I parte

La ricerca delle onde
gravitazionali
F. Garufi
Un po’ di teoria
g      h  con h  1
Dobbiamo scrivere le equazioni di Einstein in questa metrica perturbata.
G 
G 
28/05/2009
8G
 4 T
c
1
 R  g  R
2
Fabio Garufi
2
Un po’ di teoria
La condizione che le h siano piccole lascia la libertà di cambiare il sistema di



riferimento xμ con piccole trasformazioni: x'  x  
Con le ξμ piccole. Dunque, si può mostrare che:
h'  h       
Quest’arbitrarietà, sul tensore metrico, ci permette di scegliere un tensore:
h
1
 h  g  h
2
  h  0
Gauge Armonica
Con il quale il tensore di Ricci assume la forma particolarmente semplice:
Purché le ξμ soddisfino anch’esse l’equazione delle onde.
Dunque le Equazioni di Einstein saranno:
Che nel vuoto è
l’equazione delle onde
28/05/2009
Fabio Garufi
3
Quanti gradi di libertà?
Consideriamo le soluzioni in onda piana: h  A e ik

x
Il tensore A è un tensore simmetrico indipendente dal tempo=> 10
componenti indipendenti. Sostituendo questo h nell’equazione delle
onde, otteniamo: k k   0
Che ci dice che il vettore d’onda è di tipo luce (o come si usa dire è
nullo)
Applicando la condizione di gauge armonica:   h  0  k A  0
Che sono 4 condizioni => 6 gradi di libertà
Abbiamo ancora da imporre la condizione che le trasformazioni
di coordinate lasciano invariata la condizione armonica se le ξμ
soddisfano l’equazione delle
onde:

Che implica    C e ik x
La scelta arbitraria dei 4 parametri costanti Cμ, ci consente di porre
altre 4 condizioni su A rimanendo con due gradi di libertà.

Scegliamo che sia a traccia nulla e che AU  0
28/05/2009
Fabio
Garufi
Questa prende il nome di gauge
Traceless
Tranverse (TT)
4
Polarizzazione delle GW
Consideriamo l’effetto delle GW ortogonali al piano xy su particelle libere
decritte da un singolo campo di velocità U =dx/dt e da un vettore di
separazione z :l’eq.ne geodetica è:
Sia, inizialmente U=(1,0,0,0) e z =(0,e,0,0), allora l’eq.ne geodetica si
riduce a:
Che nella gauge TT porta alle Eq.ni:
Dunque, sono diverse da 0 solo le
componenti xx, xy, yy e le eq.ni del
moto di due particelle separate di
e lungo l’asse x:
Analogamente,
se z=(0,0,e,0),
28/05/2009
Fabio Garufi
5
Polarizzazione delle GW
hxy≠0
hxx≠0
hX
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hxy=0
Fabio Garufi
h+
6
Generazione delle GW
16G
1
hij   4 Tij  ijT  
c
2
hik = 0
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1

 
T


T

ij
ij


4 
2
t r / c 3 
hij   4 
d x'
 
c
x  x'
Nel vuoto
Fabio Garufi
7
Generazione delle GW
1

 
T


T

ij
ij


4 
2
t r / c 3 
hij   4 
d x'
 
c
x  x'

 
d   x ( x )d 3 x

 


    ( x ) x  v( x )d 3 x
1

  
q jk    x x    r 2  ( x )dx
3




2G
TT


h jk 
q
(
t

r
/
c
)
jk
r c4
Effetto di multipolo (rsource/)

Conservazione dell’impulso
d 0

  0 Conservazione del momento
angolare
Primo termine non nullo
1G
L
5 c5
 q
jk
(t  r / c)
2
jk
8.27 10-45
28/05/2009
Fabio Garufi
8
Ordini di grandezza

1G
L
5 c5
2



 I jk (t  r / c)
jk
L
G 2 4 6
M L
5
c
Oggetto astrofisico compatto
c 2 rS c 2 rS
2GM
rS  2  M 

c
2G
G
v  r    v / r     (c / r )
3 10-2 3 10-2 Stella di neutroni pre-coalesente
6 6
G 2 4 6 G c 4 rs
c 5  rs  6
4  c
L  5 M L   5  2 r  6    
c
c G
r
Gr
2
2
Luminosità 1043 W  1017 volte il sole
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Fabio Garufi
9
Costanti di accoppiamento
strong e.m.
0.1
1/137
weak
10-5
gravity
10-39
Emissione di GW : eventi molto energetici ma quasi nessuna interazione
• Collassi di supernova: i  subiscono 103 interazioni prima di lasciare la
stella, le GW, invece, emergono dal nucleo indisturbate
• disaccoppiamento delle GW dopo il Big Bang
– GW ~ 10-43 s (T ~ 1019 GeV)
–  ~ 1 s (T ~ 1 MeV)
– γ
~ 1012 s (T ~ 0.2 eV)
Trasporto ideale di informazione,
Universo trasparente alle GW fino al Big Bang!!
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Fabio Garufi
10
Sorgenti astrofisiche di GW
•
•
Abbiamo visto che la produzione di GW è
caratterizzata dall’essere poco efficiente: solo
sorgenti astrofisiche hanno sufficiente energia
da produrne di rivelabili.
In base all’andamento nel tempo della
radiazione emessa possiamo classificare le
sorgenti in tre tipi:
1. Sorgenti impulsive
2. Sorgenti quasi periodiche
3. Sorgenti periodiche
28/05/2009
Fabio Garufi
11
Sorgenti impulsive
• Si tratta essenzialmente
di esplosioni (implosioni)
di supernova.
• Implosioni sfericamente
simmetriche non
producono GW,
dobbiamo considerare
stelle in rotazione.
– Rotazione uniforme:
l’energia emessa è
~(J/M2)4 => efficiente ad
alto J.
– Rotazione differenziale:
per es. dovuta al collasso
del nucleo di una binaria
coalescente
28/05/2009
h~10-23 - 10-24 in in range di
frequenze di 100Hz – 1kHz per
distanze dell’ordine di 20 Mpc
(virgo cluster)
Eventi ~1/secolo/galassia.
Fabio Garufi
12
Supernovae
Supernovae Type I e type II
White Dwarf explosion
because of companion capture
Supermassive Star
GW energy depends on sphericity
breaking during collapse
D E/Mc2 da 10-7 a 10-3
h  10 21  10 19 (Galactic center)
Many profiles hypothyzed (ms long pulses)
h  10 24  10 22 (VIRGO Cluster)
A few events per century
Several events per month
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Fabio Garufi
13
Segnale tipico delle Supernovae
28/05/2009
Fabio Garufi
14
Sorgenti quasi periodiche
• Essenzialmente stelle binarie
coalescenti: le sorgenti più studiate
in assoluto. La prima prova (indiretta)
di emissione di GW è una sorgente
di questo tipo: PSR1913-16
• Due stelle in rotazione reciproca
perdono energia per emissione di
GW, il periodo diminuisce e anche la
distanza. L’ampiezza e la frequenza
delle GW emesse aumenta con il
tempo.
• Nella fase finale le due stelle si
fondono (merger) o, meglio, una
delle due cade, spiraleggiando
sull’altra (plunge).
• Il segnale gravitazionale ha la forma
di una sinusoide che aumenta di
frequenza e di ampiezza verso il
tempo di coalescenza e prende il
nome di “chirp”
28/05/2009
Fabio Garufi
Hulse & Taylor Nobel 1993
J. Taylor
R.Hulse
15
Evoluzione delle binarie coalescenti
28/05/2009
Fabio Garufi
16
Stelle di neutroni binarie
•
Galactic rate
– CB rate in the Galaxy inferred from known systems, expected to reach coalescence in a
time less than the age of the Universe
– Only 3 such systems known today (including PSR 1913+16)
– Estimate dominated by most recently discovered system (PSR J0737+3039)
– Estimate depends on the modeled Galactic distribution of neutron stars
Milky Way Equivalent
– For preferred model
Galaxies
•
Detected rate
– Rate of detected events depends on number of galaxies probed by the detector
– Related to detector horizon distance (distance at which an optimally located and oriented
source would produce a SNR of 8)
– For initial detectors (Dhorizon~ 30 Mpc)
N ~ 2 10-3 – 3 10-2yr-1, most probable N ~ 1 / (100 yr)
– For advanced detectors (assuming 15 times improved horizon distance)
– most probable N ~ 40 / yr
28/05/2009
Fabio Garufi
17
Coalescenze BH-NS e BH-BH
• Per ora non si conoscono sistemi che
coinvolgono buchi neri (BH)
– Per predire la rate ci si basa su quanto si sa
dell’evoluzione stellare
– La frequenza di questi eventi è inferiore a quella NSNS
– Sistemi coinvolgenti un BH si vedono a maggiore
distanza => La frequenza totale è maggiore?
• Rivelatori attuali:
NBHBH~ 5.5 10-3 yr-1
NNSBH~ 8.0 10-4 yr-1
28/05/2009
Fabio Garufi
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EMRI
• Extreme Mass Ratio Inspirals
– Sono oggetti compatti (WD, NS, o BH) che
spiraleggiano attorno ad un buco nero
supemassiccio
– La banda di frequenza di queste sorgenti è
nella regione dei mHz
– La massa degli oggetti orbitanti è trascurabile
=> ottimi per studiare il BH “imperturbato”
28/05/2009
Fabio Garufi
19
SgrA* il SMBH al centro della
nostra galassia e orbite delle stelle
28/05/2009
Fabio Garufi
20
Sorgenti periodiche: le pulsar
• Stelle di neutroni rotanti
• C’è emissione di GW solo se c’è un’asimmetria
intorno all’asse di rotazione
• Le ampiezze stimate sono dell’ordine di:
Per R=10Rs
• Si stima ci siano 109 NS nella galassia, ma non è chiaro quante
possano avere f ed e rilevanti
• Con gli attuali rivelatori la Pulsar della Vela è nel range di frequenza
osservabile (VIRGO).
• Possibilità di integrare a lungo il segnale in modo da aumentare il
rapporto segnale-rumore
28/05/2009
Fabio Garufi
21
Pulsar Rotational
Period Distribution
AUSTRALIA TELESCOPE NATIONAL
FACILITY PULSAR CATALOGUE
Importance of a low frequency sensitivity (Hz – tens of Hz region)
28/05/2009
Fabio Garufi
22
Il fondo stocastico
• Extragalattico: dovuto alla sovrapposizione di segnali
provenienti da molte sorgenti a varie frequenze,
polarizzazioni e posizioni nel cielo. E’ descritto, in
genere, in termini di uno spettro delle GW
In cui c è la densità critica dell’universo e GW la densità di GW
• Cosmologico: proveniente dalle prime fasi del big bang e poi
“stirato” dall’espansione
•Amplificazione di fluttuazioni quantistiche durante l’inflazione
•Transizioni di fase e stringhe cosmiche
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Fabio Garufi
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Rivelazione delle GW
Due corpi inizialmente in quiete: uno nell’origine, l’altro in (e,0,0)
28/05/2009
Fabio Garufi
24
Dunque, se diciamo L la lunghezza iniziale di un rivelatore, un onda “+”
polarizzata lungo la dimensione considerata lo allungherà di DL=1/2 hxxL
L’allungamento è dell’ordine di 10-21 m (supernova) per un rivelatore di un
metro => grandi lunghezze o amplificazione della deformazione.
Storicamente la seconda soluzione fu tentata per prima.
Una deformazione variabile periodicamente su una massa risonante
(barra) viene amplificata alla frequenza di risonanza.
WARNING: siccome osserviamo solo le variazioni di lunghezza le barre
sono sensibili solo ai modi dispari di risonanza.
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Fabio Garufi
25
L’antenna a Barra (Weber 1960)
28/05/2009
Fabio Garufi
26
Bar Detectors
m
m = M/2
l = 4L /2
l
1  TTk
F  mh jk x
2
j
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Fabio Garufi
27
Bar Detectors
m
m = M/2
l = 4L /2
l
0 1
2   t
Q
1 
x(t )  2 x (t )   x(t )  h (t )
2
2
0
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Fabio Garufi
28
Bar Detectors
x(t )  2 x (t )  02 x(t ) 
1
x(t )  
2
1 
h (t )
2

l
 2 h( )eit
 2 ( 2  02  2i ) d
Fourier Transform of the
Signal
Pulse Response h(t) = h0(t)
Monocromatic h(t) = h0 cos0t
l
x(t )   h00 e  t sin 0t
2
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l
x(t )   h0Q sin 0t
2
Fabio Garufi
29
Bar Detectors
1 
h (t )
2

1 l
 2 h( )eit
x(t )  
d
2
2

2  2 (  0  2i )
x(t )  2 x (t )  02 x(t ) 
Flusso
Sezione d’urto
Fourier Transform of the
Signal
E   F ( ) ( )d  F (n )   ( )d  F (n ) tot
0
 ( )  cos t M vs2
Antenna
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mass
Sound
speed
Q
 
(   0 ) 2   0 
Q
2
Resonance
Fabio Garufi
curve
Energia dissipata
nella barra
sin 4  cos2 (2 )
Direction
Polarization
30
Sensibilità di un’antenna risonante
•
•
•
La sensibilità di un’antenna risonante rappresenta il minimo segnale che
può essere rivelato al disopra del rumore.
Il rumore è dato dal rumore termico, dal rumore elettronico e dai rumori
ambientali
Se consideriamo la parte di rumore termico quella dominante, possiamo
calcolare la lo spostamento quadratico medio dovuto all’agitazione termica
usando il teorema di Fluttuazione-dissipazione:
2
( ) 
xtherm
4 k BT
2
Y ( )
Y ( ) 
1
Z ( )
x( )

4 k BT
F ( ) 
2
(
)

x


H ( )
therm
F
F ( ) 


Z ( )  
x i x( )
Lontano dalla risonanza
H ( ) 
Funzione di
trasferimento
2
xtherm

4 k BT
m02
impedenza
28/05/2009
Fabio Garufi
31
Sensibilità di un’antenna risonante 2
Il valore quadratico medio dello spostamento dovuto all’onda
gravitazionale di ampiezza h costante e di durata t0 è
2 2 2 2
h
L t 0 0
2
xh 
8
Dunque, il minimo segnale impulsivo rivelabile sarà quello per cui il
rapporto tra gli spostamenti RMS del segnale e del rumore si equivalgono:
SNR=1.
2
2 2 2 2
2
2 2 2 4
xh
2
xtherm
h L t0 0 m0 mh L t0 0


1
8
4k BT
32k BT
Da cui si evince che per osservare un h molto piccolo, deve essere
grande m, piccola T e piccolo t0. Per valori tipici di m=1000kg, 0=1kHz,
T=100K, si ottiene h=10-18/t0
28/05/2009
Fabio Garufi
32
Sensibilità di un’antenna risonante 3
La sensibilità in funzione della frequenza è una curva risonante e in genere è data in
termini della densità spettrale del rumore riferita al segnale di ingresso.
hmin
D 
~
h (r )

t g D

Tn
~
T
h e
MQ
28/05/2009
Fabio Garufi
33
Allegro
Nautilus
Auriga
Niobe
28/05/2009
Bar detectors (nel
2003)
• The first detector was the
Weber bar, operated at
room temperature.
• Currently there are five
main cryogenic bars,
including the ultracyrogenic Nautilus and
Auriga.
• They operate the ICEG
collaboration for searching
for coincident bursts.
• Narrow-bandwidths at
relatively high frequencies.
Fabio Garufi
34
INFN
• Frascati Labs
• Genova
• Gran Sasso Labs
• L’Aquila
• Roma 1
• Roma 2
• INAF - IFSI
• CNR- IFN
• CERN
• Geneva
Leiden
CERN RE 5
MiniGrail
LNF INFN
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Fabio Garufi
35
28/05/2009
Fabio Garufi
36
5 modi di quadrupolo degeneri
Sezione d’urto omnidirezionale
5 outputs determinano i 5 parametetri
h+ hx H  hs
28/05/2009
Fabio Garufi
37
www.minigrail.nl
Sensitivity predicted for next run
28/05/2009
3 x 10-22
Fabio Garufi
38
28/05/2009
Fabio Garufi
39
28/05/2009
Fabio Garufi
40
Rivelazione interferometrica
L-DL
L+DL
t=0
t = T /4
t = T/2
t = 3T /4
t=T
1
DL
DL  h xx L  h  2
2
L
Target h ~ 10-21, L~103m
(NS/NS @Virgo Cluster)
Grandi L per
piccole h
Bisogna misurare: DL ~ 10-18 m
28/05/2009
Fabio Garufi
41
Effetto di una GW su un interferometro
se
28/05/2009
Fabio Garufi
42
Variazione di potenza dovuta alla
GW
(
)
out  rs t s r1e 2ikl1  r2 e 2ikl2 in
2
2
Pout  out  (rs t s ) r12  r22  2r1r2 cos( 2k) Pin 
2
(
rs t s )
 2 2 1  C cos( 2k)Pin C  r1r2
r1  r2
r1  r2


Al passaggio di una GW h+
1
 1   1  h  1
2
1
 2   2  h  2
2
Pout  Pmich  Pgw 
 Pin C cos( 2k)  Ckh sin(  1   2 )
Quindi la variazione di potenza all’uscita
dovuta alla GW è proporzionale
all’ampiezza della GW e alla somma
dei bracci
28/05/2009
Fabio Garufi
43
Shot Noise
Il numero di fotoni rivelati dal fotodiodo con efficienza  è:
Se assumiamo una statistica Poissoniana, la fluttuazione di potenza è √N,
dunque il rapporto segnale-rumore sarà:
Sens. alle
fluttuazioni di
potenza
 1+ 1-C 2
Che ha un massimo per cos ( 2kδ
. ) 
C
Dunque un interferometro reale massimizza il SNR leggermente sfasato dalla
frangia scura. Nel caso ottimale di C=1, la sensibilità per una GW è data dal
valore per cui S/N=1
Aumentare la
lunghezza dei
bracci
Aumentare la
potenza
28/05/2009
Fabio Garufi
44
Aumentare la potenza, ma quanto?
Shot noise
~
1 c
hshot 
L 2P
Fluttuazioni della pressione
di radiazione
~
hrp 
1
P
mL 2 2 3c
Limite quantistico: il miglior compromesso fra la diminuzione dello shot
noise e l’aumento della pressione di radiazione. È il minimo rumore
ottenibile.
~
1
hQL ( ) 
L
28/05/2009
Fabio Garufi

m
45
Allungare I bracci: Cavità Fabry-Perot
Risuona per 2kL  2n
2
2L
L  n   

n
r1  r2  R
banda passante   
Finesse : F 
2
 2 ikL
0 1 2
Er  E t r e
alla
 (r r e
N 
m 0
1 2
risonanza : E0t12 r2
28/05/2009
) Et re
 2 ikL m
1
1  r1r2
2
 2 ikL
0 1 2
1
1  r1r2 e  2ikL
D
2  R


2
2
1 R
D  2 NkL
F
2F
N   D 
kL

 L fp 
Fabio Garufi
1 R
R
2F


L
46
Luce riflessa da una
cavità FP
28/05/2009
Fabio Garufi
47
L fp  L
2F

4
8F
D fp 
hL fp 
hL


28/05/2009
Non possiamo aumentare indefinitamente la Finesse
2L
2 L  i gw 2 L / c

Dt  h sin c  gw e
c
c 

Per frequenze maggiori dell’inverso del tempo
di round trip si ha una riduzione del rirardo
Fabio Garufi
48
Why power recycled?
• The gray fringe working point is not the right choice:
– The ITF is not a “Null Instrument”, that is the output is not null when
the input is null: large DC
– We want to operate in the dark fringe: no DC if zero input
– What to do with the light wasted in the input port?
Recycle it!
Shot noise reduced by the recycling factor, but
how to extract the GW signal if we work at the
dark fringe, where
Pout
0
DL
laser
28/05/2009
Fabio Garufi
49 49
•
•
Modulazione demodulazione
Si è visto che la rivelazione in DC è sensibile alle variazioni di potenza del
laser. È mandatorio spostare la rivelazione a frequenze maggiori,
tipicamente nella regione dei MHz, dove le fluttuazioni di potenza del laser
sono minori.
Si adotta un schema in cui la luce viene modulata in fase a radiofrequenza,
prima di entrare nell’interferometro ed il segnale della frangia scura è
demodulato coerentemente.
– Tecnica di Pound-Drever
/4
PBS
EOM
Ein (t )  E0 cosct   cos( mod t )
 E0 cosct cos cos( mod t )  sin ct sin  cos( mod t )
 E0 cosct   sin ct   cos( mod t )
PHD
E
 E

 E0 cos c t    0 sin ( c   mod )t   0 sin ( c   mod )t 
2
 2

LO
Out
sidebands
28/05/2009
Fabio- Garufi
3rd VESF school
Michele Punturo Virgo
carrier
50 50
…modulation-demodulation
• The carrier is resonant in the cavity, but not the sidebands ( shift).
Hence, the reflected beam is
Erefl (t )  E0 cos ct    sin  c t cos( mod t )
• Let suppose that there is a GW signal that modulates the phase of the incoming
field. Its effect is present only in the carrier, because it is resonant in the cavity
Erefl (t )  E0 cos ct   GW (t )   sin  ct cos( mod t ) 
 E0 cos ct cos GW (t )  sin ct sin  GW (t ) E0 sin ct cos( mod t ) 
 E0 cos ct cos GW (t )  E0  cos( mod t )  sin  GW (t ) sin ct 
• At the output of the interferometer, the photodiode reads the power, averaged
over c, hence we must evaluate the square of
• The mixed product term gives:
 sin GW (t )cosmod t     GW (t ) cosmod t 
• Demodulating the mod disappears and the output is proportional to the
gravitational signal
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Fabio Garufi
51 51
Rumore sismico
• The correct and usual way to realize an interferometer in a Lab is to
rigidly clamp the optics to the table
• We cannot adopt this solution, mainly, because of the seismic noise:
A
xseism ( f )  2
f
m
Hz
f  0.1Hz
,
A  10 7
xseism ( f )  xGW ( f )  f  105 Hz
• The simplest seismic filter is an harmonic oscillator, for
frequencies larger than the resonant one:
x   (x  xseism )  0  ~
x ( ) 
2
0
 02 ~
xseism ( )
 02   2
• A pendulum is an harmonic oscillator of natural frequency:
f0 
1
2
x
xseism
g
L
• A cascade of N pendulums is a multistage filter whose transfer function is:
~
x ( )
 f0 
 

~
xseism ( )  f 
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Fabio Garufi
2N
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Ground
Rumore sismico
Chain
Transmission
Resonances
2 Hz
f -2N
Frequency (Hz)
Long Pendula
Mirror
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Fabio Garufi
Soft Spring
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Newtonian Noise
The Newtonian noise
will be dominant below 10
Hz for cryogenic
detectors
Newtonian noise
h ( f )  const. 
G0
 x0 ( f )
H( f )
Surface waves die
exponentially with depth
SEISMIC NOISE
GO UNDERGROUND!
Figure: M.Lorenzini
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Fabio Garufi
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La curva di sensibilità
Seismic
Thermal
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Fabio Garufi
Shot
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