IL FUTURO DEI QUANTI

IL FUTURO DEI QUANTI
Come la Fisica quantistica trasformerà il nostro mondo
Bartolome Alles Salom
http://www.df.unipi.it/~alles/
Anche la teoria quantistica viene
formulata con una serie di «Principia»:
postulati della meccanica quantistica
Primo postulato: Ogni sistema fisico viene descritto da uno stato
rappresentato da una funzione d’onda 𝜓 che appartiene a uno spazio di
Hilbert. Si usa la notazione dei «ket», con la quale invece di 𝜓, si scrive |𝜓 .
Secondo postulato: Ogni stato |𝜓 evolve nel tempo con l’equazione
di Schrödinger.
Corollario: Dato che l’equazione è lineare, se |𝜓1 e |𝜓2 sono soluzioni,
allora 𝑎1 |𝜓1 + 𝑎2 |𝜓2 (con 𝑎1 e 𝑎2 numeri che soddisfano |𝑎1 |2 + |𝑎2 |2 = 1)
è anche soluzione. Quindi, lo spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale.
𝜓1∗ 𝜓2 = 0
Ma allora, quando risolviamo l’equazione di Schrödinger per sapere la funzione
d’onda di una particella, qual’è che dobbiamo ritenere buona? |𝜓1 , |𝜓2 ,oppure
𝑎1 |𝜓1 + 𝑎2 |𝜓2 ? E con quali coefficienti 𝑎1 e 𝑎2 ?
Questo viene deciso dal modo con cui noi, all’inizio dell’esperimento, avremo
voluto preparare la particella.
Immaginiamo che uno strumento di misura fosse capace di decidere
se un elettrone si trova nello stato |𝜓1 oppure nello stato |𝜓2 di un
atomo di idrogeno. E immaginiamo anche che lo stato di un dato
elettrone fosse 𝑎1 |𝜓1 + 𝑎2 |𝜓2 . Allora:
Terzo postulato: la probabilità che la misura fornisca «si trova nello stato |𝜓1 »
è |𝑎1 |2 e, dopo la misura, l’elettrone rimarrà permanentemente nello stato |𝜓1 .
Analogamente vale per la probabilità |𝑎2 |2 e lo stato |𝜓2 .
Questo fenomeno si chiama «collasso della funzione d’onda» ed è l’aspetto
più controverso della teoria quantistica. E’ questo il nocciolo della cosiddetta
Interpretazione di Copenaghen della meccanica quantistica.
Notare che |𝜓1 o |𝜓2 giocano il ruolo di base dello spazio vettoriale.
Nella realtà pratica, quali |𝜓1 o |𝜓2 si usano?
Normalmente la base è costituita da un insieme di |𝜓 che siano gli stati
associati a valori precisi di qualche osservabile (nell’esempio precedente
l’osservabile era lo stato nell’atomo d’idrogeno).
Per esempio, se |𝜓 è la notazione con ket dello stato rappresentato da
una funzione d’onda 𝜓(𝑡, 𝑟), allora possiamo scrivere:
|𝜓 =
𝜓 𝑡, 𝑟 |𝑟
dove |𝑟 sono gli stati in cui la particella si trova esattamente nella posizione 𝑟.
Manco a dire, questi stati non hanno alcuna imprecisione nella posizione, Δ𝑥 =
∆𝑦 = ∆𝑧 = 0. Da ciò si conclude, seguendo Heisenberg, che gli stati |𝑟 hanno
massima imprecisione sul momento, Δ𝑝 𝑥 = ∆𝑝 𝑦 = ∆𝑝 𝑧 = ∞.
Quindi, la probabilità che la particella venga trovata a 𝑟0 al tempo 𝑡 è
|𝜓 𝑡, 𝑟0 |2
il che mette in accordo al terzo postulato con l’interpretazione di Born.
Vediamo un esempio di collasso
della funzione d’onda.
E’ importante sottolineare che lo stato 𝑎1 |𝜓1 + 𝑎2 |𝜓2 NON vuol dire che la
particella si trovi in |𝜓1 durante una frazione di tempo proporzionale a |𝑎1 |2
e in |𝜓2 durante una frazione di tempo proporzionale a |𝑎2 |2 . E NEANCHE
vuol dire che se abbiamo 𝑁 particelle in quello stato, |𝑎1 |2 𝑁 di loro stiano
in |𝜓1 e |𝑎2 |2 𝑁 di loro in |𝜓2 .
Vuol dire che la particella (l’unica che c’è o una qualunque delle 𝑵 che abbiamo),
non si deciderà di stare in |𝝍𝟏 o in |𝝍𝟐 finché non si misurerà l’osservabile
associato a |𝝍𝟏 e |𝝍𝟐 .
Gli attributi che la fisica classica assegna alle particelle (posizione, velocità, energia,
ecc.), non sono definiti finché essi non sono misurati. Ricordate il collasso della funzione
d’onda |𝝍 = 𝝍(𝒕, 𝒓)|𝒓 .
https://www.youtube.com/watch?v=Xmq_FJd1oUQ
TUTTO QUESTO SEMBRA FUORI DAL MONDO!!
Albert Einstein:
Credo che una particella debba
avere una esistenza reale a
prescindere dalle misure a cui
venga sottoposta. Mi piace
pensare che la luna c’è anche
quando non la guardiamo.
Albert Einstein
𝑿
Boris Podolsky
Nathan Rosen
𝑷𝒙
EPR concludono che deve esistere un insieme di variabili
nascoste (HIDDEN VARIABLES) con le quali ogni incertezza
della meccanica quantistica sparirebbe.
Le VARIABILI NASCOSTE descriverebbero proprietà microscopiche
che ora non siamo in grado di misurare (dovuto a limitazioni
tecnologiche che forse in futuro potranno essere superate).
In definitiva, la odierna formulazione della
teoria quantistica sarebbe incompleta,
(una maniera fine di dire «sbagliata»).
La meccanica quantistica invece dice che le particelle escono nello stato
𝑎𝑝 |−𝑝; +𝑝
𝑝
Quindi se misurando il momento di quella di destra viene 𝒑𝟎 (il che accade con
probabilità |𝒂𝒑𝟎 |𝟐 ), allora lo stato dopo la misura sarà |−𝒑𝟎 ; +𝒑𝟎 il che non permette
di conoscere la posizione di quella di destra con altrettanta precisione!
Complicato conoscere la 𝝍(𝒕, 𝒓) delle due particelle!
David Bohm (1951)
𝑳=𝒓×𝑷
𝑑𝐿 𝑑𝑟
𝑑𝑃
=
×𝑃+𝑟×
= 𝑣 × 𝑚𝑣 + 𝑟 × 𝐹 = 0 + 0 = 0
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡
Quindi in assenza di forze la dinamica relativa allo spin è triviale.
Non c’è evoluzione temporale e l’equazione di Schrödinger è zero.
L’idea di Bohm è considerare una particella SENZA SPIN che si disintegra in due con spin.
Dato che lo spin è conservato, la somma degli spin delle due particelle uscenti deve fare zero.
E quale valori può prendere lo spin di una particella?
In fisica classica le tre componenti del vettore 𝐿 possono prendere qualunque
valore compreso tra − 𝐿 e + 𝐿 . Una singola particella elementare, sottoposta
alle regole della meccanica quantistica no…
Una particella carica, ruotando su se stessa, diventa un magnete.
Otto Stern (1922)
Walther Gerlach (1922)
Risultato originale di Stern e Gerlach
Una qualunque componente dello spin, per esempio 𝑳𝒛 , può
assumere valori quantizzati. Nel caso osservato da Stern e Gerlach,
i valori erano 𝑳 oppure − 𝑳 . Nessun valore intermedio.
Nelle unità giuste, 𝑳𝒛 può essere o 𝑳𝒛 = +𝒉/𝟒𝝅 o 𝑳𝒛 = −𝒉/𝟒𝝅. I relativi ket si scrivono:
𝒉
𝑳 =+
⇒ |↑𝒛
𝟒𝝅
𝒛
𝒉
𝑳𝒛 = −
⇒ |↓𝒛
𝟒𝝅
Il fatto che la particella iniziale non abbia spin si indica con il ket nullo |0 .
Lo spin delle particelle uscenti si indica con:
Se tutte e due hanno 𝐿𝑧 positivo,
|↑𝑧 ↑𝑧
Se tutte e due hanno 𝐿𝑧 negativo,
|↓𝑧 ↓𝑧
Se positivo a sx e negativo a dx,
|↑𝑧 ↓𝑧
Se negativo a sx e positivo a dx,
|↓𝑧 ↑𝑧
Dato che il 𝐿𝑧 totale deve annullarsi, le uniche possibilità sono
|↑𝑧 ↓𝑧 , |↓𝑧 ↑𝑧 o una loro combinazione lineare.
|↓𝑧 ↑𝑧 o |↑𝑧 ↓𝑧 non sono invarianti sotto rotazioni (presuppongono un asse privilegiato).
Gli unici stati che possono rispettare l’invarianza sotto rotazioni sono
|↓𝑧 ↑𝑧 ± |↑𝑧 ↓𝑧
2
Ma avremo potuto scegliere qualunque altro asse, un asse che
facesse un angolo 𝛼 con l’asse 𝑍 (c’è invarianza sotto rotazioni).
𝑍
𝛼
𝐴
|↓𝐴 ↑𝐴 − |↑𝐴 ↓𝐴
2
|↑𝑍
𝛼
𝛼
= cos |↑𝐴 + sin |↓𝐴
2
2
| ↓𝑍
𝛼
𝛼
= cos |↓𝐴 − sin |↑𝐴
2
2
Tutto questo è vero secondo la meccanica quantistica.
Una particella preparata con la componente di spin positiva lungo l’asse 𝑍,
avrà probabilità (cos 𝛼/2)2 di averla positiva lungo l’asse 𝐴 e probabilità
(sin 𝛼/2)2 di averla negativa.
Ma questa componente lungo l’asse 𝐴 non sarà ben definita finché non sarà
stata fatta una misura con uno Stern-Gerlach sistemato lungo quell’asse.
EPR prevede per 𝑳 3 componenti ben definite anche senza misurarle.
Ogni stato di una particella avrebbe valori di 𝐿𝑥 , 𝐿𝑦 e 𝐿𝑧 uguali a ±ℎ/4𝜋 e perfettamente definiti.
Come lo spin classico che ha valori precisi per tutte le componenti di 𝐿,
solo che qui questi valori solo possono essere quantizzati.
Nel 1964 Bell dimostrò che se
davvero esistono variabili
nascoste, le misure di spin in
diverse direzioni spaziali devono
osservare una diseguaglianza
che la meccanica quantistica
non soddisfa.
John Stewart Bell
𝛼
𝛾
𝛽
Caso
𝜶=0
𝜷 =120
𝜸 =240
𝜶𝜷
𝜷𝜸
𝜶𝜸
media
1
↑
↑
↑
1
1
1
1
2
↑
↑
↓
1
0
0
1/3
3
↑
↓
↑
0
0
1
1/3
4
↑
↓
↓
0
1
0
1/3
5
↓
↑
↑
0
1
0
1/3
6
↓
↑
↓
0
0
1
1/3
7
↓
↓
↑
1
0
0
1/3
Variabili nascoste 8
↓
↓
↓
1
1
1
1
meccanica quantistica
120 2
1
2
(cos
) = (cos 60) =
2
2
2
1
=
4
Dopo tanti anni finalmente abbiamo:
UNA MANIERA INEQUIVOCABILE DI CONFUTARE
L’INTERPRETAZIONE DI COPENAGHEN
Alain Aspect (2005):
La principale difficoltà nel divulgare
la teoria quantistica è che non
sappiamo come spiegarla con gli
strumenti del nostro mondo
quotidiano. In questo senso, la
meccanica quantistica è veramente
antiintuitiva.
INSTANTANEITA’ ESISTE NELLA FISICA
CRITTOGRAFIA
Chiave di crittazione
Permutazioni aleatorie (concordate tra mittente e ricevente) di lettere dell’alfabeto.
 ogni lingua ha delle lettere raramente usate;
 presenza di dittonghi (in italiano Q e U vanno sempre assieme);
 uso di metodi statistici.
Enigma
Alan Turing
CRITTOGRAFIA QUANTISTICA
Permette di scoprire se c’è o non c’è una spia che origlia i nostri messaggi.
CODICE ASCII
American
Standard
Code for
Information
Interchange
1) Mittente e ricevente misurano lo spin di coppie di particelle.
2) Il mittente scrive «1» se misura ↑ e «0» se misura ↓;
il ricevente fa il contrario: scrive «1» se misura ↓ e «0» se misura ↑.
3) Entrambi misurano a caso e in modo indipendente o lungo l’asse 𝑍 o l’asse 𝑋.
4) Una volta misurati molti spin, rendono pubblica la serie di direzioni di misura,
ma non i risultati!
5) Eliminano le misure su direzioni diverse. Così, mittente e ricevente avranno
una serie di risultati 0 e 1 identici. La serie è nota solo a loro.
6) Raggruppandola in blocchi di 8 digiti, questa serie può essere usata per
ricostruire in modo disordinato tutto il codice ASCII.
7) Ora hanno una chiave di crittazione, solo nota a loro, e che può essere
cambiata ogniqualvolta vogliono rendendo inadeguati i metodi statistici
di decifrazione.
Qualcuno ha visto?
Romeo
Giulietta
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1) Rendono pubblica la lista dei risultati dispari.
2) Romeo e Giulietta distruggono le particelle dopo
averne misurato lo spin. La spia no: dopo averne misurato
lo spin, lui deve per forza lasciare la particella continuare
la sua strada fino a uno dei due amanti.
3) A volte la spia avrà misurato in una direzione diversa
da quella scelta da Romeo e Giulietta. In tal caso, i dati
in possesso ai due amanti sono scorrelati.
OK
STESSO ASSE ↑ ↑
OK
STESSO ASSE ↓ ↓
OK
DIVERSO ASSE ↑ ↑
KO
DIVERSO ASSE ↑ ↓
3 volte su 4
probabilità =
3
4
La probabilità che tutti gli 𝑁 risultati dispari siano coincidenti è:
3
4
𝑵
𝑁
Probabilità
10
0,06
100
0,000000000003
500
0,0… [62] …03
1000
0,0… [124] …01
CONCLUSIONE: scovare una spia è diventato facile!