terrestre (orbita geostazionaria), a che altezza deve essere?
2𝜋 𝑟𝑎𝑑
La velocità angolare del satellite deve essere costante e pari a 𝜔 = 24 ℎ
l’accelerazione centripeta deve essere uguale
all’accelerazione gravitazionale
𝐺𝑀
subita dal satellite alla quota di volo: 𝑎 = 𝑅2 dove 𝐺 = 6.67 10−11 m3/kg s2è la
costante gravitazionale 𝑀 = 6 1024 𝑘𝑔 la massa
della Terra e 𝑅 = 𝑟 + ℎ la
3
distanza dal centro della Terra (𝑟 = 6.3 10 𝑘𝑚 è il raggio della Terra e h l’altezza
da trovare)
3 𝐺𝑀
𝐺𝑀
𝐺𝑀
3
= 2 ⇒𝑅 = 2 ⇒𝑅=
𝑅
𝜔
𝜔2
2𝜋 1 ℎ
rad
𝜔=
= 7.3 10−5
24ℎ 3600 𝑠 6
s
𝑟 = 6.3 10 𝑚
𝑅𝜔2
3
6.7 10−11 6.0 1024
= ℎ + 6.3 106 = 42.3 106 𝑚
−9
5.3 10
ℎ = 3.6 107 𝑚 = 36000 𝑘𝑚
Fabio Garufi - Fisica Generale I
10
Moto relativo
• Da una macchina in corsa
sull’autostrada, la macchina che ci
precede appare ferma
• Questo perché il nostro sistema di
riferimento si muove alla stessa
velocità dell’auto
• Il sistema di riferimento, per i nostri
scopi, è l’oggetto fisico su cui
fissiamo il sistema di coordinate.
Normalmente è il suolo, ma, come
nell’esempio può essere anche un
oggetto in movimento.
• Per scrivere le coordinate di un
punto in un sistema di riferimento in
moto rispetto al nostro, dobbiamo
considerare le coordinate dell’origine
del SR mobile nel sistema fisso:
y’
P
y
x’
𝑟′
𝑟
O’
O
x
Il vettore posizione del punto P - 𝑂𝑃 lo possiamo scrivere come somma del
vettore posizione dell’origine del
sistema O’x’y’ - 𝑂𝑂′ - in Oxy e la
posizione di P in questo sistema: 𝑂′𝑃.
𝑟 = 𝑂𝑂′ + 𝑟′
Fabio Garufi - Fisica Generale I
11
Moto relativo
• Supponiamo che il sistema O’x’y’ sia in moto rettilineo uniforme
rispetto a Oxy con velocità 𝑣𝑂 ;
𝑑𝑟
𝑑 𝑟′ 𝑑𝑂𝑂′
=
+
⇒ 𝑣 = 𝑣 ′ + 𝑣𝑂
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Dunque la velocità nel sistema «fisso» sarà data dalla velocità nel
sistema «mobile» più la velocità del sistema mobile rispetto a
quello fisso che chiamiamo velocità relativa
• L’accelerazione la calcoliamo derivando la precedente equazione
e tenendo conto che la velocità relativa è costante:
𝑑 𝑣′ 𝑑𝑣𝑂
𝑎=
+
= 𝑎′ + 0 = 𝑎′
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Pertanto l’accelerazione in un sistema di riferimento in moto
rettilineo uniforme rispetto ad un altro, l’accelerazione è la stessa
in entrambi i sistemi.
Fabio Garufi - Fisica Generale I
12
Esempio
• Un sasso è lanciato verso l’alto con velocità 𝑣𝑠0 da una
macchina in moto rettilineo uniforme con velocità 𝑣0 ;
quale sarà la velocità del sasso all’istante di tempo t nel
sistema di riferimento dell’auto e quale nel sistema di
riferimento di n osservatore a terra?
• Auto: nel SR dell’auto la velocità dell’auto è 0 e la
velocità iniziale del sasso 𝑣𝑠 = (0, 0, 𝑣𝑠0 ) => 𝑣𝑠 =
(0, 0, 𝑣𝑠0 − 𝑔𝑡)
• Suolo: La velocità del SR dell’auto è 𝑣𝑎 = (𝑣0 , 0, 0);
dunque la velocità del sasso sarà: 𝑣 = 𝑣𝑠 + 𝑣𝑎 = (𝑣0 , 0,
𝑣𝑠0 − 𝑔𝑡)
Fabio Garufi - Fisica Generale I
13
Moto relativo II
• Se un SR è in moto relativo non rettilineo uniforme,
possiamo identificare due tipi di moto relativo:
• Traslazioni
• Rotazioni
• Esiste un teorema di Eulero che dice che tutti i moti
«rigidi» come quelli relativi dei SR, si possono
scomporre in rotazioni e traslazioni
• Un moto rigido è una traslazione, se ogni retta nei
sistemi considerati conserva l’orientazione oltre che il
modulo.
• È una rotazione (nello spazio), invece, uno spostamento
in cui almeno due punti (uno nel piano) rimangono
fissi. Questi punti individuano l’asse della rotazione.
Fabio Garufi - Fisica Generale I
14
z=z’
Possiamo identificare un’orientazione dell’asse di
rotazione, con la solita regola che l’asse x si
sovrappone a y in senso antiorario.
Dunque la rotazione ha un modulo – l’angolo in
radianti – una dirazione ed u verso, sicché è un
vettore. 𝜑 = 𝜑𝑢 dove con 𝑢 abbiamo indicato il
versore della rotazione.
Dove punta il versore di rotazione? Se è identificato
da due punti fissi, deve essere ortogonale al piano
della rotazione. In figura non può essere nel piano xy,
dunque dovrà essere lungo z.
y’
ϕ
x
x’
y
Possiamo definire anche una velocità angolare
𝜑 𝑡 ′ − 𝜑(𝑡) 𝑑𝜑
𝜔 𝑡 = lim
=
𝑡→𝑡′
𝑡′ − 𝑡
𝑑𝑡
Fabio Garufi - Fisica Generale I
15
Rotazioni: velocità
y’
y
P
x’
𝑟 = 𝑂𝑂′ + 𝑟′
𝑑𝑟
𝑑(𝑥 ′ 𝑖 ′ + 𝑦 ′ 𝑗 ′ + 𝑧 ′ 𝑘 ′ )
𝑣=
= 𝑣𝑂′ +
𝑑𝑡
𝑑𝑡
′
𝑑𝑘 ′
𝑑𝑗 ′
𝑑𝑖 ′
𝑑𝑥 ′
𝑑𝑦
𝑑𝑧 ′
′ 𝑑𝑡
′
′
′
=
𝑖 + 𝑥 𝑑𝑡 +
𝑗 + 𝑦 𝑑𝑡 +
𝑘 +𝑧
=
𝑑𝑡
𝑑𝑡 3
𝑑𝑡
𝑑𝑥𝑖 ′
𝑑 𝑒𝑖 ′
= 𝑣𝑂′ +
𝑒𝑖 ′
+ 𝑥𝑖 ′
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑟 𝑟′
O’
O
x
𝑘=1
La derivata di un versore, abbiamo visto è ortogonale al
versore. Possiamo dire
𝑑 𝑒𝑖
= ω × 𝑒𝑖
𝑑𝑡
𝜔 è unico perché se ce ne fossero due - ω e ω’ - allora
oltre all’equazione precedente ci sarebbe anche
𝑑 𝑒𝑖
= ω′ × 𝑒𝑖
𝑑𝑡
E sottraendo membro a membro:
0 = (ω − ω′) × 𝑒𝑖
Sostituendo nella somma:
𝑣 = 𝑣𝑂′ + 𝑣 ′ + ω × 𝑟′
Che implica (ω − ω′) = 0 oppure parallelo a ciascuno dei
versori 𝑒𝑖 che è impossibile.
Fabio Garufi - Fisica Generale I
16
Rotazioni: accelerazione
•
Per trovare l’accelerazione, dobbiamo ulteriormente derivare la
3
𝑑𝑥𝑖 ′
𝑑 𝑒𝑖 ′
𝑣 = 𝑣𝑂′ +
𝑒𝑖 ′
+ 𝑥𝑖 ′
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑎 = 𝑎𝑂′
Sostituendo a
𝑑 𝑒𝑖
𝑑𝑡
𝑑
+
𝑑𝑡
3
𝑘=1
𝑘=1
𝑑𝑥𝑖 ′
𝑑 𝑒𝑖 ′
𝑒𝑖 ′
+ 𝑥𝑖 ′
= 𝑎𝑂′ +
𝑑𝑡
𝑑𝑡
3
𝑘=1
𝑑 𝑒𝑖 ′ 𝑑𝑥𝑖 ′
𝑑 2 𝑥𝑖 ′ 𝑑𝑥𝑖 ′ 𝑑 𝑒𝑖 ′
𝑑 2 𝑒𝑖 ′
+ 𝑒𝑖 ′
+
+ 𝑥𝑖 ′
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡 2
= ω × 𝑒𝑖
3
𝑎 = 𝑎𝑂′ +𝑎′ + 2ω′ × 𝑣 ′ +
𝑥𝑖 ′
𝑖=1
Eseguendo la derivata:
𝑑(ω × 𝑒′𝑖 )
𝑑𝑡
𝑑 ω × 𝑒′𝑖
= ω × 𝑒′𝑖 + ω × ω × 𝑒′𝑖
𝑑𝑡
Ed eseguendo il prodotto triplo:
𝑑 ω × 𝑒′𝑖
= ω × 𝑒′𝑖 + ω ∙ 𝑒 ′ 𝑖 ω + ω ∙ ω 𝑒 ′ 𝑖 = ω × 𝑒′𝑖 + 𝜔2 𝑒′𝑖
𝑑𝑡
Essendo ω ⊥ 𝑒 ′ 𝑖 .
In defiitiva:
𝑎 = 𝑎𝑂′ +𝑎′ + 2ω′ × 𝑣 ′ + 𝑟 ′ 𝜔2 + ω × 𝑟 ′
Acc. centripeta
Acc. di Coriolis
Fabio Garufi - Fisica Generale I
17
L’accelerazione di Coriolis
• L’acclerazione di Coriolis 2ω′ × 𝑣 ′ - è responsabile di
molti fenomeni dovuti al fatto
che la terra è Sistema di
Riferimento rotante:
• La rotazione delle correnti
atmosferiche ed oceaniche
• Il consumo differente delle
rotaie destra e sinistra per i treni
che viaggiano in direzione NS.
Fabio Garufi - Fisica Generale I
18