Lezione nr. 2 Vettori e Cinematica del punto Fisica Generale 1 Ingegneria Edile F. Garufi Cenni sui vettori • In fisica si distinguono grandezze scalari – per esempio la massa o la temperatura di un corpo – e grandezze vettoriali – ad esempio lo spostamento di un punto. • Uno scalare è identificato da un solo valore numerico – per es. una massa di 30 g – e l’unità di misura che ne identifica la natura fisica. • Per individuare lo spostamento di un punto nello spazio, non basta dire che si è spostato di 10 cm, bisogna specificare anche la direzione (per es. lungo l’asse Nord-Sud) ed il verso (Verso Nord). Questo tipo di grandezza è un vettore. Fabio Garufi - Fisica Generale I 2 Rappresentazione dei vettori • I vettori, come si intuisce, sono rappresentabili come segmenti orientati nello spazio. 𝐹 = 𝐴𝐵 • Sono caratterizzati da un modulo |AB| che ne rappresenta la lunghezza, la direzione, data dalla retta di applicazione r, ed il verso, indicato dalla punta della freccia (da A a B) • Il modulo del vettore 𝐹 è sempre positivo • Il punto di origine – A - è il punto di applicazione del vettore, che in molti problemi può essere indeteriminato z r B A 𝐹 y x Fabio Garufi - Fisica Generale I 3 Rappresentazione cartesiana dei vettori I • Riferito alla terna cartesiana, il segmento orientato 𝐹, è definito univocamente dalle coordinate (x,y,z) del punto A e quelle (x’, y’, z’) del punto B. • Le proiezioni di 𝐹 nella direzione degli assi ′si chiamano le componenti del vettore 𝐹: 𝐹𝑥 = 𝑥 − 𝑥 𝐹𝑦 = 𝑦 ′ − 𝑦 𝐹𝑧 = 𝑧 ′ − 𝑧 • Il modulo del vettore, ovvero la sua lunghezza, lo calcoliamo con il teorema di Pitagora: 𝐹 = 𝐹𝑥 2 + 𝐹𝑦 2 + 𝐹𝑧 2 • Detti 𝑖, 𝑗, 𝑘 i vettori unitari nelle direzioni rispettivamente di x, y e z (i versori degli assi), allora 3 𝐹 = 𝐹𝑥 𝑖 + 𝐹𝑦 𝑗 + 𝐹𝑥 𝑘 ≡ 𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑖 𝑒 𝑖 𝐹𝑧 = 𝑖=1 Avendo indicato con 𝑒 𝑖 i versori dei tre assi supposto che sia: 𝑥1 = 𝑥; 𝑥2 = 𝑦; 𝑥3 = 𝑧: 3 𝐹𝑖 𝑒 𝑖 = 𝐹1 𝑒 1 + 𝐹2 𝑒 2 + 𝐹3 𝑒 3 𝑖=1 Fabio Garufi - Fisica Generale I 4 Rappresentazione cartesiana dei vettori II • Alternativamente, possiamo determinare il vettore dandone il modulo, le coordinate del punto di applicazione A e l’orientazione; • L’orientazione rispetto agli assi coordinati è individuata dai coseni direttori cos(xF), cos(yF), cos(zF), ove xF, yF, e zF sono gli angoli che il vettore F forma con i tre assi. • Siccome esiste una relazione che lega i tre coseni direttori: cos2 (xF)+cos2 (yF)+cos2 (zF) = 1, solo due sono indipendenti. Fabio Garufi - Fisica Generale I 5 Rappresentazione cartesiana dei vettori II z • I coseni direttori possono essere espressi in funzione delle componenti del vettore: 𝐹𝑥 2 + 𝐹𝑦 2 + 𝐹𝑧 2 𝐹𝑥 cos 𝑥𝐹 = 𝐹 𝐹𝑦 cos 𝑦𝐹 = 𝐹 𝐹𝑧 cos 𝑧𝐹 = 𝐹 𝐹 𝐹 = y 𝐹𝑥 x Fabio Garufi - Fisica Generale I 6 Algebra dei vettori • Tra i vettori possono essere definite le operazioni di somma e moltiplicazione e moltiplicazione per uno scalare. • La somma di vettori gode della proprietà commutativa ed associativa: A+B=B+A; A+(B+C)=(A+B)+C; • Rispetto alla somma esiste l’elemento inverso e l’elemento nullo 0: A +(-A) = 0 • Si dice che rispetto alla somma, i vettori formino un gruppo commutativo (o abeliano) Fabio Garufi - Fisica Generale I 7 Dimostrare la regola della somma con le componenti 𝑅 =𝐴+𝐵 𝑅𝑥 𝑅𝑦 = 𝐴𝑥 𝐴𝑦 + 𝐵𝑥 𝐵𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 O con i versori: 𝑅 =𝐴+𝐵 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 𝑗 Fabio Garufi - Fisica Generale I 8 Algebra dei vettori: prodotto per uno scalare • Il prodotto di un vettore 𝐹per uno scalare a 𝐹’=a𝐹- è un vettore il cui modulo è il prodotto del modulo per il valore assoluto dello scalare, il cui verso è dato dal verso del vettore per il segno dello scalare e la direzione è immutata. • Rispetto al prodotto per uno scalare, valgono le proprietà associativa e distributiva: (a+b) 𝐹=a𝐹+b𝐹; a(𝐹+𝐹’)=a𝐹+a𝐹’; a(b𝐹)=(a𝐹)𝑏 Fabio Garufi - Fisica Generale I 9 Algebra dei vettori: prodotti fra vettori • Esistono due modi in cui si possono moltiplicare fra loro due vettori: uno in cui il prodotto è ancora un vettore, l’altro in cui il prodotto è uno scalare. • Dal punto di vista algebrico, il primo è un’operazione interna allo spazio dei vettori ed i matematici lo chiamano prodotto esterno o, più comunemente, prodotto vettoriale e si indica con il simbolo × (in alcuni testi ⋀) • Nel secondo caso, il prodotto restituisce uno scalare e si chiama prodotto scalare e si indica con il simbolo ∙ Fabio Garufi - Fisica Generale I 10 Prodotto scalare • Il prodotto scalare di due vettori 𝐴 e 𝐵 è un numero il cui valore è 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 𝐵 cos 𝜃 dove 𝜃 è l’angolo che i vettori formano fra loro • Rappresenta il modulo di un vettore per la proiezione dell’altro lungo la direzione del primo • Se 𝐴 ⊥ 𝐵 allora 𝐴 ∙ 𝐵 = 0 • Se 𝐴 ∥ 𝐵 ⇒ 𝐴 ∙ 𝐵 =2 𝐴 𝐵 ; di conseguenza 𝐴 = 𝐴 ∙ 𝐴 Fabio Garufi - Fisica Generale I 𝐴 𝐵 Acos 𝜃 11 Dimostrare la regola del prodotto scalare con le componenti u v A B Axi Ay j Bxi By j Ax Bx Ay B y i i 1; i j 0; j j 1 u v u v cos u v cos uv cos uv cos cos sin sin u cos v cos u sin v sin u x vx u y v y Fabio Garufi - Fisica Generale I 12 Prodotto vettoriale • Il prodotto vettoriale di due vettori 𝐴 e 𝐵, è un vettore il cui modulo è 𝐴 𝐵 sin 𝜃 e la cui direzione è ortogonale al piano individuato dai due vettori. • Il verso del vettore prodotto è dato dalla regola della mano sinistra: il medio indica la direzione di A, l’indice quella di B, il pollice la direzione del prodotto. • C’è anche la regola della mano destra: il pollice indica la direzione del prodotto e le dita si chiudono da A verso B. • Se 𝐴 ∥ 𝐵 ⇒ 𝐴 × 𝐵 = 0 ⇒ 𝐴×𝐴=0 • Se 𝐴 ⊥ 𝐵 ⇒ 𝐴 × 𝐵 = AB 𝐵 𝐴×𝐵 θ 𝐴 𝐴 × 𝐵 = −𝐵 × 𝐴, pseudovettore Il prodotto vettoriale non è distributivo: (𝐴 × 𝐵) × 𝐶 ≠ 𝐴 × 𝐵 × 𝐶 Infatti basta prendere A parallelo a B: il primo prodotto è nullo, il secondo no. Fabio Garufi - Fisica Generale I 13 Dimostrare la regola del prodotto vettoriale con le componenti u x u cos u y u sin c uv vx v cos vx v sin u v uv sin uv sin uv sin cos sin cos u cos v sin u sin v cos u x v y u y vx u x i u y j vx i v y j u x v y u y vx k cz k ii 0 j j 0 i j k i u v ux v x j uy vy k 0 0 Fabio Garufi - Fisica Generale I u v c v u 14 Prodotti tripli • Siccome esistono due tipi di prodotti fra vettori, sono possibili due prodotti tripli fra vettori: 𝐴×𝐵 ∙𝐶 𝐴×𝐵 ×𝐶 • Dei rimanenti: due volte il prodotto scalare non è possibile perché il prodotto scalare restituisce un numero, né è possibile il 𝐴 ∙ 𝐵 × 𝐶, per lo stesso motivo… Fabio Garufi - Fisica Generale I 15 Prodotto misto • 𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝐵 sin 𝜃 𝐴𝐵 sin 𝜃 è l’area del parallelogramma formato dai due vettori • Se A e B giacciono sul piano xy, il loro prodotto vettoriale,𝐹 = 𝐴 × 𝐵, è lungo l’asse z • 𝐹 ∙ 𝐶 = 𝐹𝐶 cos 𝜑 = 𝐹 𝑂𝐻 • OH è l’altezza del parallelepipedo • il prodotto misto è il volume del parallelepipedo individuato dai tre vettori. z H 𝐶 ϕ 𝐵 O y θ 𝐴 x Fabio Garufi - Fisica Generale I 16 Prodotto vettoriale triplo • 𝐷 =𝐴× 𝐵×𝐶 𝐷 è nel piano individuato da B e C essendo perpendicolare a 𝐵 × 𝐶, dunque: 𝐷 = 𝑚𝐵 + 𝑛𝐶 Ma 𝐷 è anche perpendicolare ad 𝐴, dunque: 𝐴 ∙ 𝐷 = 0 = 𝑚 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝑛(𝐴 ∙ 𝐶) che è verificata per 𝑚 = 𝑘 𝐴 ∙ 𝐶 e 𝑛 = −𝑘 𝐴 ∙ 𝐵 , dunque 𝐷 =𝑘 𝐴∙𝐶 𝐵 − 𝐴∙𝐵 𝐶 Si può mostrare che 𝑘 = 1, dunque: 𝐴× 𝐵×𝐶 = 𝐴∙𝐶 𝐵 − 𝐴∙𝐵 𝐶 Fabio Garufi - Fisica Generale I 17 Cinematica del punto materiale • Studia il moto dei corpi senza riferimento alle sue cause • Il moto è completamente determinato se è nota la posizione del corpo in funzione del tempo • Necessità di un sistema di riferimento per determinare la posizione • Diversi tipi di sistemi di riferimento: • Cartesiano (2 e 3 dimensioni): x, y, z • Polare (2 dimensioni): r, f • Sferico (3 dimensioni): r, , f Fabio Garufi - Fisica Generale I 18 Coordinate sul piano • Cartesiane • Polari Cinematica • Ogni coordinata è funzione del tempo legge oraria: • • • • x(t), y(t), z(t) r(t), f(t) r(t), f(t), z(t) r(t), (t), f(t) • Traiettoria: è il luogo dei punti dello spazio occupati dal corpo nei successivi istanti di tempo • dà informazioni di tipo geometrico, e si scrive ad esempio y=f(x) • tratteremo traiettorie semplici (rettilinee, paraboliche circolari) Fabio Garufi - Fisica Generale I 20 Posizione e spostamento • La posizione di un corpo in un determinato sistema di riferimento è identificata dalle sue coordinate rispetto all’origine. • Lo spostamento è una variazione della posizione, per es. dalla coordinata 𝑥1 alla coordinata 𝑥2 . Indichiamo la variazione con la lettera greca Δ. Si scrive: ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 • Esempio: uno spostamento dal punto a 1 m a sinistra dell’origine al punto a 6 m a destra, lungo l’asse x sarà: ∆𝑥 = 6 − −1 = 7; se avessimo fatto il percorso inverso, da +6 a -1, ∆𝑥 = −1 − 6 = −7 • La posizione è un vettore dall’origine al punto considerato, e dunque lo spostamento è il vettore differenza tra le posizioni di fine ed x inizio. Valgono, dunque tutte le considerazioni fatte per i vettori Fabio Garufi - Fisica Generale I z 𝑟1 𝑟2 − 𝑟1 𝑟2 y Nota: se il corpo si sposta lungo una curva nello spazio, lo spostamento può essere molto diverso dallo spazio totale percorso, che dipende dalla forma della curva. 21 Velocità media ed istantanea • Un modo compatto di descrivere il moto è attraverso il grafico della posizione in funzione del tempo (legge oraria) 𝑥 = 𝑥(𝑡). • La velocità indica quanto spazio si è percorso in un certo intervallo di tempo: 𝑥(𝑡2 ) − 𝑥(𝑡1 ) ∆𝑥 𝑣𝑚𝑒𝑑 = = 𝑡2 − 𝑡1 ∆𝑡 Indica la velocità media del moto nell’intervallo di tempo 𝑡2 − 𝑡1 • Le dimensioni fisiche della velocità sono −1 [v]=[L][𝑇] e le unità nel SI sono 𝑚𝑠 −1 Nel grafico, la velocità è la pendenza del segmento che unisce i due punti considerati. Fra questi due punti, la velocità può cambiare; la tangente alla curva che descrive la legge oraria, punto per punto, rappresenta la velocità istantanea (istante per istante): ∆𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = lim = ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑑𝑡 Derivate e integrali Fabio Garufi - Fisica Generale I 22 Velocità vettoriale • Quanto detto, vale anche in più dimensioni; lo spostamento è un vettore, e il rapporto tra lo spostamento ed il tempo (che è uno scalare) è ancora un vettore. • Esempio: una particella, al tempo 𝑡1 è in 𝑟(𝑡1 ) = 1 3 7 , dopo 2 secondi si è spostata nel punto 𝑟(𝑡2 ) = 2 4 9 , quale sarà la velocità media nell’intervallo di tempo 𝑡2 − 𝑡1 = 2𝑠? 𝑟(𝑡2 ) − 𝑟(𝑡1 ) 𝑣𝑚𝑒𝑑 = = 𝑡2 − 𝑡1 1 1 2−1 4−3 9−7 1 1 2 = = 2 2 1 m/s 2 2 Il modulo di questa velocità vettoriale è quella che segnerebbe il 3 tachimetro nei 2s: v= m/s. 2 • Si noti che in Inglese si usano due parole diverse per indicare il vettore velocità (velocity) ed il suo modulo (speed) Fabio Garufi - Fisica Generale I 23 Esercizio • Una particella si muove lungo una circonferenza di raggio r=1m, con moto circolare uniforme in senso antiorario. Ad un certo istante, la velocità è 𝑣𝑥 = 2𝑚𝑠 −1 ; 𝑣𝑦 = 2𝑚𝑠 −1 . Dove si trova la particella in quell’istante? • Le coordinate del punto lungo la circonferenza sono date da: 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃(𝑡) 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 (𝑡) Le componenti della velocità, che è tangente alla circonferenza saranno: 𝑑 𝑟 cos 𝜃(𝑡) 𝑣𝑥 = = −𝑟𝜃 sin 𝜃(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝑟 sin 𝜃(𝑡) 𝑣𝑦 = = 𝑟 𝜃 cos 𝜃(𝑡) 𝑑𝑡 Dunque le velocità saranno uguali nelle due componenti quando −sin 𝜃(𝑡) = cos 𝜃(𝑡), che visto il verso di rotazione, sono nel II e IV quadrante. Affinché siano entrambe positive, come nei dati del problema, devono essere nel IV => 𝜃 = y 𝑣 r 𝜃 x Moto circolare uniforme: il modulo della velocità lungo la circonferenza è costante e pari a 𝑑𝜃 3𝜋 2 𝑟 𝑑𝑡 ≡ 𝑟𝜔 Fabio Garufi - Fisica Generale I 24 Accelerazione • Analogamente a quanto visto per la velocità rispetto allo spostamento, la variazione della velocità nel tempo è l’accelerazione: ∆𝑣 𝑑𝑣 𝑎𝑚𝑒𝑑 = ;𝑎 = ∆𝑡 𝑑𝑡 • L’accelerazione potrà essere diversa da zero anche se il modulo della velocità non cambia, basta che cambi direzione. • L’accelerazione può avere componenti sia lungo la tangente sia lungo la normale alla traiettoria del moto. Fabio Garufi - Fisica Generale I 25 Ricavare la legge oraria dalla velocità e dall’accelerazione. •𝑣= 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑡 ⇒𝑥= 𝑣 𝑑𝑡 + 𝑥0 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡 2 •𝑎= = ⇒ 𝑣 = 𝑎 𝑑𝑡 + 𝑣0 ; integrando nuovamente: 𝑥 = 𝑣 𝑑𝑡 + 𝑥0 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 + 𝑡 𝑑𝑡 0 𝑎 𝑑𝑡′. Se l’accelerazione è costante 1 2 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 + 𝑎𝑡 2 Fabio Garufi - Fisica Generale I 26 Esempio • Se il corpo che cade da altezza h con velocità iniziale nulla: x0=h, v0=0, t0=0 si ha: 1 2 x t h gt v t v 0 at t 0 gt 2 • Il corpo raggiunge il suolo, cioè il punto x=0, al tempo: 1 2 0 t : x t 0 h gt 2 con velocità: v t gt 1 2 2h h gt t 2 g 2h g 2 gh g 27 Il moto dei proiettili • Consideriamo una particella che si muove in due dimensioni soggetta all’accelerazione di gravità 𝑔, diretta verso il basso, a partire da una velocità iniziale 𝑣0 : 𝑔 = 0𝑖 − 𝑔𝑗 ⇒ 𝑣 = 𝑣0𝑥 𝑖 + (𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡)𝑗 𝑣0 = 𝑣0𝑥 𝑖 + 𝑣0𝑦 𝑗 𝑥0 + 𝑣0𝑥 𝑡 𝑥 = 1 𝑦 𝑦0 + 𝑣0𝑦 𝑡 − 2 𝑔𝑡 2 Ricordando che 𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃0 ; 𝑣0𝑦 = 𝑣0 sin 𝜃0 Dunque nel moto del proiettile, la velocità iniziale rimane costante lungo l’asse orizzontale, ed è uniformemente accelerata lungo l’asse y. 𝑥−𝑥 Risolvendo l’equazione in x, rispetto al tempo, otteniamo 𝑡 = 𝑣 cos0𝜃 0 0 Sostituendo nell’equazione in y: 𝑔 𝑥 − 𝑥0 2 𝑦 = 𝑦0 + 𝑥 − 𝑥0 tan 𝜃0 − 2 𝑣0 cos 𝜃0 2 Che ci dice che la traiettoria è una parabola. Fabio Garufi - Fisica Generale I 28 Lancio da x=0; y=0 𝑔𝑥 2 𝑦 = 𝑥 tan 𝜃0 − 2 𝑣0 cos 𝜃0 2 Incrocia l’asse delle x quando y=0, dunque in 0…e ce l’aspettavamo e quando 𝑥 tan 𝜃0 = 𝑔𝑥 2 2 𝑣0 cos 𝜃0 2 dunque: 2 tan 𝜃0 𝑣0 cos 𝜃0 2 2𝑣02 𝑣02 𝑥= = sin 𝜃0 cos 𝜃0 = sin 2𝜃0 𝑔 𝑔 𝑔 Questo valore di x è la gittata del lancio ed è massima quando sin 2𝜃0 = 1 cioè 𝑣0𝑦 𝜋 per 2𝜃0 = 2 ; l’altezza del massimo si ha quando 𝑣𝑦 = 0 ⇒ 𝑣0𝑦 = 𝑔𝑡; ⇒ 𝑡 = 𝑔 𝑣0𝑦 2 1 𝑣0𝑦 2 1 𝑣0𝑦 2 𝑦𝑚 = 𝑦0 + − 𝑔 2 = 𝑦0 + 𝑔 2 𝑔 2 𝑔 Fabio Garufi - Fisica Generale I 29