Insiemi numerici I Naturali I numeri naturali sono quegli oggetti matematici che servono per contare le cose che ci circondano. 0,1,2,3, … , 9, … 10 dita base 10 0 1 2 3 N Operazioni •Somma a+b 3 1+2=? 0 1 2 3 N Operazioni •Somma a+b b volte •Moltiplicazione axb = a+a+… +a •Elevamento a potenza ab = axax … xa b volte •Sottrazione a-b=c a=b+c 1 3-2=? 0 1 2 3 a≥b N Operazioni •Somma a+b b volte •Moltiplicazione axb = a+a+… +a •Elevamento a potenza ab = axax … xa b volte •Sottrazione a-b=c a=b+c •Divisione con a:b=q resto a=bxq a b • q r a≥b a=bxq +r •Estrazione della radice b√a = c a=cb Proprietà delle operazioni Somma •Commutativa a+b=b+a •Associativa a+(b+c)=(a+b)+c •Esistenza elemento neutro 0 a+0=a Sottrazione •Commutativa (7-2)-1 ≠ 7-(2-1) •Associativa (7-1)-2 7-(1-2) •Esistenza elemento neutro 0 a-0=a Proprietà delle operazioni Prodotto •Commutativa axb = bxa •Associativa ax(bxc) = (axb)xc •Esistenza elemento neutro 1 ax1=a •ax0=0 •Legge di annullamento del prodotto axb=0 (a=0 b=0) Prodotto e somma Distributiva ax(b+c) = axb + axc Proprietà delle operazioni Divisione Commutativa Associativa (8:4):2 ≠ 8:(4:2) Esistenza elemento neutro 1 a:1=a 0:a=0 a:0 IMPOSSIBILE 0:0 forma indeterminata Divisione e somma Distributiva (a+b):c = a:c + b:c Distributiva a:(b+c) ≠ a:b + a:c Divisione e prodotto a:(bxc) ≠ (a:b)xc Proprietà delle operazioni Elevamento a potenza •ab x ac = ab+c •ab : n=1 1 c a = ab-c 0n=0 •(ab) c = abxc 0=1 a •ab x cb = (axc)b abbx: c ab0 = (a:c) ab+0 =b ab •a 00 mcm e MCD Dato un numero naturale a si dice che b è multiplo di a se esiste un altro naturale n tale b=an. Dati due numeri naturali a e b il loro minimo comune multiplo, mcm(a,b), è il numero m multiplo di a e di b tale che ogni altro multiplo comune ad a e b sia anche multiplo di m. mcm e MCD 2 3 4 6 8 10 12 … 6 9 12 15 18 … mcm e MCD Dato un numero naturale a si dice che b è divisore di a se esiste un altro naturale n tale a=bn. Dati due numeri naturali a e b il loro massimo comune divisore, Mcd(a,b), è il numero d divisore di a e di b tale che ogni altro divisore comune ad a e b sia anche divisore di d. mcm e MCD 24 18 2 4 6 12 24 … 2 3 6 9 18 … Gli Interi I numeri col segno a+(-a)=0 OPPOSTO -2 SEGNO -1 0 MODULO -a 1 2 3 Z N Operazioni •Somma a+b a+(-a)=0 a-a=0 1+(-2)=1-2=?-1 -2 -1 0 1 2 3 N Z Operazioni •Somma a+b •Moltiplicazione axb +x+=+ +x-=-x+=-x-=+ •Elevamento a potenza ab, b>0 (+a)b=+ab (-a)b=+ab se b è pari (-a)b=-ab se b è dispari Operazioni •Sottrazione a-b = a+(-b) a-(-b) = a + (-1)x(-b) = a+b •Divisione a:b +:+=+ +:-=-:+=-:-=+ •Estrazione della radice, b>0 b√a se b è pari e a ≥ 0 ± b√a se b è dispari Proprietà delle operazioni Somma •Commutativa •Associativa •Esistenza elemento neutro 0 •Esistenza dell’opposto a -a | a+(-a)=0 Proprietà delle operazioni Elevamento a potenza a0=1 1= ab : ab = ab-b = a0 ab : ab = ab-b = ab+(-b) = ab x a-b I razionali Q Numeratore p con p,q Z, q≠0 q Denominatore 1 ax =1 a INVERSO -2 -1 0 ½ 1 2 3 Q Z Operazioni •Somma 𝑎 𝑐 𝑎+𝑐 + = 𝑏 𝑑 𝑏+𝑑 Se ieri ho vinto 2 partite su 3 e oggi ne ho vinte 5 su 7, in tutto ho vinto 7 partite su 10. 𝒂+𝒃 𝒂+𝒄 5+3 3 ≠ 5+7 7 𝑥+𝑦 𝑎+𝑦 Operazioni •Somma •Moltiplicazione 𝒂+𝒃 𝟏 ∙ 𝒄 𝒂 5+2 1 2 ∙ ≠ 7 5 7 𝒂 𝒃 ∙ 𝒃+𝒄 𝟏 Operazioni •Somma •Moltiplicazione •Elevamento a potenza n a p p n q q n p q n n 1 n a n q qn n p p Operazioni •Sottrazione •Divisione •Estrazione della radice, b>0 b p q b p b q Proprietà delle operazioni Somma •Commutativa •Associativa •Esistenza elemento neutro 0 •Esistenza dell’opposto p p q q Proprietà delle operazioni Prodotto •Commutativa •Associativa •Esistenza elemento neutro 1 p •Esistenza dell’inverso q •ax0=0 •Legge di annullamento del prodotto axb=0 (a=0 b=0) q p Elevamento a potenza p q a a q p p p 1 p p a a a (a ) 1 Esercizi 33 2 3 4 2 : 35 3 2 1 + 3 2 4 ∙ 33 2 : 1 1 − 4 3 ∙ 2 ∙ 2 4 2− 3 22 1 1 : − 3 2 3 3 2 0 2 10 : −1 3 2 Gli irrazionali Esistono? 0,01 001 000100001 … ? Q Z N Gli irrazionali √2 sin1 √3 π e ln5 I Reali R Q Z N I Reali Assiomi relativi alle operazioni • • • • • • Commutativa Associativa Distributiva Esistenza elemento neutro Esistenza dell’opposto Esistenza dell’inverso + x I Reali Assiomi relativi all’ordinamento ≤ • • • • Dicotomia a ≤ b oppure b ≤ a Asimmetria se a ≤ b e b ≤ a allora a=b Se a ≤ b allora a+c ≤ b+c Se 0 ≤ a e 0 ≤ b allora 0 ≤ a+b e 0 ≤ axb IlIlprodotto quadratodididue un numero numeri positivo positivi èè positivo I Reali Assioma di completezza Siano A e B due sottoinsiemi dei Reali tali che a ≤ b per ogni aA e bB allora esiste almeno un cR tale che a ≤ c ≤ b Rappresentazione grafica -2 -1 0 ½ 1 2 3 QR Legge di annullamento del prodotto axb=0 a=0 v b=0 • ax0=0 a + ax0 = a x (1+0) = ax1 = a • Se axb=0 e a≠0 allora b=0 b = bx1 = bx(axa-1) = (bxa)xa-1 = 0xa-1 = 0 Regole dei segni +x+=+ dagli assiomi +x-=0 = ax0 = ax(b-b) = axb + ax(-b) -x-=+ 0 = (-a)x0 = (-a)x(b-b) = -axb + (-a)x(-b) Potenze ad esponente reale π 3 3,1 3,14 … 8 8,8 8,82 … 4 3,2 3,15 … 2π 9 8,9 8,83 …