Lezione nr. 2 Vettori e Cinematica del punto

Lezione nr. 2
Vettori e Cinematica del
punto
Fisica Generale 1
Ingegneria Edile
F. Garufi
Cenni sui vettori
• In fisica si distinguono grandezze scalari – per esempio
la massa o la temperatura di un corpo – e grandezze
vettoriali – ad esempio lo spostamento di un punto.
• Uno scalare è identificato da un solo valore numerico –
per es. una massa di 30 g – e l’unità di misura che ne
identifica la natura fisica.
• Per individuare lo spostamento di un punto nello
spazio, non basta dire che si è spostato di 10 cm,
bisogna specificare anche la direzione (per es. lungo
l’asse Nord-Sud) ed il verso (Verso Nord). Questo tipo di
grandezza è un vettore.
Fabio Garufi - Fisica Generale I
2
Rappresentazione dei vettori
• I vettori, come si intuisce, sono
rappresentabili come segmenti
orientati nello spazio. 𝐹 = 𝐴𝐵
• Sono caratterizzati da un modulo
|AB| che ne rappresenta la
lunghezza, la direzione, data dalla
retta di applicazione r, ed il verso,
indicato dalla punta della freccia
(da A a B)
• Il modulo del vettore 𝐹 è sempre
positivo
• Il punto di origine – A - è il punto
di applicazione del vettore, che in
molti problemi può essere
indeteriminato
z
r
B
A
𝐹
y
x
Fabio Garufi - Fisica Generale I
3
Rappresentazione cartesiana dei
vettori I
• Riferito alla terna cartesiana, il segmento orientato 𝐹, è definito univocamente dalle
coordinate (x,y,z) del punto A e quelle (x’, y’, z’) del punto B.
• Le proiezioni di 𝐹 nella direzione degli assi ′si chiamano le componenti del vettore 𝐹:
𝐹𝑥 = 𝑥 − 𝑥
𝐹𝑦 = 𝑦 ′ − 𝑦
𝐹𝑧 = 𝑧 ′ − 𝑧
• Il modulo del vettore, ovvero la sua lunghezza, lo calcoliamo con il teorema di Pitagora:
𝐹 =
𝐹𝑥 2 + 𝐹𝑦 2 + 𝐹𝑧 2
• Detti 𝑖, 𝑗, 𝑘 i vettori unitari nelle direzioni rispettivamente di x, y e z (i versori degli assi),
allora
3
𝐹 = 𝐹𝑥 𝑖 + 𝐹𝑦 𝑗 + 𝐹𝑥 𝑘 ≡ 𝐹𝑥
𝐹𝑦
𝐹𝑖 𝑒 𝑖
𝐹𝑧 =
𝑖=1
Avendo indicato con 𝑒 𝑖 i versori dei tre assi supposto che sia: 𝑥1 = 𝑥; 𝑥2 = 𝑦; 𝑥3 = 𝑧:
3
𝐹𝑖 𝑒 𝑖 = 𝐹1 𝑒 1 + 𝐹2 𝑒 2 + 𝐹3 𝑒 3
𝑖=1
Fabio Garufi - Fisica Generale I
4
Rappresentazione cartesiana dei
vettori II
• Alternativamente, possiamo determinare il vettore
dandone il modulo, le coordinate del punto di
applicazione A e l’orientazione;
• L’orientazione rispetto agli assi coordinati è
individuata dai coseni direttori cos(xF), cos(yF),
cos(zF), ove xF, yF, e zF sono gli angoli che il vettore
F forma con i tre assi.
• Siccome esiste una relazione che lega i tre coseni
direttori: cos2 (xF)+cos2 (yF)+cos2 (zF) = 1, solo due
sono indipendenti.
Fabio Garufi - Fisica Generale I
5
Rappresentazione cartesiana dei
vettori II
z
• I coseni direttori possono
essere espressi in
funzione delle
componenti del vettore:
𝐹𝑥 2 + 𝐹𝑦 2 + 𝐹𝑧 2
𝐹𝑥
cos 𝑥𝐹 =
𝐹
𝐹𝑦
cos 𝑦𝐹 =
𝐹
𝐹𝑧
cos 𝑧𝐹 =
𝐹
𝐹
𝐹 =
y
𝐹𝑥
x
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6
Algebra dei vettori
• Tra i vettori possono essere
definite le operazioni di somma
e moltiplicazione e
moltiplicazione per uno scalare.
• La somma di vettori gode della
proprietà commutativa ed
associativa: A+B=B+A;
A+(B+C)=(A+B)+C;
• Rispetto alla somma esiste
l’elemento inverso e l’elemento
nullo 0: A +(-A) = 0
• Si dice che rispetto alla somma,
i vettori formino un gruppo
commutativo (o abeliano)
Fabio Garufi - Fisica Generale I
7
Dimostrare la regola della somma
con le componenti
𝑅 =𝐴+𝐵
𝑅𝑥 𝑅𝑦
= 𝐴𝑥 𝐴𝑦 + 𝐵𝑥 𝐵𝑦
= 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦
O con i versori:
𝑅 =𝐴+𝐵
= 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗
+ 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗
= 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 𝑖
+ 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 𝑗
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Algebra dei vettori: prodotto per
uno scalare
• Il prodotto di un vettore 𝐹per uno scalare a 𝐹’=a𝐹- è un vettore il cui modulo è il prodotto del
modulo per il valore assoluto dello scalare, il cui
verso è dato dal verso del vettore per il segno dello
scalare e la direzione è immutata.
• Rispetto al prodotto per uno scalare, valgono le
proprietà associativa e distributiva:
(a+b) 𝐹=a𝐹+b𝐹;
a(𝐹+𝐹’)=a𝐹+a𝐹’;
a(b𝐹)=(a𝐹)𝑏
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Algebra dei vettori: prodotti fra
vettori
• Esistono due modi in cui si possono moltiplicare fra
loro due vettori: uno in cui il prodotto è ancora un
vettore, l’altro in cui il prodotto è uno scalare.
• Dal punto di vista algebrico, il primo è
un’operazione interna allo spazio dei vettori ed i
matematici lo chiamano prodotto esterno o, più
comunemente, prodotto vettoriale e si indica con il
simbolo × (in alcuni testi ⋀)
• Nel secondo caso, il prodotto restituisce uno
scalare e si chiama prodotto scalare e si indica con
il simbolo ∙
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Prodotto scalare
• Il prodotto scalare di due
vettori 𝐴 e 𝐵 è un numero il
cui valore è 𝐴 ∙ 𝐵 =
𝐴 𝐵 cos 𝜃 dove 𝜃 è
l’angolo che i vettori
formano fra loro
• Rappresenta il modulo di un
vettore per la proiezione
dell’altro lungo la direzione
del primo
• Se 𝐴 ⊥ 𝐵 allora 𝐴 ∙ 𝐵 = 0
• Se 𝐴 ∥ 𝐵 ⇒ 𝐴 ∙ 𝐵 =2 𝐴 𝐵 ;
di conseguenza 𝐴 = 𝐴 ∙ 𝐴
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𝐴

𝐵
Acos 𝜃
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Dimostrare la regola del prodotto
scalare con le componenti
u

v
A  B   Axi  Ay j    Bxi  By j   Ax Bx  Ay B y

i  i  1;
i  j  0;
j j 1
u  v  u  v cos    u  v cos        


 uv cos          uv cos     cos    sin     sin   
 u cos       v cos     u sin       v sin    
 u x vx  u y v y
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Prodotto vettoriale
• Il prodotto vettoriale di due
vettori 𝐴 e 𝐵, è un vettore il cui
modulo è 𝐴 𝐵 sin 𝜃 e la cui
direzione è ortogonale al piano
individuato dai due vettori.
• Il verso del vettore prodotto è
dato dalla regola della mano
sinistra: il medio indica la
direzione di A, l’indice quella di B,
il pollice la direzione del prodotto.
• C’è anche la regola della mano
destra: il pollice indica la
direzione del prodotto e le dita si
chiudono da A verso B.
• Se 𝐴 ∥ 𝐵 ⇒ 𝐴 × 𝐵 = 0 ⇒
𝐴×𝐴=0
• Se 𝐴 ⊥ 𝐵 ⇒ 𝐴 × 𝐵 = AB
𝐵
𝐴×𝐵
θ
𝐴
𝐴 × 𝐵 = −𝐵 × 𝐴, pseudovettore
Il prodotto vettoriale non è distributivo:
(𝐴 × 𝐵) × 𝐶 ≠ 𝐴 × 𝐵 × 𝐶
Infatti basta prendere A parallelo a B: il primo
prodotto è nullo, il secondo no.
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Dimostrare la regola del prodotto
vettoriale con le componenti
u x  u cos  
u y  u sin  
c  uv
vx  v cos    
vx  v sin    
u  v  uv sin    uv sin       
 uv sin     cos    sin   cos      
 u cos   v sin      u sin   v cos     
 u x v y  u y vx   u x i  u y j    vx i  v y j  
  u x v y  u y vx  k  cz k
ii  0
j j  0
i j  k
 i

u  v   ux
v
 x
j
uy
vy
k

0
0 
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
u

v
c  v  u
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Prodotti tripli
• Siccome esistono due tipi di prodotti fra vettori,
sono possibili due prodotti tripli fra vettori:
𝐴×𝐵 ∙𝐶
𝐴×𝐵 ×𝐶
• Dei rimanenti: due volte il prodotto scalare non è
possibile perché il prodotto scalare restituisce un
numero, né è possibile il 𝐴 ∙ 𝐵 × 𝐶, per lo stesso
motivo…
Fabio Garufi - Fisica Generale I
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Prodotto misto
• 𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝐵 sin 𝜃
𝐴𝐵 sin 𝜃 è l’area del
parallelogramma formato dai
due vettori
• Se A e B giacciono sul piano
xy, il loro prodotto
vettoriale,𝐹 = 𝐴 × 𝐵, è lungo
l’asse z
• 𝐹 ∙ 𝐶 = 𝐹𝐶 cos 𝜑 = 𝐹 𝑂𝐻
• OH è l’altezza del
parallelepipedo
• il prodotto misto è il volume
del parallelepipedo
individuato dai tre vettori.
z
H
𝐶
ϕ
𝐵
O
y
θ
𝐴
x
Fabio Garufi - Fisica Generale I
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Prodotto vettoriale triplo
• 𝐷 =𝐴× 𝐵×𝐶
𝐷 è nel piano individuato da B e C essendo perpendicolare a
𝐵 × 𝐶, dunque:
𝐷 = 𝑚𝐵 + 𝑛𝐶
Ma 𝐷 è anche perpendicolare ad 𝐴, dunque:
𝐴 ∙ 𝐷 = 0 = 𝑚 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝑛(𝐴 ∙ 𝐶)
che è verificata per 𝑚 = 𝑘 𝐴 ∙ 𝐶 e 𝑛 = −𝑘 𝐴 ∙ 𝐵 , dunque
𝐷 =𝑘 𝐴∙𝐶 𝐵 − 𝐴∙𝐵 𝐶
Si può mostrare che 𝑘 = 1, dunque:
𝐴× 𝐵×𝐶 = 𝐴∙𝐶 𝐵 − 𝐴∙𝐵 𝐶
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Cinematica del punto materiale
• Studia il moto dei corpi senza riferimento alle sue
cause
• Il moto è completamente determinato se è nota la
posizione del corpo in funzione del tempo
• Necessità di un sistema di riferimento per
determinare la posizione
• Diversi tipi di sistemi di riferimento:
• Cartesiano (2 e 3 dimensioni): x, y, z
• Polare (2 dimensioni): r, f
• Sferico (3 dimensioni): r, , f
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Coordinate sul piano
• Cartesiane
• Polari
Cinematica
• Ogni coordinata è funzione del tempo  legge oraria:
•
•
•
•
x(t), y(t), z(t)
r(t), f(t)
r(t), f(t), z(t)
r(t), (t), f(t)
• Traiettoria: è il luogo dei punti dello spazio occupati
dal corpo nei successivi istanti di tempo
• dà informazioni di tipo geometrico, e si scrive ad esempio
y=f(x)
• tratteremo traiettorie semplici (rettilinee, paraboliche
circolari)
Fabio Garufi - Fisica Generale I
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Posizione e spostamento
• La posizione di un corpo in un determinato
sistema di riferimento è identificata dalle sue
coordinate rispetto all’origine.
• Lo spostamento è una variazione della
posizione, per es. dalla coordinata 𝑥1 alla
coordinata 𝑥2 . Indichiamo la variazione con la
lettera greca Δ. Si scrive:
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1
• Esempio: uno spostamento dal punto a 1 m a
sinistra dell’origine al punto a 6 m a destra,
lungo l’asse x sarà: ∆𝑥 = 6 − −1 = 7; se
avessimo fatto il percorso inverso, da +6 a -1,
∆𝑥 = −1 − 6 = −7
• La posizione è un vettore dall’origine al punto
considerato, e dunque lo spostamento è il
vettore differenza tra le posizioni di fine ed
x
inizio. Valgono, dunque tutte le
considerazioni fatte per i vettori
Fabio Garufi - Fisica Generale I
z
𝑟1
𝑟2 − 𝑟1
𝑟2
y
Nota: se il corpo si sposta lungo
una curva nello spazio, lo
spostamento può essere molto
diverso dallo spazio totale
percorso, che dipende dalla
forma della curva.
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Velocità media ed istantanea
• Un modo compatto di descrivere il moto è
attraverso il grafico della posizione in
funzione del tempo (legge oraria) 𝑥 = 𝑥(𝑡).
• La velocità indica quanto spazio si è
percorso in un certo intervallo di tempo:
𝑥(𝑡2 ) − 𝑥(𝑡1 ) ∆𝑥
𝑣𝑚𝑒𝑑 =
=
𝑡2 − 𝑡1
∆𝑡
Indica la velocità media del moto
nell’intervallo di tempo 𝑡2 − 𝑡1
• Le dimensioni
fisiche della velocità sono
−1
[v]=[L][𝑇] e le unità nel SI sono 𝑚𝑠 −1
Nel grafico, la velocità è la pendenza del segmento che unisce i due punti considerati. Fra
questi due punti, la velocità può cambiare; la tangente alla curva che descrive la legge
oraria, punto per punto, rappresenta la velocità istantanea (istante per istante):
∆𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = lim
=
∆𝑡→0 ∆𝑡
𝑑𝑡
Derivate e integrali
Fabio Garufi - Fisica Generale I
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Velocità vettoriale
• Quanto detto, vale anche in più dimensioni; lo spostamento è un
vettore, e il rapporto tra lo spostamento ed il tempo (che è uno
scalare) è ancora un vettore.
• Esempio: una particella, al tempo 𝑡1 è in 𝑟(𝑡1 ) = 1 3 7 ,
dopo 2 secondi si è spostata nel punto 𝑟(𝑡2 ) = 2 4 9 , quale
sarà la velocità media nell’intervallo di tempo 𝑡2 − 𝑡1 = 2𝑠?
𝑟(𝑡2 ) − 𝑟(𝑡1 )
𝑣𝑚𝑒𝑑 =
=
𝑡2 − 𝑡1
1 1
2−1 4−3 9−7
1 1 2
=
= 2 2 1 m/s
2
2
Il modulo di questa velocità vettoriale è quella che segnerebbe il
3
tachimetro nei 2s: v= m/s.
2
• Si noti che in Inglese si usano due parole diverse per indicare il
vettore velocità (velocity) ed il suo modulo (speed)
Fabio Garufi - Fisica Generale I
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Esercizio
• Una particella si muove lungo una circonferenza di
raggio r=1m, con moto circolare uniforme in senso
antiorario. Ad un certo istante, la velocità è 𝑣𝑥 =
2𝑚𝑠 −1 ; 𝑣𝑦 = 2𝑚𝑠 −1 . Dove si trova la particella in
quell’istante?
• Le coordinate del punto lungo la circonferenza
sono date da:
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃(𝑡)
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 (𝑡)
Le componenti della velocità, che è tangente alla
circonferenza saranno:
𝑑 𝑟 cos 𝜃(𝑡)
𝑣𝑥 =
= −𝑟𝜃 sin 𝜃(𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑟 𝑟 sin 𝜃(𝑡)
𝑣𝑦 =
= 𝑟 𝜃 cos 𝜃(𝑡)
𝑑𝑡
Dunque le velocità saranno uguali nelle due
componenti quando −sin 𝜃(𝑡) = cos 𝜃(𝑡), che visto
il verso di rotazione, sono nel II e IV quadrante.
Affinché siano entrambe positive, come nei dati del
problema, devono essere nel IV
=> 𝜃 =
y
𝑣
r
𝜃
x
Moto circolare uniforme:
il modulo della velocità
lungo la circonferenza è
costante e pari a
𝑑𝜃
3𝜋
2
𝑟 𝑑𝑡 ≡ 𝑟𝜔
Fabio Garufi - Fisica Generale I
24
Accelerazione
• Analogamente a quanto visto per la velocità
rispetto allo spostamento, la variazione della
velocità nel tempo è l’accelerazione:
∆𝑣
𝑑𝑣
𝑎𝑚𝑒𝑑 =
;𝑎 =
∆𝑡
𝑑𝑡
• L’accelerazione potrà essere diversa da zero anche
se il modulo della velocità non cambia, basta che
cambi direzione.
• L’accelerazione può avere componenti sia lungo la
tangente sia lungo la normale alla traiettoria del
moto.
Fabio Garufi - Fisica Generale I
25
Ricavare la legge oraria dalla
velocità e dall’accelerazione.
•𝑣=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑣
𝑑𝑡
⇒𝑥=
𝑣 𝑑𝑡 + 𝑥0
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡 2
•𝑎= =
⇒ 𝑣 = 𝑎 𝑑𝑡 + 𝑣0 ; integrando
nuovamente: 𝑥 = 𝑣 𝑑𝑡 + 𝑥0 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 +
𝑡
𝑑𝑡 0 𝑎 𝑑𝑡′. Se l’accelerazione è costante
1 2
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 + 𝑎𝑡
2
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26
Esempio
• Se il corpo che cade da altezza h con velocità iniziale
nulla: x0=h, v0=0, t0=0 si ha:
1 2
x t   h  gt
v t   v 0  at  t 0   gt
2
• Il corpo raggiunge il suolo, cioè il punto x=0, al
tempo:

1 2
  0 
t : x t  0  h  gt
2
con velocità: v t   gt 

1 2
2h
h  gt  t 
2
g
2h
g
  2 gh
g
27
Il moto dei proiettili
• Consideriamo una particella che si muove in due dimensioni soggetta
all’accelerazione di gravità 𝑔, diretta verso il basso, a partire da una velocità
iniziale 𝑣0 :
𝑔 = 0𝑖 − 𝑔𝑗
⇒ 𝑣 = 𝑣0𝑥 𝑖 + (𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡)𝑗
𝑣0 = 𝑣0𝑥 𝑖 + 𝑣0𝑦 𝑗
𝑥0 + 𝑣0𝑥 𝑡
𝑥
=
1
𝑦
𝑦0 + 𝑣0𝑦 𝑡 − 2 𝑔𝑡 2
Ricordando che 𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃0 ; 𝑣0𝑦 = 𝑣0 sin 𝜃0
Dunque nel moto del proiettile, la velocità iniziale rimane costante lungo l’asse
orizzontale, ed è uniformemente accelerata lungo l’asse y.
𝑥−𝑥
Risolvendo l’equazione in x, rispetto al tempo, otteniamo 𝑡 = 𝑣 cos0𝜃
0
0
Sostituendo nell’equazione in y:
𝑔 𝑥 − 𝑥0 2
𝑦 = 𝑦0 + 𝑥 − 𝑥0 tan 𝜃0 −
2 𝑣0 cos 𝜃0 2
Che ci dice che la traiettoria è una parabola.
Fabio Garufi - Fisica Generale I
28
Lancio da x=0; y=0
𝑔𝑥 2
𝑦 = 𝑥 tan 𝜃0 −
2 𝑣0 cos 𝜃0 2
Incrocia l’asse delle x quando y=0, dunque in 0…e ce l’aspettavamo e quando
𝑥 tan 𝜃0 =
𝑔𝑥 2
2 𝑣0 cos 𝜃0 2
dunque:
2 tan 𝜃0 𝑣0 cos 𝜃0 2 2𝑣02
𝑣02
𝑥=
=
sin 𝜃0 cos 𝜃0 =
sin 2𝜃0
𝑔
𝑔
𝑔
Questo valore di x è la gittata del lancio ed è massima quando sin 2𝜃0 = 1 cioè
𝑣0𝑦
𝜋
per 2𝜃0 = 2 ; l’altezza del massimo si ha quando 𝑣𝑦 = 0 ⇒ 𝑣0𝑦 = 𝑔𝑡; ⇒ 𝑡 = 𝑔
𝑣0𝑦 2 1 𝑣0𝑦 2
1 𝑣0𝑦 2
𝑦𝑚 = 𝑦0 +
− 𝑔 2 = 𝑦0 +
𝑔
2 𝑔
2 𝑔
Fabio Garufi - Fisica Generale I
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